COMBATE DE EPIDEMIAS UTILIZANDO CONTROLE EM MALHA FECHADA POR MEIO DO MÉTODO P-NARMAX

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COMBATE DE EPIDEMIAS UTILIZANDO CONTROLE EM MALHA FECHADA POR MEIO DO M ´ETODO P-NARMAX

Everthon de Souza Oliveira∗, Samir Angelo Milani Martins∗, Al´ıpio Monteiro Barbosa†, Erivelton Geraldo Nepomuceno∗

∗_{Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia El´}_etrica

Universidade Federal de S˜ao Jo˜ao del-Rei Pra¸ca Frei Orlando, 170, Centro, 36307-352

S˜ao Jo˜ao del-Rei, MG, Brasil

†_{Programa de P´}_os-gradua¸_c˜_{ao em Engenharia El´}_etrica

Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antˆonio Carlos, 6627, Pampulha, 31270-901

Belo Horizonte, MG, Brasil

Emails: everthonsol@yahoo.com.br, milani.martins@gmail.com, alipiomonteiro@yahoo.com.br, nepomuceno@ufsj.edu.br

Abstract— Several techniques for control of epidemics are investigated with mathematical models. The de-velopment of this models are contributing to the better dede-velopment of control strategies. This paper presents a methodology for a polynomial NARMAX model to predict the parameters of an epidemic. The identified model is used in proportional feedback control and applied in a epidemiological system.

Keywords— Epidemiological Modeling, Feedback Control, Polynomial NARMAX Model.

Resumo— Várias técnicas de controle de epidemias são investigadas por meio de modelos matemáticos. O desenvolvimento de tais modelos está contribuindo para a elabora¸cão de estratégias de controle mais eficazes. Este trabalho apresenta uma metodologia para a obten¸cão de um modelo NARMAX polinomial para previsão dos parâmetros de uma epidemia. O modelo previamente identificado é utilizado no controle proporcional, em malha fechada, de um sistema epidemiológico.

Palavras-chave— Modelagem Epidemiol´ogica, Controle Malha Fechada, Modelos NARMAX Polinomial.

1 Introdu¸c˜ao

O controle e a preven¸cão de doen¸cas infec-ciosas têm sido foco de estudo de diversos gru-pos de pesquisa em todo o mundo (Nepomuceno et al., 2006). Epidemias recentes tem motivado o crescente interesse nesta área da ciência denomi-nada epidemiologia, como a gripe su´ına, a dengue (Caetano e Yoneyama, 2001), e tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores que buscam o de-senvolvimento de modelos matemáticos que pos-sam contribuir para a compreensão e erradica¸cão de doen¸cas infecciosas (Hethcote, 2000; Lamperti et al., 2007; Pereira et al., 2008).

Dentre os modelos matemáticos desenvolvi-dos, o modelo compartimental SIR (Suscet´ıveis – Infectados – Recuperados) é um dos mais uti-lizados (Hethcote, 2000). O modelo SIR des-creve a epidemia como um sistema de equa¸cões diferenciais que relaciona as parcelas da popula-¸

cão contidas nos compartimentos S, I e R, de forma análoga à modelagem da intera¸cão entre part´ıculas segundo o princ´ıpio da a¸cão de massas (Hethcote, 2000).

Entretanto, o modelo SIR não é capaz de ex-plicar a persistência ou erradica¸cão de doen¸cas in-fecciosas (Keeling e Rohani, 2002; Lloyd, 2001). A principal razão para isso é que o modelo SIR considera a distribui¸cão de indiv´ıduos espacial e

temporalmente homogênea (Hethcote, 2000). Uma abordagem para lidar com a questão de popula¸cões heterogêneas, estudado em ecologia, os chamados Modelos Baseados em Indiv´ıduos, MBI (ou IBM, do inglês Individual Based Model ) (Keeling e Grenfell, 2000; Grimm, 1999; Nepomu-ceno et al., 2006) estão em crescente estudo. Se-gundo Grimm (1999), “cada indiv´ıduo é tratado como uma entidade única e discreta que possui idade e ao menos mais uma propriedade que muda ao longo do ciclo da vida, tal como peso, posi¸cão social, entre outras”.

Várias técnicas de controle de epidemias são investigadas por meio desses modelos (Agur et al., 1993; Nepomuceno et al., 2006; Oliveira et al., 2008). Essas técnicas podem ser vistas como uma aproxima¸cão das campanhas de vacina¸cão de con-trole governamentais. Diferentemente do modelo SIR, o Modelo Baseado em Indiv´ıduos torna pos-s´ıvel a aplica¸cão de um maior número de técnicas de controle inteligente, visto que o controle de uma doen¸ca pode ser determinado a partir das carac-ter´ısticas do indiv´ıduo.

Contudo determinar os parâmetros reais de uma epidemia não é uma tarefa trivial. Isso torna dif´ıcil a aplica¸cão dessas técnicas, uma vez que dependem desses parâmetros (Anderson e May, 1992; Hethcote, 2000). Cada uma das carac-ter´ısticas do sistema influencia na probabilidade p

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de um indiv´ıduo ser infectado ou não. Isso mostra a importância de se encontrar essa probabilidade mas também a dificuldade de se determinar um modelo matemático que considere todos os parˆ a-metros nesse cálculo. Neste trabalho é mostrada a importância dessa probabilidade também para o cálculo da vacina¸cão a ser aplicada.

Com o objetivo de estimar o valor de p, utilizou-se a representa¸cão matemática NARMAX ( Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous input ) (Chen e Billings, 1989; Le-ontaritis e Billings, 1985) polinomial. Uma das grandes vantagens dos modelos NARMAX poli-nomiais é a facilidade com que certos tipos de co-nhecimentos podem ser extra´ıdos e incorporados (Aguirre, 2007).

Este trabalho propõe a obten¸cão de um mo-delo NARMAX polinomial para previsão dos pa-râmetros de uma epidemia, em particular o parˆ a-metro p, de forma on-line, a fim de se aplicar um controle baseado nos parâmetros encontrados.

A a¸c˜ao de controle implementada ´e aqui cha-mada de Proporcional-Narmax (ou P-NARMAX), uma vez que atua como um controle proporcional em malha fechada.

2 Conceitos Preliminares 2.1 Modelo Baseado em Indiv´ıduos

Nepomuceno e colaboradores (Nepomuceno et al., 2006) expressaram o MBI, no qual um in-div´ıduo ´e representado por

Im,t= [C1 C2 · · · Cn], (1)

em que m é o tamanho da popula¸cão, t é o instante em que o indiv´ıduo apresenta um conjunto espe-c´ıfico de caracter´ısticas e Cn é uma caracter´ıstica

do indiv´ıduo. A primeira caracter´ıstica é o seu estado do ponto de vista epidemiológico, ou seja, suscet´ıvel, infectado, recuperado. Outras carac-ter´ısticas podem ser a idade, o tempo de dura¸cão da infeçcão, o sexo, a localiza¸cão espacial ou quais-quer outras caracter´ısticas do indiv´ıduo considera-das relevantes. Para que a modelagem do sistema ocorra de modo satisfatório trabalhou-se com seis principais caracter´ısticas: o estado (suscet´ıvel, in-fectado ou recuperado) do indiv´ıduo; a idade cor-rente; a máxima idade em que o indiv´ıduo viverá; a localiza¸cão espacial dos indiv´ıduos, o tempo em que o indiv´ıduo se encontra no estado infectante, o máximo tempo em que o indiv´ıduo permanece no estado infectante, ambos expresso em passos de integra¸cão. Para maiores detalhes acerca das ca-racter´ısticas, veja (Nepomuceno et al., 2006). Por sua vez, uma popula¸cão de indiv´ıduos é represen-tada por:

Pt= [I1,t I2,t I3,t · · · Im,t]T, (2)

em que Im,t ´e um indiv´ıduo no instante t e P ´e

uma matriz m × n.

Outros parâmetros do modelo utilizados aqui são γ (a taxa de recupera¸cão da doen¸ca), µ (taxa de mortalidade da popula¸cão), β (probabilidade de infeçcão em um contato), Tv (per´ıodo de

vaci-na¸c˜ao) v (taxa de vacina¸c˜ao).

Outras caracter´ısticas do modelo e as pre-missas epidemiol´ogicas adotadas encontram-se em (Nepomuceno et al., 2006).

2.2 Modelos NARMAX polinomiais

A Identifica¸cão de Sistemas não-lineares por meio de modelos NARMAX polinomiais é deta-lhadamente apresentada em Aguirre (2007). Os modelos NARMAX polinomiais (Leontaritis e Bil-lings, 1985) são modelos auto-regressivos com m´ e-dia móvel utilizados na identifica¸cão de sistemas e podem ser descritos por:

y(t) = Fl([y(t − 1), · · · ,y(t − ny),

u(t − 1), · · · ,u(t − nu),

ξ(t − 1), · · · ,ξ(t − nξ)]) + ξ(t) (3)

em que Fl_´_{e uma fun¸}_c˜_{ao n˜}_{ao-linear de grau l, y(t),}

u(t) e ξ(t) representam a sa´ıda, a entrada e a m´ e-dia m´ovel, respectivamente. ny, nu e nξ s˜ao os

m´aximos atrasos correspondentes.

Os modelos NARMAX polinomiais são mo-delos pseudo-lineares (momo-delos não-lineares com grande capacidade de implementa¸cão em algorit-mos iterativos). Além disso, permitem com rela-tiva facilidade a extra¸cão de informa¸cões anal´ıticas do modelo, tais como curva e ganho estático.

Para identificar um sistema, s˜ao necess´arias cinco etapas descritas em (Aguirre, 2007), a saber:

1. Teste Dinˆamico e Coleta de Dados.

2. Escolha da Representa¸c˜ao Matem´atica a ser Utilizada

3. Determina¸cão da Estrutura do Modelo 4. Estima¸cão dos Parâmetros

5. Valida¸c˜ao dos Modelos

Os parâmetros do modelo NARMAX foram obtidos pelo métodos dos m´ınimos quadrados (MMQ) que garantem, sobre a massa de dados de identifica¸cão, parâmetros que minimizam o erro de predi¸cão.

A valida¸cão foi feita por meio do ´ındice RMSE (raiz quadrada da média dos erros quadráticos), que quantifica a qualidade do modelo. Mode-los devem apresentar ´ındice menor que a uni-dade, para que apresentem erro de predi¸cão in-ferior àquele obtido utilizando a média da série temporal. Esse ´ındice pode ser calculado como:

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RMSE = q PN k=1(y(k) − ˆy(k))2 q PN k=1(y(k) − ¯y)2 , (4)

em que ˆy(k) é a simula¸cão livre do sinal, ¯y é o valor médio do sinal medido y(k) e N é o número de amostras existentes nos dados de valida¸cão.

3 Metodologia

Para aplica¸cão da técnica de controle foi necessário utilizar um sistema-teste. Como na literatura têm-se poucos dados reais detalhados de epidemias, adotou-se o MBI, expressando o modelo SIR (Nepomuceno et al., 2006) para tal. A proposta deste artigo é criar um controle que considere a probabilidade de um indiv´ıduo ser infectado. Baseado nessa probabilidade é calculada a taxa de vacina¸cão adequada para erradica¸cão de maneira otimizada da epidemia. A seguir é dada uma defini¸cão matemática dessa probabilidade.

Defini¸cão (Probabilidade de infeçcão): Em cada instante de tempo existe uma probabilidade p de um indiv´ıduo suscet´ıvel ser infectado. Essa proba-bilidade depende de inúmeros fatores como taxa de infectados - i - (razão entre o número de infec-tados e a popula¸cão total), taxa de suscet´ıveis - s - (razão entre o número de suscet´ıveis e a popu-la¸cão total), forma de contatos, entre outras ca-racter´ısticas do sistema. Contudo, o número de novas infeçcões no instante presente está direta-mente ligado à probabilidade do instante anterior. Pode-se definir formalmente como sendo:

p(t) = i(t) − i(t − 1)

s(t − 1) (5)

em que p é a probabilidade de infeçcão, i é o taxa de infectados, s a taxa de suscet´ıveis e t é o ins-tante considerado.

Assim tem-se a probabilidade ocorrida no ins-tante anterior (t). Porém é necessária a proba-bilidade do instante atual (t + 1) para prever a porcentagem da popula¸cão a ser vacinada.

Para obter o valor de p em um instante futuro, utilizou-se o modelo NARMAX polinomial. 3.1 Obten¸c˜ao do Modelo NARMAX polinomial

Para a obten¸cão da estrutura do modelo NARMAX polinomial, utilizou-se a técnica de taxa de redu¸cão de erro em conjunto com o crit´ e-rio de informa¸cão de Akaike. A priori, para aplica-¸

cão dessas técnicas, foram definidos como máximo atraso para as variáveis de entrada e sa´ıda t = 2 e 2 como sendo o grau de não-linearidade do mo-delo. Como o MBI é estocástico, os dados são dis-tintos em cada simula¸cão. Com isso, simulou-se o

MBI duas vezes, sendo coletados dados distintos para identifica¸cão e valida¸cão do modelo. Tam-bém pode-se afirmar que os dados utilizados para identifica¸cão e valida¸cão do modelo são distintos dos dados utilizados para a aplica¸cão da a¸cão de controle proporcional.

Como entrada do modelo, utilizou-se a taxa de indiv´ıduos infectados.

3.2 A¸c˜oes de Controle

A idéia do controle é baseada na rela¸cão exis-tente entre a probabilidade de infeçcão e na neces-sidade de vacina¸cão da popula¸cão. Pode-se afir-mar que, se não há chance do indiv´ıduo ser in-fectado, não há necessidade de vaciná-lo. Por um outro lado, se é grande a chance de ser infectado, é grande a necessidade de imunizá-lo. Pode-se en-tão, fazer uma aproxima¸cão linear entre a proba-bilidade de infeçcão e a taxa de vacina¸cão.

Neste trabalho analisou-se a vacina¸cão pul-sada. O controle por pulso é um método de oti-miza¸cão não-linear. O projeto de vacina¸cão por pulso consiste em vacinar a popula¸cão em per´ıo-dos espec´ıficos ao longo de um intervalo de tempo de interesse. Considerou-se que a vacina¸cão por pulso possua per´ıodo constante e intensidade va-riável (v), durante o tempo estudado.

O valor da constante de proporcionalidade k foi obtida simulando o sistema para vários valores de k e escolhido a melhor op¸cão que minimizasse o custo da erradica¸cão da epidemia, levando em conta parâmetros como extin¸cão ou não da do-en¸ca, instante de extin¸cão e quantidade de vaci-nas. A constante k varia pouco entre epidemias distintas, sendo que o mesmo pode ser mantido constante, sem perda significativa da eficiência do método. Na Se¸cão 4 é apresentado um estudo com os valores de k.

Após determinado o valor dessa constante é estabelecida uma rela¸cão entre a probabilidade de infeçcão prevista pelo modelo NARMAX polino-mial e a porcentagem de vacina¸cão dos indiv´ıduos suscet´ıveis da seguinte forma:

v(t) = kp(t), (6)

em que v é a taxa de vacina¸cão a ser aplicada no instante t, k é a constante de proporcionalidade, dada em Suscetveis/Inf ectados e p é a probabi-lidade de infeçcão prevista.

3.3 Diagrama do sistema de controle

O diagrama apresentado na Figura 1 mostra o controle proporcional–NARMAX em malha fe-chada proposto neste trabalho.

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NARMAX K SISTEMA p(t-1) v(t) i(t) p(t-2) i(t-2) p(t) i(t-1)

Figura 1: Representa¸c˜ao do sistema de controle P–NARMAX em malha fechada.

A partir dos valores de entrada do modelo NARMAX, ´e calculado a probabilidade de infec-¸

cão. Esse valor é multiplicado pela constante k e determinado o valor da taxa de vacina¸cão a ser aplicada no sistema. Após aplicada a vacina¸cão, os valores de i e p são atualizados, fechando a ma-lha do sistema.

Varias transi¸cões influenciam no valor de p, contudo, foi considerado apenas uma. Essa me-dida pode gerar valores incoerentes, tais como va-lores negativos de p. Porém, ainda assim garante um bom resultado e uma correla¸cão entre a taxa de vacina¸cão e a probabilidade de infeçcão. Para garantir a a¸cão de controle adequada, considera-se que para p < 0 a vacina¸cão será v = 0. Por outro lado, quando o produto k × p > 1, a vacina¸cão será saturada em 100 % da popula¸cão.

4 Resultados e Discuss˜oes

A Figura 2 mostra a dinˆamica do sistema-teste sem qualquer a¸c˜ao de controle. Nota-se que a epidemia entra em estado de endemia, ou seja, estabiliza-se sem erradicar.

Figura 2: Dinâmica do sistema usado sem ne-nhuma a¸cão de controle. Os parâmetros usados foram γ = ₃₀1; µ =₆₀1; N = 1000 e β = 0,2.

A Figura 3 mostra a a¸c˜ao de controle pulsada, com per´ıodo de vacina¸c˜ao Tv= 10.

Figura 3: Dinâmica do sistema usado com a a¸cão de controle pulsado com taxa de vacina¸cão cons-tante. Os parâmetros utilizados foram γ = ₃₀1; µ =₆₀1; N = 1000 ; β = 0,2; Tv= 10 e v = 0,4.

Utilizando a metodologia abordada, obteve-se um modelo NARMAX para a probabilidade de infeçcão, conforme Equa¸cão 7.

p(t) = 2,6939i(t − 1)p(t − 1) + (7) +0,0254p(t − 2) − 0,0174i(t − 1) + −2,6204i(t − 2)p(t − 1) + −4,5038p(t − 2)2+ 0,0016i(t − 2) + −4,0500p(t − 1)2₊ +6,7208p(t − 2)p(t − 1) + +4,4770i(t − 1)p(t − 2) + 0,0059 + +0,0381i(t − 2)2+ −4,2017i(t − 2)p(t − 2) + −0,0354i(t − 1)2_{+ 0,0908p(t − 1),}

em que p é a probabilidade de infeçcão, i é a taxa de infectados (razão entre o número de infecta-dos e o tamanho da popula¸cão) e t é o instante considerado.

Figura 4: Séries temporais da probabilidade de infeçcão. Em azul os valores reais de p e em ver-melho os valores previstos.

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Para valida¸cão do modelo utilizou-se o ´ındice RMSE. O valor encontrado foi de 0,6938, o que in-dica que o modelo é adequado para predi¸cão desta série.

Tabela 1: Escolha de qual valor de k utilizar. O valor do tempo de extin¸cão é dado em passos de integra¸cão, sendo que o mesmo pode ser em anos, meses, ou dias, dependendo da epidemia em ques-tão.

Extin¸cões Tempo de Vacinas extin¸cão (média) (média) k = 5 4/10 1126,75 684,00 k = 10 8/10 573,67 751,50 k = 15 10/10 432,50 450,10 k = 20 10/10 339,10 433,00 k = 25 10/10 346,30 503,80 k = 30 10/10 325,00 519,30 k = 35 10/10 330,20 592,30 k = 40 10/10 326,30 663,50 k = 45 10/10 304,10 660,30 k = 50 10/10 303,00 690,20

A decisão de qual valor de k será escolhido é um problema multi-objetivo. Deseja-se minimizar concomitantemente o tempo de extin¸cão da do-en¸ca e a quantidade de vacinas aplicada. Contudo, tais objetivos são inversamente proporcionais. O que se pode fazer é escolher uma solu¸cão que pos-sua um compromisso mútuo entre os funcionais em questão.

Por meio da tabela 4, escolheu-se k = 20, pelo fato do mesmo apresentar um compromisso mútuo entre o tempo médio de erradica¸cão da doen¸ca e a quantidade de vacina gasta para tal.

Uma vez determinado o valor de k, pode-se obter o valor de v, por meio da equa¸cão 6, que varia com o valor previsto da probabilidade de in-feçcão. Para uma compara¸cão entre os métodos, a Figura 5 mostra a taxa de vacina¸cão para controle pulsado com v constante e a taxa de vacina¸cão do método proposto.

A Figura 5 mostra a simula¸c˜ao Monte Carlo da dinˆamica da doen¸ca para o valor de k escolhido.

Figura 5: Dinâmica do sistema usando controle pulsado P-NARMAX em malha fechada. Os pa-râmetros usados foram γ = ₃₀1; µ = ₆₀1; N = 1000; β = 0,2; Tv= 10 e v = 0,4, em que γ é a taxa de

recupera¸cão da doen¸ca, µ é a taxa de mortalidade da popula¸cão, β é a probabilidade de infeçcão em um contato e Tv= 10 é o per´ıodo de vacina¸cão.

A evolu¸cão da taxa de vacina¸cão é mostrada na Figura 6.

Figura 6: Evolu¸cão da taxa de vacina¸cão. Em ver-melho, valores referentes ao controle P-NARMAX em malha fechada e em azul, técnica de vacina¸cão pulsada com taxa constante.

Utilizando a abordagem do controle pulsado, com taxa de vacina¸cão cont´ınua, obteve-se uma extin¸cão da doen¸ca em todos os casos simula-dos (simula¸cão Monte-Carlo). O valor médio do tempo de extin¸cão da doen¸ca, para essa aborda-gem é de 408, dado em passos de integra¸cão. O valor médio da quantidade de vacinas para essa abordagem foi de 523 vacinas, para uma taxa de vacina¸cão de 40%;

A nova técnica proposta minimizou a quanti-dade de vacinas em 17,21% e o tempo de extin¸cão em 16,89%. Mostrou-se eficiente também pela li-vre escolha do valor da constante de

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proporciona-lidade k.

Outro ponto importante é o fato da não ne-cessidade de um modelo matemático da epidemia para a aplica¸cão de controle. Somente são ne-cessários dados estat´ısticos da epidemia, para a identifica¸cão e valida¸cão do modelo NARMAX, e posterior aplica¸cão de controle.

5 Conclus˜oes

Neste trabalho implementou-se um controle proporcional em malha fechada por meio de um modelo NARMAX polinomial em um sistema epi-demiológico. Utilizando o modelo NARMAX po-linomial, calculou-se a probabilidade de um indi-v´ıduo ser infectado, de acordo com o número de infectados e suscet´ıveis no sistema. Baseado no valor de probabilidade previsto, foi poss´ıvel apli-car a a¸cão de controle.

Uma vantagem do método proposto é que é preciso conhecer apenas os dados estat´ısticos so-bre a epidemia (número de indiv´ıduos suscet´ıveis, infectados e número total de indiv´ıduos) não sendo necessário conhecer os parâmetros da epidemia.

Esse método ainda possibilita a otimiza¸cão no gasto com vacinas. No caso da vacina¸cão pulsada convencional, por exemplo, o valor da taxa de va-cina¸cão é fixa, vacinando ora desnecessariamente, outrora aquém do necessário.

Pesquisas futuras versam sobre a obten¸cão de novos métodos para a determina¸cão da constante de proporcionalidade k. O modelo NARMAX en-contrado pode ser reajustado utilizando dados es-tat´ısticos reais de epidemias, proporcionando uma melhor eficácia numa poss´ıvel aplica¸cão direta.

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