Formulações Multifluxo de Problemas de Otimização Combinatória

(1)

Formulações Multifluxo de

Problemas de Otimização

Combinatória

Henrique Pacca L. Luna

Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional

Escuela Latino Americana de Verano de

Investigacion Operativa - XII ELAVIO

(2)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e parâmetros

d

_ij distância entre os nós

i

e

j

O problema consiste em encontrar uma árvore

dirigida de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do grafo.

(3)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

Variáveis Binárias

x

_ij

variável booleana que vale 1 se o arco

(i,j) é escolhido para compor a árvore

geradora e vale 0 em caso contrário

Variáveis de Fluxo

f

_ijk

fluxo através do arco (i,j) do produto

destinado ao nó k

(4)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

Modelo de Programação Linear Inteira Mista Função Objetivo

Minimizar (1)

sujeito a

∑

d

_ij

x

_ij

(5)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

∑

f

_ojk

= 1 para o nó o e para todo k

ε

V - {

o} (2)

(o,j)

ε

A

∑

f

_ikk

= 1 para todo nó k

ε

V

- {o}

(3)

(i,k)

ε

A

(6)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

x

_ij

ε

{0,1}, para todo (i, j)

ε

A

(6)

∑

f

_ijk

-

∑

f

_jlk

=

0 para todo j e k

ε

V- {o}

(i,j)

ε

A

(j,l)

ε

A

com j ≠ k

(4)

(7)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínima Distância

Referência

Maculan, Nelson., A New Linear Programming

Formulation for the Shortest s-Directed Spanning Tree Problem, Journal of Combinatorics,

Information & System Sciences, Vol. 11, Nos. 2-4, 53-56 (1986)

(8)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Fixo

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e o parâmetro

b

_ij custo fixo da ligação entre os nós

i e j

dirigida de menor custo fixo de instalação que ligue o nó origem a todos os nós do grafo

(9)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Fixo

Variáveis Binárias

x

_ij

variável booleana que vale 1 se o arco

(i,j) é escolhido para compor a árvore

geradora e vale 0 em caso contrário

Variáveis de Fluxo

f

_ijk

fluxo através do arco (i,j) do produto

destinado ao nó k

(10)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Fixo

sujeito a (2), (3), (4), (5) e (6).

∑

b

_ij

x

_ij

(11)

Vencer Distâncias é

Custoso

b_ij = + d_ij

Custo fixo em função da distância no arco (i,j)

d

_ij

b

_ij

(12)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Fixo

Sendo a relação entre o custo fixo e a distância no

arco (i, j) dada por

b

_ij

= α + β

d

_ij

Observa-se que, quando α = 0, o problema se reduz ao

problema da árvore geradora de mínima distância.

Quando

α = 1 e β = 0 o problema se reduz,

trivialmente, ao problema da árvore geradora.

(13)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Variável

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros

c_{ijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através}

do arco (i,j)

q_k quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V – {o}

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que

(14)

Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Variável

sujeito a

∑ ∑

c

_ijk

f

_ijk

k

ε

V–

{o} (i,j)

ε

A

(15)

O Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Variável

∑

f_ojk = q_k para o nó o e para todo k

ε

V - {o} (2’) (o,j)

ε

A

∑

f_ikk = q_k

para todo nó k

ε

V - {o}

(3’) (i,j)

ε

A

(16)

O Problema da Árvore

Geradora Dirigida de

Mínimo Custo Variável

x

_ij

ε

{0,1}, para todo (i, j)

ε

A (6)

∑

f

_ijk

-

∑

f

_jlk = 0 para todo j e k

ε

V- {o}

(

i,j)

ε

A

(j,l)

ε

A

com j ≠ k (4)

(17)

Levar Carga Longe é

Custoso

k

c

_ijk

=

k

d

_ij

d

_ij

c

_ijk

Custo de uma unidade de fluxo do

produto k em função da distância no

arco (i,j) A

(18)

Custo de Transporte

Proporcional à Carga de

cada Produto

Custo do fluxo de k

f

_ijk

c

_ijk

Custo variável do fluxo do

produto k no arco (i,j) A

(19)

Problema da Árvore de

Steiner em Grafo Dirigido

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o que precisa ser ligado a um sub-conjunto K de nós de demanda e parâmetros

d

_ij distância entre os nós

i

e

j

Steiner de menor comprimento total que ligue o nó origem a todos os nós do conjunto K contido em V

(20)

Problema da Árvore de

Steiner em Grafo Dirigido

Variáveis Binárias

x

_ij

variável booleana que vale 1 se o arco

(i,j) é escolhido para compor a árvore

geradora e vale 0 em caso contrário

Variáveis de Fluxo

f

_ijk

fluxo através do arco (i,j) do produto

destinado ao nó k ε K

(21)

Problema da Árvore de

Steiner em Grafo Dirigido

sujeito a

∑

d

_ij

x

_ij

(22)

Problema da Árvore de

Steiner em Grafo Dirigido

∑

f

_ojk

= 1 para o nó o e para todo k

ε

K

(12)

(o,j)

ε

A

∑

f

_ikk

= 1 para todo nó k

ε

K

(13)

(i,k)

ε

A

(23)

Problema da Árvore de

Steiner em Grafo Dirigido

x

_ij

ε

{0,1}, para todo (i, j)

ε

A

(16)

∑

f

_ijk

-

∑

f

_jlk

=

0 para pares j V- {o},

(i,j)

ε

A

(j,l)

ε

A k ε K

com j ≠ k (14)

(24)

Tempo é Dinheiro

b_ij = + d_ij

Custo do tempo de espera para o fluxo total do arco (i,j) A

Atrazo

g_ij

C

(25)

Problema da Árvore

Geradora Congestionada de

Mínimo Custo

Supõe-se dado um grafo dirigido e conexo G(V,A), com um nó origem o e os parâmetros

c_{ijk custo de uma unidade de fluxo do produto k através}

do arco (i,j)

q_k quantidade requisitada de produto k no nó de demanda k ε V – {o}

O problema consiste em encontrar uma árvore dirigida de menor custo total de transporte dos produtos que