Publicações do PESC Sobre a Coloração das Arestas de um Grafo

Sobre Coloracão das Arestas

de

um

Grafo

Carrnen Ortiz Zaldívar

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO

DOS

PROGRAMAS DE

pós-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO D E JANEIRO COMO

PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA

OBTENÇAO

D O

GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA DE

SISTEMAS

E

COMPUTAÇÃO.

Aprovada por

:

Prof. Nelson

,

D.Sc, D.Habi1.

Profa Nair Maria Maia de Abieu, D.Sc.

Piof. Paulo Oswaldo B

Prof. Celso ~arneiro&ibeiro, D.Ing, D.Habi1.

&A

a+-yl&\

.

Riiy Eduardo Campello,

D

.Sc.

Rio de Janeiro,

RJ

-

Brasil

ORTI

2, Car m e n V i c

t

or i a

Sobre Coloração das Arestas de u m Grafo Rio de Janeiro.1994.

v i ,9lp. (29.7 c m

C

COPPE/UFRJ

,

D. Sc.

,

Engenharia de Sistemas e Computação, 19943 Tese-Uni ver

si

dade Federal do R i o de Janei r o

,

COPPE

1.Coloração d e Arestas. 2.Algoritmos. 3.Teoria de Grafos.

Ao

J u a n

e a o s

meus

f i l h o s

AGRADECIMENTOS . Agradeço A o P r o f

.

N e l â o n Macul a n p e l a o r i e n t a ç ã o , c o m p r e e n s ã o , e a c o l h i d a q u e

m e

d e u d e s d e q u e c h e g u e i a o B r a s i l .

A o

P r o f . Jayme S z w a r c f i t e r ,

pela

o r i e n t a q ã a e i n t e r e s s e n o meu t r a b a l h o . A s a m i g a s C B l i a , C e l i n a , M a r c i a , Monica e S u l a , p e l a a m i z a d e , i n c e n t i v o r t r a b a l h o c o n j u n t a . A U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e R i o d e J a n e i r o e a t o d o s os br a s i 1 ei

r

o s , p e l a o p o r t u n i d a d e d è uma e x p e r i ê n c i a d e

vi

da d i f e r e n t e . A o

CNPq

p e l o s c i p o r t e f i n a n c e i r o c o n c e d i d o d u r a n t e 0 p e r i a d o d e e s t u d o s . A o amigo Andres W e i n t r a u b , p e l o c a r i n h o e a p o i o c o n s t a n t e . Ao J u a n p e l o a m o r a m i m d e d i c a d o .

Resumo d a tese a p r e s e n t a d a à COPPEAJFRJ como p a r t e d o s r e q u i s i t o s n e c e s s S t r i o s p a r a a o b t e n ç ã o d o g r a u d e Doutor em C i ê n c i a s

CD.

Sc. 1 . Scsbre C o l o r a ç ã o d a s A r e s t a s d e u m G r a f o C a r men Or ti z Z a l d i v a r J a n e i r o d e 1SS4 O r i e n t a d o r : P r o f . N e l s o n Macul a n .

Programa: Engenhar i a d e Si

s t e m a s

e Computâçrio

U m a c o l o r a ç ã o p r b p r i a d a s a r e s t a s d e um g r a f o é uma a t r i b u i ç ã o d e c o r e s 8 s s u a s a r e s t a s t a l q u e a r e s t a s a d j a c e n t e s

I

recebam cores" d i s t i n t a s . O l n d i c e c r u m A t i c o & o menor número d e c o r e s n e c e s s i r i a s p a r a c o l o r i r as a r e s t a s d e um g r a f o . O p r o b l e m a d o í n d i c e c r o m A t i c o , i s t o 6 , d e c i d i r se um graf-ü a d m i t e uma c o l o r a ç ã o d e

a r e s t a s

com um n ~ m e r o d a d o d e c o r e s , é NP-completo. Um g r a f o

G

d e i n d i f e r e n ç a se B o g r a f o i n t e r s e ç ã o d e um c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s u n i t 8 r i o s . Um g r a f o B s p l i t se O s e u , c o n j u n t o d e

v é r t i c e s

p o d e ser p a r t i c i o n a d o e m um c o n j u n t o i n d e p e n d e n t e e um c o n j u n t o q u e i n d u z uma c l i q u e . Um g r a f o & c l i q u e - c o m p l e t o se s u a s c l i q u e s maxiniais se i n t e r s e p t a m d u a s a d u a s .

Determinamos o l n d i c e c r o m & t i c o p a r a t r & s s u b c l a s s e s d a c l a s s e d o s g r a f o s d e i n d i f e r e n ç a : o s y r a f o s s p l i t - i n d i f e r e n ç a , as

i n d i f er e n ç â c1 ique-compl e t o r e d u z i d o s e os g r a f o s u n i Yss d e d u a s c1 i q u e s

maxi

m â i

S .

A p r e s e n t a m o s um modelo l i n e a r G i n A r i o p a r a um g r a f o q u a l q u e r . com um nbmero d e c o l u n a s l i n e a r n o tamanho do g r a f a e propomos uma e s t r a t & g i a h e u r l

s t i

ca p a r a r e s o l v&-1 o . Estudamos e x p e r i m e n t a l m e n t e o c o m p o r t a m e n t o d a h e u r l s t i c a e m a l g u m a s c l a s s e s d e g r a f o s e c o n j e t u r a m o s q u e e l a p e r m i t e r e s o l v e r bem o p r o b l e m a e m g r a f o s pouco d e n s o s .

A b s t r a c t os t h e s i s p r e s e n t e d t o COPPE/UFRJ as p a r t i a 1 f u l f i l l m e n t f o r Lhe r e q u i r e m e n t s f o r d e g r e & of D a c t o r of S c i e n c e Ci3.Sc.j. On Edge C o l o r i n g o f a Graph L a r men Or t i z Sal di v a r J a n u a r y 1994 T h e s i s S u p e r v i sor : P r o f . N e l s o n Macul a n . Depar t m e n t : C o m p u t a t i o n a n d S y s t e m s Engi n e e r i n g A p r o p e r e d g e c o l o u r i n g o f a g r a p h i s a n a s s i g n m e n t o f c o l o u r s t o

i t s

e d g e s s u c h t h a t a d j a c i o n t e d g e s h a v e d i f f e r e n t c o l o u r s .

The

c h r o m a t i c i n d e x i s t h e minimum number o f c o l o u r s n e e d e d t o p r o p e r l y c o l o u r t h e e d g e s o f a g r a p h . The c h r o m a t i c i n d e x p r o b l e m , i . e , t o d e c i d e w h e t h e r a g r a p h admi ts a p r o p e r e d g e c o l o u r i n g w i t h a g i v e n number o f c o l o u r s , i s NP-complete.

A g r a p h i s i n d i f f e r e n c e i f i t i s t h e i n t e r s e c t i o n g r a p h of a

set

of u n i t a r y i n t e r v a l s i n Lhe real l i n e . A g r a p h i s s p l i t i f i t s

vertex set

can be p a r t i t i o n e d i n t o a s t a b l e set a n d a set t h a t i n d u c e s

a

c l i q u e . A g r a p h i s c l i q u e - c o m p l e t e i f n a t w o of i t s

m a x i m ã l

c l i q u e s

are

d i s j o i n t . W e f i n d t h e c h r o m a t i c i n d e x f o r t h r e e s u b c l a s s e s o f i n d i f f e r e n c e g r a p h s : s p l i t - i n d i f f e r e n c e g r a p h s , c l i q u e - c o m p l e t e r e d u c e d i n d i f f e r e n c e g r a p h s a n d g r a p h s t h a t a r e Lhe u n i o n o f

t w o

maxi mal c1 i q u e s

.

W e p r e s e n t a z e r o - o n e l i n e a r m o d e l f o r a n y g r a p h

w i

t h a 1 i n e a r number o f c o l u m n s i n t h e s i z e o f t h e g r a p h a n d w e p r o p o s e a h e u r i s t i c s t r a t e g y f o r s o l v i ng i

t.

W e t e s t c o m p u t a t i o n a l y t h i -â h e u r i s t i c i n s o m e classes of g r a p h s a n d w e c o n j e c t u r e t h a t

i t

s o l v e s

w e l l

Lhe p r o b l e m i n g r a p h s w i t h l o w d e n s i t y .

1 Introdução

. . .

1 1 . 1 Definições e notaçaes bAsicas

. . .

5

.

2

6

problema de coloração d e a r e s t a s no contexto da

t e o r i a de grafos

. . .

8

. . .

2 . 1

O

í n d i c e cromhtico

. . .

'.

8

.

2 . 2 O teorema de Vizing e o problema de c l a s s i f i c a ç ã o

. . .

2.2.1

O

teorema de V i z i ng 9

. . .

2.2.2 O problema de c l a s s i f i c a ç ã o 13 2.3 Complexidade do problema de col or i ç % o de a r e s t a s

. .

14

2.3:1 NP-completeza do i n d i c e çromAtico para

. . .

gr af os r egul a r e s 1 4

2 . 3 . 2 NP-completeza do i n d i c e cromhtico para os

g r a f o s p e r f e i t o s

. . .

18

. . .

2 . 3 . 3 Casos poli nomi a i s . 1 6.

3 Os: grafos indiferença

. . .

22

3.1 CAr a c t e r i zaçães dos gr af os i ndi f er ença

. . .

22 3 . 2 Colorações de d i q u e s de ordem par

. . .

23

. . .

3.2.1 Uma coloração p e r f e i t a 24

. . .

3 . 2 . 2 Colorações equi t a t i v a s - 2 9

. . .

3.3 Os g r a f o s s p l i t - i n d i f e r e n ç a - 3 0

3.3.1 Caracterização e s t r u t u r a l dos grafos s p l i t -

. . .

i n d i f e r e n ç a 31

3 . 3 . 2 I n d i c e cromatico dos graf os spl i t - i n d i f erença

. . .

3 . 4 Os grafcss i n d i f e r e n ç a clique-completo reduzidos 32 3.4.1 Caracterização dos g r a f o s i n d i f e r e n ç a

. . .

c1 i que-completo reduzi do - 3 7 3.4.5: I n d i c e croniAtico dos g r a f o s i n d i f e r e n ç a

. . .

c1 i que-completo reduzi do 41

. . .

4 O problema d e coloração d e a r e s t a s no contexto de

programação matemática

. . .

46 4 . 1 O p r o b l e m a d e e m p a r e l k a m e n t o m á x i m o

. . .

48

. . .

4 . 2 O p r o b l e m a d o í n d i c e c r o m A t i c o 4 9

5 Um modelo de progranlâção l i n e a r para o problenlâ de

coloração de a r e s t a s

. . .

53

5.1

O

m o d e l o l i n e a r

. . .

53 5 . 2 R e s o l u ç ã o do r n o d e l o 1 i n e a r

r

e1 axado e m

a l g u m a s classes d e g r a f o s

. . .

55

. . .

€3 Conclusães e pesquisas futuras - 6 3

8

L I S T A

DE

F I G U R A S

. . .

Coloração própria e btima de

G

- 8

Passo I-Teorema de Vizing

. . .

11 Passo 2-Teorema de Vizing

. . .

11

. . .

Passo 3-Teorema de Vizing 1 2

. . .

Coloração ótima de

K5

- 1 7

' ~ o l o r a ~ ã o &tima de

K b

. . .

18

. . .

Coloração ótima de

K43

18

Complexidade do i ndi c e cr omAti c o e m a1 gumas

. . .

c l a s s e s de graf os p e r f e i t o s -21 Um g r a f o

G

i n d i f e r e n ç a e a sua representação

. . .

por i n t e r val os u n i

t

Ar i os 23

O

g r a f o

K i

. . .

23 * 9

Caracterização dos grafos s p l i t - i n d i f e r e n ç a

. . .

- 3 1

. . .

Grafos s p l i t - i n d i f e r e n ç a 32

. . .

Graf o

G

s p l i

t-i

ndif erença t a l que

G=GilJG2

33

. . .

Emparelhamento p e r f e i t o em

Gz

- 3 4

. . .

Coloração de

G

s p l i t - i n d i f erença - 3 5 P a r t i ç ã o c l i q u e d e u m g r a f o

. . .

37

. . .

Um g r a f o i n d i f e r e n ç a - 3 8 Uma ordem i n d i f e r e n ç a de u m graf o i n d i f e r e n ç a

clique-Completo

. . .

4 0 Um g r a f o

G

união de duas c l i q u e s

. . .

42

. . .

Complexidade do

i

ndice cromLti co 48

CAPÍTULO 1

I

NTRODUÇÃO

Uma coloração p r d p r i a das a r e s t a s de u m y r a f o t uma a t r i b u i ç ã o de cores a s suas a r e s t a s t a l que duas a r e s t a s adjacentes recebam cores d i s t i n t a s . O Cndice crorilrxtt i c o & O menor

número de c o r e s n e c e s s á r i a s para c o l o r i r a s a r e s t a s de u m grafo de forma t a l que a r e s t a s adjacentes tenham cores d i s t i n t a s .

Neste t r a b a l h o abordainos e s t e problema para algumas c l a s s e s r e s t r i t a s d e grafos do ponto de v i s t a da t e o r i a de g r a f o s e o problema g e r a l da perspectiva de programação matem~tica.

O r e s u l t a d o mais importante r e l a t i v o a e s t e problema .& o Teorema de Vizing C261 que e s t a b e l e c e que o i n d i c e cromático de um '

g r a f o B igual ao grau mAximo do y r a f o ou ao grau mAximo mais

u m .

LovAsz e Plummer E171 apresentam uma prova c o n s t r u t i v a d e s t e t e o r ema que propor c i ona u m a1 gor i tmo pol i nomi a1 par a col or i r qualquer g r a f o com

u m

número de cores igual ao grau maximo mais

u m .

Assim, o problema ainda não r e s o l v i d o B d e c i d i r se um grafo pode s e r c o l o r i d o com u m número de cores igual ao seu grau máximo. Leven e Galil mostram e m C161 que e l e B NP-completo para g r a f o s r egul a r e s .

Uma das l i n h a s de pesquisa e m torno do í n d i c e crc~mático c o n d s t e em estudar este parámetro

e m

c l a s s e s r e s t r i t a s de g r a f o s . Existem algoritmos e f i c i e n t e s para os g r a f o s b i p a r t i d o s

C

81 e para os grafos completos C261. Outra l i n h a de pesquisa dedica-se ao estudo de colorações que apresentam propriedades par ti cul a r e s . Uma c o n t r i b u i ç ã o d e s t e t r a b a l h o r3 uma coloração denominada perf e i t a .

Trata-se de uma coloração &tima que cont&m pelo menos u m emparelhamento p e r f e i t o onde todas a s a r e s t a s possuem cores d i f e r e n t e s . Provamos que todo graf o completo possui uma c01 oração p e r f e i t a .

Um g r a f o B perfeito q u a n d o t o d o s u b g r a f o i n d u z i d o c01 o r a ç ã o d o s s e u s v & r t i c e s com número c r o m á t i c o i g u a l d a m a i o r c l i q u e e B d e c o m p a r a b i l i d a d e se a d m i t e uma t r a n s i t i v a d a s s u a s a r e s t a s . C a i e E l l i s m o s t r a m NP-completeza d o i n d i c e cromiitico p a r a estas classes.

U m a s u b c l a s s e d o s g r a f o s p e r f e i t o s é a c l a s s e admi t e uma ao tamanho o r i e n t a ç ã o e m C41 a d o s g r a f o s i n d i f e r e n ç a . Um g r a f o B d e indi feren~ct se e5 o y r a f o i n t e r s e q ã o d e um c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s u n i t i i r i o s . Um g r a f o é s p l i t s e o s e u c o n j u n t o d e v & r t i c e s p o d e ser p a r t i c i o n a d o e m um c o n j u n t o e s t á v e l

e

um c o n j u n t o q u e i n d u z uma c l i q u e . A classe d o s g r a f o s s p l i t - i n d i f e r e n ç a cont&m o s g r a f o s q u e são s p l i t e i n d i f e r e n ç a . N e s t e t r a b a l h o d e t e r m i n a m o s o í n d i c e c r o m á t i c o p a r a e s t a 61

ti

m a c1

asse

u t i 1 i z a n d o uma c a r a c t e r i z a ç ã o e s t r u t u r a1 d e s e n v o l v i d a p o r S z w a r c f i t e r C241. A p r o v a B c o n s t r u t i v a e p r o p o r c i o n a a l g o r i t m o s e f i c i e n t e s p a r a c o n s t r u i r a c o l o r a ç ã o . O s u b g r a f o reduzido d e um g r a f o é o b t i d o i d e n t i f i c a n d o - s e c a d a s u b c o n j u n t o d e v é r t i c e s g&meos e m um ú n i c o v é r t i c e . Um g r a f o c L ique-compLe to B a q u e l e c u j a s c1 i q u e s m a x i m a i s se i n t e r s e p t a m d u a s

a

d u a s . B a s e a d o s n a s p r o p r i e d a d e s e s t a b e l e c i d a s por d e Mello

e m

C181 com r e s p e i t o

aas

g r a f o s i n d i f e r e n ç a c l i q u e - c o m p l e t o r e d u z i d o s provamos q u e o 1 n d i c e c r o r n g t i ç o é i g u a l ao g r a u mbximo d o g r a f o . Tambem d e t e r m i n a m o s o i n d i c e c r o m 9 t i c o d o s g r a f o s g r a f o s q u e são u n i ã o d e d u a s c1 i y u e s m a x i m a i S .

O u t r a a b o r d a g e m d o p r o b l e m a

t

a t r a v é s d e p r o g r a m a ç ã o l i n e a r . U m a c o l o r a ç ã o d e a r e s t a s p o d e ser d e f i n i d a como uma p a r t i ç ã o d o c o n j u n t o d e a r e s t a s e m e m p a r e l hamentoâ. A s s i 1x1, podemos f o r m u l a r o problema d e c o l o r a ç ã o ó t i m a como um p r o b l e m a d e c o b r i m e i r t o d a s

a r e s t a s

d o g r a f o com o menor número d e e m p a r e l h a m e n t o s . Em v i s t a d a r e l a ç ã o e n t r e estes d o i s p r o b l e m a s a s f ormul a ç õ e s d i s c u t i d a s n a l i t e r a t u r a c o n s i d e r a m a m a t r i z d e i n c i d t s n c i a a r e s t â - e m p a r e l h a m e n t o . N o programa 1 i n e a r o b t i d o

a s

c o n d i ç õ e s d e b i n a r i e d a d e d a s v a r i A v e i s s ã o r e l a x a d a s e embora o número d e c o l u n a s a u m e n t e e x p o n e n c i a l m e n t e com o tamanho d o g r a f o , e l e p o d e

s e r reâol \ r i do eficientemente pelo a1 gori tmo do e1 i psoi de. O caso ainda não r e s o l v i d o e2 quando o valor btimo do programa relaxado B i g u a l ao grau mhximo mas a solução &tima B f r a c i o n h r i a . Uma abordagem consi s t e em acrescentar ao programa r e l axado desi gual dades vá1 i das que s ã o s a t i s f e i t a s por todas a s s o l uções i n t e i r a s do programa l i n e a r mas não por todas a s soluções. Esta e s t r a t & g i a

t e m

r esul tado adequada par a d i versos problemas combi n a t o r i a i s

C

203

,

quando a s desigualdades geram f acetaâ da e n v o l t ó r i a convexa das s o l u ~ õ e s i n t e i r a s . Stahl obtém em C231

um

conjunto de desigualdades: vA1idas para o problema do i n d i c e cromático que contém uma r e s t r i ç ã o para cada subconjunto de v&

t i

ces de car d i na1 i dade i mpar

.

O modelo a s s i m o b t i do cont&m u m número exponencial d e colunas e de r e s t r i ç õ e s .

Neste t r a b a l h o formulamos u m modelo l i n e a r que u t i l i z a a matriz de i n c i d & n c i a v é r t i c e - a r e s t a do g r a f o ao invés da matriz aresta-emparelhamento. A vantagem B que o nrímero de calunas é l i n e a r no tamanho do grafo. Para o caso do valor btimo d e s t e programa r e s u l t a r igual a zero mas a soluçYo s e r f r a c i o n á r i a , estudamos experimental m e n t e o compor Lamento de uma heur i sti ca baseada e m acrescentar i t e r a t i vamente ao modelo relaxado somente a1 gumas das desigual dades vá1 i das d e t e r

m i

nadas por Edmonds

C

51 para o pr obl ema de empar e1 hamentos

.

Aplicamos a e s t r a t B g i a proposta a u m conjunto de grafoâ de d i v e r s a s c l a s s e s e OS r e s u l t a d o s permitem conjeturar que e l a pode

s e r bem sucedida para g r a f o s que s ã o pouco densos.

Descrevemos, a s e g u i r , a d i s t r i b u i ç ã o d e s t e t r a b a l h o .

No Capl t u l o 2 , apresentamos o Teorema de Vizing e os r e s u l t a d o s encontrados na 1 i t e r a t u r a r e l a t i v o s A complexidade do pr-ublrnia do i ndi c e cromhti co.

No Capitulo 3, consideramos o problema e m t r & s s u b c l a s s e s dos gr af os i ndi f e r ença: os gr af os spl i

t

-i ndi f e r ença

,

os gr af os i n d i f e r ença c1 i que-compl e t o reduzi dos e os gr af os u n i ão de duas c1 iques maxi mai s. Determinamos o 1 ndice cromático para cada urna d e s t a s c l a s s e s . Aqui mostramos Lambem que todo g r a f o completo de

ordem p a r p o s s u i uma c o l o r a ç ã o p e r f e i t a .

N o C a p i t u l o

4,

a p r e s e n t a m o s e d i s c u t i m o s a r - e s o l u ç Y o do programa l i n e a r p r o p o s t o n a l i t e r a t u r a .

N o Capl t u 1 o S . propomos um o u t r o model o. tambkm 1 i n e a r

,

e uma e s t r a t & g i a h e u r i s t i c a p a r a t e n t a r resol

ve-1

o . E s

t

udanios e x p e r i m e n t a l m e n t e o c o m p o r t a m e n t o d e s t a h e u r i s t i ca e m um c o n j u n t o

d e

y r a f o s d e

at&

50 v & r t i c e s .

Fi

na1 mente, n o Capl t u 1 0 6 , a p r e s e n t a m o s as c o n c l u s õ e s d e s t e t r a b a l h o e s u g e r i m o s d i

reçaes

p a r a f u t u r a s p e â q u i s a s .

1 . 1 D E F I N I

ÇaES

E NOTAÇOES B A S I C A S

Um grafo G B c o n s t i t u i d o p o r um c o n j u n t o f i n i t o n ã o v a z i o V=VC

G)

e o u t r o c o n j u n t o E=EC G) d e p a r e s &o o r d e n a d o s d e e l e m e n t o s d i s t i n t o s d e

V.

0 s e l e m e n t o s d e V s s o chamados v é r t i c e s e os d e E s ã o as a r e s t a s d e G. U m a a r e s t a é d e n o t a d a p e l o p a r C u , v ) d e v&rtices. A s s i m , o s v & r t i c e s u e v s ã o o s extremas d a a r e s t a , e

são d i t o s i n c i d e n t e s

a

e l a e a d j a c e n t e s e n t r e s i .

Um g r a f o p o d e ser v i s u a l i z a d o a t r a v & ç de uma r e p r e s e n t a ç ã o n o p l a n o , n a q u a l o s v é r t i c e s c o r r e s p o n d e m a p o n t o s d i s t i n t o s n o p l a n o , e n q u a n t o q u e a c a d a a r e s t a Cu, v> é a s s o c i a d a uma l i n h a . u n i n d o os p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s a u e v. 8 O complemento d e um g r a f o G E3 o g r a f o q u e p o s s u i o m e s m o c o n j u n t o d e v & r t i c e s d e G e p a r a t o d o p a r d e v é r t i c e s d i s t i n t o s u

-

e v d e G , C u , v ) & uma a r e s t a d e G se e somenLe se C u , v ) g E.

Um

s u b $ r u j o

H

d e um g r a f o G & um g r a f o t a l q u e VCH)CVCG> e ECH)EECG). Se,

a l e m

d i s s o , ECH> f o r o c o n j u n t o d e a r e s t a s d e G q u e

t e m

ambos os extremos e m VCH) e n t ã o H B s u b g . r a f a i n d u a i d o p o r VI H ) . O g r a f o G-v, o b t i d o d o g r a f o G p e l a r e m o ç Y o d o v é r t i c e

v

B o s u b g r a f o i n d u z i d o p e l o c o n j u n t o V\v. O g r a u , d C v ) , d e uin v B r t i c e v B o número d e a r e s t a s q u e i n c i d e m

e m

v. Um g r a f o B reguZar d e g r a u k , q u a n d o t o d o s as s e u s

v & r t i r e s

p o s s u i r e m o mesmo g r a u k. O si mbolo A d e n o t a o m a i o r g r a u d e um v é r t i c e d e ti. A v i z i i n h a n ç a o u a d j ' a c 4 n c i a d e um e l e m e n t o v , AdjCv), B o c o n j u n t o d e

v & r t i c e s

a d j a c e n t e s a v. D o i s g r a f o s G e H s ã o i s o m o r j o s se e x i s t i r uma f u n ç ã o b i u n l v a c a f : VCG) --bVCH) t a l q u e CU,W)EECG> se e s o m e n t e se

Uma s e q i i & n c i a d e v é r t i c e s u v

. . .

.

v t a l q u e f v . , v . I ç E ,

1 2 k J J + i

1 I j 5 k & d e n o m i n a d a caminho d e v a v Se t o d o s a s v B r t i c e s d o

i k'

caminho f o r e m d i s t i n t o s , o c a m i n h o é simples. O v a l o r k-1 B o comprimento d o caminho. Um ciclo & um c a m i n h o u u o n d e u

=v

1 2 k i k

e kZ3.

Uma corda d e um caminho é uma a r e s t a e n t r e d o i s v é r t i c e s vi e v t a l q u e i # j + l e i P j - 1 . j Um c a m i n h a e n t r e u e

v

sem c o r d a s é d i t o induzido. O c a m i n h o i n d u z i d o p o r k v é r t i c e s é d e n o t a d o P e o c i c l o i n d u z i d o p o r k k , v B r t i c e s B d e n o t a d o C I k'

Um g r a f o G

&

conexo se e x i s t i r um caminho e n t r e c a d a p a r d e

vér ti

ces d e G. Denomi nam-se corrrponen t es conexas <ou componentes2

d o g r a f o

G

aos s u b g r a f o â maximais de G

q u e

s e j a m c o n e x o s . Um g r a f o completo o u cLigue B a q u e l e c u j o â v é r t i c e s s ã o d o i s a d o i s a d j a c e n t e s . O g r a f o c o m p l e t o com n v é r t i c e s & d e n o t a d o

K

.

n Um conjunto independente é um s u b c o n j u n t o d e v é r t i c e s d o i s a d o i s n ã o ad j a c e n t e s

.

Um g r a f o G B bipartido q u a n d o o s e u c o n j u n t o d e v é r t i c e s

V

p u d e r s e r p a r t i c i o n a d o e m d o i s c o n j u n t o s

V1

e

V2,

t a i s q u e t o d a a r e s t a d e G u n e um v é r t i c e d e V a o u t r o d e

V .

Um g r a f u bipartide 1 2

completo p o s s u i uma a r e s t a p a r a c a d a p a r de v & r t i c e s u e v , s e n d o q u e

u ç V

e

V E V .

e V e i V , I = s e n t s o o g r a f o b i p a r t i d o

i 2

c o m p l e t o é d e n o t a d q

K

.

r , a

Um conjunto parcialmente ordenado o u uma ordem parcial C S . 5) c o n s i s t e d e um c o n j u n t o n ã o v a z i o S e uma r e l a ç g o b i n á r i a 5 e m S q u e t6 r e f l e x i v a , a n t i s s i m é t r i c a e t r a n s i t i v a . Se, a l é m d i s s o , q u a i s q u e r d o i s e l e m e n t o s x e y d e S são t a i s q u e o u x l y o u y s x ,

Um emparelhamento e m G & um c o n j u n t o d e a r e s t a s com extremos d i s t i n t o s d u a s a d u a s . Um emparelhamento

m.dximo

é a q u e l e q u e p o s s u i um n6mero mAxinio d e a r e s t a s . Um e m p a r e l h a m e n t o e m G B perfeito q u a n d o c o b r i r t o d o s o s v é r t i c e s d e G. A c l a s s e d o s p r o b l e m a s d e d e c i s ã o c u j a s o l u ç ã o p o d e ser e n c o n t r a d a p o r um a l g o r i t m o e m tempo p o l i n o m i a l no tamanho d a e n t r a d a B d e n o t a d a p o r P. O s i m b o l o

NP

d e n o t a a c l a s s e d o s p r o b l e m a s d e d e c i s ã o q u e possuem um c e r t i f i c a d o s u c i n t o à r e s p o s t a S I M d o p r o b l e m a , r e c o n h e c i d a p o r um a l g o r i tmo p o l i n o m i a 1 n o tamanho da e n t r a d a . Um p r o b l e m a e m N P i+ completo se q u a l q u e r p r o b l e m a e m

NP

p u d e r ser p o l i nomi a1 mente t r a n s f o r m a d o a e1 e. E s t e s p r d b l e m a s p e r t e n c e m

CAPITULO 2

O PROBLEMA DE COLORAÇXO DE A R E S T A S NO CONTEXTO DA TEORIA DE GRAFOS

Uma coloração das a r e s t a s d e um g r a f o G é uma a t r i b u i ç ã o de c o r e s A s a r e s t a s de G. Uma coloração é p r ó p r i a se a r e s t a s adjacentes possuem cores d i f e r e n t e s . Se uma colorasão u t i l i za

k

c o r e s e l a & d i t a uma k-coloraç%o.

O i n d i c e cromático d e G , x D C G > , 15 o menor nfrmero de cores necessárias para c o l o r i r a s a r e s t a s de G de forma t a l que a r e s t a s adjacentes possuam cores d i f e r e n t e s . Uma cal oração prbpr i a que u t i l i z a x ' C G > c o r e s & chamada coloração d t i m .

A Figura 2.

i

mostra Cal

coloração ótima para o g r a f o G ,

C a) coloração prbpri a

uma coloração pr6pria e Cb) uma denomi nado pi r & m i de.

\

2 3

C b ) coloração dtima

Fi

gur a 2.1 .: Coloração pr 6pr i a e b t i m a d e G.

Se uma a r e s t a C

u,u)

possui a cor

k ,

diremos que a cor k e s t á representada nos v k r t i c e s u e u .

I l u s t r a m o s , a s e g u i r , a d e f - i n i c s o a c i m a d e t e r m i n a n d o u i n d i c e c r o r n i i t i c o d e a l g u n s g r a f x o s s i m p l e s e Gern c o n h e c i d o s . TEOREMA 2.1 O i n d i c e c r o m i i t i c o d e um g r a f o caminho P c o m n n v é r t i c e s é 8. Prova: O g r a u d e P B 2 , p o r t a n t o x'CP l I 2. P a r a o b t e r uma n i-l c o l o r a c ã o com d u a s c o r e s B a u f i c i e n t e a1 t e r i l a r e s s a s d u a s c o r e s n a s a r e s t a s , ao l o n g o d o caminho. i TEOREMA 2 . 2 O i n d i c e c r o m á t i c o d e um g r a f o c i r c u i t o , C

,

c o m 1-1 11 v k r t i c e s esta d a d o p o r se n & p a r Prova: O g r a u d e C & 2 , p o r t a n t o x ' C C

>

2 2. Se 1-1 é p a r e n t ã o r3 n d u a s c o r e s são s u f i c i e n t e s , p o i s a1 t e r n a m - s e e s s a s d u a s r o r e s n a s a r e s t a s ao l o n g o d o c i r c u i t o . Quando n B írnpar

,

p r e c i s a - s e d e unia t e r c e i r a c o r p a r a e v i t a r q u e a p r i m e i r a a r e s t a c o l o r i d a e a ú l t i m a possuam a m e s m a c o r . i

2 . 2 O TEOKEMA DE

VI

ZING

E O PROBLEMA DE CLASSI

FI

CAÇÃO

2.2.1 0 TEOREMA DE

VIZING

A t é 1 9 6 4 o s m e l h o r e s l i m i t e s c o n h e c i d o s d o í n d i c e c r o m h L i c o d e um gr a f o 8 q u a l q u e r . d e g r a u máximo A, cir am

A p r i m e i r a d e s i g u a l d a d e é t r i v i a 1

,

e a s e g u n d a f o i p r o v a d a p o r Shannon e m 1 9 4 9

C22I.

Em 1 9 6 4 , V i z i n g C261 m o s t r o u q u e a s e g u n d a d e s i g u a l d a d e pode ser s u b s t i t u i d a p o r 2' C G l I A+1.

Se G é u m g r a f o c o l o r i d o com a s cores a , .

. . ,

então denotamos HCcii,P> o subgrafo de G induzido pelas ar-estas c u j a cor

.+

a ou

/3.

Observe que cada componente de HCa,/31 deve sei- um caminho ou u m c i r c u i t o de comprimento par.

Seja G u m g r a f o de grau m&ximo

A.

Então

A

5 2'lGj I

A+$.

Prova: A primeira desigualdade é t r i via1

.

Para provar

q u e

2' C G> 4

A+l

o a u t o r u t i l i z o u indução no número de a r e s t a s d e G. A i d & a B provar que s e todas a s a r e s t a s de G, menos uma d e l a s , .podem s e r c o l o r i d a s com

A+l

cores então e x i s t e unia c o l o r a ~ ã o para

todas as a r e s t a s de G com A + l cores.

Suponha que cada a r e s t a de G f o i c o l o r i d a com uma das

A+l

cures dadas, com a única exceção da a r e s t a e =vw

.

EntYo deve

1 1

e x i s t i r pelo menos uma ror não representada no v f - r t i c e v, e pelo menos uma cor nso representada no v k r t i c e

w

.

Se alguma cor nYo

1

e s t a

representada n e m em

.v

nem e m

w

entYo e s t a cor pode s e r i'

u t i l i z a d a para c o l o r i r a a r e s t a e o que completaria a prova. 1'

Caio c o n t r a r i o . s e j a a uma das c o r e s não representadas em v e s e j a (3 #a uma das cores não representadas em w . A prova continua 110s

1 1

t r & s passos s e g u i n t e s :

Passo

1:

Seja e =vw a a r e s t a i n c i d e n t e o v.&-tice v q u e tem Z 2

a t r i b u í d a a cor

5.

Esta a r e s t a deve e x i s t i r p o i s , caso contr-Ario, a cor não e s t a r i a representada n e m em v nem e m w

1

'

u

que l e v a r i a a uma contradição com a hipc5tese i n i c i a l . Ein seguida, apaga-se a cor da a r e s t a e e associa-se a cor à a r e s t a e

.

2 1

Veja a Figura S. SCaj.

Pode-se assumi i que os v & t i c e s v, w e w pertencem ã m e i r n a

1 2

componente do subgraf o HC a .

f3

j p o i s , caso c o n t r á r i o , poderiam-se

1

intercambiar a s c o r e s das a r e s t a s na coniponente que cont&m -to sem

2 a l t e r a r

a

cor da a r e s t a e . I s t o implica em que a a r e s t a e pode

s e r c o l o r i d a a , completando d e s t a forma a coloraç3o d e G. Assim, a s i t u a ç ã o i- como na Figura 2. 2Cb3.

Figura

2.2C

a) : Passo 1 -~eor'erna

de

Vizing.

Figura 2.2C bl : Passo 1 -Teor ema de V i zi iig.

Passo 2: Seja

/3

Zf3 uma das cores não representadas e m w

.

Pode-se

2 i 2

assumir que a cor

/3

estA reprentada em w p o i s , caso c o n t r g r i o 2

poderia-se completar a coloraqão de G colorindo e com a r o r (3 .

2 2

Portanto, s e j a e =vw a a r e s t a i n c i d e n t e em v que possui a cor l j .

3 3 2

Então, apaga-se a cor da a r e s t a e e associa-se a cor (3 A a r e s t a

9 2

e

.

Pela r n e s i n o argumento do passo 1

,

podemos supor que os ver ti çes 2

v.

w e

w

pertencem A mesma coniponente de H C a , p

> .

A Figura 2. 3

2 3 2

Passo 3: Repetindo o procedimento a n t e r i o r

,

obter emos eventualmerite

um

v & r t i c e

w

adjacente ao v & r t i c e v , t a l que a

k

a r e s t a

u w

nLio e e s t A c o l o r i d a e alguma cor

k

p

C i < k - 1 j I-130

representada em

w

Como a n t e s , podemos assumir que 6s vcfrtices

k'

V ,

L

e

wi+*

pertencern B mesma componente T de HC a ,

p . 3 .

Dado que w não e s t á representada em v , e 1 3 ~ não e s t h represeirtada e m w .

,

T

L +i

deve s e r o caminho desde v a t & w . que passa pelo vgiortice w. e

L+% L

que b formado s b de a r e s t a s c o l o r i d a s alternadamente i @

Cver Figura 8.41. Este caminho nYa contém

w

pois

pi

não

k '

estA representada em w k'

Figura 2 . 4 : Passo 3-Teorema d e Vizing.

*

Se T & a componente de

H C w . p . 1

que contbrn o v & r t i c e

w

er1tYo

k

T e T* devem s e r d i s j u n t a s . PortaAto,

+

pomsivel intercarnbiar a s

*

c o r e s n a s a r e s t a s de T e c o l o r i r a a r e s t a v w com a. m .

1:

O Teorema de Vizing e s t a b e l e c e que o l n d i c e cromático de u m g r a f o G , de grau mbximo A, é A ou A + 1 . Dado que para u m graf'o qual quer, A pode s e r determinado e m OC

I

EC G>

I

>

tempo, e que da prova da teorema surge u m algoritmo e f i c i e n t e para c o l o r i r a s a r e s t a s de G com A - t l c o r e s , poder-se-ia pensar s e r e s t e teorema u t i l i z a d o para determinar

X'

í G 1 eficientemente. Infelizmente, i s s o não é verdade, pois o problema de drcisYo "2' CG>=A ?" é NP-compl e t o , como veremos na seção s e g u i n t e .

2.2.2 U PROBLEMA DE CLASSLFICAÇÁU

O Teorema de Vizing C 1964) proporciona unia forma simples de c l a s s i f i c a r os g r a f a s em uma d e duas c l a s s e s . Um g r a f o G se d i z que B de Classe i se 2' C G> =A e d e CLasse 2 se 2' i G ) = A t l . N a seçCio

a n t e r i o r vimos que os g r a f o s caminho s ã o de C l a s s e 1 e que os g r a f o i c i r c u i t o de ordrin lnipar s â o de Classe 8 . (5 problema está e m a b e r t o para a maioria de c l a s s e s p a r t i c u l a r e s de gral'os.

Conjectura-se que a Classe 2 B reduzida. A base para e s t a conjectura é e s t a b e l e c i d a por Erdos e Wilson C61. Eles provaram que quase todos os g r a f o s são de Classe 1 , no s e n t i d o que se

PCnl

B a probabilidade de u m g r a f o a l e a t o r i o , de

n

v é r t i c e s , s e r de Classe 1 , então PCn3 -b 1 quando n -bm.

Parece n a t u r a l esperar que quanto mais a r e s t a s u m g r a f o p o s s u i r , mais provhvel s e r & que e1 e pertença

A

C1 a s s e 2 . Eiei neke e Wilson provaram uma cqndiçâo necessh-ia para

urn

g r a f o s e r de Classe 2. Observe que o teorema & a p l i r h v e l sc5 quando

n

B impar.

TEOREMA 2 . 4 CBeineke e Wilâon C 1 1 1 Seja G um g r a f o com n v t r t i c e s ,

m

a r e s t a s e grau máximo A. Então G B de Classe 2 se m

>

A p / z

n J .

Prova:

Se

G B de Classe 1 entSo qualquer coloraçâo própria das a r e s t a s de G com A cores p a r t i c i o n a o conjunto de a r e s t a s em d conjuntos d i s j u n t o s . Mas, o nhmero de a r e s t a s de cada subconjunto nSo pode exceder i n J , pois caso c o n t r á r i o , duas d e s t a s

a r e s t a s seriam adjacentes. Portanto,

m

5 dLi,a

n J .

A segui r , enunci amos a1 guns coro1 á r i os d e s t e teorema.

COROLARI O 2.5.

C i 1 Todo grafci regular d e ordem impar é d e Classe 2.

i i i l Seja H u m g r a f o regular d e ordem impar e grau m8xima A . S e G B qualquer g r a f o obtido de H eliminando, no máximo, u2d-1 a i - c ~ t a s , e n t Y o G G de Classe 2.

C i i i l Se H &

u m

g r a f o regular d e ordem par e s e G é qualquer g r a f o obtido de H i n s e r i n d o u m novo v é r t i c e em qualquer uma das a r e s t a s

d e H , e n t % o G é d e C l a s s e 2.

O u t r o r e s u l t a d o i n t e r e s s a n t e re1 a t i v o ao p r o b l e m a d e

c l a s s i f i c a ~ ã o , p a r a g r a f o s d e g r a u rnAximo g r a n d e , é o s e g u i n t e .

TEOKEMA 2 . 6 C H i l t o n e J o h n s o n C 1 2 1 1 Seja G um g r - a f o com 1-1 v & r t i c e s

e g r a u m6ximo A( G l 2- n-2. Se n B i m p a r e n t ã o G B d e C l a s s e 2 se e & m e n t e se (ECGI

I

>

ACG)

LIA

n J , e s e n é p a r e n t ã o G B d o C l a s s e 2 se e s o m e n t e se p a r a a l g u m v é r t i c e

v

E

V(

G )

,

A( G-VI =A( G l e IECG\v> ( > A C G ) LilnCn-I> J .

'2.3 COMPLEXIDADE DO PROBLEMA DE COLORAÇÃO DE ARESTAS

Em

1981 Holyer [: 1 3 1 p r o v o u q u e o p r o b l e m a d e d e c i d i r se a í n d i c e cromático d e um g r a f o 3 - r e g u l a r é 3 o u 4 & NP-completo, o q u e i m p l i c a q u e o p r o b l e m a 6 NP-completo p a r a um g r a f o q u a l q u e r . H o l y e r c o n j e c t u r o u n e s s e t r a b a l h o , tamb&m, q u e o p r o b l e m a a n + l o g o p a r a grafos d e g r a u máximo A é NP-completo. P o s t e r i o r m e n t e , erri lQ83, Leven e G a l i l C l â l , p r o v a r a m e s t a c o n j e c t u r a .

S . 3.1 NP-COMPLETEZA DO Í N D I C E CROMATICO PARA GKAFOS REGULARES

A t k c n i c a u t i l i z a d a é m o s t r a r uma r e d u ç ã o p o l i n o m i a l d o p r o b l e m a 3-SAT, q u e d e f i n i r e m o s a s e g u i r , ao p r o b l e m a d e d e c i d i r o í n d i c e c r o m A t i c o d e um g r a f o . C o n s i d e r e uni c a n j u n t o d e v a r i á v e i s b o o l e a n a s u i ,

. .

.

,

u

e os

-

-

m s e u s c o m p l e m e n t o s

u

i , .

.

. .

,u

.

I s t o 8, c a d a v a r i á v e l ui toma um m

_-

valor v e r d a d e i r o o u f a l s b e

u.

B v e r d a d e i r o se e s o r n e i i t e se u. f o r L L f a l s o . C o n s i d e r e ,

t

arribem

,

um c o n j u n t o d e c1 á u â u l a s C=CCi, Cz,

. . .

,

C

>

n a s v a r i á v e i s

u

,

.

. .

.

u

,

c a d a c l á u s u l a C. ri i-n L

c o n s i s t i n d o de t r & s l i t e r a i s L

ii* e 'i3 onde cada l i t e r a l L i j é

uma vari Ave1 u ou o seu complemento

-;

k k '

Uma c l & u s u l a e d i t a sat Lsfat iveL s e e x i s t e uma a t r i b u i ç ã o d e v a l o r e s , verdadeiro ou f a l s o , para a s vari2iveis de t a l modo que pelo menos

u m

dos l i t e r a i s s e j a verdadeiro. O problema de 3 - s a t i s f a b i l i d a d e ou 3-SAT, c o n s i s t e em determinar s e e x i s t e uma a t r i b u i ç ã o d e valores de verdade A s v a r i á v e i s t a l que toda clhusula em C s e j a s a t i s f a t l v e l .

TEOREMA

2.7 CHolyer C 133 2 O problema d e deterlni nar s e o i n d i c e cromhtico de u m grafo 3-regular & 3 ou 4 é NP-completo.

A i d & i a da prova k. a s e g u i n t e . Dada uma' i n s t â i i c i a C do problema 3-SAT, c o n s t r ó i - s e u m grafo G que $ 3-colc~rlvel se e

somente

se C B s a t i s f a t i vel .

O

grafo G & construido a t r a v é s da uni30 de " p a r t e s " ou componentes:, cada uma de1 a s r e a l i zando uma t a r e f a especi f i ca. Pares de a r e s t a s 1 evam i nf ormaç%o e n t r e a s d i versas componentes. Em uma 3-coloração de G. e s t e s pares de a r e s t a s , s e d i z que representam o valor verdadeiro se a s a r e s t a s possuem a mesma c o r , e que representam o valor f a l s o s e a a r e s t a s tiverem cures d i s t i n t a s .

O s a u t o r e s def-inem t r & s t i p o s de componentes: uma associada a cada varihvel u uma para cada c l á u s u l a C . , e o u t r a para os

i

_-

' _J

l i t e r a i s que s ã o

u ,

.

Eles mostram como c o n s t r u i r o g r a f o 5-regular

L

a par

ti

r de1 a s , e m tempo pol i nomi a1

.

TEOREMA 2.8 CLeven e G a l i l C l f S 1 ) Dado u m i n t e i r o k , o problema de d e c i d i r se o i ndice cromAtico de u m grafo r e g u l a r , de grau k , é k ou

k+l

é NP-completo.

2.3.2 NP-COMPLETEZA DO I N D I C E CKOMATICO PARA O S GRAFOS P E R F E I T O S

Em

v i s t a dos r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s , uma das l i n h a s de pesquisa em torno ao íirdice cromAtico c o n s i s t e em estudar e s t e parámetro em c l a s s e s r e s t r i t a s de grafos. Cai e E l l i s mostram em

C 41 a NP-completeza do problema de decisão associado ao i n d i c e cromático para os graf os regul a r e s de comparabi 1 i dade e por t a n t o para os grafos p e r f e i t o s . E l e s , Lambem, provam a NP-compleza do problema para os g r a f o s l i v r e s de g a r r a C K í P S ) .

Um g r ã f o é p e r f e i t o quando para todo subgrafo induzido o número cromático G i g u a l ao tamanho da maior c l i q u e .

-iL

Seja G o g r a f o direcionado ou o r i e n t a d o obtido a t r i b u i n d o uma o r i e n t a ç ã o A s a r e s t a s do g r a f ~ G , não orientado. Se para cada par de a r e s t a s Cu,u> e Cv,w> de G , o r i e n t a d a s d e u para v e de v para

A

w , e x i s t i r a a r e s t a Cu,w> o r i e n t a d a de u para w , entáo G é uma crrientaçda transitiva e G é

u m

g r a f o de comparaõilidade. I s t o é, G & de comparabilidsde s e e somente s e G admite u m a o r i e n t a ç ã o t r a n s i t i v a das suas a r e s t a s .

TEOREMA 2 . 9 CCai e , E l l i s C411 Dado k 1 3 i n t e i r o , determinar o i n d i c e cromático de u m graf'o k-regular de cotnparabilidade é NP-compl e t o .

COROLARIO

2.10 Dado u m i n t e i r o k

>

3 , determinar o i n d i c e

cromgtico de u m g r a f o k-regular p e r f e i t o B NP-compl e t o .

Prova: Todo graf o de comparabi l i d a d e & p e r f e i t o . e

2.3.3 CASOS POLINOMI A I S

Embora, o problema do i n d i c e cromático r e s u l t a r di f i c i l

,

ainda e m c l a s s e s r e s t r i t a s d e g r a f o s , existem algumas c l a s s e s onde e1 e pode s e r r e s o l v i d o eficientemente.

O í n d i c e cromático de u m yraf-o completo

K

tem s i d o

determinado por d i v e r s o s a u t o r e s , a saber: Vizing C 863

,

Belizad, Lhartrand e Cooper 2 1 e Berge C 3 1 2 . Apresentamos, a s e g u i r , urna prova c o n s t r u t i v a desenvolvida por Fi oi-i n i e W i 1 son.

TEOREMA 2.11 CFiorini e Wilson C81> O i n d i c e cromBtico de u m g r a f o completo, K

, estA dado por

n

s e n

tS

par

se n S irnpar.

Prova: Observe que ~ '

K

f 1 2 1 p o i s o grau d e cada v & r t i c e &

n

n-l

.

Se

n

B ímpar, então o maximo número d e a r e s t a * que & possivel c o l o r i r com uma mesma cor & unCn-l> , caso cont-rhrio duas d e s t a s a r e s t a s seriam adjacentes. A s s i m , o m&xirna numero de a r e s t a s em

K

n

& 1 / 2 C n - l > ~ . ' I K 2 . D e o u t r a p a r t e , o número de a r e s t a s de

K

&

n n

wzin-ljn. Portanto, x ' C K > 2 n. Para provar a igualdade, os

n

a u t o r e s mostram urna Iorrna de c o n s t r u i r uma coloração pr-bpria com n cores. Para i s s o , os v é r t i c e s de

K

âYo colocados na forma d e u m

r' .

poligono regular e a s a r e s t a s d e s t e poligono são c o l o r i d a s cada uma com uma cor d i s t i n t a . A s o u t r a s a r e s t a s s ã o c o l o r i d a s a t r i b u i n d o a cada uma d e l a s a cor u t i l i z a d a na a r e s t a p a r a l e l a com rola n a f r o n t e i r a . N a Figura 2 . 5 i l u s t r a - s e o caso n=5.

Figura 2 . 5 : Coloração dtirna de K

5

O casa n = 2 B t r i v i a l . Se n

>

2 e p a r - , escolhe-se u m v é r t i c e qualquer, v , de K e o subgrafo induzido

K

-v, que B

um

yrafo

completo com n-1 v & r t i c e s , G c o l o r i d o da forma d e s c r i t a acima. Em cada v é r t i c e há exatamente uma cor não representada, e as cores não representadas s a o todas d i f e r e n t e s . A s a r e s t a s d e

K

n i n c i d e n t e s e m

u

sYo c o l o r i d a s u t i l i z a n d o e s t a s cores f ã l t a n t e ç . i

A Figura 2. €3 mostra o caso n=6.

Figura 2 . 6 : Coloração ótima de K

6'

h grafos b i p a r t i d o s completos s ã o o u t r a c l a s s e de g r s f o s onde o í n d i c e cromAtica pode s e r determinado eficientemente. F i o r i n i e Wilson apresentam, também, para e s t e caso uma prova c o n s t r u t i v a .

TEOREMA

2.12 O í n d i c e cromhtico de

u m

g r a f u b i p a r t i d o completo,

K

, B

max € r , s ) .

r . 6

Prova: Suponha, sem perda de generalidade, que rls. Assim,

Z'CK

1 2 r . Para provar a igualdade os autores construem uma

P s S

r-coloração, da s e g u i n t e forma: os

r

v & r t i c e s são c o l u c a d ~ s em uma l i n h a horizontal e os s v S r t i c e s em o u t r a l i n h a h o r i z o n t a l , abaixo da primeira. A coloraç9ia é obtida a t r i b u i n d o cores à s a r e s t a s i n c i d e n t e s e m cada um dos s v & r t i c e s . E m cada v & r t i c e a s a r e s t a s s ã o consideradas na d i r e ç ã o horSria e u t i l i z a n d o a s cores € 1 . 2 , .

.

.

, r ) ; Ç 2 , 3 , .

. . . , r , 1 ) ; .

.

.

.

. .

.

; e < s

, . . . ,

r , 1 ,

. . . ,

s-13. A Figura 2.7 mostra a coloração para K d e 3 .

Este r e s u l t a d o segue, tamb&n, corno coro1 & r i o d i r e t o do Teorema d e K & n i g

,

a segui r .

Figura 2 . 7 : Coloração dtima de

K

4 , s -

TEOREMA

2.13 (Teorema de Kclnig) Seja G u m yrafo b i p a r t i d o com grau mhximo A. EntYo 2'CGj = A.

Prova: Konig u t i l i z o u induçIlio no núrnero de a r e s t a s de G. Claramente, é s u f i c i e n t e provar que s e todas a s a r e s t a s d e G , menos uma d e l a s , são c o l o r i d a s usando, no mAximo, A c o r e s , então

e x i s t e

uma A-coloração para todas a s a r e s t a s de G.

Suponha que cada a r e s t a de G possui uma das A c o r e s , com a única exceção da a r e s t a e=vw. Então deve e x i s t i r pelo menos uma cor nYo representada no v é r t i c e v, e pelo menos uma cor nYo representada no v k r t i c e w. Se e x i s t i r urna cor não representada em ambos v é r t i c e s v e w. então pode-se u t i l i z a r e s t a cor para c o l o r i r a a r e s t a e , e a prova e s t a r i a completa. Caso c o n t r á r i o , s e j a a uma das cores não representadas e m v, @#a uma das cores não representadas em w , e HCa,/3> o subgrafo conexo d e G formada pelo v & r t i c e

w

e todos os v é r t i c e s e a r e s t a s de G que podem s e r alcançados desde w por u m caminho c o n s i s t e n t e s 3 de a r e s t a s c o l o r i d a s a ou f3. Como G

ta

b i p a r t i d o , a subgrafo H C a , ( 3 > não pode conter o v h r t i c e v, e portanto podem-se intercambiar a s cores a e

p

n e s t e subgrafo sem a f e t a r v ou a coloração r e s t a n t e . Logo, a a r e s t a C v , w > pode s e r c o l o r i d a com a cor a , completando, aâsirn, a a coloração d e G. i

I

F i na1 mente, apresentamos na Figura 2 . 8 , junto com a s r e l a ç õ e s d e p e r t i n ê n c i a d e algumas c l a s s e s d e grafos p e r f e i t o s , a complexidade do problema do i ndi c e cromStico r e s t r i t o a e s t a s

c l a s s e s . Denotamos A -b B se a c l a s s e

B

d e g r a f o s est8 c o n t i d a n a c l a s s e A. Um g r a f o d e c o m p a r a b i l i d a d e é d e p e r m u t a ç t h se o s e u g r a f o compl e m e n t a d t a m b é m d e c o m p a r a b i 1 i d a d e . Um g r a f o B d i t o s e m

P4

ou c o g r a f o se n ã o cont&m s u b g r a f o s i n d u z i d o s isomc5rfos a o c a m i n h o P

.

4 Um g r a f o t r i a n g u l a d a B a q u e l e em q u e t o d o c i c l o i n d u z i d o d e c o m p r i m e n t o m a i o r d o q u e t r ê s p o s s u i uma c o r d a .

Um g r a f o t r i a n g u l a d o & chamado s p l i t se o seu. c o m p l e m e n t o f o r t r i a n g u l a d o . Os g r a f o s s p l i

t

,

t a m b é m s ã o c a r a C t e r i z a d o s como a q u e l e s g r a f o s c u j o c o n j u n t o d e v 4 r t i c e s p o d e ser p a r t i c i o n a d o e m um c o n j u n t o i n d e p e n d e n t e e um c o n j u n t o q u e i n d u z uma c l i q u e .

O g r a f o i n t e r s e ç a o d e uma f arnilia F d e c o n j u n t o s & o g r a f o o b t i d o a s s o c i a n d o - s e um v & r t i c e a cada c o n j u n t o da f a m i l i a , e d e f i n i n d o uma a r e s t a e n t r e d o i s v & r t i c e s se e s o m e n t e se o s c o n j u n t o s c o r r e s p o n d e n t e s se i n t e r â e c t a m . Um g r a f o & d e i n t e r v a l o se é o g r a f o i n t e r s e ç ã o d e um c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s d a r e t a r e a l .

Se

o s i n t e r v a l o s s ã o u n i t A r i o s e n t ã o o g r a f o i n t e r s e ç ã o é d e n o m i n a d o g r a f o d e i n t e r v a l o p r d p r i o , i n t e r v a l o u n i t h r i b o u indiferença.

NP-COMPLETO

Bi par ti d o P e r f e i t o

I

1 ngul a d o I n t e r v a l o S p l i

L

I n d i f e r e n ç a U n i A o Duas C1 i q u e s 1 Spl i

t

-I n d i f er e n ç a I n d i f . C1 i q u e - c o m p l e t o r e d u z i d o F i g u r a 2 . 8 : C o m p l e x i d a d e d o í n d i c e C r ó m á t i ç o e m A 1 gumas C 1 asses d e G r af os P e r f ei t o s .

CAPÍ TULO 3

O S GKAFOS I NDI FERENÇA

N e s t e c a p l t u 1 o c o n s i d e r a m o s o p r o b l e r n a do i n d i re r r o m i k t i c o e m

t r & s

' s u b c l a s s e s d a c l a s s e d o s g r a f o s i n d i f e r e n ç a : a s g r - a f o s s p l i

t

-i n d i f e r e n ç a , os y r a f os i n d i f e r e n ç a c l i q u e - c a m p l e t o r e d u z i d o s e os g r a f o s u n i ã o d e d u a s c l i q u e s m a x i m s i s.

N a

seção 3: 1 a p r e s e n t a m o s a l g u m a s c a r a c t e r i e a ç B e s dos g r a f o s i n d i f er e n ç a . A seção 3 . 2 t r a t a d e d o i s t i p o s d e c o l o r a ç õ e s q u e u s a r e m o s n a coloração d o s g r a f os a n t e s menci o n a d o s . A p r e s e n t a m o s a c o l o r a ç ã o e q u i

t a t i

v ã e n c o n t r a d a n a 1 i

t e r

a t u r a , e d e f i n i m o s a c o l oração p e r f ei t a . N a s e ç ã o 3 . 3 d e t e r m i n a m o s o i n d i c e cr-oriifrtiro dos g r a f o s s p l i t - i n d i f e r e n ç a , u t i l i z a n d o uma c a r a c t e r i z a ç Y o e s t r u c t u r a l p r ó p r i a d a â u b c l a s s e . A s e ç 5 o 3 . 4 e â t b d e d i c a d a aos g r a f o s i n d i f e r e n ç a c l i q u e - c o m p l e t o r e d u z i d o s e

a

s e ç % o 3 . 5 aos g r a f o s u n i 5 0 d e d u a s c l i q u e s m a x i m a i s .

3 . 1 CARACTERI z A Ç ~ E S DOS GKAFOS I NDI FERENÇA

N o c a p l t u 1 o a n t e r i or f o i d e f i n i d o um y r af o i n d i f er e n ç a c o r n o a q u e l e q u e 2. o g r a f o i n t e r s e ç ã o d e um c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s u n i t A r i o s n a r e t a r e a l . A F i g u r a 3.1 m o s t r a um g r a f o i n d i f e r e n ç a e s u a r e p r e s e n t a ç â o p o r i n t e r v a l o s u n i t A r i os. Um r e s u l t a d o d e k o b e r t s q u e a p r e s e n t a m o s a s e g u i r , c a r a c t e r i z a os g r a f o s i n d i f e r e n ç a e m t e r m o s d a s s u a s c l i q u e s maxi m a i S .

TEOREMA 3.1 i Rober

t ç

C 21 I 1 Urn graf-.o & d e i n d i f eretiça se e s o m e n t e se a d m i t e

uma

ordem l i n e a r s o b r e s e u s v & r t i c e s , n a q u a l os:

r e t a r e a l

f 3

2 . 5

4 ci

Figura: 3.1 Um g r a f o G indiferenqa e a sua representaçYo por i n t e r val os u n i t á r i os.

U m a ordem l i n e a r sobre os v é r t i c e s de u m g r a f o que s a t i s f a z a condição da teorema acima é chamada o r d e m indiferença.

Os graf os i n d i f e r e n ç a foram tamb&rn caracterizado-: por Koberti:

e m

termos d e âubyrafos proibidos.

TEOREMA 3.2 CRoLerts L21 1

>

0s grafos i n d i f e r e n ç a são exatamente os g r a f o s de i n t e r v a l o que nYo cont&m

K

como

1 . 9 subgrafo induzido. Veja Figura 3 . 2

Figura 3 . 2 : O yrafo

K

* & 3

3.2

COLORAÇOES DE C L I W E S DE ORDEM PAR

Diversos a u t o r e s têm estudado o problema de coloração das a r e s t a s d e

um

graf o compl e t o , tarnb&in denominado um-f a t o r i zaçao do g r a f o completo, desde o s&culo passado. A publicação m a i s a n t i g a , devida. a Kirkman l141, d a t a de 1847. Porkm, pela r e l a ç ã o d e s t e

problema com o problema dos 'torneios, B posslvel que ele teirlra si do ronsi derado ainda mais cedo.

A 1 gunâ dos t r a b a l hos têm si do dedi cados ao desenvol vi mente de a1 gor i

t

mos ef i c i e n t e s par a col or i r uma c1 i que, como f o i mencionado no capi t u 1 o a n t e r i o r

.

Outros estudam questões r e l a c i onadas r u m col orações que apresentem pr opr i edades par ti cul a r e s

.

A1 gumas d e s t a s questões sYo: Quantas a r e s t a s em cornum podern t e r duas colorações prrfprias de urna c l i q u e de ordem par?, Qual é o maior número de a r e s t a s c o l o r i d a s com cores d i s t i n t a s que contém u m c i c l o hamiltoniano em uma coloração prbpria de uma c l i q u e ? , Qual é o maior núinero de cores d i f e r e n t e s em

u m

emparelhamento p e r f e i t o em qual quer col or ação pr bpr i a?

Nesta seçYo estamos i n t e r e s s a d o s em colorações 6tirna.s de uma cl 1 que de ordem p a r , Kn, que apresentam emparel harnentoâ p e r f e i t o s onde a s a r e s t a s possuem todas cores d i s t i n t a s , e tamb&m em pr opr i edades das col orações pr rfpr i a s com n cores

.

Wool br i ght C 283

provou que e m qualquer col orat;ão própria de

K

C 1-1 par) e x i s t e urn

n

empar e1 hamento per f e i t o , com 2 ar e s t a s ,

t

a1 que n/z-1 de1 a s possuem cores d i s t i n t a s .

3. . S . 1 UMA LOLORAÇnO P E R F E I T A

Um subgrafo de uma c l i q u e

K

c o l o r i d a G chamado totalmente

n

muLticoLorido se todas a s a r e s t a s do subyrafo possuem cores di f e r e n t e s .

knonii naremos coLoraçiPa per f ei ta a urna col uraçãu b t i ma q u e contem pelo . menos u m emparelhamento perf e i t o t o t a l mente m u l t i c o l o r i do.

TEOREMA

3.1 E x i s t e uma coloração p e r f e i t a do g r a f o completo

K

de ardem par.

Prova: S e j a m v*, v-, . . . . u n o s v & r t i c e s d e .

K

.

N o s n r e f e r i r e m o s A a r e s t a C vi, v . )

.

s i m p l e s m e n t e como a a r e s t a C i , j ' j J p a r a f a c i l i t a r 3 n o t a ç â o . C o n s i d e r e a s e g u i n t e m a t r i z s i m e t r i c a

Mn.

onde m. . & a c o r d a L J a r e s t a

C i ,

j'1. O s e l e m e n t o s d a d i a g c m a l p r i n c i p a l n ã o i n t e r e s s a m , p o i s o g r a f o nSo t e m c i c l o s e l e m e n t a r e s . O b s e r v e q u e

C i )

r&.

= C 2 i i - 1 ) mod C n - l > + C j-111 rnod Cn-1)

~j

se 1 5 i 5 h-2, j # 1-1-i e J :i i .

C i i i )

m i b n e i

= C2Ci-1) 3 mod Cn-1) p a r a i = 1 , e , . . . , n - 1 .

( i v ) = C 2 i I-1) 1 mod C n-1'1 p a r a 2 5 i I n-1.

A

matriz

M r e p r e s e n t a uma c o l o r a ç ã o & L i m a d e

Kn.

p o i s e m

n

c a d a l i n h a e c a d a c o l u n a os e l e m e n t o s s ã o t a d o s d i s t i n t o s , por t a n t o a r e s t a s a d j a c e n t e s possuem c o r e s d i f e r e n t e s . A 1 e m d i são,