Curso de Geometria Diferencial

(1)

Dep. Matem´

atica Pura

CURSO de

GEOMETRIA DIFERENCIAL

Jo˜

ao Nuno Tavares

1

1 2π

R

M

KdA = X

M

= C

0

(f ) − C

1

(f ) + C

2

(f ) =

P

_k i=1

Ind

pi

(X)

Dept. Matem´atica Pura Faculdade de Ciˆencias da Univ. Porto

4169-007 Porto, Portugal www.fc.up.pt/mat

www.fc.up/cmup

(2)

1

Introdu¸c˜

ao

Estas notas devem ser encaradas como um mero guião para as aulas, e portanto não são um substituto da bibliografia indicada e muito menos das aulas. Pretendem porém ser um incentivo ou um guia para a consulta da bibliografia indicada.

Incluem com detalhe os principais conceitos e resultados do curso, e ainda os enunciados dos exerc´ıcios propostos para as aulas práticas. Espera-se que sejam um auxiliar valioso para o curso, que em partic-ular permita uma maior liberdade na explica¸cão teórica dos assuntos, substituindo uma exposi¸cão com grande detalhe formal por uma que realce os aspectos geométricos e intuitivos desses mesmos conceitos e respectivas inter-rela¸cões, e que por outro lado sejam um est´ımulo à aten¸cão e participa¸cão activa dos alunos. Finalmente pretende-se com este texto garantir uma maior uniformidade nas nota¸cões usadas e nos enunciados de defini¸cões e teoremas (aliás um dos problemas desta disciplina é exactamente o peso excessivo das nota¸cões, pelo que se impõe uma escolha criteriosa e um uso uniforme de uma boa nota¸cão!).

O programa est´a estruturado assumindo alguns preliminares dos quais destaco: • conhecimentos gerais de ´Algebra Linear.

• um conhecimento detalhado de C´alculo Diferencial em IRn_{, nomeadamente, a no¸c˜ao de diferencial, regra}

da cadeia, os teoremas da fun¸cão inversa e da fun¸cão impl´ıcita e o da mudan¸ca de variáveis em integrais múltiplos.

• o teorema da existência, unicidade e dependência diferenciável das condi¸cões iniciais, para solu¸cões de

equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias.

• no¸c˜oes b´asicas de topologia.

• a tradicional maturidade matem´atica que se espera dos alunos do terceiro ano da licenciatura em Matem´atica. ´

E no entanto previs´ıvel que alguns dos tópicos acima referidos exijam exposi¸cões prévias, o que evidentemente será feito sempre que necessário.

(3)

1 Variedades em Rn ₆

1.1 Revis˜ao e Complementos de C´alculo Diferencial . . . 6

1.1.1 Derivadas direccionais e derivadas parciais . . . 6

1.1.2 Diferencial. Gradiente . . . 8

1.1.3 Diferencial. Matriz Jacobiana . . . 10

1.1.4 Teorema da Invers˜ao Local . . . 13

1.1.5 Imers˜oes e Submers˜oes. Exemplos . . . 14

1.2 Variedades em Rn _{. . . .} ₁₈

1.2.1 Defini¸c˜ao. Exemplos . . . 18

1.2.2 Exemplos e Exerc´ıcios. Alguns Grupos de Lie cl´assicos . . . 19

1.2.3 Parametriza¸c˜oes locais . . . 22

1.2.4 Exemplos e Exerc´ıcios . . . 23

1.3 Fun¸cões e aplica¸cões diferenciáveis . . . 26

1.3.1 Mudan¸ca de coordenadas locais . . . 26

1.3.2 Fun¸c˜oes diferenci´aveis . . . 27

1.4 Variedades diferenci´aveis abstractas. Defini¸c˜ao e exemplos ~ . . . 29

1.4.1 Variedades. Estruturas Diferenci´aveis. Exemplos . . . 29

1.4.2 Fun¸cões e aplica¸cões diferenciáveis . . . 31

1.4.3 Exemplo. Os Projectivos . . . 32

1.4.4 Exemplo. As Grassmannianas . . . 34

1.5 Algumas propriedades topol´ogicas das variedades . . . 37

1.6 O Espa¸co Tangente . . . 38

1.6.1 Defini¸c˜ao . . . 38

1.7 Diferenciais e aplica¸c˜oes tangentes . . . 50

1.7.1 Diferenciais . . . 50

1.7.3 Mais exemplos. Envolventes, superf´ıcies regradas e desenvolv´ıveis . . . 55

1.7.4 Apˆendice: Geometria (local) Euclideana de curvas orientadas em IR3 . . . 60

1.8 M´etricas Riemannianas. Comprimento de arco. Isometrias. . . 63 2

(4)

3 1.8.1 M´etricas Riemannianas . . . 63 1.8.2 Exemplos . . . 64 1.8.3 Comprimento de Arco . . . 65 1.8.4 Isometrias . . . 66 1.8.5 Exemplos e Exerc´ıcios . . . 67 1.9 Campos de Vectores . . . 73

1.9.1 Defini¸c˜ao. Parˆentisis de Lie . . . 73

1.10 Pontos Cr´ıticos. Fun¸c˜oes de Morse. Lema de Morse . . . 75

1.11 Campos de Vectores e Fluxos . . . 78

1.12 Distribui¸c˜oes. Teorema de Frobenius . . . 83

1.13 Variedades orientáveis . . . 86 1.13.1 Orienta¸cão . . . 86 1.13.2 Exemplos e Exerc´ıcios . . . 88 2 Formas diferenciais 92 2.1 Formas exteriores . . . 92 2.1.1 Defini¸cão e exemplos . . . 92

2.1.2 A ´algebra exterior A(V ). Produto exterior. . . . 95

2.1.3 Pull-back de formas . . . 96

2.2 Formas Diferenciais . . . 97

2.2.1 Defini¸c˜ao e exemplos . . . 97

2.2.2 Pull-back e derivada exterior de formas diferenciais . . . 99

2.2.3 Exerc´ıcios . . . 104

2.3 C´alculo de Cartan . . . 105

2.4 Sistemas diferenciais exteriores. Teorema de Frobenius . . . 114

2.4.1 Ideais diferencais. Teorema de Frobenius . . . 114

2.4.2 A T´ecnica do Gr´afico de E. Cartan . . . 116

2.5 Integra¸c˜ao das Formas. F´ormula de Stokes . . . 117

2.5.1 Preliminares geom´etricos . . . 118

2.5.2 Integra¸c˜ao de k-formas em Rk _{. . . 121}

2.5.3 Integra¸c˜ao de formas diferenciais em cadeias . . . 123

2.5.4 Integra¸c˜ao em variedades . . . 125

2.5.5 Variedades com bordo . . . 127

2.5.6 Apêndice: integra¸cão de formas em variedades (uso das parti¸cões da unidade) . . . 135

2.6 Lema de Poincar´e . . . 138

3 Teoria do Grau 141 3.1 Transversalidade . . . 141

3.2 Estabilidade . . . 143

(5)

3.4 Grau como um integral . . . 149

3.5 O grau de um campo de vectores numa hipersuperf´ıcie fechada de IRn+1 _{. . . 152}

3.6 Curvatura de Gauss de uma hipersuperf´ıcie fechada em IRn+1 . . . 153

3.7 ´Indice de um ponto singular de um campo de vectores . . . 155

3.8 Índice orientado de interseçcão . . . 157

3.9 O ´Indice total de um campo de vectores . . . 158

3.10 A f´ormula de Gauss-Bonnet . . . 159

3.11 O coeficiente de enlace . . . 160

4 Geometria Riemanniana das Superf´ıcies. M´etodo de Cartan 162 4.1 Paralelismo. Deriva¸c˜ao covariante . . . 162

4.2 Conex˜ao de Levi-Civita . . . 167

4.2.1 Exemplos e exerc´ıcios . . . 168

4.3 Transporte paralelo. Holonomia . . . 170

4.4 Geod´esicas . . . 172

4.5 Curvatura de Gauss. Teorema Egregium . . . 177

4.6 Curvatura geod´esica. F´ormula de Gauss-Bonnet. . . 185

4.7 Teorema de Gauss-Bonnet . . . 188

4.8 Teorema do ´Indice de Hopf . . . 191

4.9 Teorema de Morse . . . 195

4.10 Apêndice: interpreta¸cão cinemática da conexão de Levi-Cività . . . 197

4.10.1 O grupo SE(3). Referenciais m´oveis ortonormados . . . 197

4.10.2 Cinem´atica dos espa¸cos m´oveis . . . 197

4.10.3 Rolamento de uma superf´ıcie m´ovel sobre uma superf´ıcie fixa . . . 199

4.10.4 Rolamento de uma esfera sobre um plano . . . 199

4.10.5 Rolamento de uma superf´ıcie sobre um plano . . . 201

4.11 Apêndice: Conven¸cões de álgebra linear . . . 202

Bibliografia

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(6)

5

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• [Spv] ... Spivak M. Calculus on Manifolds . W.A. Benjamin, Inc.(1965).

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• [Spv3] ... Spivak M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry , vol.3. Publish or Perish, Inc. Berkeley (1979).

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(7)

Variedades em R

n

1.1 Revis˜

ao e Complementos de C´

alculo Diferencial

1.1.1 Derivadas direccionais e derivadas parciais

Comecemos com um exemplo para motivar as defini¸cões que daremos em breve. Consideremos uma fun¸cão f : IR2_{→ IR. Como sabemos, o respectivo gráfico gr f é o subconjunto de IR}3_:

S ≡ gr f = {(x, y, z) ∈ IR3_{: z = f (x, y)}}

que representa uma superf´ıcie em IR3, situada sobre o plano (x, y) (ver a figura 1.1).

Figure 1.1: A superf´ıcie S ≡ gr f = {(x, y, z) ∈ R3_{: z = f (x, y)}}

.

Consideremos um vector n˜ao nulo v 6= 0 no plano IR2, das coordenadas (x, y), e um ponto qualquer p tamb´em nesse plano (e no dom´ınio de f ).

A recta que passa em p e ´e paralela a v, consiste dos pontos de IR2, da forma: {p + tv : t ∈ IR}

e a interseçcão do plano vertical (paralelo ao eixo dos zz), que contém esta recta, com S = gr f , é uma curva análoga ao gráfico da fun¸cão φ, real de variável real, definida por (ver a figura 1.1):

φ(t) ≡ f (p + tv) t ∈ IR (1.1.1)

Esta curva está contida na superf´ıcie S ≡ gr f . Por isso uma medida da suavidade dessa superf´ıcie , no ponto (p, f (p)), e na direçcão do vector v, é dada pela existência da derivada φ0_{(0). Se esta derivada} existe, ela representa a varia¸cão instantânea da restri¸cão da fun¸cão f , à recta acima descrita. Isto motiva a seguinte defini¸cão:

(8)

1.1. Revis˜ao e Complementos de C´alculo Diferencial 7

I Defini¸c˜ao 1.1 ... Seja f : U ⊆ IRn um campo escalar definido num subconjunto U de IRn, p um ponto interior de U, e v 6= 0 um vector de IRn.

Define-se a derivada direccional de f , em p, na direçcão de v, notada por Dvf (p), através de:

Dvf (p) = limt→0 f (p+tv)−f (p)_t (1.1.2)

Portanto Dvf (p) = φ0(0), onde φ ´e definida por (1.1.1).

De especial interesse é o caso em que v = ei, onde ei, i = 1, ..., n, é a base canónica de IRn. Neste caso, Deif (p) diz-se a i-derivada parcial de f em p, e nota-se por ∂if (p), ou por

∂f ∂xi(p): ∂f ∂xi(p) = ∂if (p) = Deif (p) Se x = (x1_{, x}2_{, ..., x}n_{), ent˜ao:} ∂f ∂xi(x) = ∂if (x) = _t→0lim f (x + tei) − f (x) t = lim t→0 f (x1_{, ..., x}i_{+ t, ..., x}n_{) − f (x}1_{, x}2_{, ..., x}n₎ t (1.1.3) o que significa que para calcular ∂f

∂xi(x), devemos derivar a fun¸c˜ao f , considerando-a apenas como fun¸c˜ao

de uma ´unica vari´avel real xi_{, mantendo as outras vari´aveis fixas.}

A no¸cão de derivada direccional é manifestamente insuficiente. De facto, pode acontecer que uma fun¸cão admita num ponto, uma derivada direccional na direçcão de um qualquer vector, sem que por isso seja necessàriamente cont´ınua nesse ponto.

I Exemplo 1.1 ... Consideremos o campo escalar definido por:

f (x, y) =

(

0 se (x, y) = (0, 0)

xy2

x2+y4 se (x, y) 6= (0, 0)

Seja v = (a, b) um qualquer vector de IR2_{. Temos ent˜ao que, para t 6= 0:}

f (0 + tv) − f (0) t = f ((0, 0) + t(a, b)) − f ((0, 0)) t = f (ta, tb) t = ab2 a2_{+ t}2_b4 e portanto: Dvf (0) = D(a,b)f ((0, 0)) = ½ 0 se a = 0 b2 a se a 6= 0

Isto ´e, Dvf (0) existe para todo o v ∈ IR2. Por outro lado, f toma o valor constante e igual a 1/2, quando

restrita à parábola x = y2 _{(excepto na origem), e por isso não é cont´ınua em 0, já que f (0) = 0.}

¥

Se não se impõe qualquer hipótese de continuidade sobre as derivadas direccionais pode acontecer que não haja qualquer liga¸cão entre as derivadas direccionais num certo ponto, segundo os diversos vectores. Note que no exemplo anterior a aplica¸cão v → Dvf (p) não é cont´ınua.

Notemos que se Dvf (p) existe, tamb´em existe Dλvf (p), ∀λ ∈ IR, e:

(9)

No entanto, não é verdade que, para p fixo, a aplica¸cão: v ∈ IRn_{7→ D}

vf (p)

seja linear, como mostra o exemplo anterior, com p = 0.

O defeito da derivada direccional Dvf (p), reside no facto de apenas considerar o comportamento

de f , ao longo das rectas que passam em p, enquanto que uma boa no¸c˜ao de derivada, deve reflectir o comportamento global de f , em toda uma vizinhan¸ca de p.

Por todos estes motivos, somos conduzidos `a no¸c˜ao de diferencial, que a seguir trataremos.

1.1.2 Diferencial. Gradiente

Consideremos de novo, uma fun¸cão f : IR2_{→ IR. Como já vimos, o respectivo gráfico gr f é o subconjunto}

de IR3:

S ≡ gr f = {(x, y, z) ∈ IR3: z = f (x, y)}

que representa uma superf´ıcie em IR3, situada sobre o plano (x, y) (ver a figura 1.2).

Figure 1.2: A superf´ıcie S ≡ gr f , e o plano tangente

Uma medida da suavidade desta superf´ıcie , sobre uma vizinhan¸ca de um ponto p ∈ IR2, é dada pela existência de um plano tangente, que passe no ponto (p, f (p)) ∈ S, e que seja uma aproxima¸cão óptima de S, numa vizinhan¸ca de p.

Um tal plano, se existir, pode ser representado como o gráfico de uma forma afim T : IR2→ IR, tal que T (p) = f (p). Se x ∈ IR2, está próximo de p, então a diferen¸ca:

f (x) − T (x)

representa o desvio entre o valor exacto f (x), avaliado em S = gr f , e o valor aproximado T (x), avaliado no plano gr T .

Quando este desvio converge mais ràpidamente para 0 do que h = kx − pk, diz-se que f é diferenciável em p. Mais formalmente:

I Defini¸c˜ao 1.2 ... Seja f : U → IR um campo escalar, definido num subconjunto aberto U ⊆ IRn. Fixemos um qualquer ponto p ∈ U.

Diz-se que f ´e diferenci´avel (ou deriv´avel) em p, se existe uma fun¸c˜ao afim Tp: IRn→ IR (que

depende de f e de p), tal que:

Tp(p) = f (p) (1.1.4)

e que satisfaz a condi¸c˜ao:

lim kx−pk→0

|f (x) − Tp(x)|

(10)

Neste caso, a fun¸cão afim Tpdiz-se a aproxima¸cão afim ´optima de f em p, e o seu gráfico gr Tp,

diz-se o hiperplano tangente a S = gr f , no ponto (p, f (p)).

A parte linear de Tp, diz-se a diferencial de f em p, e nota-se por dfp. Portanto a diferencial dfp,

´e uma forma linear:

dfp: h ∈ IRn7→ dfp(h) ∈ IR

f diz-se diferenciável em U, se o é em todo o ponto p ∈ U, e neste caso diz-se que S = gr f é uma hipersuperf´ıcie (ou uma variedade diferenciável de dimensão n) em IRn+1_{, de equa¸cão z =} f (x), x ∈ U.

´

E fácil ver que se existe uma fun¸cão afim Tp, que satisfaz (1.1.5), então ela é única, e portanto a

diferencial dfp, est´a univocamente determinada.

Como dfp´e a parte linear de Tp, Tp´e da forma:

Tp(x) = dfp(x) + c

Pondo x = p + h, com h = khk = kx − pk, e atendendo a que Tp(p) = f (p), podemos escrever que:

Tp(p + h) = dfp(h) + f (p) (1.1.6)

e o limite (1.1.5), pode ent˜ao ser escrito na forma: lim h=khk→0 |f (p + h) − f (p) − dfp(h)| khk = 0 (1.1.7) ou ainda na forma: f (p + h) = f (p) + dfp(h) + o(khk) (1.1.8)

onde limkhk→0o(khk)_khk = 0. Esta última fórmula diz-se a fórmula de Taylor de primeira ordem para f , em p.

Podemos portanto dar a seguinte defini¸c˜ao alternativa de diferenciabilidade de um campo escalar: I Defini¸c˜ao 1.3 ... Seja f : U → IR um campo escalar, definido num subconjunto aberto U ⊆ IRn. Fixemos um qualquer ponto p ∈ U.

Diz-se que f ´e diferenci´avel (ou deriv´avel) em p, se existe uma aplica¸c˜ao linear: dfp: IRn→ IR

(que depende de f e de p), tal que:

limkhk→0|f (p+h)−f (p)−df_khk p(h)| = 0 (1.1.9)

Esta aplica¸cão linear dfp: IRn→ IR (que é única), diz-se a diferencial de f em p.

f diz-se diferenciável em U, se o é em todo o ponto p ∈ U, e neste caso diz-se que S = gr f é uma variedade diferenci´avel de dimensão n, em IRn+1, de equa¸cão z = f (x), x ∈ U.

I Exemplo 1.2 ... Se f = L : IRn _{→ IR é uma aplica¸cão linear, então L é diferenciável em todo o ponto}

p ∈ IRn_e:

dLp= L ∀p ∈ IRn (1.1.10)

Com efeito, o numerador em (1.1.7) ´e neste caso igual a (pondo dfp= dLp= L):

|f (p + h) − f (p) − dfp(h)| = |L(p + h) − L(p) − L(h)| = 0

uma vez que estamos a supˆor que L ´e linear (e portanto, L(p + h) = L(p) + L(h)).

(11)

I Exemplo 1.3 ... Seja f (x) = S(x) · x, x ∈ IRn _{uma forma quadr´atica, onde S : IR}n _{→ IR}n _{´e uma}

aplica¸c˜ao linear sim´etrica.

Então f é diferenciável em todo o ponto x ∈ IRn_{, e a diferencial df}

x, ´e dada por:

dfx(h) = S(x) · h + S(h) · x (1.1.11)

Com efeito, substituindo (1.1.11) no numerador de (1.1.7), obtemos (com p = x):

|f (x + h) − f (x) − dfx(h)| = |S(x + h) · (x + h) − S(x) · x − Sx · h − Sh · x|

= |S(x) · x + S(x) · h + S(h) · x + S(h) · h −

S(x) · x − (h) − S(x) · h − S(h) · x| = |S(h) · h|

Resta agora provar que:

lim

h→0

|S(h) · h|

khk = 0

Diagonalizando f numa base ortonormal de IRn_{, obtemos:}

f (h) = λ1(h1)2+ λ2(h2)2+ · · · + λn(hn)2

onde h1_{, ..., h}n_{s˜ao as coordenadas de h na base referida. Daqui se deduz que:}

|f (h)| = |S(h) · h| = |λ1(h1)2+ λ2(h2)2+ · · · + λn(hn)2| ≤ ( max 1≤i≤n|λi|)((h 1 )2+ · · · + (hn)2) = M khk2

onde M = max1≤i≤n|λi|. Portanto (se h 6= 0):

|S(h) · h|

khk ≤

M khk2

khk = M khk

o que prova o que se pretendia.

¥

1.1.3 Diferencial. Matriz Jacobiana

A defini¸cão 1.3 pode ser generalizada para fun¸cões vectoriais de várias variáveis. Assim temos a seguinte: I Defini¸c˜ao 1.4 ... Seja F : U ⊆ IRn→ IRmuma aplica¸cão definida num aberto U ⊆ IRn. Fixemos um qualquer ponto p ∈ U .

Diz-se que F é diferenciável em p, se existe uma aplica¸cão linear: dFp: IRn→ IRm

(que depende de F e de p), tal que:

limkhk→0 kF (p+h)−F (p)−dFkhk p(h)k = 0 (1.1.12)

Esta aplica¸cão linear dFp: IRn_{→ IR}m _{(que é única), diz-se a diferencial de F em p.} F diz-se diferenciável em U , se o é em todo o ponto p ∈ U .

(12)

A f´ormula (1.1.12), pode ainda ser escrita na forma:

F (p + h) = F (p) + dFp(h) + o(khk) onde limkhk→0o(khk)khk = 0 (1.1.13) Esta ´ultima f´ormula diz-se a f´ormula de Taylor de primeira ordem para F , em p. Da mesma forma, podemos generalizar o conceito de derivada direccional:

I Defini¸c˜ao 1.5 ... Seja F : U ⊆ IRn→ IRm uma aplica¸c˜ao definida num subconjunto U de IRn, p um ponto interior de U , e v 6= 0 um vector de IRn.

Define-se a derivada direccional de F em p, na direçcão de v, notada por DvF (p), através de:

DvF (p) = limt→0F (p+tv)−F (p)_t ∈ IRm (1.1.14)

De especial interesse é o caso em que v = ei, onde {ei}i=1,...,n, é a base canónica de IRn. Neste caso, DeiF (p) diz-se a i-derivada parcial de F em p, e nota-se por ∂iF (p), ou por

∂F ∂xi(p): ∂F ∂xi(p) = ∂iF (p) = DeiF (p) ∈ IR m ´

E fácil ver que se F é diferenciável em p, com diferencial dFp∈ L(IRn, IRm), então a derivada direccional DvF (p) existe, para todo o vector v ∈ IRn, e:

DvF (p) = dFp(v) ∈ IRm, ∀v ∈ IRn

No entanto o rec´ıproco ´e falso - podem existir todas as derivadas direccionais DvF (p), ∀v ∈ IRn, mas F

pode n˜ao ser diferenci´avel em p.

Suponhamos agora que v =Pn_j=1vj_e

j∈ IRn, e que F = (F1, · · · , Fm). Obtemos ent˜ao que:

dFp(v) = m X i=1 dFi p(v) ei = m X i=1 ³ dFi p ¡Xn j=1 vj_e j ¢´ ei = m X i=1 ³_Xn j=1 vj_dFi p(ej) ´ ei = m X i=1 ³_Xn j=1 vj∂F i ∂xj(p) ´ ei (1.1.15) Em particular, se v = ej ∈ IRn, obtemos: dFp(ej) = m X i=1 ∂Fi ∂xj(p) ei (1.1.16)

o que significa que a matriz da aplica¸cão linear dFp∈ L(IRn, IRm), relativamente às bases canónicas de IRn e IRm, é a matriz (m × n): Jac F (p) = · ∂Fi ∂xj(p) ¸ =          ∂F1 ∂x1(p) ∂F 1 ∂x2(p) . . . ∂F 1 ∂xn(p) ∂F2 ∂x1(p) ∂F 2 ∂x2(p) . . . ∂F 2 ∂xn(p) .. . ... . . . ... .. . ... . . . ... ∂Fm ∂x1(p) ∂F m ∂x2 (p) . . . ∂F m ∂xn(p)          (1.1.17)

(13)

Esta matriz diz-se a matriz Jacobiana de F em p. Note que as colunas desta matriz s˜ao as componentes das derivadas parciais ∂F

∂xj(p) (j = 1, · · · , n), na base can´onica de IRm.

Uma aplica¸cão F : U ⊂ IRn→ IRm(campo vectorial), definida no aberto U ⊆ IRn, diz-se de classe Ck em U (k = 0, 1, 2, ..., ∞), se todas as derivadas parciais até à ordem k (inclusivé), das fun¸cões componentes de F , existem e são cont´ınuas em U .

Se F : U ⊂ IRn _{→ IR}m_{, é de classe C}1 _{em U , então F é diferenciável em todo o ponto de U . No}

entanto o rec´ıproco ´e falso.

I Proposi¸cão 1.1 Regra da Cadeia ... Seja G : U ⊆ IRn→ IRm, uma aplica¸cão definida num aberto U ⊆ IRn, e F : V ⊆ IRm → IRk uma outra aplica¸cão, definida num aberto V ⊆ IRm, tal que G(U ) ⊂ V .

Se G é diferenciável em p ∈ U , e se F é diferenciável em G(p) ∈ V , então F ◦ G : U → IRk é diferenciável em p, e:

d(F ◦ G)p= dFG(p)◦ dGp ∈ L(IRn, IRk) (1.1.18)

Neste caso, a matriz Jacobiana de F ◦ G, em p, ´e igual ao produto das matrizes Jacobianas:

Jac (F ◦ G)(p) = Jac F (G(p)) · Jac G(p) (1.1.19)

A regra da cadeia (1.1.18), pode ser aplicada para calcular a diferencial de uma aplica¸cão diferenciável, da seguinte forma. Se F : V ⊆ IRm_{→ IR}k _{é uma aplica¸cão diferenciável, definida num aberto V ⊆ IR}m_, para calcular a diferencial dFp: IRm→ IRkde F num ponto p ∈ V , consideramos uma curva diferenciável α : I → V , definida num intervalo aberto I ⊆ IR que contem 0, e tal que α(0) = p e ainda α0_{(0) = v ∈ IR}m (por exemplo α(t) = p + tv, t ∈ I). Pela regra da cadeia F ◦ α : I → IRk é diferenciável e:

dFp(v) = (F ◦ α)0_{(0) =} d dt ¯ ¯ t=0(F ◦ α)(t) ∈ IR k _(1.1.20)

expressão que é bastante ´util para o cálculo de dFp e que será utilizada várias vezes no nosso curso.

I Exemplo 1.4 ... Seja f (x) = Sx · x uma forma quadr´atica. Para calcular dfx, podemos utilizar (1.1.20)

(supondo já sabido que f é de facto diferenciável). Assim, consideremos uma curva α : I → IRn_{, derivável tal que} α(0) = x e α0_{(0) = v. Então, por (1.1.20), temos que:}

dfx(v) = (f ◦ α)0(0)

= d

dt |t=0Sα(t) · α(t)

= Sα0(0) · α(0) + Sα(0) · α0(0) = Sx · v + Sv · x

= Sx · v + v · Sx já que S é simétrica

= 2 Sx · v (1.1.21)

Em particular, deduzimos que ∇f (x) = 2 Sx.

¥

I Exemplo 1.5 ... Seja f (x) = [x, a, b] = x · a × b um campo escalar definido em IR3 _{(onde a, b s˜ao}

vectores fixos em IR3_).

Uma vez mais (supondo já sabido que f é de facto diferenciável), consideremos uma curva α : I → IRn_, derivável tal que α(0) = x e α0_{(0) = v. Então, por (1.1.20), temos que:}

dfx(v) = (f ◦ α)0(0)

= d

dt |t=0α(t) · a × b

= v · a × b = [v, a, b]

(14)

Em particular, deduzimos que ∇f (p) ≡ a × b.

¥

I Exemplo 1.6 ... Seja f (x) = kxk2−n_{, x ∈ IR}n_{− {Ø}, onde n ≥ 3.}

Então, f é diferenciável em IRn_{− {Ø}, e se α : I → IR}n_{− {Ø} é uma curva , derivável tal que α(0) = x e} α0_{(0) = v, temos que:} dfx(v) = (f ◦ α)0(0) = d dt |t=0kα(t)k 2−n = d dt |t=0[α(t) · α(t)] 2−n 2 = 2 − n 2 [α(0) · α(0)] −n 2 _{2(α(0) · α}0₍₀₎₎ = (2 − n)kxk−nx · v

Em particular vemos que ∇f (x) = (2 − n)kxk−n_x.

¥

1.1.4 Teorema da Invers˜

ao Local

Comecemos por recordar o que acontece para fun¸cões reais de variável real. Assim, suponhamos que f : U ⊆ IR → IR é uma fun¸cão de classe C1_{, no aberto U ⊆ IR, e seja p ∈ U um ponto onde f}0_{(p) 6= 0. Se} por exemplo f0_{(p) > 0, então f}0_{(x) > 0, ∀x em algum intervalo aberto I ⊆ U , que contem p. Portanto} f é estritamente crescente em I, e existe uma inversa local g, definida em algum intervalo aberto J, que contem f (p), isto é g : J → I é uma fun¸cão tal que:

g(f (x)) = x, ∀x ∈ I e f (g(y)) = y, ∀y ∈ J Al´em disso, g ´e de classe C1 _{em J e:}

g0_{(y) =} 1

f0_(g(y)) ∀y ∈ J

Uma situa¸cão análoga ocorre para fun¸cões de várias variáveis, embora a demonstra¸cão seja bastante mais elaborada. Mais precisamente é válido o seguinte teorema:

I Proposi¸cão 1.2 Teorema da Invers˜ao Local ... Suponhamos que F : U ⊆ IRn→ IRné uma aplica¸cão de classe Ck _{(k ≥ 1), no aberto U ⊆ IR}n_{, e seja p ∈ U um ponto onde:}

det Jac F (p) 6= 0 (1.1.22)

isto é, onde a diferencial dFp : IRn→ IRn é uma aplica¸cão linear invers´ıvel (ou um isomorfismo linear). Então F é localmente invers´ıvel em p, isto é, existe um aberto V ⊆ U , que contem p, um aberto W que contem F (p), e uma aplica¸cão G : W → V , de classe Ck_{, tal que:}

G(F (x)) = x, ∀x ∈ V e F (G(y)) = y, ∀y ∈ W

Al´em disso:

dGy= [dF (G(y))]−1 ∀y ∈ W (1.1.23)

ou em termos das matrizes Jacobianas:

(15)

1.1.5 Imers˜

oes e Submers˜

oes. Exemplos

No nosso curso vamos essencialmente restringir a nossa aten¸c˜ao a aplica¸c˜oes de classe C∞_{, pelo que de} aqui em diante:

Diferenciabilidade refere-se sempre `a classe C∞

Vamos para já introduzir algumas defini¸cões básicas.

I Defini¸c˜ao 1.6 ... Seja F : U ⊆ IRn_{→ IR}m _{uma aplica¸cão diferenciável C}∞_{, definida num aberto} U ⊆ IRn_{, e para cada p ∈ U seja dFp}_{: IR}n_{→ IR}m _{a respectiva diferencial em p. Então:}

• F diz-se uma imersão em p , se dFp é injectiva. F diz-se uma imersão se dFp é injectiva ∀p ∈ U . Note que neste caso deveremos ter n ≤ m.

• F diz-se uma submersão em p , se dFp é sobrejectiva. F diz-se uma submersão se dFp é sobrejectiva ∀p ∈ U . Note que neste caso deveremos ter n ≥ m.

• F diz-se um mergulho se F é uma imersão injectiva que é também um homeomorfismo sobre a imagem F (U ) ⊂ IRm, quando nesta se considera a topologia induzida pela topologia de IRm.

• Um ponto p ∈ N diz-se um ponto cr´ıtico de F se dFp tem caracter´ıstica < m. Um valor cr´ıtico de F ´e imagem de um ponto cr´ıtico de F .

• Um ponto y ∈ IRmdiz-se um valor regular de F se y 6∈ F (U ) ou se y ∈ F (U ) e a diferencial dFx ´e sobrejectiva em todos os pontos x ∈ F−1_({y}).

I Exemplo 1.7 ... Uma curva diferenci´avel α : I ⊆ IR → IRm_{, definida num aberto I ⊆ IR ser´}_{a uma imers˜ao} quando o seu vector velocidade α0_{(t) 6= 0, ∀t ∈ I. Isto significa que a imagem admite em cada ponto α(t) uma} recta tangente α : λ ∈ IR 7→ α(t) + λα0_(t).

I Exemplo 1.8 ... α(t) = (cos 2πt, sin 2πt, t) ∈ IR3_{, com t ∈ IR. A imagem ´e uma h´elice sobre um cilindro}

de eixo zz (ver a figura 1.3a).

I Exemplo 1.9 ... α(t) = (1

tcos 2πt,

1

tsin 2πt), t ∈]1, +∞[. A imagem ´e uma espiral que converge para

(0, 0) quando t → +∞, e para (1, 0) quando t → 1−_{(ver a figura 1.3b).}

I Exemplo 1.10 ... α(t) = (t+1

2t cos 2πt,

t+1

2t sin 2πt), t ∈]1, +∞[. A imagem ´e uma espiral que se acumula

sobre a circunferˆencia de centro (0, 0) e raio 1/2, quando t → +∞, e que converge para (1, 0) quando t → 1−_(ver a figura 1.3c). I Exemplo 1.11 ... α(t) =¡2 cos(t −π 2), sin 2(t − π 2) ¢

, t ∈ IR. A imagem ´e a figura oito , percorrida no sentido indicado. O ponto m´ovel α(t) percorre um circuito completo, come¸cando na origem, quando t varia de 0 a 2π (ver a figura 1.4a).

I Exemplo 1.12 ... β : IR → IR2_{tem imagem igual `a do exemplo anterior, mas com uma diferen¸ca essencial:}

passamos uma única vez em (0, 0), quando t = 0 e para t → ±∞, β(t) converge para (0, 0) da maneira indicada na figura 1.4b. A imersão correspondente é obtida reparametrizando a do exemplo anterior. Para isso consideramos uma fun¸cão g(t) estritamente crescente com g(0) = π, limt→−∞g(t) = 0 e limt→+∞g(t) = 2π. Por exemplo g(t) = π + arctan t, e pômos β = α ◦ g: β(t) =¡2 cos(g(t) −π 2), sin 2(g(t) − π 2) ¢ , t ∈ IR

(16)

1.1. Revis˜ao e Complementos de C´alculo Diferencial 15 (a) (b) (c) Figure 1.3: Exemplos 2, 3 e 4 I Exemplo 1.13 ... α(t) = ½ (1 t, sin πt) 1 ≤ t < ∞ (0, t + 2) −∞ < t ≤ −1

A imagem de α ´e uma curva com uma lacuna como na figura 1.4c. Para −1 ≤ t ≤ 1 ligamos os dois bocados por uma curva a tracejado de forma a obter uma curva diferenci´avel como na figura 1.4c.

(a) (b) (c)

Figure 1.4: Exemplos 5,6 e 7

¤

Os exemplos anteriores mostram que uma imersão não é necessàriamente injectiva, embora seja lo-calmente injectiva como veremos. Por outro lado, mesmo que uma imersão seja injectiva ela não é necessàriamente um homeomorfismo sobre a imagem, quando nesta se considera a topologia induzida. Os exemplos 5 e 6 assim o demonstram. No exemplo 6 a imagem α(IR) ⊂ IR2_{como subespa¸co de IR}2_{não é}

localmente conexo em todo o ponto: por exemplo o ponto (0, 1/2) não contem vizinhan¸cas conexas por mais pequenas que sejam. Por isso α não é um homeomorfismo de IR sobre a sua imagem α(IR) ⊂ IR2_,

isto é α não é um mergulho.

Se U e V , são abertos em IRn, uma aplica¸cão ϕ : U → V diz-se um difeomorfismo de classe C∞_{, se} ϕ é uma aplica¸cão de classe C∞_{, que admite uma inversa ϕ}−1 _{: V → U , também de classe C}∞_.

O nosso objectivo agora é analisar a forma local das imersões e submersões.

I Teorema 1.1 Forma local das imers˜oes ... Seja F : O ⊆ IRn _{→ IR}m _{(n ≤ m), uma}

aplica¸cão diferenciável C∞_{, definida num aberto O ⊆ IR}n_{, e suponhamos que dFp} _{é injectiva em p (e} portanto injectiva numa certa vizinhan¸ca de p, isto é, F é uma imersão numa certa vizinhan¸ca de p).

(17)

Ent˜ao existem difeomorfismos locais ϕ : U → ϕ(U ) ⊆ IRn, e ψ : V → ψ(V ) ⊆ IRm, com p ∈ U ⊆ O, F (p) ∈ V , tais que o diagrama seguinte ´e comutativo:

U ⊂ O −→F V ⊂ IRm

ϕ↓ ↓ψ

ϕ(U ) ⊆ IRn −→ ψ(V ) ⊆ IRι m onde ι : IRn,→ IRm ´e a inclus˜ao natural (ver a figura 1.5):

ι : (x1_{, · · · , x}n | {z } x ) 7→ (x1_{, · · · , x}n | {z } x , 0, · · · , 0 | {z } 0 )

Figure 1.5: Forma local das imers˜oes

• Dem.: Podemos sempre supôr (se necessário compondo com translaçcões apropriadas) que p = 0 ∈ IRn

e F (p) = 0 ∈ IRm_{. Podemos ainda supôr (mudando coordenadas se necessário em IR}m_{) que a imagem} dF0(IRn) ⊂ IRmé o primeiro factor em IRn×IRm−n∼= IRm. Portanto, durante a prova IRmserá considerado

como IRm_{= IR}n_{× IR}m−n_{e a inclus˜ao ι ser´a ι(x) = (x, 0), com x ∈ IR}n_.

Consideremos agora a aplica¸c˜ao, definida numa certa vizinhan¸ca de (0, 0) ∈ IRn_{× IR}m−n_{, atrav´es de:}

G(x, y) def= F (x) + (0, y) (x, y) ∈ IRn_{× IR}m−n

Então G(x, 0) = F (x). Por outro lado, usando (1.1.20) é fácil provar que dG0 : IRm→ IRmé a identidade,

o que implica pelo teorema da inversão local, que G é um difeomorfismo local numa certa vizinhan¸ca de 0 ∈ IRm_{. Seja ψ = G}−1_{, o difeomorfismo inverso. Então, numa certa vizinhan¸ca de 0 ∈ IR}m_{temos que:}

ψF (x) = ψG(x, 0) = (x, 0)

.

O corolário seguinte, cuja demonstra¸cão decorre da demonstra¸cão do teorema anterior, mostra que uma imersão é sempre localmente um mergulho sobre a sua imagem:

(18)

I Corol´ario 1.1 ... Seja F : O ⊆ IRn → IRm (n ≤ m), uma aplica¸cão diferenciável C∞_{, definida} num aberto O ⊆ IRn, e suponhamos que dFp é injectiva em p.

Então existe uma vizinhan¸ca U de p em IRn, tal que F : U → F (U ) é um homeomorfismo e o inverso F−1_{: F (U ) → U é a restri¸cão de uma aplica¸cão C}∞_{, Ψ : W ⊂ IR}m_{→ U , onde W é uma vizinhan¸ca de} F (p) em IRm.

I Teorema 1.2 Forma local das submers˜oes ... Seja F : O ⊆ IRn _{→ IR}m _{(n ≥ m), uma}

aplica¸cão diferenciável C∞_{, definida num aberto O ⊆ IR}n_{, e suponhamos que dFp} _{: IR}n _{−→ IR}n _é sobrejectiva em p (e portanto sobrejectiva numa certa vizinhan¸ca de p, isto é, F é uma submersão numa certa vizinhan¸ca de p).

Ent˜ao existem difeomorfismos locais ϕ : U → ϕ(U ) ⊆ IRn, e ψ : V → ψ(V ) ⊆ IRm, com p ∈ U ⊆ O, F (p) ∈ V , tais que o diagrama seguinte ´e comutativo:

U ⊂ O −→F V ⊂ IRm

ϕ↓ ↓ψ

ϕ(U ) ⊆ IRn π

−→ ψ(V ) ⊆ IRm

onde π : IRn → IRmé a projeçcão nas últimas m coordenadas (ver a figura 1.6): π : (x1_{, · · · , x}n−m | {z } x , xn−m+1_{, · · · , x}n | {z } y ) 7→ (xn−m+1_{, · · · , x}n | {z } y )

Figure 1.6: Forma local das submers˜oes

• Dem.: Tal como no teorema anterior, podemos sempre supôr (se necessário compondo com translaçcões

apropriadas) que p = 0 ∈ IRn_{e F (p) = 0 ∈ IR}m_{. Podemos ainda supˆor (mudando coordenadas se necess´ario}

em IRn_{) que o n´}_{ucleo ker dF}

0 ⊂ IRn ´e o primeiro factor em IRn−m× IRm ∼= IRn. Portanto, durante a

prova IRn _{será considerado como IR}n_{= IR}n−m_{× IR}m _{e a projeçcão π será a projeçcão no segundo factor} π(x, y) = y.

(19)

Consideremos agora a aplica¸cão de rectifica¸cão (ver a figura 1.6), definida numa certa vizinhan¸ca de (0, 0) ∈ IRn−m_{× IR}m_{e com valores em IR}n_{, através de:}

ϕ(x, y) def= (x, F (x, y)) (x, y) ∈ IRn−m_{× IR}m

Então ϕ(0, 0) = 0 e dϕ0: IRn→ IRné sobrejectiva e portanto é um isomorfismo. Pelo teorema da inversão

local, ϕ ´e um difeomorfismo local numa certa vizinhan¸ca de 0 ∈ IRn_{. Seja ϕ}−1_{, o difeomorfismo inverso.}

Como ϕ fixa a primeira coordenada x, a sua inversa tem a mesma propriedade: ϕ−1_{(x, y) = (x, K(x, y)), e}

portanto, numa certa vizinhan¸ca de 0 ∈ IRn_{temos que:}

(x, y) = (ϕ ◦ ϕ−1)(x, y) = ϕ¡x, K(x, y)¢

= ¡x, F (x, K(x, y))¢

= ¡x, (F ◦ ϕ−1_{)(x, y)}¢ _{=⇒ (F ◦ ϕ}−1_{)(x, y) = y}

.

I Corol´ario 1.2 ... Toda a submersão é uma aplica¸cão aberta.

Geomètricamente, o que o teorema anterior afirma é que, perto de um ponto p onde a diferencial dFp é uma aplica¸cão linear sobrejectiva, e a menos de uma mudan¸ca de coordenadas (o que por defini¸cão, é um difeomorfismo ϕ : U → ϕ(U )), a fun¸cão F pode ser rectificada , isto é, os conjuntos de n´ıvel de F são, perto de p, planos de dimensão k = n − m (ver a figura 1.6). De facto, note que a aplica¸cão de rectifica¸cão ϕ transforma cada conjunto de n´ıvel F−1_{(c), c ∈ IR}m _{no conjunto horizontal {(x, c) : x ∈ IR}n−m_{} (que é} um conjunto de n´ıvel da aplica¸cão π = F ◦ ϕ−1_).

1.2 Variedades em R

n

1.2.1 Defini¸c˜

ao. Exemplos

I Defini¸c˜ao 1.7 ... Um subconjunto M ⊂ IRn diz-se uma variedade de dimens˜ao k em IRn (k inteiro: 0 ≤ k ≤ n), se para cada ponto p ∈ M , existe um aberto O ⊂ IRn, que contem p, um aberto V ⊂ IRn, e um difeomorfismo (de classe C∞_{), ϕ : O → V tal que (ver a figura 1.7):}

ϕ(O ∩ M ) = V ∩ (IRk× {0})

= {x = (x1_{, · · · , x}n_{) ∈ V : x}k+1_{= · · · = x}n _{= 0}} _(1.2.1)

Figure 1.7: Variedades em Rn

Intuitivamente, uma variedade de dimensão k, em IRn_{, é um subconjunto de IR}n_{, que é localmente} como um aberto de IRk_{, deformado de maneira regular .}

(20)

1.2. Variedades em Rn ₁₉

Como casos particulares extremos da defini¸cão anterior, temos: (i)... um conjunto discreto de pontos em IRn, que é uma variedade em IRn, de dimensão 0, e (ii)... um aberto de IRn, que é uma variedade em IRn, de dimensão n.

Exemplos mais interessantes podem ser obtidas aplicando a importante proposi¸c˜ao seguinte:

I Teorema 1.3 ... Seja F : O ⊆ IRn → IRm uma aplica¸cão C∞_{, e c ∈ IR}m _{um valor regular de F} (isto é, a diferencial dFp é sobrejectiva em todos os pontos p ∈ F−1_({c})).

Então M = F−1_{({c}) é uma variedade de codimensão m em IR}n _{(e portanto de dimensão k = n − m} em IRn).

• Dem.: Seja p ∈ M = F−1_{({c}). Ent˜ao dF}

p ´e sobrejectiva, e pela forma local das submers˜oes, existem

difeomorfismos locais ϕ : U → ϕ(U ) ⊆ IRn_{, e ψ : V → ψ(V ) ⊆ IR}m_{em M , com p ∈ U ⊆ O, F (p) = c ∈ V ,}

tais que o diagrama seguinte ´e comutativo:

U ⊂ O −→F V ⊂ IRm

ϕ↓ ↓ψ

ϕ(U ) ⊆ IRn π

−→ ψ(V ) ⊆ IRm

onde π : IRn_{→ IR}m_{é a projeçcão nas ´}_{ultimas m coordenadas:} π : (x1_{, · · · , x}n−m | {z } x , xn−m+1_{, · · · , x}n | {z } y ) 7→ (xn−m+1_{, · · · , x}n | {z } y )

Podemos ainda supˆor que ϕ(p) = 0 ∈ IRn_{e que ψ(c) = 0 ∈ IR}m_{. Portanto:}

π = ψ ◦ F ◦ ϕ−1: (x, y) 7→ y ∈ IRm (x, y) ∈ IRn−m× IRm

Conclu´ımos então que ϕ(U ∩ M ) = ϕ(U ) ∩¡IRn−m_{× {0}}¢_{, o que mostra que M é variedade de dimensão} k = n − m em IRn_.

.

Notemos que se F = (F1_{, · · · , F}m_{), então c é valor regular de F se e só se, em cada ponto p ∈ M ≡} F−1_{(c), os vectores gradiente ∇F}1_(p),...,∇Fm_{(p) são linearmente independentes. Quando m = 1 esta} condi¸cão significa que ∇F (p) 6= 0, ∀p : F (p) = c.

1.2.2 Exemplos e Exerc´ıcios. Alguns Grupos de Lie cl´

assicos

♣ Exerc´ıcio 1.1 Esferas Sn _{... Mostrar que a esfera:}

Sn def= {x ∈ IRn+1: kxk = 1} ⊂ IRn+1

´e uma variedade de codimens˜ao 1 em IRn+1_.

• Resolu¸cão ... De facto, se f : IRn+1 _{→ IR é dada por f (x) = kxk}2_{, então S}n _{= f}−1_{({1}), e 1 é valor}

regular de f . Com efeito, ∀x ∈ IRn+1_{, ∀v ∈ IR}n+1_{, temos que df}

x(v) = 2(x · v) que ´e uma aplica¸c˜ao linear

sobrejectiva sempre que x 6= 0. Note que ∇f (x) = 2x, ∀x ∈ IRn+1_.

♣ Exerc´ıcio 1.2 O grupo ortogonal O(n) ... Uma matriz quadrada (n×n) de entradas reais A ∈ Mn(IR),

diz-se ortogonal se AAt _{= 1}

n (ou de forma equivalente, se At = A−1). O conjunto constitu´ıdo por essas matrizes:

O(n) def= {A ∈ Mn(IR) : AtA = 1} tem estrutura de grupo a que chamamos o grupo ortogonal real em dimens˜ao n.

Mostrar que O(n) ´e uma variedade de dimens˜ao 1

2n(n − 1) em IR

n2

(21)

• Resolu¸cão ... Como At_{A é uma matriz simétrica, e como o conjunto Sn}_{(IR) das matrizes simétricas reais}

(n × n) pode ser identificado com IR12n(n+1), ´e natural considerar a aplica¸c˜ao:

F : Mn(IR) ∼= IRn2 −→ Sn(IR) ∼= IR12n(n+1)

definida por:

F (A) = AtA

A respectiva diferencial num ponto A ∈ Mn(IR) ∼= IRn

2

´e dada por:

dFA(ξ) = d ds ¯ ¯ ¯ ¯ s=0 F (A + sξ) = d ds ¯ ¯ ¯ ¯ s=0 (A + sξ)t_{(A + sξ) = A}t_{ξ + ξ}t_A onde ξ ∈ Mn(IR) ∼= IRn 2

, e ´e sobrejectiva ∀A ∈ F−1₍₁

n) (i.e., 1n ´e valor regular de F ). Com efeito, se C ∈ Sn(IR) ent˜ao pondo ξ =1

2AC, vem que:

dFA(ξ) = dFA(1 2AC) = A t1 2AC + ( 1 2AC) t A = C j´a que At_{A = 1n}_.

Note que se A ∈ O(n) ent˜ao AAt _{= 1 e portanto det (AA}t_{) = 1, isto ´e (det A)}2 _{= 1 ⇒ det A = ±1.}

A componente conexa de O(n) que contem a matriz identidade 1, é um subgrupo de O(n), e é também uma variedade de dimensão 1

2n(n − 1) em IR

n2_{, que se diz o grupo ortogonal especial em dimens˜ao n.}

Nota-se por SO(n):

SO(n) def= {A ∈ M2(IR) : AAt= 1 e det A = 1}

♣ Exerc´ıcio 1.3 O grupo especial complexo SL(2, C) ... Por defini¸cão este grupo é constitu´ıdo pelas matrizes (2 × 2) de entradas complexas cujo determinante é igual a 1:

SL(2, C) def= ½ A = · α β γ δ ¸ : det A = αδ − βγ = 1 ¾ (1.2.2)

Mostrar que SL(2, C) ´e uma variedade de dimens˜ao 8 − 2 = 6 em IR8_.

• Resolu¸c˜ao ... Seja M2(C) o espa¸co vectorial constitu´ıdo por todas as matrizes (2 × 2) de entradas

complexas, que identificamos com IR8_{, e consideremos a aplica¸c˜ao:}

det : M2(C) ∼= IR8−→ C ∼= IR2, A 7→ det A

Temos ent˜ao que:

SL(2, C) = det−1_({1})

Calculemos a diferencial d(det )A. Se ξ ∈ M2(C) ∼= IR8e A ∈ SL(2, C), temos que:

d(det )A(ξ) = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 det (A + tξ) = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 det£(1 + tξA−1_)A¤ = d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 £

det (1 + tξA−1_{).det A}¤

= (det A) d dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 (1 + t tr(ξA−1_{) + o(t}2₎₎ _(1.2.3) = (det A) tr(ξA−1)

= tr(ξA−1) porque det A = 1

onde em (1.2.3), utilizamos o facto de que det (1 + tC) = 1 + t tr(C) + · · · + tn_{det (C).}

Portanto d(det )A é uma aplica¸cão linear sobrejectiva ∀A ∈ SL(2, C), o que mostra que SL(2, C) é uma

variedade de dimens˜ao 8 − 2 = 6 em IR8_.

♣ Exerc´ıcio 1.4 O grupo especial unitário SU (2) ... Por defini¸cão este grupo é constitu´ıdo pelas

ma-trizes A ∈ M2(C) tais que AA†= 1 e det A = 1, onde A†= A

t

é a conjugada transposta da matriz A. Mostar que SU (2) é a esfera S3 _{em IR}4 _{e portanto é uma variedade de dimensão 3 em IR}4_.

(22)

1.2. Variedades em Rn ₂₁

• Resolu¸cão ... Um cálculo fastidioso mostra que SU (2) é dado por:

SU (2) def= ½ A = · α −β β α ¸ : α, β ∈ C e det A = |α|2_{+ |β|}2_{= 1} ¾ (1.2.4)

Pondo α = x+iy e β = z+iw e se identificarmos cada matriz A do tipo · α −β β α ¸ = · x + iy −z + iw z + iw x − iy ¸

com o vector de (x, y, z, w) ∈ IR4_{, vemos que A ∈ SU (2) se e s´o se o correspondente vector de IR}4 _satisfaz

a condi¸cão x2_{+ y}2_{+ z}2_{+ w}2 _{= 1. Portanto SU (2) é exactamente a esfera S}3 _{em IR}4 _{e portanto é uma}

variedade de dimens˜ao 3 em IR4_.

♣ Exerc´ıcio 1.5 ... Seja A uma matriz real simétrica (n × n) e 0 6= c ∈ IR. Mostre que a quádrica M = {x ∈ IRn_{: x}t_{Ax ≡ c} é uma hipersuperf´ıcie em IR}n _{(uma subvariedade de codimens˜}_{ao 1).}

♣ Exerc´ıcio 1.6 ... Seja F : U ⊆ IRn_{→ IR}m_{uma aplica¸c˜}_{ao de classe C}∞_{. Mostrar que o gr´afico de F :}

gr F def= {(x, y) ∈ IRn+m: y = F (x)}

´e uma variedade de dimens˜ao n em IRn+m_. ♣ Exerc´ıcio 1.7 ... Mostre que o n-Toro :

Tn def= {x = (x1, y1, x2, y2, · · · , xn, yn) ∈ IR2n:

(x1)2+ (y1)2= 1, (x2)2+ (y2)2 = 1, · · · , (xn)2+ (yn)2= 1}

´e uma subvariedade de dimens˜ao n em IR2n_.

♣ Exerc´ıcio 1.8 ... Mostre que o grupo unit´ario :

U (n) def= {A ∈ Mn(C) : AA†= 1}

´e uma subvariedade de dimens˜ao n2 _{em IR}2n2

.

♣ Exerc´ıcio 1.9 *... Mostre que o conjunto M def= M_k,d(r)(IR) das matrizes (k × d) (com 1 ≤ k ≤ d) que

têm caracter´ıstica constante e igual a r (onde 1 ≤ r ≤ k) é uma subvariedade de codimensão (k − r)(d − r) em Mk,d(IR) ∼= IRkd, e portanto de dimensão dimensãoM = r(d + k − r).

• Resolu¸c˜ao ... Com efeito, seja m ∈ M . m representa uma aplica¸c˜ao linear m : IRd_{→ IR}k_{, e escolhendo}

bases apropriadas para IRd _{e IR}k_{, podemos supˆor que m tem a forma:}

m = ·

a b c d

¸

onde a ∈ G`(r, IR) ´e uma matriz r × r invers´ıvel. O conjunto:

U def= ½· x y z w ¸ : x matriz r × r invers´ıvel ¾

´e um aberto em Mk,d(IR) ∼= IRkdque contem m. Por outro lado:

A matriz ·

x y z w

¸

∈ U tem caracter´ıstica r, se e s´o se w − zx−1_{y = 0}

Com efeito, a matriz k × k, · 1r 0 −zx−1 ₁ k−r ¸ ´e invers´ıvel e: · 1r 0 −zx−1 ₁ k−r ¸ · x y z w ¸ = · x y 0 w − zx−1_y ¸

(23)

donde: caracter´ıstica · x y z w ¸ = caracter´ıstica · x y 0 w − zx−1_y ¸ = r

se e s´o se w − zx−1_{y = 0, como se pretendia.}

Consideremos agora a aplica¸c˜ao f : U → M(k−r)(d−r)(IR) ∼= IR(k−r)(d−r), definida por:

f³ · x y

z w ¸ ´

= w − zx−1y

Se 0 fôr valor regular de f , fica provado que U ∩ M é uma subvariedade de codimensão (k − r)(d − r) em IRkd_{, isto é, M é localmente uma subvariedade de codimensão (k − r)(d − r) em IR}kd _{(e portanto}

globalmente). Resta apenas notar que para x, y e z fixos, a aplica¸c˜ao w 7→ w − zx−1_{y ´e um difeomorfismo}

de M(k−r)(d−r)(IR) ∼= IR(k−r)(d−r) e portanto f ´e uma submers˜ao.

♣ Exerc´ıcio 1.10 ... Mostre que o grupo simpl´etico :

Sp(2n, IR) def= {A ∈ M2n(IR) : AtJA = J}

onde J =

·

0 1n

−1n 0

¸

, ´e uma subvariedade em IR4n2

, e calcule a sua dimens˜ao.

♣ Exerc´ıcio 1.11 ... Mostre que o grupo especial unit´ario :

SU (n) def= {A ∈ Mn(C) : AA†= 1 e det A = 1}

´e uma subvariedade em IR2n2_{, e calcule a sua dimens˜ao.}

♣ Exerc´ıcio 1.12 * ... Considere a variedade de Stiefel Stk(IRn_{), 1 ≤ k ≤ n, constitu´ıda por todos os} k-referenciais ortonormados em IRn _{(relativamente `a estrutura Euclideana usual em IR}n_).

Mostre que Stk(IRn_{) ´e uma variedade compacta de dimens˜ao nk −}k(k+1)

2 , em IR

nk_.

1.2.3 Parametriza¸c˜

oes locais

Seja M uma variedade de dimensão k em IRn. Cada ponto p ∈ M necessita de k n´umeros para que a sua posi¸cão seja un`ıvocamente determinada em M . Analisemos esta ideia com mais rigor, dando a seguinte caracteriza¸cão alternativa de variedades em IRn:

I Teorema 1.4 ... Um subconjunto M ⊂ IRn é uma variedade de dimensão k em IRn, se e só se para cada ponto p ∈ M , existe um aberto O ⊂ IRn_{, que contem p, um aberto U ⊆ IR}k_{, e uma aplica¸cão} Φ : U ⊆ IRk_{→ IR}n_{, tal que (ver a figura 1.8):}

• Φ ´e injectiva.

• Φ(U ) = M ∩ O, (isto ´e, Φ(U ) ´e aberto em M , quando em M se considera a topologia induzida pela topologia usual de IRn).

• dΦu tem caracter´ıstica k, ∀u ∈ U ⊂ IRk.

Uma tal aplica¸c˜ao Φ diz-se uma parametriza¸c˜ao local (regular), ou uma carta local da variedade M em torno de p.

As coordenadas (u1_{, · · · , u}k_{) de cada ponto u = Φ}−1_{(q) ∈ U ⊂ IR}k_{, onde q ∈ M ∩ O, dizem-se as} coordenadas locais (intr´ınsicas) de q, associadas `a parametriza¸c˜ao local Φ.

(24)

1.2. Variedades em Rn ₂₃

Figure 1.8: Parametriza¸c˜oes locais • Dem.:

Seja M uma variedade de dimens˜ao k em IRn_{, de acordo com a defini¸c˜ao 1.4.10.}

Ent˜ao, para cada ponto p ∈ M existe um aberto O ⊂ IRn_{, que contem p, um aberto V ⊂ IR}n_{, e um}

difeomorfismo ϕ : O → V tal que:

ϕ(O ∩ M ) = V ∩ (IRk× {0})

Fa¸camos ent˜ao U = {u ∈ IRk_{: (u, 0) ∈ V}, e definamos Φ : U → IR}n_{, atrav´es de:}

Φ(u) = ϕ−1(u, 0)

Resta provar que dΦutem caracter´ıstica k, ∀u ∈ U ⊂ IRk(i.e., ´e injectiva). Para isso, seja Ψ = π ◦ ϕ : O →

IRk_{, onde π : IR}n_{→ IR}k_{é a proje¸cão nas primeiras k coordenadas. Temos então que Ψ(Φ(u)) = u, ∀u ∈ U ,}

e portanto dΨΦ(u)◦ dΦu= Id, donde se deduz que dΦutem que ter caracter´ıstica k.

O rec´ıproco é consequência directa do teorema 1.1 sobre a forma local das imersões.

.

1.2.4 Exemplos e Exerc´ıcios

I Exemplo 1.14 ... Como já referimos, um aberto de IRn _{é uma variedade de IR}n _{de dimensão n. Em} particular, é usual utilizar as seguintes coordenadas locais:

• Coordenadas polares em IR2 _{... Neste caso podemos por exemplo tomar U ⊂ IR}2

(r,θ), V ⊂ IR2(x,y),

definidos por:

U = {(r, θ) : r > 0 e 0 < θ < 2π}

V = IR2− {(x, 0) : x ≥ 0} e a parametriza¸c˜ao Φ : U → V , definida por:

Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) (1.2.5) (r, θ) dizem-se as coordenadas polares de (x, y) = Φ(r, θ).

• Coordenadas esf´ericas em IR3 _{... Neste caso podemos por exemplo tomar U ⊂ IR}3

(r,θ,ϕ), V ⊂ IR3(x,y,z),

definidos por:

(25)

V = IR3_{− {(x, 0, z) : x ≥ 0}}

e a parametriza¸c˜ao Φ : U → V , definida por:

Φ(r, θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) (1.2.6) (r, θ, ϕ) dizem-se as coordenadas esf´ericas de (x, y, z) = Φ(r, θ, ϕ)

• Coordenadas cil´ındricas em IR3 _{... Neste caso podemos por exemplo tomar U ⊂ IR}3

(r,θ,z), V ⊂ IR3(x,y,z),

definidos por:

U = {(r, θ, z) : r > 0, 0 < θ < 2π} V = IR3− {(x, 0, z) : x ≥ 0} e a parametriza¸c˜ao Φ : U → V , definida por:

Φ(r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) (1.2.7) (r, θ, z) dizem-se as coordenadas cil´ındricas de (x, y, z) = Φ(r, θ, z)

♣ Exerc´ıcio 1.13 ... Mostre que:

Φ(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) (1.2.8)

definida no aberto:

U = {(θ, ϕ) : 0 < θ < π 0 < ϕ < 2π} ⊂ IR2(θ,ϕ)

´e uma parametriza¸c˜ao local da esfera:

S2= {x ∈ IR3: kxk2= 1}

As coordenadas (θ, ϕ) dizem-se coordenadas geogr´aficas : θ diz-se a colatitude e ϕ a longitude do ponto Φ(θ, ϕ) ∈ S2 _{(ver a figura 1.9).}

Figure 1.9: Coordenadas geográficas • Resolu¸cão ... Φ é uma bijeçcão de U sobre o aberto:

Φ(U ) = S2− {(x, y, z) ∈ IR3: y = 0 x ≥ 0} ⊂ S2 A matriz Jacobiana de Φ em (θ, ϕ) ∈ U , ´e igual a:

Jac Φ(θ, ϕ) = 

 cos θ cos ϕ_{cos θ sin ϕ} _{− sin θ cos ϕ}− sin θ sin ϕ

− sin θ 0



 _(1.2.9)

e tem caracter´ıstica 2, em todo o ponto (θ, ϕ) ∈ U . Com efeito, a caracter´ıstica de Jac Φ(θ, ϕ) é 2, sse pelo menos um dos seus menores de ordem 2 fôr 6= 0. Os menores de ordem 2, são:

cos θ sin θ, sin2_{θ cos ϕ e} _sin2_{θ sin ϕ}

Se eles se anulassem simultˆaneamente, ent˜ao viria que:

cos2θ sin2θ + sin4θ cos2ϕ + sin4θ sin2ϕ = sin2θ = 0

o que é imposs´ıvel em U , onde 0 < θ < π. ´E fácil verificar que as restantes condi¸cões para que Φ seja uma parametriza¸cão local de S2 _{são satisfeiras.}

(26)

1.2. Variedades em Rn ₂₅

♣ Exerc´ıcio 1.14 ... Consideremos um c´ırculo no plano yz, com centro em (0, a, 0) (a > 0), e raio r com

0 < r < a. Este c´ırculo ´e dado pelas equa¸c˜oes:

(y − a)2+ z2= r2 e x = 0

(i). Mostre que os pontos da superf´ıcie T2 _{em IR}3_{, obtida rodando este c´ırculo em torno do eixo dos zz,}

satisfazem a equa¸c˜ao:

z2= r2− (px2_{+ y}2_{− a)}2

(ii). Mostre que se consideramos a fun¸c˜ao, definida em IR3_{, atrav´es de:}

f (x, y, z) = r2− (px2_{+ y}2_{− a)}2_{− z}2

então 0 é valor regular de f , e que portanto T2 _{≡ f}−1_{(0), é uma variedade de dimensão 2 em IR}3_{, chamada um}

Toro bidimensional.

(iii). Mostre que uma parametriza¸c˜ao local para T2_{, ´e por exemplo dada por (ver a figura 1.10):}

Φ(u, v) =¡(a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u¢ (1.2.10)

definida no aberto U ⊂ IR2 (u,v):

U = {(u, v) ∈ IR2: 0 < u < 2π 0 < v < 2π}

Figure 1.10: Parametriza¸c˜ao local para um toro bidimensional

♣ Exerc´ıcio 1.15 ... Seja F : U ⊆ IRn_{→ IR}m_{, uma fun¸c˜ao de classe C}∞_{, definida num aberto V ⊆ IR}n_{, e} considere o gr´afico de F :

M = gr F = {(x, y) ∈ IRn_{× IR}m_{: y = F (x)} _{x ∈ U }} Mostre que M pode ser parametrizada (globalmente) por:

Φ : x → (x, F (x)) x ∈ U ⊆ IRn

♣ Exerc´ıcio 1.16 ... Uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao M , ´e obtida rodando uma curva plana regular C, em

torno de uma linha nesse plano, que n˜ao intersecte a curva C. Tomemos o referido plano, como sendo o plano xz, e o eixo da rota¸c˜ao como sendo o eixo dos zz.

Suponha que:

x = f (v) z = g(v) com a < v < b e f (v) > 0

é uma parametriza¸cão regular para a curva C, e representemos por ϕ o ângulo da rota¸cão em torno do eixo dos zz. Mostre que:

Φ(ϕ, v) = (f (v) cos ϕ, f (v) sin ϕ, g(v)) (1.2.11)

definida no aberto U ⊂ IR2 (ϕ,v):

U = {(ϕ, v) : 0 < ϕ < π e a < v < b} ´e uma parametriza¸c˜ao local de M (ver a figura 1.11):

(27)

Figure 1.11: Parametriza¸c˜ao local de uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao ♣ Exerc´ıcio 1.17 ... Mostre que:

Φ(θ, φ) = (cos θ, sin θ, cos φ, sin φ), (θ, φ) ∈]0, 2π[2

´e uma parametriza¸c˜ao local do toro:

T2= {x1, y1, x2, y2) ∈ IR4 : (x1)2+ (y1)2= 1, (x2)2+ (y2)2= 1}

♣ Exerc´ıcio 1.18 *... Considere o espa¸co de todas as matrizes n × n, reais anti-sim´etricas ξ ∈ Mn(IR):

o(n) def= {ξ ∈ Mn(IR) : ξ = −ξt}

Note que o(n) ∼= IR12n(n−1). Para ξ ∈ o(n) define-se a transformada de Cayley de ξ atrav´es de:

Ψ(ξ) = (1 − ξ)(1 + ξ)−1_, _{ξ ∈ o(n)}

(i). Mostre que Ψ est´a bem definida e ´e de classe C∞_{numa vizinhan¸ca U ⊂ o(n) ∼}_{= IR}1

2n(n−1)suficientemente

pequena de 0 ∈ o(n). Mostre ainda que: A = Ψ(ξ) ∈ O(n), ∀ξ ∈ U , isto ´e, que At_{= A}−1_.

(ii). Calcule uma fórmula para ξ em fun¸cão de A = Ψ(ξ), e mostre que Ψ−1_{está bem definida em V ∩ SO(n),} onde V é uma vizinhan¸ca de 1 ∈ SO(n) em Mn(IR) ∼= IRn2. Portanto, se U = Ψ−1_{(V ∩ SO(n)), Ψ : U →} V ∩ SO(n) é uma bijeçcão.

(iii). Calcule dΨ0 e mostre que Ψ ´e uma imers˜ao em 0.

(iv). Mostre que a aplica¸c˜ao Ψ : U ⊂ IR3_{→ IR}9_{, dada por:}

Ψ : (x, y, z) 7→   _−x1 x₁ y_z −y −z 1     _−x1 x₁ y_z −y −z 1   −1

´e uma parametriza¸c˜ao de SO(3) numa vizinhan¸ca da identidade 1 ∈ SO(3).

1.3 Fun¸c˜

oes e aplica¸c˜

oes diferenci´

aveis

1.3.1 Mudan¸ca de coordenadas locais

Consideremos uma variedade M de dimens˜ao k em IRn, e uma fun¸c˜ao f : M → IR definida em M . Se Φ : U ⊆ IRk

u → M é uma parametriza¸cão local de M , podemos definir uma fun¸cão no aberto U ⊆ IRk

uatrav´es de:

f ◦ Φ : U ⊆ IRk

u −→ IR

(28)

1.3. Fun¸cões e aplica¸cões diferenciáveis 27

Esta fun¸cão diz-se a representa¸c˜ao local de f no sistema de coordenadas locais ui_{, associadas à} parametriza¸cão local Φ.

Mas suponhamos agora que temos uma outra parametriza¸c˜ao local Ψ : V ⊆ IRk

v → M , com U ∩V 6= ∅. A cada ponto p ∈ U ∩ V ficam associadas dois sistemas de coordenadas locais: as coordenadas ui _de Φ−1_{(p) ∈ U ⊆ IR}k

u e as coordenadas vi de Ψ−1(p) ∈ V ⊆ IRkv. Como se relacionam essas coordenadas entre si? A figura 1.12 ´e completamente esclarecedora. As aplica¸c˜oes Φ−1 _{◦ Ψ, definida no aberto} Ψ−1_{(U ∩ V ) ⊂ IR}k

v, e Ψ−1◦ Φ definida no aberto Φ−1(U ∩ V ) ⊂ IRku, dizem-se por isso as aplica¸c˜oes de mudan¸ca de coordenadas locais (ver a figura 1.12).

Figure 1.12: Mudan¸ca de coordenadas

Claramente que Ψ−1_{◦ Φ ´e um homeomorfismo de Φ}−1_{(U ∩ V ) sobre Ψ}−1_{(U ∩ V ), com inversa igual} a Φ−1_{◦ Ψ. Mais ainda:}

I Teorema 1.5 ... As aplica¸c˜oes de mudan¸ca de coordenadas Ψ−1_{◦Φ e Φ}−1_{◦Ψ, s˜ao difeomorfismos} de classe C∞_.

• Dem.: Consequˆencia (da demonstra¸c˜ao) do teorema 1.4.

.

1.3.2 Fun¸c˜

oes diferenci´

aveis

I Defini¸c˜ao 1.8 ... Seja M uma variedade de IRn_{, e f : M → IR uma fun¸cão definida em M .} f diz-se diferenciável (de classe C∞_{) se para todo o ponto ∈ M existe uma parametriza¸cão local} Φ : U ⊆ IRk

u→ M , com p ∈ Φ(U ), tal que a representa¸c˜ao local de f :

f ◦ Φ : U ⊆ IRk_u −→ IR

u = (u1_{, · · · , u}k_{) 7−→ (f ◦ Φ)(u}1_{, · · · , u}k₎ ´e diferenci´avel de classe C∞ _{no aberto U ⊆ IR}k_.

´

E importante notar que esta defini¸cão não depende da parametriza¸cão local Φ. De facto, se Ψ : V ⊆ IRkv→ M é uma outra parametriza¸cão local de M , e se p ∈ Φ(U ) ∩ Ψ(V ), então:

(29)

e:

f ◦ Ψ = (f ◦ Φ) ◦ (Φ−1_{◦ Ψ)}

e conclu´ımos, usando a regra da cadeia e o facto de que as aplica¸cões de mudan¸ca de coordenadas são de classe C∞_{, que f ◦ Φ é diferenciável sse f ◦ Ψ o é.}

A proposi¸cão seguinte, cuja demonstra¸cão é imediata, fornece vários exemplos de fun¸cões diferenciáveis numa variedade M de IRn:

I Proposi¸c˜ao 1.3 ... Seja M uma variedade de IRn _{e O um aberto de IR}n _{que contem M .}

Se f : O → IR é uma fun¸cão diferenciável em O, então a restri¸cão de f a M , f |_M é uma fun¸cão diferenciável em M .

O conceito de diferenciabilidade pode ser generalizado para aplica¸cões entre duas variedades: I Defini¸c˜ao 1.9 ... (i). Sejam M ⊂ IRn e N ⊂ IRm duas variedades, e F : M → N uma aplica¸cão definida e cont´ınua em M . f diz-se diferenciável em M se para todo o ponto p ∈ M existem parametriza¸cões locais Φ : U → M e Ψ : V → N com p ∈ Φ(U ) e F (p) ∈ Ψ(V ), tais que a representa¸cão local:

Ψ−1◦ F ◦ Φ ´e diferenci´avel.

(ii). Duas variedades M e N (da mesma dimensão) dizem-se difeomorfas se existe um difeomorfismo F : M → N , i.e., uma aplica¸cão F : M → N diferenciável com inversa F−1 _{: N → M também} diferenciável.

1.3.3 Exemplos e Exerc´ıcios

I Exemplo 1.15 ... Seja M uma superf´ıcie em IR3 _{e v um vector fixo n˜ao nulo em IR}3_{. A fun¸c˜}_{ao altura}

relativa ao plano vectorial perpendicular a v, ´e a fun¸c˜ao:

h : M → IR, h(p) = p · v

onde · representa o produto interno usual em IR3_{. ´}_{E diferenci´}_{avel em M , pela proposi¸c˜}_{ao anterior.}

I Exemplo 1.16 ... Seja M uma variedade em IRn _{e p}

0 um ponto fixo em IRn. A fun¸c˜ao f (p) = kp −

p0k2, p ∈ M é diferenciável em M , pela proposi¸cão anterior.

♣ Exerc´ıcio 1.19 ... Mostrar que ´e poss´ıvel cobrir a esfera S2_{⊂ IR}3 _{com as imagens de duas parametriza¸c˜}_oes

locais, dadas como as inversas de duas projeçcões estereográficas a partir dos pólos norte e sul, respectivamente. Calcular as aplica¸cões de mudan¸ca de coordenadas.

Generalizar para as esferas Sn_{⊂ IR}n+1_.

• Resolu¸cão ... Definamos ΦN: IR2− {0} → S2− {N } e ΦS: IR2− {0} → S2− {S}, onde N = (0, 0, 1) e S = (0, 0, −1) são os pólos norte e sul da esfera, respectivamente, e ΦN = Π−1

N e ΦS= Π−1S , onde:

ΠN: S2− {N } → IR2(u,v)− {0}

e:

ΠS: S2− {S} → IR2(r,s)− {0}

são as projeçcões estereográficas a partir do pólo norte e sul, respectivamente (ver a figura 1.13).

Um pouco de geometria anal´ıtica no espa¸co permite deduzir as f´ormulas seguintes:

ΠN: (x, y, z) ∈ S2− {N } 7−→ ³ u = x 1 − z, v = y 1 − z ´ ∈ IR2(u,v)− {0}