Lista de Exercícios da Unidade IX

EXERCÍCIO – UNIDADE 9

1. Qual o valor de Ftabelado ao nível de significância de

α

=

0

,

05

para: (n=11 e k=6,

n=10 e k=3 e n=7 e k=5) a) 2,37 – 3,35 – 2,69 b) 2,37 – 4,55 – 1,79 c) 3,35 – 2,37 – 2,69 d) 2,69 – 4,78 – 5,78 e) 2,69 – 3,37 – 5,78 2. Considere as hipóteses:

H0=As médias são iguais

H1=As médias são diferentes

Se o Fcalculado=9,43 e Ftabelado=6,93, a hipótese nula ao nível de significância

01

,

0

=

α

será aceita? Justifique.

a) Não, será rejeitada, pois o Ftabelado é maior do que o Fcalculado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

b) Sim, será aceita, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está dentro da área de aceitação.

c) Não, será rejeitada, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

d) Sim, será rejeitada, pois o Ftabelado é maior do que o Fcalculado, ou seja, o valor está dentro da área de aceitação.

e) Sim, será aceita, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

3. A tabela abaixo representa as distâncias percorridas por veículos de 4 marcas diferentes, ao serem abastecidos com 1 litro de 3 tipos diferentes de gasolina. A partir desses dados, calcule

n

.

s

_x2, a média das variâncias das quatro amostras e o valor de Fcalculado. Marca Gasolina comum Gasolina especial Gasolina

extra Média Variância

A 15,30 14,60 14,90 14,93 0,12 B 12,60 13,20 14,20 13,33 0,65 C 14,20 12,60 14,80 13,87 1,29 D 11,80 15,10 14,70 13,87 3,24 a) 2 = .s_x n 0,58; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=0,45.

b) 2 = .s_x n 1,38; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=1,42. c) 2 = .s_x n 1,35; 2

=

1

,

33

x s

x

e Fcalculado=1,02. d) 2 = .s_x n 2,89; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=2,98. e) 2 = . x s n 1,94; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=2,00.

4. Com base na amostra da questão 3, ao nível de

α

=

0

,

05

de significância, teste se as diferenças entre as médias das quatro amostras podem ser atribuídas ao acaso.

a) Como Fcalculado < Ftabelado, se aceita H0 ao nível de significância de

α

=

0

,

05

. (F3,9 (tabelado)=3,86)

b) Como Fcalculado < Ftabelado, rejeita-se H0 ao nível de significância de

α

=

0

,

05

. (F3,9 (tabelado)=3,86)

c) Como Ftabelado < Fcalculado, se aceita H0 ao nível de significância de

α

=

0

,

05

. (F3,9 (tabelado)=3,86)

d) Como Ftabelado < Fcalculado, rejeita-se H0 ao nível de significância de

α

=

0

,

05

. (F3,9 (tabelado)=3,86)

e) Como Fcalculado = Ftabelado, nenhuma das hipóteses são aceitas.

5. Para utilizarmos a análise da variância precisamos supor que:

a) As populações estudadas tendem a uma distribuição normal e possuem a mesma moda.

b) As populações estudadas tendem a uma distribuição normal e possuem o mesmo desvio padrão.

c) As populações estudadas tendem a uma distribuição binomial e possuem o mesmo desvio padrão.

d) As populações estudadas tendem a uma distribuição probabilística e possuem a mesma variância.

e) As populações estudadas tendem a uma distribuição de freqüências e possuem a mesma mediana.

6. Para que a hipótese H0 seja aceita é necessário que:

a) Fcalculado > Ftabelado. b) Fcalculado ≠ Ftabelado. c) Fcalculado

∈

Ftabelado. d) Fcalculado

∉

Ftabelado. e) Fcalculado < Ftabelado.

7. Para que a hipótese H1 seja rejeitada é necessário que:

a) Fcalculado > Ftabelado. b) Fcalculado ≠ Ftabelado. c) Fcalculado < Ftabelado. d) Fcalculado

∈

Ftabelado. e) Fcalculado

∉

Ftabelado.

8. Se em uma pesquisa qualquer temos que o tamanho da amostra é n=6 e a expressão k(n-1)=10, qual o valor de k?

a) k=2 b) k=3 c) k=4 d) k=5 e) k=6

9. O Sr. Avelino das Couves está fazendo um tratamento com o Dr. Pardal, para controle da pressão sistólica arterial. O doutor está testando 3 medicamentos para verificar o mais eficaz. No entanto ele não tem observado grandes diferenças na variação da pressão do seu paciente.

P.S.A. Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

Medicamento 1 138 189 146 138 192 129 152

Medicamento 2 142 176 174 139 151 142 148

Medicamento 3 154 159 189 145 149 169 179

O presente teste tem por objetivo checar se há variação na pressão média arterial do paciente ao longo de uma semana. Durante três semanas consecutivas tem havido uma variação muito grande. O procedimento utilizado pelo médico é: aplica-se a medicação e após 1 hora verifica-se a pressão do paciente. O que o Dr. Pardal deseja saber?

Hipótese nula → H0 = Não há diferença na pressão média arterial (indefere a

medicação), ao nível de significância de

α

=

0

,

01

.

Hipótese alternativa → H1 = Há diferença na pressão média arterial (um dos

remédios é mais eficaz que o outro), ao nível de significância de

α

=

0

,

01

.

10. Um atleta velocista percorre aproximadamente 100 metros em 10,2 segundos. Este atleta irá participar do PAN/2007 e o seu treinador está fazendo um estudo estatístico para verificar a média do tempo de percurso dele, nos últimos 5 campeonatos. A um nível de significância de

α

=

0

,

05

, teste a

hipótese:

H0= Não há alteração no tempo médio do atleta nos cinco campeonatos.

H1= Há alteração no tempo médio do atleta nos cinco campeonatos.

Índice de classificação

Índice

final Média Variância

Campeonato 1 12,05 11,10 11,58 0,45

Campeonato 2 13,05 14,20 13,63 0,66

Campeonato 3 11,06 11,01 11,04 0,00

Campeonato 4 13,60 12,30 12,95 0,85

GABARITOS COMENTADOS

1. Qual o valor de F

tabelado

ao nível de significância de

α

=

0

,

05

para: (n=11

e k=6, n=10 e k=3 e n=7 e k=5)

a) 2,37 – 3,35 – 2,69

b) 2,37 – 4,55 – 1,79

c) 3,35 – 2,37 – 2,69

d) 2,69 – 4,78 – 5,78

e) 2,69 – 3,37 – 5,78

Para encontrar o valor tabelado de F, precisamos calcular o valor do

numerador e do denominador. Lembramos que:

Para o numerador utilizamos k-1 graus de liberdade;

Para o denominador utilizamos k(n-1) graus de liberdade.

Para n=11 e k=6, teremos:

Numerador = 6-1 = 5

Denominador = 6(11-1)= 66-6=60

Valores Críticos de F: Valores de F

0,05

Graus de Liberdade do Numerador

V1 V2 1 2 3 4 5 6 29 4,18 3,33 2,93 2,7 2,55 2,43 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 60 4 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 Graus d e liberdade do deno min ador 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 V1=numerador V2=denominador Ftabelado=2,37 Para n=10 e k=3, teremos: Numerador = 3-1=2 Denominador = 3(10-1)=30 – 3=27

Valores Críticos de F: Valores de F0,05

Graus de Liberdade do Numerador

V1 V2 1 2 3 4 5 6 23 4,28 3,42 3,03 2,8 2,64 2,53 24 4,26 3,4 3,01 2,78 2,62 2,51 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,6 2,49 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 liberdade do _denominador 28 4,2 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 Ftabelado=3,35 Para n=7 e k=5, teremos: Numerador = 5-1=4 Denominador = 5(7-1)=35-5=30

Valores Críticos de F: Valores de F

0,05

Graus de Liberdade do Numerador

V1 V2 1 2 3 4 5 6 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 Graus d e liberdade do deno min ador 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 Ftabelado=2,69 2. Considere as hipóteses:

H0=As médias são iguais

H1=As médias são diferentes

Se o Fcalculado=9,43 e Ftabelado=6,93, a hipótese nula ao nível de significância

01

,

0

=

α

será aceita? Justifique.

a) Não, será rejeitada, pois o Ftabelado é maior do que o Fcalculado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

b) Sim, será aceita, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está dentro da área de aceitação.

c) Não, será rejeitada, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

d) Sim, será rejeitada, pois o Ftabelado é maior do que o Fcalculado, ou seja, o valor está dentro da área de aceitação.

e) Sim, será aceita, pois o Fcalculado é maior do que o Ftabelado, ou seja, o valor está fora da área de aceitação.

Podemos visualizar a resposta através do gráfico que mostra a área de aceitação e a área de rejeição para as hipóteses.

3. A tabela abaixo representa as distâncias percorridas por veículos de 4 marcas diferentes, ao serem abastecidos com 1 litro de 3 tipos diferentes de gasolina. A partir desses dados, calcule

n

.

s

_x2, a média das variâncias das quatro amostras e o valor de Fcalculado. Marca Gasolina comum Gasolina especial Gasolina

extra Média Variância

A 15,30 14,60 14,90 14,93 0,12 B 12,60 13,20 14,20 13,33 0,65 C 14,20 12,60 14,80 13,87 1,29 D 11,80 15,10 14,70 13,87 3,24 a) 2 = .s_x n 0,58; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=0,45. b) 2 = .s_x n 1,38; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=1,42. c) 2 = .s_x n 1,35; 2

=

1

,

33

x s

x

e Fcalculado=1,02. d) 2 = .s_x n 2,89; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=2,98. e) 2 = .s_x n 1,94; 2

=

0

,

97

x s

x

e Fcalculado=2,00.

Vamos lembrar que

2

.

s

_x

n

_{é a estimativa de}

σ

2 _{baseada na variação das médias}

(

x'

s); a média das variâncias das quatro amostras é calculada através de

2 x

s

_{e o} 2 2

.

x x calculado

s

x

s

n

F

=

, logo temos que conhecer o valor de n,

x

,

s

_x2,

n

.

s

_x2 e

x

s

_x2. n=3

14

4

87

,

13

87

,

13

33

,

13

93

,

14

+

+

+

₌

=

x

45

,

0

3

3476

,

1

1

4

)

14

87

,

13

(

)

14

87

,

13

(

)

14

33

,

13

(

)

14

93

,

14

(

2 2 2 2 2

=

=

−

−

+

−

+

−

+

−

=

x

s

35 , 1 45 , 0 3 .s2_x = × = n

33

,

1

4

24

,

3

29

,

1

65

,

0

12

,

0

2

=

+

+

+

=

x

s

x

02 , 1 33 , 1 35 , 1 . 2 2 = = = x x calculado s x s n F

4. Com base na amostra da questão 3, ao nível de

α

=

0

,

05

de significância,

teste se as diferenças entre as médias das quatro amostras podem ser atribuídas ao acaso.

a) Como F

calculado

< F

tabelado

, se aceita H

0

ao nível de significância de

05

,

0

=

α

. (F

3,9 (tabelado)

=3,86)

b) Como F

calculado

< F

tabelado

, rejeita-se H

0

ao nível de significância de

05

,

0

=

α

. (F

3,9 (tabelado)

=3,86)

c) Como F

tabelado

< F

calculado

, se aceita H

0

ao nível de significância de

05

,

0

=

α

. (F

3,9 (tabelado)

=3,86)

d) Como F

tabelado

< F

calculado

, rejeita-se H

0

ao nível de significância de

05

,

0

=

α

. (F

3,9 (tabelado)

=3,86)

e) Como F

calculado

= F

tabelado

, nenhuma das hipóteses são aceitas.

5. Para utilizarmos a análise da variância precisamos supor que:

a) As populações estudadas tendem a uma distribuição normal e possuem a mesma moda.

b) As populações estudadas tendem a uma distribuição normal e possuem o mesmo desvio padrão.

c) As populações estudadas tendem a uma distribuição binomial e possuem o mesmo desvio padrão.

d) As populações estudadas tendem a uma distribuição probabilística e possuem a mesma variância.

e) As populações estudadas tendem a uma distribuição de freqüências e possuem a mesma mediana.

6. Para que a hipótese H0 seja aceita é necessário que:

a) Fcalculado > Ftabelado. b) Fcalculado ≠ Ftabelado. c) Fcalculado

∈

Ftabelado. d) Fcalculado

∉

Ftabelado. e) Fcalculado < Ftabelado.

7. Para que a hipótese H1 seja rejeitada é necessário que: a) Fcalculado > Ftabelado. b) Fcalculado ≠ Ftabelado. c) Fcalculado < Ftabelado d) Fcalculado

∈

Ftabelado. e) Fcalculado

∉

Ftabelado.

8. Se em uma pesquisa qualquer temos que o tamanho da amostra é n=6 e a expressão k(n-1)=10, qual o valor de k?

a) k=2 b) k=3 c) k=4 d) k=5 e) k=6

Para o cálculo do valor de k, temos:

2

5

10

10

5

10

6

10

)

1

6

(

=

=

=

=

−

=

−

=

k

k

k

k

k

9. O Sr. Avelino das Couves está fazendo um tratamento com o Dr. Pardal, para controle da pressão sistólica arterial. O doutor está testando 3 medicamentos para verificar o mais eficaz. No entanto ele não tem observado grandes diferenças na variação da pressão do seu paciente.

P.S.A. Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

Medicamento 1 138 189 146 138 192 129 152

Medicamento 2 142 176 174 139 151 142 148

Medicamento 3 154 159 189 145 149 169 179

O presente teste tem por objetivo checar se há variação na pressão média arterial do paciente ao longo de uma semana. Durante três semanas consecutivas tem havido uma variação muito grande. O procedimento utilizado pelo médico é: aplica-se a medicação e após 1 hora verifica-se a pressão do paciente. O que o Dr. Pardal deseja saber?

Hipótese nula → H0 = Não há diferença na pressão média arterial (indefere a

medicação), ao nível de significância de

α

=

0

,

01

.

Hipótese alternativa → H1 = Há diferença na pressão média arterial (um dos

remédios é mais eficaz que o outro), ao nível de significância de

α

=

0

,

01

.

55

,

0

75

,

382

59

,

212

75

,

382

71

,

141

24

,

20

.

7

.

37

,

30

14

,

157

2 2 2

=

=

=

=

=

=

=

calculado s x x

F

x

s

n

s

x

x n=7 k=3

k-1 = 3-1 =2 (graus de liberdade do numerador)

k(n-1) = 7(3-1) = 14 (graus de liberdade do denominador) Ftabelado=3,74

Como Fcalculado < Ftabelado, se aceita H0 ao nível de significância de

α

=

0

,

05

, indicando que a modificação da medicação não está interferindo na alteração arterial do paciente.

10. Um atleta velocista percorre aproximadamente 100 metros em 10,2 segundos. Este atleta irá participar do PAN/2007 e o seu treinador está fazendo um estudo estatístico para verificar a média do tempo de percurso dele, nos últimos 5 campeonatos. A um nível de significância de

α

=

0

,

05

, teste a

hipótese:

H0= Não há alteração no tempo médio do atleta nos cinco campeonatos.

H1= Há alteração no tempo médio do atleta nos cinco campeonatos.

classificação Índice de

Índice

final Média Variância

Campeonato 1 12,05 11,10 11,58 0,45 Campeonato 2 13,05 14,20 13,63 0,66 Campeonato 3 11,06 11,01 11,04 0,00 Campeonato 4 13,60 12,30 12,95 0,85 Campeonato 5 12,09 11,67 11,88 0,09 34 , 4 41 , 0 78 , 1 41 , 0 78 , 1 89 , 0 . 2 . 89 , 0 21 , 12 2 2 2 = = = = = = = calculado s x x F x s n s x x n=2 k=5

k-1 = 5-1=4 (graus de liberdade do numerador)

k(n-1) = 5(2-1) = 5 (graus de liberdade do denominador) Ftabelado=5,19