UNI VE RSIDADE FEDERAL DE MAT O GROSSO FACULDADE DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TECNOLOGIA COORDE NAÇÃO DE ENSI NO DE E NGENHARI A CIVIL
JAQUELINE DE PAULA SAGA GOMES
AJUSTE DE POLIGONAL FECHADA EM “LOOP” PELO MMQ COM VARIAÇÃO DAS PRECISÕES DAS OBSERVAÇÕES
CUIABÁ – MATO GROSSO 2014
JAQUELINE DE PAULA SAGA GOMES
AJUSTE DE POLIGONAL FECHADA EM “LOOP” PELO MMQ COM VARIAÇÃO DAS PRECISÕES DAS OBSERVAÇÕES
Trabalho de Graduação submetido ao Corpo Docente da Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia da UFMT como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil
Orientador: Edson Pereira Lima
Cuiabá – Mato Grosso 2014
Ficha catalográfica elaborada automaticamente de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Permitida a reprodução parcial ou total, desde que citada a fonte. G633a Paula Saga Gomes, Jaqueline de.
AJUSTE DE POLIGONAL FECHADA EM “LOOP” PELO MMQ COM VARIAÇÃO DAS PRECISÕES DAS
OBSERVAÇÕES / Jaqueline de Paula Saga Gomes. -- 2014 107 f. : il. color. ; 30 cm.
Orientadora: Edson Pereira Lima.
TCC (graduação em Engenharia Civil) - Universidade Federal de Mato Grosso, Faculdade de Arquitetura, Engenharia e
Tecnologia, Cuiabá, 2014. Inclui bibliografia.
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, pelas preocupações que passaram por minha causa, pelo amor, carinho e estímulo que me ofereceram, dedico-lhes essa conquista como gratidão.
AGRADECIMENTO
Agradeço a Deus pela força e coragem que me proporcionou durante esta longa caminhada.
Agradeço aos familiares e amigos, pelo carinho, paciência, pelas alegrias, tristezas e dores compartilhadas e pela capacidade de me trazerem paz e esperança na correria de cada semestre.
RESUMO
Este trabalho de graduação visa analisar o ajustamento de uma poligonal fechada em “loop”, localizada no campus da Universidade Federal de Mato Grosso, utilizando duas técnicas distintas para estabelecer as precisões das observações coletadas em campo. Ajustar pelo método dos mínimos quadrados as observações, determinar as coordenadas ajustadas dos pontos e comparar as suas precisões. Uma vez coletados os dados de campo, e para a verificação da qualidade dos mesmos, após o ajustamento pelo método dos mínimos quadrados usam-se as estimações por ponto onde as formulações tidas como elipse dos erros, a elipse de confiança irá permitir a verificação desta qualidade. O trabalho é concluído analisando e comparando os resultados obtidos utilizando a precisão nominal da estação total e a precisão da média das observações, verificando e sugerindo através de comparativos qual das precisões fornece um resultado mais exato.
ABSTRACT
This work aims to analyze the degree of adjustment in a closed polygonal "loop", located at the Federal University of Mato Grosso campus, using two different techniques to establish the precision of the observations collected in the field. Adjust the method of least squares the observations, determine the adjusted coordinates of points and compare their accuracy. Once collected field data, and the verification of their quality, after adjustment by the least squares method are used for the estimations point where the formulations taken as ellipse of errors, the confidence ellipse will allow verification of this quality. The work is done by analyzing and comparing the results obtained using the nominal accuracy of the total station and accuracy average of observations, checking and suggesting through comparative accuracies which provides a more accurate result.
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Gráfico de Ângulos Ajustados pelo MMQ ... 99
Gráfico 2 – Gráfico das Precisões Angulares Ajustadas pelo MMQ ... 100
Gráfico 3 - Gráfico das Distâncias Horizontais Ajustadas pelo MMQ ... 100
Gráfico 4 - Gráfico das Precisões das Distâncias Horizontais Ajustadas pelo MMQ ... 101
Gráfico 5 - Gráfico das Coordenadas Topográficas “X” Ajustadas pelo MMQ ... 101
Gráfico 6 - Gráfico da Precisão das Coordenadas Topográficas “X” Ajustadas pelo MMQ ... 102
Gráfico 7 – Gráfico das Coordenadas Topográficas “Y” Ajustadas pelo MMQ ... 102
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Definição dos elementos da elipse deo erro ou de confiança ... 26
Figura 2 - Alguns padrões das elipses de erro padrão. ... 27
Figura 3 - Estação total Topcon GTS-203... 30
Figura 4 - GPS Topcon. ... 30
Figura 5 - Distâncias, Ângulos e Azimutes no plano ... 37
Figura 6 - Procedimento esquemático de Ajustamento pelo MMQ ... 38
Figura 7 – Cálculo para o nível de significância a 1% ... 59
Figura 8 – Cálculo para o nível de significância a 5% ... 60
Figura 9 – Teste Bilateral com nível de significância a 5% ... 72
Figura 10 – Teste Unilateral com nível de significância a 5% ... 73
Figura 11 – Estatística do teste ... 78
Figura 12 – Cálculo para o nível de significância a 1% ... 82
Figura 13 – Cálculo para o nível de significância a 5% ... 82
Figura 14 – Teste bilateral para o nível de significância a 1% ... 89
Figura 15 – Teste unilateral para o nível de significância a 1% ... 90
Figura 16 – Estatística do teste ... 95
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Planilha de experimentos ... 55
Quadro 2 – Planilha de experimentos continuação ... 56
Quadro 3 – Valores observados e calculados ... 61
Quadro 4 – Coeficientes (Pontos a Vante) ... 62
Quadro 5 – Valores observados e calculados (1ª iteração)... 65
Quadro 6 – Valores de Vante ... 66
Quadro 7 – Valores observados e calculados ... 69
Quadro 8 – Valores de vante ... 69
Quadro 9 – Valores observados e calculados ... 70
Quadro 10 – Valores de Vante ... 71
Quadro 11 – Precisão Nominal ... 76
Quadro 12 – Elipses dos Erros Padrão ... 78
Quadro 13 – Elipses de confiança pontual ... 79
Quadro 14 – Valores observados e calculados ... 83
Quadro 15 – Coeficientes (Pontos a vante) ... 83
Quadro 16 – Valores observados e calculados ... 85
Quadro 17 – Valores de vante ... 85
Quadro 18 – Valores observados e calculados ... 86
Quadro 19- Valores de vante ... 87
Quadro 20 – Valores observados e calculados ... 88
Quadro 21 – Valores de vante ... 88
Quadro 22 – Precisão da média das observações ... 93
Quadro 23 – Elipses dos Erros Padrão ... 95
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 13 2 OBJETIVOS ... 14 2.1 OBJETIVO GERAL ... 14 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 14 2.3 OBJETO ... 15 2.3.1 Problema ... 15 2.3.2 Hipóteses ... 15 3 REVISÃO DE LITERATURA ... 16
3.1 AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ... 16
3.1.1 Ajustamento paramétrico ... 17
3.1.1.1 Método de ajustamento paramétrico linear ... 18
3.1.1.2 Método de ajustamento paramétrico não linear ... 19
3.1.1.3 Estimativa da precisão dos parâmetros e dos resíduos estimados ... 20
3.2 MATRIZ DOS PESOS ... 21
3.3 VETOR DAS OBSERVAÇÕES APROXIMADAS ... 21
3.4 VETOR DAS DIFERENÇAS ... 22
3.5 MATRIZ A ... 22
3.6 TESTE BILATERAL ... 22
3.7 TESTE UNILATERAL ... 23
3.8 TESTE “DATA SNOOPING” ... 24
3.9 ELIPSES DE ERRO ... 25
4 MÉTODOS E MATERIAIS ... 29
4.1 MATERIAL DE CAMPO ... 29
4.2 MATERIAL DE ESCRITÓRIO ... 30
4.3 METODOLOGIA ... 31
4.4 APLICAÇÃO DO TESTE QUI-QUADRADO DA FORMA QUADRÁTICA DO ERRO DE FECHAMENTO ... 32
4.4.1 Matrizes variância-covariância (MVC) ... 33
4.4.2 MVC das Distâncias ... 33
4.4.4 MVC das Distâncias e Azimutes ... 35
4.4.5 MVC das coordenadas do ultimo ponto ... 35
4.4.6 Aplicação final do teste ... 36
4.5 AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) ... 37
4.5.1 Modelo Matemático ... 38
4.5.1.1 Equações de observações para a distância ... 39
4.5.1.2 Equação de observação para o Azimute Aij ... 39
4.5.1.3 Equação de observação para o Azimute Aik ... 40
4.5.1.4 Equação de observação para o Ângulo akij ... 40
4.5.1.5 Equações de observações para a distância com resíduo ... 40
4.5.1.6 Equações de observações para o Ângulo com resíduo ... 42
4.5.2 Coordenadas aproximadas - parâmetros (Xo) ... 44
4.5.3 Matriz dos Peso (P) ... 44
4.5.4 Vetor das observações aproximadas (Lo) ... 45
4.5.5 Vetor dos termos independentes (L) ... 46
4.5.6 Matriz A ... 46
4.5.7 Resolução do sistema de equações de normais ... 48
4.5.8 Cálculo dos Parâmetros Ajustados ... 48
4.5.9 Cálculo do Vetor dos Resíduos (V) ... 49
4.5.10 Teste Global da Variância “a Posteriori” (ˆo2) ... 49
4.5.11 Cálculo das MVC: dos parâmetros ajustados, observações ajustadas e resíduos... 50
4.6 QUALIDADE DO AJUSTAMENTO ... 50
4.6.1 Precisão e Elipses de Erro ... 51
4.6.2 Detecção de “Outlier” e localização de erros grosseiros ... 52
4.6.2.1 Teste “Data Snooping” ... 52
5 EXPERIMENTAÇÃO E RESULTADOS ... 54
5.1 EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS COM A PRECISÃO NOMINAL DA ESTAÇÃO TOTAL ... 57
5.1.1 Teste Qui-quadrado da forma quadrática do erro de fechamento ... 57
5.1.1.1 Matriz Variância-Covariância das distâncias e ângulos ... 57
5.1.1.2 Matriz Variancia-Covariância das distancias e azimutes ... 58
5.1.1.3 Matriz Vriancia-Covariancia das coordenadas dos últimos pontos ... 58
5.1.1.4 Aplicação do teste ... 59
5.1.2 Ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados ... 60
5.1.2.1 Matriz A ... 61
5.1.2.2 Comparação da variância da unidade peso “a priori” com a variância da unidade peso “a posteriori” ... 64
5.1.2.3 Iterações ... 65
5.1.2.3.1 Primeira iteração ... 65
5.1.2.3.2 Segunda iteração ... 69
5.1.2.3.3 Terceira iteração ... 70
5.1.3 Localização de erros nas observações pelo teste “Data Snooping” de Baarda ... 77
5.1.4 Parâmetros da Elípse dos Erros e Elípse de Confiança ... 78
5.2 EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS COM A PRECISÃO DA MÉDIA DAS OBSERVAÇÕES ... 79
5.2.1.1 Matriz variância-covariância das distancias e ângulos ... 80
5.2.1.2 Matriz variância-covariancia das distancias e azimutes ... 80
5.2.1.3 Matriz variância-covariância das Coordenadas dos últimos pontos ... 81
5.2.1.4 Aplicação do teste ... 81
5.2.2 Ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados ... 83
5.2.2.1 Iterações ... 84
5.2.2.1.1 Primeira iteração ... 85
5.2.2.1.2 Segunda iteração ... 86
5.2.2.1.3 Terceira iteração ... 88
5.2.3 Localização de erros nas observações pelo teste “Data Snooping” de Baarda ... 94
5.2.4 Parâmetros da Elipse dos Erros e Elipse de Confiança ... 95
5.3 ANÁLISE CONJUNTA DOS RESULTADOS ... 97
6 CONCLUSÃO ... 104
1 INTRODUÇÃO
O trabalho visa analisar o ajustamento de uma poligonal fechada em “loop”, localizada no campus da Universidade Federal de Mato Grosso, utilizando duas técnicas distintas para estabelecer as precisões das observações coletadas em campo. Ajustar pelo método dos mínimos quadrados, MMQ, as observações, determinar as coordenadas ajustadas dos pontos e comparar as suas precisões.
Sem muito retroceder no tempo, até poucos anos, os controles de qualidade de levantamentos topográficos e geodésicos estavam baseados em expressões matemáticas documentadas na NBR 13133/1994 além de especificações de caráter pratico adotadas por técnicos da área.
Estes profissionais de topografia até então usam da compensação dos erros de distância (erro linear) e erro nos ângulos (erro angular). Esta técnica realiza inicialmente a distribuição do erro angular de fechamento entre os vértices da poligonal e prossegue distribuindo o erro linear no plano cartesiano. No entanto, tratando estes erros separadamente, haverá sempre o problema do fechamento. No ajustamento realizado pelo MMQ, os ângulos e distâncias são trabalhados em conjunto em um processo de iteração até que ocorra uma estabilização dos valores dos parâmetros, no caso as coordenadas plano-retangulares do levantamento.
Com os avanços tecnológicos, novos instrumentos cada vez mais sofisticados e precisos estão vindo suprir o mercado da geomensura percebe-se a exigência da adoção em paralelo de técnicas estatísticas apuradas para o controle de qualidade de um levantamento topográfico. Desta forma, este fato leva a uma exigência elevada da acurácia.
Uma vez coletados os dados de campo, e para a verificação da qualidade dos mesmos, após o ajustamento pelo método dos mínimos quadrados usam-se as estimações por ponto onde as formulações tidas como elipse dos erros, a elipse de confiança irá permitir a verificação desta qualidade.
2 OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GERAL
Ajustar pelo método dos mínimos quadrados as coordenadas (XY) dos vértices de uma poligonal fechada em “loop”, considerando as precisões, nominais da estação total e as precisões obtidas por repetições na mensuração dos ângulos e distâncias avaliando a precisão dos parâmetros ajustados.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
São os seguintes:
a) materializar com marco identificável na área de estudo as coordenadas planialtimétricas de dois pontos referenciados a uma única origem (Sistema Geodésico Brasileiro – SGB) com uso de GPS, sendo que, um dos pontos será integrante da poligonal fechada e usado como ponto de controle;
b) processar as observações coletadas da poligonal (Ângulos e distâncias) considerando suas precisões, referenciadas as repetições de leituras e às máximas estipuladas pelo fabricante da estação total a ser utilizada na coleta de dados;
c) realizar um controle de pré-ajustamento, utilizando o teste qui-quadrado da forma quadrática do erro de fechamento para verificar a aceitação ou não das observações coletadas;
d) realizar o ajustamento das observações pela técnica do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) na forma paramétrica;
e) adotar duas matrizes distintas de Peso no ajustamento das observações. Uma considerando os elementos de peso como sendo o inverso das precisões obtidas por repetições das observações, e a outra o inverso das precisões nominais da estação total;
f) verificar a qualidade do levantamento topográfico após o ajustamento através das estimações por ponto das elipses, dos erros e de confiança e
g) a partir dos valores das precisões ajustadas para as coordenadas dos pontos da poligonal, proceder a uma análise de diferença entre elas e comparar os resultados obtidos.
2.3 OBJETO
2.3.1 Problema
De que maneira é possível obter parâmetros ajustados, coordenadas retangulares (XY), de uma poligonal fechada percorrida em “loop” com precisão, aplicando as técnicas do Método dos Mínimos Quadrados na sua forma paramétrica?
2.3.2 Hipóteses
São as seguintes:
a) as precisões médias das observações obtidas por repetições quando vinculadas ao processo de ajustamento pelo MMQ proporciona parâmetros ajustados com maior precisão;
b) se o erro de fechamento testado no pre-ajustamento passar no teste qui-quadrado da forma quadrática do erro de fechamento, não serão necessários, caso precise, mais do que três iterações para obter um bom ajuste;
c) trabalhando com as precisões das observações obtidas por repetições, chegam-se aos parâmetros ajustados cujas precisões serão melhores do que às máximas estabelecidas para estação total e
d) os semi-eixos das elipses de confiança apresentam maiores dimensões nos pontos mais afastados do ponto de controle.
3 REVISÃO DE LITERATURA
Na sequencia desse trabalho, será apresentada de forma cronológica tópicos relativos ao tema da pesquisa que será desenvolvida.
3.1 AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Utilizando as equações de observação expressas por variação de coordenadas, o ajustamento pelo método dos mínimos quadrados permite obter coordenadas finais dos vértices mediante as correções dxi e dyi que são adicionadas as coordenadas provisórias.
Segundo Mikhail e Ackermann (1976), Leick (1995, 2004), o modelo matemático funcional é um componente importante do ajustamento por mínimos quadrados.
No modelo matemático, de acordo com Leick (2004) são descritas matematicamente as relações entre observações e parâmetros. A realidade física existente é expressa de maneira simplificada. Coordenadas e alturas são consideradas como parâmetros. As distâncias e ângulos, as diferenças de coordenadas ou de alturas são consideradas como observações.
De acordo com Krakiwsky (1975) e Leick (2004), são três os modelos matemáticos de ajustamento: F(Xa,La) = 0, F(La) = 0 e La = F(Xa), que correspondem respectivamente ao
método de ajustamento combinado, correlato e paramétrico, que serão sucintamente demonstrados, com exceção do paramétrico que será utilizado neste trabalho.
No método de ajustamento combinado, uma função não explícita relaciona as observações e os parâmetros, no sistema de equações não é possível isolar os parâmetros dos valores observados: 0 ) , (Xa La F (1) onde:
a: indicação de que os parâmetros e observações são ajustados; La: um vetor (nx1) das observações ajustadas;
Xa (ux1): é um vetor que contém os parâmetros ajustados;
n: número de observações; u : número de parâmetros.
As observações ajustadas pelo método de ajustamento correlato são ligadas por N equações de condição, onde só aparecem valores medidos, que são os valores observados ajustados (incógnitas) e nenhum parâmetro:
0 ) (La
F (2) No método das equações de observações ou método de ajustamento paramétrico, os valores observados ajustados são expressos como função dos parâmetros ajustados:
) ( a
a F X
L (3) Gemael (1994) descreve técnicas matemáticas desenvolvidas por Gauss e Legendre que adotam como melhor estimativa de uma grandeza X (valor verdadeiro), aquela que a soma dos quadrados dos resíduos seja mínima:
mínimo V
VT
(4) Uma matriz quadrada de pesos é adicionada a equação, pois as observações não apresentam o mesmo grau de confiança. Dessa maneira a Equação (4) se expressa pela Equação (5): mínimo V P VT (5) onde:
V: vetor dos resíduos das observações;
P : matriz dos pesos;
3.1.1 Ajustamento paramétrico
Considerando a necessidade de se obter uma estimativa única para os parâmetros, coordenadas de uma poligonal fechada, bem como suas precisões, será utilizado o método dos mínimos quadrados sob a forma de um ajuste paramétrico para o ajustamento das observações.
Segundo Dalmolin (2004) o método paramétrico pode ser linear ou não linear, essa determinação dependerá da função F. Será paramétrico linear se F for linear, caso contrário, será não linear.
3.1.1.1 Método de ajustamento paramétrico linear
Sendo linear o funcional F da equação La F(Xa), as observações ajustadas serão expressas da seguinte maneira:
a u u n a nL1 A X1 (6) onde: a
nL1: vetor (nx1) dos valores observados ajustados, onde n é o número de observações;
u
nA : matriz dos coeficientes das incógnitas ou matriz projeto de dimensão (n x u);
a
uX1 : vetor (u x 1) dos parâmetros ajustados.
A Equação (6) é inconsistente devido aos inevitáveis erros de observação que acontecem pela disposição somente de observações brutas e pela inexistência, “a priori”, dos valores observados ajustados. Devido a essa inconsistência, é introduzido um vetor de discrepâncias entre os valores observados e ajustados, denominado vetor dos resíduos. Acrescentando o vetor dos resíduos na Equação (6) temos:
a u u n n b nL1 V1 A X1 (7) ou: b n a u u n nV1 A X1 L1 (8)
Desenvolvendo o procedimento acima, a inconsistência será retirada, porém surge um novo problema, pois a nova Equação (7) ou (8) contém mais incógnitas (u + n > n) do que observações (n). Aplica-se a Equação (5), do critério de mínimos quadrados, na Equação (8) para contornar o problema. O resultado encontrado dessa aplicação é o sistema de equações normais, Equação (9), que tem como solução admitindo inversa ordinária a Equação (10) em que os parâmetros ajustados são fornecidos diretamente do paramétrico linear.
1 1 1 n u0 u u uN X U (9) b n n n T u n u n n n T u n a u X A P A A P L1 1 1 (( ) ) ( ) (10) onde:
u uN =
1
) )
((nAu TnPnnAu : matriz dos coeficientes das equações normais; 1 U n b n n n T u nA ) P L1
( : vetor dos termos independentes;
a
uX1 : vetor dos parâmetros ajustados no caso do modelo funcional ser linear.
A expressão da matriz simétrica dos pesos, indicando as flutuações probabilísticas das observações, é: 1 2 0 LB P (11) onde: 2 0
: fator de variância “a priori”, geralmente arbitrado e igualado a 1;
1
Lb: MVC das observações.
A variância “a priori”, segundo Gemael (1994), não tem influencia no vetor solução dos parâmetros estimados na matriz dos coeficientes das equações normais N.
É necessário o conhecimento da matriz das derivadas parciais das equações de observações em relação aos parâmetros para estimar o vetor dos parâmetros ajustados da Equação (10).
Utilizando os valores da Equação (10) na Equação (8), é possível calcular os valores dos resíduos. Dessa forma, os valores das observações ajustadas são:
1 1
1 L V
La n b n
n (12)
3.1.1.2 Método de ajustamento paramétrico não linear
É necessário linearizar o modelo matemático funcional F de La = F(Xa) quando ele é
não linear. Para linearizar o modelo funcional, emprega-se a fórmula de Taylor, dessa maneira as aproximações são introduzidas e as iterações são requeridas tornando o modelo linearizado da seguinte forma: 1 0 1 1 1 V L A X Lb n n n uu n (13) ) ( 01 1 1 1 b n n u u n nV A X L L (14) onde:
L0: é o vetor (nx1) das observações aproximadas, calculadas a partir dos parâmetros
aproximados, ou seja, L0 = F(X0);
L: é o vetor dos termos independentes (nx1), ou discrepâncias, calculados a partir dos valores dos parâmetros observados menos os valores observados aproximados sendo dado por
) ( 10 1 1 b n n nL L L ;
uδX1: é o vetor das correções a serem aplicadas aos parâmetros aproximados.
O vetor solução uδX1 (correções aos parâmetros aproximados), considerando ATPA, é
dado pela equação abaixo:
L P A A P A X n uT n n n u n uT n n n u 1 1 ( ) (15) É possível obter as coordenadas ajustadas pela equação abaixo:
1 0 1 1 X X Xa u u u (16)
Pode-se obter o vetor observações ajustadas e dos resíduos com as Equações (13) e (14) respectivamente.
3.1.1.3 Estimativa da precisão dos parâmetros e dos resíduos estimados
É possível obter as estimativas da qualidade dos parâmetros estimados, das observações, e dos resíduos por meio da MVC.
Segundo Lugnani (1983) e Dalmolin (2004) pode-se obter a representação (X,∑x) dos
parâmetros e sua precisão a partir da utilização do método paramétrico, onde mede-se Lb e
estima-se ∑x.
Pode-se gerar a MVC das correções aos parâmetros ajustados Equação (17) aplicando-se a lei de propagação de covariâncias na Equação (16). De acordo com Wells (1971), Mikhail (1976), Leick (1995), Leick (2004), Gemael (1994) e Dalmolin (2004) essas correções são constantes, então a mesma equação pode fornecer a MVC dos parâmetros estimados. 1 2 0 Xa N (17) A MVC dos valores observados ajustados é dada pela Equação (18) abaixo:
T La AN A 1 2 0 (18)
A MVC dos resíduos das observações é dada pela Equação (19) abaixo:
La Lb
V
(19)
Pela equação expressa abaixo pode-se obter a variância “a posteriori”:
u n PV VT 2 0 (20) onde:
n − u: Nº de graus de liberdade do sistema de equações.
3.2 MATRIZ DOS PESOS
Para montar a matriz dos pesos dada pela Equação (11), é necessário que sejam conhecidas as precisões com que foram obtidas as observações (ângulos e distâncias).
Considerando que não existem correlações entre as observações, a matriz será trabalhada de maneira diagonal.
O fator de variância “a posteriori”, ou o sigma zero “a priori” 02 pode ser arbitrário, geralmente ele é considerado com o valor igual à unidade. A MVC das observações é formada de acordo com os valores da precisão de cada observação e caso haja correlação entre as observações, sendo a variância e covariância respectivamente.
3.3 VETOR DAS OBSERVAÇÕES APROXIMADAS
Partindo de estações genéricas (k, i, j), cujo o ponto (i) considera-se um ponto de instalação do instrumento medidor de ângulos e distâncias, (k) um ponto situado atrás e (j) um ponto situado a frente, pode-se trabalhar as equações de observações necessárias ao MMQ. Desta forma, (Sik) caracteriza a distância do ponto de instalação (i) ao ponto situado atrás (k) e
(Sij), a distância do ponto de instalação (i) ao ponto situado a frente (j). O ângulo horizontal
horário formado entre os três pontos (kij) é obtido pela diferença entre o azimute a vante (Aij)
e o azimute atrás (Aik)
Assim, para determinar o vetor das observações aproximadas expresso pela Equação (3) é necessário substituir os vetores aproximados obtidos Xa pelo método dos mínimos
i k i k j j ik ij kij Y Y X X a Yi Y Xi X a Az Az tan tan (21) ij ij ij Y X a Az tan e ik ik ik Y X a Az tan (22)
2 1 2 2 i j i j ij X X Y Y d e
2 1 2 2 i k i k ik X X Y Y d (23)3.4 VETOR DAS DIFERENÇAS
L é o vetor dos termos independentes (nx1), ou discrepâncias, calculados a partir dos valores dos parâmetros observados menos os valores observados aproximados sendo dado por: ) ( 10 1 1 b n n nL L L (24) 3.5 MATRIZ A
Chamamos de matriz A (n x u) a matriz das derivadas parciais da função F, ou seja, a matriz A é montada a partir das derivadas parciais das equações de observações em relação aos parâmetros ajustados no ponto aproximado. É expressa pela Equação (25):
0 X Xa a X F A . (25) 3.6 TESTE BILATERAL
Na aplicação do teste bilateral, primeiramente são estabelecidas a hipótese básica ou nula (H0) e a hipótese alternativa (Ha):
2 0 2 0 0 ˆ H (26) 2 0 2 0 ˆ a H (27) A comparação entre 2 o e ˆ2 o
se baseia no fato de que a forma quadrática VTPV tem distribuição 2 com (gl = n – u) graus de liberdade e tem por finalidade verificar se
estatisticamente o2 é igual a ˆo2, esta última é obtida do ajustamento. Assim a estatística 2 é calculada por: gl c 2 0 2 0 2 ˆ , como gl PV VT 2 0 ˆ , 2 0 2 c VTPV (28)
Com o auxílio de uma tabela de distribuição qui-quadrado é possível determinar os valores teóricos. É necessário entrar com o número do grau de liberdade (gl) e o nível de significância () chegando na Equação (29).
Se o nível de significância () estiver dentro do intervalo representado da Equação (29), a hipótese básica não é rejeitada:
2 2 1 , 2 2 2 , gl c gl (29)
Se o nível de significância () estiver fora do intervalo de confiança dado pela Equação (29), a hipótese básica é rejeitada e acabamos por aceitar a hipótese alternativa.
Nos casos em que a hipótese básica é rejeitada significa que o ajustamento apresenta problemas e as possíveis causas desses problemas devem ser investigadas.
3.7 TESTE UNILATERAL
Na aplicação do teste unilateral, presume-se que quando o teste global é usado para detectar “outliers” a variância “a posteriori” é maior que a variância “a priori”. Sendo assim, as hipóteses a serem testadas são as seguintes:
2 0 2 0 0 ˆ H (30) 2 0 2 0 ˆ Ha (31)
É necessário calcular a estatística do teste pela Equação (29) que também é utilizada no cálculo do teste bilateral.
Se com o nível de significância () a Equação (32) for atendida, a hipótese básica não é rejeitada: gl gl calc 2 1 . 2 (32)
De acordo com Kuang (1996), nos casos em que uma estimativa imprópria da matriz variância-covariância resultar na rejeição da hipótese zero H0, deve-se analisar os resíduos,
pois eles obedecem a uma função de distribuição normal, com tendência de média igual a zero, para detectar um possível erro, observa-se se alguma das observações produziu resíduos excessivos.
Caso o teste global seja rejeitado e os resíduos se mostrarem compatíveis com a precisão dos equipamentos utilizados nas medições, propõe-se uma nova matriz variância-covariância, pois o motivo da rejeição pode ser pela estimativa não correta da precisão das observações. Lb Lb ˆ ˆ02. (33) onde: Lb
ˆ : matriz variância-covariância das observações escalonadas.
Os testes “data snooping” de Baarda e o teste Tau de Pope são comumente aplicados para localizar, detectar e eliminar os erros grosseiros (“outliers”). Nesse trabalho será abordado somente o teste “data snooping” de Barda para a localização de erros grosseiros.
3.8 TESTE “DATA SNOOPING”
Baarda (1968) propôs o teste global para a detecção de “outliers” e o teste “data
snooping” para a localização de erros grosseiros.
O teste “data snooping” de Baarda consiste de um teste unidimensional que examina apenas um resíduo de cada vez, o procedimento é repetido tantas vezes quantas fores as observações, é utilizado para localizar as observações que possam estar abrigando erros, o teste estabelece valores limite para aceitação das observações, a partir dos dados obtidos na matriz variância-covariância dos resíduos.
A estatística do teste é: i l i i r v w 1 (34) onde:
ri é a redundância parcial que se obtém da diagonal da matriz.
A matriz R de redundâncias é expressa pela equação abaixo:
P R 2 V ˆ 1 (35) onde: V : é a MVC dos resíduos;
P: é a matriz dos Pesos.
A MVC dos resíduos é dada pela Equação abaixo:
La V P 2 1 0. ˆ (36) A média matemática esperada é zero e variância igual a 1 dos resíduos normalizados que se ajustam a função de distribuição normal reduzida. Portanto, outra hipótese nula mais específica é proposta abaixo:
) 1 , 0 ( ~ : 0 w n H i (37) onde:
n(0,1): é a distribuição de densidade normal reduzida.
No teste bilateral que tem um nível de significância pré-definido a, a hipótese nula H0 será rejeitada, ou seja, um “outlier” será detectado, se:
2 0 n wi ou 2 10 n wi (38)
Nos casos em que os valores das observações que apresentarem valores excedidos aos calculados no teste, deve-se revisar os valores ou as medições devem ser repetidas.
3.9 ELIPSES DE ERRO
De acordo com Shofield e Breach (1972), a elipse de erro é uma expressão gráfica conveniente da incerteza posicional de um ponto, e sendo absoluta acaba por fornecer a medida de incerteza relativa do ponto analisado em relação ao ponto fixo da rede.
Oferecer subsídios para realização de comparações de maneira visual da precisão relativa das estações é a maior vantagem da elipse para Ghilani e Wolf (2006).
Para Ghilani e Wolf (2006), pode-se comparar de maneira rápida e significativa a visualização da forma, tamanho e orientação da elipse de vários levantamentos. Segundo Leick (2004), através da matriz projeto e da matriz peso a forma da elipse padrão pode variar, dependendo da geometria da rede e a interpretação geométrica pode ser avaliada se a rede e as elipses forem apresentadas em conjunto.
A elipse de erro pode ser visualizada nas figuras abaixo:
Figura 1 - Definição dos elementos da elipse deo erro ou de confiança
Figura 2 - Alguns padrões das elipses de erro padrão.
Fonte: Mikhail e Gracie (1981)
A elipse de erro em sua forma padrão possui uma região de confiança de 39,4% de probabilidade em que a posição estimada para o ponto esteja dentro da elipse, centrada na “posição verdadeira” e a sua construção pode ser feita calculando-se os elementos (semi-eixos maior e menor e orientação) a partir dos dados constantes na matriz variância-covariância dos parâmetros ajustados XX . Segundo Gemael (1994), para obtenção de uma região de probabilidade de 95%, basta multiplicar o semi-eixo maior (a) e menor (b) por um fator de 2,477. 2 2 1 2 0 1 2 0 ˆ .( ) ˆ y yx xy x T XX N A PA (39) onde: XX
2 0
ˆ
: variância “a posteriori”;
A: matriz dos coeficientes das equações de observação; P: matriz dos pesos das observações;
1
)
(ATPA : matriz co-fatores da matriz variância-covariância das coordenadas ajustadas;
2 2
, y
x
: variância das coordenadas ajustadas X e Y, respectivamente;
xy
: covariância x, y;
Os parâmetros x,yexy, que são respectivamente o desvio padrão da coordenada estimada x, desvio padrão da coordenada estimada y e covariância entre elas, determinam o tamanho, a forma e a orientação das elipses dos erros padrão ().
A correlação entre x e y determina a orientação da elipse em relação ao eixo x e y, se elas não forem correlacionadas, a elipse se torna paralela ao eixo x e y e se as duas coordenadas x e y tiverem a mesma precisão, a elipse degenera-se em um círculo.
É necessária a análise de quadrante para calcular a orientação da elipse. A expressão do ângulo crítico é:
2 2
2 2 Y X XY tg (40)Os pontos críticos, que são as raízes da Equação (40) são
e 90º. O que significa que as variâncias máxima e mínima estão em eixos ortogonais.Os semi-eixos a e b da elipse dos erros são calculados por:
2 max X a (41) 2 max Y b (42)
4 MÉTODOS E MATERIAIS
O trabalho será conduzido no campus Cuiabá da Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT), cidade de Cuiabá-MT, em uma área próxima ao estacionamento do Departamento de Engenharia Sanitária e Ambiental (DESA). Para isto será delimitada uma poligonal fechada de 5 pontos. Serão a principio materializados dois marcos com coordenadas geodésicas determinadas com GPS (Topcon), Base & Rover, cujos dados serão processados com a RBMC Cuiabá utilizando o software Topcon Tools, gerando coordenadas seguras de 2 pontos na área de estudo. Destes pontos, um será usado como ponto de controle, para o qual será estabelecidas coordenadas topográficas, bem como o azimute verdadeiro do alinhamento inicial (AZv1-2).
O marco Nº 1 será materializado em cilindro de concreto a 30 cm do solo, assim como o marco Nº 2. Os demais vértices da poligonal serão materializados com piquetes de madeira localizados ao nível do solo.
A relação de materiais a serem utilizados neste trabalho irá constar-se de equipamentos de campo e escritório.
4.1 MATERIAL DE CAMPO
Os materiais são os seguintes:
a) estação total marca GTS-203 (Figura 3), de fabricação Topcon, objetiva com medição eletrônica da distância de raio infravermelho, visor, teclado, dispositivo de ajuste, nível de bolha circular e tubular e prumo óptico;
Figura 3 - Estação total Topcon GTS-203.
b) prisma refletor e bastão com nível de bolha; c) tripé com base nivelante;
d) bipé e
e) GPS Topcon (Base & Rover), Figura 4.
Figura 4 - GPS Topcon.
4.2 MATERIAL DE ESCRITÓRIO
Os materiais são os seguintes: a) Hardware:
- impressora laser; b) Software:
- Topcon Tolls. Para processamento dos dados de GPS;
- DMAG2010. Para determinação da convergência meridiana e declinação magnética;
- MAPGEO. Para transformação de coordenadas geodésica – UTM – coordenadas topográficas;
- pacote de programas Office 2010 da Microsoft;
- Mathcad 15, versão Demo. Para as análises matemáticas e - Autocad 2012. Para desenho da área levantada.
4.3 METODOLOGIA
O levantamento topográfico planimétrico será realizado com estação total pelo método do caminhamento perimétrico ou poligonação a ser realizado no sentido anti-horário com medição de leitura digital dos ângulos internos ao polígono e distâncias eletrônicas dos lados do polígono. Para a poligonal a ser levantada, o ponto 1 da mesma será usado como ponto de controle, cujas as coordenadas (XY) e o azimute verdadeiro do ponto 1 para o ponto 2 (AZv 1-2) serão inicialmente fixadas. Portanto, no total serão levantadas 10 observações, sendo 5
ângulos horizontais horários. Já as observações de distâncias horizontais totalizam 5. Deste modo ao ser considerado os ângulos horizontais horários (5) e as distâncias horizontais (5), terá um total de 10 observações (n).
Como as coordenadas do ponto 1 serviram como ponto de controle, estas não serão ajustadas, ou seja, o número de incógnitas (parâmetros) a serem determinados, serão as coordenadas X e Y dos 4 pontos restantes da poligonal, totalizando 8 parâmetros ou seja (u = 8). Assim o número de graus de liberdade (GL) será igual a 2 sendo obtido pela Equação (43):
GL n u (43)
Para minimizar os erros de índice vertical e colimação do ângulo horizontal serão realizadas três séries de medições. Com a posição direta e invertida da luneta, para análises do índice vertical, e três séries de ângulos duplos para a análise da colimação dos ângulos horizontais.
As medições das distâncias, inclinadas/horizontais, também serão realizadas através de três series, considerando a posição direta e invertida da luneta.
Para todas as observações coletadas, irá trabalhar com os valores médios. E para estes valores determinaram-se também suas respectivas precisões.
Com as medições efetuadas a campo, serão determinados os erros de fechamento da poligonal os quais serão comparados com os limites de tolerância ou desvio padrão máximos permitidos para ângulos e distâncias, segundo as especificações técnicas da estação total utilizada. De acordo com o fabricante tem-se:
a) Desvio padrão para a medição de ângulos: 10”; e b) Desvio padrão da medição de distância: 5mm + 5ppm.
Uma vez que os erros de fechamentos estejam abaixo dos limites de tolerâncias estabelecidos, irá proceder-se com a compensação dos erros de ângulos (erro angular) e nas distâncias (erro linear). Na compensação será realizado em primeiro lugar a distribuição do erro angular de fechamento e a seguir será distribuído o erro linear expresso no plano cartesiano. Uma vez compensados os erros, chegam-se as coordenadas provisórias (X,Y).
Para estabelecer o controle de aceitação do erro de fechamento da poligonal, será aplicado o teste qui-quadrado do erro de fechamento, utilizando desta etapa em diante o software Mathcad 15 (Versão Demo) para deduções matemáticas e Excel para processar os dados.
4.4 APLICAÇÃO DO TESTE QUI-QUADRADO DA FORMA QUADRÁTICA DO ERRO DE FECHAMENTO
Os dados necessários para a aplicação deste teste são:
a) ângulos horários internos de cada vértice da poligonal (akij) ;
b) distâncias observadas entre os vértices da poligonal (Sij);
c) desvio padrão (a) máximo para erro angular de cada observação, obtido das especificações do instrumento e desvio padrão considerando a média das observações;
d) desvio padrão (s ) máximo para erro linear de cada observação, obtido das especificações do instrumento e desvio padrão considerando a média das observações;
e) azimute provisório (Aij) com o norte verdadeiro;
f) coordenadas provisórias (XY) obtidas com os dados de campo; g) erro de fechamento em coordenadas X ( x) e em Y ( y) e h) variância do ângulo (a2) e da distância (S2).
4.4.1 Matrizes variância-covariância (MVC)
O propósito deste trabalho é ajustar as coordenadas (XY), logo tem-se uma variável aleatória bidimensional, sendo que as componentes ‘X’ e ‘Y’ se consideradas isoladamente, são variáveis unidimensionais com variância própria.
As variâncias i2 e as covariâncias ij, (i ≠ j), das componentes de uma variável n-dimensional podem ser dispostas de modo a formar uma matriz quadrada (n x n) designada por , onde: 22 2 11 12 1 2 21 2 2 1 2 n n n n nn (44)
Como as componentes da matriz são independentes entre si, as covariâncias serão nulas e irá degenerar para uma matriz diagonal.
4.4.2 MVC das Distâncias
Será obtida usando a variância especifica da estação total, elevando o desvio padrão ao quadrado. 12 23 , 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 p p S S Sij S (45)
4.4.3 MVC dos Azimutes
Obtida por meio da lei de propagação das covariâncias:
T
A G a G
(46)
onde:
G: matriz das derivadas parciais da função Aij = f(ai)
12 12 12 1 2 23 23 23 1 2 1 , 1 , 1 , 1 1 2 ; 1,2, , ; 1,2, , p ij p p p p p p p p A A A a a a A A A A a a a G i p j p a A A A a a a (47)
Aij: Azimute entre o vértice ocupado (i) pela estação total e o ponto visado (j), sendo:
1 ( 1) 180 ; 1,2, , ; 1 i ij o kij j A A a i i p j i
(48) sendo:akij: o ângulo horizontal horário observado em cada estação e Ao o azimute verdadeiro do
primeiro alinhamento da poligonal (AZv1-2).
a
: MVC dos ângulos horizontais, cujos componentes são as variâncias obtidas das especificações da estação total.
Ao efetuar o cálculo das derivadas parciais dos azimutes em relação aos ângulos horários será obtida uma matriz quadrada, triangular inferior e adimensional (G).
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 G (49)
Como as medidas angulares serão obtidas pelo mesmo equipamento, as componentes da matriz (a), diagonal, terão o mesmo valor (quadrado do desvio padrão máximo para o erro angular) de acordo com as especificações da estação total.
4.4.4 MVC das Distâncias e Azimutes
Será composta pela junção das MVC das distâncias e MVC dos azimutes, resultando em uma matriz quadrada:
, 0 0 S S A A (50)
4.4.5 MVC das coordenadas do ultimo ponto
Novamente aplicando-se a lei de propagação das covariâncias para as coordenadas do último ponto, tem-se:
, ,
T
X Y D S A D
(51)
onde:
D: Matriz das derivadas parciais das funções de (X,Y) em relação a distância (Sij) e ângulo
(akij), representadas abaixo.
1 1 1 1 1 1 ( ) 1,2, , 1 cos( ) p p ij ij i p p ij ij i X X S sen A para i p e j i Y Y S A
(52)Derivando as funções acima terá:
12 23 1 12 12 23 23 1 1
2
12 23 1 12 12 23 23 1 1
1 1 1
cos cos cos
1 1 1
cos cos cos
p p p
n
p p p
senA senA senA S A S A S A
D
A A A S senA S senA S senA
(53)
Uma vez que se tem a necessidade de transformar os valores dados em radianos para segundos de arco, será introduzido em (2Dn) o fator de multiplicação (ρ) sendo o mesmo ρ
(“/rad) = 648000/π. Nesta matriz, com já especificado o índice (n) é igual ao número de observações, logo: 2 , 2 X XY X Y YX Y (54)
4.4.6 Aplicação final do teste
A poligonal será aceita caso o valor de qui-quadrado calculado (χ2cal) esteja dentro do
intervalo dos valores da distribuição de probabilidade qui-quadrado tabelado (valores críticos), conforme especificação abaixo.
2 2 2
. .;0,5 . .;1 0,5
G L Calc G L
(55)
Os valores críticos de (χ 2) serão obtidos para um nível de significância adotado (α = 1%) e para o número de graus de liberdade (GL) estabelecido.
Por sua vez o (χ 2cal) será determinado através da expressão abaixo.
1 2 , T Cal E X YE
(56) O termo ( X Y1, ) da Equação acima é a inversa da MVC das coordenadas do último
ponto e (E) o vetor dos erros de fechamento em abscissa x (εx) e ordenada y (εy).
x E y (57)
Os valores de (εx) e (εy) podem ser expressos como segue.
ˆ ˆ x y Y y x X (58)
Os valores de X e Y são as coordenadas fixas do último ponto da poligonal, enquanto
ˆx e ˆy são as coordenadas provisórias do último ponto da poligonal, obtida com os valores observados.
4.5 AJUSTAMENTO PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)
Será aplicado no ajuste da poligonal fechada no plano topográfico, o modelo paramétrico do MMQ com equações de observação desenvolvidas por variação de coordenadas. No modelo funcional do ajustamento paramétrico por variação de coordenadas, cada observação (medição) do levantamento corresponde uma equação de observação, com diferentes aspectos de acordo com a natureza da grandeza observada.
No ajustamento a ser realizado, ocorrem equações relativas a distâncias, azimutes e ângulos. No entanto, cada equação de observação irá possuir como incógnitas as correções das coordenadas aproximadas dos pontos envolvidos e as discrepâncias entre os valores observados e calculados a partir das coordenadas aproximadas de cada grandeza observada. As equações de observações do levantamento são não lineares, o que torna necessário linearizá-las por série de Taylor. As observações diretas serão os ângulos horários e distâncias obtidas no levantamento topográfico planimétrico e os parâmetros, valores indiretos, serão as coordenadas cartesianas (XY). A Figura 3 representa as observações que serão trabalhadas em uma formulação matemática inicial (1ª Dedução).
Figura 5 - Distâncias, Ângulos e Azimutes no plano
Fonte: Adaptado de Moraes (1997, p.27)
Estando a poligonal aceita após aplicação do pré-ajustamento, para realização do ajustamento pelo MMQ - caso Paramétrico será estabelecido um itinerário composto de 11 passos, representados na Figura 6.
Figura 6 - Procedimento esquemático de Ajustamento pelo MMQ
4.5.1 Modelo Matemático
No 1º passo: determinar as equações matemáticas de observações que envolvem os parâmetros:
Figura 17 – Processo de ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados - MMQ
Detecção, localização e Eliminação de “Outliers” Cálculo das MVC Testes: Falharam
Testes: ok! Teste Unilateral Teste Bilateral Observações Aproximadas Lo = F(Xo) Parâmetros Observados (Xo) 2ª Dedução Forma Matricial
Sij — Aij — akij 1ª Dedução
Equação de: Sij — Aij — akij
Observações Ajustadas Parâmetros Ajustados Resíduos 9º Passo Parâmetros Ajustados Xo = Xa Se X<0,0001 Se X>0,0001 Parâmetros Ajustados Xa = X +Xo Vetor das Correções X=-N-1U Vetor das Diferenças L = Lo -Lb Modelo Matemático La = F(Xa) 1º Passo 2º Passo 3º Passo Matriz dos Pesos
4º Passo 5º Passo 6º Passo 7º Passo Matriz A 8º Passo Vetor dos Resíduos V = AX + L 10º Passo Teste de Hipótese 11º Passo Precisões 1ª Dedução 2ª Dedução Precisão e Elipse dos Erros
e de confiança
Teste Data Snooping
( )
a a
L F X (59) ( Onde (La) representa o vetor das observações ajustadas e (Xa) são os parâmetros
ajustados.
4.5.1.1 Equações de observações para a distância
A equação de observação da distância Sij é dada por:
2 2 2
( ) ( )
ij j i j i
S X X Y Y (60) (
Aplicando-se a diferencial na Equação acima, terá:
c o i ij i ij i ij j ij j ij ij Sij f k dx L dy k dx L dy S S V (61) ( onde: cos ij ij ij ij k senA L A (62) (
4.5.1.2 Equação de observação para o Azimute Aij
A Equação para o azimute será dada por:
tan ij j i j i X X A Y Y (63) (
Diferenciando a equação acima, terá:
" " " c o ij ij i ij j ij i ij j ij ij Aij f P dx P dx Q dy Q dy A A V (64) ( onde:
648000 cos 648000 ij ij ij ij ij ij P A S Q senA S (65)
4.5.1.3 Equação de observação para o Azimute Aik
A Equação para o azimute será dada por:
tan k i ik k i X X A Y Y (66)
Diferenciando a equação acima, terá:
" " " c o ik ik i ik k ik i ik k ik ik Aik f P dx P dx Q dy Q dy A A V (67) Onde, 648000 cos 648000 ik ik ik ik ik ik P A S Q senA S (68)
4.5.1.4 Equação de observação para o Ângulo akij
Esta equação será obtida pela diferença entre as Equações (64) e (67) e será expressa na Equação (69).
" " "
( ) ( )
kij ik k ik k ik ij i ij ik i ij j ij j
c o
jik jik ajik
f P dx Q dy P P dx Q Q dy P dx Q dy
a a V
(69)
4.5.1.5 Equações de observações para a distância com resíduo
Iniciando-se com a 2ª Dedução pode-se observar a Figura 7 que mostra o esquema geométrico para a determinação da distância observada e resíduo vinculado a mesma, que pode ser positivo ou negativo.
Figura 7 - Distância observada
Fonte: Adaptado de Moraes (1997, p.24)
Considerando o comprimento observado de cada linha (Soij) e o resíduo da observação
(VSij), Equação (70), será elaborada uma equação para cada lado da poligonal.
2 2
(Sijo VSij) (Xj Xi) (Yj Yi) (70)
Com as coordenadas provisórias dos vértices ( o, o, o, o)
i i j j
X Y X Y e suas respectivas correções (dxi, dyi, dxj, dyj), valores incógnitos, que serão adicionados às coordenadas
provisórias para obter as coordenadas finais ajustadas, será obtido através da derivada parcial da função representativa da distância observada em relação às coordenadas provisórias dos vértices, a Equação de observação para a distância como representado abaixo.
( io jo) ( io jo) ( oj io) ( jo io) i i j j o o o o ij ij ij ij c o ij ij Sij X X Y Y X X Y Y dx dy dx dy S S S S S S V (71)
Considerando a representação matricial a equação acima pode ser representada como:
1 1 1
nAuuX nL nV (72)
Onde (A) é a matriz das derivadas parciais da Função (F) em relação aos Parâmetros aproximados (Xa).
1 ( ) ( ) ( ) ( ) o i o o o o o o o o i j i j J I J I n u a o o o o ij ij ij ij X X X Y Y X X Y Y F A X S S S S (73)
O vetor das incógnitas será representado por:
1 i i u j j dx dy X dx dy (74)
O vetor dos termos independentes das equações de observações de distância por:
1
c o
nL Sij Sij (75)
E o vetor dos resíduos das distâncias observadas por:
1
nV VSij (76)
4.5.1.6 Equações de observações para o Ângulo com resíduo
Dando sequência com a 2ª Dedução, a Figura 8 mostra o esquema geométrico para a determinação do ângulo observado e o resíduo vinculado ao mesmo.
Figura 8 – Ângulo observado
O ângulo formado por dois alinhamentos ij e ik com vértice em i envolve 3 vértices i, j e k e pode ser expresso por:
arctan j i arctan k i kij j i k i Y Y Y Y a X X X X (77) (
Que corresponde a equação de observação de ângulo, linearizada por Taylor:
2 2 2 2 2 2 2 2 o o o o o o o o i j i k i k i k k k i o o o o ik ik ij ik o o o o o o o o j i k i j i i j c i j i kij o o o o ij ik ij ij o kij kij Y Y Y Y X X Y Y dx dy dx S S S S X X X X Y Y X Y dy dx dy a S S S S a Va (78) (Nesta expressão os ângulos e resíduos são medidos em radianos e para converter em segundos de arco, os coeficientes das incógnitas serão multiplicados por ρ(“/rad) = 648000/π.
Matricialmente, a expressão acima pode ser expressa por:
1 1 1
nAuuX nL nV (79)
Onde (nAu) é a matriz de ordem (n x u) dos coeficientes das incógnitas dados por:
2 2 2 2 2 2 2 2 o o o o o o o o o o o o i j j i i k k i i k k i n u o o o o o o ik ik ij ik ij ik o o o o j i i j o o ij ij Y Y X Y Y Y X X Y Y X Y A S S S S S S X Y X X S S (80)1 k k i u i j j dx dy dx X dy dx dy (81) (
O vetor dos termos independentes (nL1) de ordem (n x 1) das equações de observações
de ângulo será dado por:
0
1 kij
c kij
nL a a (82)
E o vetor dos resíduos (nV1) de ordem (n x 1) dos ângulos observadas será dado por:
1 ki j
nV Va (83)
4.5.2 Coordenadas aproximadas - parâmetros (Xo)
No 2º Passo: os valores dos parâmetros aproximados do presente trabalho serão calculados utilizando-se das coordenadas do vértice inicial (ponto de controle) da poligonal, do azimute inicial do 1º alinhamento (1-2), os comprimentos dos lados e os ângulos horários.
1 o i o u o i X X Y (84)
4.5.3 Matriz dos Peso (P)
No 3º Passo: será montada a matriz dos pesos.
2 1
o Lb
P (85) ( Para isso é necessário que se conheça a Matriz Variância-Covariância das observações
(∑Lb), composta pelos valores das variâncias determinadas para as observações (distâncias - 2
S
e ângulos - a2). Neste trabalho serão elaboradas duas MVC (∑Lb) para isto, serão feitas
três séries de medidas para ângulos e distâncias, obtendo observações médias com as quais serão determinadas as respectivas precisões e variâncias cujos valores iram compor a primeira MVC (∑Lb). A segunda MVC (∑Lb) será composta com as variâncias oriundas das precisões
nominais da estação total. Essas matrizes serão diagonais, devido a não consideração das correlações entre as observações.
1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p S S S S Lb a a a a (86) (
O sigma zero “a priori” (o2) utilizado na multiplicação da (∑Lb) será adotado com
valor igual a unidade, embora pudesse ser utilizado outro valor.
4.5.4 Vetor das observações aproximadas (Lo)
No 4º passo: será montado o vetor das observações aproximadas. Onde: ( )
o o
L F X (87) Este vetor será calculado pela substituição dos coordenadas aproximadas obtidas no Passo 2 nas equações de observações estabelecida no Passo 1.
A expressão abaixo permite determinar a distância (Sij).
2 2
( ) ( )
ij j i j i
S X X Y Y (88)
A expressão abaixo permite determinar o ângulo horário (akij).
arctan j i arctan k i kij j i k i X X X X a Y Y Y Y (89) (
Com os valores aproximados de distância e ângulo terá o vetor das observações aproximadas (Lo).
