ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUÇÃO DE

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE GRADUAC¸ ˜AO EM ENGENHARIA CIVIL

AN ´

ALISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUC

¸ ˜

AO DE

VIBRAC

¸ ˜

OES ESTRUTURAIS

Catarina Vieira Nagahama

JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF 2011

(2)

AN ÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE PARA REDUÇ ÃO DE VIBRAÇ ÕES ESTRUTURAIS

Trabalho Final de Curso apresentado ao Colegiado do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Engenheiro Civil.

´

Area de Conhecimento: Dinˆamica das Estruturas

Orientador: Prof. Fl´avio de Souza Barbosa, D.Sc.

JUIZ DE FORA

(3)

Catarina Vieira Nagahama

Trabalho Final de Curso submetido `a banca examinadora constitu´ıda de acordo com o Artigo 9o _{do Cap´ıtulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas pelo}

Colegiado do Curso de Engenharia Civil, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Engenheiro Civil.

Aprovado em: 13/01/2011

Por:

——————————————————— Profo_{. Fl´avio de Souza Barbosa,D.Sc.}

——————————————————— Profa_{. Patr´ıcia Habib Hallak,D. Sc.}

——————————————————— Profo_{. Francisco Jos´e Gomes,D.Sc.}

——————————————————— Engo_{. Eduardo da Silva Castro}

JUIZ DE FORA

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Agradecimentos

Dedico meus sinceros agradecimentos:

• Ao professor Fl´avio, pelos ensinamentos transmitidos, pela dedica¸c˜ao e empenho

como meu orientador neste trabalho, por sua amizade, por seu incentivo, por seus conselhos e pelos anos de orienta¸c˜ao como tutor do grupo PET-Civil;

• Ao Thiago, por sua contribui¸c˜ao no desenvolvimento do algoritmo gen´etico utilizado

neste trabalho e pela amizade sincera ao longo desses anos;

• Ao Eduardo, por suas valiosas sugest˜oes na elabora¸c˜ao de algoritmos e pelo tempo

disponibilizado;

• Aos meus pais e `a minha irm˜a, por todo apoio e amor;

• Ao Leandro, por seu companheirismo, sua paciˆencia e por todo carinho;

• A todos os meus queridos amigos, por tornarem esta caminhada muito mais alegre

e prazerosa.

• Ao Programa de Educa¸c˜ao Tutorial da Engenharia Civil, por ter me proporcionado

uma forma¸c˜ao mais completa.

• A todos os professores da Faculdade de Engenharia de Juiz de Fora que tive a

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Resumo do Trabalho de Final de Curso apresentado à Faculdade de Engenharia - UFJF como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Bacharel em Engenharia Civil

Catarina Vieira Nagahama

JANEIRO/2011

Orientador: Fl´avio de Souza Barbosa

Departamento: Mecˆanica Aplicada e Computacional

Uma das formas de se atenuar problemas dinâmicos em estruturas é através do uso de sistemas passivos e ativos de controle de vibra¸cão. Um tipo de sistema de controle passivo é o sistema com frequência sintonizada. Estes sistemas, quando instalados em estruturas, normalmente produzem resultados eficientes no controle de vibra¸cões. Outra maneira de atenuar vibra¸cões é através do uso de controladores ativos com retroa¸cão. Estes atenu-adores possuem como caracter´ıstica o fato de que o cálculo das for¸cas de controle depende da resposta sensoriada da edifica¸cão, o que pode minimizar incertezas inerentes às es-truturas no que se refere ao seu comportamento dinâmico. Desta forma, faz-se neste trabalho uma avalia¸cão numérica do comportamento dinâmico de estruturas com contro-ladores passivos ou ativos acoplados, buscando evidenciar as vantagens e desvantagens do uso destes dispositivos de controle de vibra¸cões estruturais.

(6)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivo . . . 2

1.2 Escopo . . . 2

2 Dinˆamica e Controle de Estruturas 3 2.1 Sistema Estrutural Dinˆamico . . . 3

2.2 Sistemas de Controle . . . 4

2.2.1 Sistema de Controle Passivo (SCP) . . . 4

2.2.2 Sistema de Controle Ativo (SCA) . . . 5

2.2.3 Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A) . . . 7

2.3 Equa¸c˜oes Diferenciais de Movimento para Sistemas Discretos com M´ultiplos GLs . . . 7

3 Sistema de Controle Passivo (SCP) de Ciclo Fechado N˜ao Sensoriado 9 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 9

3.2 Descri¸c˜ao do Sistema Dinˆamico: . . . 10

3.3 Equa¸c˜oes de Equil´ıbrio Dinˆamico: . . . 11

3.4 Sistema de Controle de Frequˆencia Sintonizada: . . . 12

3.4.1 Estrutura Sujeita a Vibra¸c˜oes Livres . . . 12

3.4.2 Carregamentos Harmˆonicos . . . 14

4 Sistema de Controle Ativo (SCA) 18 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 18

4.2 Equa¸c˜oes Diferenciais do Movimento para Estruturas Discretizadas em Elementos de Viga via M´etodo dos Elementos Finitos . . . 18

4.3 Equa¸c˜oes de Estado do Sistema . . . 20

4.4 Controle ´Otimo . . . 22

4.4.1 Aspectos Gerais . . . 22

4.4.2 Determina¸c˜ao da For¸ca de Controle ´Otimo . . . 22

4.5 Controle com o Uso de Observadores de Estado . . . 23

4.5.1 Aspectos Gerais . . . 23

4.5.2 Observadores de Estado . . . 23

4.5.3 C´alculo da For¸ca de Controle ´Otimo com o Uso de Observadores de Estado . . . 25

4.6 Aplica¸c˜ao . . . 25

4.6.1 Descri¸c˜ao do Sistema Estrutural Dinˆamico . . . 26

4.6.2 Resposta N˜ao-Controlada do Sistema . . . 27

(7)

4.7 Respostas do Sistema Controlado com o Uso de Observadores de Estado . 28

4.7.1 Caso 1 . . . 28

4.7.2 Caso 2 . . . 29

4.7.3 Compara¸c˜oes Entre os Resultados Obtidos . . . 30

5 Conclusões e Comentários Finais 34 A Algoritmo Numérico para Controle Ativo Ótimo de Estruturas de Viga com o Uso de Observadores de Estado 35 A.1 Arquitetura do Programa . . . 35

A.2 Descri¸c˜ao Simplificada do Programa . . . 35

A.2.1 Arquivo de Dados . . . 35

A.2.2 Gerador de Matrizes . . . 37

(8)

Lista de Figuras

2.1 Esquema de Controle Passivo adaptado de Barbosa (1996). . . 4

2.2 Esquema de Controle Ativo de Ciclo Aberto adaptado de Barbosa (1996). . 6

2.3 Esquema de Controle Ativo de Ciclo Fechado adaptado de Barbosa (1996). 6 3.1 SCP do Edif´ıcio Taipei 101. . . 9

3.2 SCP da Ponte Rio-Niter´oi. . . 10

3.3 Esquema de um sistema massa-mola com dois graus de liberdade. . . 10

3.4 Respostas para vibra¸c˜oes livres n˜ao controlada e controlada com m2 = 50,8 kg e k2 = 2.100,8 N/m. . . 13

3.5 Respostas para vibra¸c˜oes livres n˜ao controlada e controlada com m2 = 13,2 kg e k2 = 221,1 N/m. . . 14

3.6 Respostas para o carregamento harmˆonico fe1 = 10.000 sen(3t) n˜ao con-trolada e concon-trolada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m. . . 16

3.7 Respostas para o carregamento harmˆonico fe2= 10.000 sen(8t) n˜ao-controlada e controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.204 N/m. . . 17

4.1 Elemento de Viga. . . 19

4.2 Esquema de Discretiza¸c˜ao do Sistema Dinˆamico. . . 26

4.3 Respostas controlada e n˜ao controlada do n´o 3. . . 27

4.4 Respostas do n´o 3 n˜ao controlada, controlada com todos os estados senso-riados e controlada com o uso de um estado estimado. . . 29

4.5 Compara¸c˜ao entre estado medido e estimado no Caso 1 referente ao n´o 3. . 30

4.6 Respostas do nó 3 não controlada, controlada com todos os estados senso-riados e controlada com o uso de três estados estimados. . . 31

4.7 Compara¸c˜ao entre estado medido e estimado no Caso 2 referente ao n´o 3. . 32

4.8 Compara¸c˜ao entre as for¸cas de controle calculadas com todos os graus de liberdade medidos, calculadas no Caso 1 e no Caso 2. . . 33

4.9 Compara¸c˜ao entre as respostas controladas obtidas quando todos os graus de liberdade eram medidos, no Caso 1 e no Caso 2. . . 33

(9)

Lista de Tabelas

3.1 Calibra¸cão do SCP para Vibra¸cões Livres . . . 13 3.2 Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequências naturais

em torno de 90% da frequência natural de vibra¸cão da estrutura sujeita a vibra¸cões livres . . . 14 3.3 Calibra¸cão do SCP para o Carregamento Harmônico fe1 = 10.000 sen(3t) . 15

3.4 Calibra¸c˜ao do SCP para o Carregamento Harmˆonico fe2 = 10.000 sen(8t) . 15

3.5 Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequências naturais em torno de 90 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura sujeita a carregamentos harmônicos . . . 16 4.1 Compara¸cão de valores de η . . . 30 4.2 Magnitudes máximas de fc . . . 31

(10)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Os avan¸cos tecnológicos em áreas como materiais, equipamentos eletrônicos e com-puta¸cão, aliado a fatores econômicos e de criatividade, tem levado a uma tendência de se projetar estruturas cada vez mais leves, esbeltas e, portanto, flex´ıveis.

Estruturas flex´ıveis possuem forte propensão a sofrer problemas dinâmicos e a maioria das medidas corretivas são conservadoras e pesadas, como a técnica de enrijecimento da estrutura.

Tais estruturas podem ser alternativamente projetadas de maneira segura com o aux´ılio de sistemas de redu¸cão e/ou controle das amplitudes de vibra¸cões induzidas pelas cargas dinâmicas atuantes, atendendo assim aos critérios de seguran¸ca, funcionalidade e conforto. Esses sistemas auxiliares também podem ser utilizados para solucionar problemas em estruturas já existentes.

Dessa forma, limites práticos usualmente considerados, tais como altura de edif´ıcios, vão de pontes e esbeltez de equipamentos, podem ser ultrapassados com a utiliza¸cão de sistemas de controle dinâmico (Barbosa, 1996), que podem ser classificados como sistemas de controle passivo e ativo.

Vários trabalhos já foram publicados apresentando conceitos e técnicas de sistemas de controle, formas de implementa¸cão e exemplos de aplica¸cões, como Moutinho (1998) e Varela (2003) .

Os sistemas de controle passivo são muito empregados em estruturas e possuem a vantagem de não dependerem de energia externa ao sistema. Um exemplo bastante simples é o amortecedor do tipo frequência sintonizada, que para obter resultados satisfatórios deve ser calibrado corretamente. Battista (1993) sugere que a frequência natural do amortecedor de frequência sintonizada deve estar em torno de 90% da frequência natural da estrutura que se deseja controlar.

Neste trabalho é avaliado numericamente um sistema de frequência sintonizada. Atra-vés de algoritmos de otimiza¸cão são obtidas as rela¸cões entre as frequências naturais da estrutura e do dispositivo de controle que conferem ao conjunto estrutura/dispositivo de controle o melhor desempenho em termos de redu¸cão das amplitudes de vibra¸cões.

Muitas vezes na elabora¸cão de um sistema de controle dinâmico, nos deparamos com várias incertezas provenientes das caracter´ısticas f´ısicas da estrutura ou do carregamento solicitante, que por vezes podem inviabilizar esta concep¸cão. Para contornar os problemas oriundos dessas incertezas, utiliza-se um sistema dinâmico de controle ativo com retroa¸cão, que minimiza tais incertezas, pois a sua forma de atua¸cão depende da resposta sensoriada do sistema.

(11)

monitoramento de um grande n´umero de graus de liberdade.

Este trabalho apresenta uma análise numérica da utiliza¸cão de estimadores de estado em problemas de controle ativo de estruturas. Com o uso de observadores de estado é poss´ıvel reduzir o grande número de pontos monitorados na estrutura, pois através de modelos numéricos pode-se estimar de maneira precisa os deslocamentos e velocidades em pontos não sensoriados, contribuindo assim para viabilizar a aplica¸cão prática do controle ativo estrutural com retroa¸cão.

1.1 Objetivo

Avaliar através de análises numéricas a eficiência dos controladores passivos de frequência sintonizada, bem como analisar computacionalmente o desempenho de um sistema controlado ativamente através de algoritmos que utilizam estimadores para ve-locidades e/ou deslocamentos e/ou acelera¸cões não monitorados.

1.2 Escopo

O presente trabalho está dividido em 5 cap´ıtulos e 1 apêndice, incluindo essa introdu¸cão que procura melhor apresentar o tema desenvolvido sobre Análise de Sistemas de Controle para Redu¸cão de Vibra¸cões Estruturais.

• Cap´ıtulo 2 - Dinˆamica e Controle de Estruturas

Neste cap´ıtulo são apresentados alguns conceitos sobre sistemas estruturais dinâmicos e os tipos de sistemas de controle. Também são definidas as equa¸cões diferenciais de movimento.

• Cap´ıtulo 3 - Sistema de Controle Passivo (SCP)

Apresenta-se aqui o desenvolvimento das equa¸cões diferenciais de equil´ıbrio dinâmico para um problema com dois Graus de Liberdade (GL). A formula¸cão apresentada permite a simula¸cão de um sistema controlado onde a estrutura é modelada por 1 GL generalizado e o controlador por outro GL. Os resultados para este tipo de controle são também aqui apresentados.

• Cap´ıtulo 4 - Sistema de Controle Ativo (SCA)

Este cap´ıtulo procura apresentar de maneira sucinta a teoria de controle ativo ótimo, o conceito de observador de estado e sua aplica¸cão em um sistema dinâmico com número reduzido de sensores. Ao final deste cap´ıtulo apresenta-se um exemplo de aplica¸cão.

• Cap´ıtulo 5 - Conclus˜oes

Neste cap´ıtulo são apresentadas as conclusões gerais sobre os resultados obtidos através das simula¸cões dos controles passivo e ativo.

• Apˆendice A - Algoritmo para Simula¸c˜ao de um Sistema de Controle Ativo

Neste apêndice é feita uma breve descri¸cão do código computacional desenvolvido neste trabalho para simular o comportamento de uma estrutura de viga submetida a excita¸cão dinâmica e controle ativo com o uso de observadores de estado.

(12)

Cap´ıtulo 2

Dinˆ

amica e Controle de Estruturas

2.1 Sistema Estrutural Dinˆ

amico

Um problema dinâmico é caracterizado por um carregamento que varia com o tempo e pelo aparecimento de for¸cas inerciais contrárias às acelera¸cões. Um sistema estrutural dinâmico é caracterizado pela estrutura e pelas for¸cas dinâmicas que sobre ela atuam. Uma vez solicitado, o sistema apresenta uma resposta descrita pelas acelera¸cões, velocidades e deslocamentos dos seus pontos caracter´ısticos. A resposta estrutural de um carregamento dinâmico também varia com o tempo.

As propriedades f´ısicas essenciais de um sistema estrutural sujeito a uma fonte ex-terna de excita¸cão ou carregamento dinâmico são: massa, propriedades elásticas como flexibilidade ou rigidez e o amortecimento ou perda de energia mecânica (Barbosa, 2006). Em diversos problemas de engenharia, a modelagem do comportamento dinâmico de uma estrutura pode ser obtida através da análise de apenas um grau de liberdade (GL) generalizado. Nestes casos, a Equa¸cão (2.1), que representa a equa¸cão de movimento de um sistema dinâmico de um GL com amortecimento viscoso, pode estar associada a um modelo que simula o comportamento dinâmico de uma estrutura real.

m¨q(t) + c ˙q(t) + kq(t) = fe(t), (2.1)

onde:

• t ´e o tempo;

• q(t) ´e a resposta do sistema em termos de deslocamentos; • ¨q(t) = d2

dtq(t); • ˙q(t) = d

dtq(t);

• m, c e k são respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema; e • fe(t) é a resultante das for¸cas de excita¸cão.

Para obter redu¸cão nas amplitudes de vibra¸cões em um sistema natural (não contro-lado), são necessárias altera¸cões em uma ou mais propriedades estruturais (massa, rigidez ou amortecimento).

A altera¸cão destes parâmetros nem sempre é viável, ou por questões técnicas, ou por questões práticas. Nestes casos, para obter redu¸cão na amplitude de resposta, deve-se optar por sistemas de controle auxiliares.

(13)

2.2 Sistemas de Controle

A equa¸cão diferencial que descreve a resposta do sistema estrutural controlado é obtida a partir da Equa¸cão (2.1) através da considera¸cão de que as for¸cas que agora atuam na estrutura são fe(t) e fc(t), onde fc(t) é a resultante das for¸cas de controle. Assim, a

Equa¸c˜ao (2.1) fica:

m¨q(t) + c ˙q(t) + kq(t) = fe(t) + fc(t). (2.2)

Os sistemas de controle podem ser divididos em trˆes grupos:

• Sistema de Controle Passivo (SCP) • Sistema de Controle Ativo (SCA)

• Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A)

2.2.1 Sistema de Controle Passivo (SCP)

Neste tipo de controle, a introdu¸cão de for¸cas dissipativas é feita por meio de sistemas auxiliares. Essas for¸cas têm magnitudes dependentes das amplitudes de resposta e não são aplicadas por meio de atuadores.

Figura 2.1: Esquema de Controle Passivo adaptado de Barbosa (1996).

Conforme representada na Figura (2.1), no SCP fc(t) ´e a for¸ca gerada no sistema

auxiliar que altera as propriedades do sistema estrutural.

O SCP ´e geralmente um sistema de controle de ciclo fechado, pois a magnitude da for¸ca de controle depende diretamente das amplitudes de resposta q(t).

A performance de um SCP está diretamente ligada à calibra¸cão prévia entre sistema auxiliar e estrutura (rela¸cão entre massas, freqüências naturais, etc).

Existem dois tipos de Controle Passivo, s˜ao eles:

• SCP N˜ao Sensoriado

Trata as propriedades dinˆamicas da estrutura e do sistema auxiliar como invari-antes no tempo.

(14)

– A for¸ca de controle fc(t) gerada pelo sistema auxiliar ´e fun¸c˜ao da resposta

da estrutura e também das propriedades caracter´ısticas do próprio sistema auxiliar, propriedades estas que dependem do sistema dinâmico que se deseja controlar e dos n´ıveis desejáveis de redu¸cão de vibra¸cão.

– Não possui regulador automático, não podendo, portanto, compensar per-turba¸cões inesperadas do sistema dinâmico.

– A ausência de um regulador automático pode resultar em perda de eficiência do sistema de controle, visto que a resposta da estrutura está diretamente ligada ao ajuste entre sistema auxiliar e estrutura.

• SCP Sensoriado

Através do sensoriamento da estrutura, pode-se introduzir um sistema auxiliar com parâmetros como massa, rigidez e/ou amortecimento variantes com o tempo. Esta flexibilidade dos parâmetros estruturais do sistema auxiliar possibilita ajustes nas rela¸cões entre seus parâmetros dinâmicos e os da estrutura, viabilizando uma boa calibra¸cão a cada instante de tempo.

O SCP Sensoriado possui as seguintes caracter´ısticas:

– A for¸ca de controle gerada pelo sistema auxiliar também é fun¸cão da resposta da estrutura e das propriedades caracter´ısticas do próprio sistema auxiliar, porém as caracter´ısticas do sistema auxiliar não são invariantes.

– A calibra¸cão ajustável permite ao SCP Sensoriado um melhor desempenho em rela¸cão ao Não Sensoriado, pois o sistema é capaz de compensar pequenas incertezas e pertuba¸cões provenientes tanto do carregamento quanto da própria estrutura principal.

Neste trabalho ser´a analisado um SCP de ciclo fechado n˜ao sensoriado.

2.2.2 Sistema de Controle Ativo (SCA)

Neste tipo de sistema, as for¸cas de controle são introduzidas por meio de atuadores tais como macaco hidráulico, motor elétrico, etc.

S˜ao apresentados a seguir dois tipos de controle ativo:

• Controle de Ciclo Aberto ou “Open-loop Control”

Esse sistema é chamado de ciclo aberto porque a for¸ca de controle fc(t) não é

fun¸c˜ao direta das amplitudes de resposta, conforme esquema apresentado na Figura (2.2).

Neste caso tem-se uma for¸ca de controle que depende apenas do tempo e de um sinal de referˆencia r(t).

O SCA com Ciclo Aberto possui as seguintes caracter´ısticas:

– A funcão do sinal de referência r(t) é pré-programada e não depende de q(t). – O atuador depende de uma fonte de energia externa.

– N˜ao permite corre¸c˜ao da for¸ca de controle se o sistema estrutural e/ou for¸ca de controle forem alterados.

(15)

Figura 2.2: Esquema de Controle Ativo de Ciclo Aberto adaptado de Barbosa (1996).

– A for¸ca de controle é determinada previamente em fun¸cão das caracter´ısticas dinâmicas das estruturas, da for¸ca de excita¸cão e do estado inicial do sistema. O controle de ciclo aberto apresenta bons resultados em sistemas estruturais cuja for¸ca de excita¸cão tenha um comportamento conhecido e bem definido. Caso ocorra alguma varia¸cão significativa no comportamento da for¸ca de excita¸cão como altera¸cão do per´ıodo de oscila¸cão para carga harmônica, retardo, etc, a for¸ca de con-trole perde sua eficiência no que diz respeito à redu¸cão das amplitudes de resposta, podendo até mesmo causar instabilidade do sistema.

• Controle de Ciclo Fechado ou “Closed-loop Control”

Este sistema ´e chamado de ciclo fechado porque a for¸ca de controle fc(t) ´e

fun¸cão direta das amplitudes de resposta do sistema estrutural que por isso deve ser sensoriado. A for¸ca de controle é fun¸cão da diferen¸ca entre um sinal de referência

r(t), resposta desejada, e a resposta real q(t), ou seja: fc(t) = fc[r(t)−q(t)], conforme

representado na Figura (2.3).

Figura 2.3: Esquema de Controle Ativo de Ciclo Fechado adaptado de Barbosa (1996).

O SCA com Ciclo Fechado possui as seguintes caracter´ısticas:

– A estrutura necessita ser sensoriada para obten¸c˜ao do sinal de sua resposta real.

(16)

– A for¸ca de controle é calibrada automaticamente, pois o sensoriamento da estrutura permite a reanálise da medida de erro dada por e(t) = r(t) − b(t), onde b(t) é o sinal sensoriado da estrutura, a cada instante de tempo, fator essencial para sua determina¸cão.

– Também como no SCA com Ciclo Aberto, a resposta desejada r(t) é progra-mada em fun¸cão dos n´ıveis de deslocamentos, velocidades e acelera¸cões de-sejáveis.

O SCA com Ciclo Fechado também conhecido como Sistema de Controle com Retroa¸cão é capaz de compensar:

– Poss´ıveis pertuba¸cões ou distúrbios na for¸ca de excita¸cão.

– Incertezas inerentes `as propriedades e caracter´ısticas dinˆamicas da estrutura bem como nas medidas dos sensores e atuadores.

Neste trabalho ser´a abordado um sistema de controle ativo de ciclo fechado onde apenas uma parte da estrutura ´e sensoriada.

2.2.3 Sistema de Controle Passivo/Ativo (SCP/A)

S˜ao sistemas de controle que possuem caracter´ısticas h´ıbridas, pois possuem simul-taneamente atuadores e dissipadores de energia.

A fun¸cão do sistema de controle passivo é, nesse caso, a de reduzir as amplitudes de resposta da estrutura sob a¸cão de for¸cas dinâmicas mais freqüentes em um estado normal de utiliza¸cão em servi¸co, enquanto a fun¸cão do sistema de controle ativo é manter reduzida e controlada a resposta da estrutura sob a¸cão de for¸cas excepcionais, evitando que ela seja levada a um estado limite último.

Neste trabalho não será abordado este tipo h´ıbrido de sistema de controle. Esta se¸cão foi inclu´ıda no texto de forma a torná-lo mais abrangente.

2.3 Equa¸c˜

oes Diferenciais de Movimento para

Sistemas Discretos com M´

ultiplos GLs

Após realizar a identifica¸cão das propriedades da estrutura, investigar o comporta-mento da mesma e fazer as devidas considera¸cões teórico-práticas para avaliar que tipo de controle deve ser adotado, passa-se então para a formula¸cão das equa¸cões diferenciais que regem o movimento da estrutura modelada através de múltiplos GLs.

Para pequenas amplitudes de vibra¸cão em torno de uma configura¸cão de equil´ıbrio e com a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar as equa¸cões de movimento linearizadas em torno de um estado de equil´ıbrio.

As equa¸cões de movimento podem então ser escritas na forma matricial, usualmente utilizada na dinâmica estrutural conforme a Equa¸cão (2.3):

M¨q(t) + C ˙q(t) + Kq(t) = fe(t) + fc(t) (2.3)

(17)

• q(t), ˙q(t) e ¨q(t) s˜ao respectivamente o vetor de deslocamentos, o vetor de velocidades e o vetor de acelera¸c˜oes dos GLs;

• M, C e K s˜ao respectivamente a matriz de massa, a matriz de amortecimento e a

matriz de rigidez;

• fe(t) ´e o vetor de for¸cas externas atuantes na estrutura excetuando as for¸cas de

controle (vetor de for¸cas de excita¸c˜ao); e

• fc(t) ´e o vetor de for¸cas de controle.

Neste trabalho, sistemas com múltiplos GLs serão analisados no Cap´ıtulo 4 onde serão abordados tópicos complementares à presente se¸cão.

(18)

Cap´ıtulo 3

Sistema de Controle Passivo (SCP)

de Ciclo Fechado N˜

ao Sensoriado

3.1 Introdu¸c˜

ao

Muitas estruturas reais utilizam sistemas de controle do tipo passivo para atenuar vi-bra¸cões. Conforme descrito anteriormente, nesse tipo de sistema de controle a introdu¸cão das for¸cas dissipativas ocorre por meio de sistemas auxiliares, não sendo necessário o uso de energia externa ao sistema, o que pode representar um grande benef´ıcio.

Como exemplo de utiliza¸cão do SCP pode-se citar o Edif´ıcio Taipei 101 (Massoca et al., 2010), localizado em Taipei (Taiwan). Essa estrutura possui um pêndulo de 800 toneladas para absorver vibra¸cões causadas pela a¸cão de terremotos e ventos. Esse pêndulo é apresentado na Figura (3.1). A disserta¸cão de mestrado de Pinheiro (1997) faz um estudo detalhado deste tipo de sistema de controle.

Figura 3.1: SCP do Edif´ıcio Taipei 101.

No Brasil, em 2004 foram instalados Múltiplos Atenuadores Dinâmicos Sincronizados (MADS’s) na Ponte Rio-Niterói (Battista, 2006) para controlar as amplitudes de oscila¸cões induzidas pelo vento, que chegaram a 60 cm. Esses atenuadores são constitu´ıdos por caixas de a¸co com 2 t, penduradas em seis molas em espiral, com capacidade de se alongarem até 3,5 m. O esquema é apresentado na Figura (3.2).

(19)

Figura 3.2: SCP da Ponte Rio-Niter´oi.

Os MADS’s vem apresentando um bom desempenho com redu¸c˜ao das amplitudes de deslocamento vertical no meio do v˜ao central da ponte, onde foram instalados, em torno de 75% (Battista (2006)).

Tais exemplos demonstram a aplica¸cão e eficiência dos sistemas de controle do tipo passivo para melhorar o desempenho de estruturas novas ou já existentes.

A seguir serão apresentadas algumas simula¸cões computacionais da aplica¸cão de um sistema de controle do tipo passivo. Trata-se de um sistema de amortecimento do tipo frequência sintonizada onde a estrutura é modelada por 1 GL generalizado.

3.2 Descri¸c˜

ao do Sistema Dinˆ

amico:

O modelo adotado para simular o SCP neste trabalho foi o sistema com dois graus de liberdade representado na Figura (3.3), onde:

Figura 3.3: Esquema de um sistema massa-mola com dois graus de liberdade.

• m1, k1 e c1 s˜ao respectivamente a massa, a rigidez e a constante de amortecimento

(20)

• m2, k2 e c2 s˜ao respectivamente a massa, a rigidez e a constante de amortecimento

viscoso do absorsor.

3.3 Equa¸c˜

oes de Equil´ıbrio Dinˆ

amico:

Para este sistema as equa¸c˜oes diferenciais de equil´ıbrio dinˆamico podem ser escritas na forma matricial da seguinte maneira:

· m1 0 0 m2 ¸ ½ ¨ q1 ¨ q2 ¾ + · c1+ c2 −c2 −c2 c2 ¸ ½ ˙q1 ˙q2 ¾ + · k1+ k2 −k2 −k2 k2 ¸ ½ q1 q2 ¾ = ½ fe 0 ¾ (3.1) Escrevendo-se as derivadas de q1(t) e q2(t) atrav´es de aproxima¸c˜oes expressas por

diferen¸cas finitas mostradas nas Equa¸c˜oes (3.2) e (3.3) (Ruggiero and Lopes, 2006), pode-se reescrever a Equa¸c˜ao (3.1) na forma discreta e uma vez explicitando os valores de

q1(ti+1) e q2(ti+1) chega-se `a Equa¸c˜ao (3.4).

¨ qj ∼= qj(ti+1) − 2qj(ti) + qj(ti−1) ∆t2 (3.2) ˙qj ∼= qj(ti+1) − qj(ti−1) 2∆t (3.3) onde: • i = 1 ... n; • j = 1, 2;

• tf = n∆t ´e o tempo final da an´alise; e • ti = i∆t.   m1 ∆t2 +_2∆tc1 + _2∆tc2 −_2∆tc2 − c2 2∆t m2 ∆t2 +_2∆tc2      q1(ti+1) q2(ti+1)   =   f i e+ ¡_2m 1 ∆t2 − k1− k2 ¢ q1(ti) + ¡ −m1 ∆t2 + _2∆tc1 +_2∆tc2 ¢ q1(ti−1) + k2xi2+ ¡ − c2 2∆t ¢ q2(ti−1) q1(ti) + ¡ − c2 2∆t ¢ q1(ti−1) + ¡_2m 1 ∆t2 − k2 ¢ q2(ti) + ¡ −m2 ∆t2 +_2∆tc2 ¢ q2(ti−1)  (3.4)

Da Equa¸cão 3.4 é poss´ıvel através de um procedimento incremental partindo-se dos valores iniciais de q1(t0), q2(t0), ˙q1(t0) e ˙q2(t0), calcular os deslocamentos q1e q2 do sistema

(21)

3.4 Sistema de Controle de Frequˆ

encia Sintonizada:

Para que o absorsor de massa m2 funcione de forma eficiente é necessário calibrá-lo em

rela¸cão à estrutura. Para isso foi desenvolvido um algoritmo cujo objetivo é, após definidas as propriedades f´ısicas m1, k1 e c1 da estrutura cujos deslocamentos deseja-se controlar

e c2 do absorsor, determinar dentro de um intervalo de valores pr´e-definidos quais as

propriedades f´ısicas m2 e k2 do absorsor (SCP) que resultam nos menores deslocamentos

da estrutura. Isto foi feito através da utiliza¸cão de algoritmos genéticos (Martins et al., 2008).

O algoritmo gen´etico utilizado neste trabalho foi desenvolvido por Martins, T. V.. Foi utilizado como parˆametro a ser minimizado o valor de υ dado por:

υ = n X i=0 q2 1(ti). (3.5)

O absorsor foi testado em duas situa¸c˜oes:

• Estrutura sujeita a vibra¸c˜oes livres; e

• Estrutura sujeita a carregamentos harmˆonicos.

Em ambos os casos as propriedades da estrutura fict´ıcia foram definidas como:

• m1 = 100kg;

• c1 = 100Ns/m; e

• k1 = 104N/m,

e a constante de amortecimento viscoso do absorsor foi fixada como:

• c2 = 100 Ns/m.

3.4.1 Estrutura Sujeita a Vibra¸c˜

oes Livres

Para simular a estrutura sujeita a vibra¸c˜oes livres, foram fixados como deslocamentos iniciais os seguintes valores:

• q1(t0) = 1 m; ˙q1(t0) = 0 ⇒ q1(t0+ ∆t) = 1 m; e

• q2(t0) = 1 m; ˙q2(t0) = 0 ⇒ q2(t0+ ∆t) = 1 m.

A resposta não controlada do sistema está apresentada na Figura (3.4) através da linha fina (Sem absorsor) e o valor do parâmetro υ calculado através da Equa¸cão (3.5) para este caso é:

υvl sem controle = 1011, 0m2.

Em seguida, foram definidos alguns intervalos de busca para as propriedades massa e rigidez do absorsor que resultassem no menor valor para o parâmetro υ. Os resultados obtidos através do algoritmo genético estão apresentados na Tabela (3.1):

(22)

Tabela 3.1: Calibra¸c˜ao do SCP para Vibra¸c˜oes Livres

Intervalo de busca de m2 Intervalo de busca de k2 m2 k2 υ

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2₎

0,5 - 30 1 - 104 _{50,8 2.100,8 386,1148}

0,5 - 20 1 - 104 _{25,9 1.040,0 499,0995}

0,5 - 10 10 - 104 _13,2 _221,1 _672,1833

Resultados

Analisando a Tabela (3.1) conclui-se que as menores oscila¸c˜oes de m1 foram obtidas

quando m2 = 50,8 kg e k2 = 2.100,8 N/m. Nesta situa¸c˜ao, a frequˆencia natural de

vibra¸cão do absorsor é de 6,43 rad/s, o que corresponde a 64,3 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura, que é de 10 rad/s. A compara¸cão entre as respostas não-controlada e controlada pode ser feita através da Figura (3.4).

0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (s) Deslocamento x1 (m) Sem absorsor Com absorsor

Figura 3.4: Respostas para vibra¸c˜oes livres n˜ao controlada e controlada com m2 = 50,8

kg e k2 = 2.100,8 N/m.

Neste caso, por´em, foi necess´aria uma massa m2muito grande, correspondente a 50.8%

de m1. Na pr´atica, um SCP como este poderia ser invi´avel por ser muito pesado.

Um resultado mais próximo de uma aplica¸cão prática é m2 = 13,2 kg e k2 = 221,1N/m.

Nesta situa¸cão, a frequência natural de vibra¸cão do absorsor é de 4,09 rad/s, o que cor-responde a 40,9 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura. A resposta controlada com esse absosor está apresentada na Figura (3.5).

´

E poss´ıvel observar que as menores amplitudes de vibra¸cão da estrutura foram al-can¸cadas com um amortecedor cuja frequência natural de vibra¸cão corresponde a 64,3 %

(23)

0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (s) Deslocamentos x1 (m) Sem absorsor Com absorsor

Figura 3.5: Respostas para vibra¸c˜oes livres n˜ao controlada e controlada com m2 = 13,2

kg e k2 = 221,1 N/m.

da frequˆencia natural de vibra¸c˜ao da estrutura.

Foram feitas algumas tentativas para controle de vibra¸cão da mesma estrutura com o uso de amortecedores com frequências naturais em torno de 90 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura como sugere Battista (1993), porém, nestes casos não foram obtidos bons resultados, conforme apresentado na Tabela (3.2).

Tabela 3.2: Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequências naturais em torno de 90% da frequência natural de vibra¸cão da estrutura sujeita a vibra¸cões livres

m2 k2 υ

(kg) (N/m) (m2₎

5 405,0 1,0173×103

10 810,0 0,962×103

15 12150,0 2,2641×103

3.4.2 Carregamentos Harmˆ

onicos

Para simular a estrutura sujeita a carregamentos harmônicos foram aplicadas em mo-mentos distintos duas for¸cas de excita¸cão de mesma intensidade e frequências diferentes:

• fe1 = 10.000 sen(3t) (frequˆencia de excita¸c˜ao ω = 3 rad/s); e

• fe2 = 10.000 sen(8t) (frequência de excita¸cão ω = 8 rad/s, próxima da frequência

(24)

Para esses carregamentos foram respectivamente obtidas as respostas dinâmicas não controladas apresentadas nas Figuras (3.6) e (3.7) através das linhas finas (Sem controle). Os valores do parâmetro υ obtidos para estes casos são:

υfe1 sem controle = 1, 7999 × 10

4_m2_{; e}

υfe2 sem controle = 1, 1297 × 10

5_m2_.

Em seguida, foram definidos alguns intervalos de busca para as propriedades massa e rigidez do absorsor que resultassem no menor valor para o parâmetro υ para os dois casos. Os resultados obtidos através do algoritmo genético estão apresentados nas Tabelas (3.3) e (3.4):

Tabela 3.3: Calibra¸c˜ao do SCP para o Carregamento Harmˆonico fe1 = 10.000 sen(3t)

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2₎

0,5 - 30 1 - 104 ₁ _{13.107,0 3,0179 × 10}3

0,5 - 20 1 - 104 ₁ _{13.110,0 3,0171 × 10}3

0,5 - 10 10 - 104 ₁ _{13.114,0 3,0160 × 10}3

Tabela 3.4: Calibra¸c˜ao do SCP para o Carregamento Harmˆonico fe2 = 10.000 sen(8t)

(kg) (N/m) (kg) (N/m) (m2₎

0,5 - 10 10 - 104 ₁ _{13.065,0 5,4648 × 10}3

0,5 - 10 10 - 104 ₁ _{13.193,0 5,3815 × 10}3

0,5 - 10 102 _{- 10}4 ₁ _{13.204,0 5,3744 × 10}3

Resultados

Para a estrutura sujeita `a for¸ca de excita¸c˜ao fe1 = 10.000 sen(3t), as menores

oscila¸c˜oes foram obtidas quando m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m. Nesta situa¸c˜ao, a

frequência natural de vibra¸cão do absorsor é de 114,52 rad/s, mais de 10 vezes maior que a frequência natural de vibra¸cão da estrutura.

A compara¸cão entre as respostas controlada e não controlada pode ser feita através da Figura (3.6).

Para a estrutura sujeita à for¸ca de excita¸cão fe2= 10.000 sen(8t), as menores oscila¸cões

foram obtidas quando m2 = 1,0 kg e k2 = 13.204 N/m. Nesta situa¸c˜ao, a frequˆencia

natural de vibra¸cão do absorsor é de 114,91 rad/s, também mais de 10 vezes maior que a frequência natural de vibra¸cão da estrutura.

A compara¸cão entre as respostas controlada e não controlada pode ser feita através da Figura (3.7).

(25)

0 5 10 15 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Tempo (s) Deslocamento x1 (m) Sem controle Com controle

Figura 3.6: Respostas para o carregamento harmˆonico fe1= 10.000 sen(3t) n˜ao controlada

e controlada com m2 = 1,0 kg e k2 = 13.114 N/m.

Pode-se observar que o SCP apresentou uma grande eficiência em reduzir as amplitudes de vibra¸cão provocadas pelos carregamentos harmônicos. Bons resultados foram obtidos com a utiliza¸cão de um absorsor com massa m2 correspondente a apenas 1% da massa da

estrutura m1.

Novamente foram feitas algumas tentativas para controle de vibra¸cão da mesma estru-tura com o uso de amortecedores com frequências naestru-turais em torno de 90 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura e nestes casos os resultados obtidos não foram tão efi-cientes quanto os anteriores, conforme apresentado na Tabela (3.5).

Tabela 3.5: Resultados obtidos com o uso de amortecedores com frequências naturais em torno de 90 % da frequência natural de vibra¸cão da estrutura sujeita a carregamentos harmônicos For¸ca de Excita¸cão m2 k2 υ (N) (kg) (N/m) (m2₎ fe1 1 81,0 1,7722 × 104 fe1 5 405,0 1,6576 × 104 fe2 1 81,0 1,1208 × 105 fe2 5 405,0 1,0833 × 105

(26)

0 5 10 15 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Tempo (s) Deslocamento x1 (m) Sem controle Com controle

Figura 3.7: Respostas para o carregamento harmˆonico fe2= 10.000 sen(8t) n˜ao-controlada

(27)

Cap´ıtulo 4

Sistema de Controle Ativo (SCA)

4.1 Introdu¸c˜

ao

Muitas estruturas fazem uso de controladores ativos para solucionar problemas dinâmicos. A maioria delas está localizada no Japão, como o Edif´ıcio Kyobashi Seiwa (Jr. and Sain, 1997) e a Ponte Rainbow (Tanida, 2002), ambos situados em Tóquio.

Os sistemas de controle ativo s˜ao compostos por:

• Sensores: que registram informa¸c˜oes como deslocamentos, velocidades e/ou

ace-lera¸c˜oes de pontos da estrutura;

• Controladores: que realizam os c´alculos das for¸cas de controle; e • Atuadores, que aplicam as for¸cas de controle.

Conforme descrito anteriormente, neste trabalho será estudado um sistema de controle ativo com ciclo fechado. Neste tipo de controle, o cálculo das for¸cas depende das respostas da estrutura. Porém, na prática, apenas um número reduzido de pontos são monitorados. Busca-se, portanto, avaliar a qualidade do controle ativo nestas situa¸cões. Para isso, foi utilizada a técnica dos observadores de estado.

Neste cap´ıtulo são apresentados alguns conceitos e ferramentas utilizadas para simular a a¸cão do controlador ativo com ciclo fechado em uma viga e em seguida serão apresentados os resultados obtidos através das simula¸cões desse SCA.

4.2 Equa¸c˜

oes Diferenciais do Movimento para

Estruturas Discretizadas em Elementos de Viga

via M´

etodo dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos (MEF) aplicado à Análise Estrutural é basicamente, um procedimento de discretiza¸cão de uma estrutura complexa através da montagem de elementos estruturais finitos. Tais elementos são tratados como cont´ınuos e os desloca-mentos em qualquer ponto no interior de um elemento são fun¸cões dos deslocadesloca-mentos nodais dos extremos do mesmo. Na Figura (4.1) está representado um elemento de viga, que possui dois graus de liberdade por nó: uma transla¸cão e uma rota¸cão. Aplicando os fundamentos do MEF (Bathe, 1982) a problemas modelados por vigas, chega-se à Equa¸cão (4.1).

(28)

Figura 4.1: Elemento de Viga.

Mel_{q + C}_¨ el_{˙q + K}el_{q = f}el

e + fcel, (4.1)

onde:

• Mel _{´e a Matriz de Massa do Elemento de Viga no referencial local:}

Mel = mL 420           156 22L 54 −13L 22L 4L2 _13L _−3L2 54 13L 156 −22L −13L −3L2 _−22L _4L2           , sendo:

– m a massa por metro linear do elemento; e – L o comprimento do elemento;

• Kel _{´e a Matriz de Rigidez do Elemento de Viga no referencial local:}

Kel₌           12EI

L3 6EI_L2 −12EI_L3 6EI_L2

6EI

L2 4EI_L −6EI_L2 2EI_L

−12EI

L3 −6EI_L2 12EI_L3 −6EI_L2

6EI

L2 2EI_L −6EI_L2 4EI_L           , sendo:

– E o módulo de elasticidade do material constitutivo do elemento; – A a área da se¸cão transversal do elemento; e

(29)

• Cel _{´e a Matriz de Amortecimento do Elemento de Viga no referencial local,}

geralmente tomada como: Cel_{= αM}el_{+ βK}el _{(α e β sendo s˜ao n´umeros reais);}

• fel

e s˜ao as For¸cas Externas atuantes no elemento, em um referencial local, excetuando

as for¸cas de controle, associadas aos elementos dinˆamicos q(t) = [q1(t), q2(t), q3(t),

q4(t)]T; e

• fel

c s˜ao as For¸cas de Controle atuantes no elemento, em um referencial local, ssociadas

aos elementos dinˆamicos q(t) = [q1(t), q2(t), q3(t), q4(t)]T.

As matrizes de Massa, Rigidez e Amortecimento de uma estrutura, discretizada em elementos finitos, são obtidas pelo somatório das contribui¸cões de cada elemento, tomadas em um referencial global. De forma simbólica: M = N X i=1 Mel_i ; (4.2) K = N X i=1 Kel_i ; e (4.3) C = N X i=1 Cel_i . (4.4)

Da mesma maneira, obt´em-se os vetores contendo as for¸cas de excita¸c˜ao e de controle da estrutura: fe= N X i=1 f_eel_i ; e (4.5) fc= N X i=1 Fel_c_i . (4.6)

4.3 Equa¸c˜

oes de Estado do Sistema

A fim de atender às exigências de desempenho dos sistemas de controle e ao aumento da complexidade dos sistemas, tem sido empregada a teoria do controle moderno. Essa teoria é aplicada a sistemas de entradas e sa´ıdas múltiplas, que podem ser lineares ou não-lineares. É essencialmente uma abordagem no dom´ınio do tempo, e tem como base o conceito de estado.

A seguir s˜ao definidos estado, vari´aveis de estado, vetor de estado e espa¸co de estados, segundo Ogata (2003).

• Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas

de vari´aveis de estado), tais que o conhecimento dessas vari´aveis em t = t0,

jun-tamente com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o

(30)

• Vari´aveis de Estado: As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis x1, x2, ..., xn são necessárias para

des-crever todo o comportamento de um sistema dinˆamico (de tal modo que sendo dada a entrada para t ≥ t0 e especificado o estado inicial t = t0, o estado futuro do

sistema fique completamente determinado), então n variáveis formam um conjunto de variáveis de estado.

• Vetor de Estados: Se forem necess´arias n vari´aveis de estado para descrever

completamente o comportamento de um dado sistema, então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor é chamado de vetor de estado. Assim o vetor de estado é aquele que determina univocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t ≥ t0, uma vez dado

o estado em t = t0 e especificada a entrada u(t) para t ≥ t0.

• Espa¸co de Estados: O espa¸co n-dimencional, cujos eixos coordenados s˜ao

for-mados pelos eixos de x1, x2, ..., xn onde são x1, x2, ..., xn as variáveis de estado, é

chamado de espa¸co de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espa¸co de estados.

Utilizando estes princ´ıpios, pode-se observar que as coordenadas qi(t)(i = 1, 2, ..., n)

que definem o vetor n-dimensional (n −→ número de graus de liberdade da estrutura) q(t), cuja ponta descreve uma trajetória denominada caminho dinâmico, não representam um sistema único, visto que um mesmo caminho dinâmico, considerando-se apenas deslo-camentos generalizados, pode ser descrito de diversos modos. Torna-se necessária, então, a introdu¸cão de mais uma grandeza para bem definir o estado de um sistema. De forma clássica, as velocidades generalizadas ( ˙q(t)) são utilizadas para definir completamente o vetor de estado (x(t)): x(t) = · q(t) ˙q(t) ¸ . (4.7)

Pode-se escrever ent˜ao:

˙x(t) = · ˙q(t) ¨ q(t) ¸ . (4.8)

Pode-se observar que para um vetor q(t) n-dimensional, tem-se um vetor de estado x(t) 2n-dimensional.

Feitas as necessárias considera¸cões sobre o vetor de estado do sistema, chega-se à Equa¸cão (4.9), que é a equa¸cão de estado de um sistema linear invariante no tempo:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (4.9) onde: • A = · 0 I −M−1_{K −M}−1_C ¸ , com dimens˜ao (2n, 2n); • B = · 0 M−1 ¸ , com dimens˜ao (2n, n);

(31)

• u(t) = fe(t)+fc(t), ´e o vetor de for¸cas atuantes no sistema estrutural, com dimens˜ao

n;

• I −→ ´e uma matriz identidade n-dimensional; e • 0 −→ ´e uma matriz de zeros n-dimensional.

4.4 Controle ´

Otimo

4.4.1 Aspectos Gerais

Em um sistema dinˆamico controlado ativamente por meio de for¸cas de controle fc(t), que alteram sua resposta no tempo, o desempenho do sistema de controle ´e medido

segundo alguns critérios de seguran¸ca, ligada às amplitudes de resposta em termos de deslocamentos, conforto do usuário, relacionado com as amplitudes de resposta em termos de velocidade e/ou acelera¸cões, e praticidade, referente a limita¸cões econômicas e/ou f´ısicas na concep¸cão do sistema de controle.

Conceitua-se ent˜ao um controle ´otimo como sendo:

“A determina¸c˜ao de um controle admiss´ıvel ¯fcque leve o sistema a um estado desejado

¯

x(t) e que minimize uma certa medida de desempenho”

4.4.2 Determina¸c˜

ao da For¸ca de Controle ´

Otimo

A determina¸cão da for¸ca de controle ótimo é feita tomando-se como medidas de desempenho as amplitudes dos estados e da própria for¸ca de controle atuante em um sistema ativo de ciclo fechado.

A minimiza¸c˜ao das amplitudes dos estados em um per´ıodo de tempo compreendido entre t0 e tf pode ser feita tomando-se um funcional quadr´atico que inclui a parcela

relativa `as de controle como o escrito na Equa¸c˜ao (4.10) (Barbosa (1996))

J = 1 2x T_(t f)Hx(tf) + 1 2 Z _t_f t0 [xT_{(t)Qx(t) + f} cT(t)Rfc(t)]dt, (4.10) onde:

• J é o funcional a ser minimizado através da determina¸cão da fun¸cão ¯fc(t)

• H, Q e R são matrizes de pondera¸cão com dimensão (2n, 2n), (2n, 2n) e

(n, n), respectivamente.

Para a minimiza¸cão do funcional J é necessário obter a solu¸cão da Equa¸cão Matricial de Riccati dada por:

PA + AT_{P − PBR}−1_BT_{P + Q = 0.} _(4.11)

Após determinar a Matriz de Riccati (P), com dimensão (2n, 2n), pode-se determinar a Matriz de Ganho da for¸ca de controle (G), que possui dimensão (n, 2n) e é definida da seguinte maneira:

(32)

A for¸ca de controle é dada, então, pela Equa¸cão (4.13) :

fc(t) = Gx(t). (4.13)

Chega-se, assim, ao controle ótimo do regulador linear com utiliza¸cão de funcional quadrático.

4.5 Controle com o Uso de Observadores de Estado

4.5.1 Aspectos Gerais

A idéia do uso dos observadores de estado está na divisão da resposta dos sistemas estruturais em 3 tipos de estados:

• Estados sensoreados ou medidos: s˜ao os estados cujos valores s˜ao determinados

diretamente atrav´es do uso de equipamentos de sensoreamento.

• Estados observados: s˜ao os estados dos graus de liberdade da estrutura que n˜ao

s˜ao acess´ıveis por medi¸c˜ao direta.

• Estados estimados: s˜ao os estados resultantes das estimativas dos estados

obser-vados.

Os estados sensoreados em composi¸cão com os estados observados descrevem o compor-tamento dinâmico das estruturas. Porém, quando ocorre a incapacidade da determina¸cão dos estados observados, faz-se uso dos estados estimados para a solu¸cão do problema.

4.5.2 Observadores de Estado

Um sistema ´e dito observ´avel em um instante t0 se, com o sistema no estado x(t0),

for poss´ıvel determinar esse estado a partir da observa¸c˜ao da sa´ıda durante um intervalo de tempo finito.

O conceito de observabilidade é utilizado na solu¸cão de problemas de reconstru¸cão de variáveis de estado não mensuráveis, a partir de variáveis mensuráveis, já que na prática, a dificuldade encontrada com o controle por realimanta¸cão de estado é que algu-mas das variáveis não são acess´ıveis por medi¸cão direta, tornando necessário estimá-las para construir os sinais de controle. A estimativa de variáveis de controle e de variáveis de estado não mensuráveis é denominada observa¸cão e o dispositivo que estima ou observa as variáveis de estado é denominado observador de estado ou simplesmente observador.

Para um sistema com o comportamento dinâmico dado pela Equa¸cão (4.9) e com vetor de estado x(t) 2n-dimensional, a resposta pode ser escrita com o aux´ılio das seguintes equa¸cões (Meirovitch, 1990):

y(t) = C x(t) (4.14)

e

p(t) = C’ x(t), (4.15)

(33)

• y(t) é o vetor de estados sensoriados com dimensão m, sendo m o número de variáveis

de estado sensoriadas;

• p(t) ´e o vetor de estados observados com dimens˜ao (2n − m); e

• C e C’ s˜ao matrizes de dimes˜oes (m, 2n) e (2n − m, 2n) respectivamente.

Pode-se, ent˜ao, escrevˆe-las em formato matricial: · y(t) p(t) ¸ = · C C’ ¸ x(t). (4.16)

Assumindo que a matriz composta pelas matrizes C e C’ ´e uma matriz n˜ao singular, o vetor de estado pode ser obtido da seguinte forma:

x(t) = · C C’ ¸₋₁· y(t) p(t) ¸ = L1y(t) + L2p(t). (4.17) Logo: · C C’ ¸₋₁ = [L1 L2], (4.18)

onde as matrizes L1 e L2 possuem dimens˜ao (2n, m) e (2n, 2n − m) respectivamente.

Derivando as equa¸cões de resposta do sistema (Equa¸cões (4.14) e (4.15)) em rela¸cão ao tempo e substituindo a equa¸cão de estado (Equa¸cão (4.9)) são obtidas:

˙y(t) = C ˙x(t) = C [Ax(t) + Bu(t)]; e (4.19)

˙p(t) = C’ ˙x(t) = C’ [Ax(t) + Bu(t)]. (4.20) Expandindo as Equa¸cões (4.19) e (4.20) e substituindo as rela¸cões dadas pela Equa¸cão (4.17) podemos escrevê-las da seguinte maneira:

˙y(t) = C AL1y(t) + C AL2p(t) + C Bu(t); e (4.21)

˙p(t) = C’ AL1y(t) + C’ AL2p(t) + C’ Bu(t). (4.22)

Conforme descrito anteriormente, o observador é um reconstrutor do vetor de estado que é utilizado quando não é poss´ıvel monitorar todas as variáveis de estado. O modelo matemático do observador é basicamente o mesmo do sistema, porém, para estimá-lo é necessário incorporar o erro de estima¸cão.

O erro de estima¸c˜ao ´e definido como a diferen¸ca entre a sa´ıda medida (y(t)) e a sa´ıda estimada (p(t)).

Dessa forma, o vetor de estados estimados ˙ˆp(t), que possui a mesma dimensão do vetor ˆp(t), é definido pela seguinte equa¸cão:

˙ˆp(t) = C’AL₁y(t)+C’ AL2ˆp(t)+C’ Bu(t)+G0[ ˙y(t)−C AL1y(t)−C AL2p(t)−C Bu(t)].ˆ

(4.23) onde G0 ´e a matriz de ganho do observador de estado. Trata-se de uma matriz de

(34)

estimada (erro de estima¸c˜ao), corrigindo continuamente a sa´ıda do modelo e aumentando, assim, o desempenho do observador.

Substituindo a Equa¸cão (4.21) na Equa¸cão (4.23) e simplificando-a, pode-se escrevê-la da seguinte forma:

˙ˆp(t) = C’AL₁y(t) + G0C AL2p(t) + (C’ − G0C )AL2ˆp(t) + C’ Bu(t). (4.24)

Combinando as Equa¸cões (4.21), (4.22) e (4.24) é poss´ıvel escrevê-las em um único sistema da seguinte maneira (Castro et al., 2010):

   ˙y(t) ˙p(t) ˙ˆp(t)   =   _{C’ AL}C AL1₁ _{C’ AL}C AL2₂ 0₀ C’ AL1 G0C AL2 (C’ − G0C )AL2      y(t) p(t) ˆ p(t)   +    C Bu(t) C’ Bu(t) C’ Bu(t)   . (4.25) S˜ao definidos assim, os vetores de estados sensoriados, observados e estimados.

4.5.3 C´

alculo da For¸ca de Controle ´

Otimo com o Uso de

Obser-vadores de Estado

A for¸ca de controle ótima é obtida segundo a Equa¸cão (4.13). Porém, com o uso da técnica dos observadores de estado é poss´ıvel determiná-la de duas maneiras distintas.

A primeira maneira ´e dada pela Equa¸c˜ao (4.26): fc(t) = G ½ y(t) p(t) ¾ , (4.26)

onde o vetor de estado é obtido através da composi¸cão dos estados sensoriados e dos estados observados. Dessa forma, a for¸ca de controle é calculada como se todos os estados fossem sensoriados, pois o erro de estima¸cão não é considerado.

A segunda maneira ´e dada pela Equa¸c˜ao (4.27): fc(t) = G ½ y(t) ˆ p(t) ¾ , (4.27)

onde o vetor de estado é obtido através da composi¸cão dos estados sensoriados e dos estados estimados.

Como na maioria dos casos, não é poss´ıvel monitorar todos as variáveis de estado de um sistema estrutural, essa segunda forma é a mais utilizada em aplica¸cões reais.

4.6 Aplica¸c˜

ao

Apresenta-se a seguir um exemplo de aplica¸cão do algoritmo apresentado no Apêndice A para controle ativo ótimo com o uso de observadores de estado.

Será estudada uma viga bi-apoiada submetida a um carregamento harmônico, situa¸cão similar à apresentada em Bourquin et al. (1999b) e Bourquin et al. (1999a).

O objetivo é reduzir os deslocamentos com o uso do controle ativo ótimo e analisar a qualidade do controle quando o número de sensores usados para fornecer os deslocamentos utilizados no cálculo das for¸cas de controle é reduzido.

(35)

4.6.1 Descri¸c˜

ao do Sistema Estrutural Dinˆ

amico

O sistema dinâmico em estudo é composto por uma viga de perfil metálico W150×14 bi-apoiada submetida a uma for¸ca vertical dinâmica harmônica fe(t) de magnitude 1000N

e frequˆencia ωe = 50 rad/s:

fe(t) = 1000[sen(50t)]N.

A viga possui 14 m de comprimento e foi discretizada em 4 elementos com 3,5 m de comprimento, totalizando 5 nós. A for¸ca de excita¸cão fe(t) está agindo no nó de número

2 e o atuador está posicionado no nó de número 3 (meio do vão) e é capaz de aplicar uma for¸ca de controle fc(t) na dire¸cão vertical (y).

Esse esquema está representado na Figura (4.2) e as propriedades do perfil que compõe a viga são:

• M´odulo de Elasticidade = 2,1 × 1011 _N/m2_;

• ´Area da Se¸c˜ao = 1,73 × 10−3 _m2_;

• Massa Espec´ıfica = 7850 kg/m3_{; e}

• Momento de In´ercia = 6,84 × 10−6_.

Figura 4.2: Esquema de Discretiza¸c˜ao do Sistema Dinˆamico.

A matriz de amortecimento da viga foi adotada como uma propor¸c˜ao da matriz de massa dada pela seguinte equa¸c˜ao:

C = 0, 2M. (4.28)

As matrizes de pondera¸c˜ao utilizadas para o controle ativo s˜ao: Q = 106_I

(36)

R = I(2n,2n). (4.30)

Serão apresentadas a seguir as respostas dinâmicas do sistema obtidas através de simula¸cões feitas com o algoritmo descrito no Apêndice A.

4.6.2 Resposta N˜

ao-Controlada do Sistema

Os maiores deslocamentos no sistema sem a atua¸cão do controle ocorreram no nó de número 3, localizado no meio do vão da viga. A resposta não-controlada desse nó é apresentada na Figura (4.3) através da linha azul (Sem controle).

Foi obtido como pico extremo ± 14 mm de deslocamento.

4.6.3 Resposta do Sistema com o Uso do Controle Ativo

Com a introdu¸cão do controle ativo na estrutura sem o uso da técnica de observadores de estado, simulando uma estrutura com todos os graus de liberdade sensoriados, situa¸cão bastante dif´ıcil de ser encontrada na realidade, foram obtidas redu¸cões significativas para a amplitude de deslocamentos do nó 3.

A compara¸cão entre as respostas dinâmicas controlada e não controlada pode ser feita através da Figura (4.3). 0 0.5 1 1.5 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Sem controle Com controle

Figura 4.3: Respostas controlada e n˜ao controlada do n´o 3.

Após controlada, a estrutura apresenta como deslocamento máximo ± 3,5 mm. Neste caso, a for¸ca de controle foi calculada segundo a Equa¸cão (4.26) e sua maior magnitude foi 234,33 N.

(37)

4.7 Respostas do Sistema Controlado com o Uso de

Observadores de Estado

Para avaliar o controle ativo quando o número de sensores usados para fornecer os deslocamentos utilizados no cálculo das for¸cas de controle é reduzido, foi utilizada a técnica dos observadores de estado, descrita anteriormente.

Foram simulados dois diferentes casos:

• Caso 1: viga com apenas 1 grau de liberdade estimado, o de n´umero 4; e • Caso 2: viga com 3 graus de liberdade estimados, os de n´umero 2, 4 e 6.

Para ambos os casos foi adotado como erro inicial de estima¸cão o valor de 0,05 m. Para a avalia¸cão da técnica dos observadores de estado na estrutura foi utilizado como critério de desempenho o valor de η dado pela Equa¸cão (4.31):

η = Z _t_f 0 [xT_(t)Q ex(t)]dt, (4.31) onde Qe = 10−5 × I(2n,2n).

Quanto menor o valor de η, melhor ´e o desempenho do controle da estrutura.

Os valores de η obtidos para a estrutura n˜ao controlada e controlada com todos os deslocamentos sensoriados s˜ao respectivamente:

ηsem controle = 4, 0923; e

ηcom controle = 3, 7072.

4.7.1 Caso 1

Na simula¸cão do Caso 1, situa¸cão em que não há o sensoriamento do grau de liberdade de número 4 da viga, as for¸cas de controle são calculadas com o vetor de estado composto pelos estados medidos e estados estimados, conforme apresentado na Equa¸cão (4.27).

A resposta dinâmica controlada referente aos deslocamentos estimados do nó 3 da viga é apresentada na Figura (4.4) através da linha de cor verde (Caso 1).

A compara¸cão das respostas obtidas com as simula¸cões do sistema não controlado, controlado com todos os graus de liberdade sensoriados e com for¸ca de controle calculada através da Equa¸cão (4.26) e no Caso 1 também pode ser feita através da Figura (4.4).

Observa-se que a resposta dinâmica controlada obtida através do uso do observador de estado para um grau de liberdade é bastante próxima da resposta obtida quando todos os estados são monitorados. O valor de η para o Caso 1 foi bastante próximo do valor encontrado no cálculo de ηcom controle:

ηCaso 1 = 3, 7074.

Este fato pode ser explicado devido à rápida aproxima¸cão entre estados medidos e estimados, que pode ser observada através da Figura (4.5). Nesta figura, a linha de cor

(38)

0 0.5 1 1.5 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Sem controle Com controle Caso 1

Figura 4.4: Respostas do n´o 3 n˜ao controlada, controlada com todos os estados sensoriados e controlada com o uso de um estado estimado.

vermelha representa a resposta dinâmica do nó 3 sensoriada e controlada com a for¸ca de controle calculada através da Equa¸cão (4.27) para o Caso 1, enquanto a linha tracejada de cor verde representa a resposta dinâmica do nó 3 estimada e controlada com a mesma for¸ca de controle.

4.7.2 Caso 2

Na simula¸cão do Caso 2, situa¸cão em que não há o sensoriamento dos graus de liberdade de número 2, 4 e 6 da viga, as for¸cas de controle também são calculadas com o vetor de estado composto pelos estados medidos e estados estimados, conforme apresentado na Equa¸cão (4.27).

A resposta dinâmica controlada referente aos deslocamentos estimados do nó 3 da viga no Caso 2 é apresentada na Figura (4.6) através da linha de cor azul claro (Caso 2).

A compara¸cão entre as respostas obtidas com as simula¸cões do sistema não controlado, controlado com todos os graus de liberdade sensoriados e com a for¸ca de controle calculada através da Equa¸cão (4.26) e no Caso 2 pode ser feita através da Figura (4.6).

Observa-se que a resposta dinâmica controlada obtida através do uso dos observadores de estado para três grau de liberdade também é bastante próxima da resposta obtida quando todos os estados são monitorados, o que pode ser comprovado pelo valor de η para o Caso 2:

ηCaso 2 = 3, 7082. (4.32)

(39)

0 0.5 1 1.5 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Sensoriado Estimado

Figura 4.5: Compara¸c˜ao entre estado medido e estimado no Caso 1 referente ao n´o 3.

estimados, que pode ser observada através da Figura (4.7). Nesta figura, a linha de cor vermelha representa a resposta dinâmica do nó 3 sensoriada e controlada com a for¸ca de controle calculada através da Equa¸cão (4.27) para o Caso 2, enquanto a linha tracejada de cor azul claro representa a resposta dinâmica do nó 3 estimada e controlada com a mesma for¸ca de controle.

4.7.3 Compara¸c˜

oes Entre os Resultados Obtidos

Para melhor avaliar o desempenho do controle ativo com o uso de observadores de estado s˜ao apresentados na Tabela (4.1) os valores de η para as diferentes situa¸c˜oes simuladas:

Tabela 4.1: Compara¸c˜ao de valores de η Situa¸c˜ao η

Sem controle 4,0923 Com controle 3,7072 Caso 1 3,7074 Caso 2 3,7082

Analisando a Tabela (4.1), podemos observar que os valores de η para todas as situa¸c˜oes com controle ativo ficaram muito pr´oximos, o que indica que as respostas con-troladas obtidas no Caso 1 e no Caso 2 com o uso de observadores de estado ficou muito

(40)

0 0.5 1 1.5 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Sem controle Com controle Caso 2

Figura 4.6: Respostas do nó 3 não controlada, controlada com todos os estados sensoriados e controlada com o uso de três estados estimados.

pr´oxima da resposta controlada obtida quando todos os graus de liberdade da viga eram sensoriados.

Percebe-se também, que o aumento do número de graus de liberdade estimados resulta em uma pequena queda no desempenho do sistema de controle. Mesmo assim, como ob-servado anteriormente, é obtido um resultado bastante próximo do obtido para a estrutura totalmente sensoriada.

Para avaliar as diferen¸cas entre as for¸cas de controle calculadas com todos os graus de liberdade monitorados e com o uso de observadores de estado no Caso 1 e no Caso 2, ´e apresentada a Figura (4.8) e a Tabela (4.2).

Tabela 4.2: Magnitudes m´aximas de fc

Situa¸c˜ao fc (N)

Com controle 234,33 Caso 1 230,12 Caso 2 228,37

Pode-se observar que as magnitudes das for¸cas de controle calculadas nas três situa¸cões também são bastante semelhantes.

Para comparar as respostas controladas obtidas através das três situa¸cões descritas neste cap´ıtulo, é apresentada a Figura (4.9).

(41)

0 0.5 1 1.5 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Sensoriado Estimado

Figura 4.7: Compara¸c˜ao entre estado medido e estimado no Caso 2 referente ao n´o 3.

´

E poss´ıvel inferir que os a qualidade do controle quando o número de sensores usados para fornecer os deslocamentos utilizados no cálculo das for¸cas de controle é reduzido, é bastante satisfatória, visto que os resultados ficam muito próximos aos obtidos quando todos os graus de liberdade da estrutura são sensoriados.

(42)

0 0.5 1 1.5 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 250 Tempo (s) Força de Controle (N)

Todos os graus de liberdade medidos Caso 1

Caso 2

Figura 4.8: Compara¸c˜ao entre as for¸cas de controle calculadas com todos os graus de liberdade medidos, calculadas no Caso 1 e no Caso 2.

0 0.5 1 1.5 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo (s) Deslocamento Transversal nó 3 (m) Com controle Caso 1 Caso 2

Figura 4.9: Compara¸c˜ao entre as respostas controladas obtidas quando todos os graus de liberdade eram medidos, no Caso 1 e no Caso 2.

(43)

Cap´ıtulo 5

Conclus˜

oes e Coment´

arios Finais

Através da análise dos resultados obtidos pelas simula¸cões dos sistemas de controle pas-sivo e ativo, pode-se concluir que ambos reduziram de maneira significativa as amplitudes de vibra¸cão sofridas pelas estruturas.

De maneira particular, os amortecedos do tipo frequência sintonizada (SCP) se mos-traram mais eficientes na redu¸cão de vibra¸cões provocadas por carregamentos harmônicos quando se compara com as redu¸cões obtidas para a estrutura oscilando em vibra¸cões livres.

Quanto ao controle ativo com retroa¸cão em estruturas com o número reduzido de sensores, o uso da técnica dos observadores de estado se apresentou muito eficiente, visto que as respostas obtidas através do controle com o uso dos estados estimados ficou muito próxima da resposta obtida quando todos os graus de liberdade eram sensoriados.

Foi percebido também, que o aumento do número de graus de liberdade estimados resulta em uma pequena queda no desempenho do sistema de controle ativo. Apesar disso, como já destacado anteriormente, foi obtido um resultado bastante próximo do obtido para a estrutura totalmente sensoriada.

Este trabalho, portanto, apresentou através de análises numéricas a eficiência dos sistemas de controle do tipo passivo e ativo para redu¸cão das amplitudes de vibra¸cões estruturais, demonstrando assim, que a utiliza¸cão desses sistemas de controle é um boa alternativa para solucionar problemas dinâmicos em estruturas.

Como trabalhos futuros s˜ao sugeridos:

• Introdu¸c˜ao de ru´ıdos nos sinais analisados; • Desenvolvimento de modelos experimentais; e • Avalia¸c˜ao de controladores h´ıbridos.