UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA, COM RECURSOS DA GEOMETRIA DINÂMICA, PARA O ENSINO DE PORCENTAGEM
Ion Moutinho1
1Universidade Federal Fluminense/Departamento de Análise, ion.moutinho@gmail.com
Resumo
Apresentamos um modelo de intervenção didática para o ensino de porcentagem. Este é baseado no uso de materiais didáticos criados com programas de Geometria Dinâmica, os cenários virtuais de aprendizagem, e de estudos dirigidos para o uso dos cenários. Os estudos dirigidos são elaborados com um critério bem definido, baseado no papel dos sistemas de representação semiótica no processo cognitivo de aprendizagem de conhecimentos matemáticos. O modelo considera o aluno como protagonista da construção de conhecimentos e assume o papel de mediador do professor. Analisamos este modelo de intervenção didática e apresentamos relatos de uma pesquisa de campo baseada no seu uso que mostram o potencial didático do modelo.
Palavras-chave: Geometria Dinâmica; sistemas de representação semiótica; construção de conhecimento matemático; porcentagem.
INTRODUÇÃO
Podemos verificar, pelas avaliações estaduais e nacionais como o SAEB, a Prova Brasil e o ENEM, que os estudantes brasileiros apresentam sérias dificuldades com o conceito de porcentagem. Em Novaes (2009) encontramos exemplos que ilustram este quadro. Não custa lembrar que o conceito de porcentagem é parte do conteúdo matemático a ser ensinado no Ensino Básico segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).
O cálculo de porcentagens, talvez o assunto mais presente no dia-a-dia da maioria dos brasileiros, depende da compreensão de estruturas multiplicativas. Por outro lado, em Moutinho (2013) encontramos uma abordagem para o estudo da operação de multiplicação com características bastante específicas. Em particular, a operação de multiplicação é apresentada num sistema de representação geométrica. Mais precisamente, tal sistema de representação é parte de um produto didático conhecido como Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) para Números Reais (ver Moutinho (2014)), onde os sistemas de representação de objetos relacionados com os números reais são apresentados em cenários virtuais e de aprendizagem, cenários interativos. É parte deste produto didático um cenário chamado de Calculadora Geométrica de Produtos, que permite efetuar multiplicações e explorar propriedade sobre tal operação. Em Moutinho e Silva (2015) encontramos relatos de experiência que evidenciam como o sistema de representação encontrado na Calculadora Geométrica de Produtos se mostra adequado para tratamentos multiplicativos.
No AVA para Números Reais, a Calculadora Geométrica de Produtos funciona como um dos cenários básicos do ambiente e a partir deste é possível construir novos cenários de aprendizagem, de acordo com objetivos estabelecidos. Em particular, é possível construir um novo cenário de aprendizagem que permita o cálculo de porcentagens, a chamado Calculadora Geométrica de Porcentagens.
Este é um estudo parcial sobre um modelo de intervenção didática para ensino e aprendizagem do conceito de porcentagem baseado no uso da Calculadora Geométrica de Porcentagens. O modelo consiste no uso de cenários virtuais de aprendizagem e de estudos
dirigidos para o ensino e aprendizagem do conceito de porcentagem. Adotamos o termo modelo, pois apresentamos um modelo de construção do cenário e do estudo dirigido. O termo intervenção didática se justifica por admitirmos que o aluno deve ser o principal agente no processo de construção de seus conhecimentos e, assim, o professor deve assumir o papel de mediador deste processo. Este estudo também inclui relatos de uma pesquisa de campo baseada no modelo.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Os principais fundamentos adotados para o estudo são as orientações para o ensino de Matemática contidas nos PCN (Brasil, 1998) e a teoria sobre registros de representação semiótica de Duval (2003). Dos PCN, consideramos diversos aspectos metodológicos contidos nesses documentos, com destaque para a orientação para uma abordagem sobre o ensino de Matemática dever possibilitar ao aluno participar ativamente do processo de construção de seus conhecimentos.
O papel dos sistemas de representação semiótica no processo de ensino e aprendizagem de conhecimentos matemáticos, de acordo com a teoria de Duval (2003), é peça fundamental neste estudo. A teoria é base para a elaboração das atividades de ensino e aprendizagem e também para avaliação dos alunos e das experiências científicas. Mais ainda, serve também para se evitar o uso banal do importante termo, construção de conhecimentos matemáticos. A noção de construção do conhecimento em Matemática considerada neste estudo é a que se refere às três ações fundamentais, “de representar os conceitos, de tratar as representações obtidas no registro estabelecido e de converter as representações num registro para outro” (D’AMORE, 2005, p. 63).
A análise do estudo também é baseada em relatos de uma pesquisa de campo sobre o ensino de cálculo de porcentagem a partir de tal modelo. Esta pesquisa fez parte da monografia de Pequeno (2013) para conclusão do Curso de Especialização Novas Tecnologias no Ensino da Matemática, da Universidade Federal Fluminense (UFF). A experiência ocorreu com 12 alunos da 1° série de Ensino Médio da Escola Estadual Antônio Lopes da Silva, da cidade de Praia Grande, no estado de São Paulo.
O PRODUTO DIDÁTICO E O MODELO DE INTERVENÇÃO DIDÁTICA
A multiplicação de números reais pode ser representada no seguinte sistema de representação semiótica.
O Cenário, Calculadora Geométrica de Produtos, é baseado nesta representação. Com algumas adaptações, criou-se o cenário, Calculadora Geométrica de Porcentagens, ilustrado na figura 2. Este cenário virtual de aprendizagem pode ser acesado pelo endereço
http://tube.geogebra.org/m/1474221 .
Figura 2: Ilustração da Calculadora Geométrica de Porcentagens.
Esta calculadora permite diversas manipulações envolvendo o cálculo de porcentagens e de porcentagens de valores. Foi construida com o programa GeoGebra, de autoria de Markus Hohenwarter. Nesta versão, o usuáruio pode mover os parâmetros a e b dos controles deslizantes, ou pode entrar com valores específicos nos campos de entradas. Também é possível utilizar o parâmetro c para ajudar a resolver equações. Assim, para calcular 30% de 20, basta fazer a = 20 e b = 30%. Se alguém quiser resolver o problema, quando 30% de x é 9?, pode usar o parâmetro c para fixar o valor a ser obtido, no caso, c = 9, fazer b = 30% e, então mover a até obter ab = c.
É possível se estabelecer outros cenários para o conceito de porcentagem. Por exemplo, em http://tube.geogebra.org/material/show/id/1474407 encontramos um cenário que permite estabelecer uma relação entre a representação decimal de um número entre 0 e 1 e sua representação por porcentagens.
O Cenário, Calculadora Geométrica de Porcentagens, é um produto didático para ser utilizado por alunos na construção de seus conhecimentos sobre o coneceito de porcentagem. Ele foi projetado para ser um ambiente de interação e de exploração. Mas para isso é necessária a atuação do professor como mediador, inclusive apresentando um estudo dirigido bastante especial. Tal estudo dirigido é um guia que costuma apresentar um texto introdutório, normalmente de contextualização, e uma proposta de estudo, algum tipo de desafio. O restante do texto é composto por atividades onde o aluno é estimulado a realizar as três ações fundamentais, de representar, e de tratar e converter as informações representadas. As atividades procuram também explorar combinações de ações. Por exemplo, muitas vezes o aluno sabe tratar informações num sistema de representação, mas tem dificuldades em representá-las. Assim, para identificar tal situação, uma atividade pode já apresentar os dados representados e apenas pedir para o aluno tratá-los e
eventualmente realizar alguma conversão no final. E é com esta combinação de estímulos à prática das três ações fundamentais que se pretende promover a construção de conhecimento matemático.
A aplicação deste tipo de estudo dirigido, desenvolvido nos moldes aqui descritos, com os cenários de aprendizagem baseados na Calculadora Geométrica de Porcentagens é chamada de modelo de intervenção didática para o ensino e aprendizagem de porcentagem.
Como ilustração de estudo dirigido e fonte de informação para a análise a seguir, reproduzimos o estudo dirigido utilizado na experiência de Pequeno (2013). Cabe lembrar que este estudo dirigido foi elaborado para atender a certos objetivos específicos da pesquisa de Pequeno. Neste caso, a primeira atividade tem o objetivo de avaliar se os sujeitos da pesquisa sabiam representar e tratar contas sobre porcentagens de valores num sistema de representação numérica. Da atividade 2 em diante o objetivo é simplesmente o de representar e tratar as informações no sistema de representação da Calculadora Geométrica de Porcentagens. Estes foram os objetivos colocados para a pesquisa citada.
Figura 3: Exemplo de estudo dirigido para o modelo de intervenção didática.
A noção de percentagem é muito usada no nosso dia a dia. Por exemplo, descontos e multas são ações que quase sempre fazem referência ao termo porcentagem. Aluno, você sabe calcular porcentagens de valores?
A fórmula para o cálculo de porcentagem é bem simples. Se n e v representam números, temos que
n% do valor v é: n% v (n% vezes v). O aluno precisa lembrar que n% é o mesmo que n : 100 (n dividido por 100). Exemplo: Calcular 60% de 30.
Solução: Como vimos, determinar a porcentagem de um valor significa multiplicar, ou seja: 60% de 30 = 60% 30 =
30 = 6 3 = 18. Assim, 60% de 30 é 18.
Este tipo de cálculo é realizado em situações como o cálculo de juros. Vejamos um caso.
Exemplo: Um banco, ao emprestar dinheiro, cobra de 3% de juros do valor emprestado. Se uma pessoa pegou 800 reais emprestados, quanto terá de pagar de juros?
Solução: Precisamos determinar 3% de 800. 3% de 800 = 3% 800 = 3 8 = 24.
Assim, o devedor deve pagar 24 reais de juros.
Aluno, você teve dificuldades para entender as contas mostradas aqui? Você sabe efetuar este tipo de conta? Aluno, você está convidado para conhecer um recurso interessante desenvolvido para te ajudar neste tipo de contas. Curta as atividades a seguir.
Atividade 1: Você sabe realizar as contas que envolvem o cálculo de porcentagem de valores? Determine:
a) 25% de 40 A) 1/4 B) 10 C) 65 D) 1000 b) 50% de 10 A) 0,5 B) 5 C) 40 D) 500 c) 100% de 13 d) 10% de 20 e) 3% de 1,5
f) Aluno, você conseguiu armar as contas? Teve alguma conta que você não conseguiu efetuar, ou teve maior dificuldade?
Atividade 2: Nesta aula você vai conhecer uma maneira alternativa de obter a porcentagem de um valor. Ela
é baseada num cenário eletrônico onde você pode manipulá-lo livremente. Este cenário é uma espécie da calculadora geométrica de produtos, uma calculadora geométrica de produtos adaptada para o calculo de porcentagem de valores.
a) O cenário apresenta dois botões deslizantes. Movimente os botões e perceba a movimentação do cenário. Perceba os três pontos notáveis da animação, indicados por a, b e ab.
b) Este cenário permite obter a porcentagem de um valor. Assim, para calcular n% de v, basta fazer b coincidir com n e a coincidir com v. Por exemplo, faça b = 60 e a = 30. Aluno, veja o número produzido, indicado pelo ponto ab. Veja que ab = 18. Você se lembra do primeiro exemplo desta aula? Volte na primeira folha para verificar!
c) Utilize o cenário para obter as respostas da atividade 1.
d) Aluno, você conseguiu realizar o item (c)? Teve alguma conta que você não conseguiu efetuar?
Atividade 3: Uma pessoa calculou a porcentagem de um valor no cenário, conforme mostrado na próxima
figura.
Baseando-se na figura, determine a porcentagem usada, o valor dado e o resultado encontrado.
Atividade 4:
a) Faça uma reprodução da seguinte figura no seu cenário e mostre o resultado ao seu professor.
b) A figura indica 60% de uma quantidade. Mostre no cenário quanto é 50% da mesma quantidade.
Atividade 5: Efetue as seguintes contas com ajuda do cenário.
a) 30% 20 = b) 0,25 10 = c) 12 =
Atividade 6:
a) Uma loja está dando 20% de desconto em seus produtos. Então, qual é o valor do desconto de uma camisa que custa 25 reais?
b) Ao atrasar uma conta de 30 reais, foi preciso pagar uma multa de 5% do valor da conta. Qual foi o valor da multa?
Atividade 7: Às vezes já temos a porcentagem do valor calculado, mas falta saber o valor ou a porcentagem.
Para esta atividade, pode ser útil ativar a caixa que habilita o parâmetro c.
a) Um vendedor deu um desconto de 20% no valor de um produto e o comprador economizou 5 reais. Qual era o valor do produto?
b) Uma pessoa pagou 3 reais de multa por ter atrasado no pagamento de 15 reais. Qual foi a porcentagem usada na cobrança?
ANÁLISE DO MODELO DE INTERVENÇÃO DIDÁTICA
Sabemos que a abordagem do conceito de porcentagem por meio de representações numéricas, e fórmulas e regras não tem produzido bons resultados com nossos alunos do Ensino Básico. Na busca por melhorias neste quadro, uma abordagem baseada na visualização pode ser uma boa opção. De fato, já encontramos, por exemplo, uma abordagem visual estudada por Novaes (2009). A abordagem apresentada aqui também é baseada na visualização, contudo, é baseada num sistema de representação geométrica. Ela é completamente independente de fórmulas e de algoritmos de cálculos, ou regras estipuladas pelo professor. Em particular, não exige memorização de fórmulas. É, sim, baseada na idéia de proporção e de recursos da Geometria Dinâmica. A abordagem oferece ao aluno a oportunidade de construir procedimentos não-convencionais relacionados com a determinação e cálculo de porcentagens. Assim, encontramos a possibilidade de estimular os alunos a “aperfeicoar seus procedimentos de cálculo aritmético, seja ele exato ou aproximado, mental ou escrito, desenvolvido a partir de procedimentos não-convencionais”, no caso dessa abordagem. E os alunos não ficam restritos à “mera memorização de regras e de algoritmos” (BRASIL, 1988, p. 67).
Com relação ao uso das novas tecnologias, para o caso do modelo de intervenção deste artigo, os recursos da Geometria Dinâmica, os PCN orientam que estes podem evidenciar para os alunos “a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas”; pode “auxiliar no processo de construção de conhecimento”, além de servir “como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções” (BRASIL, 1998, p. 44). Os PCN também apontam que, ainda com relação ao uso das novas tecnologias, “tudo indica que pode ser um grande aliado do desenvolvimento cognitivo dos alunos, principalmente na medida em que possibilita o desenvolvimento de um trabalho que se adapta a distintos ritmos de aprendizagem e permite que o aluno aprenda com seus erros”.
De fato, no modelo que estamos propondo o aluno dispõe de um guia de estudo e de cenários de aprendizagem interativos onde ele pode, de modo autônomo e no seu ritmo, procurar realizar as tarefas por meio de exploração e experimentação dos cenários. A interatividade dos cenários e os recursos da Geometria Dinâmica permitem que os alunos experimentem e, percebendo erros cometidos, repitam novas experiências. Neste processo, a forma como os cenários são construídos e as atividades de ensino são elaboradas é fundamental.
Na pesquisa de campo de Pequeno (2013), os relatos mostram que, na realização da Atividade 1, só cinco dos doze sujeitos acertaram o item (a), e o número foi diminuindo a cada item desta mesma atividade. Mais ainda, os relatos também mostram momentos em que os sujeitos conseguiam representar os dados mas não conseguiam tratar os dados representados, e momentos em que nem conseguiam representar os dados. Por exemplo, tiveram alunos que conseguiram representar a expressão “25% de 40” na expressão numérica 25% 40 ou em 0,25 40, mas não conseguiram chegar na resposta 10. As respostas do item (f) apontam uma curiosidade sobre a abordagem inicial. Ao serem perguntados se tinham conseguido armar as contas, se tinha alguma conta que não tinham conseguido efetuar, ou se tinha tido uma dificuldade maior, muitas respostas não foram de acordo com o desempenho do aluno. Alguns alegaram ter tido dificuldade só no item (e), mesmo tendo errado outros itens. Eles não aprenderam com seus erros, pois nem os perceberam. Outra curiosidade, ninguém acertou o item (e). A passagem para a Atividade 2 já mostrou diversos aspectos positivos sobre o uso do cenário de aprendizagem.
Os itens (a) e (b) da Atividade 2 apresentam a Calculadora Geométrica de Produtos de modo bem breve, só com um exemplo de manipulação. Em seguida, no item (c), os alunos são convidados a voltar à Atividade 1 e refazê-la, mas agora com ajuda da nova calculadora. Nesta etapa, apenas um aluno deixou de encontrar a resposta para o item (e). Mesmo assim, ele conseguiu representar os dados do problema, só não conseguiu tratá-los. Exceto por este caso, todos os alunos, com bastante autonomia, conseguiram responder o pedido na Atividade 1 segundo o sistema de representação apresentado pela Calculadora Geométrica de Porcentagens. Com o item (d) percebemos claramente o entusiasmo dos alunos com a possibilidade de trabalhar com o novo sistema de representação, uma reação bem diferente de quando responderam o item (f) da Atividade 1. Ao longo da análise, Pequeno relata que “foi presenciado que não era sempre que os alunos chegavam à reposta final na primeira tentativa, mas esse erro servia de base para definir uma nova estratégia, com isso, a resposta esperada era conquistada”. Com o cenário interativo, os alunos percebiam seus erros!
Figura 4: Resposta de um aluno para o item (f) da Atividade 1 sobre seu desempenho referente ao uso de sistemas de representação numérica.
Figura 5: Exemplo de resposta para o item (d) da Atividade 2.
Adiferença entre os dois momentos mostrados nas figuras 4 e 5 ilustra como foi a satisfação e o entusiasmo da turma com o tipo de aula que foi praticada na experiência. O uso do cenário interativo parece ter ajudado a promover a realização pessoal de cada aluno. De modo geral, as atividades dos estudos dirigidos são desenvolvidas a fim de possibilitar que os alunos trabalhem as ações fundamentais para a construção de conhecimento matemático separadamente. Elas podem simplesmente pedir para o aluno representar determinadas informações no sistema de representação apresentado no cenário de trabalho. E podem pedir para o aluno realizar tratamentos a partir de informações já representadas. Por exemplo, a Atividade 4 da figura 3 foi elaborada já com os dados, 60% de uma quantidade, representados no sistema de representação do cenário de aprendizagem. Nesse caso, o aluno só irá tratar as informações, até conseguir 50% da mesma quantidade. Na Atividade 3, vemos um exemplo onde as informações são dadas no
sistema de representação do cenário de aprendizagem e o aluno deve convertê-las para o sistema de representação em linguagem natural, conforme apresentado na introdução do estudo dirigido.
Com relação às conversões entre diferentes registros semióticos, os cenários podem ser elaborados de modo a tornar a tarefa mais fácil, ou mais difícil, se for preciso. É possível, por exemplo, criar relações dos objetos geométricos do cenário com representações decimais ou fracionairas, dependendo do que for mais interessante. É possível apresentar representações decimais parciais ou não. Por exemplo, podemos construir um cenário que só apresente correspondência com múltiplos da unidade ou que permita, com recurso de ampliação, aproximar um valor representado na reta por representações decimais tão precisa quanto se queira, ou que o programa permita.
Por exemplo, na pesquisa de Pequeno (2013), para a realização da Atividade 5, os alunos demonstraram resistência em trabalhar com as representações apresentadas (%, decimais e frações). Neste momento o professor precisou intervir e incentivar os alunos a lerem a introdução do estudo dirigido com mais atenção e a refletir mais sobre o papel de todas as variáveis contidas no cenário virtual. Após esta intervenção só dois alunos deixaram de resolver o item (b), não souberam encontrar o representante equivalente de 0,25 no cenário.
Para alunos que não conseguiam resolver simples contas de determinação de porcentagem de um valor dado, não dá para imgainar o grupo resolvendo as Atividades 6 e 7. Contudo, a pesquisa mostrou que apenas nos itens (b) e (c) da Atividade 7, dois alunos não chegaram a resposta correta. Mais ainda, relatos mostram que os alunos buscaram suas próprias estratégias para resolver a Atividade 7, que exigia um tratamento das inormações bem especial. E fizeram isso sem recorrer à utilização de algoritmos.
Com os recursos da Geometria Dinâmica, podemos elaborar diferentes variações da ideia de Calculadora Geométrica de Porcentagens. Podemos elaborar variações que permitam cálculos com maior ou menor precisão, e até com aproximações ou margens de erros, com números maiores ou menores e com cálculos compostos. Aliás, isso é um ótimo recurso para atender a outra orientação encontrada nos PCN, a de promover experimentações que permitam um aluno desenvolver percepções quantitativas e qualitativas. A pesquisa de Pequeno (2013) não abordou este aspecto, mas a abordagem visual oferecida pelos cenários de aprendizagem parecem atendê-lo bem. Por exemplo, é adequado e prático debater sobre a questão, “20% de uma quantidade é pouco, quando comparado com a quantidade?”.
Em resumo, temos um ambiente virtual de aprendizagem que permite um aluno experimentar e explorar eque deve, portanto, ajudar o aluno a desenvolver seu estudo de modo autônomo. E temos um modelo de estudo dirigido que, com o apoio dos cenários virtuais de aprendizagem, devem estimular as três ações fundamentais para a construção de conhecimento matemático. Vale informar que a criação de novos cenários virtuais de aprendizagem a partir da Calculadora Geométrica de Porcentagens é uma tarefa relativamente simples para uma pessoa que conheça os recursos básicos do programa GeoGebra, por exemplo. Desse modo, é possível um professor realizar eventuais adaptações, conforme ele julgue útil. E o modelo de elaboração de atividades pode ser utilizado com questões de livros e de provas, isto é, é sempre possível abordar qualquer tipo de problema envolvendo porcentagem a partir das ações fundamentais envolvendo representação semiótica.
Apresentamos um modelo de intervenção didática para o enisno e aprendizagem do conceito de porcentagem que tem como objetivo ajudar um aluno a construir seus próprios conhecimentos matemáticos e também ajudar um professor a mediar este processo. A análise realizada mostra como este modelo se enquadra em orientações dos PCN e dá um critério para o conceito de construção de conhecimento matemático.
Destacamos um aspecto importante que esteve presente a quase todo momento da análise. O modelo de intervenção permite seguir a orientação dos PCN de se realizar avaliações contínuas, inclusive servindo de orientação para a prática docente, de usar a própria avaliação como estratégia de ensino, de promoção do aprendizado, ou seja, integrada ao processo de ensino e aprendizagem.
Uma pesquisa de campo confirma algumas hipóteses sobre o modelo de intervenção didática. Constatamos uma turma de alunos bastante estimulada e agindo conforme o planjeado, realizando seus estudos de modo autônomo e exploratório, cada um no seu ritmo.
Apresentamos uma abordagem para o ensino do conceito de porcentagem baseada num sistema de representação geométrica. Ela se mostra uma boa opção didática, principalmente por não necessitar memorização de fórmulas, nem utilizar regras, além de representar, por meio de visualização, a ideia de proporção associada ao conceito de porcentagem. Contudo, ela não deve ser entendida, de modo algum, como a principal abordagem, ou como o meio para se aprender porcentagem. Ainda assim, o modelo de intervenção didática para o ensino e aprendizagem de porcentagem parece eficiente para apresentar uma opção de sistema de representação de conhecimentos envolvendo porcentagem, ele se baseia em sistemas de representação que permitem tratamentos adequados para a resolução dos respectivos problemas.
É claro que a abordagem apresentada aqui não desenvolve uma série de habilidades importantes e apresenta limitações no tratamento de certos dados como, por exemplo, números muito grandes ou muito pequenos, ou mesmo equações mais complexas. Mas ela pode ser útil, por exemplo, para ajudar um aluno, após ler o enunciado de um problema, a obter uma primeira representação matematicamente dos dados do problema. E as eventuais dificuldades encontradas no tratamento podem ser justamento um estímulo para a busca para a conversão para o sistema de representação decimal. E este é um ponto chave para a construção de conhecimentos matemáticos.
Considerando o potencial do modelo de interveção didática indicado aqui e as possibilidades novas questões de pesquisas ainda relacionadas ao tema, esperamos que este assunto ainda desperte interesse de novas pesquisas e estudos.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 5ª a 8ª séries. Brasília. 1998.
D’AMORE, B. Epistemologia e didática da Matemática. Tradução de Maria Cristina Bonomi Barufi. São Paulo: Escrituras Editora, 2005.
DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. p.11-33. 2 ed. São Paulo: Papirus. 2003.
MOUTINHO, I. Um Ambiente Virtual de Aprendizagem como recurso de mediação na construção de conhecimento relacionados com a operação multiplicação de
números reais. XI ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática – Educação Matemática: Retrospectivas e Perspectivas, SBEM. Curitiba, 2013.
MOUTINHO, I. Um ambiente Virtual de Aprendizagem para os Números Reais. IV CEMA – Colóquio de Educação Matemática, Juiz de Fora, MG, 2014.
MOUTINHO, I. e SILVA, V.M. Um sistema de representação para problemas multiplicativos. XVI Encontro Baiano de Educação Matemática, Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia, Salvador-Ba, 2015.
NOVAES, Rosa C. N.. Uma abordagem visual para o ensino de Matemática
Financeira. Dissertação de mestrado, UFRJ, RJ, RJ, Brasil, 2009.
PEQUENO, V.A. estudo sobre a utilização do AVA para Números Reais no
conceito multiplicativo das porcentagens. Monografia de Especialização.
