LISTA 2 – CÁLCULO I - DERIVADAS
1- Encontre as derivadas das seguintes funções:
A) y= 10x³+2x²+3x-1 = 30x²+4x+3 B) y= = C) y=x²senx = x(xcosx+2senx) D) y= = = E) f(x)= 4cos3x-3sen4x = -12sen3x-12cos4x F) y= x = G) y= = H) y=tgx.secx = secx(tg²x+sec²x) I) y=x²sen2x = 2x(xcos2x+sen2x) J) y= = 7 K) y = √ = √ L) f(x) = cos(2x³ +3) = - 6x² sen(2x³+3)
2- Dada a equação x²- 5xy + 3y² = 7, determine
:
3-
Calcule a derivada da função y = - 2x² + 3 :
4- A derivada de uma função nos permite analisar taxas de variação, os quais são fundamentos para entender conceitos em áreas como física, economia e engenharia. A derivada da função f(x) =
é igual a:
5- A derivada da função , quando x = -1: y’= 0
6- A equação da reta tangente à curva y = no ponto é:
7- A equação da reta tangente à curva y = (2x+1) (x²-x+3), no ponto x=0 é:
8- Estima-se que daqui a t meses, a população de um certo município será de P(t) = t²+ 20t + 8000 habitantes. Qual será a taxa de variação da população daqui a 15 meses? 50 hab/mês.
9- Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t³ - 6t² + 9t +5 metros. Dessa forma, responda:
a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo no instante t= 5 segundos: 24m/s e 18m/s² b) Em que instante o corpo está estacionário? 1 e 3 s
10- Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação s = √ onde s é dado em metros e t em segundos.
a) Encontre a velocidade média desse corpo no intervalo de [0,2]: 1m/s b) Encontre a velocidade para t=2 s: 1,5 m/s
11- Um empresário estima que quando x unidades de um certo produto são vendidas, a receita bruta associada ao produto é dada por C(x) = 0,5x² +3x -2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita quando 3 unidades são vendidas?
6 mil reais/ unidade
12- Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número n de pessoas atingidas ela moléstia depois de um tempo t, medido em dias a partir do 1º dia da epidemia, é aproximadamente, dado por:
-
Qual a proporção da expansão da epidemia no tempo t= 4 dias: 48 pessoas/dia
13- Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distancia s(t) percorrida após t segundos é s(t) = Determine a velocidade do atleta quando t=5 seg: 10m/s
14- Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por N(t) = 10t² +30t + 15000, determine:
a) O número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade: 15100 pessoas
b) A taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos: 70 pessoas/ano 15- Encontre se 16- Encontre se y= : 17- Encontre se y= :
18- Uma torneira lança água em um tanque. O volume V litros de água no tanque, no instante t minutos é dado por V(t) = 3t³ + 2t. Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo no instante t = 4 minutos? 146 l/min
A função representa o lucro de uma empresa quando são produzidas unidades de determinada mercadoria. Qual a taxa de variação na produção de 8 unidades: 234,00 por unidade produzida. 20-Calcule a derivada no ponto de abscissa 2 para a função f(x) = e, a seguir, assinale a alternativa CORRETA: letra d
A) 28; B) 10; C) 8; D) 60;
E) Nenhuma das alternativas.
21- A derivada da função F(x)=x²senx é: letra a a) 2xsen+x2cox
b) 2x c) 2xsenx d) cosx e) 2
Um tanque está sendo esvaziado segundo a função – , onde o volume é dado em litros e o tempo em minutos. A que taxa a água escoará após 8 minutos? Assinale a alternativa CORRETA: letra d
A) -8000l/min B) 800L/min C) 8800L/min D) -8800L/min E) -800L/min Seja
. A derivada calculada para corresponde a? letra d
A) 2 B) C) D) E) 3
A equação do movimento de uma partícula é onde é medido em centímetros e em segundos. A velocidade da partícula depois de segundos é dada por: letra b
A) B) C) D)
E)
25-Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada comunidade for dado por N(t) = 10t² +30t + 15000, determine:
a) O número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade: 15100 pessoas
b) A taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos: 70 pessoas/ano
26-Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por V(t) = 50 (80-t)². Determine:
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento: -7500 l/hora
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas do escoamento: -7200l/h
27- A equação do movimento de uma partícula é onde é medido em centímetros e em segundos. A aceleração da partícula depois de segundos é dada por: letra c
A) B) C)
D) E)
28- A equação da tangente ao círculo x² + y²= 25 no ponto (3,4) é:
29-Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um operário que chega no trabalho às 08:00 h terá produzido:
Q(t) = -t³ + 6t² +24t unidades t horas mais tarde. Calcule a taxa de produção do operário às 11:00 h?
33 unidades/ hora
30-Considere o gráfico a seguir e determine o valor da derivada no ponto A da curva em que y = 9 e x = 3: f’(a) = 6.
31- A taxa de variação instantânea de uma função produção P(x) no instante três horas é 15 reais/hora. Qual a inclinação m da reta tangente em P(3) e qual e a derivada nesse ponto? Letra a
a) 15. b) 3. c) 5. d) 2. e) 0.
32-Considerando o gráfico a seguir, marque a alternativa que mostra a taxa de variação média da produção no intervalo de 20 a 30 horas: letra b
a) 100 toneladas/horas. b) 200 toneladas/horas. c) 300 toneladas/horas.
d) 400 toneladas/horas. e) 500 toneladas/horas.
33- Assinale a alternativa que corresponde as afirmativas corretas:
I. O coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos Q e P de uma função apresenta a sua taxa de variação média.
II. O coeficiente angular da reta tangente ao ponto P de uma função apresenta a sua taxa de variação instantânea. III. Para definir a taxa de variação instantânea, são consideradas taxas de variação médias em intervalos que são diminuídos em torno de um ponto P. Esse processo de tornar o tamanho do intervalo tão pequeno que se
aproxime de zero, trata-se do cálculo do limite. Letra d
a) I e II. b) II e III. c) III e I. d) I, II e III.
e) Apenas a I esta correta.
34- A posição de um objeto em movimento e representada pela função: S = f(t) =
, onde t é medido em segundos
e s e representado em metros. Determine a velocidade após t=2: letra a
a) -1/9 m/s. b) 9 m/s. c) 1 m/s. d) 1/4 m/s. e) 7 m/s.
35- Considerando seu conhecimento anterior sobre o coeficiente angular de uma reta, para cada função a seguir, calcule o valor de m e explique o resultado encontrado: a=2 a= - 3 e a=0
36- Considerando seu conhecimento anterior sobre taxa de variação média, considere que a função custo para beneficiar uma quantidade q de trigo e dada por C(q) = 3q² + 500, sendo C dado em reais (R$) e q dado em toneladas (ton). Determine a taxa de variação media do custo para o intervalo de 1 ate 6 toneladas. E indique qual a inclinação da reta secante associada a taxa de variação média obtida: 21 reais por tonelada de trigo.
37- A derivada num ponto e considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente a curva no ponto dado. É possível encontrar a derivada de uma função usando regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que a função for derivável (ou diferenciável). Assim, determine a taxa de variação instantânea para a função f(x)= 12x³+5x²+10x-15 quando x = 2: letra a
a) 174. b) 300. c) 354. d) 150. e) 201.
38- Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e assinale a alternativa que corresponde a sequência correta:
I. A derivada de uma função constante e zero.
II. A derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto.
III. Geometricamente, a derivada pode ser considerada a inclinação da curva ou o coeficiente angular da reta secante que passa pelo ponto. Letra d
Alternativas: a) V, F, V b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, F e) V, V, V
39- Marque a alternativa que apresenta a derivada da função y = (1)/(5x – 3) no ponto x = 1. Letra e
a) y’= 5/4. b) y’= -4/5. c) y’= -1. d) y’= -4/5. e) y’= -5/4.
40- Encontre as derivadas das funções; ; e : ;
