An´alise Comparativa de M´etodos de Triangulac¸˜ao para Aproximac¸˜ao de Imagens Digitais
OLIVERMATIAS VANKAICK, H ´ELIOPEDRINIUniversidade Federal do Paran´a, Departamento de Inform´atica 81531-990, Curitiba-PR, Brasil
{oliver,helio}@inf.ufpr.br
Resumo. O avanc¸o de diversos campos do conhecimento em processamento de imagens ou geoprocessamento
torna cada vez mais importante a visualizac¸˜ao e armazenamento de grandes volumes de dados, normalmente repre-sentados como uma imagem digital. Para esse fim, s˜ao necess´arias t´ecnicas de compactac¸˜ao e manipulac¸˜ao mais eficientes, das quais uma muito utilizada ´e a representac¸˜ao por meio de superf´ıcies poligonais, comumente forma-das por um conjunto de triˆangulos. O prop´osito deste trabalho ´e descrever os principais m´etodos para construc¸˜ao de malhas triangulares e realizar uma comparac¸˜ao entre eles. M´etodos baseados em triangulac¸˜oes regulares, irregula-res e com subdivis˜ao hier´arquica foram implementados e avaliados. V´arias imagens foram aproximadas utilizando tais m´etodos e as aproximac¸˜oes foram comparadas sob v´arios aspectos quantitativos, como o tempo necess´ario para a construc¸˜ao das triangulac¸˜oes, o n´umero de pontos utilizados pelas malhas trianguladas geradas, e a taxa de erro de cada aproximac¸˜ao.
1 Introduc¸˜ao
Com o crescimento de diversos campos do conhecimento em processamento de imagens ou geoprocessamento, e a utilizac¸˜ao de t´ecnicas recentes de aquisic¸˜ao de imagens, fornecendo imagens com resoluc¸˜oes cada vez mais altas, torna-se cada vez mais importante a visualizac¸˜ao e arma-zenamento de grandes volumes de dados. A utilizac¸˜ao de estrat´egias eficientes para armazenamento, manipulac¸˜ao e visualizac¸˜ao dos dados torna-se indispens´avel, particular-mente quando a aplicac¸˜ao requer que as informac¸˜oes se-jam processadas em tempo real. Exemplos de dom´ınios de aplicac¸˜oes envolvendo grandes volumes de dados incluem sensoriamento remoto, sistemas de informac¸˜ao geogr´afica, explorac¸˜ao planet´aria, realidade virtual e vis˜ao computaci-onal.
Uma t´ecnica comum para aproximac¸˜ao de superf´ıcies utiliza uma malha poligonal, normalmente representada por um conjunto de triˆangulos. Tal malha ´e composta por um conjunto de pontos de elevac¸˜ao representativos da su-perf´ıcie e por um conjunto de triˆangulos, cuja uni˜ao re-sulta em uma malha cobrindo todo o dom´ınio da ima-gem original. Atrav´es dessa malha e um processo de interpolac¸˜ao, pode-se determinar o valor de todos os pontos da imagem original, segundo uma determinada tolerˆancia m´axima de erro definida durante o processo de construc¸˜ao da triangulac¸˜ao. Dependendo da taxa de erro estabele-cida, o n´umero de pontos e triˆangulos utilizados para a representac¸˜ao da malha pode variar. Para uma taxa de erro baixa, o n´umero de pontos e triˆangulos pode ser muito alto. No entanto, esse fator n˜ao depende apenas da tolerˆancia es-tabelecida, mas tamb´em do modelo de malhas triangulares utilizado.
Existem in´umeros m´etodos de construc¸˜ao de malhas triangulares, os quais podem gerar modelos apresentando diferentes conjuntos de pontos e triˆangulos, por´em, com a mesma tolerˆancia de erro. Esses modelos podem, basi-camente, pertencer a trˆes conjuntos diferentes: malhas re-gulares trianguladas, malhas com subdivis˜ao hier´arquica e malhas irregulares trianguladas.
Este trabalho apresenta um estudo comparativo dos principais m´etodos de triangulac¸˜ao para construc¸˜ao de su-perf´ıcies poligonais. Para esse fim, os m´etodos foram implementados e utilizados para aproximar diversas ima-gens digitais. As aproximac¸˜oes geradas foram compara-das sob v´arios aspectos quantitativos: n´umero de pontos e triˆangulos utilizados segundo uma certa tolerˆancia de erro pr´e-estabelecida; taxa de erro alcanc¸ada segundo um deter-minado n´umero m´aximo de pontos que pode ser utilizado; tempo de execuc¸˜ao requerido por cada m´etodo.
Para a avaliac¸˜ao da taxa de erro, foram utilizadas m´etricas para avaliac¸˜ao da qualidade de uma aproximac¸˜ao em relac¸˜ao ao modelo original, como o erro m´aximo, a raiz
do erro quadr´atico m´edio e o pico da relac¸˜ao sinal-ru´ıdo.
Os diferentes m´etodos foram aplicados a um conjunto de imagens diversas, incluindo imagens de luminˆancia e mo-delos digitais de terrenos apresentando topografia diversa.
Este trabalho est´a estruturado da seguinte maneira. A sec¸˜ao 2 descreve os principais m´etodos de construc¸˜ao de malhas triangulares, bem como as principais caracter´ısticas das triangulac¸˜oes geradas. A sec¸˜ao 3 descreve os resultados das comparac¸˜oes entre os m´etodos, mencionando quais os m´etodos mais eficientes. Finalmente, a sec¸˜ao 4 apresenta as conclus˜oes.
2 M´etodos de triangulac¸˜ao
Cada m´etodo de triangulac¸˜ao, a partir de uma imagem di-gital de entrada, constr´oi uma malha triangular que segue as propriedades de determinado modelo. Essa malha trian-gular resultante pode ent˜ao ser interpolada para gerar outra imagem digital, que ser´a uma aproximac¸˜ao da imagem ori-ginal, satisfazendo uma certa taxa de erro.
Um ponto em comum entre todos os m´etodos estu-dados ´e que estes partem de uma malha triangular inicial m´ınima, e inserem pontos na triangulac¸˜ao, refinando-a a cada iterac¸˜ao, at´e que o erro m´aximo da aproximac¸˜ao esteja abaixo de um valor pr´e-estabelecido, ou at´e que o n´umero de pontos requerido seja alcanc¸ado. O n´umero de pontos na triangulac¸˜ao resultante n˜ao depender´a apenas da precis˜ao especificada, mas tamb´em do modelo de malha utilizado pelo m´etodo.
Por mais diferente que seja o modelo utilizado, as ma-lhas devem possuir continuidade C0
, isto ´e, a aresta de um triˆangulo, que n˜ao ´e uma borda da imagem, deve es-tar conectada `a aresta de outro triˆangulo. Dessa forma, su-perf´ıcies com falhas (cracks), como a vista na figura 1, s˜ao evitadas. A A (a) (b)
Figura 1: Problema que pode ocorrer em uma triangulac¸˜ao: (a) vis˜ao 2D, (b) vis˜ao 3D.
As imagens utilizadas pelos m´etodos s˜ao representa-das por uma func¸˜ao discreta, denotada f(x, y), que for-nece um valor associado para cada ponto bidimensional do espac¸o. As dimens˜oes da imagem s˜ao denotadas M e N, e a func¸˜ao retorna at´e L valores diferentes ( 0 ≤ f(x, y) < L). A aproximac¸˜ao gerada pelos m´etodos ´e denotada g(x, y), e possui as mesmas dimens˜oes que a imagem original.
Para verificar se, a cada inserc¸˜ao de um ponto, a aproximac¸˜ao satisfaz uma certa taxa de erro desejada, normalmente utiliza-se a m´etrica do erro m´aximo
(Maxi-mum Error – ME), apresentada na equac¸˜ao 1, uma vez
que ´e r´apida de ser calculada. Essa m´etrica representa a maior diferenc¸a absoluta entre a imagem original e a aproximac¸˜ao.
M E= max |f (x, y) − g(x, y)|
tal que (0 ≤ x ≤ M − 1) e (0 ≤ y ≤ N − 1) (1)
Para verificar a qualidade final das aproximac¸˜oes geradas, s˜ao utilizadas m´etricas mais adequadas para a
avaliac¸˜ao global, calculadas apenas no final da construc¸˜ao das triangulac¸˜oes, por serem mais custosas. Duas m´etricas que podem ser utilizadas s˜ao a raiz do erro quadr´atico
m´edio (Root Mean Square Error – RMSE) e o pico da relac¸˜ao sinal-ru´ıdo (Peak Signal to Noise Ratio – P SNR),
calculadas com as equac¸˜oes 2 e 3. Quanto menor o valor fornecido pelo RMSE, melhor ´e a aproximac¸˜ao gerada. J´a para a m´etrica P SNR, a aproximac¸˜ao ´e melhor quanto maior o valor fornecido, que ´e medido em decibel (dB).
RM SE= v u u t 1 M× N M −1 X x=0 N −1 X y=0 [f (x, y) − g(x, y)]2 (2) P SN R= 10 log10 M× N × L2 M −1 X x=0 N −1 X y=0 [f (x, y) − g(x, y)]2 (3)
Diversos tipos de imagens digitais podem ser aproxi-madas pelos m´etodos, desde que possam ser representadas na forma de uma func¸˜ao f(x, y). Podem ser utilizadas, por exemplo, imagens de luminˆancia, em que cada ponto tem associado um valor de brilho, imagens de profundidade, onde cada ponto ´e associado a um valor de distˆancia espa-cial, ou modelos digitais de terrenos (Digital Elevation
Mo-dels - DEMs), em que cada ponto representa a elevac¸˜ao de
uma regi˜ao quadrada de um terreno.
Nas sec¸˜oes seguintes s˜ao descritas as trˆes principais categorias de m´etodos existentes para a construc¸˜ao de ma-lhas triangulares.
2.1 Regular
O m´etodo regular consiste em utilizar pontos separados por um intervalo especificado. Esses pontos s˜ao unidos de forma a construir uma triangulac¸˜ao regular como a que ser´a vista na figura 5(b). Pode-se atribuir a cada ponto escolhido para a malha o seu valor original, ou este pode receber um valor que represente a m´edia ou mediana de uma pequena regi˜ao quadrada da imagem, de forma que o ponto repre-sente melhor a regi˜ao `a qual pertence.
Como essa abordagem tende a ser custosa, uma alter-nativa ´e primeiramente aplicar um filtro passa-baixa `a ima-gem [1], como por exemplo um filtro de mediana, para que poss´ıveis ru´ıdos possam ser eliminados. Assim, quando os pontos forem selecionados, simplesmente tomando-os a intervalos uniformes, n˜ao ser˜ao escolhidos pontos desfa-vor´aveis para a aproximac¸˜ao.
2.2 Subdivis˜ao Hier´arquica
Os m´etodos de subdivis˜ao hier´arquica aproximam a ima-gem original atrav´es de uma subdivis˜ao adaptativa de uma superf´ıcie. As regi˜oes da imagem que devem ser melhor aproximadas, porque possuem mais detalhes, podem ser
subdivididas um maior n´umero de vezes que as regi˜oes me-nos detalhadas.
Dos m´etodos de subdivis˜ao hier´arquica, um dos mais conhecidos e utilizados ´e o quadtree, em que cada su-perf´ıcie ´e subdividida em quatro novas susu-perf´ıcies quando necess´ario. Um exemplo desse tipo de triangulac¸˜ao pode ser visto na figura 5(c). Este ´e um m´etodo j´a conhecido na ´area de processamento de imagens [1], utilizado para compactac¸˜ao ou visualizac¸˜ao de imagens em v´arios n´ıveis de resoluc¸˜ao.
Ao se utilizar o m´etodo quadtree para criar uma ma-lha triangular, ´e necess´ario encontrar uma forma correta de triangular as superf´ıcies subdivididas, pois se as superf´ıcies quadradas apenas forem divididas em triˆangulos, poder˜ao aparecer falhas.
Para a correta triangulac¸˜ao, foi proposta a quadtree restrita [2, 3, 4], que ´e triangulada segundo uma restric¸˜ao nos n´ıveis de subdivis˜ao. Primeiramente, a quadtree cor-rente, vista na figura 2(a), deve ainda ser dividida at´e que fique como em (b), onde duas superf´ıcies vizinhas n˜ao di-ferem em mais que um n´ıvel; isto ´e conhecido como a pro-priedade da quadtree restrita.
Posteriormente, a quadtree ´e triangulada da seguinte maneira: para cada lado de uma superf´ıcie, se este possuir dois vizinhos, s˜ao criados dois triˆangulos, e se possuir ape-nas um vizinho, ´e criado apeape-nas um triˆangulo. Dessa ma-neira, ser˜ao criados de quatro a at´e oito triˆangulos, como visto na figura 2(c).
(a) (b) (c)
Figura 2: Triangulac¸˜ao quadtree restrita.
2.3 Irregular
Nos m´etodos irregulares, qualquer ponto pode ser esco-lhido para ser um v´ertice da triangulac¸˜ao, dessa maneira, as malhas constru´ıdas podem ser mais adaptativas e, assim, tendem a utilizar menos pontos. Exemplos desse tipo de triangulac¸˜ao podem ser vistos nas imagens (d), (e) e (f) da figura 5.
Um dos m´etodos para construir uma malha irregular ´e o incremental, que inicia com uma malha formada por apenas dois triˆangulos e, depois, a cada iterac¸˜ao, insere no modelo o ponto onde o erro avaliado ´e maior. O m´etodo termina quando o n´umero m´aximo de pontos foi inserido, ou a precis˜ao desejada foi alcanc¸ada [5].
Quando um novo ponto ´e inserido, ´e necess´ario refa-zer a triangulac¸˜ao no local. ´E verificado a qual triˆangulo o ponto pertence, e s˜ao criadas novas arestas, formando assim novos triˆangulos, estendendo-as dos v´ertices do triˆangulo no qual o ponto est´a inserido, at´e o ponto em quest˜ao. O processo ´e visto na figura 3: em (a) o ponto P ´e inserido. Em (b) s˜ao criadas novas arestas a partir dos v´ertices do triˆangulo com o ponto P , formando trˆes novos triˆangulos.
Pode ser requerido que a triangulac¸˜ao seja constru´ıda satisfazendo certas propriedades desejadas. Para esse fim, deve ser especificado um teste que verifica se os triˆangulos alterados na inserc¸˜ao de um ponto ainda satisfazem as pro-priedades necess´arias. Deve tamb´em ser especificada uma forma de alterar a triangulac¸˜ao para que as propriedades voltem a ser respeitadas.
Por exemplo, a malha triangular pode ser gerada sa-tisfazendo as propriedades da triangulac¸˜ao de Delaunay. Isso pode ser requerido porque essa triangulac¸˜ao pos-sui os maiores triˆangulos poss´ıveis, todos aproximada-mente equil´ateros [6], e assim s˜ao evitados problemas de interpolac¸˜ao e artefatos visuais na aproximac¸˜ao gerada.
No caso de ser requisitado que a triangulac¸˜ao seja de Delaunay, ´e verificado se mais de trˆes pontos pertencem ao interior da circunferˆencia que passa pelos trˆes v´ertices de um triˆangulo. Se isto ocorrer, o triˆangulo em quest˜ao n˜ao ´e de Delaunay, e para que as propriedades voltem a ser res-peitadas, uma aresta desse triˆangulo deve ser trocada. Um exemplo desse processo pode ser visto na figura 3: em (c) ´e verificado que o ponto P pertence ao interior da circun-ferˆencia. Ent˜ao, a diagonal do quadril´atero que cont´em os pontos ´e trocada em (d).
Para a triangulac¸˜ao denominada de dependente dos
da-dos, uma diagonal de um quadril´atero s´o ser´a trocada se
com esta mudanc¸a o erro m´aximo no local diminuir. O outro m´etodo para a construc¸˜ao de triangulac¸˜oes ir-regulares ´e o baseado em extrac¸˜ao de caracter´ısticas [7], que primeiramente seleciona um conjunto de pontos da imagem original, pontos considerados importantes para a aproximac¸˜ao, e depois cria uma malha triangular a partir deles, podendo ser uma triangulac¸˜ao de Delaunay.
Primeiramente, deve ser atribu´ıdo um valor de im-portˆancia a cada ponto. Este valor pode ser, por exemplo, a curvatura do ponto, calculada utilizando um filtro
Lapla-ciano [1], ou alguma outra caracter´ıstica considerada
ade-quada. Depois, os principais pontos s˜ao selecionados para construir a triangulac¸˜ao.
Uma abordagem poss´ıvel para essa etapa ´e escolher os pontos de maior importˆancia, mas eliminar os pontos muito pr´oximos uns dos outros. Outras abordagens ado-tadas s˜ao a distribuic¸˜ao do peso dos pontos segundo algum algoritmo conhecido, como por exemplo Floyd-Steinberg, utilizado em [8], ou a distribuic¸˜ao dos pontos segundo uma certa densidade, como em [9].
D A B (a) C D B A A D B (d) A D (b) B (c) P P P P C C C Figura 3: Retriangulac¸˜ao.
3 Comparac¸˜oes entre os m´etodos
Os testes foram realizados como descrito a seguir. Foram implementadas duas variantes dos m´etodos de triangulac¸˜ao regular: o m´etodo que atribui a cada ponto escolhido o seu valor original e o que atribui a cada ponto a m´edia de uma regi˜ao quadrada da imagem. Foram implementados ainda o m´etodo quadtree e quatro variantes dos m´etodos irre-gulares. Duas utilizando a construc¸˜ao incremental, com a triangulac¸˜ao de Delaunay e a dependente dos dados, e duas utilizando a construc¸˜ao por extrac¸˜ao de caracter´ısticas, se-lecionando os pontos pela curvatura, e distribuindo-os por densidade ou pelo algoritmo de Floyd-Steinberg.
As triangulac¸˜oes geradas pelos diversos m´etodos, apli-cados `a imagem marte, com resoluc¸˜ao de 952×948 pixels, podem ser vistas na figura 5. Para a avaliac¸˜ao dos re-sultados, os m´etodos foram aplicados a diversas imagens, algumas sendo imagens de luminˆancia e algumas sendo modelos digitais de terrenos com topografias diversas. A verificac¸˜ao de quais foram os melhores m´etodos foi reali-zada com base no n´umero de pontos utilizados, o tempo de processamento, e a comparac¸˜ao entre as imagens originais e as aproximac¸˜oes, segundo as m´etricas anteriormente des-critas, ou seja, RMSE e P SNR.
Foram realizados dois tipos de comparac¸˜oes entre os m´etodos. Para a primeira comparac¸˜ao foi constru´ıda uma triangulac¸˜ao para cada m´etodo, segundo uma certa per-centagem de pontos da imagem original. Para a segunda comparac¸˜ao, as triangulac¸˜oes foram constru´ıdas segundo uma certa taxa de erro a ser alcanc¸ada. A taxa de erro uti-lizada como parˆametro foi uma certa percentagem do n´ıvel m´aximo permitido para um ponto da imagem.
Os experimentos foram realizados em um computa-dor PC Pentium III 866MHz, com 1GByte de mem´oria e sistema operacional Linux. Os tempos de execuc¸˜ao para construc¸˜ao das malhas triangulares foram medidos em se-gundos.
Os m´etodos foram aplicados a v´arias imagens de teste, incluindo modelos digitais de terrenos e imagens de lu-minˆancia. Para ilustrar os resultados obtidos nos experi-mentos, gr´aficos correspondentes a duas imagens de teste, ambas com resoluc¸˜ao de 1201×1201 pixels, denominadas
de cape flattery e klamath falls, s˜ao apresentados nas fi-guras 6 a 9. Os gr´aficos das fifi-guras 6 e 8 representam as aproximac¸˜oes geradas por taxas de erro especificadas, e as figuras 7 e 9 as aproximac¸˜oes por n´umero m´aximo de pon-tos a serem utilizados. As imagens, que s˜ao modelos digi-tais de terrenos apresentando topografias acidentadas, po-dem ser vistas na figura 4.
O m´etodo regular que atribui o valor original a cada ponto e o m´etodo que atribui a m´edia de uma regi˜ao a um ponto s˜ao chamados respectivamente de Reg e RegMean nos gr´aficos. O m´etodo irregular utilizando a triangulac¸˜ao de Delaunay ´e chamado de Delaunay, enquanto que o
de-pendente dos dados ´e denominado DataDep. Os m´etodos irregulares por extrac¸˜ao de caracter´ısticas foram chama-dos de FlSt, quando a distribuic¸˜ao ´e realizada por
Floyd-Steinberg, e Dens, quando ´e realizada por densidade. Esses
dois m´etodos n˜ao foram comparados nas aproximac¸˜oes por taxas de erro, uma vez que ´e necess´ario saber previamente o n´umero de pontos que devem ser utilizados.
Pode ser observado que, apesar dos m´etodos que constroem a malha conforme o erro m´aximo respeitarem uma certa taxa de erro especificada, a qualidade final das triangulac¸˜oes geradas diferiu muito de um m´etodo para ou-tro, isso porque o modelo de malha gerado ´e diferente em cada caso.
O m´etodo irregular, utilizando a triangulac¸˜ao de De-launay, foi o que obteve os melhores resultados, utilizando poucos pontos, e apresentando um tempo de execuc¸˜ao baixo. J´a o m´etodo irregular utilizando a triangulac¸˜ao
de-pendente dos dados apresentou um alto tempo de execuc¸˜ao,
devido ao maior n´umero de verificac¸˜oes de erro que o m´etodo necessita realizar, e as aproximac¸˜oes geradas n˜ao foram satisfat´orias, mesmo utilizando um grande n´umero de pontos.
Os m´etodos baseados em extrac¸˜ao de caracter´ısticas tamb´em n˜ao obtiveram resultados muito satisfat´orios para diversas imagens, entretanto, o tempo de execuc¸˜ao desses m´etodos n˜ao foi muito alto.
O m´etodo quadtree obteve melhores resultados que to-dos os outros, inclusive o irregular por Delaunay, em v´arias aproximac¸˜oes por taxas de erro, no entanto, o n´umero de
pontos utilizados por esse m´etodo foi muito maior do que o necess´ario por todos os outros m´etodos. Quando limi-tado o n´umero de pontos, as melhores aproximac¸˜oes foram sempre do m´etodo irregular por Delaunay.
Os m´etodos regulares, como esperado, geraram as aproximac¸˜oes de menor qualidade, por´em esses m´etodos foram os que utilizaram o menor n´umero de pontos nas aproximac¸˜oes por erros, como visto nos gr´aficos de pontos utilizados. O tempo de execuc¸˜ao desses m´etodos foi baixo. Apesar das variac¸˜oes que ocorreram nos tempos de execuc¸˜ao e na qualidade das aproximac¸˜oes geradas, o m´etodo irregular por Delaunay e o m´etodo quadtree fo-ram os que sempre apresentafo-ram os resultados mais satis-fat´orios, e os m´etodos regulares e irregulares dependente
dos dados e por extrac¸˜ao de caracter´ısticas foram os que
sempre apresentaram os resultados menos satisfat´orios.
(a) cape flattery
(b) klamath falls
Figura 4: Imagens que foram aproximadas pelos m´etodos de triangulac¸˜ao.
4 Conclus˜oes
O prop´osito deste trabalho foi realizar uma s´erie de comparac¸˜oes entre os principais m´etodos existentes para a construc¸˜ao de malhas triangulares, com o fim de aproximar imagens digitais.
As comparac¸˜oes possibilitaram a distinc¸˜ao clara de quais m´etodos geraram aproximac¸˜oes de boa qualidade, em baixo tempo de execuc¸˜ao, sendo estes o m´etodo irregu-lar por Delaunay e o m´etodo quadtree, e quais geraram as aproximac¸˜oes menos satisfat´orias, os m´etodos regula-res e os m´etodos irregularegula-res dependente dos dados e por
extrac¸˜ao de caracter´ısticas.
5 Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer ao Programa Especial de Treinamento (PET) do Departamento de Inform´atica da Universidade Federal do Paran´a. As imagens de terrenos foram gentilmente cedidas pelo United States Geological
Survey [10] e pelo Nasa’s Planetary Data System [11].
Referˆencias
[1] Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods,
Proces-samento de Imagens Digitais, Edgard Bl¨ucher, S˜ao
Paulo, Brasil, 2000.
[2] B. Von Herzen and A. H. Barr, “Accurate triangulati-ons of deformed, intersecting surfaces,” ACM Journal
Computer Graphics, , no. 4, pp. 103–110, 1987.
[3] Leila De Floriani, Paola Marzano, and Enrico Puppo, “Multiresolution models for topographic surface des-cription,” The Visual Computer, vol. 12, no. 7, pp. 317–345, 1996.
[4] Renato Pajarola, Marc Antonijuan, and Roberto La-rio, “QuadTIN: Quadtree based triangulated irregular networks,” em Proceedings IEEE Visualization, 2002, pp. 395–402.
[5] Michael Garland and Paul S. Heckbert, “Fast polygo-nal approximation of terrains and height fields,” Re-lat´orio T´ecnico CMU-CS-95-181, Set. 1995.
[6] Joseph O’Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, Cambridge, Reino
Unido, 1993.
[7] Paul S. Heckbert and Michael Garland, “Survey of polygonal surface simplification algorithms,” Re-lat´orio T´ecnico, 1997.
[8] Yongyi Yang, Miles N. Wernick, and Jovan G. Bran-kov, “A fast adaptive accurate content-adaptive mesh generation,” em Proceedings of IEEE International
Conference on Image Processing (ICIP), 2001, pp.
868–871.
[9] H´elio Pedrini, “Modeling dense range images through fast polygonal approximations,” em Proceedings of
11th International Conference on Image Analysis and Processing (ICIAP’2001), Palermo, It´alia. Set. 2001,
pp. 448–453, IEEE Computer Society Press.
[10] “USGS: United States Geological Survey,” http://www.usgs.gov.
[11] “NPDS: Nasa’s Planetary Data System,” http://pdsimg.jpl.nasa.gov.
(a) Imagem original (b) Triangulac¸˜ao regular
(c) Triangulac¸˜ao quadtree (d) Triangulac¸˜ao irregular por Delaunay
(e) Triangulac¸˜ao irregular dependente dos
dados (f) Triangulac¸˜ao irregular por extrac¸˜ao decaracter´ısticas
Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 R M S E 0 50 100 150 200 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep
(a) RMSE (metros)
Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 P S N R 0 25 50 75 100 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (b) PSNR (dB) Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 P o n t o s 0 109825 219650 329475 439300 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (c) Pontos utilizados Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 T e m p o 0 150 300 450 600 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (d) Tempo de execuc¸˜ao (s)
Figura 6: Resultados dos m´etodos de triangulac¸˜ao, para aproximac¸˜oes da imagem cape flattery, variando as taxas de erro.
Pontos utilizados 0 0 0,0011442 144240,01 721200,05 1442400,1 2884800,2 R M S E 0 50 100 150 200 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep FlSt Dens
(a) RMSE (metros)
Pontos utilizados 0 0 0,0011442 144240,01 721200,05 1442400,1 2884800,2 P S N R 0 25 50 75 100 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep FlSt Dens (b) PSNR (dB)
Figura 7: Resultados dos m´etodos de triangulac¸˜ao, para aproximac¸˜oes da imagem cape flattery, variando o n´umero m´aximo de pontos a serem utilizados.
Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 R M S E 0 50 100 150 200 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep
(a) RMSE (metros)
Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 P S N R 0 25 50 75 100 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (b) PSNR (dB) Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 P o n t o s 0 38112,5 76225 114338 152450 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (c) Pontos utilizados Taxas de erro 0 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 T e m p o 0 25 50 75 100 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep (d) Tempo de execuc¸˜ao (s)
Figura 8: Resultados dos m´etodos de triangulac¸˜ao, para aproximac¸˜oes da imagem klamath falls, variando as taxas de erro.
Pontos utilizados 0 0 0,0011442 144240,01 721200,05 1442400,1 2884800,2 R M S E 0 37,5 75 112,5 150 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep FlSt Dens
(a) RMSE (metros)
Pontos utilizados 0 0 0,0011442 144240,01 721200,05 1442400,1 2884800,2 P S N R 0 25 50 75 100 Legenda Reg RegMed Quadtree Delaunay DataDep FlSt Dens (b) PSNR (dB)
Figura 9: Resultados dos m´etodos de triangulac¸˜ao, para aproximac¸˜oes da imagem klamath falls, variando o n´umero m´aximo de pontos a serem utilizados.
