Estatística Teste t rev01_out2020 APNP

Gestão da Produção Industrial

Sergio Henrique Silva Junior

_Mé

todos

Quantitat

itvo

s

Aplic

ados

Prof. Sergio Henrique Silva Junior Rev 02/out2020

“Este é um material pedagógico desenvolvido por docente do

IFRJ. Seu uso, cópia, edição e/ou divulgação, em parte ou no

todo, por quaisquer meios existentes ou que vierem a ser

desenvolvidos, somente poderão ser feitos mediante

autorização expressa de seu autor. Caso contrário, poderão

ser aplicadas as penalidades legais vigentes”.

Lei nº 9.610, de 19 de fevereiro de 1998 (Direitos Autorais), na

Lei nº 12.965, de 23 de abril de 2014 (Marco Civil da Internet)

SERGIO HENRIQUE SILVA JUNIOR

FORMAÇÃO :

-PÓS-GRADUAÇÃO: MESTRE EM METROLOGIA – PUC-RJ; MBA - ISO 9000 & GESTÃO DA

QUALIDADE; GESTÃO AMBIENTAL & ISO - 14000.

-GRADUAÇÃO: QUÍMICA INDUSTRIAL; LICENCIATURA E BACHAREL EM QUÍMICA.

EXPERIÊNCIA PROFISSIONAL :

DIRETOR DE ADMINISTRAÇÃO (2006-2014), DIRETOR SUSBSTITUTO (2006-2014) E PROFESSOR EFETIVO DOS CURSOS, BACHAREL EM QUÍMICA DE PRODUTOS NATURAIS E GESTÃO DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL NO IFRJ CAMPUS NILÓPOLIS. INSTRUTOR NO PROJETO PROMIMP E GESTÃO AMBIENTAL NA ESPECIALIZAÇÃO.

DISCIPLINAS: NORMALIZAÇÃO E GESTÃO DA QUALIDADE; M S A - ANÁLISE DE SISTEMAS DE MEDIÇÃO; G S M S - GESTÃO DE SAÚDE, MEIO-AMBIENTE E SEGURANÇA; METROLOGIA ELÉTRICA; INFORMÁTICA; TRATAMENTO DE DADOS; VALIDAÇÃO; METROLOGIA DIMENSIONAL; CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE; MÉTODOS COMPUTACIONAIS; MÉTODOS COMPUTACIONAIS AVANÇADOS; BPF e BPL; METROLOGIA CIENTÍFICA E INDUSTRIAL; MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS; GERENCIAMENTO DE SISTEMAS DE MEDIÇÃO

EXPERIÊNCIA DE 14 ANOS EM INDÚSTRIA QUÍMICA, ATUANDO NA ÁREA DE LABORATÓRIO E CONTROLE DE QUALIDADE DAS EMPRESAS CHEVRON-TEXACO BRASIL S/A E ECOLAB QUÍMICA LTDA.

Conteúdo

1- Comparação uma média em relação a população

2- Comparação entre duas médias com variâncias desconhecidas, porém iguais

3- Comparação entre duas médias com variâncias desconhecidas e diferentes

TESTE t – Uma média

Usado para determinar a existência de uma diferença e se

é estatisticamente significativa. No teste H

₀

é a hipótese testada e é

sempre a igualdade. No caso de

H₀

ser rejeitada é testada a

alternativa

H₁

que é a diferença.

TESTE DE HIPOTESES

Exemplos :

H

₀

:

H

₀

:

H

₀

:

Média da amostra = média da população

Igualdade entre duas médias

Igualdade entre média e um valor

H

₁

:

H

₁

:

H

₁

:





X





X





X

Teste bilateral ou bicaudal

Testes unilaterais ou unicaudais



=

X

2 1

X

X =

0

d =

TESTE T – Uma média

Comparação de média com a população :

Teste T

TESTE DE HIPÓTESES

Cálculo:

H

₀

:

H

₁

:



=

X

= invt (α, n-1)

= inv.t (α, n-1)

DETERMINAR O t CALCULADO T tabelado no Excel : Critérios :

Tcalc > tcrítico → H0 é rejeitado, para o α escolhido a diferença entre as médias é significativa.

Tcalc < tcrítico → H0 não deve ser rejeitado, para o α

escolhido a diferença entre as médias não é

significativa.





X

𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝑿 − 𝝁 ൗ 𝑺 𝒏

TESTE T – Uma média

Região de aceitação do H0 Região de rejeição do H0

TESTE T – Uma média

Exemplo:

Um operador obteve os resultados as seguir, em uma medição de

tempo para padronizar uma linha de envase de pastilhas de cloro

para piscinas. Valor de referência: 10 baldes por minuto.

Significância: 5%.

Valores medidos : 11, 9,10,10,11,10, 8, 9, 10, 8 (baldes por

minuto) avalie se a média da linha é diferente do valor esperado.

Definir H₀ e H₁:

TESTE t – Uma média

Resultado:

H

₀

=> ത

𝑋=0

H

₁

=> ത

𝑋≠0

S=1,08

n=10

𝑋= 9,6

ത

α/2 = 0,025

𝒕_𝒄𝒂𝒍 = ( 𝟗,𝟔 −𝟏𝟎 )_{𝟏,𝟎𝟖} 𝟏𝟎 = -1,17 t_tab= (0,05; 9) = -2,26

Não devemos rejeitar H₀, isto é, não existe diferença significativa em relação ao valor de referência. O t cal-culado está dentro da área

de aceitação de H₀. _-2,26

TESTE t – Duas Médias

Suponha que queremos comparar duas médias de duas populações independentes e ambas com distribuição Normal. Da população 1 retiramos uma amostra aleatória X₁, X₂ .... X_n1 de tamanho n1 e da população 2 retiramos uma amostra aleatória Y₁, Y₂ .... Y_n2 de tamanho n2.

Consideramos dois casos distintos para o teste de hipóteses para

TESTE t – Duas médias – Caso 1

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

Consideraremos agora, que as variâncias das populações são iguais, porém, desconhecidas, ou seja, σ₁² = σ₂² = σ. Então, para testar a igualdade das médias, vamos considerar a variável

𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝑿 − 𝒀 𝑺𝒑 _𝒏𝟏

𝟏+

𝟏 𝒏_𝟐

que tem distribuição de Student com n₁ + n₂ - 2 graus de liberdade.

Aqui, Sp é o desvio padrão agrupado que é dado por

𝑺𝒑 = 𝒏𝟏 − 𝟏 𝑺𝟏² + (𝒏𝟐− 𝟏)𝑺𝟐² 𝒏_𝟏 + 𝒏_𝟐 − 𝟐

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

TESTE t – Duas médias – Caso 1

Para realizar o teste para igualdade de duas médias com variâncias iguais, porém desconhecidas, devemos realizar os seguintes passos:

1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo:

2. Fixar o nível de significância 𝜶. 3. Determinar a região crítica:

-Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos -t 𝜶_Τ

𝟐 e t 𝜶Τ𝟐.

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

TESTE t – Duas médias – Caso 1

Exemplo:

Deseja-se saber se duas máquinas usadas em um processo de enchimento de sabonete líquido possuem diferença ou não com relação ao seu desempenho. Nestas máquinas são enchidos sacos de 1 litro de sabonete e medidos em gramas.

Dados: Máquina 1 Maquina 2

Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 1 Dia 2 Dia 3

1010 995 991 999 992 1007 1006 1010 1003 994 1002 993 990 1007 990 997 996 1006 990 1007 1003 1008 996 991 1005 1005 994 1006 1004 1005 1005 1008 991

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS, PORÉM IGUAIS

TESTE t – Duas médias – Caso 1

Resolução: 𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟒−𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟎 𝟔,𝟗𝟖𝟕 𝟏 𝟏𝟓+ 𝟏 𝟏𝟖 = 0,164 𝑺𝒑 = 𝟏𝟓 − 𝟏 𝒙 𝟔𝟎, 𝟏 + 𝟏𝟖 − 𝟏 𝒙 𝟑𝟗, 𝟓 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖 − 𝟐 = 𝟔, 𝟗𝟖𝟕 Média 1= 1000,4 Média 2= 1000,0 S= 7,8 S= 6,3 S²= 60,1 S²= 39,5 n1= 15 n2= 18 𝒕 = 𝜶Τ_𝟐; 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 =(0,05;31)=-2,04

TESTE t – Duas médias – Caso 2

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS E DIFERENTES

Consideraremos agora, que as variâncias das populações são iguais, porém, desconhecidas, ou seja, σ₁²  σ₂²  σ. Então, para testar a igualdade das médias, T calculado é dado por:

𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝑿 − 𝒀 𝑺𝟏²

𝒏_𝟏 + 𝑺𝟐²

𝒏_𝟐

que tem distribuição de Student com v graus de liberdade, onde:

𝒗 = 𝑺𝟏² 𝒏𝟏 + 𝑺𝟐² 𝒏𝟐 𝟐 𝑺𝟏² 𝒏𝟏 𝟐 𝒏𝟏 − 𝟏 + 𝑺𝟐² 𝒏𝟐 𝟐 𝒏𝟐 − 𝟏

TESTE t – Duas médias – Caso 2

Para realizar o teste para igualdade de duas médias com variâncias iguais, porém desconhecidas, devemos realizar os seguintes passos:

1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo:

Ou hipótese alternativa:

TESTE t – Duas médias – Caso 2

2. Fixar o nível de significância 𝜶. 3. Determinar a região crítica:

-Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos -t 𝜶_Τ

𝟐 e t 𝜶Τ𝟐.

-Se o teste é unilateral a esquerda -tα. -Se o teste e unilateral a direita tα.

TESTE t – Duas médias – Caso 1

TESTE t – Duas médias – Caso 1

TESTE t – Duas médias – Caso 2

Exemplo:

Deseja-se saber se duas máquinas situadas em fábricas diferentes usadas em um processo de enchimento de sabonete líquido possuem diferença ou não com relação ao seu desempenho. Nestas máquinas são enchidos sacos de 1 litro de sabonete e medidos em gramas.

Dados:

Máquina 1 Maquina 2

Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 1 Dia 2 Dia 3

1010 995 991 999 992 1007

1006 1010 1003 994 1002 993

990 1007 990 997 996 1006

TESTE t – Duas médias – Caso 2

Resolução:

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS E DIFERENTES

Média 1= 1000,4 Média 2= 1000,0 S= 7,8 S= 6,3 S²= 60,1 S²= 39,5 n1= 15 n2= 18 𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟒−𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟎 𝟔𝟎,𝟏 𝟏𝟓 + 𝟑𝟗,𝟓 𝟏𝟖 = 0,1606 𝒗 = 𝟔𝟎,𝟏 𝟏𝟓 + 𝟑𝟗,𝟓 𝟏𝟖 𝟐 𝟔𝟎,𝟏 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 −𝟏 + 𝟑𝟗,𝟓 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟖−𝟏 = 26,90 𝒕 = 𝜶Τ_𝟐; 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 =(0,05;26,90)=-2,055

TESTE t – Duas médias Pareadas

VARIÂNCIAS DAS POPULAÇÕES DESCONHECIDAS E DIFERENTES

Para realizarmos os testes de igualdade de variâncias e os

testes de médias, precisamos que as duas populações sejam

independentes. Porém, na prática, temos algumas situações onde as populações não são independentes. Numa situação de comparação inter laboratorial onde dois laboratórios medem a mesma peça, por exemplo, as medidas entre os laboratórios não são independentes. Neste caso, utilizamos o teste pareado.

𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝑫 𝑺_𝑫

𝒏

Onde:

Para realizar o teste t pareado para igualdade de duas médias com populações dependentes:

1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo:

2. Fixar o nível de significância 𝜶. 3. Determinar a região crítica:

-Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos -t 𝜶Τ

𝟐 e t 𝜶Τ𝟐.

-Se o teste é unilateral a esquerda -tα. -Se o teste e unilateral a direita tα.

TESTE t – Duas médias Pareadas

Exemplo:

Após o ajuste de um paquímetro foram realizadas novas medições, verificar se provocou alguma mudança no comportamento do paquímetro. Nível de significância de 10%.

Dados: Antes _(mm) Depois _(mm)

5,02 5,02

10,00 10,02 25,01 24,99 49,99 49,98 99,99 100,00

TESTE t – Duas médias Pareadas

Resolução: D (mm) 0,00 -0,02 0,02 0,01 -0,01 0,00 Antes (mm) Depois (mm) 5,02 5,02 10,00 10,02 25,01 24,99 49,99 49,98 99,99 100,00 149,98 149,98 𝑫= 0,00 n= 6 S_D= 0,014142 𝑻_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = _{𝟎,𝟎𝟏𝟒𝟏𝟒𝟐}𝟎,𝟎𝟎 𝟔 = 1,256E-13  0 𝒕 = 𝜶Τ_𝟐; 𝒏𝟏 − 𝟏 = (0,05;5) = 2,57 Aceitar H0 1,256E-13 -2,57 2,57

Tabela

t-Student

Referencia Bibliográfica

TRIOLA, M.F., Introdução à Estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

LEVINE, D. et al., Estatística: Teoria e Aplicações. 5.ed. São Paulo: LTC, 2011. LAPPONI, J.C. Estatística Usando o Excel. 4.ed. São Paulo: Campus, 2005.

Conteúdo

1- Comparação de uma variância em relação a uma variância de referência

TESTE F – Uma variância

Seja uma amostra x

₁

, x

₂

... X

_n

aleatória, de tamanho n,

retirada de uma população normal

𝑁(𝜇, 𝜎

2

) . Suponha que

desejamos testar uma hipótese sobre a variância

𝜎

2

desta

população cuja a estatística é dada por:

𝑸_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝒏 − 𝟏 𝑺² 𝝈²

Onde:

Para realizar o teste devemos realizar os seguintes passos: 1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo:

2. Fixar o nível de significância 𝜶.

3. Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos Q _α/2 e Q _1-α/2, utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

Região de aceitação do

H0 Região de

rejeição do H0

Exemplo:

Uma máquina de enchimento automático é utilizada para encher garrafas com Suco de Uva. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância S²= 0,0153 da amostra do volume de enchimento. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de suco de uva. Use 𝜶=5% e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal.

𝑯_𝟎 ⇒ 𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏 𝑯_𝟏 ⇒ 𝜶𝟐 > 𝟎, 𝟎𝟏

𝑸_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝟐𝟎 − 𝟏 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟑

𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟐𝟗, 𝟎𝟕

𝑸𝒕𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟎𝟓; 𝟏𝟗 = 𝟑𝟎, 𝟏𝟒

TESTE F – Duas variâncias

Suponha que queremos comparar as variâncias

α

₁

²

e

α

₂

²

de duas populações Normais independentes. Para isso, retiramos

uma amostra aleatória

X

₁

, X

₂

... X

_n

da população1 , com distribuição

𝑵 𝝁, 𝝈

𝟐

e uma amostra aleatória

Y

₁

, Y

₂

... Y

_n

da população 2 com

distribuição

𝑵 𝝁, 𝝈

𝟐

, cuja estatística é dada por:

𝑭_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝑺𝟏 𝟐 𝑺_𝟐² Onde: S₁² -> variância da população 1. S₂² -> variância da população 2. Onde S₁² > S₂².

Tem distribuição

F

de Snedecor com

n

₁

-1

graus de

liberdade no numerador e

n

₂

-1

graus de liberdade no denominador,

a qual denotamos por

F(n

₁

-1; n

₂

-1)

.

Para realizar o teste devemos realizar os seguintes passos: 1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo:

Equivalentes a:

2. Fixar o nível de significância 𝜶.

Para realizar o teste devemos realizar os seguintes passos:

3. Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos F _α/2 e F _1-α/2, utilizando a tabela da distribuição F com n₁-1 graus de liberdade no numerador e n₂-1 graus de liberdade no denominador.

TESTE F – Duas variâncias

Região de aceitação do

H₀

Região de

Exemplo:

Um Gerente de produção deseja avaliar com significância de 5%, se existem diferenças significativas nas Variâncias de duas fábricas que produzem esferas de aço para rolamentos automotivos. Os lotes de esferas são avaliados por meio da medição de massa das esferas.

TESTE F – Duas variâncias

Fábrica 1 25 18 24 24 21 23 18 23 20 18 19 18 21 25 23 Fábrica 2 23 25 20 24 18 19 19 18 25 21 20 22 21 23 23 20 23 25 24 18 20

Resolução:

TESTE F – Duas variâncias

𝑭_{𝒄𝒂𝒍𝒄} = 𝟕, 𝟐𝟑𝟖𝟎𝟗𝟓 𝟓, 𝟖𝟔𝟏𝟗𝟎𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟓 n₁ = 15 S₁² = 7,238095 α = 5% -> 0,05 n₂ = 21 S₂² = 5,861905 𝑭_𝒕𝒂𝒃 = 𝜶 𝟐 ; 𝒏𝟏 − 𝟏; 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓; 𝟏𝟓 − 𝟏; 𝟐𝟏 − 𝟏 = 𝟐, 𝟔𝟎𝟑 Não Rejeita H0 Fcalc=1,235 𝑭_𝒕𝒂𝒃 = 𝟏 − 𝜶 𝟐 ; 𝒏𝟏 − 𝟏; 𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓; 𝟏𝟓 − 𝟏; 𝟐𝟏 − 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟓𝟏

Não rejeitar H0 se: F 𝜶 > Fcalc > F 1- 𝜶

Referencia Bibliográfica

TRIOLA, M.F., Introdução à Estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

LEVINE, D. et al., Estatística: Teoria e Aplicações. 5.ed. São Paulo: LTC, 2011. LAPPONI, J.C. Estatística Usando o Excel. 4.ed. São Paulo: Campus, 2005.