IMDO - 07 - 00
Curso: Técnico de Comércio
Ano:
1º
Disciplina: Matemática
Módulo nº1
Designação: Geometria 36 horas
Escola Profissional do Fundão
Matemática
MÓDULO 1
– A1 - GeometriaObjetivos de Aprendizagem
Neste módulo de Geometria, os objetivos de aprendizagem que se pretende que os estudantes atinjam, são os seguintes:
construir modelos (maquetes e desenhos) úteis e adequados à resolução de problemas, com recurso a medições e escalas;
mobilizar resultados matemáticos básicos necessários apropriados para simplificar o trabalho na resolução de problemas;
comunicar, oralmente e por escrito, aspetos dos processos de trabalho e crítica dos resultados; identificar as vantagens do uso de um referencial;
instalar um referencial numa figura (ou uma figura num referencial) de forma a obter “as melhores coordenadas”;
reconhecer as relações entre as coordenadas de pontos simétricos relativamente aos eixos coordenados e, no espaço, relativamente aos planos coordenados;
escrever a equação de uma reta representada graficamente e vice-versa.
Critérios de Avaliação
Parâmetros / Instrumentos de Avaliação
Domínio Cognitivo Teste escrito 60%
Redação matemática individual 20% Domínio das atitudes e valores e Responsabilidade / Autonomia 20%
Bibliografia / Outros Recursos
Costa, B & Rodrigues, E. (2006). Espaço B – Ensino Secundário 10º Ano. Rio Tinto: Edições Asa. Ferreira, D., Ferreira, A., Carvalho, P. & Carvalho, J. (2008). Matemática A1 – Ensino Profissional.
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Polígono é uma região fechada e limitada por segmentos de reta, que se dizem os seus lados. Os extremos
desses segmentos de reta são os vértices do polígono.
Dois triângulos dizem-se semelhantes se, de um para o outro, têm os ângulos iguais e os lados proporcionais. Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Considere a figura ao lado.
O ponto E está no topo da árvore e a sua sombra está no ponto A. Colocou-se verticalmente uma vara no ponto B de maneira a que a sombra da sua extremidade C esteja, também, no ponto A.
A altura da vara é de 0,8 m e os comprimentos de [AB] e [BD] são 2 m e 10 m, respetivamente. Áreas Volumes Triângulo b –base h – altura Cubo l – lado Quadrado l – lado Paralelepípedo c – comprimento l – largura h – altura Retângulo c – comprimento l – largura Pirâmide Ab – Área da base h – altura Circunferência r – raio Cone Ab – Área da base h – altura Cilindro Ab – Área da base h – altura Esfera r – raio
Nota: Poliedros são sólidos limitados por superfícies planas. Os polígonos que limitam um poliedro são as faces; os lados do
polígono são as arestas do poliedro e os vértices do polígono são os vértices do poliedro.
Exemplo
A Teresa e a Carla compraram uma tenda de campismo. A tenda tem a forma de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero com 1,8 m de lado e com 2,3 m de profundidade.
1. A entrada da tenda tem de altura, aproximadamente, 1,6 m. Determine, com uma casa decimal, o volume da tenda.
2. Para montar a tenda são necessários 7 ferros. Indique dois ferros paralelos e dois ferros perpendiculares.
A figura representa um dos vulcões de água da Alameda do Parque da Nações em Lisboa.
As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metros.
As circunferências indicadas na figura têm 1,8 m e 0,6 m de comprimento de raio. A altura do cone é 6 m.
Determine, em metros cúbicos, o volume do vulcão de água.
A intersecção de um sólido com um plano secante é uma figura plana a que se chama secção.
Um referencial cartesiano é constituído por dois eixos perpendiculares (eixo das abcissas ou eixo dos xx e eixo das ordenadas ou eixo dos yy) que dividem o plano em quatro regiões, que são os quadrantes, e que se intersectam num ponto, que é a origem do referencial.
Um referencial diz-se monométrico quando se toma a mesma unidade de comprimento nos dois eixos.
( )
Exemplo
Exemplo
Informação Teórica – Secções de sólidos
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Página | 5 Dado um ponto no plano, pode definir-se pelas suas coordenadas o seu
simétrico em relação a cada um dos eixos coordenados e em relação à origem.
A figura apresenta
A1 simétrico de A em relação ao eixo dos xx;
A2 simétrico de A em relação ao eixo dos yy;
A3 simétrico de A em relação à origem do referencial.
A condição y = b define uma reta horizontal. A condição x = a define uma reta vertical.
A condição y = x define a bissetriz dos quadrantes impares. A condição y = -x define a bissetriz dos quadrantes pares.
Domínios Planos
Informação Teórica – Condições e conjuntos no plano
Informação Teórica – Simetria
y ≥ -x y ≥ x
y ≥ -2 x ≤ 2
Um referencial cartesiano no espaço é constituído por três eixos perpendiculares (eixo das abcissas ou eixo dos xx, o eixo das ordenadas ou eixo dos yy e o eixo das cotas ou
eixo dos zz) que se intersectam num ponto, que é a origem do referencial.
Os três eixos definem três planos xOy, yOz e xOz, que se chamam os planos coordenados. O espaço fica assim dividido em oito regiões, que são os octantes.
Tal como no plano, pode definir-se pelas suas coordenadas o simétrico de um ponto em relação a cada um dos eixos coordenados e em relação à origem. Também se pode definir o simétrico de um ponto em relação a cada um dos planos coordenados.
A condição z = 0 define o plano xOy. A condição x = 0 define o plano yOz. A condição y = 0 define o plano xOz.
( x > -2 ⋀ x ≤ -1 ⋀ y ≥ 0 ⋀ y ≤ -x) ⋁ (x ≥ 0 ⋀ y ≤ 3 ⋀ y > x )
Informação Teórica – Referenciais no espaço
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Página | 7 Dados dois pontos ( ) e ( ), o declive da recta AB (não vertical) é dado por:
A equação reduzida de uma reta é do tipo , com .
m - declive b - ordenada na origem
Considera as seguintes retas:
1. Relativamente a cada uma delas indique o declive e a ordenada na origem. 2. Averigue se o ponto A (2, -4) pertence à reta s.
3. Indique as coordenadas de dois pontos distintos da reta r.
4. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas t e s.
1. Determine o valor exato do comprimento da diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo com as medidas 3 cm, 3 cm e 6 cm.
2. Calcule o volume de uma esfera com 4 cm de diâmetro.
3. Calcule o volume da maior esfera que cabe dentro de um cubo de volume 27 centímetros cúbicos.
4. A figura representa, num referencial ortogonal e monométrico do espaço, uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que D (1, 1, 0) e B (5, 5, 0).
4.1. Determina as coordenadas dos pontos A e C. 4.2. Sendo M o centro da base, mostre que M tem de
coordenadas (3, 3, 0).
4.3. Sabendo que o volume da pirâmide é 32 cm3, determina as coordenadas do ponto V.
4.4. Escreve a equação do plano que contém M e é perpendicular ao eixo Oy.
Exercícios propostos
Informação Teórica – Estudo da reta
5. Considere num referencial ortogonal e monométrico do plano, os pontos
A (-2, 3) e D ( 1, 7) e a reta r de equação y = -2x + 9.
5.1. Mostre que o ponto D pertence à reta r. 5.2. Escreva a equação reduzida da reta AD.
5.3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r com os eixos coordenados. 5.4. Escreve a equação reduzida da reta s que contém A e é paralela a r.
6. A figura representa uma pirâmide uma pirâmide quadrangular regular de volume 256 cm3 e altura 12 cm.
6.1. Mostre que a aresta da base tem comprimento 8 cm.
6.2. Determina o valor exato da área da secção produzida na pirâmide pelo plano BVD.
