Momento Linear e sua Conservação
Quantidade de Movimento (ou Momento Linear)
Na mecânica newtoniana definimos a grandeza física denominada quantidade de movimento (ou momento linear) como aquela que resulta do produto da velocidade de uma partícula pela sua massa
( 1 ) onde a grandeza velocidade é definida como:
( 2 )
Veremos que nem sempre a definição (000) se aplica a todos os casos. Por exemplo, na mecânica
relativística adotamos outra relação entre momento e velocidade de uma partícula.
À primeira vista, parece ser uma mera definição de mais uma grandeza a partir de outras conhecidas. A relevância dessa grandeza física (a quantidade de movimento) foi percebida e, consequente-mente, introduzida por Newton.
A quantidade de movimento é uma grandeza fundamental na Física. Com o advento da teoria da relatividade de Einstein, percebemos que ela é mais do que simplesmente uma grandeza derivada de outras duas. Na mecânica relativística o momento é definido, em função da velocidade, como
( 3 ) onde (na expressão acima) é a velocidade da luz no vácuo. Assim, na mecânica clássica, temos duas definições de momento linear.
Na Física moderna, particularmente na teoria quântica, o momento é considerado como uma grandeza independente da massa e da velocidade. Por exemplo, sabemos que faz sentido falar em quantidade de movimento mesmo para partículas de massa zero, como o fóton. Nesse caso,
obviamente, não faz sentido adotar a definição
p = mv
. Faz sentido, no entanto, falar de momento dofóton. De fato, uma das formas de verificar tal asserção é lembrar que a energia
E
de uma partículade massa zero é dada pelo produto do módulo do momento da partícula pela velocidade da luz: ( 4 )
p mv
=
.
v dr
dt
=
p
mv
v c
=
−
1
2/
2E = pc
O fato é que podemos considerar o momento linear como uma grandeza física fundamental que, muitas vezes, se relaciona com a grandeza velocidade.
Momento se torna uma grandeza fundamental na análise das colisões, por exemplo, e isso porque essa grandeza é sempre conservada em todos os processos de colisão. Sua conservação nos obriga a incluir a análise do momento total em várias circunstâncias. Em particular, no movimento do centro de massa de corpos rígidos.
Em todos os processos existe a conservação
da quantidade de movimento total.
Impulso e Forças Impulsivas
Impulso é uma grandeza física e, às vezes, de grande relevância. Muitas vezes dizemos que uma partícula adquire, durante uma colisão, um impulso. Assim, se uma partícula altera o seu momento
durante um intervalo de tempo, dizemos que ela adquiriu um impulso. Sejam
p
f ep
i os momenta(plural de momentum em latim) da partícula antes da colisão e depois da colisão, respectivamente.
Definimos impulso, uma grandeza vetorial, representada por
I
, como a variação de momento.Ou seja,
( 5 ) Pode-se pensar no impulso como uma variação do momento para dois instantes de tempo.
Assim, se o intervalo de tempo for
∆t
, podemos escrever:( 6 ) De acordo com a segunda lei de Newton,
( 7 ) Figura 1
I
= ∆ =
p p
f−
p
i
I t
( )
∆
=
p t
(
+
∆
t
)
−
p t
i( )
I dt
( ) =
dp dtF
=
Se efetuarmos a soma do lado direito dessa expressão desde o instante de tempo
t = 0
, porexemplo, até um instante de tempo final,
T
f ,quando dois objetos que colidem não estão mais emcontato, obteremos o impulso da partícula que colidiu. Ou seja,
( 8 ) O impulso ocorreu, nesse caso, por meio da variação da força em função do tempo. Escrevemos:
( 9 ) Sendo o impulso uma grandeza vetorial, ele pode ser escrito em termos das suas componentes.
Para a componente
x
escrevemos:( 10 ) Para a componente vale uma expressão análoga:
( 11 )
Podemos escrever uma expressão semelhante para a componente
z
.O que é importante destacar no mundo subatômico é o fato de que impulso é um conceito que pode estar desvinculado do conceito de força e ele pode ser empregado quando falamos de interação, em vez de forças. Ou seja, nem sempre impulso está relacionado a forças.
p T
( )
fp
TfF t dt
−
( )
0
=
∫
0( )
' '
∆ =
I
∫
TfF t dt
( )
' '
0∆ =
I
x∫
TfF t dt
x( )
0'
'
∆ =
I
y∫
TfF t dt
y( )
0'
'
Figura 2: Em todos os processos existe a conservação da quantidade movimento total.
Considere o caso em que um elétron incida numa região do espaço e que, repentinamente, absorve um fóton. Como um resultado da absorção de um fóton ele muda o momento. Adquiriu um momento sem, no entanto, podermos falar em forças agindo sobre o elétron.
O elétron recebe um impulso, mas esse impulso corresponde à variação do momento. Se
inicial-mente o seu momento era
p'
(veja figura), e no estágio final (depois da absorção do fóton) o seumomento passou a ser
p
, o impulso associado a essa interação eletromagnética é:( 12 )
Momento Linear como Variável Dinâmica
O momento linear é a variável fundamental tanto na física clássica quanto na física moderna. Em qualquer das formulações da mecânica, quer seja a newtoniana ou a relativística, as leis da dinâmica são escritas de modo a estabelecer uma relação entre a taxa de variação instantânea do momento de uma partícula e a força (ou forças) que age sobre ela. Ou seja, em qualquer dos dois regimes (relativístico ou não), a segunda lei de Newton se escreve como:
( 13 ) o que nos permite definir a força como o agente físico responsável pela variação da quantidade de movimento. Em termos das componentes da força e do momento escrevemos:
( 14 )
Na mecânica newtoniana, essa relação decorre da definição de momento. Ou seja, a relação acima é óbvia, uma vez que
( 15 )
I p p
= − ′
F dp
dt
=
.
dp
dt
F
dp
dt
F
dp
dt
F
x x y y z z=
=
=
F dp
dt
d mv
dt
m dv
dt
=
=
( )
=
Figura 3: Impulso é algo que pode ser definido sem introduzir, necessariamente, o conceito de força.
Consequentemente, momento linear é uma grandeza mais fundamental do que a grandeza velocidade.
Observe-se que, no caso da teoria da relatividade, 000 é o agente responsável pela variação de
momento.
No caso não relativístico, forças podem ser entendidas como agentes responsáveis pela variação tanto da velocidade quanto de momento.
No regime relativístico (velocidades próximas da velocidade da luz), entendemos que forças são os agentes responsáveis pela variação do momento linear e não da velocidade. Na mecânica relati-vística, a relação entre taxa de variação da velocidade e força é mais complexa, pode
( 16 )
ou seja, na física moderna não existe uma relação entre força e taxa de variação instantânea da velocidade. E isso demonstra a relevância do conceito de momento linear, especialmente no contexto da Física Moderna.
Nas formulações mais avançadas da mecânica clássica e na própria mecânica quântica, utilizamos o conceito de momento considerando-o independente daquele associado à velocidade. A base de algumas formulações da mecânica consiste em tratar o momento como se fosse uma variável dinâmica da teoria. Assim, definimos a função hamiltoniana
H(x, y, z, p
x, p
y, p
z)
como dada pela expressão:( 17 ) Nessa formulação,em vez de trabalhar com três variáveis, nós ampliamos esse número para seis variáveis. Temos, assim, seis equações de primeira ordem:
( 18 )
mdp
dt
md v
dt
m dv
dt
mvd
dt
m dv
dt
vd
dt
v
i
=
=
+
=
+
γ
γ
γ
γ
γ
2 2 2
=
=
m dv
dt
vd
dt
F
γ
ln
γ
2
H x y z p p p
p
m
U x y z
x y z, , , , ,
, ,
(
)
=
2+
(
)
2
∂
∂
=
∂
∂
= −
∂
∂
=
H
P
dx
dt
H
x
dP
dt
H
P
dy
dt
x x y∂
∂
= −
∂
∂
=
H
y
dP
dt
H
P
dz
dt
y z∂
∂
= −
H
z
dP
dt
zNote-se que, nesse formalismo, temos a rigor 6 equações de primeira ordem em vez de 3
equa-ções de segunda ordem, como é o caso do formalismo newtoniano XXXX.
Assim, podemos formular a Mecânica sem falar em velocidade. Essa é a base do formalismo
hamiltoniano. No entanto, para a função hamiltoniana dada pela expressão, obtemos de (000) as
seguintes equações:
( 19 )
Consequentemente, a relação entre a taxa de variação instantânea das coordenadas e o momento linear se torna uma consequência das equações de movimento.
No formalismo Hamiltoniano mais geral, no qual empregamos coordenadas generalizadas (
q
1, q
2, q
3) bem como momentos canonicamente conjugados a estas variáveis (p
1, p
2, p
3)
, a função hamiltoniana depende dessas variáveis (H
(q
1, q
2, q
3, p
1, p
2, p
3)
) e cada uma delas é tratada como variável independente. O fato é que, nas formulações mais avançadas da mecânica, o momento linear ganha status de variável independente e é, por outro lado, generalizado para variáveis angulares, por exemplo.A formulação Hamiltoniana é a base para a formulação da mecânica quântica, na qual o momento ganha, de uma vez por todas, o status de variável dinâmica independente das demais variáveis.
Conservação do Momento Linear Total
Para um sistema fechado, isto é, quando este sistema não interage com outros, vale o princípio da conservação do momento linear total. Num sistema fechado, nenhuma partícula pertencente ao sistema interage com outras partículas externas a esse sistema.
Lembramos que um sistema constituído de um número
N
de partículas, o estado clássico dessesistema num determinado instante de tempo, designado por
t
, é caracterizado peloN
paresconsti-tuídos, associados ao momento e posição de cada um dos constituintes:
( 20 )
p
m
dx
dt
p
m
dy
dt
p
m
dz
dt
x y z=
=
=
r t p t
1( ), ( ) , ( ), ( ) ,.... ( ), ( ) ,...
1r t p t
2 2r t p t
i i[
] [
] [
]
[
rr t p t
N( ),
N( )
]
)
Definimos o momento linear total, representado pelo símbolo
P
, como a grandeza que resulta da soma dos momentados constituintes do sistema. Ou seja,( 21 ) ou, alternativamente,
( 22 ) A conservação do momento linear total, válida para um sistema fechado, pode ser formulada em termos da taxa instantânea de variação do momento total da seguinte forma:
( 23 ) Ou, de outra forma, esse princípio assegura que o momento linear total é constante:
( 24 ) Ou seja, o momento linear total é uma grandeza física que é igual, é constante ao longo do tempo, apesar de cada termo da soma não o ser. Ademais, ela é constante, não importando o movimento das partículas que compõem o sistema. Diz-se que ela é uma grandeza física que é conservada ao longo do tempo.
Tem-se verificado, experimentalmente, a validade da conservação do momento linear em todos os processos físicos. Não são conhecidas exceções a essa regra.
Para demonstrar a validade da expressão (000), lembramos, primeiramente, que sobre a
i
-ésimapartícula atuam forças de duas naturezas: as forças internas e as forças externas.
( 25 ) A seguir, admitiremos que as forças externas sejam nulas. Essa é a hipótese básica que faremos.
P p t
=
1( )
+
p t
2( )
+ ⋅⋅⋅ +
p t
i( )
+ ⋅⋅⋅
p t
N( )
P
p t
i i N=
=∑
( )
1dP
dt
=
0
P P
=
0Figura 4: Verificando experimentalmente a conservação do momento linear.
Figura 5
F
( )i=
F
( )i+
F
( )iO que foi denominado força interna
F
iint( ) agindo sobre a
i
-ésima partícula resulta ser uma soma sobre forças internas( 26 ) onde
F
ij é a força exercida pelaj
-ésima partícula sobre ai
-ésima. Assim,
F
12 é a força exercida pelapartícula 2 sobre a partícula 1. No entanto, é bom lembrar que a partícula 1 exerce, de acordo com a lei da ação e reação, uma força sobre a partícula 2 de mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos opostos. Escrevemos:
( 27 )
De acordo com (000), cada partícula pode interagir com todas as demais. Pode-se mostrar que a
forma geral das forças internas é
( 28 )
onde
f r r
(
i−
j)
é uma função que depende da distância entre as partículas. Os vetoresr
i er
j são osvetores posição da
i
-ésima ej
-ésima partícula, respectivamente.Quando escrevemos a segunda Lei de Newton para cada uma das partículas, o resultado será:
( 29 )
F
intiF
F
F
F
i i i iN ( )=
+
+
+
....
+
2 3 4
F
12= −
F
213ª Lei de Newton
F
r r
r r
f r r
ij i j i j i j=
−
−
(
−
)
Figura 6: Center of Mass of a System of Particles.
dp
dt
F
F
F
F
dp
dt
F
F
F
N
1 12 13 14 1 2 21 23 24=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
....
....
F
dp
dt
F
F
F
F
dp
dt
F
F
F
N N N N N 2 3 31 32 34 3 1 2=
+
+
+
+
=
+
+
....
.
.
.
N N3+
....
+
F
NN−1
Portanto, temos um conjunto de
N
equações de movimento, equações acopladas. O próximo passo consiste em somar essas equações. Tendo em vista a terceira lei de Newton, válida para pares de força,Resulta que a soma do lado direito de (000) se anula. Por exemplo, no caso de duas partículas, temos
( 30 )
As forças são tais que, de acordo com (000), e de acordo com a terceira lei de Newton
( 31 )
Consequentemente, na soma dos termos do lado direito de (000), temos o cancelamento das
forças duas a duas na soma, o que resulta em:
( 32 ) E, portanto, concluímos que, no caso em que as partículas interagem apenas entre si, o momento linear total se conserva. Escrevemos:
( 33 ) ou seja, a taxa de variação do momento linear total é igual a zero.
Como podemos entender a conservação do momento linear total? Temos duas maneiras de entender tal fenômeno. A primeira é atribuí-lo à 3ª Lei de Newton, aquela que se refere à ação de uma força e sua reação. No entanto, veremos que a própria Lei de Newton pode ser deduzida por um princípio mais geral, o princípio da homogeneidade do espaço.
dp
dt
dp
dt
F
F
1 2 12 210
+
=
+
=
F
ij= −
F
jidp
dt
dp
dt
dp
dt
dp
dt
Niii
1
+
2+
3=
0
dP
dt
d p p
p
p
dt
Niii
=
(
1+
2+
3)
=
0
Sistemas com Massa Variável
Pode-se aumentar a velocidade de um objeto aplicando uma força sobre ele. No entanto, essa não é a única alternativa. Sabemos que, mediante a variação de massa de um foguete, podemos aumentar sua velocidade. Variação da massa dos foguetes é o princípio da propulsão do foguete, ou seja, ejetando massa, ele consegue aumentar (ou reduzir) sua velocidade.
Esse é um problema bastante geral, conhecido como problema onde a massa dos objetos é variável. O princípio básico é a conservação da quantidade de movimento. Ou seja,
( 34 ) Muitos sistemas físicos podem perder, ou mesmo ganhar, massa continuamente. Perder massa pode ajudar a acelerar ou desacelerar objetos em movimento. O exemplo do foguete é um entre muitos que envolvem massas variáveis. Por exemplo, numa esteira na qual é depositada alguma substância granular, temos uma situação em que a massa é aumentada continuamente.
A seguir, consideraremos o caso de sistemas que perdem massa mediante a ejeção do combus-tível. Suponhamos que esse sistema seja um foguete espacial. Consideremos o caso em que o
com-bustível seja ejetado a uma velocidade
u
em relação ao foguete e que essa velocidade se mantenhaconstante. Imaginemos que, num determinado tempo
t
, sua massa seja Me sua velocidade sejaV
.O momento linear total é, portanto, nesse instante de tempo dado por:
( 35 )
Decorrido um intervalo de tempo infinitesimal,
dt
, podemos pensar em dois subsistemas:aquele composto pelo foguete, cuja massa decresceu por um valor infinitesimal –
dm
– e ocombustível ejetado, de massa
dm
. Assim, espera-se uma variação de velocidade do foguete,querepresentaremos por
dV
. Decorrido o intervalo de tempodt
, o momento total, que é a soma dosmomentos dos dois sistemas, é:
( 36 )
P
antes=
P
depois
P MV
=
P
depois=
(
M dM V dV
+
)
(
+
)
−
dM u V
(
+
)
.
De acordo com o princípio da conservação do momento linear, o momento acima é igual ao do
instante anterior ao intervalo
dt
. Assim, podemos escrever:( 37 ) Desprezando-se, por serem produtos de infinitésimos, na equação acima o termo que envolve
o produto
dMdV
, ela nos leva a uma relação bastante simples entre a variação da velocidade e amassa expelida;
Figura 8
( 38 ) Dividindo-se a expressão acima pelo intervalo de tempo infinitesimal, obtemos:
( 39 ) Por outro lado, dividindo-se a expressão (39) por
M
, obtemos a equação diferencial para a determinação da velocidade como função da massa:( 40 )
Quando integrada, para valores constantes da velocidade de escape, a equação (40) nos dá a
determinação da velocidade de um foguete como função de sua massa:
( 41 )
onde
V
é a velocidade do foguete quando sua massa era dada pelo valorM
0. Dessa expressãopodemos concluir que o aumento da velocidade só é possível se a velocidade do fluido injetado tiver o sentido oposto ao seu movimento. Caso contrário, ele se desacelerará.
Figura 9: Conservação da quantidade de movimento e a aceleração dos foguetes. / Fonte: Nasa.
MdV dMu
=
.
M dV
dt
dM
dt
u
=
.
dV dM
M
u
=
.
V V u dM
M
u
M
M
−
0=
∫
=
0ln
,
Quando analisamos a equação (000) levando em conta o tempo, escrevemos:
( 42 )
Finalmente, se uma força, designada por
F
, estiver agindo sobre o foguete, a equação de movimento é:( 43 ) ou, analogamente,
( 44 )
Simetrias e Leis de Conservação
Sistemas físicos podem exibir determinadas simetrias. Elas se refletem no fato de que as leis físicas que regem o comportamento desses sistemas são invariantes sob determinadas transfor-mações. Isso acarreta algumas leis de conservação, ou seja, como resultado da invariância das leis sob certas transformações, podemos prever que alguns processos físicos jamais ocorrerão. Eles são proibidos.
Sabemos que todos os processos físicos devem respeitar algumas leis de conservação. São leis de conservação fundamentais, que podem ser entendidas a partir de simetrias da natureza, ou seja, da invariância das leis físicas sob determinadas transformações.
O fato de que podemos escolher a origem de um sistema de coordenadas em qualquer ponto do espaço, assegurando sua homogeneidade, implica a lei da ação e reação de Newton e,
consequen-temente, a lei ou princípio da conservação do momento linear total.
A invariância das leis físicas sob rotações, invariância essa que decorre de uma propriedade do
próprio espaço, que é sua isotropia, acarreta a conservação do momento angular total.
O fato de que as leis físicas não mudam com o tempo e, consequentemente, são invariantes sob
translação no tempo tem como consequência a conservação da energia.
A conservação da carga elétrica decorre da invariância das leis físicas sob transformações de fase.
Outras transformações acarretam a conservação de grandezas, as quais são genericamente denominadas números quânticos. Entre eles temos a paridade, a Hipercarga, o Isospin, a estranheza,
V t
V
M t
M
u
o o( )
=
+
( )
ln
M dV
dt
dM
dt
u F
−
=
d MV
dt
dM
dt
V u
F
( )
−
(
+
)
=
e assim por diante. Não nos debruçaremos sobre esse tema, uma vez que ele iria requerer, para um bom entendimento, certo grau de formalismo.
Consequência da Simetria Translacional
Consideremos o caso em que dois sistemas de coordenadas difiram apenas pela localização do ponto de origem O.
Podemos escolher qualquer ponto como origem do referencial: Simetria Translacional.
Nesse caso, os vetores de posição irão diferir apenas por um vetor constante, aqui designado por
r
0:( 45 ) A covariância das equações significa que uma determinada lei será escrita num sistema, o sistema A da figura, como:
( 46 ) enquanto no outro sistema, o sistema B, a lei se escreve:
( 47 ) A invariância de uma grandeza física quando efetuamos translações dessa grandeza tem um sentido diferente de covariância e, em alguns casos, acarreta consequências interessantes. Consideremos o potencial de interação entre duas partículas. Para assegurar a invariância por translações, a energia potencial deve depender das coordenadas de acordo com a expressão:
( 48 ) Figura 10
r r r
= ′ +
0
F r
( ) =
ma
′ =
′ +
=
′
F
F r r
(
0)
ma
U r r
( , )
1 2=
U x x y y z z
(
1−
2,
1−
2,
1−
2)
Lembrando que a força é obtida como o gradiente dessa função, temos
( 49 )
Da expressão (000) decorre que a consequência da invariância da energia potencial por
translações no espaço assegura que a força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 se relaciona com a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 da seguinte forma:
( 50 ) que é o enunciado da terceira lei de Newton.
No caso do sistema de partículas que não estejam sob a ação de forças externas, sabemos que, como resultado da terceira lei de Newton, o momento linear se conserva. Portanto, podemos enunciar um princípio bastante geral:
