4.Dualidade5.Pos-optimização

(1)

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA

Investigação Operacional I

Exercícios

Dualidade e Pós-optimização

José Oliveira Pires

Ana Alice Pedro

(2)

1. Escreva o dual de cada um dos seguintes problemas de PL:

a) min z= −3x₁−2x ₂ b) max z=5x₁+2x ₂ 1 2 . . − ≥ −2 s a x x s a. . 4x₁+5x₂ ≤10 1 2 2 8 _j 0 1, 2 x x x j − ≥ ≥ = 1 2 1 2 5 2 10 3 8 12 + ≤ + ≤ x x x x x_j ≥0 j=1, 2 c) max z =3x₁+x ₂ d) max z=3x₁+x ₂ 1 2 1 2 1 . . 0.5 15 1 2 0 1, 2 + ≤ − ≥ ≤ ≥ = j s a x x x x x x j 1 2 1 2 1 2 . . 3 2 9 2 8 0 1, 2 − + ≤ − + = + ≥ ≥ = j s a x x x x x x x j e) min z=3x₁+2x₂+x ₃ f) max z=3x₁+2x₂+5x ₃ 1 2 3 1 2 1 3 1 3 2 . . 10 6 5 , 0, 0 s a x x x x x x x x x x − + ≤ + ≥ + ≥ ≥ ≤ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . . 2 4 2 10 2 2 3 15 3 5 5 12 0, 0, s a x x x x x x x x x x x x livre + + ≤ + + = + + ≤ ≥ ≤ g) max z =3x₁+2x₂+2x ₃ h) min z= −2x₁+2x ₂ 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 . . 2 3 2 10 2 3 0 3 2 14 , 0, 0 s a x x x x x x x x x livre x x + + ≥ − ≥ + + ≤ ≤ ≥ 1 2 1 2 1 1 2 . . 2 2 2 8 3 0, 0 s a x x x x x x x − + ≤ + ≥ ≥ ≥ ≤

2. Considere o seguinte problema de PL:

1 3 30 5 min z = x + x 1 2 3 . . 1 s a x − +x x ≥ 1 2 1 3 4 4 10 _j 0 1, 2, 3 x x x x x j + ≤ + ≤ ≥ =

a) Escreva o correspondente problema dual.

b) Mostre que as soluções X =

(

1,1,1 e

)

Y =

(

2, 6, 1− −

)

são admissíveis para o problema primal e dual, respectivamente, e que verificam a propriedade da dualidade fraca.

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1 2 3 10 9 6 max z= x + x − x 1 2 1 2 3 2 3 . . 2 3 5 3 15 1 _j 0 1, 2, 3 s a x x x x x x x x j + ≥ + − ≤ + = ≥ =

b) Mostre que as soluções X =

(

2,1, 0 e

)

Y = −

(

2, 4, 1−

)

são admissíveis para o problema primal e dual, respectivamente, e que verificam a propriedade da dualidade fraca.

1 2 2 3 max z= x + x 1 1 2 1 2 . . 2 2 4 , 0 s a x x x x x ≤ + ≤ ≥

b) Resolva graficamente ambos os problemas (primal e dual).

c) Verifique que os respectivos valores óptimos são iguais.

5. a) Mostre graficamente que o seguinte problema de PL tem solução ilimitada e que o respectivo dual é impossível.

1 2 2 4 max z = x + x 1 2 1 2 1 2 . . 30 2 40 , 0 s a x x x x x x − + ≤ + ≥ − ≥

b) Mostre graficamente que o seguinte problema de PL é impossível e que o respectivo dual tem solução ilimitada.

1 2 min z= + x x 1 2 1 2 1 2 . . 2 3 5 0 , 0 s a x x x x x x + ≥ + ≤ ≥

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1 2 3 5 7 10 max z= x + x + x 1 2 3 1 2 1 2 3 . . 2 5 10 3 15 , , 0 s a x x x x x x x x − + ≤ + ≤ ≥

a) Escreva o problema dual associado e resolva-o graficamente.

b) Utilizando as condições de complementaridade, determine a solução óptima do problema primal.

c) Sabendo queX_B =

(

x , x₃ ₂

)

define o vector das variáveis básicas óptimas, apresente, sem recorrer ao método do simplex, o correspondente quadro óptimo.

7. A FIFA está a planear a distribuição de bilhetes para a final do Campeonato do Mundo de Futebol, a decorrer num estádio com capacidade para 50000 lugares. Estes lugares serão distribuídos pelos “media”, agentes desportivos e público em geral. Os bilhetes para os “media” são gratuitos, mas a FIFA recebe €120 e €200 por cada bilhete destinado aos agentes desportivos e ao público em geral, respectivamente. Pelo menos 2000 bilhetes devem ser reservados para os “media”, enquanto que o número de bilhetes a distribuir pelos agentes desportivos será pelo menos metade do número de bilhetes a distribuir pelo público em geral. Tendo como objectivo a maximização da receita total, a resolução do problema de PL associado conduziu ao seguinte quadro óptimo do simplex:

0 120 200 − CB VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 a1 bi 120 x2 0 1 0 1/3 −2/3 1/3 −1/3 16000 200 x3 0 0 1 2/3 2/3 2/3 −2/3 32000 0 x1 1 0 0 0 0 −1 1 2000 zj 0 120 200 520/3 160/3 520/3 −520/3 8320000 cj - zj 0 0 0 −520/3 −160/3 −520/3 − −

A primeira restrição refere-se ao número máximo de bilhetes; a segunda, ao número de bilhetes destinados aos agentes desportivos; a terceira, ao número de bilhetes a atribuir aos “media”.

a) Determine a solução óptima do dual.

b) Escreva e interprete economicamente as condições de complementaridade.

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8. Uma empresa da indústria farmacêutica pode produzir o seu mais recente produto através de três processos. O primeiro, ao custo de 15€ por tonelada, requer 3 toneladas de um ingrediente do tipo A e 1 tonelada de um outro ingrediente do tipo B e permite obter 2 toneladas de produto. O segundo, ao custo de 30€ por tonelada, requer 2 e 8 toneladas de ingredientes dos tipos A e B, respectivamente, e permite obter 6 toneladas de produto. O terceiro, ao custo de 10€ por tonelada, requer 8 e 2 toneladas de ingredientes dos tipos A e B, respectivamente, e permite obter 1 tonelada de produto. A empresa pretende, minimizando o custo total, produzir pelo menos 50 toneladas do novo produto, dispondo, para o efeito, de 75 toneladas do ingrediente A e 60 do ingrediente B. Tendo como objectivo a minimização do custo total, a resolução do problema de PL associado conduziu ao seguinte quadro óptimo do simplex:

15 30 10 − CB VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 a1 bi 15 x1 1 0 −2/5 −4/5 0 −3/5 4/5 4 0 s2 0 0 43/5 11/5 1 7/5 −11/5 49 30 x2 0 1 3/10 1/10 0 1/5 −1/10 7 zj 15 30 3 −9 0 −3 9 270 cj - zj 0 0 7 9 0 3 − −

A primeira restrição refere-se à quantidade mínima de produção, as segunda e terceira, às quantidades máximas de ingredientes do tipo A e B, respectivamente.

a) Com base no Teorema dos Desvios Complementares, determine a solução óptima do dual e interprete-a economicamente.

b) Escreva o modelo inicial do problema primal.

1 2 15 20 min z= x + x 1 2 1 2 1 2 1 2 . . 2 10 2 3 6 15 , 0 s a x x x x x x x x + ≥ − ≤ + ≤ ≥ Utilize a representação gráfica para:

a) Obter a solução óptima do primal.

b) Efectuar a análise de sensibilidade aos coeficientes da função objectivo.

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10. Considere o seguinte problema de PL:

1 2 2 = + max z x x 1 2 1 2 1 2 1 2 . . 2 4 3 2 14 3 , 0 − + ≤ + ≤ − ≤ ≥ s a x x x x x x x x

a) Utilize a representação gráfica para:

i) Obter a solução óptima do primal.

ii) Efectuar a análise de sensibilidade aos coeficientes da função objectivo.

iii) Efectuar a análise de sensibilidade aos termos independentes.

b) Escreva o quadro óptimo do simplex sabendo que o conjunto das variáveis básicas nesse quadro é VB={s , x , x₁ ₂ ₁}.

c) Escreva o dual do problema.

11. Uma empresa de transformação de madeira produz e comercializa dois produtos, P1 e P2. O modelo de PL elaborado para determinar a solução que maximiza o lucro obtido com a venda daqueles produtos apresenta três restrições: as primeira e segunda restrições referem-se às quantidades máximas de produção dos produtos P1 e P2, respectivamente, e a terceira, à disponibilidade de recursos. As variáveis incluídas no modelo representam as quantidades dos produtos em milhares de unidades. Com base no quadro óptimo do “simplex” para o problema, que se apresenta de seguida, responda às seguintes questões:

2 5 CB VB x1 x2 s1 s2 s3 bi 0 s1 0 0 1 1 −1 2 5 x2 0 1 0 1 0 6 2 x1 1 0 0 −1 1 2 zj 2 5 0 3 2 34 cj - zj 0 0 0 −3 −2

a) Suponha que devido à enorme disponibilidade de matéria prima motivada pelos incêndios da época estival, a administração determinou a elaboração de um novo plano de produção em que seriam produzidas, pelo menos, três mil unidades do produto P1. Determine esse plano.

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b) Determine a solução óptima supondo que o lucro unitário associado ao produto P1 é aumentado para 6 u.m..

c) Suponha que devido aos incêndios da época estival a disponibilidade de recursos foi aumentada três unidades. Determine o novo plano óptimo.

d) Efectue a análise de sensibilidade ao coeficiente de x na função objectivo. ₂

12. Considere o problema apresentado no exercício 7. Com base no quadro óptimo do simplex apresentado nesse exercício, responda às seguintes questões:

a) Uma vez que as receitas provenientes das transmissões televisivas está a superar o inicialmente previsto, a FIFA considera a hipótese de o preço de cada bilhete para o público diminuir para €100. O plano óptimo de distribuição dos bilhetes mantém-se? Qual o impacto no valor óptimo?

b) Por forma a garantir apoio às selecções presentes na final, a FIFA está a ponderar a hipótese de atribuir pelo menos 34000 bilhetes ao público em geral. Será esta hipótese viável?

c) Efectue a análise de sensibilidade ao termo independente da segunda restrição.

13. Considere o problema apresentado no exercício 8. Com base no quadro óptimo do simplex apresentado nesse exercício, responda às seguintes questões:

a) Será possível, com a quantidade de ingredientes disponível, produzir 80 toneladas de produto?

b) Determine a solução óptima supondo que o custo de produção do primeiro processo é reduzido para 5€ por tonelada?

c) Efectue a análise de sensibilidade ao coeficiente de x na função objectivo. ₃

14. Considere o problema apresentado no exercício 2 da ficha anterior. Com base no “output” gerado na alínea b) desse exercício, responda às seguintes questões, justificando convenientemente todas as respostas.

a) Qual o custo marginal por hora de programação equivalente a um profissional?

b) Quanto aumentará o custo se forem requeridas 1050 horas equivalentes a um profissional? E se forem requeridas 1100?

c) A disponibilidade do professor limita a solução óptima? Quanto alterará o custo se o professor dedicar apenas 150 horas de supervisão? E se dedicar somente 100 horas?

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d) Quanto terá de ser reduzido o custo por hora de estudante de mestrado por forma a que a solução óptima contemple este tipo de recurso?

e) Quanto aumentará o custo do projecto se o custo por hora do programador profissional for de 30€? E se for de 45€?

f) Suponha que o professor decide que, pelo menos, metade do total de horas de programação são realizadas por estudantes. Esta decisão alterará a solução óptima?

g) Suponha que o professor decide permitir um número ilimitado de horas de estudantes de mestrado. Esta revisão alterará a solução óptima?

a) Qual o custo marginal por cada hora de trabalho normal de produção? E por cada hora de trabalho extraordinário?

b) Quanto terá de ser aumentado o lucro por cada dúzia de Soakers por forma a que a solução óptima contemple o fabrico deste modelo?

c) Se for exigido a produção de 300 dúzias de Zappers, o lucro total será aumentado ou reduzido? Quanto?

d) Se o preço da hora extraordinária aumentar para 250 €, a solução óptima mantém-se? E se aumentar para 300 €?

e) Suponha que acidentalmente o distribuidor apenas pode fornecer 2500 Kg de plástico. Tal fornecimento alterará a solução óptima? E se o fornecimento for só de 2000 Kg?

f) Suponha que por razões de ordem laboral a empresa é obrigada a reduzir o número de horas de trabalho normal de 40 para 35. Qual será o número de horas de trabalho extraordinário que a empresa deve realizar de modo a que se mantenha o lucro total?

g) Se o número de dúzias de Sape Rays exceder em 100 os 50% da produção total o lucro total aumentará ou reduzirá? Quanto?

a) Quanto deverá baixar o factor de risco associado às acções da Sonae para que estas façam parte da carteira de investimentos do Francisco?

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b) O Francisco pretende receber um retorno anual esperado de pelo menos 8%. Neste caso a solução permanecerá óptima? Quais as consequências desta alteração no risco total? E se o retorno anual pretendido corresponder a 8.5%?

c) Qual o valor máximo que o factor de risco associado aos certificados de aforro poderá ter de modo que o plano óptimo se mantenha? Nesse caso, qual o risco total obtido?

d) O Francisco decidiu baixar o valor máximo a investir em depósitos a prazo e em certificados de aforro. O risco total será aumentado ou reduzido? Qual o novo valor para o risco total se a redução for de 5.000€?

e) O consultor sugeriu que o Francisco faça um investimento maior (superior aos 100.000€), alegando uma possível redução do risco total. Concorda com esta sugestão?

f) Suponha que, após uma terceira reunião, o Francisco decidiu que não deverão ser aplicados mais de 15.000€ em investimentos de liquidez a longo prazo (5 anos). A solução óptima será alterada? E se o limite for de 10.000€?

g) Interprete economicamente a relação de complementaridade referente aos investimentos de avaliação A.