Cap15 Sec3 2x4

(1)

Capítulo 15

Integrais Múltiplas

15.3 Integrais Duplas

sobre Regiões Gerais

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Nesta seção, nós aprenderemos:

Como usar integrais duplas para encontrar as áreas das regiões de formas diferentes.

Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo.

Porém, para integrais duplas, queremos integrar a função f não somente sobre retângulos, como também sobre uma região D de forma

mais geral, como a ilustrada.

Vamos supor que D seja uma região limitada.  O que significa que D está contida em uma região

retangular R como na figura.

INTEGRAIS DUPLAS

Definimos então uma nova função F, com domínio R, por

INTEGRAIS DUPLAS Equação 1

Se F for integrável em R, então definimos a

integral dupla de f em D por

onde F é dada pela Equação 1.

( , )

D R

f x y dA

F x y dA

³³

INTEGRAIS DUPLAS Definição 2 INTEGRAIS DUPLAS

A Definição 2 faz sentido porque R é um retângulo e, portanto,

já foi definida na Seção 15.1.

( , )

R

F x y dA

(2)

O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y) são 0 quando (x, y) está fora da região D e dessa forma não contribuem para o valor da integral.

Isso significa que não importa qual o retângulo

R tomado, desde que contenha D. INTEGRAIS DUPLAS

No caso em que f(x, y) 0, podemos ainda interpretar

como o volume do sólido que está acima de

D e abaixo da superfície z = f(x, y) (o gráfico

de f ).

( , )

D

f x y dA

³³

Você pode constatar que isso é razoável comparando os gráficos de f e F nas figuras

e lembrando que é o volume

abaixo do gráfico de F. ( , ) R F x y dA

³³

Esta figura mostra também que F

provavelmente tem descontinuidades nos pontos de fronteira de D.

Apesar disso, se f for contínua em D e se a curva fronteira de D for “comportada” (em um sentido que está fora do escopo deste livro), então pode ser mostrado que

existe e, portanto, existe.

Em particular, esse é o caso para os tipos de regiões listados a seguir.

( , ) R F x y dA

³³

( , )

D

f x y dA

³³

Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja,

D = {(x, y) | a x b, g₁(x) y g₂(x)} onde g₁e g₂são contínuas em [a, b].

Alguns exemplos de regiões do tipo I estão mostrados.

REGIÕES DO TIPO 1

Para calcular quando D é do

tipo I, escolhemos um retângulo

R = [a, b] x [c, d] que contenha D e

consideramos a função F definida na Equação 1; ( , ) D f x y dA

³³

(3)

Ou seja, F coincide com f em D e F é 0 fora da região D.

Então, pelo Teorema de Fubini,

( , )

D R b d a c

f x y dA

F x y dA

F x y dy dx

³³

³ ³

Observe que F(x, y) = 0 se y < g₁(x) ou

y > g₂(x) porque (x, y) nessas condições está fora da região D.

Assim, porque F(x, y) = f(x, y) quando g₁(x) y g₂(x). 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

d g x c g x g x g x

F x y dy

f x y dy

³

Portanto, temos a seguinte fórmula, que nos permite calcular a integral dupla como uma integral iterada.

Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D = {(x, y) | a x b, g₁(x) y g₂(x)} então 2 1 ( ) ( )

( , )

b g x

( , )

a g x D

f x y dA

f x y dy dx

³³

³ ³

REGIÕES DO TIPO 1 Equação 3

A integral do lado direito de (3) é uma integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior, exceto que na integral de dentro consideramos x constante não só em

f (x, y), mas também nos limites de

integração g₁(x) e g₂(x).

Consideraremos também regiões planas do

tipo II, que podem ser expressas como D = {(x, y) | c y d, h₁(y) x h₂(y)} onde h₁e h₂são contínuas.

Dois exemplos de região do tipo II estão ilustrados.

(4)

Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer (3), podemos mostrar que

onde D é uma região do tipo II dada pela Equação 4. 2 1 ( ) ( )

( , )

_cd _{h y}h y

( , )

D

f x y dA

f x y dx dy

³³

³ ³

Calcule

onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2_{e y = 1 + x}2_.

(

2 )

D

x

y dA

³³

REGIÕES DO TIPO 2 EXEMPLO 1

As parábolas se interceptam quando 2x2_{= 1 + x}2_{, ou seja, x}2_{= 1.}

 Logo, x = ±1.

Observamos que a região D, ilustrada na figura, é uma região do tipo I, mas não do tipo II, e podemos escrever que:

D = {(x, y) | –1 x 1,

2x2_{y 1 + x}2_}

Como a fronteira de baixo éy = 2x2_e

a de cima éy = 1 + x2_,_{a Equação 3 leva ao}

resultado que segue.

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 2 2 2 2 1 1 1 2 1 ₂ ₁ 2 1 1 ₂ _{2 2} ₂ _{2 2} 1 1 ₄ ₃ ₂ 1 1 5 4 3 2 1 ( 2 ) ( 2 ) [ ] [ (1 ) (1 ) (2 ) (2 ) ] ( 3 2 1) 32 3 2 5 4 3 2 15 D x x y x y x x y dA x y dy dx xy y dx x x x x x x dx x x x x dx x x x x x º _»¼

³³

³ ³

³

OBSERVAÇÃO

Quando escrevemos uma integral dupla como no Exemplo 1, é essencial desenhar um diagrama.

Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical.

Assim, os limites de integração da integral de

dentro podem ser lidos do diagrama desta

forma

:

a seta começa na

fronteira de baixo y = g1(x),

que fornece o extremo inferior da integral. a seta termina na fronteira

de cima y = g2(x), que dá

o extremo superior de integração.

(5)

Para uma região do tipo II, a seta é desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para a fronteira direita.

OBSERVAÇÃO

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x2_{+ y}2_{e acima da}

região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2_.

Da figura vemos que D é uma região do tipo I e D = {(x, y) | 0 x 2, x2_{y 2x}}

Portanto, o volume abaixo de z = x2_{+ y}2_{e acima de D}

é calculado como a seguir.

REGIÕES DO TIPO 1 EX. 2 – Sol. 1

(

)

(

)

3

D x x y x y x

V

x

y

dA

x

y

dy dx

y

x y

dx

ª

º

«

»

¬

¼

³³

³ ³

³

3 2 3 2 ₂ _{2 2} 0 6 3 2 ₄ 0 2 7 5 4 0

(2 )

( )

(2 )

3

14

3

7 21 5

6

216

35 x

x

x x

dx

x

dx

x

ª

º

«

»

¬

¼

§

· ¨

¸

©

¹

º

_»¼

³

Da figura, vemos que D pode ser descrita como uma região do tipo II:

D = {(x, y) | 0 y 4, ½y x

Logo, segue outra expressão para V.

y

1 2 1 2 4 2 2 2 2 0 3 4 ₂ 0 3/ 2 3 3 4 _{5/ 2} 0 4 5/ 2 7/ 2 13 4 216 2 2 15 7 96 0 35 ( ) ( ) 3 3 24 2 y D x y x y V x y dA x y dx dy x y x dy y y y y dy y y y ª º « » ¬ ¼ § · ¨ ¸ © ¹ _º¼

³³

³ ³

³

REGIÕES DO TIPO 2 EX. 2 – Sol. 2 INTEGRAIS DUPLAS

Aqui mostramos o sólido cujo volume é calculado no Exemplo 2. Ele está:

 acima do plano xy; abaixo do paraboloide

z = x2_{+ y}2_;

entre o plano

y = 2xe o cilindro parabólicoy = x2_.

(6)

Calcule

onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2_{= 2x + 6}

D

xy dA

³³

INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 3

A região D está representada.

 Novamente, D pode ser vista tanto como uma região do tipo I como uma região do tipo II.

REGIÕES TIPO 1 & 2 EXEMPLO 3

Mas, a descrição de D como região do tipo I é mais complicada, porque a fronteira inferior é constituída de duas partes.

Portanto preferimos expressar D como uma região do tipo II:

D = {(x, y) | –2 y 4, 1/2y2_{– 3 x y + 1}}

Assim, (5) fornece o resultado a seguir.

Se tivéssemos expressado D como uma região do tipo I, obteríamos:

mas isso daria muito mais trabalho que o outro método. 1 2 6 5 2 6 3 2 6 1 1 x x x x D xydA xy dy dx xy dy dx

³³

³ ³

Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos

x + 2y + z = 2 x = 2y x = 0 z = 0

Em uma questão como essa, é prudente desenhar dois diagramas:

um do sólido tridimensional;

 outro da região plana D sobre a qual o sólido se encontra.

(7)

A figura mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, pelo plano vertical x = 2y, e pelo

plano x + 2y + z = 2.

Como x + 2y + z = 0 intercepta o plano xy (cuja equação é z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que:

 T está acima da região triangular D no plano xy limitado pelas retas x = 2y,

x + 2y = 2 e x = 0.

O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como

z = 2 – x – 2y, de modo que o volume pedido

está sob o gráfico da função z = 2 – x – 2y e acima de

D = {(x, y) | 0 x 1, x/2 y 1 – x/2} INTEGRAIS DUPLAS EXEMPLO 4

Portanto, 1 1 / 2 0 / 2 1 ₂ 1 / 2 / 2 0

(2

)

(2

2 )

2

D x x y x y x

V

x

y dA

x

y dy dx

y

xy

y

dx

ª

º

¬

¼

³³

³ ³

³

2 2 2 1 0 1 ₂ 0 1 3 2 0 2 1 1 2 2 2 4 2 1 3 1 3 x x x x x x x dx x x dx x x x ª _§ _{· §} _· º ¨ ¸ ¨ ¸ « _© _{¹ ©} _¹ » ¬ ¼ º »_¼

³

Calcule a integral iterada

Se tentarmos calcular a integral na forma pela qual ela se apresenta, teremos inicialmente de resolver o problema de calcular³ sen(y²)dy.

Mas isso é impossível de fazer em termos finitos, uma vez que³ sen(y²)dy não é uma função

elementar (veja o final da Seção 7.5, no Volume I).

Precisamos então mudar a ordem de integração, o que pode ser conseguido escrevendo-se inicialmente a integral iterada dada como uma integral dupla.

Usando (3) na ordem inversa, temos

onde D = {(x, y) | 0 x 1, x y 1}

Esboçamos essa região D na figura.

(8)

Então, desta figura, vemos que um modo alternativo de descrever D é

D = {(x, y) | 0 y 1, 0 x y}

Isso nos permite usar (5) para exprimir a integral dupla como uma integral iterada na ordem reversa, como segue.

PROPRIEDADES DE INTEGRAIS DUPLAS

Suponha que todas as seguintes integrais existam.

As primeiras três propriedades das integrais duplas sobre uma região D seguem imediatamente da Definição 2 e das Propriedades 7, 8 e 9 da Seção 15.1.

>

@

,

D D D

f x y

g x y dA

f x y dA

g x y dA

³³

,

D D

cf x y dA

c

f x y dA

³³

( , )

D D

f x y dA

t

g x y dA

³³

A próxima propriedade de integral dupla é semelhante à propriedade de integral de uma função de uma variável real, dada pela equação

( )

b c b a

f x dx

a

f x dx

c

f x dx

³

PROPRIEDADE 9 Se D = D₁ D₂, onde D₁e D₂não se

sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então

1 2

,

D D D

f x y dA

³³

PROPRIEDADE 9

A Propriedade 9 pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões D que

(9)

PROPRIEDADE 10 Equação 10

A próxima propriedade de integrais diz que, se integrarmos a função constante f(x, y) = 1 sobre uma região D, obteremos a área de D:

1

D

dA

A D

³³

A figura ilustra por que a Equação 10 é verdadeira:

 um cilindro sólido, cuja base é D e altura 1, tem volume A(D) .1 = A(D).

Mas, sabemos que também podemos escrever seu volume

como ₁ .

D

dA

³³

PROPRIEDADE 10

Finalmente, podemos combinar as

Propriedades 7, 8 e 10 para demonstrar a seguinte propriedade (veja o Exercício 57): Se m f(x, y) M para todo (x, y) em D, então

( )

,

D

mA D

d

³³

f x y dA

d

MA D

PROPRIEDADE 11

Utilize a Propriedade 11 para estimar a integral

³³

D

e

sen x cos y

dA

onde D é o disco com centro na origem e raio 2.

PROPRIEDADE 11 EXEMPLO 6

Como –1 sen x 1 e –1 cos y 1, we have –1 sin x cos y 1.

Portanto,

e–1_esen x cos y_e1_{= e}

PROPRIEDADE 11 EXEMPLO 6

Assim, usando m = e–1_{= 1/e, M = e, e}

A(D) = S(2)2_{na Propriedade 11, obtemos:}

Cap15 Sec3 2x4

Integrais Múltiplas

15.3

Integrais Duplas

sobre Regiões Gerais

( , )

( , )

f x y dA

F x y dA

³³

³³

( , )

F x y dA

( , )

f x y dA

³³

³³

³³

( , )

f x y dA

³³

³³

( , )

( , )

( , )

f x y dA

F x y dA

F x y dy dx

³³

³³

³ ³

( , )

( , )

( , )

F x y dy

F x y dy

f x y dy

³

³

³

( , )

( , )

f x y dA

f x y dy dx

³³

³ ³

( , )

( , )

f x y dA

f x y dx dy

³³

³ ³

(

2 )

x



y dA

³³

³³

³ ³

³

³

³

:

(

)

(

)

3

V

x

y

dA

x

y

dy dx

y

x y

dx



_»¼