Solução analítica com baixa regularidade do sistema que governa o escoamento miscível em meios porosos

(1)

Solu¸

c˜

ao anal´ıtica com baixa regularidade do sistema que

governa o escoamento misc´ıvel em meios porosos

Ana Maria Bertone, C´esar G. de Almeida,

Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, 3840-902, Uberlândia, MG

E-mail: anamaria@famat.ufu.br, cesargui@ufu.br.

Resumo: O modelo padrão de deslocamento de dois fluidos misc´ıveis e incompress´ıveis é cons-titu´ıdo por duas equa¸cões diferenciais parciais acopladas que resultam em um sistema não line-ar: uma equa¸cão el´ıptica de segunda ordem para a pressão é acoplada a uma equa¸cão de con-veçcão-difusão, dominada pela parte convectiva, para a concentra¸cão de um dos fluidos. Em [2] mostramos a existência e unicidade da solu¸cão anal´ıtica para o problema do Tra¸cador Passivo. Neste caso, a equa¸cão de conveçcão-difusão é desacoplada da equa¸cão el´ıptica. Usando este resultado mostramos a existência de solu¸cão para o sistema não-linear.

Palavras-chave: Escoamento misc´ıvel, meios porosos, sistemas el´ıpticos-parabolicos, condi¸c˜oes mistas de fronteira.

1 Introdu¸

c˜

ao

Considere um dom´ınio limitado Ω ⊂ R2 e um intervalo de tempo J = [0, T ], T > 0. O modelo para o deslocamento misc´ıvel incompress´ıvel da mistura de um solvente com concentra¸c˜ao c e ´

oleo, em um meio livre de efeitos gravitacionais, ´e dado pelo sistema (veja Russel e Wheeler (1983), [10])

∇ · u = q, u = −K(x)

µ(c) ∇p, (1)

φ∂c

∂t+ ∇· v = ˜cq, v = uc − D(u)∇c. (2)

A equa¸cão (1) representa a conserva¸cão de massa da mistura, enquanto a segunda representa a conserva¸cão de massa da componente de solvente. A equa¸cão (2) é frequentemente chamada de equa¸cão da pressão; seus coeficientes dependem da concentra¸cão do solvente. A segunda equa¸cão, a da concentra¸cão, é usualmente uma equa¸cão parabólica, dominada por conveçcão; seus coeficientes dependem da pressão, através da velocidade de Darcy, u = (u1, u2), que fornece a taxa volumétrica de fluxo convectivo da mistura por unidade de área de se¸cão transversal. As outras variáveis que aparecem nas equa¸cões acima são: K(x), x = (x, y) pertencente a R2, - a permeabilidade absoluta da rocha, µ - a viscosidade do fluido que depende da concentra¸cão do solvente, p - a pressão do fluido, φ = φ(x) - a porosidade do meio, q - a razão volumétrica de fluxo total no po¸co de inje¸cão e de produ¸cão, ˜c - a concentra¸cão de solvente especificada em um po¸co de inje¸cão e a concentra¸cão residente em um po¸co de produ¸cão. O tensor de difusão-dispersão, D, é dado por:

D = D(u) = φdmI + dℓ |u| u2 1 u1u2 u1u2 u22 ! + dt |u| u2 2 −u1u2 −u1u2 u21 . (3)

Neste tensor, dm é o coeficiente de difusão molecular, dℓ e dt são os coeficientes de dispersão longitudinal e transversal, respectivamente.

(2)

Em um escoamento misc´ıvel, a variável de maior interesse é a concentra¸cão do solvente na mistura, c(x, t), 0 ≤ c ≤ 1. No caso de um escoamento com duas componentes, a viscosidade da mistura pode ser expressa em fun¸cão da concentra¸cão do solvente, assumindo que ela obedece a uma lei de potência de ordem quatro:

µ(c) = {(1 − c) + (M )1/4c}−4_µ

o; M = µo/µs, (4)

onde µs e µo são as viscosidades do solvente e do óleo, respectivamente. O parâmetro adimen-sional M é a razão de viscosidades. Quando M < 1, a fun¸cão µ é crescente em [0, 1], tendo µo como m´ınimo; quando M > 1, a fun¸cão µ é decrescente em [0, 1] e µs é o seu valor m´ınimo; como mostra a Figura 1.

Figura 1: O gr´afico da fun¸c˜ao viscosidade µ(c).

Observe que, para o Problema do Tra¸cador Passivo, a equa¸cão de conveçcão-difusão é de-sacoplada da equa¸cão el´ıptica, porque neste caso os fluidos considerados possuem a mesma viscosidade, portanto, M = 1.

Em uma parte da fronteira do reservatório (∂Ω), denotada por ΓN, será considerada uma condi¸cão de fluxo nulo, representando uma fronteira impermeável; na fronteira do po¸co de produ¸cão, ΓD, será utilizada uma condi¸cão de Dirichlet. Assim, as condi¸cões de fronteira são dadas por:

u · ν = 0, x ∈ ΓN, (5)

p = 0, x ∈ ΓD; (6)

(−D∇c) · ν = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ J, (7)

onde ν ´e o vetor unit´ario normal exterior a ∂Ω.

O modelo incompress´ıvel definido acima tem sido estudado amplamente do ponto de vista numérico [5, 6, 7, 10]; em particular [11], onde o sistema desacoplado é estudado. Sob condi¸cões de regularidade fraca, encontramos trabalhos como o do Sören et al [13]. Outras cita¸cões im-portantes relacionadas à existencia e à unicidade da solu¸cão do sistema acoplado, bem como algumas generaliza¸cões deste modelo matemático, são: [4, 8, 9].

O objetivo deste trabalho é o de mostrar a existência de solu¸cão do sistema acoplado, con-siderando a velocidade u com baixa regularidade e supondo que a permeabilidade, K, pode se anular em conjuntos de medida nula de Lebesgue.

O artigo está organizado da seguinte forma. Na Se¸cão 2, apresentamos a abordagem teórica, fixamos as nota¸cões e os espa¸cos para os quais é feita a formula¸cão fraca do problema do valor

(3)

inicial e de fronteira, bem como o enunciado do resultado principal. Na Se¸cão 3, provamos este resultado. Na Se¸cão 4 serão feitas as conclusões.

2 Abordagem te´

orica e resultado principal

Para este trabalho vamos considerar Ω ⊂ R2 um dom´ınio conexo com fronteira ∂Ω Lipshitz e tal que ∂Ω = ΓD∪ ΓN e ΓD∩ ΓN = ∅, sendo ΓD and ΓN subconjuntos unidimensionais de medida de Lebesgue positiva; os cl´assicos espa¸cos de fun¸c˜oes Lp_{(S), S ⊂ Ω e 1 ≤ p ≤ ∞ com norma}

·_p; os espa¸cos de Sobolev Wm,n(S), com m > 0 e n > 0, em particular os espa¸cos de Hilbert Wm,2(S) = Hm(S), m = 1, 2, e norma denotada por · _Wm,n. Consideraremos, tamb´em,

o operador tra¸co γΓ : H1(Ω) → H

1

2(Γ), onde Γ ⊂ ∂Ω, e o espa¸co de Hilbert H− 1

2(Γ), dual

do espa¸co de Sobolev fracion´ario H

1 2

0(Γ). Finalmente, também serão considerados os espa¸cos Lp(J, W ) e C(J, W ) das fun¸cões p-integráveis ou cont´ınuas de J no espa¸co W (veja [1, 12]).

Introduzimos para cada τ ∈ J, o espa¸co vetorial V = {p ∈ H1_{(Ω), γ}

ΓDp = 0}. Definimos

D0 = {p ∈ V ; −div(K∇p) ∈ L2(Ω)} (veja [12]), para K uma fun¸c˜ao (peso) limitada, n˜ao negativa definida em Ω. Seja K = Kc,τ =

K_(x)

µ(c(x,τ )), para cada c ∈ H2(Ω), 0 ≤ c ≤ 1. Verifica-se que o espa¸co vetorial V normado com a norma nK (neste caso, nK(ϕ) = R_ΩK|∇ϕ|2dx

1 2_),

denotado por Vc,τ, cont´em o espa¸co vetorial V normado por nmin, que ´e a norma correspondente ao peso K_µ(x)

min, onde µm = min{µo, µs}. Denotamos por Vmin este espa¸co que verifica Vmin ⊂

T c,τ

Vc,τ, o que mostra que a interse¸cão de todos esses conjuntos não é vazia. Esta interse¸cão será denotada por V. Finalmente, definimos D = {v ∈ V, −div(Kc,τ∇p) ∈ L2(Ω), ∀c, ∀τ }.

Para achar uma solu¸cão do sistema de equa¸cões que governa o escoamento misc´ıvel em meios porosos, resolvemos em primeira instância o problema desacoplado, considerando-se M = 1. Para isso, usaremos, para a concentra¸cão, o espa¸co

C(u) = {c ∈ H2(Ω), 0 ≤ c ≤ 1, verificando (7) no sentido de H−12(∂Ω)}.

Faremos a seguir as defini¸cões de solu¸cão fraca para o Tra¸cador Passivo, 2.1, e de solu¸cão fraca para o sistema acoplado, 2.2.

Defini¸cão 2.1 Seja Q = L2(Ω) × L2(Ω). A tripla (p, u, c) ∈ D0 × Q × C é uma solu¸cão fraca de (1)-(2), considerando µ(c) = 1 e q = q(x), com as condi¸cões de fronteira (5)-(6)-(7), se

[p] R_ΩK∇p · ∇v =R_Ωqv, para todo v ∈ V normado por nK;

[c] c ∈ C(J, H2(Ω)), c(t) ∈ C, dc_dt(·, t) ∈ H2(Ω) para todo t ∈ J e ψ ∈ H2(Ω) verifica dc dt(t), ψ + Z Ω (D(u)∇c(t) · ∇ψ − c(t)∇ψ · u − c(t)qχΩPψ)dx = (qχΩI, ψ),

onde (·, ·) denota o produto interno em H2(Ω). Defini¸c˜ao 2.2 O par (p∗

, c∗

) ∈ D × W1,1_{(Ω × J) ´e uma solu¸c˜}_{ao fraca de (1)-(2), com as} condi¸c˜oes de fronteira (5)-(6)-(7), se

[p∗ ] Z Ω K(x) µ(c∗_{(x, t))}∇p ∗ (x, t) · ∇v(x, t)dx = Z Ω q(x, t)v(x, t)dx, para todo v ∈ V; (8)

(4)

[c∗ ] R J (dc_dt∗(t), ψ)dt +R J R Ω (D(u∗ (t))∇c∗ (t) · ∇ψ(x) − c∗ (t)∇ψ(x) · u∗ (t) − c∗ (t)q(t)χΩPψ(x)) dx dt =R J (qχΩI, ψ)dt, para toda ψ ∈ H 2_(Ω); (9) u∗

será definido na Se¸cão 3. Assumimos as seguintes hipóteses:

(h1) O dom´ınio Ω ⊂ R2 possui as propriedades já definidas anteriormente e existem ΩI e ΩP, subconjuntos de Ω com medida de Lebesgue positiva, que representam os po¸cos de inje¸cão e produ¸cão do reservatório, respectivamente.

(h2) Existem duas contantes positivas k0 e k1 tais que k0 ≤ K(x) ≤ k1 q.t.p. x ∈ Ω. (h3) A fun¸c˜ao q pertence a L∞(J; L2(Ω)) e para cada ψ ∈ H2(Ω) tem-se qχΩIψ ∈ L

1_{(J; H}2_(Ω)), onde χΩI ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica do conjunto ΩI.

O seguinte teorema de existˆencia e unicidade foi provado para o sistema desacoplado (veja [2, Thm 2.1].

Teorema 2.1 Sob as hipóteses (h1)-(h2) e supondo q = q(x), a equa¸cão el´ıptica (1) com condi¸cões mistas de fronteira, (5)-(6), tem uma única solu¸cão fraca não trivial (p, u), no sentido (2.1)-[p]. Para a velocidade u, usando (h3) e considerando c0 ∈ C, a equa¸cão (2), com a condi¸cão de fronteira (7), tem uma única solu¸cão fraca no sentido de (2.1)-[c].

Nosso principal resultado ´e o seguinte

Teorema 2.2 Seja µ definida como na Eq. (4) e c0 ∈ C. Então sob as hipóteses (h1)-(h3), o sistema acoplado (1)-(2), com as condi¸cões de fronteira (5)-(6)-(7) , tem uma solu¸cão fraca no sentido da defini¸cão 2.2.

3 Demonstra¸

c˜

ao do Teorema 2.2

Considere o sistema de equa¸cões (1)-(2), com as condi¸cões de fronteira (5)-(6)-(7), no caso particular em que o termo fonte é dado por q = q(x, 0), o coeficiente da equa¸cão (1) é da forma

K_(x)

µ(c0(x)) e o dado inicial da equa¸c˜ao (2) ´e c0(x). Utilizando o teorema 2.1, este problema possui

uma única solu¸cão fraca: a tripla pressão, velocidade e concentra¸cão nos respectivos espa¸cos descritos na defini¸cão 2.1. Chamemos esta solu¸cão (p1, u1, c1). A seguir, vamos considerar uma fam´ılia de parti¸cões Π1 = {0, T } ⊂ Π2 = {t0 = 0, t1, t2 = T } ⊂ . . . ⊂ Πn= {t0 = 0, t1, . . . , tn= T }, n ∈ N, n ≥ 2, tal que a norma |Πn| tende para zero quando n tende a infinito. Para cada parti¸cão Πn associamos a fun¸cão cΠn que será a justaposi¸cão da solu¸cão c1 para t ∈ [t0, t1], denotando esta solu¸cão como cΠn

1 , com as seguintes fun¸cões: para t ∈ [t1, t2] consideramos a solu¸cão do sistema desacoplado, onde o termo fonte é q = q(x, t1), o coeficiente da equa¸cão (1) é

K_(x) µ(cΠn1 (x,t1))

e o dado inicial da equa¸c˜ao (2) ´e cΠn

1 (x, t1) de forma que cΠ1n(x, t1) ∈ C. Denotemos esta solu¸c˜ao como cΠn

2 . De forma análoga, por indu¸cão, para t ∈ [ti−1, ti], achamos a solu¸cão cΠn

i . A sequˆencia de fun¸c˜oes µ ◦ cΠn, n ∈ N ∗

, pertence a L∞(Ω × J) pois 0 < µm≤ µ ◦ cΠn ≤ µM, onde µM = max{µo, µs}. Portanto existe uma fun¸cão h ∈ L∞(Ω × J), não identicamente nula, e uma subsequência de µ ◦ cΠn _{tal que}

lim n→∞ Z Ω×J µ ◦ cΠn_{L =} Z Ω×J hL, para toda L ∈ L1(Ω × J).

(5)

Em particular, tomando L = 1, obtemos que lim n→∞ Z Ω×J µ ◦ cΠn ₌ Z Ω×J h, ou seja kµ ◦ cΠn_{− hk} L1_(Ω×J)→ 0, quando n → ∞.

Pelo teorema [3, Teorema IV.9], a menos de subsequˆencia, temos que µ◦cΠn_{(x, t) → h(x, t) q.t.p.}

(x, t) ∈ Ω × J. Assim, do fato que µ ´e um homeomorfismo de [0, 1] em [µm, µM], conclu´ımos que cΠn_{(x, t) → µ}−1_{◦ h(x, t) q.t.p. (x, t) ∈ Ω × J. Denotemos µ}−1_{◦ h = bc.}

Dada uma parti¸cão Πn e τ ∈ Πn, seja (p∗, u∗, c∗), de acordo com a defini¸cão 2.1, a solu¸cão fraca de (1)-(2), com µ(c) = µ(bc(x, τ)), q = q(x, τ) e condi¸cões de fronteira (5)-(6)-(7). Assim, dado u∗

(x, τ ) = K µ(bc(x,τ))∇p

∗

(x, τ ) ∈ L2_{(Ω) × L}2_{(Ω) existe (veja [2]) a fun¸c˜ao c}∗

(τ ) solu¸c˜ao de (2) com dado inicial bc(x, τ) ∈ C. Sabendo que c∗

(x, τ ) = bc(x, τ), tem-se que Z Ω K µ(c∗_{(τ ))}∇p ∗ (τ )) · ∇vdx = Z Ω K µ(bc(τ))∇p ∗ (τ )) · ∇vdx = Z Ω q(τ )vdx, para todo v ∈ V e (10) _dc∗_{(τ )} dt , ψ +R Ω (D(u∗ (τ )∇c∗ (τ ) · ∇ψ − c∗ (τ )∇ψ · u∗ (τ ) − c∗ (τ )q(τ )ψχΩP)dx = (q(τ )χΩI, ψ), para toda ψ ∈ H 2_(Ω). (11)

Fixada ψ ∈ H2(Ω) denotamos por A∗

ψ(ti−1) a expressão à esquerda da igualdade em (11) para τ = ti−1 e definimos a fun¸cão escada S_ψn=

n P i=1

A∗

ψ∆i sendo ∆i = ti− ti−1. Temos de (11) que

S_ψn= n X

i=1

(q(ti−1)χΩI, ψ)∆i. (12)

Por hipótese, a expressão à esquerda de (12) é integrável e assim temos que existe o limite de n

P i=1

(q(ti−1)χΩI, ψ)∆i quando a norma da parti¸c˜ao tende para zero e esse limite ´e

R J

R Ω

q(t)ψ(x). Isto demonstra que existe o limite da parte direita da igualdade (12); logo a Eq. (9) é satisfeita. Desta forma, o par (p∗, c∗) é solu¸cão fraca do sistema acoplado no sentido da defini¸cão (2.2).

4 Conclus˜

ao

Acreditamos que a abordagem teórica desenvolvida em nosso trabalho possibilitará a constru¸cão de novos métodos numéricos, os quais contribuirão para o desenvolvimento de pesquisas na área de escoamentos em meios porosos. Esta abordagem é mais construtiva que as apresentadas nos trabalhos de Feng (1995, [8]) e de Chen e Ewing (1999, [4]), porque utiliza a solu¸cão de problemas lineares (Tra¸cador Passivo) para obter uma solu¸cão do problema não linear.

Agradecimentos

Os autores agradecem `a FAPEMIG pelo aux´ılio financeiro cocncedido para a participa¸c˜ao no congresso.

Referˆ

encias

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(6)

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