Definição 1.1 Uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada elemento de Ω.

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Cap´ıtulo 2 - Vari´

aveis Aleat´

orias Discretas

1 Conceito de Vari´

avel Aleat´

oria

Defini¸cão 1.1 Uma variável aleatória é uma fun¸cão que associa um número real a cada elemento de Ω. X : Ω → R.

• Esse nome, variável aleatória, foi usado pela primeira vez em 1914, e segue sendo usada até hoje. • O nome não é muito apropriado pois é uma fun¸cão, e associamos a palavra ”variável” a x, y e z, nos

Cálculos, na Geometria Anal´ıtica, na Álgebra Linear, e na Matemática em geral.

• Então, é importante que tomem muito cuidado pois Variável Aleatória, no contexto da Probabi-lidade e Estat´ıstica, é uma fun¸cão. Uma fun¸cão que atua nos elementos de Ω, que é seu dom´ınio. Exemplo 1.1 Experimento Aleatório: uma moeda é lan¸cada cinco vezes. Seja X a variável aleatória que associa a cada sequência de lan¸camentos (cada sequência é um elemento de Ω) o número de caras que apareceram. Então, X pode assumir os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Digamos que vocˆe jogou 5 vezes a moeda e saiu o seguinte resultado: cara, cara, coroa, cara, co-roa. Se representarmos esse elemento de Ω por HHT HT , levando-se em conta a ordem, temos que X(HHT HT ) = 3.

´

E importante entender que X atua nos elementos de Ω, que ´e seu dom´ınio. Exemplo 1.2 Experimento Aleat´orio: Lan¸car duas vezes o mesmo dado.

• A soma de dois valores após os lan¸camentos é uma variável aleatória. Vamos chamá-la de X. Por exemplo, X( (2, 5) ) = 7 e X( (2, 6) ) = 8. X atua nos pares ordenados, que representam os elementos de Ω. Quais são os valores que X assume?

• O número de seis em cada lan¸camento também é uma variável aleatória. Vamos chamá-la de Y . Por exemplo, Y ( (2, 5) ) = 0 e Y ( (2, 6) ) = 1. Y também atua nos pares ordenados, que representam os elementos de Ω. Quais são os valores que Y assume?

• A fun¸cão que leva cada par ordenado ao valor do segundo lan¸camento elevado à quinta potência, também é uma variável aleatória. Vamos chamá-la de Z. Por exemplo, Z( (2, 5) ) = 55 _e

Z( (2, 6) ) = 65_{. Z tamb´}_{em atua nos pares ordenados, que representam os elementos de Ω. Quais}

s˜ao os valores que Z assume?

Uma variável aleatória discreta é chamada de Discreta se assumir um número finito de valores ou assumir valores em um Conjunto Infinito Enumerável, como é o caso, por exemplo, dos Naturais, dos Inteiros e dos Racionais. Só para recordar, conjunto dos números reais é infinito não-enumerável.

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2 Imagem Inversa de uma Fun¸

c˜

ao

No Cálculo I representamos a imagem inversa de uma fun¸cão, f (x), no ponto x, por f−1(y), onde y é o valor que x assume, quando aplicamos a fun¸cão f . Ou seja:

f (x) = y ⇒ x = f−1(y).

Mas isso só é válido quando a fun¸cão for bijetora, ou seja, a cada x corresponde um único y. Por exemplo, f (x) = x + 1.

Por´em, a fun¸c˜ao f (x) = x2_{, definida em todos os reais, n˜}_{ao ´}_{e bijetora. Por exemplo, x = −2 e x = 2}

s˜ao levados em 4 pela f . E agora, ”o que”seria a imagem inversa de f ? Como representar f−1(4)? f−1(4) ”pode assumir”x = −2 e x = 2. A melhor forma de representar ´e por um conjunto, o conjunto imagem inversa de f . Ou seja, f−1(4) = {−2, 2}.

Por que estamos vendo esses conceitos?

Por que queremos calcular a probabilidade de uma variável aleatória X assumir cada um dos seus valores, como veremos a seguir. É importante ressaltar que, no caso, de variáveis aleatórias, o que chamamos de ”imagem inversa”, é sempre um evento (de Ω). O desenvolvimento desses conceitos estão além do escopo deste curso, e podem ser estudados na disciplina Teoria da Medida e Integra¸cão.

3 Distribui¸

c˜

ao de massa de probabilidade

Vamos considerar uma variável aleatória discreta, X, e associar a ela uma distribui¸cão de probabilidade que fornece a probabilidade dela assumir cada um de seus valores.

A distribui¸cão de probabilidade é a principal maneira de caracterizarmos uma variável aleatória. Em particular, se x for um valor que a variável aleatória X pode assumir, a probabilidade de X assumir esse valor é igual à probabilidade de ocorrer o evento {X = x} que consiste de todos os elementos de Ω que são levados por X ao valor numérico x, ou seja:

{X = x} = {ω ∈ Ω : X(ω) = x}, e queremos calcular

P({X = x}).

Mas {X = x} corresponde ao conjunto Imagem Inversa de X: {X = x} = X−1(x), que é um subcon-junto de Ω. Lembram que só podemos calcular Probabilidade de Eventos de Ω? Esta é a liga¸cão entre Probabilidade e Variável Aleatória.

Um conceito que vai ser importante ´e o conjunto imagem de X que vamos denotar por IX. Esse

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Exemplo 3.1 Vamos considerar o experimento aleat´orio que envolve o lan¸camento de dois dados com 4 faces. O espa¸co amostral nesse caso ´e

Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

Podemos definir uma variável aleatória, X, como sendo o valor máximo dentre os resultados do lan¸camento desses dois dados. Ou seja,

X(ω) = max( (i, j) ), para i = j = 1, 2, 3, 4. Por exemplo: Para ω = (1, 1) temos X((1, 1)) = 1.

Para ω = (1, 2) temos X((1, 2)) = 2. Para ω = (4, 2) temos X((4, 2)) = 4.

Quais s˜ao os valores que X assume? 1, 2, 3 e 4, ou seja: IX = {1, 2, 3, 4}.

Como calcular ”com que probabilidade a vari´avel aleat´oria X assume, por exemplo, o valor 2”? Essa pergunta pode ser representada matematicamente por:

P({X = 2}),

onde {X = 2} é o conjunto de todos os elementos de Ω que são levados pela variável aleatória X ao valor numérico 2. Temos assim que

{X = 2} = {ω ∈ Ω : X(ω) = 2} = {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Se os eventos elementares forem equiprov´aveis, ent˜ao:

P({X = 2}) = P({(1, 2), (2, 1), (2, 2)}) (A3) = _{P({(1, 2)}) + P({(2, 1)}) + P({(2, 2)}) = 3/16,} P({X = 3}) = P({(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1)}) (A3) = _{P({(1, 3)}) + P({(2, 3)}) + P({(3, 3)}) + P({(3, 2)}) + P({(3, 1)}) = 5/16.} O s´ımbolo (A3), representa o uso do axioma 3 em determinada igualdade.

Exemplo 3.2 Considere o lan¸camento de duas moedas honestas. Seja X a variável aleatória que repre-senta o número de caras obtidas nos lan¸camentos, X assume os valores 0, 1 ou 2, ou seja, IX = {0, 1, 2}.

Então nesse caso, dizer quem é a distribui¸cão de probabilidade de X é encontrar: P({X = 0}), P({X = 1}), P({X = 2}).

Temos que

Ω = {HH, HT, T H, T T }, onde H (Head) e T (Tail) denotam cara e coroa, respectivamente.

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Primeiro passo ´e perguntar: Quem ´e o evento {X = 0} ?

{X = 0} = {ω ∈ Ω : X(ω) = 0} = {T T }. Em seguida fazer a mesma pergunta para {X = 1} e {X = 2}.

Segundo passo: Descobrir P({X = x}). Para moedas honestas:

P({HH}) = P({HT }) = P({T H}) = P({T T }) = 1/4. Ent˜ao:

P({X = 0}) = 1/4 P({X = 1}) = 1/2 P({X = 2}) = 1/4 Terceiro passo: Verificar se:

P({X = 0}) + P({X = 1}) + P({X = 2}) = 1. Quarto passo: Organizar as id´eias:

P({X = x}) =          1/4 se x = 0 ou x = 2 1/2 se x = 1

0 caso contr´ario.

Resumindo: Para determinarmos a distribui¸cão de probabilidade da variável aleatória X, temos que 1. Encontrar todos os valores que a variável aleatória X assume.

2. Encontrar todos os eventos elementares contidos no evento {X = x}. 3. Somar suas probabilidades para obter pX(x).

E se desejamos calcular P(X > 0)? Inicialmente, vamos descobrir quem ´e o evento {X > 0}. {X > 0} = {ω ∈ Ω : X(ω) > 0} {X > 0} = {HT, T H, T T } = {HT } ∪ {T H} | {z } X=1 ∪ {T T | {z } X=2 }. Logo, P(X > 0) = P({X = 1} ∪ {X = 2}) = P(X = 1) + P(X = 2) = 1/2 + 1/4 = 3/4.

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4 Vari´

aveis Aleat´

orias Discretas

4.1 Uniforme Discreta

Seja X uma variável aleatória cujos valores poss´ıveis são representados por x1, x2, . . . , xn. Então diz-se

que X segue o modelo uniforme discreto se sua distribui¸c˜ao de probabilidade for da forma:

P(X = xi) =

 



1/n, para i = 1,. . . ,n 0, caso contr´ario. para n ∈ N.

4.2 Bernoulli

Uma variável aleatória X com distribui¸cão de probabilidade de Bernoulli é usada para modelar situa¸cões onde ocorrem fracassos e sucessos. Uma variável aleatória de Bernoulli, tem como caracter´ıstica atribuir um valor a à ocorrência de fracasso e um valor b à ocorrência de sucesso, com probabilidades (1 − p) e p. Comumente atribu´ımos 0 à ocorrência de fracasso e 1 à ocorrência de sucesso.

Por exemplo, podemos considerar o lan¸camento de uma moeda, no qual sai cara com probabilidade p e sai coroa com probabilidade 1 − p. Então podemos associar a esse problema, uma variável aleatória X de Bernoulli: X é igual a 1 se sai cara e igual a 0 se sai coroa:

X =    1 se sai cara 0 se sai coroa.

Como é a distribui¸cão de massa de probabilidade dessa variável aleatória?

Como IX = {1, 0}, temos que encontrar P(X = 1) e P(X = 0). Sendo Ω = {H, T }, ent˜ao:

{X = 1} = {ω ∈ Ω : X(ω) = 1} = {H}. {X = 0} = {ω ∈ Ω : X(ω) = 0} = {T }. Usaremos a seguinte nota¸c˜_{ao: P({X = x}) = P(X = x). Assim obtemos}

P({X = 1}) = P(X = 1) = P({H}) = p.

P({X = 0}) = P(X = 0) = P({T }) = 1 − p.

Logo, a distribui¸cão de massa de probabilidade de uma variável aleatória X de Bernoulli, que denotaremos por X ∼ Bernoulli(p), é definida pela seguinte expressão:

P(X = x) = px(1 − p)1−x,

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4.3 Binomial

Uma moeda é lan¸cada n vezes. Em cada lan¸camento sai cara com probabilidade p e coroa com probabi-lidade (1 − p), independentemente do lan¸camento anterior. Seja X a v.a que indica o número de caras nos n lan¸camentos. Nos referimos a X como sendo uma variável aleatória Binomial com parâmetros n e p, onde n é o número de ensaios e p a probabilidade de sucesso em cada ensaio. A variável aleatória binomial é denotada por X ∼ B(n, p). O conjunto Ω nesse caso é:

Ω = {HH...H | {z } X=n , HH...HT | {z } X=n−1 , ..., T T...T | {z } X=0 }.

Quais s˜ao os valores que X ∼ B(n, p)? 0, 1, 2, ..., n, ou seja IX = {0, 1, 2, ..., n}.

Qual é a distribui¸cão de massa de probabilidade de uma variável aleatória binomial? Temos que encontrar:

P(X = 0), P(X = 1), · · · , P(X = n). Vemos que,

{X = 0} = ”n˜ao sair nenhuma cara” = { T T...T | {z } n coroas } ⇒ P(X = 0) = (1 − p).(1 − p)...(1 − p) | {z } n = (1 − p)n

{X = 1} = ”sair apenas uma cara” = {H T...T | {z } n−1 , T H T...T | {z } n−2 , ..., T T...T | {z } n−1 H} P(X = 1) = P({H T T ...T | {z } n−1 , T H T T...T | {z } n−2 , ..., T T...T | {z } n−1 H}) P(X = 1) = P({HT T ...T } ∪ {T HT ...T }∪, ..., ∪{T T ...T H}) P(X = 1) = P({HT T ...T }) + P({T HT T ...T }) + ... + P({T T ...T H}) P(X = 1) = p(1 − p)n−1+ (1 − p)p(1 − p)n−2+ ... + (1 − p)n−1p P(X = 1) = p(1 − p)n−1+ p(1 − p)n−1+ ... + p(1 − p)n−1 P(X = 1) = np(1 − p)n−1.

Na ´ultima equa¸c˜ao podemos observar que p(1 − p)n−1_´_{e multiplicado por n. Essa parcela ´}_{e espec´ıfica para}

o evento {X = 1}, assim para acharmos P(X = k) é necessário pensarmos em todas as combina¸cões de lan¸camentos em que saem k caras.

Ent˜_{ao para obtermos P(X = k) devemos multiplicar p}k_{· (1 − p)}n−k _{pelo n´}_{umero de lan¸}_{camentos em}

que saem k caras.

n! (n − k)! k!= n k .

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P(X = k) =n k

pk(1 − p)n−k, 0 ≤ k ≤ n.

Uma maneira para testarmos se a distribui¸cão de probabilidade acima foi definida corretamente, é verificar se o axioma (A2) é satisfeito, ou seja, verificar se a soma das probabilidades de X assumir n + 1

valores ´e igual a 1. Temos que Ω = {X = 0} ∪ {X = 1} ∪ {X = 2} ∪ ... ∪ {X = n} = n [ k=0 {X = k}. Ent˜ao P(Ω) = P( n [ k=0 {X = k}) = n X k=0 P(X = k) ⇒ n X k=0 n k pk(1 − p)n−k= (p + 1 − p)n = 1,

onde foi usado o Binˆomio de Newton: (x + y)n=

n X r=0   n r  xryn−r, para x = p e y = 1 − p.

Exemplo 4.1 Sabe-se que a ocorrência de pe¸cas com algum tipo de imperfei¸cão em uma linha de produ¸cão é de 10%. Escolhem-se três pe¸cas de uma urna em que há pe¸cas produzidas em um dia de trabalho. As pe¸cas são retiradas ao acaso e uma de cada vez, sem reposi¸cão. Deseja-se estudar todos os resultados poss´ıveis desse experimento aleatório, e o número de pe¸cas defeituosas. Vamos representar ”pe¸ca com defeito”por D e pe¸ca sem defeito por ¯D. Assim, o espa¸co amostral é dado por

Ω = {DDD, DD ¯D, D ¯DD, ¯DDD, D ¯D ¯D, ¯D ¯DD, ¯DD ¯D, ¯D ¯D ¯D}.

Seja X a variável aleatória que assume o número de pe¸cas defeituosas. Na tabela a seguir temos os valores que X assume e a probabilidade com que assume esses valores. Observe que, pelos dados do exerc´ıcio, a probabilidade de uma pe¸ca estar com ou sem defeito é, respectivamente, 0.1 e 0.9.

Elemento de Ω Valores que X assume P(X = . . . )

DDD X(DDD) = 3 (0.1)3 DD ¯D X(DD ¯D) = 2 (0.9)(0.1)2 D ¯DD X(D ¯DD) = 2 (0.9)(0.1)2 ¯ DDD X( ¯DDD) = 2 (0.9)(0.1)2 D ¯D ¯D X(D ¯D ¯D) = 1 (0.9)2_(0.1) ¯ D ¯DD X( ¯D ¯DD) = 1 (0.9)2(0.1) ¯ DD ¯D X( ¯DD ¯D) = 1 (0.9)2_(0.1) ¯ D ¯D ¯D X( ¯D ¯D ¯D) = 0 (0.1)3

(8)

Definimos a variável aleatória X como sendo o número de caras em vinte lan¸camentos, que tem distribui¸cão binomial, com parâmetros n = 20 e p = 1/2.

Logo, a probabilidade de sair oito caras em vinte lan¸camentos, ´e:

P(X = 8) =20 8

(1/2)8(1/2)12.

Exemplo 4.3 Numa cria¸cão de coelhos, 40% são machos. Então qual é a probabilidade de nascer pelo menos dois coelhos machos, num dia em que nasceram vinte coelhos?

Definimos a variável aleatória X como sendo o número de coelhos machos nascidos neste dia. Sabemos que X assume 0, 1, 2, . . . , 20, e é uma variável aleatória binomial, com parâmetros n = 20 e p = 0.4.

Ent˜ao a probabilidade de nascer pelo menos dois coelhos machos nesse dia ´e:

P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 −20 0 (0.40)0(0.60)20−20 1 (0.40)1(0.60)19.

4.4 Vari´

aveis aleat´

orias com Distribui¸

c˜

ao Geom´

etrica de Probabilidade

Suponha que repitamos independentemente o lan¸camento de uma moeda cuja probabilidade de sair cara é p e sair coroa é (1 − p), 0 ≤ p ≤ 1. A variável aleatória geométrica corresponde ao número de lan¸camentos necessários até sair uma cara pela primeira vez. Usamos a nota¸cão X ∼ Geo(p), para representar que X é uma variável aleatória com distribui¸cão geométrica. Neste caso:

• Podemos precisar de 1 lan¸camento apenas • Podemos precisar de 2 lan¸camentos apenas

.. .

• Podemos precisar de n lan¸camentos ..

.

O espa¸co amostral para esse experimento ´e o conjunto:

Ω = {H, T H, T T H, T T T H...}.

X assume o número de lan¸camentos necessários até sair a primeira cara. Então X pode assumir 1, 2, 3, · · · .

Qual ´e a distribui¸c˜ao de probabilidade de X?

{X = 1} = {H} ⇒ P(X = 1) = p {X = 2} = {T H} ⇒ P(X = 2) = p(1 − p)

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.. . {X = k} = {T T...T | {z } n−1 H} ⇒ P(X = k) = (1 − p)k−1· p,

uma vez que (1 − p)k−1· p, ´e a probabilidade de sair uma sequˆencia de lan¸camentos com k − 1 sucessivas coroas seguidas por uma cara.

Simplificando, diz-se que uma variável aleatória tem distribui¸cão geométrica, se possui a seguinte distribui¸cão de probabilidade:

P(X = k) = (1 − p)k−1· p, k = 1, 2, . . .

Note que, no caso binomial, o número de repeti¸cões é pré determinado e aqui este número é uma variável aleatória. Na interpreta¸cão do modelo geométrico, pode-se dizer que a variável aleatória X, com distri-bui¸cão geométrica, corresponde ao número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.

Agora para verificar se a distribui¸c˜ao de probabilidade foi corretamente definida, vamos provar que a probabilidade de X assumir todos os seus valores ´e igual a 1:

Temos que Ω = {X = 1} ∪ {X = 2} ∪ ... = ∞ [ k=1 {X = k}, k ∈ N. Ent˜ao P(Ω) = P( ∞ [ k=1 {X = k}) = ∞ X k=1 P(X = k) ⇒ ∞ X k=1 p(1 − p)k−1= p 1 1 − (1 − p) = p p= 1.

A última igualdade é consequência da soma dos infinitos termos, de uma progressão geométrica, de razão (1 − p).

5 Exerc´ıcios

1. Considere o espa¸co amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e considere os eventos elementares equiprováveis. Seja X uma variável aleatória tal que

X(1) = X(2) = X(3) = X(5) = −1 X(4) = X(6) = 1.

Determine a distribui¸c˜ao de massa de probabilidade de X.

2. Seja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere os eventos elementares equiprováveis. Defina a seguinte variável aleatória

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X(1) = X(3) = X(9) = −1. Encontre a distribui¸c˜ao de massa de probabilidade de X.

3. Seja Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7, ω8, ω9, ω10}. Considere que todos os eventos elementatares s˜ao

equiprováveis. Definamos em Ω a seguinte variável aleatória:

X(ω1) = X(ω2) = X(ω3) = X(ω5) = 5

X(ω4) = X(ω8) = 10

X(ω6) = X(ω7) = X(ω9) = 20

X(ω10) = 30

(a) Determine a distribui¸c˜ao de massa de probabilidade de X. (b) Calcule a probabilidade de X ser maior ou igual a 10.

4. Experimento Aleatório: Uma moeda honesta é lan¸cada duas vezes. Seja X o número de ocorrências de caras. Encontre a distribui¸cão de massa de probabilidade de X.

5. Nas 3 situa¸c˜oes seguintes, calcule explicitamente a probabilidade pedida.

(a) Uma moeda honesta é lan¸cada 3 vezes. Qual a probabilidade de serem obtidas 2 caras? Dica: Neste caso a variável aleatória X é o número de caras em 3 lan¸camentos. Então X tem distribui¸cão binomial de parâmetros n = 3 e p = 1/2.

(b) Um dado honesto é lan¸cado cinco vezes. Qual é a probabilidade de se obter face 5 no máximo 3 vezes?

Dica: Neste caso a variável aleatória X é o número de vezes que aparece face 5 em 5 lan¸camentos. Então X tem distribui¸cão binomial de parâmetros n = 5 e p = 1/6. E a probabilidade que se quer calcular ´_{e P(X ≤ 3).}

(c) Dez pe¸cas são extra´ıdas, ao acaso, com reposi¸cão, de um lote contendo 500 pe¸cas. Qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pe¸cas do lote são defeituosas.

Dica: Neste caso a variável aleatória X é o número de pe¸cas defeituosas num lote de 10 pe¸cas. Então X tem distribui¸cão binomial de parâmetros n = 10 e p = 0, 1. E a probabilidade que se quer calcular ´_{e P(X = 10).}

6. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lan¸cados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

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7. Suponha um jogo infantil onde há a representa¸cão de uma estrada de 100km que liga a cidade B à cidade A. A estrada é tortuosa e está dividida em 100 quadradinhos de 1km. O jogo come¸ca com todos os jogadores na cidade B. É escolhida uma ordem entre os jogadores, e cada um lan¸ca um dado honesto duas vezes, e de maneira independente. A soma dos resultados corresponde à distância que cada jogador percorrerá em cada rodada. Ganha aquele que chegar primeiro na cidade A.

(a) Encontre Ω.

Você concorda que os jogadores estão mais interessados na soma dos ressultados do lan¸camento do que com os elementos de Ω? Por isso, é interessante definir a variável aleatória S que associa a cada elemento de Ω a soma dos resultados dos lan¸camentos.

(b) Encontre {S = 8}, {S = 12}.

(c) Se o dado tivesse apenas 3 faces, como seria a distribui¸cão de massa de probabilidade de S? 8. Considere que você esteja numa situa¸cão dif´ıcil. Você vai assistir a aula de uma disciplina e descobre

que o professor preparou uma prova surpresa. Agora você está diante de uma prova teste com 10 questões, cada uma com 4 alternativas equiprováveis, e somente uma correta, e está totalmente despreparada. Você sequer apareceu nas últimas aulas. Você não foi muito bem na primeira prova do curso, e sabe que se tirar 6 nessa prova você passa, caso contrário você vai ter que fazer a recupera¸cão. Você decide responder às questões de maneira aleatória e de forma que a resposta de uma não influencie nas outras e vice-versa, ou seja de maneira independente.

(a) Considere a seguinte var´ıavel aleat´oria: Ri= 1 se a i-´esima resposta for correta, e Ri= 0 se a

i-ésima resposta não for correta. Encontre a distribui¸cão de massa de probabilidade de Ri.

(b) Qual ´e a probabilidade de vocˆe passar na disciplina?

9. Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? (b) No m´aximo 13 tenham feito cursinho? (c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

10. Num teste tipo certo/errado, com 50 quest˜oes, qual a probabilidade de que um aluno acerte 80% das quest˜oes, supondo que ele as responda ao acaso?