CONTROLE DE SISTEMAS MAX-PLUS LINEARES SUJEITOS A RESTRIÇÕES NO ESTADO: APLICAÇÃO A SISTEMAS DE TRANSPORTE

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CONTROLE DE SISTEMAS MAX-PLUS LINEARES SUJEITOS A

RESTRIC

¸ ˜

OES NO ESTADO: APLICAC

¸ ˜

AO A SISTEMAS DE

TRANSPORTE

C´ıntia Ribeiro Andrade1, Carlos Andrey Maia1,2

1_{PPGEE - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - UFMG} 2_{Departamento de Engenharia Elétrica}

Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais Av. Pres. Antˆonio Carlos, 6627 - Pampulha

31270-901 Belo Horizonte - MG - Brasil

cintia@cpdee.ufmg.br, maia@cpdee.ufmg.br

Resumo. Este artigo trata da modelagem e controle de sistemas a eventos discretos su-jeitos a fenômenos de sincronização e de atraso no tempo que são descritos pela álgebra max-plus. A partir da obtenção do modelo, a estrutura de controle é definida com base na realimentação de estados. O objetivo, nesse caso, é projetar um controlador que garanta que o sistema evolua sem violar restrições temporais impostas ao estado. Para ilustrar a contribuição deste trabalho uma rede de tráfego urbano é apresentada, sendo que o controlador é aplicado de forma a garantir que restrições de temporização sejam respeitadas.

Palavras-chave: Sistemas a eventos discretos, Controle de Sistemas de Tr´afego, ´Algebra Max-plus.

´

Area principal: LGT - Log´ıstica e Transportes

Abstract. This paper deals with the modeling and control of discrete events systems sub-ject to synchronization phenomena and time delay that are described by the max-plus algebra. From the developed model, the control structure is defined on the basis of the feedback of states. The objective, in this case, is to design a controller that guarantees that the system will evolve without violating timed restrictions imposed to the state. To illustrate the contribution of this work an urban traffic net is presented, where that the controller is designed in order to guarantee that temporization restrictions are respected. Keywords: Discrete Event Systems, Traffic Systems Control, Max-plus Algebra.

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1. Introduc¸˜ao

A teoria dos Sistemas a Eventos Discretos (SED) (Cassandras and Lafortune, 1999) tem sido uti-lizada na modelagem de muitos sistemas de engenharia tais como redes de transporte, processos de manufatura, redes de comunicação, dentre outros. Estes sistemas se caracterizam por serem descritos por espaços de estados discretos e cuja dinâmica é dirigida por eventos.

A álgebra max-plus (Baccelli et al., 1992) é uma ferramenta utilizada na modelagem de sistemas sujeitos a sincronização e fenômenos de atraso. Esses sistemas podem ser representados por Grafos de Eventos Temporizados (GET), um caso particular das redes de Petri temporizadas. Nesta área tem-se obtido muitos avanços, não só na análise dos sistemas como também nos problemas de con-trole (Goverde, 2007). Várias estratégias de concon-trole estão sendo utilizadas na literatura tais como o controle por modelo de referência (Maia et al., 2005, 2003; Maia, 2003) e o controle utilizando a teoria de espaços (A, B)-invariantes (Garcia et al., 2006; Katz, 2007).

O objetivo deste artigo é resolver um problema de modelagem e controle de sistemas através da álgebra max-plus. No exemplo mostrado na Seção 4 (Garcia et al., 2006; Garcia, 2007), destaca-se um problema de tráfego urbano. Um modelo é desenvolvido representando uma malha viária e o controle é aplicado para a sincronização dos semáforos de maneira que haja formação de ondas verdes(uma onda verde acontece quando os semáforos são coordenados de maneira que um ve´ıculo que receba sinal verde em um extremo de uma arterial, possa percorrê-la até a outra extremidade sem parar em nenhum sinal vermelho). Diferentemente dos resultados já apresentados na literatura, o controle proposto neste artigo utiliza propriedades algébricas do sistema e, a partir do comporta-mento dinâmico do sistema e de uma matriz de restrições (que garantem o funcionacomporta-mento desejado para o sistema), a matriz de controle é encontrada. Esta matriz atua realimentada nos estados e é en-contrada resolvendo-se uma equação linear na álgebra max-plus (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003).

Os conceitos da álgebra max-plus e das ferramentas necessárias ao desenvolvimento do controle proposto são apresentadas na Seção 2. Uma proposta de modelagem e controle é descrita na Seção 3 e um exemplo ilustrativo é desenvolvido na Seção 4. A conclusão é dada na Seção 5.

2. Conceitos b´asicos

Esta seção aborda os conceitos relativos aos sistemas a eventos discretos, dentre eles as redes de Petri P-temporizadas, os grafos a eventos temporizados e a álgebra max-plus.

As redes de Petri são uma ferramenta para a modelagem gráfica e matemática de muitos sistemas. Um estudo detalhado encontra-se em Murata (1989). Uma rede de Petri é um grafo bipartido, consistindo de dois tipos de nós chamados de lugares e transições. Em uma representação gráfica lugares são representados por c´ırculos e as transições por barras. Os arcos do grafo são direcionados e interligam lugares a transições e transições a lugares. Para cada arco direcionado da rede, o nó origem é denominado nó de entrada do nó de destino e o nó de destino é denominado nó de sa´ıda do nó de origem. Uma transição, que é associada a algum tipo de evento, é disparada quando o evento que ela representa ocorre e é esse conceito que permite modelar a evolução dinâmica do SED. Os lugares da rede definem as condições sob as quais as suas transições de sa´ıda são disparadas. As condições de disparo de uma transição e suas conseqüências para a rede são formalizadas através do conceito de marcação da rede.Uma marcação associa a cada lugar um número inteiro positivo. Este número inteiro associado ao lugar indica seu número de fichas. Uma transição é dita estar habilitada se cada lugar de entrada é marcado com pelo menos o número de fichas igual ao peso do arco que conecta o lugar à transição. Se a transição está habilitada então ela pode disparar. Um disparo de uma transição habilitada retira um número de fichas (igual ao peso do arco) de cada lugar de entrada e adiciona estas fichas em cada lugar de sa´ıda.

(3)

Pode-se temporizar uma rede de Petri de diversas maneiras, sendo usual fazê-lo atribuindo um atraso a cada lugar (rede p-temporizada). O atraso de um lugar é um número inteiro positivo que tem como significado o intervalo de tempo entre o instante em que uma ficha é atribu´ıda àquele lugar e o instante em que esta ficha contribui para a habilitação das transições de sa´ıda do lugar. A temporização de uma rede de Petri é importante quando se deseja avaliar o desempenho de um sistema a evento discreto.

De uma forma geral, as redes de Petri são utilizadas para a modelagem de concorrência a recursos e a sincronização de tarefas. Os grafos a eventos são uma subclasse das redes de Petri na qual as situações de concorrência não podem ocorrer. Um Grafo de Eventos Temporizado (GET) é uma Rede de Petri temporizada na qual cada lugar tem um tempo de espera associado e somente uma transição de entrada e somente uma transição de sa´ıda. Os GET modelam SED em que somente aspectos de sincronização são observados.

A Figura 1 representa um GET. Os lugares são representados por c´ırculos, as transições por barras, os arcos por flechas, as fichas são os pontos e os números reais indicam os tempos de atraso. A transição u não é condicionada por nenhuma outra transição do sistema, u é a entrada do sistema. A transição y, chamada de sa´ıda dos sistema, não condiciona nenhuma outra transição. As demais transições são chamadas de transições internas.

u

y

x

1

x

2

5

2

5

2

Figura 1. Exemplo de um GET (Grafo de Eventos Temporizado)

Pode-se associar a cada transição x uma seqüência de datas de disparos da transição, x(k), sendo que k é o número do disparo. Cada elemento da série representa o instante do k-ésimo disparo dessa transição. Considere o GET da Figura 1. O comportamento dinâmico desse sistema é descrito pelas equações a seguir:

x1(k) = max {2 + u(k); 2 + x2(k − 1)}

x2(k) = 5 + x1(k) (1)

y(k) = max {2 + x2(k); 5 + x2(k − 2)}

O comportamento dinâmico do sistema desse exemplo pode ser completamente descrito utilizando os operadores ”max” e ”+”. O operador ”max” está relacionado com a sincronização do consumo de recursos e o operador ”+” com o tempo de processamento das diversas tarefas do processo. De uma maneira geral, o comportamento dinâmico de um GET pode ser descrito utilizando a álgebra (Max,+) na qual o operador ”max” é definido como ⊕ e o operador ”+” é definido como ⊗. Pode-se reescrever o sistema acima como:

x1(k) = 2 ⊗ u(k) ⊕ 2 ⊗ x2(k − 1)

x2(k) = 5 ⊗ x1(k) (2)

(4)

As equac¸˜oes acima ainda requerem que se especifiquem o estado inicial do sistema, ou seja, os valores de x1(k) e x2(k) para k < 0. Nesse caso, arbitra-se que todos os disparos anteriores a

k = 0 ocorreram em −∞. Conseqüentemente, a marcação inicial da rede já cumpriu o tempo de atraso de seus respectivos lugares e pode contribuir imediatamente para a habilitação de uma transição. Note que a marcação inicial promove deslocamentos na numeração dos disparos asso-ciados a uma transição. Tem-se portanto, um sistema de equações recursivas lineares numa nova álgebra, denominada álgebra max-plus.

2.1. ´Algebra Max-Plus

A álgebra max-plus é um exemplo de uma estrutura algébrica complexa, denominada dióide ou semi-anel idempotente (Baccelli et al., 1992). Define-se ε = −∞ e e = 0 e denota-se por Rmax

o conjunto R ∪ {ε}, onde R ´e o conjunto dos n´umeros reais. Para os elementos a, b ∈ Rmax

definem-se operac¸˜oes ⊕ e ⊗ como:

a ⊕ b = max (a, b) e a ⊗ b = a + b (3)

A álgebra max-plus é um dióide caracterizado por um conjunto e as duas operações (soma e pro-duto), notado (D, ⊕, ⊗), tal que a soma seja associativa, comutativa e idempotente (a ⊕ a = a), e o produto seja associativo (mas não necessariamente comutativo) e distributivo à esquerda e à direita em relação à soma. Além disso, devem existir elementos neutros para ambas as operações. O ele-mento nulo ε é absorvente em relação ao produto (a ⊗ ε = ε) e o eleele-mento e é unitário (a ⊗ e = a). Como na álgebra convencional, a multiplicação tem prioridade sobre a soma.

Observa-se que:

a ≥ b ⇒ a ⊕ b = a (4)

Um dióide é completo se ele for fechado em relação a somas infinitas e se o produto for distributivo em relação a somas infinitas. A estrutura (Z ∪ {−∞} ∪ {∞} , max, +) é um dióide completo usualmente denominado Max-plus e notado por Zmax. Uma importante operação, definida em

qualquer dióide, é a operação estrela de Kleene, definida por a∗ = L

i∈N

ai, com ai = a ⊗ a(i−1) e a0 = e. Verifica-se que, para qualquer inteiro positivo p, (a∗)p = a∗e (a∗)∗= a∗.

As matrizes tamb´em podem ser definidas pela ´algebra max-plus. Se A, B ∈ Rn×mmax, onde n, m ∈ N,

e i, j s˜ao, respectivamente, as linhas e colunas das matrizes, pode-se definir a soma das matrizes como [A ⊕ B]_ij = aij⊕ bij = max(aij, bij) para i = 1 · · · m.

Se A ∈ Rn×lmax e B ∈ Rl×mmax ent˜ao o produto de matrizes ´e definido como [A ⊗ B]ik = l

L

j=1

aij ⊗

bjk = max_j∈l(aij + bjk) para i = 1 · · · n e k = 1 · · · m.

Doravante, para simplificar a notação, o s´ımbolo de produto ⊗ será omitido quando conveniente. A álgebra max-plus permite descrever a evolução de eventos em um sistema sujeito a restrições de sincronização. Os sistemas são representados por equações lineares do tipo:

x(k) = Ax(k − 1) ⊕ Bu(k) | A ≥ I (5)

O vetor x(k) representa o estado do sistema e u(k) uma entrada externa.

A ≥ I, pois x(k + 1) ≥ x(k), isto é, as datas de disparo das transições são não-decrescentes. No exemplo dado na Figura 1 utiliza-se a descrição por datadores, isto é, associa-se a cada transição x uma seqüência de datas de disparos da transição, x(k), sendo que k é o número do disparo.

(5)

2.2. Equac¸˜ao A ⊗ x = B ⊗ y sobre (max,+)

Para a solução do sistema de equação linear A ⊗ x = B ⊗ y sobre (max,+), Cuninghame-Green and Butkovic (2003) desenvolveram um algoritmo que converge para uma solução finita partindo de algum ponto inicial finito, caso exista tal solução finita. Se os elementos finitos de A e B são todos inteiros, a convergência deste algoritmo acontece em um número finito de iterações. As matrizes A e B não podem ter nenhuma linha ou coluna infinita.

O algoritmo para solucionar a equação A ⊗ x = B ⊗ y é apresentado abaixo (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003):

Inicialize

Escolha arbitrariamente um vetor finito x Setar r = 0; x(0) = x

Repita

Setar y = solução principal de B ⊗ y ≤ A ⊗ x; y(r) = y Setar x = solução principal de A ⊗ x ≤ B ⊗ y; x(r + 1) = x Setar r = r + 1

At´e convergir Fim

Um conjunto de desigualdades lineares do tipo A ⊗ x ≤ b sobre Zmax = ({−∞} ∪ Z, max, +),

sempre possui uma solução. A maior solução é

x = A∆⊗0b, (6)

sendo A∆ = [−aji] a matriz conjugada de A e ⊗ 0

é definido como o operador de minimização (min).

3. Modelagem e Controle de Sistemas Max-plus Lineares

O sistema que se deseja modelar e controlar é do tipo mostrado na Equação (5). Este sistema está sujeito a restrições de sincronização e pode ser escrito como:

x(k) = Ax(k − 1) ⊕ Bu(k), (7)

sujeito a:

Ex(k) ≤ x(k). (8)

Sendo A, E ∈ Zn×nmax, B ∈ Z n×p

max, com n transic¸˜oes internas (ou estados) e p entradas.

A matriz que contém as restrições é a matriz E da equação acima. Supondo que:

Ex(k) ≤ x(k), (9)

pode-se observar o seguinte:

E.Ex(k) ≤ Ex(k) ≤ x(k) E3x(k) ≤ · · · ≤ x(k)

x(k) ⊕ Ex(k) ⊕ E2x(k) ⊕ · · · Enx(k) ⊕ · · · ≤ x(k) ⊕ x(k) ⊕ · · · (I ⊕ E ⊕ E2⊕ · · · )x(k) ≤ x(k)

(6)

Mas, I ≤ E∗ ⇒ Ix(k) ≤ E∗x(k) ⇒ x(k) ≤ E∗x(k). (11) Das Equac¸˜oes (10) e (11): E∗x(k) = x(k). (12) Mostrou-se que: Ex(k) ≤ x(k) ⇒ E∗x(k) = x(k). (13) Como E ≤ E∗: E∗x(k) = x(k) ⇒ Ex(k) ≤ x(k), (14) tem-se que: Ex(k) ≤ x(k) ⇔ E∗x(k) = x(k). (15)

Propriedade 3.1. Todas as condic¸˜oes iniciais fact´ıveis para o sistema devem satisfazer x(0) = E∗v, sendo v ∈ Znmax.

Demonstração. Se a condição inicial é fact´ıvel, então x(0) = E∗x(0), ou seja, x(0) = E∗v, sendo v = x(0).

Se x(0) = E∗v, então E∗x(0) = E∗E∗v = E∗v = x(0), portanto a condição é fact´ıvel. 3.1. Controle por realimentação de estados

O objetivo é implementar uma lei de controle por realimentação de estados, isto é, u(k) = F x(k − 1), sendo F ∈ Zp×nmax, de forma que E∗x(k) ≤ x(k) ∀k ≥ 0.

Com isso o sistema da Equac¸˜ao (7) passa a ser escrito como:

x(k) = (A ⊕ BF )x(k − 1). (16)

A definição seguinte é necessária para o desenvolvimento da metodologia a ser apresentada. Definição 3.1 (Matriz G-astic (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003)). Uma matriz é G-astic se em cada linha existir pelo menos um elemento finito.

Proposição 3.1. O problema de controle proposto apresenta solução se e somente se: E∗(A ⊕ BF )E∗ = (A ⊕ BF )E∗

E∗AE∗⊕ E∗BF E∗= AE∗⊕ BF E∗ (17)

Demonstração. Considere a equação x(k) = Ax(k)⊕Bu(k) sendo u(k) = F x(k−1). O problema é encontrar F |Ex(k) ≤ x(k). Dessa forma, deve-se assegurar que:

x(k) = (A + BF )x(k − 1), (18)

de forma a respeitar (veja Equac¸˜ao (15)),

(7)

Substituindo a Equac¸˜ao (18) na (19): E∗(A ⊕ BF )x(k − 1) = (A ⊕ BF )x(k − 1), ∀k ≥ 1 (20) Em particular para k = 1: E∗(A ⊕ BF )x(0) = (A ⊕ BF )x(0), (21) pela Propriedade 3.1: E∗(A ⊕ BF )E∗v = (A ⊕ BF )E∗v, ∀v E∗(A ⊕ BF )E∗ = (A ⊕ BF )E∗. (22)

Dessa forma, mostrou-se que (20) implica em (22). Deve-se mostrar que (22) implica em (20). Se (22) ´e verdadeira, lembrando que x(0) = E∗v, ent˜ao E∗x(1) = x(1), pois:

E∗(A⊕BF )E∗ = (A⊕BF )E∗ ⇒ E∗(A⊕BF )E∗v = (A⊕BF )E∗v ⇒ E∗x(1) = x(1). (23) Assumindo (22), deve-se mostrar que:

E∗x(k) = x(k) ⇒ E∗x(k + 1) = x(k + 1), ∀k ≥ 0. (24) A demonstração será feita por indução. Assume-se que E∗x(k) = x(k) é verdadeira e prova-se que E∗x(k + 1) = x(k + 1). Dessa forma, como

x(k + 1) = (A ⊕ BF )x(k)

E∗x(k) = x(k), (25)

tem-se que

x(k + 1) = (A ⊕ BF )E∗x(k). (26)

Como, por hip´otese, (22) ´e verdadeira, pode-se reescrever (26) como:

x(k + 1) = E∗(A ⊕ BF )E∗x(k). (27)

Portanto,

E∗x(k + 1) = E∗E∗(A ⊕ BF )E∗x(k). (28) Lembrando que E∗.E∗ = E∗e usando (27):

E∗x(k + 1) = x(k + 1). (29)

Lema 3.1. Se a matriz B ´e G-astic, ∀G ∈ Zn×nmax, ∃F |BF ≥ G.

Demonstração. É direta a partir da seguinte observação: Se a matriz B é G-astic ((∀i)(∃l)/Bil 6= ε): ⇒ [BF ]ij =

p

P

l=1

BilFlj. Portanto ´e sempre poss´ıvel

(8)

Proposição 3.2. Para um sistema tal que B é G-astic, uma condição suficiente para a existência do controlador é encontrar uma solução (Zij 6= ε) para a equação:

E∗BZ = BZ. (30)

Demonstrac¸˜ao. a) se ∃Z|Zij 6= ε ⇒ bZ = Z ⊗ M (M = mI), matriz identidade (I) ∈ Zn×nmaxe

m ∈ Zmax, também é solução para a equação (30) pois E∗BZ = BZ ⇒ E∗BZ ⊗ M = BZ ⊗ M .

b) De forma análoga, eF = bZE∗ também é solução para (30).

De a) e b), em conjunto com o Lema 3.1, conclui-se que é sempre poss´ıvel fazer eF suficientemente grande, tal que B eF ≥ E∗AE∗, ou seja, E∗AE∗⊕ B eF = B eF . Dessa forma, utilizando a Equação (30), tem-se: E∗AE∗⊕ E∗_{B e}_{F = B e}_{F .}

Contudo, B eF ≥ E∗AE∗, então B eF ≥ AE∗, pois E∗≥ I. Logo, B eF ⊕ AE∗ = B eF . Dessa forma como, por construção, eF = eF E∗, obtém-se que:

E∗AE∗⊕ E∗B eF = B eF = B eF ⊕ AE∗. (31) Como e F = bZE∗, (32) logo e F = eF E∗. (33) Dessa forma: E∗AE∗⊕ E∗B eF E∗= B eF E∗⊕ AE∗ E∗(A ⊕ B eF )E∗ = (A ⊕ B eF )E∗. (34)

Essa proposição permite, em conjunto com o algoritmo apresentado na seção 2.2, resolver a Equação (30) e encontrar a matriz de controle F que é dada por:

F = ZM E∗ (35)

4. Um exemplo de aplicação do problema de controle de tráfego urbano

S

₁

S

₂

S

₃

d

₁₂

d

₂₃

I

₁

I

₂

I

₃

Figura 2. Exemplo de uma malha vi ária de 3 interseç ões

A aplicação apresentada nesta Seção foi extra´ıda de Garcia et al. (2006); Garcia (2007).Considere o sistema mostrado na Figura 2. Ele se refere a um conjunto de interseções de uma via. Os carros

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podem trafegar em qualquer sentido indicado pelas setas. Nesta seção o objetivo é apresentar um modelo que representa esta via e desenvolver uma estratégia de controle que possa agir nos tempos de semaforização, sincronizando-os, para que haja formação de ondas verdes (quando poss´ıvel). Os ve´ıculos que se deslocam entre as interseções são agrupados em pelotões, e o tamanho do pelotão é ignorado, considerando-o como um ponto indivis´ıvel. Os semáforos estão representados por Sie

as interseções por Iicom i = 1, 2, 3. O tempo de deslocamento entre I1 e I2 é d12e entre I2 e I3 é

d23.

Primeiro, será visto como a evolução deste tipo de sistema pode ser descrita por sistemas dinâmicos lineares da forma (5) na álgebra max-plus. Os eventos que há interesse em modelar são as trocas de sinal dos semáforos e as passagens dos pelotões pelas interseções.

A malha viária pode ser modelada através de um GET. O modelo está na Figura 3. As transições que indicam a troca de sinal do semáforo são: Si1habilita o sinal verde e Si2habilita o sinal vermelho.

As transições xi1e xi2indicam a passagem de um pelotão pelas interseções Ii. Os lugares gie ri

representam, respectivamente, os tempos de verde e vermelho do semáforo i com i = 1, 2, 3. Os lugares d12, d23, d21e d32representam o tempo de deslocamento entre as interseções. A marcação

indica que o semáforo está com o sinal vermelho e que há um pelotão na via.

Para se obter uma malha semaforizada e poss´ıvel de ser controlada aplicam-se entradas de controle nas transic¸˜oes que representam a abertura dos sinais vermelho e verde (Garcia et al., 2006; Garcia, 2007). S₁₁ S₁₂ r ₁ _g 1 u ₂ S₂₁ S₂₂ g ₂ S₃₁ S₃₂ g ₃ u ₄ u ₆ x ₃₂ r ₂ r ₃ x ₃₁ x ₂₁ x ₂₂ x ₁₂ x ₁₁ d ₁₂ d ₂₁ d 32 d ₂₃ u ₁ _u 3 u 5

Figura 3. Modelo com entradas de controle

O estado do sistema pode ser expresso através da Equação (5) sendo x(k) = [S11(k) S12(k) x11(k) x12(k) S21(k) S22(k) x21(k) x22(k) S31(k) S32(k)

(10)

O sistema da Equação (5) é expandido para:

x(k) = A1x(k) ⊕ A2x(k − 1) ⊕ B1u(k), (36)

que pode ser expresso como (veja (Baccelli et al., 1992)):

x(k) = A∗₁A2x(k − 1) ⊕ A∗1B1u(k). (37)

A matriz A1 ´e apresentada abaixo onde: g1 = g2 = g3 = 44, r1 = r2 = r3 = 20, d12 = d21 =

15, d23= d32= 20. As unidades das medidas est˜ao expressas em segundos.

A matriz A2possui dimens˜ao 12x12 onde a212 = r1, a256 = r2, a273 = d12, a2812 = d32, a2910 = r3

sendo os outros a2ij = ε.

A matriz B1possui dimens˜ao 12x6 onde b111 = b122 = b153 = b164 = b195 = b1106 = e sendo os

outros b1ij = ε. A1=                      ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε d21 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε d23 ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε                     

A matriz A da Equação (5) é A∗₁A2e a matriz B é A∗1B1.

As equações que representam as transições são (estão representadas as equações que representam as transições para I1, as demais são similares):

S11(k) = r1S12(k − 1) ⊕ u1(k)

S12(k) = g1S11(k) ⊕ u2(k)

x11(k) = S11(k)

x12(k) = d21x22(k) ⊕ S11(k)

´

E necessário definir um conjunto de restrições operacionais para garantir o funcionamento desejável do sistema controlado. As restrições que dão origem à matriz E são:

→ Habilitação da passagem do pelotão apenas com o semáforo em verde. S11− x1i≤ 0, S21− x2i≤ 0, S31− x3i≤ 0, i = 1, 2

→ O tempo de verde deve ser capaz de absorver um pelotão (taé o tempo de absorção).

x1i− S12≤ −ta1, x2i− S22≤ −ta2, x3i− S32≤ −ta3, i = 1, 2

→ O tempo de verde n˜ao pode ultrapassar um m´aximo m. Si2− Si1≤ mi i = 1, 2, 3

(11)

S11− S21≤ of f12, S21− S11≤ of f12, S21− S31≤ of f23, S31− S21≤ of f23

onde mi= 70, tai= 44, of f12= 5 e of f23= 40.

A matriz E para este exemplo ´e representada abaixo:

E =                      ε −m1 ε ε −of f12 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ta1 ta1 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε −of f₁₂ ε ε ε ε −m₂ ε ε −of f₂₃ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ta2 ta2 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε −of f23 ε ε ε ε −m3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ta3 ta3 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε                     

Verifica-se nesse caso que a matriz B é G-astic. Dessa forma, através da solução da Equação (30) foi poss´ıvel encontrar Z, e portanto foi gerada uma matriz F de realimentação de estados, dada por:

F =         64 20 64 64 69 25 69 69 69 25 69 69 123 79 123 123 123 79 123 123 133 89 133 133 64 20 64 64 64 20 64 64 74 30 74 74 108 64 108 108 113 69 113 113 118 74 118 118 64 20 64 64 64 20 64 64 74 30 74 74 128 84 128 128 128 84 128 128 138 94 138 138        

Uma poss´ıvel seqüência para o estado inicial é:

x(0) = [0 44 0 0 0 44 0 0 0 44 0 0]T

x(1) = [69 133 69 89 74 118 74 74 74 138 94 74]T

x(2) = [163 227 163 183 168 212 168 168 168 232 188 168]T

O tempo de ciclo da malha viária é de 94s. Foi utilizado o max-plus toolbox do Scilab (Quadrat, 2003; Hardouin et al., 2001) para realizar os cálculos.

5. Conclus˜oes

Neste artigo foi apresentada uma estratégia de controle para sistemas a eventos discretos max-plus lineares sujeitos a restrições de estado. Foi apresentada uma condição suficiente para a existência do controlador que resulta em um algoritmo para o cálculo da matriz de controle. Também foi apre-sentada uma aplicação da abordagem no controle da semaforização de um conjunto de interseções de uma via. Uma proposta para trabalhos futuros seria a reestruturação da matriz B daqueles sis-temas que não satisfizessem a condição apresentada. Dessa forma seria poss´ıvel utilizar a estratégia de controle proposta neste trabalho.

Agradecimentos

Este trabalho foi parcialmente apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior, CAPES.

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