Mechanika ir termodinamika

1

FIZIKOS ĮVADAS

1.1. Fizikos tyrimo objektas

Žodis "fizika" yra graikiškos (physis) kilmės ir reiškia gamtą. Fizika tiria paprasčiausius, bendriausius gamtos reiškinių dėsningumus, materijos sandarą ir jos judėjimo dėsnius. Taigi fizikos tyrimo objektas yra mus supanti gamta. Fizikos tyrimo objektas yra visa tai, kas supa Žemę, kas yra jos paviršiuje ir gelmėse, kas yra dujose skysčiuose ir kietuose kūnuose, kokios medžiagų savybės, kokie materijos judėjimo dėsningumai.

Erdvė ir laikas – pagrindinės materijos būties formos: erdvė reiškia materijos tįsumą ir

struktūriškumą, o laikas – būsenų trukmę ir jų kaitos nuoseklumą. Erdvė – trimatė tuštuma, vienalytė ir izotropinė. Jos savybės: vienalytiškumas suprantamas kaip poslinkio simetrija, t.y. lygiagrečiai perkėlus mechaninę uždarąją sistemą, jos mechaninės savybės nepakinta;

izotropiškumas reiškia visų krypčių tapatumą, t. y. pasukus uždarąją sistemą, jos mechaninės

savybės nepakinta (sukimo simetrija).

Trumpai pažvelkime į tą gamtos dalį, kuri supa Žemę. Tai yra begalinė erdvė su joje esančiais kūnais (planetomis, žvaigždėmis, kometomis, asteroidais ir t. t.). Bendrai mes sakome, kad tai yra Visata. Erdvės dalį, kurios matmenys yra per 1020 m, vadiname

Galaktika. Erdvės dalis, kurią galime tirti šiuolaikiniais galingais teleskopais ir

radioteleskopais, vadinama Metagalaktika. Metagalaktikos matmenys apytiksliai yra 1026 m. Šis atstumas prilygsta 1010 šviesmečių. Dažnai jį vadiname Visatos spinduliu, nors tai neatitinka tikrovės. Palyginimui pateikime atstumą iki Saulės, kuris yra ir Žemės spindulį, kuris lygus Pagrindinės atomų struktūrinės dalelės yra protonai ir neutronai. Metagalaktikoje jų yra per 10

m 10 5 , 1 _⋅ 11 . m 10 4 , 6 _⋅ 6

80_{. Saulėje yra per 10}57 _{protonų ir neutronų, o Žemėje}

– per 4_⋅1051. Dalindami 1080 _{iš 10}57_{, gauname skaičių 10}23_{. Jis yra artimas Avogadro}

skaičiui. Galime sakyti, kad Metagalaktikoje yra vienas molis žvaigždžių. Iš Metagalaktikoje esančių protonų ir neutronų galėtų susidaryti 1023 žvaigždžių, kurių dydis prilygsta Saulei. Mokslininkų nuomone, žvaigždžių masės yra nuo vienos šimtosios iki šimto Saulės masių.

Sudėtingiausias visatos reiškinys yra gyvybė. Mūsų žiniomis tobuliausiai išsivysčiusi Visatos būtybė yra žmogus, kurio organizmą sudaro apie 1016 ląstelių, o kiekvieną ląstelę apie 1012÷1014 _{atomų. Negyvoji gamta egzistuoja daugelyje formų. Įvairūs protonų, neutronų ir}

elektronų deriniai sudaro daugiau nei šimtą elementų ir per 1500 izotopų. Atskiri elementai, jungdamiesi į patvarias grupes, gali sudaryti daugiau nei 106 įvairių junginių. Eksperimentiniai mokslai sudarė galimybę pažinti mus supantį pasaulį: klasifikuoti žvaigždes, nustatyti jų masę ir sudėtį, atstumą ir žvaigždžių judėjimo greičius, klasifikuoti gyvas būtybes ir iššifruoti jų genetinius kodus, sintezuoti neorganinius kristalus, biochemines medžiagas ir naujus cheminius elementus, matuoti molekulių ir atomų spektrų dažnius, kurie yra 102÷1020

Hz.

Nežiūrint į Visatoje vykstančių reiškinių sudėtingumą, pavyko nustatyti daugybę ypatumų ir suformuluoti fundamentalius dėsnius, kuriais remiantis galima aprašyti gamtoje vykstančius reiškinius.

Fizikos paskaitose kalbėsime apie geriausiai mums žinomus, dažniausiai stebimus ir lengviausiai aprašomus reiškinius.

1.2. Fizikos mokslo sandara

Fizika yra eksperimentinis mokslas. Jos dėsniai – eksperimentiškai nustatyti faktai. Šalia eksperimentinės fizikos sėkmingai vystosi ir teorinė fizika. Ji formuluoja gamtos dėsnius ir remdamasi šiais dėsniais aiškina reiškinius, numato naujus. Fizika dažnai skirstoma į atskirus fizikos mokslus. Pagal tiriamus objektus ji skirstoma į elementariųjų dalelių fiziką, branduolio fiziką, atomų ir molekulių fiziką, dujų ir skysčių fiziką, kietojo kūno fiziką, plazmos fiziką. Suskirstymas nėra vienareikšmis. Pagal kitą kriterijų – proceso tyrimą arba materijos judėjimo formą galima išskirti materialaus taško ir kietojo kūno mechaniką, ištisinių aplinkų mechaniką, termodinamiką ir statistinę fiziką, elektrodinamiką, sąveikos teoriją, kvantinę mechaniką ir kvantinę lauko teoriją. Minėti fizikos mokslai tarpusavyje glaudžiai susiję ir nėra aiškios ribos dėl objektų ir reiškinių panašumo. Pagal tyrimo tikslą gali būti išskirta taikomoji fizika.

Ypatingas dėmesys fizikos moksle yra skiriamas svyravimams ir bangoms. Šis fizikos skyrius nagrinėja mechaninius, akustinius, elektrinius, optinius svyravimus ir jų plitimą erdvėje. Svyruojamasis judesys labiausiai paplitęs gamtoje, todėl neatsitiktinai jo aprašymui fizikoje skiriama daug dėmesio.

1.3. Fizikos vystymosi etapų apžvalga

Įvairūs gamtos reiškiniai ir mus supančių kūnų sandara domino žmones dar gilioje senovėje. Nuo 6 amžiaus prieš mūsų erą iki 2-ojo mūsų eros amžiaus gimė medžiagos atominės struktūros idėja (Demokritas, Epikuras, Lukrecijus). Sukurta geocentrinė planetų sistema (Ptolomėjus), nustatyti paprasčiausi statikos dėsniai (sverto taisyklė), šviesos lūžimo ir atspindžio dėsniai, suformuluoti hidrostatikos principai (Archimedas), stebimi kai kurie elektriniai reiškiniai ir magnetizmo pasireiškimai.

Spartus fizikos mokslo vystymasis prasidėjo 17 amžiuje ir yra neatskiriamai susijęs su italų mokslininko Galilėjaus vardu. Galilėjus suprato, kad visus reiškinius reikia aprašyti matematiškai. Jis įrodė, kad vieno kūno poveikis į kitą sąlygoja ne jo greitį, bet pagreitį. Galilėjus suformulavo mechaninį reliatyvumo principą, įrodė, kad laisvo kritimo pagreitis nepriklauso nuo kūno tankio ir jo masės, pagrindė Koperniko teiginius, tyrė optinius, astronominius, šiluminius ir kitus reiškinius. Jo mokinys Toričelis nustatė atmosferos slėgį ir pagamino pirmąjį barometrą. Anglų mokslininkas Boilis ir prancūzas Mariotas ištyrė dujų tamprumo savybes ir nustatė dėsnį, žinomą jų vardu. 1600 m. Gilbertas tyrė elektrinius ir magnetinius reiškinius ir parodė, kad Žemė yra didelis magnetas.

Didžiausias 17 amžiaus pasiekimas priklauso Niutonui, suformulavusiam (1687 m.) mechanikos dėsnius. Kepleris nustatė planetų judėjimo dėsnius, o Niutonas remdamasis jais, suformulavo Visuotinės traukos dėsnį, kurio dėka jam pavyko nuostabiu tikslumu apskaičiuoti Mėnulio, kitų planetų ir kometų judėjimo parametrus, paaiškinti okeanų potvynius ir atoslūgius. Tiesa, Niutonas rėmėsi absoliučios erdvės ir absoliutaus laiko sąvoka. Tuo metu olandų fizikas Heigensas ir vokiečių fizikas Leibnicas suformulavo impulso tvermės dėsnį. Antroje 17 amžiaus pusėje sparčiai vystosi mokslas apie šviesą. Konstruojami teleskopai. Italų fizikas Grimaldi pastebi šviesos difrakcijos reiškinį, o Niutonas tiria šviesos dispersijos reiškinį. 1676 m. danų fizikas Riomeris pirmą kartą išmatuoja šviesos greitį. Šveicarų fizikai Bernulis ir Eileris, prancūzas Lagranžas sukuria idealaus skysčio hidrodinamiką. Prancūzų fizikas Diufe nustato dviejų rūšių elektros krūvių egzistavimą ir jų sąveikos pobūdį. Amerikiečių fizikas Franklinas nustato elektros krūvių tvermės dėsnį. Anglų mokslininkas Kavendišas ir nepriklausomai nuo jo prancūzas Kulonas nustato nejudančių taškinių krūvių sąveikos dėsnį. Sparčiai tiriami šiluminiai reiškiniai: šiluminė talpa, šilumos laidumas, šiluminis spinduliavimas. Jau tuo metu įsivyrauja du požiūriai į šviesos prigimtį. Anglų mokslininkas Jangas ir prancūzas Frenelis paaiškina šviesos interferenciją ir difrakciją.

Italų mokslininkai Galvanis ir Volta tiria elektros srovės reiškinius. Anglų mokslininkai Devis ir Faradėjus nustato srovės cheminį poveikį. 1820 m. danų fizikas Erstedas nustato elektros srovės poveikį į magnetinę rodyklę. Tais pačiais metais prancūzų fizikas Amperas įrodo, kad visi magnetiniai reiškiniai susiję su elektros krūvių judėjimu ir eksperimentiškai nustato srovių sąveikos dėsnį. 1826 m. Omas nustato elektrinio laidumo dėsnį. 1831 m. Faradėjus atranda elektromagnetinės indukcijos dėsnį. Nustatomos pagrindinės kūnų magnetinės savybės. Sukuriama kietų kūnų tamprumo teorija. Vokiečiai Majeris ir Helmholcas bei anglas Džaulis nustato energijos tvermės dėsnį. 19 amžiaus viduryje eksperimentiškai nustatomas mechaninės energijos ir šilumos ekvivalentas. 1850 m. vokiečių fizikas Klauzijus, remdamasis prancūzų inžinieriaus Karno ir anglų fiziko Tomsono tyrimais, suformuluoja fundamentalųjį šilumos teorijos antrąjį termodinamikos dėsnį. 1859 m. anglų fizikas Maksvelis pirmas pavartoja tikimybės sąvoką ir nustato molekulių skirstinį pagal greičius. Antroje 19 amžiaus pusėje Maksvelis sukuria klasikinės elektrodinamikos teoriją. 1886-89 m. vokiečių fizikas Hercas eksperimentiškai nustato elektromagnetinių bangų egzistavimą. 1859 m. vokiečių mokslininkai Kirchhofas ir Bunzenas sukuria spektrinės analizės pagrindus.

Naują žingsnį fizikoje žengė anglų fizikas Tomsonas. 1897 m. nustatė elektrono egzistavimą, nustatė, kad atomai nėra elementariosios dalelės, bet sudėtingos dalelių sistemos. 19 amžiaus pabaigoje ir 20 amžiaus pradžioje olandų fizikas Lorencas sukuria elektroninę metalų laidumo teoriją.

20 amžiaus pradžioje paaiškėjo, kad reikia peržiūrėti erdvės ir laiko savokas. Gimsta Einšteino reliatyvumo teorija, kurios pagrindą sukūrė Lorencas ir Puankare.

19 ir 20 amžių sandūroje įvyksta dideli pokyčiai fizikos moksle. 1900 m. vokiečių fizikas Plankas pasiūlo kvanto sąvoką ir paaiškina šiluminio spinduliavimo dėsnius. Einšteinas kvanto sąvoką perkelia optiniams reiškiniams ir paaiškina fotoefekto reiškinį, kurio negalėjo paaiškinti klasikinė elektrodinamika. Danų fizikas N. Boras 1913 m sukuria atomo modelį. E. Rezerfordas eksperimentiškai nustato branduolio egzistavimą atome ir sukuria planetinį atomo modelį, kurį papildo N. Boras.

1912 m. vokiečių fizikas Lauje pastebi rentgeno spindulių difrakciją kristaluose. Gimsta struktūrinė analizė (Vulfas, U. L. Bregas ir U. G. Bregas.). Olandų fizikas Debajus, vokiečių fizikas Bornas, amerikietis Karmanas ir austrų fizikas Šredingeris sukuria kristalinio kūno gardelės teoriją.

1920 m. buvo sukurta kvantinės mechanikos teorija, kuri aprašė mikrodalelių judėjimo dėsningumus ir nusakė mikropasaulio priežastingumo principą. Šios teorijos pagrindą sudarė Planko, Einšteino, Boro ir prancūzų fiziko de Broilio hipotezė apie materijos korpuskulinę ir

banginę prigimtį. 1927 m. buvo gauta elektronų difrakcija kristaluose. Tai patvirtino de Broilio hipotezę. 1926 m. Šredingeris suformulavo pagrindinį kvantinės mechanikos dėsnį, kurio matematinė išraiška, banginė lygtis, įskaitanti postuluotą materijos dvilypumą. 1925 m. šveicarų fizikas Paulis suformulavo draudimo principą.

Kvantinė mechanika padėjo vystyti kietojo kūno teoriją. Priverstinio spinduliavimo teorija leido sukurti naują radiofizikos sritį – kvantinę elektroniką. Atsirado lazeriai. Dvidešimtame amžiuje pradėjo sparčiai vystytis atomo branduolio fizika. Ji padėjo įsisavinti valdomą branduolinę reakciją, davusią galingą energijos šaltinį.

1.4. Pagrindinės fizikos neišspręstos problemos

Nauji atradimai fizikoje padeda suvokti gamtos reiškinių svarbą ir sudėtingumą. Naujos paieškos fizikoje nemažina spręstinų problemų skaičiaus. Atvirkščiai, tyrinėjant paaiškėja nauji nežinomi reiškiniai. Nors fizikos mokslas žino daug apie gamtos reiškinius, kūnų struktūrą ir Visatą, tačiau šiandien yra daugybė dar neišspręstų problemų.

Elementariųjų dalelių ir branduolio fizikos pasiekimai davė galimybę pažinti Visatos ir žvaigždžių evoliuciją, cheminių elementų susidarymą. Tačiau lieka neaišku, kokia yra materijos būsena, esant labai dideliems tankiams ir slėgiams. Tokia būsena realizuojasi neutroninėse žvaigždėse ir “juodose skylėse”. Nežinoma kvazarų ir radiogalaktikų prigimtis, naujų žvaigždžių atsiradimas, intensyvaus spinduliavimo blyksniai. Nežinomas elektringų dalelių greitinimo mechanizmas, susijęs su naujų žvaigždžių susidarymu.

Elementariųjų dalelių fizikoje nežinomas laisvųjų kvarkų ir gliujonų egzistavimas. Nėra bendros teorijos, apimančios visus eksperimentinius rezultatus. Nėra elementariųjų dalelių spektro teorijos. Neišspręstas traukos kvantinės teorijos uždavinys.

Didelį indėlį į atomo branduolio teorijos vystymą įnešė protoninio ir neutroninio branduolio modelio sukūrimas, tačiau nuoseklios branduolio teorijos nėra. Nepaprastai sunku eksperimentiškai tirti branduolio nukleonų sąveikos jėgas. Jos priklauso nuo atstumo tarp nukleonų, nukleonų judėjimo greičių, jų spinų orientacijos. Nėra eksperimentiškai aptikti cheminiai, ilgai egzistuojantys, elementai su masių skaičiais 114÷126, į kurių egzistavimą nurodo teorinė fizika. Viena iš aktualiausių šios dienos branduolio fizikos problemų – tai valdomos branduolių sintezės reakcijos įsisavinimas.

Žymus atradimas kvantinėje elektronikoje – tai kvantinių generatorių sukūrimas (mazeriai, irrazeriai, lazeriai). Unikalios kvantinio spinduliavimo savybės (koherentiškumas, galia siaurame spektro intervale siekia 1012÷1013 _{W, pluošto skėsčio kampas apie 10}-4 _rad.,

nepaprastai didelis elektrinio lauko stiprumas, viršijantis vidinius atomų laukus ir kt.) leidžia juos panaudoti daugelyje fizikinių eksperimentų ir praktikoje. Šito išdavoje gimė netiesinė optika. Pagrindiniai spręstini kvantinės elektronikos uždaviniai – tai kvantinių generatorių galios didinimas, tolydus lazerių dažnio keitimas, rentgeno ir γ lazerių sukūrimas.

Kietojo kūno fizikoje svarbu sukurti medžiagas su ekstremaliomis savybėmis mechaninio ir šiluminio atsparumo, elektrinių, magnetinių ir optinių savybių požiūriais. Mokslininkus nepaprastai domina aukštatemperatūrinis medžiagų superlaidumas. Ieškoma naujų metodų, leidžiančių sukurti labai mažus ir patikimus puslaidininkinius prietaisus.

Fizikus domina medžiagų plazminė būsena. Yra žinoma, kad plazminėje būsenoje yra didesnioji Visatos dalis. Aukštatemperatūrinė plazma sudaro galimybę sukurti valdomą branduolių sintezės reakciją. Pagrindinis plazmos fizikos uždavinys – tai jos įkaitinimas iki 109 _{K ir išlaikymas tokį laiką, per kurį galėtų įvykti sintezės reakcija. Mokslininkus domina}

elektromagnetinis ir korpuskulinis plazmos spinduliavimas, leidžiantis paaiškinti elektringų dalelių pagreitinimą Visatoje, atsirandant naujoms žvaigždėms, pulsarų spinduliavimą ir kt.

Fizika labai glaudžiai susijusi su kitais gamtos ir technikos mokslais. Negalima išvesti skiriamosios ribos tarp fizikos ir bet kurio kito technikos mokslo. Daugelio mokslų pagrindą sudaro fizikos fundamentalūs dėsniai. Naujų fizikos sričių vystymasis skatina naujų technikos mokslų atsiradimą. Taip, pavyzdžiui, mašinų gamyba remiasi mechanikos dėsniais, elektrotechnika ir radiotechnika – elektromagnetinių reiškinių dėsniais, puslaidininkinių prietaisų – kietojo kūno teorija ir t.t. Kokybinius pakitimus technikoje padarė integralinių elementų sukūrimas. Tai leido pagaminti naujas ryšių sistemas, sukurti labai mažas, ekonomiškas, greitaeiges skaičiavimo mašinas ir kt.

1.5. Fizikos mokslo metodai

Pradedant studijuoti fizikos kursą, pravartu susipažinti su bendraisiais tyrimo metodais, kurie taikomi tiriant fizikinius reiškinius ir procesus.

Fizikinis reiškinys arba procesas – tai dėsningai susietų dydžių kitimas laike. Toks

dydžių kitimas fizikiniame procese vertinamas kiekybiniu ir kokybiniu šių dydžių virsmu.

Fizikinis bandymas. Dėsningi ryšiai tarp fizikinių dydžių nustatomi juos stebint gamtoje

arba atliekant laboratorinius bandymus, kurių metu išlaikomos artimos gamtinio reiškinio vyksmo sąlygos. Laboratoriniai bandymai ir gamtos reiškinių stebėjimas yra pagrindiniai būdai tiesos kriterijui nustatyti. Tikslus ir teisingas fizikinių dydžių matavimas stebėjimo ar bandymo metu sudaro pagrindinę mokslinio tyrimo dalį fizikos moksle.

Fizikos dėsnis. Visi fizikiniai reiškiniai yra tam tikrame priežastingumo sąryšyje.

Gamtos reiškinių stebėjimo ar eksperimento metu nustatomi priežastingumo ryšiai ir reiškinių dėsningumai. Bendri dėsningumai, pagal kuriuos vyksta fizikiniai reiškiniai, vadinami fizikos dėsniais. Apskritai dėsnis reiškia esminį pasikartojantį gamtos ar visuomenės reiškinį, sąlygojantį jų vystymosi būtinumą.

Hipotezė. Dažnai fizikoje naudojamasi hipoteze (prielaida). Tai darome tuomet, kai

naujai pastebėtų reiškinių negali paaiškinti žinomi dėsniai arba jiems prieštarauja. Kaip pavyzdį galime paminėti de Broilio hipotezę, kuri buvo suformuluota 1924 m. prancūzų mokslininko de Broilio, pagal kurią mikrodalelė gali reikštis kaip banga, kurios ilgis

, čia h – Planko konstanta, m – mikrodalelės masė, v – jos greitis. Ši hipotezė buvo vėliau patvirtinta eksperimentu, stebint elektronų difrakciją kristaluose. Hipotezė, patvirtinta eksperimentu, virsta dėsniu.

(

mv

/ h

=

λ

)

Fizikinė abstrakcija. Dažnai fizikos eksperimente arba gamtos reiškinyje reikalinga

atskirti pagrindinius reiškinių aspektus nuo antraeilių. Abstrakcija atspindi tik kai kurias kūnų savybes arba proceso charakteristikas. Taip, pavyzdžiui, sakoma absoliučiai kietasis kūnas, materialusis taškas, tiesi linija, neklampus skystis ir kt. Dėl to nagrinėjant kietojo kūno sukimąsi neatsižvelgiama į jo deformaciją, kurią sukelia išcentrinės jėgos, arba, nagrinėjant jo rimtį, neatsižvelgiama į deformaciją, kurią sukelia sunkio jėga.

Teorija – principinis požiūris į nagrinėjamą reiškinį. Yra klasikinė mechanika,

reliatyvumo teorija, kvantinė lauko teorija, kvantinė mechanika ir t. t.

1.6. Fizikiniai matavimai, paklaidos ir jų skirstiniai

Matavimu vadinama eksperimentinių ir skaičiavimo operacijų seka, nustatant fizikinio dydžio skaitinę vertę. Skaitinė vertė n reiškia matuojamojo dydžio santykį su pasirinktuoju

matavimo vienetu. Taigi fizikinis dydis lygus jo skaitinės vertės ir matavimo vieneto sandaugai:

[ ]

x. n

x= (1.1)

Pats fizikinis dydis – tai kokybiškai bendra, o kiekybiškai individuali fizinių objektų ar procesų savybė, kurią galima tiesiogiai ar netiesiogiai išmatuoti. Matavimo principinė schema pavaizduota 1.1 paveiksle

1.1 pav. Matavimo principinė schema

Pagrindinės matavimo priemonės yra šios: matai (saikai), matavimo prietaisai,

keitikliai, įrenginiai ir informacinės sistemos.

Matu atkuriama fizikinio dydžio vertė, pvz., svarstis yra masės matas, juosta – ilgio

matas.

Matavimo prietaisas išreiškia matavimo rezultatą atitinkamu signalu skalėje, juostoje ar

indikatoriuje. Prietaiso schema pavaizduota 1.2 paveiksle.

1.2 pav. Matavimo prietaiso principinė schema

Matavimo keitikliu sukuriamas signalas, perduodantis informaciją matavimo prietaisui

ar duomenų kaupikliui. Pirminiai keitikliai vadinami jutikliais.

Matavimo įrenginį sudaro atitinkamai sujungtų jutiklių, keitiklių, matavimo prietaisų ir

kitų įtaisų sistema.

Informacinė matavimo sistema – tai įvairių matavimo priemonių ir ryšio kanalų visuma.

Visos matavimo priemonės turi būti patikimos. Patikimumo vertinimo kriterijus yra gedimas, kurio tikimybė q(t). Jos ir nesutrinkamo darbo tikimybės p(t) suma lygi vienetui:

( ) ( )

t + tq =1

p . (1.2)

Fizikiniai matavimai skirstomi pagal įvairius požymius.

1. Pagal nustatomojo dydžio ir matuojamojo dydžio sąryšį matavimai esti tiesioginiai ir netiesioginiai.

Tiesioginiais matavimais dydžio vertė nustatoma matavimo priemone, pvz., strypo ilgis, lydalo temperatūra ir pan. Tačiau tai ne visada įmanoma.

Netiesioginiais matavimais dydžio vertė nustatoma iš tiesiogiai išmatuotų verčių, susietų žinoma priklausomybe su matuojamąja. Pavyzdžiui, taip gali būti nustatytas medžiagos tankis (reikia išmatuoti tiesiogiai kūno masę ir tiesiogiai ar netiesiogiai tūrį). V / m = ρ

2. Pagal nustatomojo dydžio metriką matavimai esti absoliutiniai ir santykiniai.

Absoliutinio matavimo rezultatas yra išreiškiamas tam tikrais vienetais, o santykinio bevardis. Pavyzdžiui, mažiausias apšviestumas, kurį junta prie tamsos pripratusi akis, lygus 10-9 lx, o akies santykinis jautris λ=680nm ilgio bangai K = 0,017.

3. Pagal matuojamojo dydžio keitimo pobūdį – mechaniniai, elektriniai, magnetiniai, optiniai ir t. t.

Fizikiniai dydžiai matuojami įvairiais metodais. Metodas (kelias į ką nors) – tikslo siekimo būdas, tam tikru būdu sutvarkyta veikla. Taigi matavimo metodas – matavimo principų ir priemonių vartojimo būdų visuma, nustatant fizikinio dydžio vertę ar tiriant kurią nors reiškinio savybę.

Matavimo metodai skirstomi į tiesioginius ir balansavimo metodus. Tiesiogiai

matuojančių prietaisų skalės graduojamos matuojamų dydžių vienetais, pvz., kg, m, s, N, T, … Balansinių matavimo prietaisų veikimas pagrįstas matuojamojo dydžio vertės palyginimu su etalonine.

Tarptautiniu susitarimu išskirti pagrindiniai fizikiniai dydžiai ir jų matavimo vienetai (1 lentelė).

Vystantis mokslui ir technikai, didėja fizikinių dydžių matavimo tikslumas, kartu tobulėja ir matavimo vienetų apibrėžimas.

1 metras lygus ilgiui atkarpos, kurią šviesa vakuume nusklinda per 1/299792458 sekundės. Šis apibrėžimas akivaizdus, mat šviesos greitis vakuume gan tiksliai išmatuotas:

. Dydis c – fundamentalioji gamtos konstanta. Taigi belieka išmatuoti laiką, per kurį šviesa nusklinda 1 m. Kol kas laikas matuojamas atominiu cezio izotopo

m/s 458 792 299 = c 133_Cs

laikrodžiu: 1 sekundė lygi 9192631770 periodų spinduliuotės, vykstančios tarp dviejų cezio izotopo 133Cs pagrindinės būsenos supersmulkiosios sandaros lygmenų. Apytiksliai ji lygi 1/86400 vidutinės paros daliai.

1 lentelė. Pagrindinių fizikinių dydžių vienetai ir jų dimensijos Eil. Nr. Fizikinis dydis Dydžio žymėjimas Dimensijos žymėjimas Matavimo vienetas Vieneto žymėjimas 1 Ilgis l L metras m 2 Masė m M kilogramas kg 3 Laikas t T sekundė s

4 Elektros srovės stipris I I amperas A

5 Temperatūra

(termodinaminė) T Θ kelvinas K

6 Medžiagos kiekis ν N molis mol

7 Šviesos stipris I I kandela cd

1.3 pav. Masės etalonas

Masės vienetas – kilogramas. Jis lygus tarptautinio kilogramo etalono masei. Šis kilogramo etalonas sudarytas iš 90 % platinos ir 10 % iridžio lydinio ir yra pilnavidurio cilindro formos (1. 3 pav.).

1 amperas – stiprumas nuolatinės elektros srovės, kuriai tekant dviem lygiagrečiais plonais, bet ilgais laidininkais, esančiais 1 m atstumu vienas nuo kito vakuume, kiekvieną jų ilgio metrą veikia magnetinė

didumo jėga. Taigi šis apibrėžimas vėl remiasi fundamentaliąja fizikos konstanta –

magnetine konstanta µ nes

N/m 10 2_⋅ −7 = vak F , A / N 2 7 − 10 4 0 = π⋅

)

(

d l I F_vak =µ 2 2π

0 . Kadangi l = d = 1 m, o I = 1 A, tai µ0 =2πFvak.

1 kelvinas – termodinaminės temperatūros vertė, lygi 1/273,16 jos vertės, atitinkančios vandens trigubąjį tašką (1.4 pav.). Priminsime, kad temperatūra – fizikinis dydis, apibūdinantis termodinamiškai pusiausviros makroskopinės sistemos būseną. Taigi temperatūra proporcinga dalelių vidutinei kinetinei energijai. Nuo jos priklauso dalelių pasiskirstymas pagal energijas (Bolcmano d.), energinio šviesio spektrinis tankis (Planko d.), energinis šviesis (Stefano ir Bolcmano d.) ir kt.

1.4 pav. Medžiagos būvio priklausomybė nuo slėgio ir temperatūros

1 molis – medžiagos kiekis sistemoje, sudarytoje iš tiek pat dalelių, kiek jų yra 0,012 kg12C. Tas dalelių skaičius vadinamas Avogadro skaičiumi NA. Taigi molių skaičius lygus sistemos masės ir jos molio masės santykiui:

M m

=

ν . (1.3)

1 kandela – šviesos stiprumas monochromatinio

(

_ν=0,54⋅1015 Hz

)

_{šaltinio, kurio} spinduliuotės galia ta kryptimi lygi 1/683 W/sr. Atkreipsime dėmesį į tai, kad nurodyta dažnio vertė atitinka bangos ilgį šviesos, kuriai jautriausia žmogaus akis:

nm 555 Hz 10 540 m/s 10 3 12 8 = ⋅ ⋅ = ν = λ c . (1.4)

Prie pagrindinių matavimo vienetų dažnai priskiriami plokščiojo ir erdvinio kampų matavimo vienetai – radianas (rad) ir steradianas (sr).

1 radianas lygus kampui tarp spindulių, kuriuos jungiančio apskritimo lanko ilgis lygus spindulio ilgiui. Kadangi 2π radianų atitinka 360°, tai 1 rad = 360°/2π = 57,32°. Kampo didumas lygus lanko ir spindulio santykiui: ϕ=l/ R.

1 steradianas lygus erdviniam kampui, kurio viršūnė yra sferos centre ir kuris riboja sferos paviršiuje plotą, lygų plotui kvadrato, kurio kraštinė a = R. Kadangi visas erdvinis

kampas lygus 4π sr, tai šio dydžio, t.y. . Kampo didumas lygus

kūgio ribojamo ploto ir sferos spindulio kvadrato santykiui:

2 10 96 , 7 sr 1 = ⋅ − _1sr=57,13o . R / S 2 = ω

Visi kiti matavimo vienetai yra išvestiniai. Pavyzdžiui, jėgos vienetas yra niutonas: t.y. jis reiškiamas pagrindiniais matavimo vienetais. Dažnai vartojami daliniai ar kartotiniai matavimo vienetai, gaunami pagrindinius vienetus padidinus ar sumažinus 10 , s / m 1 kg 1 N 1 _{= ⋅} 2 n _{kartų (čia n = 1, 2, 3 …).}

Negalima painioti fizikinio dydžio vieneto su jo dimensija. Dimensija – tai formulė, siejanti nagrinėjamą fizikinį dydį su pasirinktos vienetų sistemos pagrindiniais dydžiais. Dimensijoms žymėti vartojamos raidės surašytos 1 lentelėje. Pavyzdžiui, kinetinės energijos dimensija _{dimE =dim}

(

_mv2 ₂

)

_=ML2_T−2

k . Vienodas dimensijas gali turėti keli skirtingi

fizikiniai dydžiai.

Išmatuotoji fizikinio dydžio vertė x visada daugiau ar mažiau skiriasi nuo jo tikrosios vertės x0, kuri paprastai taip pat nežinoma. Taip yra dėl matavimo technikos netobulumo ,

neteisingo matavimo metodo, aplinkos įtakos, nuovargio ir pan. Matavimo paklaidos apibūdina išmatuotos vertės tikslumą. Jos esti absoliutinės ir santykinės.

Absoliutinė matavimo paklaida ∆x lygi išmatuotosios vertės xi ir tikrosios vertės x0

skirtumui: . x x x= _i − ₀ ∆ (1.5)

Tikroji vertė paprastai nustatoma etaloniniu prietaisu. Tikroji vertė tik viena. Absoliutinė paklaida įvertinama pagal prietaiso skalės padalas: jei jos stambios, tai ∆x lygi pusei padalos vertės, o jei smulkios, – visos padalos vertei.

Matuojant n kartų, gaunama seka x1, x2, … , xn. Jų aritmetinis vidurkis

, n / x x n i i

∑

= >= < 1 (1.6)

matavimų vidutinė absoliutinė paklaida . n / x x n i i

∑

= ∆ >= ∆ < 1 (1.7)

Taigi tikroji matuojamojo dydžio vertė

. x x

x₀ =< >±∆ (1.8)

Matavimo rodykliniu prietaisu tikslumą apibūdina redukuotoji paklaida δ, lygi didžiausios leistinos absoliutinės paklaidos ir skalės darbinės dalies galinės vertės xmax santykiui: . x x max max _⋅100% ∆ = δ (1.9)

Todėl dydis δ žymi prietaiso tikslumo klasę, kuri būna 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0. Ji žymima prietaiso skalėje ir reiškia, kad didžiausia absoliutinė paklaida negali viršyti nurodytos vertės, pvz., ∆U_max ≤1,0V, kad voltmetro klasė 1,0.

Santykinė matavimo paklaida lygi absoliutinės paklaidos ir išmatuotosios vertės xi santykiui ir dažniausiai išreiškiama procentais:

. x x i % 100 ⋅ ∆ = γ (1.10)

Pagal atsiradimo priežastis paklaidos skirstomos į sistemines ir atsitiktines.

Sistemines paklaidas aptikti sunku, nes, ir kartojant matavimus, jos lieka. Tipinės jų priežastys:

● matavimo prietaisų ar įrenginių netobulumas; ● matavimo būdo netobulumas;

● blogai suderintas įrenginys; ● nestabilios matavimo sąlygos; ● aplinkos įtaka;

● matuotojo klaidos.

Nors aptikti ir pašalinti sistemines paklaidas sunku, tačiau reikia stengtis, pvz., pakeisti matavimo būdą, matavimo įrenginį, matavimo sąlygas.

Atsitiktinių paklaidų gana daug ir praktiškai jų išvengti neįmanoma. Dėl to matuojama daug kartų vienodomis sąlygomis. Gauti rezultatai apdorojami, remiantis tikimybių teorija ir matematine statistika. Išmatuoto dydžio verte laikomas aritmetinis vidurkis , kuris dar vadinamas atsitiktinio dydžio x matematine viltimi:

〉 〈x , n x x n i i

∑

= = 〉 〈 1 (1.11)

čia n – matavimų skaičius.

Vidutinė kvadratinė nuokrypa nuo vidurkio

( )

(

)

. n x x x n i i 1 1 2 − 〉 〈 − = σ

∑

= _(1.12)

Šio dydžio kvadratas vadinamas dispersija:

( )

x

( )

x .

D _=σ2 _(1.13)

Matavimo rezultato pasikliautinumas įvertinamas tikslumo rodikliu σ x :

( )

〈 〉

( )

( )

(

₍

₎

)

. n n x x n x x n i i 1 1 2 − 〉 〈 − = σ = 〉 〈 σ

∑

= _(1.14)

Atsitiktinių paklaidų skirstinio tankis įvairus, tačiau dėsningas (žr. histogramą 1.5 pav.). Tikimybė, kad matavimo vertė pateks į verčių intervalą [x1, x2] lygi

, dx ) x ( p P x x

∫

= 2 1 (1.15)

čia p(x) – tikimybės tankis. Funkcijos p(x) normavimo sąlyga: . dx ) x ( p =1

∫

+∞ ∞ − (1.16)

Taigi matematinė viltis

. dx ) x ( xp x

∫

+∞ ∞ − = 〉 〈 (1.17)

Kuo siauresnė skirstinio funkcija, tuo mažesnė atskiro matavimo paklaida ∆x= x₁−〈x〉. Dispersija

(

x x

)

p(x)dx.

∫

+∞ ∞ − 〉 〈 − = σ₂ 2 (1.18)

Galima įrodyti, kad

. x

x2 2

2 _{=〈 〉−〈 〉}

σ (1.19)

Paklaidos gali būti tarpusavyje koreliuotos ir nekoreliuotos. Sumos dispersija , K ) y ( D ) x ( D ) y x ( D + = + +2 _xy (1.20)

čia Kxy =ρσ₁σ₂ tarpusavio koreliacijos koeficientas. Be to . 2 2 2 1 2 1 +2ρσσ +σ σ = σ_∑ (1.21)

Kai atsitiktiniai dydžiai nekoreliuoti (koreliacijos koeficientas ρ = 0), tai . 2 2 2 1 +σ σ = σ_∑ (1.22) 0 2 4 6 8 10 12 14 σ=2,0 x p(x) x₀ +σ -σ

Kai dydis x ∼ y, o koeficientas ρ = ±1, tai . 2 1±σ σ = σ_∑ (1.23)

Daugelis fizikinių dydžių jų matavimo serijoje pasiskirsto pagal Gauso dėsnį:

( ) 2 2 2 2 1 − −_σ σ π = a x ) x ( p e , (1.24)

čia a = x0 – vertė, atitinkanti kreivės maksimumą, σ – vertė nuo kreivės simetrijos ašies iki

vingio taško (1.6 pav.). Kuo σ mažesnė, tuo kreivė aštresnė, tačiau jos ribojamas plotas nekinta (normavimo sąlyga ta pati).

Matematinė viltis (vidurkis) . a x dx ) , a , x ( xp x=+∞

_∫

σ = = ∞ − 0 (1.25)

Taigi didžiausia tikimybė atitinka matuojamojo dydžio vertės aritmetinį vidurkį. Be to

, ) , a , x ( p_max σ π = σ 2

1 _{t.y. kuo σ mažesnis, tuo p}

max didesnė. Dispersija . dx ) , a , x ( p ) a x ( ) x ( D _{= −} 2 _{σ =σ}2

∫

+∞ ∞ − (1.26)

Taigi vidutinė kvadratinė nuokrypa

. ) x ( D ) x ( = =σ σ (1.27)

Apdorojant atsitiktines paklaidas, reikia nustatyti tikimybę, kad gauto rezultato nuokrypis nuo tikrosios vertės nebūtų didesnis už pasirinktąjį pasikliautinį intervalą ∆x. Šią tikimybę žymėsime α. Gauso skirstiniui

. dx ) x ( p x x

∫

∆ + ∆ − = α (1.28)

Šio integralo vertė proporcinga plotui tarp atitinkamos Gauso kreivės ir abscisių ašies intervale [-∆x, +∆x].

Gauso integralą galima apskaičiuoti skaitmeniškai, imant skirtingas santykio ∆x/σ vertes. Kai σ fiksuotas, tai, didėjant ∆x, tikimybė α artėja prie vieneto. Pavyzdžiui, kai ∆x1 =

σ, tai α = 0,68, kai ∆x2 = 2σ, α = 0,95, kai ∆x3 = 3σ, α = 0,997 ir t. t. Todėl visada bet kuri

atsitiktinė paklaida turi būti apibūdinama dviem parametrais: pasikliautiniu intervalu ∆x ir tikimybe α.

Žemiau pateikta Gauso dėsniu pasiskirsčiusio fizikinio dydžio tikimybių lentelė (2 lentelė), iš kurios seka, kad vertės patekimo į nurodytą verčių intervalą tikimybė tuo didesnė, kuo σ didesnė. Tai parodyta 1.7 paveiksle.

2 lentelė. Gauso dėsniu pasiskirsčiusio fizikinio dydžio tikimybių lentelė

Intervalas iš kairės Vertė Intervalas iš dešinės P, %

x0 - σ x0 - 1,96σ x0 - 2σ x0 - 2,58σ x0 - 3σ ≤ x ≤ ≤ x ≤ ≤ x ≤ ≤ x ≤ ≤ x ≤ x0 + σ x0 + 1,96σ x0 + 2σ x0 + 2,58σ x0 + 3σ 68,3 95,0 95,5 99,0 99,7 68,3 x0 + σ x0 - σ x p(x, a, σ) x0 b) a) 95,5 x0 + 2σ x0 - 2σ x p(x, a, σ) x0

1.7 pav. Gauso skirstinys skirtinguose intervaluose

Praktiškai σ(x) nustatomas iš riboto matavimų skaičiaus n. Tuomet atsitiktinių paklaidų tikimybės tankio skirstiniui geriau tinka Stjudento dėsnis. Paklaidą ∆x=σ〈x〉 atitiks mažesnė tikimybės α vertė, negu paklaidą ∆x = σ. Norint gauti tas pačias α vertes, reikia σ(x) padauginti iš tam tikro koeficiento tα, n, priklausančio nuo α ir matavimų skaičiaus n:

( )

x , t

x=± ,nσ

∆ _α (1.29)

Apdorojant gautus rezultatus, labai svarbu nustatyti tikimybę α, jog tikroji matuojamo dydžio vertė x bus patikimumo intervale (x – ∆x; x + ∆x). Priklausomai nuo pasirinktos tikimybės matavimo rezultatą reikėtų taip išreikšti:

( )

x t

x

x=< >± α,nσ . (1.30)

Kaip buvo pažymėta, apdorojant laboratorinių darbų rezultatus, pagal standartus reikalaujama, kad pasikliautinio intervalo ∆x tikimybė būtų lygi α = 0,95. Todėl, žinodami matavimų skaičių n ir pasirinktą α = 0,95, iš lentelės surandame tα, n.

Pavyzdys. Matuodami strypo skersmenį, gauname 7 vertes: d1 = 5,43 mm; d2 =5,45 mm; d3 = 5,51 mm; d4 = 5,55 mm; d5 = 5,57 mm; d6 = 5,44 mm; d7 = 5,48 mm. Šiuo atveju mm, 49 5 7 7 1 , d d i i = >= <

∑

=

( )

x

(

d d

)

, . i i 7 6 002mm 7 1 2 _{⋅ =} − > < = 〉 〈 σ

∑

=

Pasirinkus α = 0,95, iš lentelės, kai n = 7, Stjudento koeficientas tα, n = t0,95, 7 = 1,895. Tada

matuojamojo strypo skersmens pasikliautinis intervalas:

( )

1895 002mm 00379mm 004mm 7 95 0 x , , , , t x= _{, ,} σ 〈 〉 = ⋅ = ≈ ∆ .

Galutinis matavimo rezultatas:

d = (5,49 ± 0,04) mm; α = 0,95.

Norint apskaičiuoti netiesioginių matavimų absoliutinę ar santykinę paklaidą, reikia gauti atitinkamos paklaidos formulę. Tam skaičiuojamo dydžio formulė logaritmuojama, po to diferencijuojama, gauta išraiška maksimizuojama, t.y. "–" ženklas keičiamas į "+", ir "d" → "∆". Pailiustruosime tai, surasdami kūnų laisvojo kritimo pagreičio paklaidos didumą, matuodami pagreitį matematine svyruokle. Jos periodo formulė:

. g / l T = 2π Iš čia pagreitis

( )

l T , g_{= 4π}2 2

t.y. pagreitis priklauso nuo dviejų matuojamų dydžių l ir T. Paklaida ∆g priklauso nuo šių dydžių matavimo paklaidų ∆l ir ∆T. Jų sąryšį randame aukščiau nurodytu būdu:

1) logaritmuojame: T ln l ln ln ln g ln = 4+2 π+ −2 ; 2) diferencijuojame: , T dT l dl g dg 2 0 0+ + − =

3) vietoje "–" rašome "+", o vietoje "d" → "∆". Taigi santykinės paklaidos išraiška tokia: . T T l l g g ₌ ∆ ₊ ∆ ∆ 2

Matavimo absoliutinė paklaida . T T l l g g ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∆ ₊ ∆ ± = ∆ 2 Vadinasi, pagreitis

(

g g

)

... g= < >±∆ _m/s2 = 1.7. Vektoriai

Fizikiniai dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais. Tai laikas, masė, kelias, darbas, galia, energija, temperatūra ir kt. Fizikiniai dydžiai, kuriuos apibūdina modulis (kryptinės atkarpos ilgis) ir kryptis erdvėje, vadinami vektoriais. Tai poslinkis, greitis, pagreitis, jėga, lauko stipris, magnetinė indukcija ir kt. Vektoriai žymimi juodu šriftu, pavyzdžiui, r, v, F, L arba rodykle virš atitinkamų raidžių, pavyzdžiui, ,rr vr ,, Fr

.

Lr Vektoriaus modulis žymimas raide (r, v, F, L) arba vertikaliais brūkšneliais ( ,rr vr ir pan.).

Vienetinio vektoriaus modulis lygus vienetui. Vienetinis vektorius arba ortas lygus vektoriaus ir jo modulio santykiui:

. A A

er =_A r (1.31)

Vektoriaus projekcija lygi jo modulio ir kosinuso kampo, kurį jis sudaro su atitinkama ašimi, sandaugai (1.8 pav.):

. cos r

r_i = ϕ_i (1.32)

Padėties vektoriaus rr modulis . z y x

r₌ 2 ₊ 2 ₊ 2 _(1.33)

Sudėti vektorius galima dviem būdais (1.9 pav.): pagal trikampio arba lygiagretainio taisyklę. Abiem atvejais

. b a

cr= r+ r _{(1.34) 1.8 pav. Vektoriaus rr}

1.9 pav. Vektorių ar ir br sudėtis

Suminio vektoriaus projekcija lygi sudedamųjų vektorių projekcijų sumai, pavyzdžiui,

. b a

c_x = _x + _x (1.35)

Vektorių ir ar br skirtumas yra vektorius ,cr išbrėžtas iš br galo į galą (1.10 pav.). Šiuo atveju ar . b a cr= r− r (1.36)

Vektorių ir bar r skaliarine sandauga vadinamas skaliaras c, lygus vektorių modulių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai:

( )

a,b . cos ab c b ar⋅ r = = r r (1.37)

Sukeitus dauginamuosius vietomis, sandaugos rezultatas nepakinta. Lengva įsitikinti, kad projekcijomis išreikštų vektorių skaliarinė sandauga lygi atitinkamų projekcijų sandaugų sumai:

(

a i a j a k

)(

b i b j b k

)

a b a b a b .

c= _xr+ _yr+ _zr _xr+ _yr+ _zr = _{x x} + _{y y} + _{z z} (1.38)

1.10 pav. Vektorių ar ir br atimtis 1.11 pav. Vektorių sandaugos ar ×br rezultatas yra vektorius cr.

Vektorių ir bar r vektorinė sandauga lygi vektoriui cr

(

cr =ar×br

)

, kuris statmenas ar ir

br vektorių plokštumai ir nukreiptas ta kryptimi, kuria slinktų dešininis sraigtas, kurio galvutė sukama taip, kad vektorius artėtų prie ar br, mažėjant kampui tarp jų (1.11 pav.). Vektoriaus

modulis lygus dauginamųjų vektorių modulių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai:

( )

a,b . sin ab

c = r r (1.39)

2

SLENKAMOJO IR SUKAMOJO JUDĖJIMO KINEMATIKA

Kinematika nagrinėja kūnų judėjimą, neatsižvelgdama į judėjimą sukėlusias priežastis, ir priežastis, dėl kurių materialusis taškas arba kūnas juda greitėdamas, tolygiai arba lėtėdamas. Pagal trajektorijos pobūdį judėjimas yra tiesiaeigis, kreivaeigis arba sukamasis. Judėjimą galima stebėti tik tuomet, kai turime ne mažiau kaip du kūnus, kurių vieną pasirenkame atskaitos pradžia. Be to proceso trukmė matuojama vienokiu ar kitokiu laikrodžiu, t.y. įrenginiu, kuris tą patį procesą kartoja daugelį kartų. Tarpusavy nejudančių kūnų ir laikrodžių visuma vadinama atskaitos sistema. Dažniausiai vartojama inercinė atskaitos sistema, nes skirtingose atskaitos sistemose judančio materialiojo taško arba kūno trajektorijos, greičiai ir pagreičiai gali būti skirtingi. Esmė ta, kad stebėtojas, esantis tokioje atskaitos sistemoje, nejaučia judėjimo nepriklausomai nuo sistemos judėjimo greičio. Tokiu būdu stebėtojas negali suvokti judėjimo reliatyvumo, t.y. jis negali pasakyti, ar jis juda pasirinktoje atskaitos sistemoje, ar atskaitos sistema juda stebėtojo atžvilgiu. Tačiau stebėtojas, susietas su čia atskaitos sistema, labai gerai jaučia greičio pokyčius (pagreičius), nes tuomet veikia inercijos jėgos.

Tiktai tiesiaeigis judėjimas gali būti tolyginis. Kiekvienas kreivaeigis judesys turi pagreitį. Pagreitis neatsiranda be priežasties. Šia priežastimi yra jėga, kuri įvedama fizikos kurse, kai kalbama apie judėjimo dinamiką.

2.1. Materialusis taškas ir atskaitos sistema

Mechanika – fizikos skyrius, nagrinėjantis vieną paprasčiausių judėjimų – mechaninį judėjimą, t.y. kūno padėties kitimą kitų kūnų atžvilgiu. Klasikinė mechanika tiria

makroskopinių kūnų judėjimą, kai jų greičiai žymiai mažesni už šviesos greitį tuštumoje (v<<c). Reliatyvumo teorija tiria šių kūnų judėjimą, kai jų greičiai dideli (v→c). Mikroskopinių kūnų judėjimą tiria kvantinė mechanika.

Mechanika skirstoma į kinematiką, statiką ir dinamiką. Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių. Statika tiria kūno ar kūnų sistemos pusiausvyros sąlygas. Dinamika

tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusių priežasčių ir, atvirkščiai, pagal judėjimo pobūdį nustato tas priežastis.

Paprasčiausias mechaninis judėjimas yra absoliučiai kietojo (nesideformuojančio) kūno

slinkimas: visų jo taškų trajektorijos, greičiai ir pagreičiai yra vienodi. Paprasčiausias

objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yra materialusis taškas. Materialiuoju tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kurio matmenis ir formą konkrečiomis sąlygomis galima nekreipti dėmesio. Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti padėties vektoriumi rr stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje (2.1 pav.):

k z j y i x rr = r+ r+ r, (2.1)

čia x, y, z – taško koordinatės, , , ir rj kr – koordinačių ašių ortai (vienetiniai vektoriai).

Pastaba: paveiksle pažymėtos polinės koordinatės ρ ir ϕ, cilindrinės koordinatės ρ, ϕ ir y bei sferinės koordinatės r (rr ilgis), ϕ (azimutas) ir ϑ (polinis nuotolis). Polinių ir Dekarto koordinačių sąryšis toks: x=ρsinϕsinϑ, y= cosr ϑ, z=ρcosϕsinϑ.

X x X Y v ϑ ϕ ρ M 0 ₀ M x y z( , , ) M x y z( , , ) y Y Z z Z v r r1 ∆r r₂ k j i

2.1 pav. Materialiojo taško M padėtis stačiakampėje Dekarto koordinačių atskaitos sistemoje

2.2 pav. Materialiojo taško M trajektorija ir poslinkis ∆rr

Skaliariškai materialiojo taško padėtis erdvėje nusakoma trimis koordinatėmis x, y ir z. Skaliarinės lygtys x(t), y(t), z(t) arba vektorinė lygtis rr yra kinematinės judėjimo lygtys.

( )

t

Trajektorija vadinama linija, kurią brėžia vektoriaus rr galas (2.2 pav.). Pagal trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias lygus trajektorijos ilgiui. Kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi, vadinama momentiniu

poslinkiu: , rr ∆ . r r rr=r₂ −r₁ ∆ (2.2)

Jo modulis

(

x x

) (

y y

) (

z z

)

,

r= ₂ − ₁ 2 + ₂− ₁ 2 + ₂ − ₁ 2

∆ (2.3)

t.y. poslinkio modulis gali būti teigiamas, lygus nuliui arba neigiamas. Kelias s visada teigiamas ir niekada nemažėja.

2.2. Greitis ir pagreitis

Judėjimo sparta apibūdinama linijiniu greičiu vr , lygiu poslinkio išvestinei laiko atžvilgiu: r dt r d t r lim t &r r r r _{= =} ∆ ∆ = → ∆ 0 v . (2.4)

Linijinis greitis visada nukreiptas trajektorijos liestine judėjimo kryptimi. Jį galima išreikšti komponentėmis: k dt dz j dt dy i dt dx k j i _{y z} x r r r r r r r _{=v +v +v = + +} v . (2.5) Greičio modulis 2 2 2 z y x v v v v= + + . (2.6)

Per nykstamą laikotarpį dt poslinkio modulis dr lygus elementariajam keliui ds, t.y. stygos ilgis lygus lanko ilgiui. Todėl greitis

, dt ds t r lim t ∆ = ∆ = → ∆ 0 v (2.7)

t.y. linijinio greičio modulis lygus pirmajai kelio išvestinei laiko atžvilgiu. Taigi kelias

( )

=

_∫

2 1 t t dt t s v . (2.8)

Geometriškai kelias lygus plotui figūros, kurią riboja greičio grafika, laiko ašis ir atitinkamos abscisės (2.3 pav.).

Linijinio greičio kitimo sparta apibūdinama linijiniu

pagreičiu, lygiu greičio išvestinei laiko atžvilgiu

dt d dt lim a t v v r r r₌ ∆ ₌ → ∆ 0 , (2.9)

t.y. linijinis pagreitis ne tik lygus greičio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu, bet ir nukreiptas greičio pokyčio

kryptimi (2.4 pav., b). vr

d _{2.3 pav. Kelio grafinis vaizdavimas}

Pagreitį galima išreikšti projekcijomis: k dt d j dt d i dt d k a j a i a a x y z z y x r r r r r r r_{= + + =} v ₊ v ₊ v _{. (2.10)} Pagreičio modulis . a a a a_{= x}2 _{+ y}2 _{+ z}2 _(2.11)

2.4 pav. Linijinio greičio pokyčio ir linijinio pagreičio kryptys: a) greitis visada nukreiptas trajektorijos liestine; b) pagreičio ir greičio prieaugio kryptys vienodos

Žinant pagreitį, galima rasti linijinį greitį:

( )

=

_∫

2 1 t t adt t v . (2.12) ___________________________________________________________________________

Materialiojo taško padėties vektoriaus kitimą aprašo lygtis rr ir trj t2kr 3

2 +

+

= . Raskime

taško poslinkį per pirmąją judėjimo sekundę, jo modulį, greitį, pagreitį ir greičio modulį tuo laiko momentu. k t j t i rr ₌r₊₂r₊₃ 2r_, t1 = 1 s rr ∆ , ∆r, vr

( )

1 , ar ,

( )

1 v – ?

( )

1

S p r e n d i m a s . Materialiojo taško poslinkis

( ) ( )

t r tj t k r rr r r r 2r 1 − 0 =2 +3 = ∆ . Taigi ∆rr

( )

1 =2rj+3kr. Poslinkio modulis

( )

1 ₌ 22 ₊32 m₌3,61m ∆r .

Taško greitis laiko momentu t1 lygus

( )

( )

j t k dt t r d t r r r r 1 1 1 = =2 +6 v , jo modulis

( )

m s m s v 1 ₌ 22 ₊62 ₌6_,3_{2 .}

Taško pagreitis

( )

( )

k const dt d ar1 = vr1 =6r= . ___________________________________________________________________________

Materialiojo taško koordinatė _{x= At}4 _−Bt2, čia A = 0,25 m/s4_{, B = 9 m/s}2_. Nubraižykime greičio kitimo per pirmąsias penkias sekundes grafiką ir nustatykime ekstreminę greičio vertę.

2 4 _Bt At x= − , A = 0,25 m/s4_, B = 9 m/s2 , ve – ?

S p r e n d i m a s . Norint nubraižyti v(t) grafiką, reikalinga šios priklausomybės išraiška ir atitinkama lentelė su pažymėtais joje būdingaisiais taškais.

Tokie taškai atitinka, pvz., judėjimo pradžią (t = 0 s), apsigręžimo momentą ir pan. Taigi, remiantis (2.4) formule, taško greitis

( )

At Bt dt dx t _{= =}4 3 ₋2 v .

Pasirinkę laiko kitimo žingsnį (0,5 s), sudarome lentelę:

t, s 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

v, m/ s 0 -9 -17 -24 -28 -29 -27 -20 -8 10 35

Deja, taip sudarytoje lentelėje yra tik vienas būdingasis taškas: kai t1 = 0 s, greitis v(0) =

0 m/s. Taigi grafikas bus tik apytikslis.

Išbrėžę liestinę ir statmenį, nustatome, kad v_max ≈29 m/s laiko momentu t = 2,3 s.

2.5 pav. Netolyginio judėjimo greičio modulio priklausomybės nuo laiko grafikas

Tikslesnės greičio ir laiko vertės gaunamos analitiškai: 0 2 12 2 2 − = = At B dt dv ir = = A B t 6 2 2,45 s.

Taigi, įrašę šią laiko vertę į greičio išraišką, gauname: ve = – 29,4 m/ s.

Trečias būdingasis taškas nustatomas iš sąlygos (dar kartą v = 0):

(

4 2 2

)

0 3 1 At − B = t , t.y. iš 18 2 3 = B/ A = t s = 4,24 s. __________________________________________________________________________ 2.3. Slenkamojo judėjimo lygtys ir grafikai

Kai materialusis taškas juda tiesiai ir tolygiai, jo linijinis greitis t.y. nepriklauso nuo laiko ir lygus v

, const

= vr

0 (2.6 pav., a). Taško koordinatė šiuo atveju tiesiškai priklauso

nuo laiko: t x ) t ( x = ₀ +v₀ , (2.13)

čia x0 – pradinė koordinatė (2.6 pav., b). Tiesės polinkio kampas α tuo didesnis, kuo didesnis

greitis: . t x tg =v₀ ∆ ∆ = α (2.14)

Taško kelias taip pat tiesiškai priklauso nuo laiko (brūkšninė linija 2.6 pav., b):

( ) ( )

t x t x t

s = − ₀ =v₀ . (2.15)

Materialusis taškas (absoliučiai kietas kūnas) juda tiese ir yra tolygiai kintamas, kai jo linijinis pagreitis ar=const. Kai ar ↑↑ judėjimas tolygiai greitėjantis, o kai vr, ar ↓↑ – vr,

tolygiai lėtėjantis. Abiem atvejais

( )

t r art,

r _{= +}

0

v

v (2.16)

2.6 pav. Tiesiaeigio tolyginio judėjimo greičio (a) ir koordinatės (b) grafikai

t.y. linijinis greitis tiesiškai kinta laikui bėgant (2.7 pav., a), čia v0 – pradinis greitis. Vidutinis

( )

[

v₀ vt

]

2

v〉 = +

〈 (2.17)

atitinka tiesės vidurį.

2.7 pav. Tiesiaeigio tolygiai kintamo judėjimo grafikai: a) greičio; b) kelio

Tolygiai kintamo judėjimo kelias vaizduojamas arba plotu v ir t koordinačių sistemoje, arba parabole s ir t koordinačių sistemoje (2.7 pav., b).

( )

(

)

2 2 0 0 0 0 at t dt at dt t s t t + = + = =

∫

v

∫

v v . (2.18)

Tolygiai kintamo judėjimo pavyzdys yra laisvasis kūno kritimas arba vertikaliai mesto kūno kilimas tuštumoje. Dėl Žemės traukos kūnas įgyja pagreitį gr. Todėl kūno judėjimo lygtys yra tokios:

( )

t r grt r _{= +} 0 v v ir 2 2 0t gt h= v + . (2.19)

Žemiau nubraižyti atitinkami grafikai (2.8 pav.).

2.4. Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis

Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis (plokštumoje). Jo metu visada yra įcentrinis (normalinis) pagreitis ar nes šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą: _n,

n R t lim a n t n r r r 2 0 v v = ∆ ∆ = → ∆ , (2.20)

čia ∆vr_n – greičio prieaugio ∆vr įcentrinė dedamoji (2.9 pav.). Be to s

R

n = ∆

∆v v , (2.21)

čia R – trajektorijos kreivumo spindulys, o ∆s – lanko AB ilgis.

2.9 pav. Kreivaeigio judėjimo pagreitis ir jo dedamosios: a) pagreitis arτ nukreiptas liestine, pagreitis arn

– trajektorijos kreivumo centro link; b) greičio prieaugis ∆vr=∆vr_τ+∆vr_n

Tangentinis (liestinis) pagreitis apibūdina linijinio greičio modulio kitimo spartą:

τ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = → ∆ τ → ∆ τ r r r r dt d t lim t lim a t t v v v 0 0 . (2.22)

Kai judėjimas greitėjantis, kryptis sutampa su arτ vr kryptimi, kai lėtėjantis, yra priešingas

krypčiai. Taško pagreitis

τ ar vr τ + = + = r r_τ r r r dt d n R a a a _n v2 v . (2.23) Jo modulis . a a a _n2 2 τ + = (2.24)

Atskiras kreivaeigio judėjimo atvejis yra judėjimas apskritimu, t.y. trajektorija, kurios kreivumo spindulys R = const. Galimi trys atvejai:

1) a_τ =0, an = const – tolyginis judėjimas apskritimu;

2) a_τ =const, a_n = f

( )

t – tolygiai kintamas judėjimas apskritimu; 3) a_τ = f

( )

t ir a_n =ϕ

( )

t – netolyginis judėjimas apskritimu.

___________________________________________________________________________

Materialusis taškas taip juda apskritimu, kad spindulio R posūkio kampas . Nustatykime, kaip kinta kampas tarp jo linijinio pagreičio

2

2t+t

= ϕ

ar ir spindulio: nekinta, didėja ar mažėja. Kodėl? 2 2t+t = ϕ , R α(t)

S p r e n d i m a s . Uždavinyje apibūdinta situacija pavaizduota 2.10 paveiksle. Linijinio pagreičio modulis

2 2 τ + = a a a _n ,

2.10 pav. Linijinis pagreitis sudaro su spinduliu R kampą α

ar

čia normalinio pagreičio modulis

R a_n = v2 , o tangentinio – dt d a_τ = v.

Linijinis greičio modulis

(

t

)

R~t R dt d R= ϕ = 2+2 ω = v . Vadinasi, _{a ~t}2, o . Taigi n aτ =const ar n

ilgėja, o ar nekinta: vektorius a ilgėja ir _τ

sukasi prie R, t.y. kampas α mažėja. r

___________________________________________________________________________ 2.5. Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys

Materialiojo taško judėjimas apskritimu apibūdinamas ne tik spinduliu R, bet ir kampiniu greičiu bei kampiniu pagreičiu ωr εr .

Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulio posūkio

kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu: . dt d t lim t ϕ = ∆ ϕ ∆ = ω → ∆ 0 (2.25)

Kampinio greičio vienetas – radianas sekundei (rad/s). Kampinis greitis, kaip vektorius, nukreiptas sukimosi ašimi pagal dešiniojo sraigto taisyklę (2.11 pav.). Kai ω=const, materialiojo taško sukimosi apie ašį periodas

. T = 2π ω (2.26) Sukimosi dažnis . T π ω = = ν 2 1 (2.27) Kadangi kelias ∆s=R∆ϕ, tai taško linijinio greičio modulis

ω = ∆ ϕ ∆ = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ _t R lim _t R s lim t t 0 0 v , (2.28)

t.y. linijinio greičio modulis proporcingas taško atstumui iki sukimosi ašies ir kampinio greičio moduliui. Vektoriškai (2.12 pav.)

Rr

r r _=ω×

v . (2.29)

2.11 pav. Kampinis greitis nukreiptas

sukimosi ašimi 2.12 pav. Vektoriai ,_{pagal vektorinės sandaugos taisyklę}ωr ir nukreipti R r

vr

Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai

išvestinei laiko atžvilgiu: . dt d t lim t ω = ∆ ω ∆ = ε → ∆ r r r 0 (2.30)

Kai sukimosi ašis nejudama, ε ir r ωr kryptys sutampa greitėjimo atveju ir yra priešingos lėtėjimo atveju (2.13 pav.). Normalinį ir tangentinį pagreičius galima išreikšti taip:

R R a_{n =} v2 _=ω2 _(2.31) ir R dt d a_τ = v =ε (2.32)

2. 13 pav. Kampinio pagreičio εr kryptis arba ↑↑, arba ↑↓ ωr krypčiai

Kinematinės sukamojo judėjimo lygtys, taigi ir atitinkami grafikai, analogiškos slenkamojo judėjimo kinematinėms lygtims:

posūkio kampas (t) t t2 2, 0 +ε ω = ϕ (2.33) kampinis greitis ωr

( )

t =ωr₀ +εrt, (2.34)

čia ωr₀ – pradinis kampinis greitis.

___________________________________________________________________________

R = 0,1 m spindulio ratas sukasi taip, kad jo posūkio kampo priklausomybė nuo laiko reiškiama lygtimi _{ϕ = A+Bt+Ct}2, čia B = =2 rad s, C = 1 rad/s2_{. Apskaičiuokime ratlankio} taškų kampinio greičio, kampinio pagreičio, linijinio greičio, tangentinio ir normalinio pagreičių modulius po 2 s nuo judėjimo pradžios.

2 Ct Bt A+ + = ϕ , B = 2 rad/s, C = 1 rad/s2, R = 0,1 m, t1 = 2 s; ω, ε, v, aτ, an − ?

S p r e n d i m a s . Kampinio greičio ir pagreičio modulius randame iš jų apibrėžimo – (2.25) ir (2.30) lygybių:

6 2 = + = ϕ = ω B Ct dt d rad/s, 2 2 = = ω = ε C dt d rad/s2.

Linijinius dydžius v, aτ ir an, būdingus atskiriems kūno

taškams, randame iš (2.29), (2.31) ir (2.32) lygybių:

m/s; m/s 6 0, R= ω = v a_τ =εR=0,2 2_{; a =ω}2_{R=3,6 m/s} n 2_. ___________________________________________________________________________

3

SLENKAMOJO JUDĖJIMO DINAMIKA

Kinematika mechaninį judėjimą nagrinėja, neatsižvelgiant į judėjimo priežastis. Dinamikos uždavinys bendresnis – ji nagrinėja kūnų sąveikos įtaką jų judėjimui. Judėjimo kitimą apibūdina pagreitis. Pagreičio sąvoką naudojame ir kinematikoje, tačiau nekeliame klausimo, kodėl kūnai įgyja pagreičius. Jėgų savybes ir jų ryšį su pagreičiu aprašo trys Niutono dėsniai. Šiuos dėsnius Niutonas suformulavo, apibendrinęs eksperimentinius faktus.

3.1. Pirmasis Niutono dėsnis. Inercinės atskaitos sistemos. Galilėjaus reliatyvumo principas

Pirmasis Niutono dėsnis, dažnai vadinamas inercijos dėsniu, teigia, kad kiekvienas kūnas išlaiko rimties arba tolyginio tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol pašalinis poveikis nepriverčia šią būseną pakeisti. Savybė išlaikyti apibrėžtą būseną vadinama inertiškumu.

Inertiškumas priklauso nuo kūno masės. Kūno masė yra jo inertiškumo matas, tačiau kūnų masės nusako ir jų tarpusavio traukos jėgą. Taigi masė kartu apibūdina ir gravitaciją.

Pirmasis Niutono dėsnis galioja ne kiekvienoje atskaitos sistemoje. Sistemos, kuriose galioja pirmasis Niutono dėsnis, vadinamos inercinėmis atskaitos sistemomis. Tai sistemos, kurios neturi pagreičio. Tiksliau tariant, tai sistemos, kurios viena kitos atžvilgiu juda tolygiai ir tiesiai arba yra reliatyvioje rimtyje, t.y. tos sistemos, kuriose galioja Galilėjaus reliatyvumo principas: visi mechaniniai reiškiniai vienodomis sąlygomis bet kurioje inercinėje sistemoje

vyksta vienodai. Tuo galima įsitikinti nagrinėjant dvi atskaitos sistemas S ir S′. Pradiniu laiko momentu t = 0 atskaitos taškai O ir O′ sutampa. Sakykime atskaitos sistema S nejuda, o sistema S′ juda jos atžvilgiu tolygiai išilgai X ašies greičiu vr₀ =const (3.1 pav.). Laisvai pasirinkto taško B padėtį apibūdina padėties vektorius

r t r r

X B O O X Y Y S S Z Z r r r₀ v0

3.1 pav. Dvi atskaitos sistemos S ir S′ juda viena kitos atžvilgiu X ašies kryptimi greičiu vr₀ =const

Šią lygtį galima užrašyti projekcijomis:

t t t z z t y y t x x= ′+v_0x ′, = ′+v_0y ′, = ′+v_0z ′, = ′ , (3.2)

nes laikas klasikiniu požiūriu nepriklauso nuo reliatyvaus judėjimo. Galima rašyti ir atvirkštinės transformacijos lygtis:

t t t z z t y y t x x′= −v_0x , ′= −v_0y , ′= −v_0z , ′= . (3.3)

Tai ir yra Galilėjaus transformacijos. Jos išreiškia mechaninį reliatyvumo principą. Taško B greitis nejudančios sistemos atžvilgiu

v v v vr = r = r′+r₀ =r₀ +r′ dt r d dt r d , (3.4) čia taško B greitis judančios sistemos atžvilgiu. v′r

Lygtis (3.4) išreiškia klasikinę greičių sudėties teoremą: materialiojo taško greitis nejudančios

sistemos atžvilgiu lygus jo greičio judančios sistemos atžvilgiu ir pačios šios sistemos greičio sumai. Greičio

projekcijos yra tokios: vr z z y y x x v v , v v , v v

v = ₀ ± ′ = ′ = ′ . (3.5) _{Italų matematikas, astronomas, fizikas}Galileo Galilėjus (1564-1642). Iš lygties (3.4) gauname, kad

a

ar= r′. (3.6)

t.y. matome, kad pagreičiai abiejose inercinėse sistemose yra vienodi. Sakome, kad pagreitis yra invariantinis Galilėjaus transformacijų atžvilgiu. Vadinasi, ir dinamikos lygtys, pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą, nekinta – jos yra koordinačių transformacijų invariantai. Tokie invariantai klasikinėje mechanikoje yra ir kūno ilgis, ir laiko intervalas.

Kalbėdami apie tolygiai ir tiesiaeigiai vieną kitos atžvilgiu judančias sistemas, prieiname išvados, kad jos yra inercinės. Kyla klausimas, kaip bus tuomet, kai nagrinėjama sistema sukasi. Trumpai apsistokime prie jų.

Besisukančios atskaitos sistemos mus domina todėl, kad mes gyvename tokioje sistemoje. Kaip žinome, Visatoje visos planetos ir Galaktikos sukasi. Taigi, kur betalpintume atskaitos sistemos pradžią, turėtume besisukančią koordinačių sistemą. Niutono dėsniai galioja su Žeme susietoje sistemoje. Taigi pravartu visas kitas sistemas lyginti su ja.

Kartais reikia atskirti vienos medžiagos molekules nuo kitų medžiagų molekulių. Tam tikslui naudojamos ultracentrifugos. Jų sukimosi dažnis prilygsta 1000 s-1 (arba 60 000 min-1). Taigi įcentrinis pagreitis jose lygus:

2 s m 6 2 _≈4⋅10 ω = r a_n .

Šio ir laisvojo kūnų kritimo pagreičių santykis

5 6 10 4 10 10 4⋅ _{= ⋅} ≈ g a_n ,

t.y. jis 400 000 kartų didesnis už g. Priminsime, kad g sukelia Žemės trauka, bet ne jos sukimasis. Įdomu įvertinti, kokį pagreitį turės kūnai, esantys Žemės paviršiuje dėl jos sukimosi. Žemės apsisukimo apie savo ašį periodas T = 24 val = 8,6·104 s. Kampinis sukimosi greitis: s rad 10 3 7 2_{π ≈ ⋅} −3 = ω T ,

Žemės spindulys _R≈6,_4⋅106 m. Taigi įcentrinis pagreitis

(

_{7,3 10} 3

)

2 _{6,4 10}6 _{m s}2 _{341m s}2

2 _{= ⋅ ⋅ ⋅ ≈}

ω

= _R −

a .

Dėl šio pagreičio kinta g priklausomai nuo geografinės platumos.

Žemės apsisukimo apie Saulę periodas _{T =}1metai_≈3_⋅107 s. Šiuo atveju s rad 10 2 2_{π ≈ ⋅} −7 = ω T .

Žemė nutolusi nuo Saulės atstumu r = 1,5·1011 m. Dėl to orbitinis įcentrinis pagreitis

(

_2⋅10 7

)

2_⋅1,5⋅1011 _{m s}2 _{≈6mm s}2

= −

n

a .

Saulė skrieja atžvilgiu Galaktikos centro, kuris yra R = 3·1020 m atstumu nuo jos. Saulės greitis v nustatytas iš doplerinio bangos ilgio pokyčio ir lygus 3·105 m/s. Tuomet

2 s m v2 ₁₀ 2 _{= ≈3⋅10}− ω = R R a_n .

Taigi palyginę gautus pagreičius, matome, kad juo toliau perkeliame atskaitos sistemą nuo Žemės, tuo mažesnis pagreitis ir tuo tiksliau tenkinamas mechaninis reliatyvumo