Simulação Computacional do Perfil de Voltagem Elétrica na Câmara para a Síntese de Diamantes utilizando um Algoritmo Paralelo.

Simulação Computacional do Perfil de Voltagem Elétrica na Câmara

para a Síntese de Diamantes utilizando um Algoritmo Paralelo.

João José de Assis Rangel

Dalessandro Soares Vianna

Sicilia Ferreira Ponce Pasini Judice

Universidade Candido Mendes - UCAM-Campos,

Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento em Informática - NPDI,

Campos dos Goytacazes, RJ 28040-320, Brasil.

Resumo

Os diamantes sintéticos são materiais utilizados na fabricação de ferramentas de corte, empregadas no processamento de pedras ornamentais e exploração de petróleo e gás, dentre outras aplicações industriais. Estes diamantes são sintetizados em prensas especiais onde um composto de grafite e metal catalisador é submetido a altas pressões e altas temperaturas, 6GPa e 2000K, respectivamente [1, 2]. Devido às severas condições existentes (pressão e temperatura) e a dimensão reduzida do local da síntese, a medição direta da temperatura e pressão é muito limitada, sendo o acesso de sensores muito restrito. Desta forma, a simulação computacional torna-se um relevante instrumento de apoio ao estudo e a fabricação deste material, uma vez que permite conhecer a temperatura e pressão do processo.

Este trabalho aborda o estudo da distribuição de voltagem elétrica aplicada para aquecimento do composto - grafite e metal catalisador - presentes no processo de síntese de diamantes. O próprio grafite que é a matéria-prima do processo também é o elemento responsável pela produção do calor. Assim, o presente artigo descreve um algoritmo paralelo que será desenvolvido para simular o perfil de voltagem elétrica aplicado no aquecimento do processo de síntese de diamantes. O objetivo do uso de técnicas paralelas é reduzir o tempo gasto pela simulação computacional, permitindo que uma análise mais aprofundada seja realizada em um tempo tolerável.

Palavras chaves: Simulação computacional, programação paralela, diamantes sintéticos. 1. Introdução

Os métodos baseados na transformação da fase grafítica em diamante, em alta pressão estática (6.0GPa) e temperatura (2000K) utilizam diferentes dispositivos para gerar as altas pressões e temperaturas do processo (nota: 1GPa equivale a 10.000atm). Estes dispositivos, conhecidos como Dispositivos de Alta Pressão – DAP, proporcionam as altas pressões e temperaturas necessárias ao processo de síntese, mas provocam também fortes gradientes de pressão e temperatura. Os gradientes de temperatura, por sua vez, são indesejáveis, pois influenciam negativamente nas características dos diamantes produzidos e também diminuem a vida útil das partes do equipamento que ficam próximas da região de síntese [1, 2].

A medição direta da temperatura no interior do processo é muito limitada, devido às severas condições existentes no processo, além do meio sólido (grafite e metal catalisador) se deformar plasticamente, a dimensão do local da síntese ser muito pequena e o acesso difícil ao DAP, pois ele fica no interior de um elemento de metal de alta dureza que faz o acoplamento à prensa hidráulica. Desta forma, a simulação computacional torna-se um instrumento fundamental para o estudo e a fabricação deste material, uma vez que permite calcular o perfil de temperatura e outras variáveis importantes deste processo. Pode-se dizer que, para o caso da distribuição de temperatura, a simulação computacional é o principal meio para obtenção deste parâmetro [3].

Por outro lado, o aquecimento do processo é feito através da passagem de corrente elétrica através do meio comprimido (o próprio grafite que se transformará em diamante). Assim, a voltagem

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elétrica aplicada ao meio comprimido provoca a geração do calor e o controle da temperatura é feito através do controle da voltagem aplicada ao processo. O perfil da voltagem aplicada para aquecimento depende do arranjo construtivo e das propriedades dos elementos presentes na síntese (grafite, catalisador, etc). Este mesmo perfil de voltagem elétrica irá influenciar na forma como ocorrerá a transformação da fase grafítica em diamante, já que a distribuição de temperatura é dependente do perfil de voltagem, dentre outros fatores associados também ao arranjo construtivo e propriedades dos elementos participantes da síntese [3].

Analisar alternativas construtivas que possam minimizar os gradientes de temperatura pode resultar na obtenção de diamantes com melhor qualidade e menor custo. Vale ressaltar, que o custo deste estudo, se feito apenas de forma experimental (em laboratório), é muito alto e na maioria das vezes não proporcionam respostas positivas. Outra característica deste processo é que cinqüenta por cento do custo dos diamantes sintéticos está associado ao custo dos DAPs e a vida útil dos dispositivos está limitada a no máximo cem operações. Todos estes fatores colocam o desenvolvimento das tecnologias de fabricação e aumento da vida útil destes dispositivos no centro da questão científica sobre síntese de diamantes [4].

Com auxílio de simulação computacional torna-se possível estudar, de forma mais viável e abrangente, a distribuição de voltagem e temperatura, tanto na região de síntese, como no dispositivo de alta pressão. Através de simulação computacional é possível investigar os gradientes de temperatura, variações construtivas dos componentes do DAP, variação das propriedades dos componentes da síntese, etc.

Reduzir o tempo de processamento de uma simulação computacional é uma estratégia de impacto para pesquisa e desenvolvimento de tecnologias de síntese de diamantes. O uso de técnicas paralelas é uma maneira eficiente de reduzir o tempo computacional [13, 14, 15]. Muitos trabalhos têm sido publicados sobre simulação computacional aplicada a problemas de síntese de materiais superduros [6, 7], mas a aplicação de técnica paralelas ainda é uma novidade nesta área.

Neste trabalho é proposto um algoritmo paralelo para simular o perfil de voltagem elétrica aplicada no aquecimento do processo de síntese de diamantes. O objetivo do uso de técnicas paralelas é reduzir o tempo gasto pela simulação computacional, permitindo que uma análise mais aprofundada seja realizada em um tempo tolerável.

2. Descrição Física

A Figura 1 apresenta o esquema da parte central do DAP no estado comprimido. Nesta figura podem ser observados os seguintes componentes: bigorna, gaxeta e célula reativa. A célula reativa é o local onde ocorre a transformação da fase grafítica em diamante; é o local da síntese propriamente dita. Analisando a Figura 1, pode ser notado que a célula reativa fica isolada termicamente apenas nas laterais, do lado da gaxeta, que possui baixo coeficiente de condutividade térmica. Nos lados superior e inferior da célula reativa não há isolamento térmico e o calor é dissipado em grande escala. Estas partes estão em contato com a bigorna, constituída de metal de alta dureza e resistência mecânica, com alto coeficiente de condutividade térmica. Esta característica construtiva provoca altos gradientes de temperatura na célula reativa e na parte da bigorna que está em contato direto com a síntese [5]. Variações construtivas deste conjunto podem minimizar os gradientes de temperatura, tanto na célula reativa como na bigorna [6, 7].

Para realizar a síntese, o DAP é levado a uma prensa para pressurização e aquecimento do sistema. O aquecimento é obtido através da aplicação de uma voltagem elétrica pela própria região da síntese. Quando a corrente elétrica flui pela região da célula reativa (elemento 3 – Figura 1) há geração de calor, que deve ser suficiente para atingir a temperatura desejada de processamento. No entanto, a voltagem deve ser controlada depois que inicia a mudança de fase, pois à medida que o diamante se forma, há necessidade de se aumentar a voltagem para compensar a limitação da passagem da corrente pelo próprio diamante [8].

Neste trabalho está sendo estudada parte do DAP mostrada na Figura 2. O objetivo principal é testar o modelo matemático e o algoritmo paralelo para, posteriormente, estudar uma região maior do DAP.

(1- bigorna, 2- gaxeta comprimida e 3- célula reativa comprimida) Figura 1: Detalhe do Dispositivo de Alta Pressão do tipo Bigorna Toroidal.

A Gaxeta e Célula Reativa estão no estado comprimido.

3- Modelagem do Problema

Devido à simetria cilíndrica, o modelo aborda apenas um lado do DAP. A Figura 2 mostra como a matriz se posiciona em relação ao corpo e o elemento de volume abordado. À medida que se amplia a parte do objeto em análise, deve-se aumentar a matriz para se manter a precisão dos cálculos, ou de forma semelhante, para se aumentar a precisão, pode-se aumentar a matriz em cima de uma mesma parte do corpo.

Figura 2: Modelo para discretização do problema

(1- bigorna, 2- gaxeta comprimida, 3- célula reativa comprimida e 4- elemento de volume).

9,3

9

φ60

φ30

φ14

z

y

x

4

3

2

1

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Para o cálculo da distribuição de voltagem elétrica foi utilizada a equação diferencial descrita abaixo com as respectivas condições de contorno [9].

0

y

V

x

.

k

y

x

V

x

.

k

x

⎟⎟

_⎠

=

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

(1) Condições de contorno: y V=V

( )

x,y k = k (x,y). V

( )

x,0 =0

V

( )

x

,

h

=

V

₀ 0 x V 0 x = ∂ ∂ = (condição de simetria); 0 x

Sendo: h e L a altura e o raio do dispositivo de alta pressão, respectivamente. V0 a voltagem

aplicada para gerar o aquecimento do processo e

k

o coeficiente de condutividade elétrica do material.

Para a solução numérica foi utilizada a técnica de diferenças finitas com o método explícito iterativo com parâmetros de Tchebychev [10]. No que consta na literatura que trata do assunto, para problemas do tipo aqui em estudo, os métodos mais empregados são os métodos das diferenças finitas e o método dos elementos finitos. O método dos elementos finitos é sempre recomendado quando se tem geometria complexa em que, se o método das diferenças finitas puder ser usado, ele não terá muita precisão devido às aproximações feitas nas partes da peça que tiverem curvas ou cantos sinuosos. Em muitos casos de modelagem numérica, as duas técnicas se aplicam e se alternam em vantagens e desvantagens, de acordo com o caso em questão [9].

No presente caso, tem-se uma mudança de fase que ocorrerá no processo após o aquecimento, em que pelo método dos elementos finitos seria dificilmente modelado. Além do mais, foi feita a escolha pelo método das diferenças finitas, pois é um método mais fácil de programação e que também é normalmente usado em problemas de condução de calor, como pode ser verificado na literatura [11]. Assim, acredita-se que a técnica de modelagem numérica das diferenças finitas descreverá com grande precisão o problema aqui em análise.

A modelo numérico apresenta-se então da seguinte forma:

(

)

(

)

f

(

x ,x

)

0 x u x , x k x x u x , x k x 2 1 2 2 1 21 2 1 2 1 1 1 = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (2) Definida em um retângulo:

{

0

x

l

,

1

,

2

}

G

=

<

_α

<

_α

α

=

No contorno Γ do retângulo G são definidas as condições:

(

x₁,x₂

) (

=μ x₁,x₂

)

,

(

x₁,x₂

)

∈Γ

u (3)

Para a hipótese que para todos

(

x1,x2

)

∈G, a expressão a seguir é verdadeira:

(

x

,

x

)

c

,

1

,

2

k

c

0

<

1,α

≤

α 1 2

≤

2,α

α

=

(4)

L

h

Então, é possível definir no retângulo G uma rede de pontos Ω com passos h1 e h2 ao longo das

direções x1 e x2 , respectivamente, podendo ser abreviado como:

( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )

x

,

y

y

,

l

N

h

,

l

N

h

,

x

,

x

x

,

jh

x

,

ih

x

ij j , i 2 2 2 1 1 1 j 2 i 1 j , i 2 j 2 1 i 1

=

=

=

=

=

=

, N ..., , 1 , 0 j , N ..., , 1 , 0 i= 1 = 2

(

)

, h y y a h y y a h 1 y a 1 j , 1 i ij ij , 1 1 ij j , 1 i j , 1 i , 1 1 ij , x x 1 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = + − +

(

)

. h y y a h y y a h 1 y a 2 1 j , i ij ij , 2 2 ij 1 j , i 1 j , i , 2 2 ij , x x 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = + − +

Onde N1 e N2 representam o número de linhas e colunas da matriz, respectivamente.

Agora, é então definido γ como a interseção da rede Ω com o contorno Γ. Podemos então substituir o sistema de equação 2 e 3 pelo esquema de aproximação em diferenças finitas, como segue:

(

a

1

y

x

)

_{x ,ij}

(

a

2

y

x

)

_{x ,ij}

f

ij

0

2 2 1 1

+

+

=

, 1 N ..., , 2 , 1 j , 1 N ..., , 2 , 1 i= ₁− = ₂ − (5)

.

x

se

,

y

_ij

=

μ

_{ij ij}

∈

γ

(6) onde: ( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

(

k

x

,

x

k

x

,

x

)

.

5

,

0

a

,

x

,

x

k

x

,

x

k

5

,

0

a

1 j 2 i 1 2 j 2 i 1 2 ij , 2 j 2 1 i 1 1 j 2 i 1 1 ij , 1 − −

+

=

+

=

Sendo possível definir os parâmetros δ e Δ, como:

,

l

2

h

sen

h

4

l

2

h

sen

h

4

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1

π

+

π

=

δ

(7)

.

l

2

h

cos

h

4

l

2

h

cos

h

4

2 2 2 2 2 1 1 2 2 1

π

+

π

=

Δ

(8)

A partir dos parâmetros apresentados, é possível definir os novos parâmetros γ1 e γ2 para uso no

respectivo método. . d , d_{1 2 2 2} 1 1 =βδ+ γ =β Δ+ γ (9) O método explicito iterativo com parâmetros otimizados pode ser então descrito como:

,

1

n

...,

,

1

,

0

k

,

f

Ay

y

y

k 1 k k 1 k

+

=

=

−

τ

−

+ + ₍₁₀₎

Onde τ é o fator de correção, n é o número de iterações executadas, yk a solução aproximada do

problema obtida na iteração número k e A é a matriz de coeficientes do sistema de equações algébricas 5 e 6.

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No método de Tchebychev os parâmetros τk, k= 1,2,…,n calculam-se com objetivo de

minimizar y_n −y na iteração n.

Para definir este parâmetro são usadas as equações:

,

1

1

,

2

,

t

1

_{0 k} 0 _{1 2} 0 0 k

₊

_ξ

ξ

−

=

ρ

γ

+

γ

=

τ

ρ

+

τ

=

τ

(11)

(

)

.

n

...,

,

2

,

1

k

,

n

2

1

k

2

cos

t

,

_k 2 1

=

−

π

=

γ

γ

=

ξ

De posse dos valores τk é possível realizar as iterações para resolver a equação 2, como segue:

( ) _y( ) _r( )_{, i 1, 2,...,N 1, j 1,2,..., N 1.} y_ijk+1 = _ijk −τ_k+1ijk = ₁− = ₂− (12) Sendo: ( )

(

_{a y}( )

)

(

_{a y}( )

)

_{f , i 1,2,...,N 1, j 1, 2,...,N 1.} r _{ij 1 2} ij , x k x 2 ij , x k x 1 k ij 2 2 1 1 − − = − = − − =

4 – Algoritmo Paralelo Proposto

A estratégia adotada no algoritmo paralelo é baseada na técnica pipeline [12]. Primeiramente, a matriz y é dividida (corte horizontal) entre os p processadores, como mostrado na Figura 3(a). Como visto na Seção 3, o cálculo de cada elemento yi,j, além de usar dois elementos da mesma linha (yi,j-1 e yi,j+1), usa um elemento da linha anterior (yi-1,j) e um elemento da linha posterior (yi+1,j), onde 1< i < N1

e 1 < j < N2. Essa dependência de elementos de outras linhas causa um problema nas regiões de

fronteira. Na Figura 3(b), as fronteiras são representadas por linhas em cinza. Nessas regiões, um processador Pt (1 ≤ t ≤ p) necessita de um elemento do processador Pt-1, no caso de ser a primeira

linha da submatriz yt (parte da matriz y relacionada ao processador Pt), ou de um elemento do processo Pt+1, no caso de ser a última linha.

Fig. 3. Estratégia de paralelismo proposta.

O algoritmo proposto começa com o processo P1 cumprindo a primeira iteração sobre a

que pode começar a primeira iteração. P2 começa a primeira iteração enquanto, ao mesmo tempo, P1

começa a segunda iteração. O processo P2 calcula a primeira linha de y 2

e a envia para o processo P1,

pois esta será necessária quando P1 calcular a última linha de y 1

.. P2continua processando a primeira

iteração e quando terminar, a última linha de y2é enviada ao processo P3 e P2 inicia sua segunda

iteração, enquanto ao mesmo tempo P3 inicia sua primeira iteração e P1 já iniciou sua terceira. Este

procedimento se repete até o último processo Pp finalizar a iteração de número n, onde p e n são

parâmetros de entrada do algoritmo e representam, respectivamente, o número de processadores e o número total de iterações.

Na técnica pipeline usada em sistemas operacionais [12], se existem Z trabalhos a serem executados e cada um deles têm z tarefas (considerando que cada uma dessas tarefas é executada em uma unidade de tempo), o primeiro trabalho é executado em z unidades de tempo. O segundo trabalho utiliza z-1 unidades de tempo do trabalho anterior e necessita apenas de uma unidade adicional de tempo. Isto acontece com todos os outros trabalhos. Então, o tempo esperado para a conclusão dos Z trabalhos é de:

TempoTotal = z + (Z – 1) = Z + z – 1.

Se existir um número de trabalhos muito maior do que o número de tarefas (Z >> z), pode-se dizer que:

TempoTotal Z.

O speedup ideal em um pipeline com z tarefas e Z trabalhos é:

Em analogia com a estratégia do algoritmo paralelo adotado neste artigo pode-se dizer que o

speedup ideal para um sistema com p processadores cumprindo n iterações (n >> p) é:

5 – Resultados Computacionais

Os experimentos computacionais foram executados em uma máquina paralela SUN FIRE 6800 com processadores SPARC III 750MHZ e 24GB RAM.

O algoritmo paralelo proposto foi implementado usando a linguagem de programação C e a biblioteca MPI para o paralelismo.

No primeiro experimento, foi usada uma matriz 100x100 simulando uma parte da câmara de 10mm de raio por 10mm de altura. O número de iterações (n) usado foi o suficiente para se obter a convergência do resultado, n = 10000000.

A Tabela 1 mostra para 1 < p < 4 processadores, o tempo e o speedup obtidos. O speedup conseguido com p processadores é calculado dividindo o tempo despendido pelo algoritmo usando um processador (t1) dividido pelo tempo obtido com p processadores (tp).

O experimento foi realizado com 1 < p < 4 processadores porque com p > 4 processadores, o algoritmo começa a perder eficiência (Ex.: t5 > t4). Isso pode ser justificado porque de acordo com o

aumento no número de processadores, a região da matriz y subordinada a cada processador diminui. Com essa diminuição, a execução no processador se torna menor, fazendo com que o ônus causado pela comunicação comece a influenciar mais e mais no tempo total do algoritmo.

No segundo experimento, foi usada uma matriz 600x600 simulando um cilindro de 60mm de raio por 60mm de altura. O número de iterações foi fixado em n = 1000.

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Tabela 1. Resultados obtidos com uma matriz 100x100

O propósito desse teste foi verificar o desempenho do algoritmo paralelo proposto usando 1 <

p < 8 processadores, uma vez que uma matriz de dimensões maiores estava sendo utilizada.

A Tabela 2 mostra para 1 < p < 8 processadores, o tempo e o speedup obtidos. A redução do tempo de processamento com o acréscimo do número de processadores pode ser melhor observada na Figura 6.

Tabela 2. Resultados obtidos com uma matriz 600x600

Figura 6. Tempo de Processamento X Número de Processadores

6 – Conclusões

O processo de simulação analisado demanda um esforço computacional muito grande. Conforme as dimensões da região sob análise cresce, esse esforço cresce exponencialmente. Os experimentos mostraram que aplicando paralelismo nesse processo pode-se reduzir consideravelmente o tempo total de processamento.

Os experimentos mostraram também que quanto mais a região analisada aumenta, maior é o ganho com o paralelismo, causado pelo uso de um número maior de processadores.

Agradecimentos

Este trabalho foi financiado pela Prefeitura Municipal de Campos dos Goytacazes - Rio de Janeiro. Os experimentos computacionais foram realizados no Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC.

Referências Bibliográficas

[1] Bundy, F. P., Bovenkerk, H. P., Strong, H. M., Wentorf, R. H. (1961) Diamond-Graphite Equilibrium Line from Growth and Graphitization of Diamond. J. Chem. Phys. 35(2): 383-391.

[2] Bundy, F. P. (1995) The Pressure -Temperature Phase and Reaction Diagram for Carbon Mechanical Behavior of Diamond and others Forms of Carbon. Mat. Res. Symposium, Vol. 383, 3-20, April 17-21, San Francisco, California, USA.

[3] Novikov, N. V., Levitas, V. I., Leshchuk, A. A., Idesman, A.V. (1991) Mathematical Modeling of Diamond Synthesis Process. High Pressure Research, 7, 195-197.

[4] Leshchuk A. A., Novikov N. V., Maydonyuk A. P. Thermomechanical state of a HPA reaction cell at the graphite-to-diamond phase transition. High Pressure Science and Technology Proc. Joint XV AIRAPT and EHPRG Int. Conf. Warsaw, Poland, sept 11-15 1995 – Singapure: world scientifc publishing Co. Pte. Ltd, 1996 – p 225-227.

[5] Poliakov, V. P., Potemkin, A. A., Monteiro, S. N. (1996) Estabilidade e Resistência de Diamantes Sintéticos do Tipo Carbonado. Anais do 120 Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciência dos Materiais, Águas de Lindóia, SP, vol1, 222-225.

[6] Levitas, V. I., Idesman, A.V., Leshchuk, A. A., Polotnyak, S.B. (1989) Numerical Modeling of Thermomechanical Processes High Pressure Apparatus Applied for Superhard Materials Synthesis. High Pressure Science and Technology, 38-40.

[7] Novikov, N. V., Levitas, V. I., Leshchuk, A. A. (1984) Numerical Simulation of Material Stability Zones in the Working Volumes of High Pressure Equipment. Journal of Superhard Materials, 6(4): 3-8.

[8] Kindlein Jr, W., Casanova, C. A. M., Jornada, J. A. H. (1996) Calibração de Temperatura sob Alta Pressão em Câmara para Síntese de Materiais Superduros. Anais do 120 Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciência dos Materiais, Águas de Lindóia, SP, vol2, 1121-1124.

[9] Gosman, A. D., Launder, B. E., Reece, G. J. (1985) Computer-Aided Engineering Heat Transfer

and Fluid Flow John Wiley & Sons - Nova York.

[10] Samarskii, A. A., Vabishchevich, P. N. (1996) Computational Heat Transfer: The Finite

Difference Methodology. Vol2 - John Wiley & Sons - Nova York.

[11] Hobson, J. M., Wood, N,, Mason, P. J. (1996) A New Finite-Difference Diffusion Scheme.

27 a 30/09/05, Gramado, RS Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável

[12] Silberschatz, A., Galvin, P.B. (1997) Operating System Concepts. John Wiley & Sons, 5a edição. [13] Drummond, L.M.A., Ochi, L.S., Vianna, D.S. (2001) An asynchronous parallel metaheuristic for

the period vehicle routing problem. Future generation computer systems, v.17, p.379-386. [14] Ochi, L.S., Vianna, D.S., Drummond L.M.A., Victor, A.O. (1999) A parallel evolutionary

algorithm for the vehicle routing problem with heterogeneous fleet. Future Generation

Computer Systems, v.14, p.285-292.

[15] Vianna, D.S., Ochi, L.S., Drummond L.M.A. (1999) A parallel hybrid evolutionary metaheuristic for the period vehicle routing problem. II workshop on bio-inspired solution to parallel

processing problems (BIO'99), Lecture notes in computer science, v.1586, p.183-191, San