Tensões e Princípios Fundamentais da Mecânica do Contínuo

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MESTRADO EM ESTRUTURAS

Disciplina:

Introdução à Mecânica do Contínuo

Professor:

Márcio André Araújo Cavalcante

Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Centro de Tecnologia – CTEC

Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Maceió - Alagoas

Tensões e Princípios Fundamentais

da Mecânica do Contínuo

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 Forças de Superfície e Forças de Corpo

:

Análise do volume

V

_t

limitado pela superfície

S

_t

na configuração

deformada do corpo:

1) Na mecânica do contínuo nós consideramos a interação entre porções vizinhas do corpo deformável de forma bastante simplificada. 2) Na realidade, tais interações ocorrem de maneira bastante complexa

por meio de forças interatômicas.

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Forças de Superfície e Forças de Corpo

:

Na mecânica do contínuo o efeito de todas as

forças interatômicas

através de uma dada superfície

S

_t

é representado por um simples

campo vetorial

t(x,n)

definido em

S

_t

.

Além disso, o efeito de

forças externas

tal como a

gravidade

é

representado por um outro campo vetorial

b(x)

definido no volume

V

_t

.

 Em pontos onde S_t está no interior do corpo, t(x,n) representa a força por unidade de área em S_t exercida pelo material fora do volume V_t.

 Em pontos onde S_t coincide com a superfície do corpo, t(x,n) pode

representar uma força por unidade de área exercida em S_t por um agente externo.

 b(x) representa uma força distribuída por unidade de volume causada por um agente externo, normalmente a gravidade.

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Forças de Superfície e Forças de Corpo

:

onde:

t(x,n)

= vetor de tensão ou força de superfície;

b(x)

= força de corpo e

n

= vetor unitário saindo da superfície S.

Desta forma:

(Força resultante no volume V_t)

(Momento resultante em relação à origem no volume V_t)

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Princípio da conservação do momento linear

:

“A resultante das forças externas atuando num sistema é igual à taxa de variação total do momento linear do sistema.”

Densidade do momento linear:

Momento linear total no volume V_t: Onde:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Interação entre partes do corpo deformado

:

Suponha o volume V_t sendo cortado por uma superficie S’_t em duas partes:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Desta forma:

Como e

Tem-se:

O que resulta em:

Uma vez que V_t e S’_t são arbitrários!

 Interação entre partes do corpo deformado

:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Fórmula de Cauchy

:

Considere um tetraedro infinitesimal com três faces paralelas aos planos de coordenadas e passando por um ponto arbitrário P. A quarta face tem área dA_t e vetor normal unitário n.

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Fórmula de Cauchy

:

Relações geométricas utilizadas:

onde dh é a altura do tetraedro definida pela distância de P até a quarta face dA_t.

Do princípio da conservação do momento linear, tem-se:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Fórmula de Cauchy

:

 Onde s_ij são as componentes de um tensor de segunda ordem

conhecido como tensor de tensão de Cauchy.

 s_ij representa a componente na direção j da força por unidade de área atuando no elemento de superfície da configuração deformada que tem normal na direção i.

Fórmula de Cauchy: Fazendo-se:

Tem-se:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensor de Tensão de Cauchy

:

Representação no cubo infinitesimal das componentes do tensor de tensão de Cauchy, também conhecido como tensor das tensões verdadeiras, por ser definido utilizando a configuração final ou deformada do corpo:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Equações diferenciais de equilíbrio

:

Princípio da conservação do momento linear:

Utilizando-se a fórmula de Cauchy:

Aplicando-se o teorema da divergência:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Equações diferenciais de equilíbrio

:

Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V_t:

Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma descrição Euleriana do movimento:

Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes

equações diferenciais de equilíbrio:

“Onde despreza-se os efeitos inerciais do movimento.”

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Princípio da conservação do momento angular:

“O momento resultante das forças externas atuando num sistema em relação a um ponto fixo é igual à taxa de variação total do momento angular do sistema em relação a este ponto.”

Densidade do momento angular em relação à origem: Momento angular total no volume V_t:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Em notação indicial tem-se:

Produto vetorial utilizando-se o símbolo de permutação:

Símbolo de permutação:

 Princípio da conservação do momento angular:

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MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Simetria do tensor de tensão de Cauchy:

Onde:

 Princípio da conservação do momento angular:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Como:

e:

Tem-se:

O que resulta em:

 Princípio da conservação do momento angular:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Uma vez que a igualdade anterior vale para qualquer região V_t , tem-se:

Da equação acima pode-se deduzir:

O que resulta na simetria do tensor de tensão de Cauchy:

 Princípio da conservação do momento angular:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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Uma vez que s_ij são componentes de um tensor de segunda ordem, tem-se:

 Transformação de Tensões:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

(Lei de Transformação para um Tensor de Segunda Ordem)

onde:

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 Transformação de Tensões:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Transformação de Tensões:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensões Principais:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

Uma vez que o tensor de tensão s é simétrico, vão existir três direções principais mutuamente ortogonais que definem um sistema de coordenadas transformado tal que:

onde:

n

_i

= direções principais ou autovetores normalizados de s;

s

_i

= tensões principais ou autovalores de s.

As tensões principais incluem os valores máximo e mínimo das tensões normais.

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 Tensões Principais:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

Problema de Autovalores e Autovetores:

onde:

Equação Característica:

onde:

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 Círculo de Mohr:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Equações diferenciais de equilíbrio utilizando o sistema de

coordenadas cilíndricas

(r,

q

,z)

:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Equações diferenciais de equilíbrio utilizando o sistema de

coordenadas esféricas

(r,

q

,

f

)

:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Relação de Nanson

:

Elemento de área orientado na configuração indeformada: Elemento de área orientado na configuração deformada:

Elemento de volume na configuração indeformada:

Elemento de volume na configuração deformada:

Onde: Logo:

Relação de Nanson: ou

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensões de Piola-Kirchhoff

:

Componentes da força atuante no elemento de superfície dS_t da configuração deformada do corpo:

Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

 Também conhecido como tensor de tensão de engenharia.  É a tensão geralmente medida em ensaios experimentais.

t(X,N) é o primeiro vetor de tensão de Piola-Kirchhoff que atua na superfície indeformada do corpo.

É um tensor de tensão energeticamente conjugado ao tensor

gradiente de deformação.

ou ou

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensões de Piola-Kirchhoff

:

Componentes da força atuante no elemento de superfície dS_t da configuração deformada mapeada até a configuração indeformada do corpo usando o tensor gradiente de deformação:

Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff:

Logo:

 Não apresenta significado físico.

 É um tensor de tensão simétrico energeticamente conjugado ao

tensor de deformação de Green-Lagrange.

ou ou

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensões de Piola-Kirchhoff

:

Princípio da conservação do momento linear usando como referência a configuração indeformada do corpo:

Onde B é a força de corpo atuante no volume V₀.

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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 Tensões de Piola-Kirchhoff

:

Uma vez que a igualdade abaixo vale para qualquer região V₀:

Tem-se as seguintes equações diferenciais do movimento para uma descrição Lagrangeana do movimento:

Considerando-se um carregamento quanse-estático, tem-se as seguintes

equações diferenciais de equilíbrio:

TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

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TENSÕES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA

MECÂNICA DO CONTÍNUO:

 Tensões de Piola-Kirchhoff

:

Usando a simetria do tensor de tensão de Cauchy obtida aplicando-se o princípio da conservação do momento angular à configuração deformada do corpo, tem-se:

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