Teoria das Singularidades

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TEORIA DAS SINGULARIDADES ALEXEI DAVYDOV

1. Introduc¸˜ao

Essencialmente trataremos de Teoria de Singularidades real, con-siderando objectos reais. Vamos relembrar algumas no¸cões básicas. 1.1. Variedades e aplica¸cões.

Defini¸cão 1. Variedade é um objecto que é construido localmente, como o espa¸co aritmético Rn _{(a dimensão n deste espa¸co também se} designa por dimensão).

Exemplos.

A recta real ´e uma variedade de dimens˜ao 1 (Fig. 1a).

A esfera unitária x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 1 em R}3 _{é uma variedade de} dimensão 2 e a bola aberta limitada por esta esfera é uma variedade de dimensão 3 (Fig. 1b).

O nosso tempo-espa¸co (provavelmente) ´e uma variedade de dimens˜ao 4.

A posi¸cão do corpo r´ıgido em R3 _{é descrita por um ponto de uma} variedade 6-dimensional (Fig. 1c). A união dos eixos coordenados no plano com a topologia induzida não é uma variedade (Fig. 1d).

O x (a) S2 M P S2 -S1 -x y O (b) (c) (d) linha real posi¸c˜ao poss´ivel de um aixo M P centro de massa

rota¸c˜ao em torno do eixo M P

Figura 1. Variedades e n˜ao-variedades.

Nota 1. O significado de “localmente constru´ıdo” será explicado mais tarde aquando da introdu¸cão da no¸cão de “rela¸cão de equivalência”. Defini¸cão 2. Uma aplica¸cão da variedade M na variedade N é uma lei que a cada ponto x ∈ M faz corresponder um ponto y ∈ N

f : x _{"→ y = f(x).} 1

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Continuidade e diferenciabilidade de uma aplica¸cão são no¸cões locais. Devido a tal facto, define-se continuidade e diferenciabilidade de apli-ca¸cões entre variedades da mesma forma como se define essas no¸cões no espa¸co aritmético (Fig. 2).

Assim, uma aplica¸cão entre variedades diz-se localmente cont´ınua e diferenciável sse as suas componentes, em coordenadas locais, são cont´ınuas e diferenciáveis.

Desta forma

f pertence `a classe Ck _{sse f}

i pertence à classe Ck O conjunto de todas as aplica¸cões entre as variedades M e N que pertencem à classe Ck _{denota-se, normalmente, por C}k_{(M, N ), onde k} é ou um número não negativo e inteiro ou um dos simbolos “∞” e “w” (quando k = w significa que a aplica¸cão é anal´ıtica).

Nota 2. Sempre que se diz que uma aplica¸cão é diferenciável, sem pre-cisar a sua classe, deve entender-se que é C∞_.

M N f _{f (x)} φ(x) ψ(f (x)) U V φ _ψ (U, φ) x (V, ψ) ψ◦ f ◦ φ−1 φ(U ) IRm _{ψ(V )} _IRn carta carta em em

Figura 2. Continuidade e diferenciabilidade de aplica-¸c˜oes entre variedades.

Exemplo 1. Considere a fun¸cão latitude h : (x, y, z) _{"→ z definida na} superf´ıcie terrestre normalizada (Fig.3) logo h é uma aplica¸cão entre a esfera e a recta real. Na vizinhan¸ca do Polo Norte a aplica¸cão h é diferenciável, uma vez que é possivel definir uma vizinhan¸ca do Polo Norte na qual, considerando as coordenadas locais x, y a nossa fun¸cão toma a forma f : (x, y)_"→!1_{− x}2_{− y}2_.

1.2. Pontos cr´ıticos e valores cr´ıticos. A aplica¸cão diferenciável entre variedades (M e N ) define, de uma forma natural, a aplica¸cão entre os espa¸cos tangentes (T M e T N ) associadas às variedades (Fig. 4):

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TEORIA DAS SINGULARIDADES 3

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= 1} _x y z φ x y z (x, y, z)"−→ z =√1− x2_{− y}2 (U, φ) O (x, y) carta

Figura 3. A fun¸cão latitude z definida na superf´ıcie terrestre é diferenciável.

M f N v(x(t)) f (x(t)) f∗(v(x(t))) f ◦x x t x(t)) TxM Tf (x)N plano tangente plano tangente

Figura 4. Aplica¸c˜ao induzida entre os espa¸cos tan-gentes das variedades M e N

Nas coordenadas locais usuais x, v e y, w na vizinhan¸ca de P e f (P ), respectivamente, a aplica¸c˜ao induzida f_∗ ´e definida por:

f_∗ : (x, v) _"→ "

y = f (x), w = ∂f ∂x(x)v

#

onde ∂f_∂x(x) é a matriz Jacobiana da aplica¸cão f calculada no ponto x. Defini¸cão 3. Um ponto x _{∈ M é designado por ponto cr´ıtico da} aplica¸cão diferenciável f se a caracter´ıstica da aplica¸cão linear ∂f_∂x(x) não é máxima. A imagem de um ponto cr´ıtico é um valor cr´ıtico. Nota 3. A caracter´ıstica de uma aplica¸cão linear é definida como a dimensão da imagem da aplica¸cão. Numa base concreta uma aplica¸cão linear é definida por uma matriz. Assim a caracter´ıstica é igual ao

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n´umero m´aximo de colunas ou linhas linearmente independentes dessa matriz.

Agora vamos procurar tornar claro a importância dos pontos cr´ıticos. Se um ponto x0 não é um ponto cr´ıtico de uma aplica¸cão diferen-ciável então, em coordenadas locais apropriadas x1, . . . , xm no espa¸co das imagens rec´ıprocas e y1, . . . , yn no espa¸co das imagens com origens no ponto x e na sua imagem, respectivamente, a aplica¸cão considerada toma a seguinte forma:

       y1 = x1 y2 = x2 . . . . yn= xn se m_{≥ n, ou}                  y1 = x1 y2 = x2 . . . . ym = xm ym+1 = 0 . . . . yn= 0 se m_{≤ n,} (1)

As aplica¸cões deste tipo são designadas por submersões e imersões, respectivamente. Uma aplica¸cão que seja, simultaneamente, uma imer-são e uma submerimer-são, num dado ponto, chama-se difeomorfismo local. Considere-se que a nossa aplica¸cão é uma fun¸cão diferenciável, mais concretamente consideremos que é a fun¸cão potencial de um determi-nado sistema mecânico que cresce infinitamente (Fig. 5). Se o sistema é dissipativo então, na natureza a sua posi¸cão estacionária normalmente tende para algum ponto onde o potencial é um m´ınimo local. Mas cada m´ınimo é um valor cr´ıtico da fun¸cão potencial.

E -E = U (x) O g x m m energia total

estados est´aveis do sistema

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No in´ıcio do desenvolvimento da teoria de singularidades Whitney investigou singularidades t´ıpicas de aplica¸cões definidas entre varieda-des de dimensão dois. Ele mostrou que, num sistema de coordenadas locais adequado, as singularidades tomam nas vizinhan¸cas da origem uma das seguintes três formas:

( y1 = x1 y2 = x2 , ou ( y1 = x1 y2 = x22 , ou ainda ( y1 = x1 y2 = x32+ x1x2 (Fig. 6a a 6c, respectivamente). O x2 x2 2 x32+ x2x1 (c) O x1 O x2 x1 x1 x2 O y1= x1, y2= y1= x1, y2= x2 y1= x1, y2= y1 (a) (b) O y1 y1 y2 y2 y2

Figura 6. Classifica¸c˜ao de Whitney.

Estas singularidades podem ser observadas ao investigar o contorno vis´ıvel de duas montanhas (Fig. 7a). Cada ponto desse contorno ´e um ponto cr´ıtico da aplica¸c˜ao definida na superf´ıcie da montanha e com imagem no plano.

(a) (b)

Figura 7. Duas montanhas e o reconhecimento de imagem. O contormo vis´ıvel desempenha um papel importante na teoria do reconhecimento de imagem (Fig. 7b).

Para tra¸car o contormo vis´ıvel é necessário resolver um problema de extremos: encontrar a altitude máxima em cada direçcão. Neste

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problema, a altitude é a fun¸cão objectivo (de duas variáveis) e a di-reçcão (azimute) é o parâmetro. Exemplos mais genéricos deste tipo de problema têm a forma de um problema de extremos diferenciável com restri¸cões; isto é, o problema é do tipo:

Encontrar o m´ınimo (ou o máximo) de f (x) quando g(x) = a, onde x, a satisfazem a restri¸cão natural dim x ≥ dim a. O gráfico da solu¸cão do problema pertence ao conjunto dos valores cr´ıticos do par de aplica¸cões (f, g) (Fig. 8). temperatur a T (H, T ) T H O superficie montanhosa altura H imagem de

Figura 8. Problema diferenciável de extremo e gráfico da sua solu¸cão.

Esta observa¸c˜ao implica a conhecida regra dos multiplicadores de Lagrange:

Corolário 1.1. Se um ponto P é a solu¸cão de um problema de extremo diferenciável com restri¸cões:

f (x)−→ min(max) quando g(x) = a

onde dim x_{≥ dim a, ent˜ao existem multiplicadores (de Lagrange) λ}0, λ tais que pelo menos um deles ´e diferente de zero e

λ0df (P ) + λdg(P ) = 0.

Demonstra¸cão. Seja n = dim x. Se dim a também é n então facilmente se verifica que o corolário é verdadeiro uma vez que num espa¸co de dimensão n quaisquer n+1 vectores são linearmente dependentes. Seja n > dim a e seja o ponto P solu¸cão do nosso problema. Considere-se o par de aplica¸cões f e g tais que

x"→ (t = f(x), a = g(x)).

Suponhamos que λ0 e λ não existem; então o ponto P não é ponto cr´ıtico para esta aplica¸cão. Desta forma, e porque n > dim a, o par de aplica¸cões é uma submersão na vizinhan¸ca deste ponto. Conse-quentemente, o ponto (f (P ), g(P )) é um ponto interior da imagem da aplica¸cão (f, g). Por este motivo o ponto P não pode ser solu¸cão do nosso problema.

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Assim, o ponto P deverá ser ponto cr´ıtico da aplica¸cão (f, g), o que implica que existe λ0, λ que verificam as condi¸cões do corolário. 1.3. Rela¸cões de equivalência. Rela¸cão de equivalência é uma rela-¸cão binária “_{∼” entre dois objectos (habitualmente esses objectos são} da mesma natureza) que satisfaz as seguintes três condi¸cões:

1. para qualquer objecto X verifica-se que X ∼ X (reflexividade); 2. se X ∼ Y ent˜ao Y ∼ X (simetria);

3. se X ∼ Y e Y ∼ Z ent˜ao X ∼ Z (transitividade).

Dois objectos dizem-se equivalentes, com respeito a uma rela¸cão de equivalência, se esses objectos satisfazem essa rela¸cão de equivalência. O conjunto de todos os objectos equivalentes constitui uma classe que se designa por classe de equivalência. Qualquer objecto de uma classe de equivalência é seu representante.

Exemplo 2. As seguintes rela¸cões binárias são rela¸cões de equivalência como facilmente se verifica.

• Rela¸cão de equivalência qualitativa: dois objectos são equivalentes se eles possuem a mesma caracter´ıstica qualitativa A. Por exem-plo, dois corpos são equivalentes se a parte inteira dos seus pesos (em kg) é a mesma.

• Duas variedades diferenciáveis são equivalentes se elas forem difeo-morficas (diferenciáveis).

• Duas aplica¸cões f e g entre duas variedades diferenciáveis M e N são equivalentes se existe difeomorfismos h : M _{→ M e k : N → N} tais que g = k◦ f ◦ h−1_{, ou em outras palavras o diagrama}

M −→ Nf

h↓ ↓ k

M _{−→ N}g

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é comutativo. Esta equivalência é chamada equivalência esquerda-direita ou LR-equivalência devido ao facto de k actuar à esquerda de f na formula k _{◦ f ◦ h}−1 _{e h actuar à direita (mudan¸ca de} coordenadas à esquerda (no espa¸co das imagens) e à direita (no espa¸co das imagens rec´ıprocas), respectivamente).

Defini¸c˜ao de Germe

Dois objectos (curvas, conjuntos, aplica¸cões, etc.) definidos na vizi-nhan¸ca de um ponto P da variedade diferenciável M são equivalentes nesse ponto se coincidirem em alguma vizinhan¸ca desse ponto. Para este tipo de equivalência a classe de equivalência a que o objecto per-tence é designada por um germe do objecto no ponto P . A cada objecto desta classe dá-se o nome de representante do germe.

Por exemplo, as fun¸cões x e |x| na recta real têm o mesmo germe se for considerada a parte positiva do eixo. Mas em qualquer outro ponto fora dessa parte, aquelas fun¸cões têm germes diferentes.

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Nota 4. Agora já é poss´ıvel explicar o que significa afirmar que uma variedade é localmente constru´ıda como um espa¸co aritmético de di-mensão n. Para definir variedade considera-se um espa¸co topológico de Hausdorff, X, possuindo uma base topológica numerável. A coleçcão de homeomorfismos definidos entre subconjuntos abertos deste espa¸co e subconjuntos abertos de Rn _{para algum n, define um C}k_{-atlas no} espa¸co X se:

• o dom´ınio destes homeomorfismos cobre todo o espa¸co X;

• quaisquer que sejam os homeomorfismos h1 e h2 pertencentes a esta coleçcão, a composi¸cão h2◦ h−11 é ou de classe Ck ou não está definida.

Dois Ck_{-atlas são compat´ıveis se a sua união é ainda um C}k_-atlas. Uma variedade é um espa¸co X, definido como anteriormente, conjun-tamente com a classe de equivalência formada por atlas compat´ıveis. Note-se que num espa¸co X podem ser introduzidas várias classes de equivalência de atlas compat´ıveis.

Nota 5. Um subconjunto de uma variedade diferenciável é designado por Ck _{subvariedade se o germe deste subconjunto em qualquer ponto} deste subconjunto coincide com o germe na origem de um plano r-dimensional em Ck_{-coordenadas locais apropriadas com a origem nesse} ponto; r é a dimensão da variedade. A diferen¸ca n − r, onde n é a dimensão da variedade ambiente, é a codimensão dessa subvariedade.

Considere-se qualquer grupo de transforma¸c˜oes actuando no espa¸co de germes dos objectos que estamos a considerar.

Defini¸cão 4. Singularidade local de um objecto num ponto é a órbita do germe deste objecto nesse ponto sob a açcão deste grupo. A forma normal desta singularidade é qualquer ponto dessa órbita, preferencial-mente um dos mais simples representantes dessa órbita.

Note que a singularidade ´e unicamente definida, mas a sua forma normal pode ter diferentes express˜oes.

Por exemplo, o grupo de LR-equivalência age no espa¸co de germes das aplica¸cões. A forma normal de um germe de uma aplica¸cão de caracter´ıstica máxima é uma imersão ou uma submersão, com formas normais (1).

O primeiro objectivo do curso é aprender a encontrar formas normais para singularidades de fun¸cões diferenciáveis nos seus pontos cr´ıticos. No caso de fun¸cões de uma variável (para potenciais na recta) isso pode ser feito directamente com base no lema de Hadamard:

Lema de Hadamard. Se uma fun¸cão f de classe Ck_{, k} _{≥ 1, em R}n tem o valor zero num determinado ponto então, numa vizinhan¸ca desse ponto, essa fun¸cão pode ser escrita na forma

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onde todas as fun¸cões fi são de classe Ck−1, em qualquer sistema de coordenadas diferenciáveis x1, x2, . . . xn com origem neste ponto. Demonstra¸cão. Seja x1, x2, . . . xnqualquer sistema de coordenadas dife-renciável com a origem no ponto que se está a considerar. Tomemos, neste sistema de coordenadas, uma pequena bola centrada na origem e considere-se um ponto x pertencente a esta bola.

Assim temos f (x) = 1 ) 0 d dtf (tx)dt = 1 ) 0 n * i=1 ∂f ∂xi (tx)xidt = n * i=1 xi 1 ) 0 ∂f ∂xi (tx)dt Todas as fun¸c˜oes fi, fi(x) = 1 + 0 ∂f

∂xi(tx)dt, est˜ao bem definidas na bola

considerada e s˜ao de classe Ck−1_.

Corolário 1.2. Se uma fun¸cão f da classe Ck_{, k} _{≥ 1, em R}n _está definida na vizinhan¸ca de um ponto P _{∈ R}n _{e, nesse ponto, todas as} suas derivadas até à ordem r, r < k, são nulas, então, na vizinhan¸ca desse ponto, a fun¸cão pode ser escrita na forma:

f (x) = *

|α|=r+1

xαfα(x)

onde α = (α1, α2, . . . , αn) é o vector de inteiros não negativos, |α| é a soma desses inteiros. Todas as fun¸cões fα, em qualquer sistema de coordenadas diferenciável x1, x2, . . . , xn com origem nesse ponto, são de classe Ck−r−1_{, e x}α _{= x}α1

1 xα22. . . xαnn

A demonstra¸cão deste corolário é baseado no lema de Hadamard e no princ´ıpio da indu¸cão matemática.

Vamos fazer uso do corolário a fim de obter localmente a forma normal da fun¸cão diferenciável, definida na recta real, na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico P a menos de uma R-equivalência. Se no ponto P todas as derivadas de ordem r da nossa fun¸cão forem nulas e f(r+1)_{(P )} _{,= 0} então, pelo corolário, na vizinhan¸ca do ponto P temos

f (x)_{− f(P ) = x}r+1fr+1(x),

onde fr+1 é uma fun¸cão diferenciável, em qualquer sistema de coorde-nadas com a origem nesse ponto; por outro lado fr+1(P ) ,= 0 porque por hipotese f(r+1)_{(P )}_{,= 0. Tomando, na vizinhan¸ca da origem, novas} coordenadas diferenciáveis: ˜x = x!|fr+1(x)| reduz-se a nossa fun¸cão à forma:

f (˜x) = f (P ) + ˜xr+1signfr+1(O).

Portanto uma fun¸cão diferenciável de uma só variável com uma ex-pansão em série de Taylor diferente de zero, na vizinhan¸ca do seu ponto

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cr´ıtico com valor cr´ıtico zero toma uma das seguintes trˆes formas nor-mais:

ou x2s+1 quando r = 2s, ou _{± x}2s quando r = 2s_{− 1.} depois de uma adequada mudan¸ca de vari´avel.

Agora é fácil verificar que o ponto cr´ıtico que se considera não fornece nenhum extremo local da fun¸cão no 1o _{sub caso, mas no 2}o _{caso já se} verifica a existência de um extremo local (Fig. 9)

y== x 2s+1 x y O y= x O x y y= x 2s O x y (a) (b) (c) y= −x 2s

Figura 9. Formas normais de fun¸c˜oes na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico.

Defini¸cão 5. Um ponto cr´ıtico de uma fun¸cão é designado não degene-rado se a diferencial de segunda ordem, nesse ponto, é não degenerada. Em coordenadas locais significa que a matriz Hessiana da fun¸cão, nesse ponto, tem caracter´ıstica máxima.

2. Espac¸o dos Jactos e sua Topologia

Nesta seçcão introduzimos a no¸cão de “proximidade” no espa¸co das aplica¸cões entre variedades.

2.1. Espa¸co das fun¸cões: a sua topologia fraca e fina. Come¸ca-mos esta seçcão com um simples exemplo, que ilustra a importância do controlo das derivadas na natureza (os especialistas na condu¸cão indicam que o controlo correcto da velocidade e da acelera¸cão implica a economia de combust´ıvel até pelo menos metade). Seguidamente vamos analisar um exemplo.

Exemplo 3. Considere-se o seguinte sistema mecânico cuja fun¸cão po-tencial é definida por U (x) = x2 _{e x}_{∈ R. O potencial tem apenas um} m´ınimo em x = 0 que corresponde ao único estado estacionário estável do sistema.

Consideremos perturba¸cões do potencial e a respectiva transforma¸cão dos estados estacionários estáveis do sistema.

Se controlarmos apenas a varia¸cão dos valores do potencial então, na vizinhan¸ca da fun¸cão potencial existe uma nova fun¸cão potencial, diferenciável, com muitos pontos cr´ıticos não degenerados nos quais,

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localmente, o potencial é m´ınimo (Fig. 10a). Estes novos estados podem estar tão longe da origem quanto se queira e, cada um deles é um estado estacionário estável do sistema.

Se existir possibilidade de controlar tanto o valor da fun¸cão potencial como a derivada da mesma, então pequenas perturba¸cões dessa fun¸cão apenas originam pontos cr´ıticos na vizinhan¸ca da origem e, portanto, pode-se obter muitos m´ınimos locais em torno da origem (Fig. 10b). Devido a tal facto todos os estados estacionários estáveis do sistema, também, estão localizados na vizinhan¸ca da origem e existe pelo menos um estado estacionário estável.

U ˜ U U= x 2 x O x O O ˜ U x O ˜ U$ x (c) ˜ U ˜ U$ O x O x ˜ U$$ ˜ U$$_{= 2} x O y= 2x (a) (b)

Figura 10. M´ınimos locais de perturba¸cões de fun¸cões potencial. Agora vamos considerar que é poss´ıvel controlar o valor do potencial e as duas primeiras derivadas da fun¸cão potencial, então qualquer fun¸cão potencial, suficientemente perto da fun¸cão potencial inicial, tem apenas um ponto cr´ıtico e este ponto é um m´ınimo local (global) da fun¸cão potencial (o estado estacionário estável do sistema) e está localizado na vizinhan¸ca da origem (Fig. 10c).

Sendo poss´ıvel controlar as derivadas seguintes, tamb´em o fen´omeno observado vai ser o mesmo.

No espa¸co Ck_(Rm_{, R) (ou C}k_{(U, R) onde U é um conjunto aberto de} Rm_{) usualmente introduz-se uma topologia fraca ou forte, designada} por Cr_{-topologia, r}_{≤ k. Um conceito importante que é necessário} ex-plicar é o conceito de vizinhan¸ca de um ponto f do espa¸co considerado

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nestas duas topologias. Para explicar este conceito fixemos quaisquer coordenadas no espa¸co das imagens e das pr´e-imagens. Ent˜ao, para:

i. qualquer subconjunto K do dom´ınio (=Rm_{) das fun¸c˜oes em} es-tudo,

ii. qualquer fun¸c˜ao & positiva e cont´ınua, definida nesse dom´ınio defina-se o conjunto V (f, K, &) das fun¸c˜oes g cujas derivadas satisfazem a desigualdade

|∂|α|(g− f)

∂xα (P )| < &(P ).

para qualquer ´ındice α,_{|α| ≤ r em qualquer ponto P do conjunto K.} Na topologia Cr _{o conjunto aberto é uma união infinita ou uma} interseçcão finita de conjuntos do tipo V (f, K, &). O conjunto K tem que ser compacto, no caso da topologia fraca, e precisa coincidir com todo o dom´ınio Rm _{(ou com o conjunto U ) no caso da topologia forte} (ou fina). A topologia forte ou fina também é designada por topologia de Whitney.

Com o objectivo de introduzir este tipo de topologias no espa¸co das aplica¸cões Ck _{entre variedades é necessário uma no¸cão adicional:} con-tacto de aplica¸cões diferenciáveis.

2.2. Rela¸c˜oes de Equivalˆencia: contacto num ponto.

Defini¸cão 6. Duas aplica¸cões, f e g, da classe Cr_{, definidas de R}m em Rn _{têm, no ponto x, contacto da ordem k, k} _{≤ r, se}

|f(˜x) − g(˜x)|

|˜x − x|k −→ 0 quando ˜x → x, onde _{|.| ´e a norma usual no espa¸co Euclideano.}

A no¸cão de contacto é uma no¸cão local e, por isso, pode ser definida para aplica¸cões entre variedades diferenciáveis.

Lema 2.1. Contacto de ordem r, no ponto x, é uma rela¸cão de equi-valência.

Demonstra¸cão. É óbvio que a propriedade de reflexividade é verificada, pois: |f(˜x) − f(˜x)| ≡ 0.

Também é óbvio que a propriedade da simetria se verifica visto que: |f(˜x) − g(˜x)| ≡ |g(˜x) − f(˜x)|.

Finalmente vamos provar que a propriedade da transitividade se ver-ifica: Sejam as fun¸c˜oes f, g, s para as quais se verifica

|f(˜x) − g(˜x)|

|˜x − x|k −→ 0 e

|g(˜x) − s(˜x)|

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Fazendo o uso da desigualdade triangular obtem-se: 0_≤ |f(˜x) − s(˜x)| |˜x − x|k = |f(˜x) − g(˜x) + g(˜x) − s(˜x)| |˜x − x|k ≤ ≤ |f(˜x) − g(˜x)| |˜x − x|k + |g(˜x) − s(˜x)| |˜x − x|k

Mas, por hipotese, os dois termos na parte direita da desigualdade tendem para zero quando ˜x → x. Portanto, a propriedade da transi-tividade ´e v´alida.

Defini¸cão 7. Uma classe de equivalência da rela¸cão de contacto de ordem k, num ponto, é designada por jacto de ordem k nesse ponto. O jacto de ordem k num ponto x que é definido pela aplica¸cão f é denotado por jk_{f (x).}

Lema 2.2. Duas aplica¸cões diferenciáveis têm o mesmo jacto de or-dem k num ponto sse as derivadas destas fun¸cões, em coordenadas locais, no espa¸co são iguais até à ordem k, inclusive.

Demonstra¸c˜ao. A primeira afirma¸c˜ao segue-se trivialmente da segunda, usando o lema de Hadamard.

Para demonstrar a implica¸cão no sentido inverso (⇒) vamos assumir o contrário, isto é, que:

“Duas aplica¸cões têm o mesmo jacto de ordem k num ponto, mas algumas das suas derivadas de ordem inferior a k + 1, nesse ponto, são diferentes”.

Denotemos por l a menor das ordens das derivadas que verificam a condi¸cão anterior e tomemos os mesmos componentes das nossas fun¸cões que têm derivadas de ordem l diferentes.

Sem perda de generalidade podemos assumir que o ponto que es-tamos a considerar ´e a origem. Pelo lema de Hadamard a diferen¸ca entre os componentes considerados, f , pode ser escrita, na vizinhan¸ca da origem, na forma:

f (x) = * |α|=l

xαfα(x)

onde todas as fα são fun¸cões cont´ınuas, e pelo menos uma delas não se anula na origem, uma vez que os componentes escolhidos têm pelo menos uma derivada de ordem l diferente, no ponto considerado.

Restingindo a fun¸c˜ao f a uma linha x = tv (para qualquer vector v e t suficientemente pequeno) temos:

f (tv) = tl* |α|=l

vαfα(tv).

Para t = 0 a soma no lado direito da equa¸cão anterior é um polinómio homogéneo de ordem l com respeito a v. Este polinómio tem pelo menos um coeficiente diferente de zero, uma vez que pelo menos uma fαnão se

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anula na origem. Por isso, para t = 0 o valor do polinómio é diferente de zero para algum vector v0 não nulo. O que implica, para x = tv0, que: |f(tv0)| |tv0|k = |tl_| , |α|=l vα 0fα(tv0)| |t|k_|v 0|k =|t|l−k | , |α|=l vα 0fα(tv0)| |v0|k .

O lado direito da última expressão não tende para zero quando t→ 0 porque l ≤ k e a fraçcão

| , |α|=l

vα 0fα(tv0)|

|v0|k ´e diferente de zero quando t = 0.

Mas, por defini¸cão de contacto de ordem k, num ponto, o seu limite tem que ser zero. Assim, temos uma contradi¸cão. Isto significa que o lema é válido.

Nota 6. O último lema implica que para uma fun¸cão anal´ıtica f o seu jacto infinito num ponto (= j∞_{f (.)) define completamente o germe} dessa fun¸cão no ponto. Isso não é sempre verdade para uma fun¸cão diferenciável. Duas fun¸cões na linha real, f ≡ 0, e g zero para x = 0 e e−1/x2

quando x_{,= 0, têm na origem contacto de ordem infinita mas as} duas fun¸cões são diferentes em todos os pontos excepto a origem (Fig. 11)! O x y y = 1 y = 0 y = e−1/x2

Figura 11. O jacto infinito de uma fun¸cão diferenciável não define o germe.

O espa¸co dos k-jactos de aplica¸cões diferenciáveis entre duas varie-dades M , N é designado por Jk_{(M, N ). ´}_{E uma variedade diferenciável} porque em coordenadas locais qualquer ponto jk_{f (x) deste espa¸co tem} coordenadas naturais definidas pelas coordenadas x na variedade M e todas as derivadas de f nesse ponto até ordem k :

x1, x2, . . . , xm; f (x); ∂f ∂xi (x), 1≤ i ≤ m; . . . ; ∂ k_f ∂xα(x) com |α| ≤ k. Por exemplo, o espa¸co dos k-jactos de fun¸c˜oes na linha ´e uma varie-dade (k + 2)-dimensional.

Devido à fórmula para a derivada da fun¸cão composta, qualquer mudan¸ca diferenciável de coordenadas locais na variedade implica uma mudan¸ca diferenciável de coordenadas locais no espa¸co dos jactos. Para o espa¸co dos 1-jacto esta aplica¸cão é:

(x, f (x), f$(x))"→ (y, f(φ(y)), f$_(φ(y))φ$ y(y))

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se x = φ(y) e y ´e uma nova coordenada no espa¸co pr´e-imagem.

O desenvolvimento de Taylor de f num ponto x até ordem k define jr_{f (x) para qualquer r, r < k. Portanto existe uma projeçcão natural} do espa¸co dos jactos de ordem superior para o espa¸co dos jactos de ordem inferior. Isso dá a cadeia de projeçcões:

J0(M, N )_{← J}1(M, N ) _{← J}2(M, N )_{← . . .} ´

E claro que o espa¸co dos 0-jactos é simplesmente M× N e que há duas projeçcões naturais dele em cada factor

M ←− J0_{(M, N ) = M} _{× N → N.}

2.3. Espa¸co das aplica¸cões: suas topologias fraca e forte. Agora vamos introduzir as topologias fraca e forte (fina) no espa¸co das apli-ca¸cões diferenciáveis entre as variedades diferenciáveis M e N .

O espa¸co dos jactos Jr_{(M, N ) é uma variedade diferenciável com a} topologia induzida de uma forma natural pela estrutura diferenciável M e N . Existe uma distância ρ que define esta topologia e, conse-quentemente, dá-nos a possibilidade de descrever as vizinhan¸cas na Cr -topologia no espa¸co Ck_{(M, N ), k} _{≥ r, praticamente da mesma forma} que são descritas no espa¸co das fun¸cões.

As vizinhan¸cas de um ponto f do espa¸co Ck_{(M, N ), k} _{≥ r, s˜ao} definidas da seguinte forma.

Defini¸cão 8. Para qualquer subconjunto K do dom´ınio das nossas fun¸cões e para qualquer fun¸cão cont´ınua e positiva & definida neste dom´ınio definimos o conjunto V (f, K, &) das fun¸cões g que satisfazem a desigualdade:

ρ(jrf (P ), jrg(P )) < &(P ).

para cada ponto P do conjunto K. Da mesma forma, nas Cr_-topologias o conjunto aberto é uma união infinita ou uma interseçcão finita de conjuntos do tipo V (f, K, &), mas o conjunto K é um compacto na variante fraca enquanto que na variante forte é a própria variedade M .

´

E de notar que numa variedade compacta as topologias fraca e forte (ou fina) s˜ao a mesma coisa.

Nota 7. A aplica¸cão jk_{f : x} _{"→ j}k_{f (x), x} _{∈ M é designada pela} ex-tensão ao jacto de ordem k da aplica¸cão f . A base da Cr_{-topologia forte} (ou fina) em Ck_{(M, N ), k} _{≥ r, também pode ser definida da seguinte} forma:

Defini¸cão 9. Para um subconjunto aberto U no espa¸co dos jactos Jr_{(M, N ) o conjunto base B(U ) inclui todas as aplica¸cões com a} ex-tensão ao jacto de ordem r que têm imagem em U .

(16)

A coleçcão de todos estes tipos de conjuntos também define a Cr topologia forte como é fácil verificar. Esta defini¸cão permite intro-duzir uma topologia diferenciável forte no espa¸co das aplica¸cões dife-renciáveis. Nomeadamente, se Wr é a coleçcão de todos os subconjun-tos abersubconjun-tos em C∞_{(M, N ), então a base da C}∞_{-topologia é a união de} todos os Wr com todos os r não negativos (note-se que Wr ⊂ Wr+s para qualquer s _{≥ 1 devido à continuidade de projeçcão canónica} Jr+s_{(M, N )} _{→ J}r_{(M, N ) a qual “esquece” as derivadas de ordem maior} que r).

Vamos agora mostrar que a topologia fina ´e realmente forte.

Proposi¸cão 2.3. Uma sucessão de aplica¸cões {fn}∞n=1 de classe Ck converge na Cr_{-topologia fina, r}_{≤ k, se e só se existir um compacto no} espa¸co das pré-imagens e ´ındice n0 tais que neste compacto a sucessão {jr_f

n}∞n=1 converge uniformemente para a extensão ao jacto de ordem r de alguma aplica¸cão f de classe Ck, e fora do compacto, qualquer fun¸cão fn com n≥ n0 coincide esta fun¸cão limite f.

Demonstra¸cão. Para um espa¸co de pré-imagens que seja compacto a afirma¸cão é trivial. Portanto, basta considerar o caso em que o espa¸co das pré-imagens não seja compacto.

´

E também evidente que a existência de um compacto K e um ind´ıce n0 proporciona a convergência na Cr-topologia. Para provar a neces-sidade é suficiente mostrar que se tal não existir então a sequência não converge. As seguintes afirma¸cões são úteis.

Lema 2.4. Numa variedade existe uma sucessão de subconjuntos com-pactos tais que qualquer compacto precedente pertence ao interior do próximo e a própria variedade é a união de todos estes compactos. Lema 2.5. Para um subconjunto compacto de uma variedade e para qualquer vizinhan¸ca desse compacto existe uma fun¸cão diferenciável não-negativa que tem os valores entre zero e um e mais o valor um em cada ponto deste compacto e zero fora dessa vizinhan¸ca.

Vamos usar os lemas para provar a necessidade na proposi¸c˜ao 2.3 e depois provaremos os lemas.

Denotemos para f o limite da nossa sucessão. Trata-se de uma aplica¸cão Cr _{porque, em qualquer compacto, a convergência na} topolo-gia Cr _{é uniforme para extensões a jactos de ordem r.}

Vamos assumir o contrário: para qualquer compacto não existe o ´ındice procurado. Com base neste pressuposto mostramos que existe uma subsucessão de fun¸cões {fij}, uma sequência de pontos {xij} e,

também, uma fun¸cão positiva e cont´ınua, &, no espa¸co das pré-imagens tais que ρ(jrfij(xij), j

r_{f (x}

ij)) ≥ &(xij), onde ρ ´e uma m´etrica

com-pat´ıvel com a topologia em Jr_{(M, N ). Mas isto vai contradizer a} con-vergência da nossa sucessão, logo, implicar a proposi¸cão (Fig. 12).

(17)

Esta parte da demonstra¸cão é baseada no princ´ıpio da indu¸cão ma-temática. Tomemos a sucessão {Ki}∞i=1de compactos que satisfazem o lema 2.4.

Assumir o contr´ario, implica que existem ´ındices i1 e um ponto x1 tal que

ρ(jrfi1(x1), j r_{f (x}

1)) > 0.

Denotemos o valor da última distância por a1. Seja s1 o menor ´ındice tal que o compacto Ks1 contém o ponto x1 e &1 é a fun¸cão constante

com valor a1. Este ´e o primeiro passo da indu¸c˜ao.

a1 al al+1 x1 xl xl+1 Jr_{(M, N )} Ks1 Ksl Ksl+1 Ksl+1 M jr_f i1(M ) jr_{f (M )} jr_f il(M ) jr_f il+1(M )

Figura 12. A topologia fina ´e realmente forte.

No segundo passo, vamos assumir que j´a encontramos pontos x1, x2, . . . , xl, aplica¸c˜oes fi1, fi2, . . . , fil com i1 < i2 < · · · < il, um

com-pacto Ksl contendo estes pontos e uma fun¸c˜ao positiva &l tais que:

ρ(jrfij(xij), j r_{f (x}

ij))≥ &l(xij) ∀j, 1 ≤ j ≤ l.

No 3o _{passo da indu¸cão é necessário construir tais objectos para o valor} do ´ındice igual a l + 1.

Devido ao facto de termos assumido o contrário, para o compacto Ksl+1 não existe qualquer ´ındice a partir do qual todas as aplica¸cões

na nossa sucessão coincidam fora deste compacto. Portanto existe uma aplica¸cão fil+1, com ´ındice il+1 > il, diferente da aplica¸cão limite em

algum ponto xil+1 situado fora do compacto Ksl+1. Seja Ksl+1 o primeiro

compacto da nossa sucess˜ao que cont´em o ponto xil+1. Denotemos por

al+1 = ρ(jrfil+1(xil+1), j r_{f (x}

il+1)) e tomemos uma fun¸c˜ao φ,

diferen-ciável não negativa que satisfaz as condi¸cões do Lema 2.5, isto é, forma o valor 1 no compacto Ksl e o valor nulo fora do compacto Ksl+1 e mais

com valores enter zero e um. A fun¸cão, &l+1 diferenciável e positiva é definida da seguinte forma:

&l+1(x) = φ(x)&l(x) + (1− φ(x))al+1. ´

(18)

Assim, existem pontos x1, x2, . . . , xl, xl+1, aplica¸c˜oes fi1, fi2, . . . , fil,

fil+1 com i1 < i2 <· · · < il < il+1, um compacto Ksl+1 contendo estes

pontos e uma fun¸c˜ao positiva &l+1 tais que: ρ(jrfij(xij), j

r_{f (x}

ij))≥ &l+1(xij) ∀j, 1 ≤ j ≤ l + 1.

Aplicando o pr´ıncipio da indu¸cão matemática deduzimos que fora da vizinhan¸ca da nossa aplica¸cão limite f que é definida pela fun¸cão &∞, existe uma subsucessão _{fij}∞j=1 de aplica¸cões da nossa sucessão. Este

facto contradiz a convergência desta sucessão para esta aplica¸cão f . Desta forma a nossa suposi¸cão não é válida _{⇒ a proposi¸cão 2.3 é} ver-dadeira.

Agora vamos provar os lemas.

Demonstra¸cão do lema 2.4. Uma variedade tem base numerável da to-pologia porque, de acordo com a defini¸cão, ela é um espa¸co topológico de Hansdorff satisfazendo o segundo axioma de numerabilidade. Con-sideremos elementos desta base que têm fecho compacto.

Em primeiro lugar é poss´ıvel enumerá-los U1, U2, . . . , Ul, . . . dado que eles satisfazem a condi¸cão de numerabilidade. Em segundo lugar, a união destes elementos cobre a variedade porque cada ponto da va-riedade tem uma destas vizinhan¸cas.

Definamos agora o compacto K1 como o fecho de U1 e, indutiva-mente, o compacto Ki+1como o fecho da união U1, U2, . . . , Ur do menor número pos´ıvel de elementos que cobre o compacto Ki. De acordo com a constru¸cão utilizada a cadeia K1, K2, . . . , Kl, . . . satisfaz a condi¸cão do lema.

Demonstra¸cão do lema 2.5. Para provar o lema consideremos que a nossa variedade é coberta por dois compactos: U1 e U2 que são a viz-inhan¸ca e o complementar do compacto considerado, respectivamente. Tomemos uma parti¸cão diferenciável da unidade subordinada à cober-tura da variedade referida anteriormente. Definimos a fun¸cão φ como a soma dos fun¸cões dessa parti¸cão que têm suportes em U1. A fun¸cão φ é diferenciável com os valores entre zero e um, e mais é igual a 1 no nosso compacto e zero fora da sua vizinhan¸ca. Portanto, satisfaz as condi¸cões do lema.

Nota 8. Uma parti¸cão diferenciável da unidade é uma coleçcão de fun-¸cões diferenciáveis não negativas {φj} tais que:

• os seus suportes constituem, localmente, uma cobertura finita da variedade;

• em cada ponto a soma dos valores das fun¸c˜oes ´e igual a 1.

A parti¸cão é subordinada a alguma cobertura se, para cada fun¸cão da parti¸cão, existe um elemento da cobertura que contém o suporte desta fun¸cão.

(19)

Para qualquer cobertura de uma variedade existe uma parti¸cão dife-renciável da unidade que é subordinada a essa cobertura [3].

A proposi¸c˜ao 2.3 implica o seguinte corol´ario:

Corolário 2.6. O conjunto das aplica¸cões próprias é aberto no espa¸co das aplica¸cões Ck_-diferenci´_{aveis na topologia C}r _{fina, r} _{≤ k.}

Demonstra¸cão. Vamos assumir o contrário; existe uma fun¸cão própria que é ponto de fronteira do conjunto das fun¸cões próprias. Conside-remos a sucessão de aplica¸cões não próprias, mas que convergem para esse ponto. De acordo com a Proposi¸cão 2.3 existe um compacto e um ´ındice tal que todas as aplica¸cões com maior ´ındice coincidem, fora do compacto, com a aplica¸cão f . Mas a restri¸cão destas aplica¸cões ao compacto são aplica¸cões próprias porque elas são cont´ınuas. Então, a partir deste ´ındice todas as aplica¸cões da nossa sucessão são próprias o que contradiz a nossa suposi¸cão. Consequentemente, o corolário é verdadeiro.

2.4. Algumas aplica¸cões cont´ınuas em topologias fortes. Nesta seçcão vamos mostrar que algumas aplica¸cões úteis são cont´ınuas na topologia forte.

Proposi¸cão 2.7. Para variedades diferenciáveis M , N a aplica¸cão ex-tensão ao jacto de ordem k

jk : f _{"→ j}kf entre C∞(M, N ) e C∞(M, Jk(M, N )) ´e cont´ınua nas topologias Ck+s _{e C}s _{finas, respectivamente, para} qual-quer inteiro n˜ao negativo s, e consequentemente nas C∞_-topologias for-tes (finas).

Esta proposi¸c˜ao implica imediatamente que:

Corolário 2.8. Se a imagem de um conjunto fechado, sob a açcão da extensão ao jacto de ordem k de uma aplica¸cão diferenciável, não tem interseçcões com algum subconjunto fechado do espa¸co dos jactos, então essa imagem para qualquer aplica¸cão, suficientemente próxima da ini-cial, na topologia forte diferenciável (ou em qualquer Ck+s_-topologia forte, s_{≥ 0, ) também não intersecta esse subconjunto fechado.}

Corolário 2.9. O conjunto das imersões (submersões) é aberto no espa¸co das aplica¸cões diferenciáveis na C1_{-topologia forte.}

Corolário 2.10. O conjunto das fun¸cões apenas com pontos cr´ıticos não degenerados é aberto no espa¸co das fun¸cões de classe C2 _{na C}2 -topologia fina.

Corolário 2.11. O conjunto de campos de vectores que têm apenas pontos estacionários não degenerados é aberto no espa¸co dos campos C1 _{na C}1_{-topologia fina.}

(20)

Demonstra¸cão dos corolários. As demonstra¸cões são praticamente as mesmas; mostraremos somente que o segundo decorre do primeiro:

Se uma fun¸cão não é submersão ou imersão num ponto, então o 1-jacto da fun¸cão nesse ponto pertence ao subconjunto fechado no espa¸co dos jactos, definido em coordenadas locais como a interseçcão dos n´ıveis zero dos menorores de maior dimensão da matriz jacobiana. De acordo com o corolário 2.8, o conjunto de fun¸cões com extensões do jacto de ordem 1 que não tem interseçcão com este conjunto é aberto.

Nota 9. Mas em todos estes corol´arios necessitamos de ter um controle cuidado dos objectos no infinito no espa¸co das pr´e-imagens.

Por exemplo, o campo de vectores v(x) = e−|x|sin x (isto é um campo C1_{) definido na recta real tem apenas pontos estacionários não} dege-nerados. Mas os valores próprios associados à sua lineariza¸cão nesses pontos tende, exponencialmente, para zero à medida que o ponto se aproxima do infinito. Assim, para preservar a não degenerescência dos pontos estacionários necessitamos considerar vizinhan¸cas do nosso campo definidas por fun¸cões, &, exponencialmente decrescentes na recta real (se no espa¸co tridimensional das variáveis x, v, v$_{a fun¸cão distância} é a Euclideana.)

Demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.7. Podemos dizer, de uma forma muito simples, que proposi¸cão afirma que o jacto de ordem s da extensão ao jacto de ordem k de uma aplica¸cão diferenciável depende continua-mente da aplica¸cão (e isto é óbvio). Para provar isto consideramos um subconjunto aberto U pertencente a Js_{(M, J}k_{(M, N )).} _{E sufi-}_´ ciente mostrar que para a base respectiva B(U ) conjunto aberto -em C∞_{(M, J}k_{(M, N )) o conjunto (j}k₎−1_{(B(U )) é também aberto em} C∞_{(M, N ).}

Num ponto o jacto de ordem (k + s) de uma aplica¸cão define o jacto de ordem s da sua extensão ao jacto de ordem k, como fácilmente se depreende.

Denotamos por jk,s a seguinte aplica¸cão jk,s : jk+sf (x) "→ js(jkf )(x) que é, certamente, cont´ınua. As aplica¸cões js _{◦ j}k _{e j}

k,s ◦ jk+s s˜ao a mesma aplica¸c˜ao em C∞(M, Js_{(M, J}k_{(M, N ))) (veja-se a figura 13).}

Portanto

(jk)−1(B(U )) = B((jk,s)−1(U ))

Mas o conjunto (jk,s)−1(U ) é aberto pois é a pré-imagem de um aberto por uma aplica¸cão cont´ınua; então, o conjunto B((jk,s)−1(U )) é aberto como elemento da base da topologia. Logo, o conjunto (jk₎−1_{(B(U )) é} também aberto.

Proposi¸cão 2.12. Sejam L, M , N variedades diferenciáveis. Para uma aplica¸cão φ : M → N a aplica¸cão φ∗ : f "→ φ ◦ f entre C∞(L, M )

(21)

= Jk+s_{(M, N )} _Js_{(M, J}k_{(M, N ))} Jk_{(M, N )} js_(jk_{f )(x)} jk+s_f jk+s_{f (x)} js_(jk_{f )} jk_{f (x)} jk_f jk,s x M jk+s_{f (x)} jk,s( )

Figura 13. Diagrama comutativo com aplica¸c˜oes ex-tens˜oes de jactos.

e C∞(L, N ) ´e cont´ınua em qualquer Ck_{-topologia, e logo cont´ınua na} topologia diferenci´avel fina.

Demonstra¸cão. Seja U um subconjunto aberto em Jk_{(L, N ) e seja} B(U ) o respectivo subconjunto em C∞(L, N ); por defini¸cão de topolo-gia B(U ) é aberto. Então, é suficiente mostrar que (φ∗)−1(B(U )) é um conjunto aberto.

A aplica¸cão φ induz de forma natural a aplica¸cão diferenciável e cont´ınua:

Φ : jkf (x)_{"→ j}k(φ_{◦ f)(x)}

entre os espa¸cos dos jactos Jk_{(L, M ) e J}k_{(L, N ) (veja-se figura 14).} Então a pré-imagem Φ−1(U ) é um conjunto aberto e o respectivo con-junto base B(Φ−1(U )) é aberto em C∞(L, M ) de acordo com a defini¸cão de topologia. Jk_{(L, M )} Jk_{(L, N )} U −1_{(U )} ∗ C∞_{(L, M )} C∞_{(L, N )} B(U ) B( −1_{(U )) =} −1 ∗ (B(U )) Φ Φ Φ ϕ ϕ

Figura 14. Continuidade da L-equivalˆencia.

Mas o último conjunto coincide com (φ_∗)−1_{(B(U )) como facilmente} se vê. Assim, a aplica¸cão φ_∗ é cont´ınua em qualquer Ck_{-topologia fina,} e por isso também o é na topologia diferenciável fina.

(22)

Nota 10. A última proposi¸cão implica que a L-equivalência é cont´ınua nas topologias fortes. Mas se nesta proposi¸cão a aplica¸cão fôr entre as variedades L e M , então a aplica¸cão φ_∗ pode ser cont´ınua ou não dependendo tal facto da aplica¸cão φ. Por exemplo, para a fun¸cão di-ferenciável φ, φ(x) = x/√1 + x2_{, definida na linha real consideremos a} fun¸cão composi¸cão f ◦ φ onde f é uma fun¸cão diferenciável qualquer (também definida na recta real). Se a respectiva aplica¸cão φ_∗ : f _"→ f _{◦ φ é cont´ınua na C}k_{-topologia forte, então a pré-imagem, sob esta} aplica¸cão, de uma vizinhan¸ca da fun¸cão zero

{f | ρ(jk(f _{◦ φ), 0) < e}−x2_}

definida pela fun¸cão &(x) = e−x2 tem que ser aberta. Mas qualquer fun¸cão pertencente a esta pré-imagem tem que ter valor nulo no ponto x = ±1. Logo não é possivel formar conjuntos abertos. Então a aplica¸cão φ∗ não é cont´ınua nas topologias fortes.

Mas é cont´ınua se assumirmos, adicionalmente, que a aplica¸cão φ é própria, em particular, se esta aplica¸cão é um difeomorfismo. Então a R-equivalência também é cont´ınua nas topologias finas.

3. Transversalidade e Teoremas de Transversalidade No espa¸co aritmético 3-dimensional duas linhas rectas não se inter-sectam e dois hiperplanos t´ıpicos têm interseçcão de dimensão 1. Nesta seçcão vamos apresentar algumas generaliza¸cões muito distantes destes factos.

3.1. No¸c˜oes de transversalidade.

Defini¸cão 10. Sejam L, M, N variedades diferenciáveis. Duas aplica-¸cões diferenciáveis f : L_{→ N e g : M → N são transversais nos pontos} P _{∈ L e Q ∈ M se:}

• as imagens f(P ) e g(Q) s˜ao diferentes ou • f(P ) = g(Q) e se verifica a igualdade

f_∗(P )TPL + g∗(Q)TQM = TSN, (3)

onde TPL, TQM, TSN s˜ao espa¸cos tangentes, f∗ e g∗ as aplica¸c˜oes induzidas dos fibrados tangentes, e S = f (P ) = g(Q)

Defini¸cão 11. Estas aplica¸cões são transversais nos conjuntos A ⊂ L e B ⊂ M se são transversais para qualquer par de pontos P ∈ A e Q_{∈ B.}

Defini¸cão 12. As aplica¸cões f e g são transversais se a transversali-dade toma lugar para A = L e B = M.

A nota¸cão utilizada para as defini¸cões acima são: f !P,Q g, f !A,B g, f ! g, respectivamente.

(23)

Exemplo 4. Sejam L, M linhas reais com coordenadas u e v, respec-tivamente, e seja N o plano real R2

x,y. Considere a aplica¸cão induzida pelo mergulho do eixo dos xx$ _{neste plano, e a aplica¸cão definida pelas} fórmulas: x = v e y = v2_{+ &, onde o parâmetro & pode ser:}

a) menor que zero, b) igual a zero ou c) maior que zero (veja-se a figura 15). x y g(IR ) L g∗(±&)T±√#IR g∗(0)T0IR = TOOx

(a) & < 0 (b) & = 0 (c) & > 0 (d)

O O O O x x x y y y g(IR ) g(IR ) g (I R ) L L L

Figura 15. Transversalidade e n˜ao transversalidade.

No subcaso (a) as imagens das nossas aplica¸cões não se intersectam e, portanto, as aplica¸cões são transversais por defini¸cão.

No subcaso (b) as aplica¸cões também são transversais, mas as ima-gens têm dois pontos de interseçcão.O primeiro termo da equa¸cão (2) dá o subespa¸co linear horizontal R(1, 0) em qualquer ponto da imagem. O segundo termo define o subespa¸co linear R(1, 2v) no ponto (v, v2_{+ &)} da imagem. A soma destes dois subespa¸cos dá todo o plano se v ,= 0. No subcaso considerado isto é verdadeiro porque para o ponto de in-terseçcão v2 ₌_{−& > 0.}

Finalmente no caso (c) existe um ponto O que pertence à interseçcão das imagens, mas neste caso o segundo subespa¸co é também horizontal uma vez que para este ponto v2 _{= & = 0. Logo, a soma destes} sub-espa¸cos coincide com cada um deles e não dá o plano tangente para o espa¸co das imagens no ponto de interseçcão. Então as aplica¸cões não são transversais nas origens.

Se a apliçcão g é definida por x = 0, y = v3 _{então as imagens das} nossas aplica¸cões têm outra vez a origem como ponto de interseçcão. Neste ponto os espa¸cos tangentes das imagens somados dão todo o plano (veja-se figura 15). Mas as aplica¸cões continuam a não serem transversais nas pré-imagens deste ponto porque agora o segundo sub-espa¸co linear é trivial (= 0-dimensional) como é fácil de ver.

Se na defini¸cão de transversalidade uma das variedades pré-imagem, por exemplo M, é uma C1_{-subvariedade da variedade imagem e a} aplica¸cão é apenas o mergulho induzido g = i : M (→ N, então definiremos de maneira análoga a tranversalidade de f a M num ponto,

(24)

a transversalidade de f a M num subconjunto A ⊂ L e a transver-salidade de f a M (A = L). Sendo a respectiva nota¸c˜ao dada por: f !P M, f !AM, f ! M.

3.2. Corolários de no¸cões de transversalidade. Seja L, M, N va-riedades diferenciáveis e f, g são aplica¸cões diferenciáveis de L e M, para N , respectivamente. Algumas afirma¸cões simples e úteis decorrem da defini¸cão de transversalidade.

Corolário 3.1. Seja L uma C1_{-subvariedade de N com codimensão k,} g(Q)∈ L para algum ponto Q ∈ M e z1, z2, . . . , zn são as coordenadas diferenciáveis locais na vizinhan¸ca do ponto g(Q) no qual a subvarie-dade L é definida pelas equa¸cões z1 = z2 =· · · = zk = 0. Então g!Q L se e só se o germe, no ponto Q, da aplica¸cão ˜g : (.)"→ (g1, g2, . . . gk) é o germe da submersão ( onde g = (g1, g2, . . . gn)).

Demonstra¸cão. Em z-coordenadas escolhidas o espa¸co tangente da sub-variedade L no ponto g(Q) coincide com o subespa¸co linear gerado pelos vectores unitários dos eixos zicom k < i≤ n (veja-se figura 16). Então, se a aplica¸cão ˜g é uma submersão no ponto Q, a imagem g∗(Q)TQM tem que conter k vectores que, conjuntamente com os vectores unitários, fornecem uma base para o espa¸co tangente Tg(Q)N , e, portanto, g !Q L. Reciprocamente, se g !Q L então a imagem g∗(Q)TQM tem que conter tais vectores adicionais, de acordo com isso, a aplica¸cão ˜g tem caracter´ıstica máxima no ponto Q. Logo esta aplica¸cão é submersão no ponto Q. zk+1, zk+2, . . . , zn g(M ) g(Q) = O g∗(Q )TQM φ(g(Q)) (φ ◦ g )∗ (Q )T Q M z1 ,z2 ,. .. ,zk φ : z"−→ (z1, z2, . . . , zk) L z1 ,z2 ,. .. ,zk projeçcão

Figura 16. Em coordenadas apropriadas: transversal-idade _{⇔ submers˜ao.}

Exemplo 5. Consideremos um campo de vectores diferenciável na recta real. Trata-se da seçcão g : x _{"→ (x, v(x)) do fibrado tangente} para a recta. Os seus pontos estacionários são exactamente a inter-seçcão desta inter-seçcão com a inter-seçcão zero (v ≡ 0) que é a subvariedade diferenciável do fibrado tangente da codimensão 1. De acordo com o corolário 3.1, a seçcão g é transversal a esta subvariedade no ponto Q, v(Q) = 0, se e só se a aplica¸cão x "→ v(x) tem caracter´ıstica máxima

(25)

neste ponto, isto é, v$(Q),= 0. Então, a transversalidade aqui significa que o ponto estacionário, Q, é não degenerado.

O mesmo ´e verdadeiro para um campo de vectores numa variedade de dimens˜ao 1.

Exemplo 6. Consideremos o C2_{-potencial, U , no espa¸co aritm´etico} Rm

x. Os seus pontos cr´ıticos são exactamente aqueles onde U$ = 0. Então, o seu aparecimento corresponde ã interseçcão da imagem da extensão ao jacto de ordem 1 do potencial com a subvariedade diferen-ciável no espa¸co dos jactos de ordem 1 definido pela equa¸cão U$ _{= 0.} Tendo em conta o corolário 3.1, a extensão ao jacto de ordem 1 do potencial é transversal a esta subvariedade se e só se a aplica¸cão x "→ U$(x) tem caracter´ıstica máxima no respectivo ponto. Isto significa que, em tal ponto, a matriz Hessiana U$$ é não degenerada. Logo, aqui a transversalidade significa que o ponto cr´ıtico do potencial é não degenerado.

Tamb´em se pode dizer o mesmo para um C2_{-potencial numa} varie-dade.

Corolário 3.2. Se para k _{≥ 1 as aplica¸cões C}k _{f e g são transversais} então o conjunto S de todos os pontos P _{∈ L, Q ∈ M satisfazendo} a igualdade f (P ) = g(Q) é vazio ou uma Ck_{-subvariedade no produto} directo L_{× M de dimensão dim L + dim M − dim N (de codimensão} dim N ). Em particular, quando dim L + dim M − dim N < 0 este conjunto é sempre vazio.

Demonstra¸cão. Se o conjunto S é vazio o corolário é válido. Seja S ,= ∅. Sejam (P, Q) ∈ S e r a caracter´ıstica da aplica¸cão f no ponto P. Então, quaisquer que sejam as coordenadas locais consideradas existem exac-tamente r componentes desta aplica¸cão com diferenciais linearmente independentes no ponto P . Podemos, perto deste ponto, tomar estas componentes como primeiras r componentes das coordenadas locais xi no espa¸co das pré-imagens. Assim, depois da reordena¸cão das coorde-nadas locais no espa¸co das imagens, a aplica¸cão f , toma a forma

zi = xi, 1≤ i ≤ r; zj = fj(x), r < j≤ n,

onde x1, x2, . . . , xl e z1, z2, . . . zn são coordenadas locais de classe Ck e C∞, respectivamente, no espa¸co das pré-imagens e espa¸co das imagens com origens nos pontos P e f (P ), respectivamente, e todos os fj são fun¸cões Ck_{. Todas as derivadas f}$

j(P ), r < j ≤ n, são nulas pois, a caracter´ıstica de f no ponto Q é igual a r. Então, nestas coordenadas, a imagem f_∗(P )TPL coincide com o espa¸co linear gerado pelos primeiros r vectores unitários.

As aplica¸cões f e g são transversais nos pontos P, Q. Então, a ima-gem g_∗(Q)TQM terá de nos dar os n− r vectores básicos do espa¸co tangente Tf (P )N . Portanto, nas coordenadas z escolhidas as últimas

(26)

n−r componentes da aplica¸cão g têm diferenciais linearmente indepen-dentes no ponto Q. Então, perto deste ponto, elas podem ser tomadas como as últimas (n_{− r) coordenadas locais y}i de classe Ck, com quais-quer outras coordenadas y1, . . . , ym−n+r também de classe Ck.

Nas coordenadas escolhidas a aplica¸cão g assume a forma zi = gi(y), 1≤ i ≤ r; zj = ym−n+j, r < j ≤ n, onde todos os gj são fun¸cões Ck.

Consequentemente, é fácil verificar que o conjunto S é definido, perto do ponto (P, Q), pelo sistema de n equa¸cões

xi− gi(y) = 0, 1≤ i ≤ r; ym−n+j− fj(x) = 0, r < j ≤ n. O lado esquerdo destas equa¸cões são fun¸cões Ck_{, e as suas diferenciais} no ponto (P, Q) são linearmente independentes: a matriz das derivadas calculada na origem contém a submatriz n×n, triangular com diagonal unitária. Donde, pelo teorema da fun¸cão impl´ıcita este sistema define, próximo do ponto (P, Q), uma subvariedade Ck _{de codimensão n ( ou} dimensão dim L + dim M _{− dim N).}

Nota 11. Se, para além das condi¸cões do último corolário, a aplica-¸cão f é própria, então a restriaplica-¸cão ao conjunto S da projecaplica-¸cão natural do produto directo L× M ao segundo factor (sendo dom´ınio de g) é também uma aplica¸cão própria.

Nota 12. Se a variedade L é uma subvariedade em N e f é o mergulho induzido então, a subvariedade S é definida naturalmente em M , e neste caso ou é vazia ou a sua codimensão é igual à codimensão de L em N .

Exemplo 7. Consideremos um potencial C2 _{numa variedade} diferen-ciável M que depende diferenciavelmente do parâmetro λ percorrendo uma variedade diferenciável Λ. No espa¸co dos potenciais dos 1-jactos (como uma fun¸cão de duas variáveis x _{∈ M e λ) o conjunto de jactos} satisfazendo U$

x = 0 é uma subvariedade diferenciável de codimensão m = dim M. Pelo último corolário a transversalidade do potencial da extensão ao 1-jacto a esta subvariedade implica que os seus pontos cr´ıticos formem uma subvariedade diferenciável de codimensão m (e então, de dimensão dim Λ) no produto directo M × Λ.

Note-se que aqui transversalidade não significa que um ponto cr´ıtico de um potencial tem de ser não degenerado. Por exemplo, o potencial U (x) = x3 _{+ λx no eixo real, onde a diferenciabilidade depende do} parâmetro real λ, tem uma extensão 1-jacto transversal à subvariedade U$

x = 0 mas para λ = 0 o seu único ponto cr´ıtico é degenerado (Fig.17). O conjunto de todos os pontos cr´ıticos forma a parábola λ = _−3x2 _que é uma subvariedade de codimensão (dimensão) 1 no plano x, λ.

(27)

U λ x λ =−3x2 O O λ x U = x3_{+ xλ}

Figura 17. Pontos cr´ıticos do potencial x3_{+ xλ.}

Proposi¸cão 3.3. Para uma dada aplica¸cão própria diferenciável g : M → N o conjunto de todas as aplica¸cões diferenciáveis f : L → N transversais a g é aberto para a topologia fina C1_.

Demonstra¸cão. É baseada no corolário 2.8. Por este corolário é sufi-ciente mostrar que no espa¸co J1_{(L, N ) o conjunto S de jactos que nos} dão a não transversalidade à aplica¸cão própria dada, g, é fechada.

Seja {σi}∞i=1 uma sequência convergente de jactos em S e σ o seu limite. Precisamos de mostrar que σ ∈ S. Denotemos por Pi, Hi, (P , H) as imagens do jacto σi (σ, respectivamente) nas variedades L e N , respectivamente, sob as projeçcões naturais.

Seja fi um qualquer representante do jacto σi. Tomemos qualquer ponto Qi na pré-imagem do ponto Hi sob a aplica¸cão g tal que as aplica¸cões fi e g não são transversais nos pontos Pi, Qi. Aqui, a não transversalidade significa que a caracter´ıstica da aplica¸cão linear

"

fi∗(Pi) 0 0 g_∗(Qi)

# (4)

do plano tangente TPiL× TQiM no plano tangente THiN ´e menor que

dim N . Obviamente esta caracter´ıstica ´e a mesma para qualquer re-presentante (=fi) do jacto σi.

Consideremos uma vizinhan¸ca qualquer do ponto H com fecho com-pacto e pré-imagem deste fecho K sob a aplica¸cão g. K é comcom-pacto pois g é uma aplica¸cão própria. Come¸cando por um qualquer ´ındice, todos os pontos Hi pertencem a esta vizinhan¸ca, e então todos os pontos Qi pertencem a este compacto. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass existe uma subsequência convergente {Qij}∞j=1. Sem perda de

generali-dade podemos supor que esta subsequência é precisamente a sequência {Qi}∞i=1. Seja Q o seu limite.

Pela dependência cont´ınua da aplica¸cão linear (4) do jacto σi e do ponto Qi a sua caracter´ıstica para o jacto σ no ponto Q é também menor que dim N. Da´ı que o jacto limite σ também perten¸ca a S.

(28)

J1_{(L, N )} σ1 σ σ2 σi P1 P P2 Pi Q1 Q2 _Q Qi K M L N H1 _H H2 Hi g(M ) f f1 fi f2 j1_f j1_f 1 j1_f 2 j1_f i j1_{f (L)} j1_f 1(L) j1_f i(L) j1_f 2(L) g

Figura 18. Conjunto de jactos supondo que a n˜ao transversalidade ´e fechada.

Nota 13. Na proposi¸cão acabada de demonstrar a qualidade de ser própria da aplica¸cão g é muito importante para a abertura do conjunto de aplica¸cões f transversais a g. A afirma¸cão não é verdadeira sem esta suposi¸cão.

Por exemplo, consideremos a aplica¸cão g : u "→ (0, u/(1 + u2₎1/2_). Então o mergulho no plano do c´ırculo (x−1)2_+(y₋₁₎2 _{= 1 é transversal} com g porque as suas imagens não se intersectam. Mas existem per-turba¸cões delas, tão pequenas quanto queiramos, que não são transver-sais com g (Fig. 19).

(x− 1)2_{+ (y}_{− 1)}2_{= 1} _(x − 1)2_{+ (y}_{− 1 + &)}2₌ 1 y g(IR) & O x 1 1

Figura 19. A qualidade de ser pr´opria ´e muito impor-tante para a abertura.

3.3. Teoremas de Transversalidade. Os teoremas de transversali-dade s˜ao uma das mais importantes ferramentas na teoria das singu-laridades. Sejam L, M e N variedades diferenci´aveis.

(29)

Teorema de transversalidade de Bakhtin-Lin. Para qualquer apli-ca¸cão própria diferenciável g : M → N o conjunto de aplica¸cões dife-renciáveis f : L _{→ N transversais a g é aberto para a topologia fina} C1 _{e denso para a topologia fina C}∞_.

Teorema de transversalidade de jactos de Bahtin-Lin. Para qual-quer aplica¸cão própria diferenciável g : M _{→ J}k_{(L, N ) o conjunto de} aplica¸cões diferenciáveis f : L_{→ N com extensões k-jacto transversais} a g é aberto para a topologia fina Ck+1 _{e denso para a topologia fina} C∞.

Estas teoremas conduzen-nos `as seguintes afirma¸c˜oes.

Corolário 3.4 (Teorema de transversalidade fraca). Para qualquer sub-variedade C1_{, M em N fechada em N , o conjunto de aplica¸cões} dife-renciáveis f : L_{→ N transversais a M é aberto para topologia fina C}1 e denso para a topologia fina C∞_.

Corolário 3.5 (Teorema de transversalidade de Thom). Para qualquer subvariedade C1_{, M , em J}k_{(L, N ), fechada em J}k_{(L, N ), o conjunto} de aplica¸cões diferenciáveis f : L → N de extensões k-jacto transver-sais a M é aberto para a topologia fina Ck+1 _{e denso para a topologia} fina C∞_.

Primeiramente demonstremos os corol´arios recorrendo aos teoremas de transversalidade de Bahtin-Lin.

Demonstra¸cão. O teorema de transversalidade fraca segue imediata-mente do teorema de transversalidade de Bahtin-Lin onde a aplica¸cão g é tomada como o mergulho de M em N (que é uma aplica¸cão própria porque a subvariedade M é fechada em N ). Pelo mesmo argumento o teorema de transversalidade de jactos de Bahtin-Lin implica o teorema de transversalidade de Thom.

Nota 14. Os teoremas de transversalidade de Bahtin- Lin e os coro-lários também são válidos para aplica¸cões Cr _{suficientemente} diferen-ciáveis, mas, neste caso, a densidade é para a topologia Cr respectiva-mente. Note-se que neste espa¸co o conjunto de aplica¸cões diferenciáveis é sempre denso [5].

Antes de demonstrarmos os teoremas de transversalidade de Bahtin-Lin formularemos alguns corolários simples análogos aos Corolários 2.10, 2.11. Ilustraremos a utilidade dos teoremas de transversalidade. Corolário 3.6. No espa¸co das fun¸cões diferenciáveis o conjunto de fun¸cões apenas com pontos cr´ıticos não degenerados é aberto para a topologia fina C2 _{e denso na topologia fina C}∞_.

Corolário 3.7. No espa¸co dos campos vectoriais diferenciáveis o con-junto daqueles apenas com pontos cr´ıticos não degenerados é aberto na topologia fina C1 _{e denso na topologia fina C}∞_.

(30)

Demonstra¸c˜ao. O theorema de transversalidade de jactos de Bakhtin-Lin implica estos corol´arios.

O 1-jacto de fun¸cao num ponto cr´ıtico pertence ao subconjunto M dos jactos com primeira derivada nula. Este subconjunto é uma sub-variedade. Pelo theorema de transversalidade de jactos, o conjunto das fun¸cões cuja extensão de 1-jacto é transversal a M é aberto na topolo-gia fina C2 _{e denso na topologia fina C}∞_{. Mas aqui, ser transversal} significa que os pontos cr´ıticos são não degenerados.

Analogamente, o 0-jacto de um campo vectorial num ponto cr´ıtico pertence ao subconjunto M dos jactos com valor nulo de velocidade. Este subconjunto é uma subvariedade. Pelo theorema de transversali-dade de jactos, o conjunto dos campos, com extensões 1-jacto transver-sais a M , é aberto natopologia fina C1 _{e denso na topologia fina C}∞_. Novamente aqui, ser transversal significa que pontos criticos são não degenerados.

Nota 15. Diz-se que um objecto genérico (=t´ıpico) tem alguma pro-priedade se esta propro-priedade ocorre para qualquer objecto de um sub-conjunto denso e aberto no espa¸co dos objectos na topologia apro-priada. No nosso caso usaremos normalmente topologias finas diferen-ciáveis (ou suficientemente diferendiferen-ciáveis). Por exemplo, pelo Corolário 3.6 uma fun¸cão diferenciável genérica tem apenas pontos cr´ıticos não degenerados.

3.4. Demonstra¸c˜ao do teorema de transversalidade de Bahtin-Lin.

Demonstra¸cão do teorema de Bahtin-Lin. Precisamos apenas de mos-trar que o conjunto das aplica¸cões transversais é denso no espa¸co das aplica¸cões na topologia diferenciável fina, pois devido à Proposi¸cão 3.3 verifica-se que esse conjunto é aberto.

As duas afirma¸cões seguintes são muito úteis.

Teorema 3.8. Para variedades L, E, M e aplica¸cão diferenciável F : L×E → N transversal a uma aplica¸cão própria g : M → N o conjunto de &∈ E para os quais a aplica¸cão f# : (., &)"→ F (., &) é transversal a g é residual em E.

Teorema 3.9. O espa¸co das aplica¸c˜oes Ck_{com a topologia C}r _fina, para 0≤ r ≤ k, ´e um espa¸co de Baire.

Nota 16. Um subconjunto residual tem de conter uma interseçcão nun-ca maior do que um número contável de subconjuntos densos abertos. Um espa¸co topológico diz-se um espa¸co de Baire se algum dos seus subconjuntos residuais é denso. Por exemplo, qualquer variedade é um espa¸co de Baire. É óbvio que a interseçcão de um número contável de subconjuntos residuais é residual.

(31)

Pela defini¸cão de topologia diferenciável fina é suficiente mostrar a densidade das aplica¸cões transversais para qualquer topologia fina Ck_, k _{≥ 1.}

Seja U um conjunto aberto de uma base topológica contável em N com fecho compacto e pertencente a alguma vizinhan¸ca de coordenadas V e seja K o fecho de algum conjunto do mesmo tipo mas apenas em L. É suficiente mostrar a densidade do conjunto de todos os mapas f transversais a g nos compactos K e g−1_{( ¯}_{U ), respectivamente (o ´}_ultimo conjunto é compacto pelo facto de a aplica¸cão g ser própria e da com-pacidade do conjunto ¯U ).

Na verdade, pela Proposi¸cão 3.3 este conjunto é aberto. Conse-quentemente, tomando a interseçcão de todos estes conjuntos sob, não mais do que um número contável de pares desses compactos, obtemos o subconjunto de aplica¸cões residuais transversais a g (pois qualquer variedade é coberta por tais compactos). Mas um subconjunto residual é sempre denso em C∞(L, N ) para qualquer topologia fina, devido ao Teorema 3.9.

Assim, precisamos de mostrar que existe uma pequena perturba¸c˜ao para qualquer aplica¸c˜ao f _{∈ C}∞_{(L, N ) transversal a g nos compactos} K e g−1_{( ¯}_{U ), respectivamente.}

Se a interseçcão f (K) _{∩ ¯}U é vazia então não há necessidade de se provocar qualquer perturba¸cão, já que a aplica¸cão f é, ela mesma, transversal.

Seja f (K)∩ ¯U não vazia, e consideremos K$ _{= K}_{∩ f}−1_{( ¯}_{U ). Pela} continuidade da fun¸cão f existem vizinhan¸cas W, W$ do compacto K$, tão pequenas quanto queiramos, com fechos compactos e tais que ¯W ⊂ W$ e f ( ¯W$)⊂ V . A imagem do compacto ¯W$ para qualquer aplica¸cão suficientemente próxima de f pertence à vizinhan¸ca de coordenadas V . Mas, mantendo-nos nesta vizinhan¸ca podemos supor estar no dom´ınio do espa¸co aritmético n-dimensional Rn_{. Consequentemente, para} valo-res de &_{∈ R}n _{suficientemente pequenos a perturba¸cão}

f# : x"→ f(x) + &φ(x), (5)

onde a fun¸cão diferenciável φ é igual a um no compacto ¯W e zero fora do compacto ¯W$_{, da nossa aplica¸cão inicial, está correctamente definida.}

A diferen¸ca K_{\ W é compacta e, pela escolha de W , a sua imagem} sob a aplica¸cão f não tem interseçcão com o conjunto ¯U . Por con-seguinte, para valores suficientemente pequenos de &, a imagem deste compacto sob a aplica¸cão f#também não intersecta o conjunto ¯U . Mas isto significa que as aplica¸cões f# e g são transversais nos compactos K\ W e g−1_{( ¯}_{U ). Mais, a aplica¸cão F : (x, &)}_{"→ f}

#(x) é uma submersão no ponto (x, &) se x ∈ ¯W e o valor de & é suficientemente pequeno para que a perturba¸cão esteja bem definida. Mas uma submersão é transver-sal a qualquer aplica¸cão.

(32)

f−1_{( ¯}_{U )} K$ _K W W$ ¯ U f ( ¯W ) f ( ¯W$₎ f (K) f V

Figura 20. Transversalidade nos compactos K e g−1( ¯U ) Assim, existe um número positivo δ tal que, para qualquer valor de &, _{|&| ≤ δ, a aplica¸cão F é transversal a g nos compactos (K\W ) ∪ ¯}W e g−1_{( ¯}_{U ), respectivamente. Mas K} _{⊂ (K\W ) ∪ ¯}_{W . Então para tais} valores de & as aplica¸cões F e g são transversais nos compactos K e g−1( ¯U ), respectivamente, e portanto, em algumas vizinhan¸cas suficien-temente pequenas L$ e M$ destes compactos respectivamente.

Pelo Teorema 3.8 o conjunto dos & que nos d˜ao a transversalidade entre f# e g em L$ e M$, respectivamente, ´e residual na bola E = {& | |&| < δ}. Portanto, existe um & arbitrariamente pequeno capaz de nos fornecer tal transversalidade, e por conseguinte a transversalidade entre f# e g nos compactos K e g−1( ¯U ), respectivamente.

Mas a nossa perturba¸cão está localizada no compacto ¯W$ _{e depende} continuamente do parâmetro &. Portanto, numa dada vizinhan¸ca de f a aplica¸cão f#pertence a esta vizinhan¸ca para um & suficientemente pe-queno. Da´ı que o conjunto de aplica¸cões transversais a g nos compactos K e g−1( ¯U ) seja denso.

Assim concluimos a demonstra¸c˜ao do Teorema de transversalidade de Bahtin-Lin.

Nota 17. A demonstra¸cão do Teorema de transversalidade de jactos de Bahtin-Lin pode ser feito da mesma forma. Só precisamos usar a perturba¸cão & é um polinomio de grau k e vizinhan¸cas de tipo V na espa¸o de jactos.

O Teorema 3.8 segue do Corolário 3.2 e da afirma¸cão seguinte: Teorema de Bertini-Sard. Para variedades diferenciáveis M , N e aplica¸cão g : M → N de classe Cr_{, a medida dos valores cr´ıticos desta} aplica¸cão é zero se r > min{0, m − n}. Além disso, o conjunto dos valores não cr´ıticos é residual.