1
Espirometria: Um Modelo Computacional que Descreve a
Capacidade Volumétrica Pulmonar em Função da Altura.
Rodrigo Romais (FCSGN)1r.romais@gmail.com
Resumo: Este documento propõe um modelo computacional que descreve a capacidade
volumétrica do pulmão de uma pessoa em relação à medida da sua altura. Consiste basicamente em uma fundamentação de equações diferenciais, onde dados iniciais são coletados e respectivamente, modelados conforme sua distribuição, aplicado ao conceito de espirometria. Os dados coletados foram de indivíduos com índice de massa corporal (IMC) pré-estabelecidos para não haver dispersão numérica e interferência no modelo. Além de coletar e analisar informações busca-se encontrar um método para simular aparelhos sofisticados, como os espirômetros, de uso médico. Podendo assim, esta proposta de artigo, delinear um modelo matemático que descreve a capacidade pulmonar volumétrica em relação ao tamanho da altura, relatando o erro relativo obtido por suas simulações subsequentes. Palavras-chave: Espirometria, Capacidade Pulmonar, Equações Diferenciais.
Abstract: This paper proposes a computational model that describes the volume of the lung
capacity of a person in relation to the measurement of your height. Basically consists of a foundation of differential equations, where initial data are collected and respectively modeled as distribution, applied to the concept of spirometry. In addition to collecting and analyzing information search to find a method to simulate sophisticated devices, such as spirometers, medical use. Can therefore, this proposed article, outline a mathematical model describing the volumetric lung capacity relative to the size of the time, reporting the relative error obtained by its subsequent simulations
Keyword: Spirometry, lung capacity, Differential Equations.
1. INTRODUÇÃO
A obtenção de um modelo que descreva o volume do pulmão humano em função da altura de uma pessoa, medida em metros, poderá ser descrito de maneira com que os níveis de altura estejam em crescimento, de mesmo modo, proporcionar a capacidade volumétrica pulmonar, em litros, conforme o indivíduo cresce. Desse modo, a taxa de variação fica descrita como a variação do volume pulmonar em relação à altura do indivíduo.
1
Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista “Julho de Mesquita Filho” (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: 78520-000. E-mail: r.romais@gmail.com. Maio de 2016.
2 A Espirometria é um exame pulmonar realizado por médicos pneumologistas e por fisioterapeutas respiratórios, chamado também de exame do sopro. Este exame permite encontrar o volume e o fluxo de ar do pulmão.
Quando aborda assunto sobre a Espirometria, outro conceito clínico deve ser respeitado, a Alometria. A Alometria distingue-se em quatro conceitos, o ontogenético, o filogenético, o intraespecífico e o interespecífico, são eles: Alometria Genética refere-se ao crescimento relativo dos indivíduos; Alometria Filogenética diz respeito às taxas de crescimento diferencial nas linhagens; Alometria Intraespecífica reverencia aos indivíduos adultos de uma espécie ou população local; Alometria Interespecífico condiz com o fenômeno entre as espécies relacionadas.
Em outros termos, a alometria é o desenvolvimento desproporcional de uma parte do organismo em relação ao conjunto do indivíduo.
Matematicamente, uma equação alométrica é descrita em forma de uma função de potencia. Neste contexto, as alometrias examinadas neste experimento referem-se às dilatações que o pulmão pode gerar. Desse modo, é possível descrever o modelo de uma equação alométrica conforme equação (1).
(1)
Semelhantemente as Leis de Kepler, das quais descrevem os movimentos de corpos celestes em suas órbitas, as alometrias são regressões lineares, portanto, não se referem a mecanismos. Sendo assim, a equação (1) será utilizada para o modelo matemático que descreve a capacidade volumétrica em função da altura de uma pessoa. Ainda, em contexto geral, a equação (1) descreve um dos modelos de equações diferenciais ordinárias utilizadas em aplicações de problemas modelos, em específico, modelo de crescimento populacional.
Limitando a pesquisa, serão inclusos indivíduos com IMC (Índice de Massa Corporal) entre 18 e 28, considerável ideal, analisar que o IMC é obtido através da razão entre a massa corporal, em quilogramas, sobre a altura elevada ao quadrado, como mostra a equação (2)
(2)
Com a equação (2), que descreve o índice de massa corporal é possível, juntamente, com a equação (1) descrever o modelo, aqui proposto.
3
2. METODOLOGIA
Para a modelagem matemática desta aplicação, são vitais as presenças de indivíduos da pesquisa, que são: coleta de dados; análise de dados; espirometria; modelagem e solução do problema.
Para Pereira, Sato e Morrone (2002) a alometria é o desenvolvimento desproporcional de uma parte do organismo em relação ao conjunto anatômico de um indivíduo.
Segundo Boyce e Di Prima (1996), matemáticamente, uma equação alomética é uma equação exponencial, descrita conformemente o crescimento não linear de uma população.
2.1 Coleta de Dados
Os dados coletados foram a Massa Corporal, Altura e Capacidade Vital2 de cada indivíduo. A massa e a altura foram necessárias para determinar o Índice de Massa Corpórea (IMC) e a Capacidade Vital é utilizada para determinar a Capacidade Pulmonar.
Para determinar a Capacidade Vital foi utilizado um balão. A pessoa deveria inspirar o máximo possível e posteriormente expulsar todo o ar para dentro do balão, tapando o nariz. Feito isso, o balão era imerso em um recipiente cilíndrico, balde, com raio de e altura de , com água no nível de e uma régua colada verticalmente no balde, com o zero no nível da água. Ao inserir o balão no recipiente, o nível de água subia e assim, foi possível registrar o volume do balão conforme representa a Figura 1.
2
4 Um dos problemas encontrados foi como colocar o balão dentro da água com a resistência, sem a inserção de qualquer outra massa que pudesse interferir na medição. A solução foi registrar o volume da mão do pesquisador com uma marca feita no pulso, volume este determinado com o mesmo princípio utilizado no recipiente cilíndrico, porém, utilizado um copo graduado para medição de volume.
Após determinado que o volume da mão do pesquisador até a marca no pulso é de , todas as medições de volume foram inserindo o balão na água apoiado com a mão até a marca no pulso, podendo assim posteriormente, ser desconsiderado o volume da mão, restando apenas, o volume pulmonar.
A coleta de dados foi feita no dia 24 de setembro de 2010 nas dependências da UFMT e da UNEMAT na cidade de Sinop, no Mato Grosso, no período vespertino e noturno, respectivamente. No total foram registrados e, analisados posteriormente, dados de 74 pessoas.
2.2 Análise dos Dados.
Com o banco de dados montado, foi calculado o IMC por , como já representado na equação (2), sequencialmente foram selecionados
Figura 1 – Recipiente utilizado para calcular a capacidade volumétrica do pulmão.
5 somente os dados de pessoas com IMC entre 18 e 28, para que a condição física não interferisse excessivamente nos resultados.
Na equação (2) Onde representa a massa em quilogramas ( ) e é a altura em metros. Então a unidade de medida é representada ( ). Os dados selecionados foram separados em grupos de acordo com a respectiva altura , conforme Tabela 1.
Tabela 01 – Grupos e suas respectivas variações
Grupo Faixa
Fonte: Próprio Autor
A Tabela 1 representa os grupos por média de altura e a respectiva margem de erro, isto é, considerados para mais da média, e para menos da média de cada grupo. Os dados que não se encontravam em nenhuma dessas faixas foram desconsiderados, isto é, igual ou abaixo de metros e, igual ou acima de metros.
2.2.1 Espirometria
A espirometria (do latim spirare = respirar + metrum =medida) é a medida do ar que entra e sai dos pulmões. Pode ser realizada durante respiração lenta ou durante manobras expiratórias forçadas. Na espirometria podem ser avaliados vários aspectos como volume residual, capacidade pulmonar, capacidade residual funcional, capacidade vital, capacidade vital forçada, volume expiratório forçado, fluxo expiratório forçado máximo, fluxo expiratório forçado médio, tempo da expiração forçada e tempo expiratório forçado médio. Todas essas informações podem ser obtidas com testes realizados com o Espirômetro. Neste documento, restringiu-se a Capacidade Vital e Capacidade Pulmonar e Volume Residual, estes que podem ser obtidos de maneira simplificada.
6 A Capacidade Pulmonar é dada pela soma da Capacidade Vital com o Volume Residual e, pode ser representada pela equação (3)
(3)
A capacidade vital é o volume que é possível expulsar durante uma expiração forçada consecutiva a inspiração máxima. O volume residual é o volume de ar que ainda permanece no pulmão após uma expiração forçada, em média, este volume é 1,2 litros.
A capacidade vital de um indivíduo é o volume do balão que o mesmo encheu em condições já mencionadas, que pode ser calculado com a medida obtida na régua após a inserção do balão submerso no recipiente cilíndrico. O volume do balão é igual ao volume do cilindro de raio e altura obtida na régua, retirando , por se tratar do volume da mão que é inserida junto com o balão imerso na água, conforme mostra a equação (4).
(4)
Onde é a medida obtida do deslocamento vertical da água na régua, conforme ilustra a Figura 1. A expressão é referente ao volume do cilindro, a divisão por é a conversão de para . Aplicando estes conceitos na equação (3), temos.
Assim, obtém-se a Capacidade Pulmonar conforme equação (5)
(5)
De tal modo, calculada a Capacidade Pulmonar de cada indivíduo, desconsiderando os desvios de padrão, e respectivamente calculada a média para cada faixa de altura, como representa a Tabela 2:
Tabela 2 – Capacidade Pulmonar obtida
Altura Capacidade Pulmonar Média
7 Conforme Tabela 2, foram calculadas as médias das capacidades pulmonares para cada faixa de altura, isto é, se um indivíduo apresenta o porte de de altura, então, em média ele terá capacidade pulmonar de . Tais dados foram utilizados para modelar a função, considerando aqui, seis casas decimais para evitar erros de aproximação.
2.2.2 Modelagem do Problema
Para modelar a Capacidade Volumétrica em função da Altura utiliza-se a mesma concepção da relação entre o raio e o volume da esfera conforme mostra a equação (6), volume da esfera
:
(6)
Nota-se que o volume da esfera não é proporcional ao raio, e aumenta de acordo com a equação (7).
(7)
De acordo com a proposta da equação (1), contextualizando demais equações, obtém-se o modelo geral que descreve a capacidade volumétrica em função da altura de um indivíduo conforme representa a equação (8)
(8)
A solução obtida através da equação (8) é conhecida por solução geral do modelo. Encontram-se os valores para o Modelo através do Método dos Mínimos Quadrados. O Erro é obtido pela diferença entre Solução Real ( ) e Solução Aproximada ( ). São somados todos os erros ao quadrado e, utilizando a ferramenta “Solver” do Software Microsoft Office Excel determina-se valores para e de forma a minimizar o erro ao quadrado, conforme representa a Figura 2.
8 Figura 2 – Soluções do Problema Modelo
Fonte: Próprio Autor
Considerando seis casas decimais, obtém os valores de e 2.117012. Sendo assim é possível determinar o Modelo da Capacidade Pulmonar em função da Altura. Ainda, com os dados médios advindos da Tabela 2, é possível descrever uma curva exponencial sobre o comportamento geométrico do problema modelo conforme representa a Figura 3.
Figura 3 – Comportamento Geométrico do Problema Modelo.
9 É possível observar a aproximação com que os dados estão em torno da curva exponencial, considerando erro relativo e o erro ao quadrado, advindos do método numérico.
A solução particular para o modelo é equivalente a equação (9).
(9)
Para a verificação do modelo é calculada algumas alturas fazendo a comparação com os dados com as Tabela 1 e Tabela 2, como mostra a Tabela 3, para alturas aleatórias 1,69, e .
Tabela 3 – Capacidade Pulmonar obtida
Altura Capacidade Pulmonar Média
Fonte: Próprio Autor
Adotando os mesmos limites, inferior a e superior a 1,91, pode-se constatar que na Tabela 3 obtiveram-se resultados agradáveis e satisfatórios em relação ao modelo encontrado na equação (9). Em outras palavras, o modelo computacional que descreve a capacidade volumétrica do pulmão em função da altura é considerado preciso.
3. CONCLUSÃO
Como se almejava encontrar um modelo que descrevesse a variação do volume conforme varia a altura de um indivíduo, obtive-se resultados expressivos, com erro relativamente pequeno, uma vez que, quando se inspira uma quantidade máxima de ar, respectivamente expira-se o fluido, assim, permanece um resíduo de volume de ar no pulmão, variação esta que depende de cada sistema fisiológico.
A metodologia de se resolver um problema modelado mostrou ser interessante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de modelos computacionais e consequentemente métodos numéricos, e outro, revelar a importância da aplicabilidade de equações diferenciais.
Como era de se esperar, os resultados advindos da pesquisa, consequentemente obtido um modelo, mostrou-nos a real situação que a capacidade volumétrica do pulmão cresce conforme aumenta a altura.
10 Para finalizar, a utilização de um modelo computacional pode apresentar resultados satisfatórios à medida que se aumenta o banco de dados, a média torna-se periodicamente regular, o que acarreta em um volume bem próximo ao obtido em aparelhos sofisticados, como os espirômetros, de uso médico.
REFERENCIAS
BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, 1994.
PEREIRA, C. A. C.; SATO T.; MORRONE N.; “Espirometria – Resposta funcional a Bronco dilatador”. Rio de Janeiro. JPneumol, 2002.
RODNEY C. B. “Ensino-aprendizagem com modelagem matemática”. 3ª Ed. São Paulo. Contexto, 2006 ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed. São Paulo. Thomson, 2003.
