Interações aperiódicas em modelos magnéticos: aproximação de campo médio

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INTERA ¸

C ˜

OES APERI ´

ODICAS EM MODELOS

MAGN´

ETICOS - APROXIMA ¸

C ˜

AO DE CAMPO

M´

EDIO.

FLORIAN ´

OPOLIS

2010

(2)

EM F´ISICA

INTERA ¸C ÕES APERI ÓDICAS EM MODELOS MAGNÉTICOS -APROXIMA ¸C ÃO DE CAMPO MÉDIO.

Disserta¸c˜ao submetida `a

Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em F´ısica

THARNIER PUEL DE OLIVEIRA

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Em um primeiro momento, quero agradecer a todos que me apoiaram, incentivaram e compreenderam a importância de meus estudos, durante meu mestrado. Agrade¸co em particular à minha fam´ılia ( Álvaro, Thamna, Thessaly e Verlane) por toda ajuda e incentivo que me deram. Um agradecimento em especial para minha namorada Rafaela por toda sua paciência, que sem ela esta disserta¸cão ainda não estaria pronta. Também gostaria de agradecer aos colegas do laboratório de mecânica estat´ıstica do departamento de F´ısica da UFSC (Marcelo C., Daniel, Antônio, Robson, Diego, Marcelo e Ian) por todos os seus ensinamentos e discussões produtivas, sejam em F´ısica ou computa¸cão. Agrade¸co aos meus amigos Emanuela, Aaron, Aléxia, Durval, Juércio e Carlos pelo apoio em meus estudos. Devo agradecer ao meu orientador, Nilton, que me orienta com toda sua paciência desde a inicia¸cão cient´ıfica em 2005. Enfim, agrade¸co a todos que, de alguma forma, direta ou indiretamente, contribu´ıram para a realiza¸cão deste trabalho.

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INTERA ¸C ÕES APERI ÓDICAS EM MODELOS MAGNÉTICOS -APROXIMA ¸C ÃO DE CAMPO MÉDIO.

Tharnier Puel de Oliveira Setembro / 2010 Orientador: Nilton da Silva Branco, Dr..

´

Area de Concentra¸cão: Mecânica Estat´ıstica e Transi¸cões de Fase.

Palavras-chave: Comportamento cr´ıtico, sistema desordenado, aperiodicidade, campo m´e-dio.

N´umero de P´aginas: 75

Estudamos um sistema magnético em camadas com intera¸cões não homogêneas en-tre essas camadas. Nosso objetivo foi obter as propriedades cr´ıticas desse sistema, usando a aproxima¸cão de campo médio. Tratamos o modelo de Ising de spin-1/2 com intera-¸cões moduladas pela sequência de Fibonacci. Dentro da aproxima¸cão de campo médio, essa sequência é classificada como marginal, na qual espera-se que os expoentes cr´ıticos dependam continuamente da razão entre as duas intera¸cões existentes, r (r = 1 corres-ponde ao modelo uniforme). Para vários valores de r, obtivemos resultados numéricos para a “temperatura cr´ıtica” de um sistema finito com comprimento linear L (Tc(L)) e extrapolamos para o limite termodinâmico. Nossos resultados para Tc(L) têm mais de

14 casas decimais de precisão. Isto foi necessário para obtermos estimativas confiáveis para os expoentes β, γ e δ. Esses expoentes foram calculados supondo uma dependência log-periódica das quantidades termodinâmicas relevantes com a temperatura reduzida ou com o campo magnético. Nós verificamos que esses expoentes cr´ıticos são dependentes da razão entre as intera¸cões e obedecem a rela¸cão de escala entre os expoentes cr´ıticos, γ=β(δ_{− 1), para qualquer valor de r. Nós também obtivemos os expoentes cr´ıticos} ν_k e α das rela¸cões de escala entre os expoentes, na dimensão cr´ıtica superior (supostamente

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degree of Master in Physics.

MEAN-FIELD APPROXIMATION FOR THE ISING MODEL WITH LAYERED APERIODIC MODULATIONS OF COUPLINGS CONSTANTS

Tharnier Puel de Oliveira September / 2010 Advisor: Nilton da Silva Branco, Dr..

Area of Concentration: Statistical Mechanics and Phase Transitions. Keywords: Critical behaviour, disordered system, aperiodicity, mean-field. Number of pages: 75

We study a layered magnetic system with inhomogeneous inter-layer couplings. Our goal is to obtain its critical properties within the framework of a mean-field theory. We consider the spin-1/2 Ising model with the interaction constants following the Fibonacci aperiodic sequence. For the mean-field approximation, this sequence is a marginal one and, therefore, we expect the critical exponents to depend on the ratio between the two different coupling constants, r (r = 1 corresponds to the homogeneous model). For various values of r, we obtain numerical results for the “critical temperature” for finite systems of linear size L (T c(L)) and extrapolate to the thermodynamic limit. Our results for T c(L) have more than 14 significant digits. This precision is necessary to obtain reliable estimates of the critical exponentsβ,γ andδ. These exponents are calculated assuming a log-periodic dependence of the relevant thermodynamic quantities on the reduced temperature or on the magnetic field. We verify that these critical exponents are coupling dependent but obey the usual scaling relationγ=β(δ_{− 1) for any value of r. We also obtain the critical} exponents ν_k and α from the others exponents, using scaling relations between critical exponents at the upper critical dimension (assumed to be 4 for this model).

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1 INTRODU ¸C ÃO. . . p. 8 1.1 Motiva¸cão . . . p. 8 1.2 Comportamento cr´ıtico . . . p. 9 1.2.1 Rela¸cões de escala. . . p. 14 1.3 Modelo de Ising . . . p. 17 1.4 Aproxima¸cão de campo médio . . . p. 21 1.4.1 Solu¸cão para a temperatura cr´ıtica . . . p. 22 1.4.2 Expoentes . . . p. 23 2 SEQUÊNCIAS APERI ÓDICAS. . . p. 26 2.1 Critério de Harris-Luck . . . p. 26 2.2 Sequência de Fibonacci . . . p. 29 2.3 Expoente de flutua¸cão . . . p. 33 3 C ÁLCULO DA MAGNETIZA ¸C ÃO. . . p. 36 3.1 Magnetiza¸cão por camada . . . p. 36 3.2 Temperatura cr´ıtica . . . p. 38 3.2.1 Solu¸cão do sistema de equa¸cões . . . p. 40 3.2.2 Extrapola¸cão BST . . . p. 42 3.3 Métodos de solu¸cão do sistema: Método do ponto fixo. . . p. 44 3.3.1 Magnetiza¸cão do sistema infinito . . . p. 44 4 EXPOENTES CR´ıTICOS. . . p. 49 4.1 Expoente β da magnetiza¸cão . . . p. 49 4.1.1 Cálculo via derivada logar´ıtmica . . . p. 52 4.2 Expoente δ da isoterma cr´ıtica . . . p. 58 4.2.1 Cálculo via derivada logar´ıtmica . . . p. 61 4.3 Expoente γ da suscetibilidade . . . p. 64 4.3.1 Cálculo via derivada logar´ıtmica . . . p. 67

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5 CONCLUS ˜AO. . . p. 71 5.1 Perspectivas . . . p. 72

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1.1 Motiva¸c˜ao

Nosso trabalho visa a contribuir para um melhor entendimento de sistemas não homogêneos. Dentro desse contexto, mostraremos o critério de Harris-Luck, que nos dará uma previsão do que acontece quando se introduz modula¸cão aperiódica em um sistema. Em particular, estamos interessados em desordem aperiódica em sistemas de spins magnéticos localizados. Neste cap´ıtulo, faremos uma breve revisão sobre transi¸cões de fase e comportamento cr´ıtico, a fim de fornecer o embasamento teórico necessário para uma boa compreensão do nosso estudo. Já no cap´ıtulo seguinte, discutiremos com detalhes o critério de Harris-Luck e introduziremos o conceito de sequências aperiódicas, bem como suas caracter´ısticas.

Tratamos o modelo de Ising usando a aproxima¸cão de campo médio, que nos dá um resultado exato, para os expoentes cr´ıticos, em sistemas com dimensão igual ou maior que quatro e uma boa aproxima¸cão qualitativa para sistemas em três dimensões. Estudamos esse modelo em camadas, sendo que as intera¸cões entre os spins são moduladas aperi-odicamente, na dire¸cão perpendicular às camadas. Segundo o critério de Harris-Luck, quando essa sequência é a de Fibonacci, a desordem é classificada como marginal, na qual espera-se que os expoentes cr´ıticos dependam continuamente da razão entre as diferentes intera¸cões existentes. Procuramos então calcular os expoentes cr´ıticos e mostrar esse tipo de comportamento.

No cap´ıtulo 3, mostramos como calculamos a magnetiza¸cão por camada e a tem-peratura cr´ıtica, para nosso sistema aperiódico. Fizemos esse cálculo para várias razões diferentes entre as intera¸cões. Essas grandezas foram essenciais para obtermos os ex-poentes cr´ıticos. Somente no cap´ıtulo 4 é que mostramos os resultados obtidos para os expoentes. Para isso, veremos que as grandezas termodinâmicas desse sistema aperió-dico têm um comportamento log-perióaperió-dico, próximas ao ponto cr´ıtico. Apenas com essa considera¸cão, já obtivemos bons resultados para os expoentes. Porém, evidenciamos esse comportamento log-periódico aplicando derivadas logar´ıtmicas nas grandezas termodinâ-micas. Assim, pudemos calcular com maior confiabilidade os expoentes.

De fato, encontra-se na literatura o cálculo de apenas um dos expoentes cr´ıticos, o expoente β relacionado à magnetiza¸cão em fun¸cão da temperatura. Neste estudo, além desse expoente calculamos outros dois diretamente, δ e γ, relacionados à magnetiza¸cão, na temperatura cr´ıtica, em fun¸cão do campo magnético e da suscetibilidade em fun¸cão da temperatura, respectivamente. Além disso, através de rela¸cões de escala entre os

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expoen-tes, calculamos os expoentesα e ν_k, relacionados ao calor espec´ıfico e ao comprimento de correla¸c˜ao, na dire¸c˜ao da aperiodicidade, respectivamente.

1.2 Comportamento cr´ıtico

O estudo da Mecânica Estat´ıstica de equil´ıbrio trouxe a liga¸cão entre as leis fun-damentais da f´ısica, em escala microscópica, e nosso mundo macroscópico, regido pelas leis da termodinâmica. Ela trata de entender quais as consequências que as intera¸cões intramoleculares trazem ao sistema termodinâmico, macroscópico. Sendo assim, esse for-malismo nos permite fazer uma conexão do sistema microscópico com a termodinâmica, por meio da fun¸cão de parti¸cão canônica, seja ela:

Z(T, H, N) =

∑

{σ}

exp_[−βTE(σ)], (1.1)

cujos termos T, H e N representam a temperatura, um campo magnético externo ao sistema e o número de moléculas (representadas por spins em materiais magnéticos), respectiva-mente. A soma em {σ} representa a soma sobre todos os estados microscópicos poss´ıveis, βT é definido βT ≡ _k_B1_T, sendo kB a constante de Boltzmann e, finalmente, E (σ) é energia do sistema, dado um estado microscópico {σ}.

Um campo bastante estudado dentro desse contexto é o de transi¸cões de fase dos materiais, ou seja, mudan¸cas bruscas nas propriedades f´ısicas do sistema com a varia¸cão de algum parâmetro termodinâmico como, por exemplo, a temperatura ou um campo magnético externo. Essas mudan¸cas de fase, em muitos casos, são percept´ıveis em escala macroscópica. No entanto, a varia¸cão desse parâmetro termodinâmico relevante torna essas fases cada vez mais parecidas, até que, em um ponto espec´ıfico, a diferen¸ca entre elas desaparece. Chamamos esse ponto de ponto cr´ıtico. Passado esse ponto, não há mais uma transi¸cão percept´ıvel entre uma fase e outra, de forma que as mudan¸cas de fase são suaves. Um exemplo clássico de ponto cr´ıtico podemos observar no diagrama de fases da água. No final da linha de transi¸cão entre as fases l´ıquido e gás caracteriza-se um ponto cr´ıtico, sendo que, além deste ponto, qualquer mudan¸ca de fase entre esses estados é suave.

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Figura 1.1: Diagrama de fases da água mostrando o ponto cr´ıtico da água, no final da linha de transi¸cão entre as fases l´ıquida e gasosa.

Outros exemplos de transi¸cões de fase, que também são caracterizadas por tais pon-tos cr´ıticos, são: cristais ferromagnéticos que apresentam uma magnetiza¸cão espontânea abaixo da temperatura de Curie, ou temperatura cr´ıtica [1]; materiais que apresentam ordenamento alternado de spins, i.e, antiferromagnético, abaixo do ponto de Néel, ou ponto cr´ıtico [2]; ou ainda, o ponto cr´ıtico de uma mistura binária, a qual apresenta uma mistura homogênea abaixo da temperatura cr´ıtica [3].

Formalmente, podemos dizer que essas transi¸cões são caracterizadas por desconti-nuidades, em alguma derivada, de pelo menos um potencial termodinâmico. Caso essa descontinuidade ocorra na primeira derivada do potencial, dizemos que a transi¸cão é de primeira ordem. Caso ocorra apenas em derivadas de segunda ordem, ou ordem superior, chamamos de transi¸cão cont´ınua.

Figura 1.2: Exemplo de transi¸c˜ao cont´ınua (linha vermelha) e de primeira ordem (linha azul) representadas pela magnetiza¸c˜ao, que vem de uma primeira derivada da energia livre.

A existência de uma quantidade diferente de zero abaixo do ponto de transi¸cão e nula acima dele, é uma caracter´ıstica associada a uma transi¸cão de fase. A essa quantidade

(11)

damos o nome de parˆametro de ordem.

São as transi¸cões cont´ınuas que apresentam tais pontos cr´ıticos. Uma caracter´ıstica dominante dessas transi¸cões são as flutua¸cões microscópicas, por exemplo, na energia ou na magnetiza¸cão, que tornam-se relevantes macroscopicamente, na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Consequentemente, grandezas termodinâmicas como a suscetibilidade, i.e., quão suscet´ıvel é a magnetiza¸cão de um sistema à aplica¸cão de um campo magnético, diver-gem no ponto cr´ıtico. Um interesse comum nessa área é justamente o comportamento assintótico dessas grandezas, nas proximidades do ponto cr´ıtico.

Por se tratar do comportamento assintótico, uma realiza¸cão de muita importância ocorreu em 1945 quando Guggenheim publicou seus resultados sobre o princ´ıpio dos esta-dos correspondentes [4]. Guggenheim mostrou a dependência da densidade, ρ =ρL−ρG, de oito fluidos diferentes com a temperatura, sendo ρL a densidade do fluido na fase l´ı-quida eρG na fase gasosa. Como podemos observar na figura1.3, os fluidos se comportam

Figura 1.3: Medidas analisadas por Guggenheim (1945), mostrando a curva coexistente entre os fluidos, nas proximidades do ponto cr´ıtico. Note que os eixos s˜ao ρ/ρc e T /Tc, em que Tc eρc variam de fluido a fluido, sendoρc a densidade cr´ıtica e Tc a temperatura cr´ıtica.

da mesma forma próximos à criticalidade. Esse comportamento comum ratificou a ideia do que chamamos hoje de expoentes cr´ıticos universais. Em outras palavras, alguns siste-mas apresentam um mesmo comportamento assintótico, quando próximos à criticalidade. Esse comportamento, em geral, é descrito matematicamente por leis de potência,

(12)

carac-das quantidades termodinâmicas, próximas a um ponto cr´ıtico, como uma fun¸cão f (x) na forma:

f_{(x) ∼ x}λ _{para x → 0} (1.2)

ou, sendo mais preciso, podemos definir o expoenteλ como:

λ ≡ lim x→0  ln f (x) ln x , (1.3)

no qual x ≡ x0− xc, sendo x0 um parˆametro relevante e xc o valor desse parˆametro no ponto cr´ıtico.

Estamos aqui interessados em sistemas magn´eticos. No limite termodinˆamico —

N_{,V →}∞, mantendo a razão N/V constante, sendo V o volume do sistema — a energia livre por spin é uma fun¸cão logar´ıtmica da fun¸cão de parti¸cão, dada por:

f(T, H) = lim N→∞  −kBT N ln[ZN(T, H)] . (1.4)

Vamos agora mostrar quais os expoentes mais relevantes, ou melhor, os quais estamos interessados em calcular. Come¸camos por mostrar a magnetiza¸cão espontânea por spin, uma fun¸cão da primeira derivada da energia livre:

m_{(T ) = − lim} H→0 ∂ f(T, H) ∂H T . (1.5)

Singularidades tamb´em podem ser encontradas na segunda derivada da energia livre, como, por exemplo, no calor espec´ıfico por spin:

c_{(T, H) = −T} ∂2_f_{(T, H)} ∂T2 H , (1.6) ou ainda, a suscetibilidade: χ(T, H) = − ∂2_f_{(T, H)} ∂H2 T = ∂ m ∂H T . (1.7)

Na proximidade do ponto cr´ıtico, cada grandeza é caracterizada por seu próprio expoente cr´ıtico. Esse expoente é determinado pela equa¸cão (1.3). Sendo assim, define-se os expoentes β, α e γ relativos a magnetiza¸cão, calor espec´ıfico e suscetibilidade, respectivamente, a campo zero (H = 0):

(13)

m_{(t) ∼ (−t)}β , t_{→ 0}− (1.8)

c_{(t) ∼ |t|}−α , t_{→ 0} (1.9)

χ(t) ∼ |t|−γ , t_{→ 0} (1.10)

com t ≡ T−Tc

Tc , sendo Tc a temperatura cr´ıtica, e t → 0

− _{significa que t tende a zero por}

valores negativos, ou seja, T → Tc para T < Tc. Além desses, podemos definir o expoente δ, associado à isoterma cr´ıtica, i.e., ao comportamento da magnetiza¸cão, na temperatura cr´ıtica, sob a a¸cão de um campo magnético externo:

m_{(t = 0, H) ∼ |H|}1δ_sgn(H) _{para H → 0} _(1.11)

sendo que sgn(H) significa que deve-se levar em considera¸c˜ao o sinal de H.

Em um sistema de spins interagentes, define-se uma fun¸cão que mede a correla¸cão entre dois spins, localizados, por exemplo, nas posi¸cões i e j, na forma:

Γ(r) ≡< (Si− < Si>)(Sj− < Sj>) >, (1.12) ou

Γ(r) =< SiSj> − < Si>< Sj>, (1.13) sendo r a distância entre os spins e <> significa a média térmica. Nota-se, pela equa-¸cão (1.12), que as correla¸cões são medidas das flutua¸cões dos spins, em torno de seus valores médios. E também, pela equa¸cão (1.13), que a correla¸cão é nula para spins não interagentes. Assim, a correla¸cão vai a zero exponencialmente com a distância entre os spins:

Γ_{(r) ∼} 1 rτ exp

−r/ξ(t) _(1.14)

sendo τ um número qualquer e ξ(t) definido como o comprimento de correla¸cão, i.e., a distância t´ıpica na qual dois spins estão correlacionados; em outras palavras, se variarmos a orienta¸cão de um spin, um outro spin, a uma distância ξ daquele, “perceberá” essa varia¸cão. Perceber significa que este spin terá sua orienta¸cão alterada, de alguma forma, por causa da varia¸cão do primeiro spin. Sendo asim, define-se o expoente ν, relativo ao comprimento de correla¸cão, na forma:

(14)

ξ(t) ∼ |t|−ν. (1.15) Existem vários livros textos mostrando, com bastante rigor e detalhe, a obten¸cão dos expoentes explicitados. Alguns deles, amplamente usados, estão nas referências [5, 6, 7]. Uma boa revisão sobre comportamento cr´ıtico também pode ser encontrada na referência [8].

1.2.1 Rela¸c˜oes de escala

Na f´ısica teórica, estuda-se o comportamento cr´ıtico magnético dos materiais através de modelos de spins interagentes. Como vimos, o comportamento cr´ıtico dos materiais é caracterizado por expoentes cr´ıticos. Esses expoentes apresentam rela¸cões de igualdade entre eles. No ano de 1966, Kadanoff apresentou argumentos heur´ısticos para explicar tais rela¸cões, que chamou de lei de escala [9]. Anos depois, em 1971, Wilson revolucionou a teoria de fenômenos cr´ıticos com um método de solu¸cão de modelos magnéticos, baseado na lei de escala, hoje conhecido como grupo de renormaliza¸cão [10]. Um dos grandes mé-ritos do grupo de renormaliza¸cão, além de possibilitar o cálculo dos expoentes, foi então explicar as rela¸cões de escala que existem entre os expoentes cr´ıticos. Tais rela¸cões sur-gem do fato de que os potenciais termodinâmicos são fun¸cões homogêneas generalizadas, próximos ao ponto cr´ıtico. Uma revisão sobre grupo de renormaliza¸cão pode ser vista na referência [11].

Escrevemos a parte singular da energia livre por spin em termos dos parˆametros termodinˆamicos relevantes t e h, tendo definido h ≡HN, sendo N o n´umero de spins, e do tamanho linear do sistema, L, como:

fs(t, h, L) = b−dfs(bytt, byhh, L/b) (1.16) sendo b um fator de escala arbitrário e d a dimensão do sistema. A partir dessa energia livre, vamos analisar como as grandezas termodinâmicas se comportam próximas ao ponto cr´ıtico.

Come¸camos pela magnetiza¸cão a campo nulo, definida na equa¸cão (1.5). Assim, da equa¸cão (1.16) temos a magnetiza¸cão homogênea generalizada na forma:

m(t, h, L) = byh−d_m_(byt_t_{, b}yh_h_{, L/b).} _(1.17) Procuramos mostrar o comportamento da magnetiza¸c˜ao pr´oxima a temperatura cr´ıtica,

(15)

quando h = 0. Para isso, escolhemos o parâmetro arbitrário b = |t|−1/yt _{e a equa¸cão (}_1.17_), no limite termodinâmico L →∞, fica:

m_{(t) = |t|}(d−yh)/yt_m_(±1,0), _(1.18) na qual impomos que, no limite termodinâmico e fora do ponto cr´ıtico, a parte singular da energia livre é limitada, ou seja, fs(L →∞) → constante. Observa-se que m(−1,0) é uma constante e válida para temperaturas próximas, porém abaixo, da temperatura cr´ıtica. Por outro lado, m(+1, 0) = 0 para qualquer temperatura acima da temperatura cr´ıtica. Agora, se fizermos t → 0−, podemos comparar a equa¸cão acima com a equa¸cão (1.8) e obtemos uma expressão para o expoente β:

β = d− yh

yt

. (1.19)

Iremos agora analisar a magnetiza¸cão na temperatura cr´ıtica, t = 0, quando aplicado um campo magnético pequeno. Para isso definiremos o parâmetro b da equa¸cão (1.17) como b = |h|−1/yh e aplicamos o limite L →∞. Sendo assim, a magnetiza¸cão em fun¸cão do campo fica:

m_{(h) = |h|}(d−yh)/yh_m_{(0, ±1).} _(1.20) No limite em que h → 0, podemos comparar a equa¸cão acima com a equa¸cão (1.11) e obter uma expressão para o expoente da isoterma cr´ıtica:

δ = yh

d_{− y}h

. (1.21)

A suscetibilidade tamb´em pode ser analisada se usarmos a equa¸c˜ao (1.7), aplicada na parte singular da energia livre:

χ(t, h, L) = b2yh−dχ_(byt_t_{, b}yh_h_{, L/b).} _(1.22) Queremos analisar o comportamento da suscetibilidade a campo nulo, h = 0, próxima à temperatura cr´ıtica, no limite termodinâmico L →∞. Para isso, definimos b = |t|−1/yt _{e a} equa¸cão acima fica:

χ(t) = |t|(d−2yh)/ytχ_(±1,0). _(1.23) Se considerarmos t → 0, podemos comparar essa equa¸cão com a equa¸cão (1.8) e então

(16)

γ = 2yh− d

yt

. (1.24)

Por fim, vamos obter o expoente do calor espec´ıfico, calculado pela equa¸c˜ao (1.6). O calor espec´ıfico a campo nulo, h = 0, calculado a partir da parte singular da energia livre, tem a forma:

c(t, h, L) = b2yt−d_c_(byt_t_{, b}yh_h_{, L/b).} _(1.25) Finalmente, definimos o parˆametro b = |t|−1/yt _{e aplicamos o limite L →}∞_:

c_{(t) = |t|}(d−2yt)/yt_c_(±1,0). _(1.26) No limite em que t → 0, comparamos a equa¸c˜ao acima com a equa¸c˜ao (1.9) e obtemos:

α= 2yt− d

yt

. (1.27)

Por fim, de forma semelhante, pode-se obter uma expressão para o expoente ν, do comprimento de correla¸cão, a partir da parte singular da fun¸cão de correla¸cão entre dois spins, escrita como uma fun¸cão homogênea generalizada:

Γs(r,t, L) = c(b)Γs(b−1r, bytt, L/b). (1.28) Se escolhermos b = |t|−1/yt_{, no limite L →}∞_{, temos:}

Γs(r,t) ∼ c(|t|−1/yt)Γs(|t|1/ytr, ±1). (1.29) Sabemos da equa¸cão (1.14) que a fun¸cão Γ(r) escala com a temperatura na forma r/ξ(t). Sendo assim, próximo à temperatura cr´ıtica, das equa¸cões (1.15) e (1.29) obtêm-se a seguinte rela¸cão para o expoenteν:

ν= 1

yt

. (1.30)

Podemos observar que, se obtivermos os parâmetros yt e yh, todos os expoentes cr´ıticos podem ser calculados a partir deles. Também observa-se que, por essas equa¸cões, podemos obter rela¸cões entre os expoentes. Sendo assim, das equa¸cões (1.19), (1.24) e (1.27) temos:

(17)

α+ 2β+γ = 2 (lei de Rushbrooke), (1.31) ou ainda, temos a rela¸c˜ao entre o expoenteν e α das equa¸c˜oes (1.27) e (1.30):

α = 2 −νd (lei de Josephson). (1.32)

Por fim, das equa¸cões (1.19), (1.21) e (1.24) chegamos à rela¸cão:

γ = (δ_{− 1)}β, (1.33)

que ´e uma combina¸c˜ao da lei de Rushbrooke e da lei de Griffiths (2βδ₋γ_{= 2 −}α). 1.3 Modelo de Ising

Como foi mencionado, um conceito fundamental em f´ısica teórica são os modelos. Percebemos as caracter´ısticas mais relevantes de um sistema f´ısico real e criamos um modelo teórico a partir delas, na esperan¸ca de que esse modelo descreva bem o compor-tamento do sistema. Dentre os modelos teóricos que visam explicar o comporcompor-tamento magnético dos materiais, o modelo clássico mais simples, entretanto o mais estudado, é o modelo de Ising. Ele descreve os momentos magnéticos de um sólido isolante por spins localizados nos s´ıtios de uma rede. Esses spins podem somente assumir os valores +1 ou −1. Para uma profunda análise do modelo de Ising ver referência [12].

Figura 1.4: Spins localizados nos s´ıtios de uma rede.

A intera¸cão entre esse spins é dada por uma simples constante de acoplamento entre spins primeiros vizinhos, i.e., spins localizados em posi¸cões adjacentes.

Figura 1.5: Intera¸c˜ao Ji j entre os s´ıtios i e j, primeiros vizinhos. O modelo de Ising pode ser definido pelo hamiltoniano:

(18)

H _{= −2}

∑

<i, j> Ji jSiSj− H N

∑

i=1 Si, (1.34)

no qual a soma em < i, j > significa soma entre pares primeiros vizinhos, Ji j é a intera¸cão de troca entre os spins i e j, e o termo Si (Sj) refere-se ao estado em que se encontra o spin i ( j), podendo ser +1 ou −1. Já no termo que inclui o segundo somatório temos H, um campo magnético uniforme externo aplicado, e N, o n´umero de spins existentes na rede. Podemos separar o primeiro somatório sobre pares primeiros vizinhos:

H _{= −2} N

∑

i=1 Si 1 2

∑

_j Ji jSj ! − H N

∑

i=1 Si, (1.35)

no qual o somat´orio em j representa a soma dos primeiros vizinhos de cada s´ıtio i e o termo 1₂ deve-se ao fato de estarmos somando a liga¸c˜ao entre os s´ıtio i e j duas vezes. Portanto, o hamiltoniano de Ising pode ser reescrito como:

H _{= −} N

∑

i=1 Si "

∑

j Ji jSj+ H # . (1.36)

A partir desse hamiltoniano, podemos fazer uma conexão com a termodinâmica e obter as grandezas termodinâmicas através da fun¸cão de parti¸cão canônica na forma:

Z(T,V, N) =

∑

{Si}

exp₍₋βTHe f), (1.37)

sendo {Si} a soma em todos os microestados poss´ıveis para o conjunto de spins {Si} e H_{e f} _{um campo efetivo atuando sobre o spin S}_i_{, definido como H}_{e f} _≡∑_j_J_{i j}_S_j_{+ H.}

Como exemplo, mostraremos a solu¸cão do modelo de Ising em uma dimensão, 1D, sem campo magnético externo. Ainda antes da mecânica quântica, mesmo antes do modelo de Heisemberg, o melhor modelo de magnetismo era a teoria de campo molecular de Pierre Weiss [13]. Ising queria que seu modelo mostrasse uma transi¸cão de fase. Ele resolveu para uma dimensão, mas a transi¸cão só ocorria para Tc= 0, como veremos a seguir. A hamiltoniana de Ising, sem campo, para uma cadeia de N s´ıtios, 1D, pode ser escrita na forma: H _{= −} N−1

∑

i=1 JiSiSi+1, (1.38)

com Si podendo assumir os valores +1 ou −1. A conexão com a termodinâmica é feita através da fun¸cão de parti¸cão:

(19)

ZN =

∑

{S} exp₍₋βH_{) =}

∑

S1=+1,−1

∑

S2=+1,−1 ···

∑

SN=+1,−1 exp β N−1

∑

i=1 JiSiSi+1 ! . (1.39) Podemos reescrever a equa¸c˜ao acima como:

ZN =

∑

S1=+1,−1

∑

S2=+1,−1 ···

∑

SN−1=+1,−1 exp β N−2

∑

i=1 JiSiSi+1 !

∑

SN=+1,−1 exp(βJN−1SN−1SN) , ent˜ao, ZN =

∑

S1=+1,−1

∑

S2=+1,−1 ···

∑

SN₋₁=+1,−1 exp β N−2

∑

i=1 JiSiSi+1 ! 2 cosh(βJN−1SN−1). (1.40)

Repetindo esses passos recursivamente temos:

ZN = 2Ncosh(βJ1) . . . cosh(βJN−1) = 2N N−1

∏

i=1

cosh(βJi). (1.41) Para o caso uniforme, no qual Ji≡ J, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao fica na forma:

ZN = 2NcoshN−1(βJ). (1.42)

A fim de calcularmos a temperatura cr´ıtica, primeiro, calculamos a correla¸c˜ao entre dois spins:

Γk(r) ≡< SkSk+r>, (1.43)

sendo r a distˆancia entre os spins. Assim,

Γk(r) = 1 ZN

∑

_{S} SkSk+rexp(−βH ), (1.44) ou ent˜ao, ZNΓk(r) =

∑

S1 ···

∑

SN SkSk+rexp(βJ1S1S2) . . .exp(βJN₋₁SN₋₁SN). (1.45) Podemos reescrever a equa¸c˜ao acima na forma:

(20)

ZNΓk(r) =

∑

S1 ···

∑

SN ∂ ∂βJk . . . ∂ ∂βJk+r−1 exp(βJ1S1S2) . . .exp(βJN₋₁SN₋₁SN), (1.46) ou ent˜ao, ZNΓk(r) = ∂ ∂βJk . . . ∂ ∂βJk+r−1 [ZN]. (1.47)

Aplicando as derivadas parciais, usando a equa¸c˜ao (1.41), obtemos:

Γk(r) =

1 ZN

2Ncosh(βJ1) . . .senh(βJk) . . . senh(βJk_+r−1) . . . cosh(βJN−1) (1.48)

e assim, Γk(r) = tgh(βJk) . . .tgh(βJk_+r−1) = r

∏

i=1 tgh(βJk_+i−1). (1.49) Para o caso uniforme, Ji= J, temos:

Γk(r) = tghr(βJ). (1.50)

Procuramos uma temperatura a qual os spins tenham intera¸cões de longo alcance, i.e., uma temperatura em que a correla¸cão entre os spins decresce suficientemente lenta com o aumento de r, tal que o sistema se torne magnetizado. No limite em que r →∞, ou seja, à uma distância infinita, os spins estão descorrelacionados e a fun¸cão de correla¸cão entre eles vai a zero (veja equa¸cão (1.13)):

m2= lim

r→∞Γk(r) (1.51)

sendo m =< Sk>=< Sk+r>, a magnetiza¸c˜ao por spin. Das equa¸c˜oes (1.49) e (1.50) vemos

que, nesse limite de r →∞, a magnetiza¸cão por spin vai a zero para qualquer valor finito de β. Entretanto, no limite em queβ _→∞_{, i.e., T → 0, a magnetiza¸cão por spin permanece} diferente de zero e igual a um. Assim, chega-se a conclusão de que a magnetiza¸cão do sistema é zero para qualquer valor de temperatura, mas “subitamente” ela assume seu valor máximo, para T = Tc= 0. Portanto, o modelo de Ising não apresenta transi¸cão de fase em uma dimensão.

Ising ficou muito desapontado por seu modelo não apresentar transi¸cão de fase em uma dimensão, pois ele supos que não haveria em nenhuma outra, uma vez que o modelo

(21)

de Weiss mostrava que a transi¸cão independia da dimensão. Pelo método de matriz de transferência resolve-se esse mesmo modelo, em 1D [7], agora com campo magnético. O resultado é o mesmo encontrado, ou seja, não apresenta magnetiza¸cão espontânea para qualquer temperatura acima de zero. Contudo, ao contrário do que Ising supunha, seu modelo em duas dimensões tem solu¸cão exata, sem campo [7], e apresenta transi¸cão de fase para uma temperatura diferente de zero.

1.4 Aproxima¸c˜ao de campo m´edio

Na maioria dos modelos teóricos, não se consegue obter uma solu¸cão anal´ıtica. No entanto, usamos aproxima¸cões que nos permitem chegar a resultados qualitativamente e, algumas vezes, quantitativamente corretos, mesmo que apenas para alguns limites. Uma primeira aproxima¸cão proposta, em geral, é a aproxima¸cão de campo médio [13]. Pela facilidade de aplica¸cão, apesar de, em muitos casos, não apresentar resultados quantita-tivamente corretos, a aproxima¸cão de campo médio ainda hoje é a primeira ferramenta a ser usada para encontrar resultados qualitativos. A aproxima¸cão de campo médio pode ser tratada de diferentes formas, como verifica-se nos apêndices A e B da referência [14]. Neste estudo, tratamos essa aproxima¸cão aplicada ao modelo de Ising. Nosso cálculo parte então do hamiltoniano de Ising, na forma da equa¸cão (1.36), e supomos que os spins Sj, vizinhos a um s´ıtio i, serão substitu´ıdos por seus valores médios < Sj>≡ mj. Portanto, a hamiltoniana de campo médio fica:

H_CM_{= −}

∑

i Si "

∑

j Ji jmj+ H # . (1.52)

Se definirmos o termo entre colchetes como Hi≡∑jJi jmj+ H, ficamos com:

H_CM_{= −}

∑

i SiHi, (1.53) ou ainda H_CM₌

∑

i H_i_. _(1.54)

tendo definido Hi≡ −SiHi. E chegamos a uma hamiltoniana de s´ıtio único, análoga ao de um paramagneto. Sendo assim, calculamos a magnetiza¸cão média por s´ıtio na forma:

mi=∑Si e−βTHi_S i ∑Sie−βT H_i = eβTHi_{− e}−βTHi eβTHi+ e−βTHi = tgh(βTHi), (1.55)

(22)

mi= tgh " βT

∑

j Ji jmj+ H !# . (1.56)

No caso uniforme, no qual todas as intera¸cões têm o mesmo valor, Ji j≡ J, a magne-tiza¸cão por s´ıtio fica somente:

m= tgh[βT(zJm + H)], (1.57)

sendo z o n´umero de primeiros vizinhos, ou número de coordena¸cão da rede. 1.4.1 Solu¸cão para a temperatura cr´ıtica

A equa¸cão (1.57) é uma equa¸cão impl´ıcita, que pode ser resolvida pelo método gráfico. Para isso, a campo zero (H = 0), colocamos em um mesmo gráfico as fun¸cões do lado esquerdo e direito da equa¸cão (1.57), conforme esquematizado na figura (1.6).

Nota-se que existem duas solu¸cões diferentes de zero, enquanto a inclina¸cão da curva do lado direito da equa¸cão (1.57), em m = 0, for maior que a do lado esquerdo e que terá somente a solu¸cão trivial quando essa inclina¸cão for menor. Podemos escolher um valor de temperatura tal que as duas curvas tenham a mesma inclina¸cão e essa temperatura é então a temperatura cr´ıtica. Com isso, a fim de observar a inclina¸cão da tangente hiperbólica na origem, expandimos essa fun¸cão em série de Taylor, tgh(x) = x + O(x3_{), e tomamos}

apenas o termo de primeira ordem. Assim, a equa¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao por s´ıtio (1.57) torna-se:

m=βTzJm, (1.58)

ou ainda

kBTCM

J = z, (1.59)

(23)

−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 m m tgh(2m)

Figura 1.6: Representa¸cão gráfica da magnetiza¸cão e de sua tangente hiperbólica. O argumento 2m da tangente hiperbólica é apenas uma exemplifica¸cão do que, na verdade, seria βTzJm.

1.4.2 Expoentes

A partir do resultado de campo médio, mostraremos aqui como obter alguns dos expoentes cr´ıticos. Por conveniência, vamos reescrever a equa¸cão (1.57) em termos da temperatura reduzida t (veja defini¸cão após equa¸cão (1.10)), na qual a temperatura cr´ıtica,

Tc, ´e dada por (1.59):

m= tgh 1 1+ t m+H zJ . (1.60)

Come¸caremos com o expoenteβ da magnetiza¸cão espontânea, sem campo. Sabemos que, próximo ao ponto cr´ıtico, a magnetiza¸cão é próxima de zero; por isso, podemos expandir a tangente hiperbólica em série de Taylor

tgh(x) = x −1₃x3+ O(x5) (1.61)

e descartar os termos de quinta ordem em diante. Feito isso, a equa¸c˜ao (1.60) pode ser escrita como:

m2_{= −3t(1 + t)}2, (1.62)

(24)

m_{∼ (−t)}21, (1.63)

e obtemos o expoenteβ = 1

2 para campo m´edio.

Podemos facilmente obter o expoente γ, da suscetibilidade, por um procedimento análogo ao anterior, porém, agora incluindo o campo H. Assim, descartando os termos O_(x5_{) na equa¸cão (}_1.60_{) teremos} m= 1 1+ t m+H zJ −1 3 1 1+ t m+ H zJ 3 . (1.64)

Podemos ent˜ao calcular a suscetibilidade conforme a equa¸c˜ao (1.7).

χ= 1 1+ t χ+ 1 zJ − 1 1+ t m+H zJ 2 1 1+ t χ+ 1 zJ H=0 , (1.65) χ= 1 1+ t χ+ 1 zJ " 1₋ m 1+ t 2# . (1.66)

Lembrando do fato de que não existe magnetiza¸cão acima da temperatura cr´ıtica, então:

χ= 1 1+ t χ+ 1 zJ , (1.67) ou ainda χ= 1 zJt para t→ 0 + _(1.68)

Para temperaturas abaixo da temperatura cr´ıtica, próximas ao ponto cr´ıtico, vimos que a magnetiza¸cão é dada pela equa¸cão (1.62). Portanto, da equa¸cão (1.66) temos:

χ ≃ 1

2zJ_(−t) para t → 0

− _(1.69)

Por fim, podemos dizer que a suscetibilidade, pr´oxima a temperatura cr´ıtica, tanto abaixo como acima dela, se comporta da forma:

χ∼ |t|−1, (1.70)

ou seja, dentro da aproxima¸cão de campo médio, o expoente da suscetibilidade éγ = 1 e sua amplitude abaixo de Tc (= _2zJ1 ) é a metade daquela acima de Tc (= _zJ1).

(25)

temos t = 0 e a equa¸cão (1.60) torna-se: m= tgh m+H zJ (1.71) Novamente, descartando os termos O(x5_{) da tangente hiperbólica, descrita em série de}

Taylor (1.61), chegamos `a express˜ao:

m= m+H zJ 1₋mH zJ −1₃ " m3+ H zJ 3# (1.72) No regime em que a magnetiza¸cão e o campo são muito pequenos, o termo mH fica desprez´ıvel, mH ≪ 1, portanto, podemos reescrever a equa¸cão acima na forma:

m3= 3H zJ −  H zJ 3 . (1.73)

Por fim, para H suficientemente pequeno

m_{∼ H}13sgn(H). (1.74)

E assim chegamos ao expoente relativo `a isoterma cr´ıtica, δ = 3.

Não demonstraremos aqui, mas encontra-se na literatura [5, 7] os expoentes relaci-onados ao calor espec´ıfico e ao comprimento de correla¸cão. Dentro da aproxima¸cão de campo médio eles têm os valoresα = 0 eν = 1

2, respectivamente.

´

E importante ressaltar que esses expoentes concordam com as rela¸cões de escala obtida do grupo de renormaliza¸cão, como podemos ver pelas equa¸cões (1.33), (1.31) e (1.32). Também é importante mencionar que quando as rela¸cões entre os expoente incluem a dimensão do sistema, d, para campo médio, esse parâmetro assume o valor d = 4. Esta é a chamada dimensão cr´ıtica superior: nela e acima dela o cálculo de campo médio fornece o resultado correto dos expoentes cr´ıticos [15].

(26)

Desde a descoberta dos quase-cristais [16], pesquisadores vêm estudando suas propri-edades e caracter´ısticas peculiares: baixa friçcão e alta dureza [17,18,19], alta resistência elétrica [20], entre outras. A novidade nesses materiais são estruturas moleculares que não pertencem a nenhuma rede de Bravais, ou seja, possuem estruturas não cristalográficas.

Tais estruturas podem ser modeladas por sequências aperiódicas, ou não-periódicas. Uma sequência aperiódica pode ser constru´ıda através de uma determinada regra de for-ma¸cão, tal que nunca apresenta um per´ıodo que possa ser reproduzido de forma a gerar a sequência. Esses materiais podem ser facilmente produzidos em laboratório por ligas que, ao passarem por um processo de aquecimento seguido de resfriamento controlados, se organizam naturalmente nessas estruturas. Além disso, pesquisadores estão criando novos materiais com suas forma¸cões regidas por sequências aperiódicas, como a deposi¸cão de substâncias em camadas organizadas aperiodicamente [21].

2.1 Crit´erio de Harris-Luck

Em nosso trabalho, temos o objetivo de estudar as consequências de introduzirmos modula¸cões aperiódicas aplicadas a modelos magnéticos, modificando de maneira deter-min´ıstica as intera¸cões entre os spins. Podemos agora nos perguntar qual a consequência causada pela introdu¸cão das tais modula¸cões aperiódicas. Para entendermos melhor essa questão, veremos primeiro o que acontece quando introduzimos desordem no sistema [22]. Consideraremos aqui somente desordem causada por diferen¸cas nas intera¸cões ferromag-néticas entre os spins. O caso de frustra¸cão ou vidros de spin não será abordado, veja referência [23].

Considere agora uma região esférica do sistema infinito de volume V e diâmetro L. Definimos NV como o número de liga¸cões,εi, j, dentro desse volume, de modo que NV ∼ Ld, sendo d a dimensão do sistema. Sendo assim, a intera¸cão média entre os spins é dada por:

¯ εV =

1

NV _{<i, j>∈V}

∑

εi, j

. (2.1)

Supomos que a intera¸cão média do sistema infinito seja ε0, de modo que a intera¸cão

média entre os spins dentro do volume é bem definida e, no limite termodinâmico, é igual à intera¸cão média do sistema, ¯ε=ε0. A distribui¸cão dessas intera¸cões é caracterizada por

sua flutua¸cão, expressa em termos do desvio em rela¸cão a média. Mais precisamente, o desvio da soma das liga¸cões dentro do volume V , em rela¸cão a média do sistema, é definida

(27)

como: gV ≡ "

∑

<i, j>∈V εi, j # − NVε0= NV(¯εV −ε0). (2.2)

Supomos agora que, para grandes volumes, mas ainda finitos, a flutua¸c˜ao segue uma lei de potˆencia na forma [22]:

gV ∼ (NV)ω ∼ (Ld)ω, (2.3)

sendoω chamado de expoente de flutua¸c˜ao, que supomos ser bem definido.

Como vimos na se¸c˜ao 1.4.1 para o modelo de Ising uniforme, a temperatura cr´ıtica depende da intera¸c˜ao entre os spins, Tc ∼ J ≡ε0. Intuitivamente podemos esperar que

esse tipo de dependência se mantenha após introduzirmos a desordem. Imaginemos então que essa flutua¸cão altere localmente, dentro do volume V , a temperatura cr´ıtica, de forma que, para uma desordem suficientemente pequena, essa nova temperatura cr´ıtica, TV

c , varie linearmente com a m´edia das intera¸c˜oes entre os spins confinados no volume, ou seja, TcV ∼ ¯εV. Nesse volume, podemos definir uma temperatura reduzida tV ≡T−T

V c TV

c . Se a desordem for irrelevante para o comportamento cr´ıtico, então a diferen¸ca entre a temperatura reduzida local e a do sistema, δt _{≡ t}V − t, tem que ir a zero mais rapi-damente que a própria temperatura reduzida do sistema, t, conforme nos aproximamos da criticalidade, t → 0. Veremos então como estipular um critério para a relevância da desordem no sistema.

Consideremos que, próximo à criticalidade, o comprimento de correla¸cão entre dois spins dentro do volume, é da ordem do próprio volume, i.e., ξV ∼ L, sendo ξV o com-primento de correla¸cão. Assim, usando a equa¸cão (2.2) e a suposi¸cão de que TV

c ∼ ¯εV podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.3) como:

gV ∼ξVd(TcV− Tc) ∼ξVdω, (2.4) ou ainda

δt_∼ξ_Vd(ω−1). (2.5)

Sabemos, do sistema ordenado, que t ∼ξ−1/ν0

0 (ver cap´ıtulo 1.2), para t → 0. Assim,

(28)

δt t ∼ ξd(ω−1) V ξ−1/ν0 0 . (2.6)

Claramente, há uma competi¸cão entre a correla¸cão do sistema e a correla¸cão do vo-lume, de modo que, próximo a criticalidade, predomina aquela que tiver o maior expoente. Sendo assim, a flutua¸cão devida à desordem torna-se relevante quando

d(ω_{− 1) ≥ −}1 ν0

, (2.7)

ou ainda, quando

Φ≡ 1 − dν0(1 −ω) ≥ 0, (2.8)

no qual Φ é chamado expoente de “crossover”. De acordo com o critério de Harris-Luck [24, 22], essa competi¸cão classifica a desordem em três situa¸cões bem distintas:

• Se Φ < 0, dizemos que a desordem é irrelevante. Nesse caso, ela não muda o com-portamento cr´ıtico do sistema, em rela¸cão ao seu análogo uniforme.

• SeΦ> 0, dizemos que a desordem ´e relevante. Esta muda a classe de universalidade em que o sistema se encontra, ou seja, os expoentes cr´ıticos do modelo desordenado s˜ao diferentes daqueles do modelo uniforme.

• Se Φ = 0, dizemos que ela é marginal, para a qual resultados anteriores sugerem que os expoentes cr´ıticos dependam continuamente da razão entre as intera¸cões existentes [25, 26, 27, 28].

Esse resultado pode ser generalizado para estruturas anisotrópicas nas quais a de-sordem é aplicada em dm≤ d coordenadas. Nesse caso, o critério de relevância é análogo ao anterior, no entanto, o expoente de “crossover” assume a forma:

Φ≡ 1 − dmν0(1 −ω). (2.9)

Para uma contextualiza¸cão do critério de Harris-Luck ao nosso estudo, daremos uma breve explica¸cão do nosso modelo, que será apresentado com detalhes no cap´ıtulo 3. Es-tudamos o modelo de Ising usando aproxima¸cão de campo médio, ver equa¸cão (1.52), modulado pela sequência de Fibonacci em uma ´unica dire¸cão, dm= 1, cujos s´ıtios inte-ragem igualmente com todos os seus primeiros vizinhos a menos dos vizinhos da camada anterior (veja figura (2.1) para uma visão do modelo).

(29)

Essa sequência tem expoente de flutua¸cãoω _{= −1 (ver se¸cão}2.3) e o modelo de Ising puro, na aproxima¸cão de campo médio, tem o expoente do comprimento de correla¸cão ν= 1₂ (ver subse¸cão 1.4.2). Portanto, usando o critério acima, Φ = 0 e estamos tratando um caso marginal.

Figura 2.1: Exemplo de intera¸cão aperiódica entre camadas. Cada coluna representa, na verdade, um plano, no qual todas as intera¸cões são iguais e têm o mesmo valor das intera¸cões seguintes ao plano.

2.2 Sequˆencia de Fibonacci

As sequências aperiódicas são obtidas a partir de certas regras, chamadas regras de substitui¸cão, tal que nunca apresentam um per´ıodo que possa ser reproduzido de forma a gerar tais sequências. A sequência de Fibonacci, em particular, é obtida através da seguinte regra de substitui¸cão:

(

S_{(A) → AB} S_{(B) → A}

na qual S(A) significa que substitu´ımos a letra A pelas letras AB e S(B) significa que substitu´ımos a letra B pela letra A. Assim, a sucessiva aplica¸cão dessa regra nos leva à constru¸cão da sequência de Fibonacci. Come¸cando pela letra A, obtemos:

S(0)(A) = A S(1)(A) = AB S(2)(A) = ABA S(3)(A) = ABAAB S(4)(A) = ABAABABA ...

(30)

substitui¸c˜ao por uma matriz, M, definida como: M≡ 1 1 1 0 ! (2.10) tal que M A 0 ! ≡ A B ! . (2.11)

Se nossa sequˆencia come¸casse com a letra B ter´ıamos:

M 0 B ! ≡ A 0 ! . (2.12)

Note que, nas equa¸cões2.11 e2.12, a aplica¸cão da matriz M é definida, de modo que não representa uma multiplica¸cão entre matrizes. Sendo assim, come¸cando novamente pela letra A, a sucessiva aplica¸cão da matriz M fica:

M2 A 0 ! = M M A 0 !! = M A B ! = A+ B A ! M3 A 0 ! = M M2 A 0 !! = M A+ B A ! = 2A+ B A+ B ! M4 A 0 ! = M M3 A 0 !! = M 2A+ B A+ B ! = 3A+ 2B 2A+ B ! ...

Se levarmos em conta somente o n´umero de letras A e B, essas sucessivas aplica¸c˜oes da matriz M podem ser escritas na forma generalizada:

M(i) N (0) A N_B(0) ! = N (i−1) A + N (i−1) B N_A(i−2)+ N_B(i−2) ! , i > 2 (2.13)

sendo N_A(n) o n´umero de letras A na sequˆencia formada em S(n)(A) e N_B(n) o n´umero de letras B. Se observarmos ainda que

M2 N (0) A N_B(0) ! = N (1) A + N (1) B N_A(0)+ N_B(0) ! = 2 1 ! = N (2) A N_B(2) !

(31)

M3 N (0) A N_B(0) ! = N (2) A + N (2) B N_A(1)+ N_B(1) ! = 3 2 ! = N (3) A N_B(3) ! M4 N (0) A N_B(0) ! = N (3) A + N (3) B N_A(2)+ N_B(2) ! = 5 3 ! = N (4) A N_B(4) ! ...

ent˜ao podemos reescrever as sucessivas aplica¸c˜oes da matriz M na forma:

Mk N (0) A N_B(0) ! = N (k) A N_B(k) ! (2.14) O vetor N (0) A N_B(0) !

≡ −→v _{pode ser escrito em termos dos auto-vetores da matriz M, −}→u1 e

−

→_u₂_{, tais que:}

M−→u1=λ1−→u1 e M−→u2=λ2−→u2, (2.15)

com λ1>λ2 por hip´otese. Sendo assim, o vetor −→v escrito nessa base fica

−

→_v _{= c}₁−→_u₁_{+ c}₂−→_u₂_. _(2.16) Aplicando a matriz M a esse vetor temos

M−→v = c1M−→u1+ c2M−→u2 = c1λ1−→u1+ c2λ2−→u2 (2.17)

e quando aplicada k vezes teremos

Mk−→v =λ₁kc1−→u1+λ2kc2−→u2. (2.18)

Se compararmos a equa¸c˜ao acima com a equa¸c˜ao (2.14) podemos concluir que

λk 1c1−→u1+λ2kc2−→u2= N_A(k) N_B(k) ! . (2.19)

Podemos decompor os vetores −→u1 e −→u2 em componentes dos vetores de base da matriz

(32)

− →_u₁_≡ u11 u12 ! ; −→u2≡ u21 u22 ! , (2.20)

ent˜ao a equa¸c˜ao (2.19) pode ser reescrita como:

λk 1c1 u11 u12 ! +λ₂kc2 u21 u22 ! = N (k) A N_B(k) ! , (2.21)

de onde conclui-se que

N_A(k)=λ1kc1u11+λ2kc2u21 (2.22)

N_B(k)=λ₁kc1u12+λ2kc2u22. (2.23)

A partir disso, podemos definir o n´umero total de letras depois de k substitui¸c˜oes

N(k) _{≡ N}_A(k)+ N_B(k) = λk 1c1u11+λ2kc2u21+λ1kc1u12+λ2kc2u22, (2.24) ou N(k)=λ₁kc1(u11+ u12) +λ2kc2(u21+ u22). (2.25)

Com isso, podemos obter a fra¸c˜ao de letras A depois de k substitui¸c˜oes

N_A(k) N(k) = λk 1c1u11+λ2kc2u21 λk 1c1(u11+ u12) +λ2kc2(u21+ u22) , (2.26) e a fra¸c˜ao de letras B N_B(k) N(k) = λk 1c1u12+λ2kc2u22 λk 1c1(u11+ u12) +λ2kc2(u21+ u22) . (2.27)

Facilmente, observa-se que, após infinitas substitui¸cões, apenas os termos contendo o maior dos auto-valores predominam. Nesse regime as fra¸cões de letras A e B tornam-se as probabilidades pA e pB, respectivamente, dadas por

pA=

u11

(u11+ u12)

(2.28) e

(33)

pB =

u12

(u11+ u12)

, (2.29)

sendo u11 e u12 as componentes do auto-vetor associado ao maior auto-valor.

Para a sequˆencia de Fibonacci, esse auto-vetor ´e dado por:

− →_u₁₌   2 √ 5−1 1   (2.30) de modo que pA= 2 √ 5+ 1 = 1 τ (2.31) e pB= √ 5_{− 1} √ 5+ 1 = 1 − 1 τ, (2.32)

sendoτ _≡√5₂+1, conhecido como número áureo. 2.3 Expoente de flutua¸cão

A flutua¸cão de uma sequência aperiódica traduz o comportamento da quantidade de um elemento em uma sequência finita, em torno de sua fra¸cão para uma sequência infinita multiplicada pelo comprimento da sequência finita. Podemos definir a flutua¸cão de um elemento qualquer da sequência, por exemplo o n´umero de letras A, passadas k aplica¸cões da matriz de substitui¸cão como:

gA≡ N (k) A − pAN (k) . (2.33)

Se tratando de uma sequência constitu´ıda por dois elementos, aqui definidos como A e B, podemos escrever a equa¸cão acima em termos dos auto-valores e auto-vetores (2.22, 2.25, 2.28) da matriz de substitui¸cão: gA = λ₁kc₁u₁₁+λ₂kc₂u₂₁ − u11 u11+u12 λk 1c1(u11+ u12) +λ2kc2(u21+ u22) = λ k 1c1u11+λ2kc2u21−λ1kc1u11−λ2kc2u11 (u21+u22) (u11+u12) , (2.34) ou ainda

(34)

gA= λ k 2c2 u21− u11 (u21+ u22) (u11+ u12) . (2.35)

Analogamente, é fácil obter a flutua¸cão de letras B:

gB= λ k 2c2 u22− u12 (u21+ u22) (u11+ u12) . (2.36)

Podemos agora tomar o logaritmo natural da flutua¸c˜ao gA, dada pela equa¸c˜ao (2.35):

ln(gA) = k ln |λ2| + ln c2 u21− u11 (u21+ u22) (u11+ u12) (2.37)

e ent˜ao, se formos ao limite de k →∞, a equa¸c˜ao anterior resume-se a

ln(gA) ∼ k ln|λ2|. (2.38)

Por outro lado, é fácil perceber que o n´_{umero total de letras, no limite k →}∞, torna-se (veja equa¸cão (2.25)):

N(k)_∼λ₁k (2.39)

e novamente, tomando o logaritmo natural temos:

ln(N(k)_{) ∼ k ln(}λ1). (2.40)

Podemos agora fazer a raz˜ao entre as equa¸c˜oes (2.38) e (2.40):

ln(gA) ∼ ln_|λ2| ln(λ1) ln N(k), (2.41) ou ainda, se definirmos ω ≡_lnln₍|λ_λ2| 1) , (2.42)

finalmente temos a expressão para a flutua¸cão, no limite de uma sequência infinita

gA∼ Nω, (2.43)

na qual ω é o expoente de flutua¸cão. Facilmente pode-se verificar, fazendo um cálculo análogo a esse para a flutua¸cão de letras B, gB, que esse expoente é único, ou seja, independe da letra que estamos tratando, portanto, ele é caracter´ıstico de cada sequência. Para a sequência de Fibonacci:

(35)

λ1=τ e λ2= −

1

τ, (2.44)

com τ= √5₂+1. Portanto,

(36)

O primeiro passo para calcularmos os expoentes cr´ıticos foi encontrar a magnetiza-¸cão do sistema, a partir do hamiltoniano de Ising, usando a aproximamagnetiza-¸cão de campo médio. Essa aproxima¸cão substitui todos os efeitos magnéticos, que um spin sente devido à todos os outros spins, por um campo magnético efetivo. Disso, decorre que a magnetiza¸cão por spin é escrita como uma fun¸cão do tipo tangente hiperbólica (ver se¸cão 1.4), com um argumento que depende das intera¸cões com seus vizinhos e da própria magnetiza-¸cão. Neste cap´ıtulo, veremos como resolver esse sistema incluindo intera¸cões moduladas aperiodicamente. Também discutiremos como obtivemos a temperatura cr´ıtica desse sis-tema aperiódico, pois ela será de suma importância para obtermos os expoentes cr´ıticos com uma boa precisão. Usaremos a sequência de Fibonacci como modula¸cão aperiódica. Foi visto na se¸cão 2.1 que essa sequência, em nosso caso, é classificada como marginal. Portanto, espera-se que os expoentes cr´ıticos dependam continuamente da razão entre as diferentes intera¸cões.

3.1 Magnetiza¸c˜ao por camada

A hamiltoniana do nosso sistema é dada pela equa¸cão (1.52) e, portanto, a magne-tiza¸cão média por spin tem a forma da equa¸cão (1.56), seja ela:

mi= tgh " βT

∑

j Ji jmj+ H !# , (3.1)

Diferentemente do que se ve no modelo de Ising puro, no qual todas as intera¸cões de um s´ıtio com seus vizinhos são iguais, em nosso modelo de camadas as intera¸cões dependem da camada em que o s´ıtio está localizado. Assim, definimos que um s´ıtio pertencente à camada i, por exemplo, tem intera¸cão Ji com cada vizinho pertencente à mesma camada que a sua, tem intera¸cão Ji+1 com o vizinho da camada seguinte e tem intera¸cão Ji−1 com

(37)

Figura 3.1: Modelo de Ising em camadas. As intera¸cões são as mesmas entre spins per-tencentes à mesma camada.

Definimos nosso modelo contendo apenas duas intera¸cões distintas, de modo que as intera¸cões existentes são Ji, Ji+1 ≡ Ji e Ji−1. Essas intera¸cões estão esquematizadas na

figura abaixo:

Figura 3.2: Modelo de Ising em camadas, com duas intera¸c˜oes distintas.

Por outro lado, dado um s´ıtio que pertence à camada i, com magnetiza¸cão mi, as magnetiza¸cões por spin dos s´ıtios pertencentes às camadas vizinhas assumem os valores

mi+1, para a camada seguinte, e mi−1, para a camada anterior. Com essas defini¸c˜oes,

podemos escrever a soma dos termos Ji jmj de um s´ıtio (ver equa¸c˜ao (3.1)), pertencente `a camada i, com seus primeiros vizinhos j como:

∑

j

Ji jmi= Ji−1mi−1+ Jimi(z − 2) + Jimi+1. (3.2)

E, finalmente, a magnetiza¸cão por camada do modelo de Ising, dentro da aproxima-¸cão de campo médio, com diferentes intera¸cões entre camadas é dada por:

(38)

mi= tgh{βT[H + Ji−1mi−1+ Jimi(z − 2) + Jimi+1]}, i= 1, ..., N (3.3)

sendo N o número de camadas e z o n´umero de coordena¸cão da rede. Por fim, intro-duzimos a aperiodicidade no sistema de equa¸cões acima através das intera¸cões; elas são ordenadas conforme a sequência aperiódica, sendo que a letra A da sequência representa uma intera¸cão JA e a letra B representa uma intera¸cão JB (ver figura (2.1)). Na sequência de Fibonacci, por exemplo, come¸cando pela letra A, as intera¸cões se ordenam de forma que J1= JA J2= JB J3= JA J4= JA J5= JB ...

sendo que para as intera¸c˜oes da borda usamos condi¸c˜oes de contorno livres, ou seja,

m0= mN+1= 0. Neste ponto, é importante definirmos a razão entre as intera¸cões:

r_≡ JB JA

. (3.4)

3.2 Temperatura cr´ıtica

Em um sistema magnético onde ocorre uma transi¸cão de fase cont´ınua, a magneti-za¸cão do sistema vai a zero na temperatura cr´ıtica e lá se mantém para qualquer tem-peratura maior que essa (ver cap´ıtulo 1.2). Aproveitando-se desse comportamento onde, próximo à transi¸cão, a magnetiza¸cão é pequena pode-se notar que, resolvendo o sistema (3.3), a campo nulo (H = 0), a magnetiza¸cão de cada camada individualmente também é pequena. Por isso, para temperaturas suficientemente próximas de Tc, podemos tomar apenas o termo de primeira ordem da expansão da tangente hiperbólica, em cada equa¸cão do sistema. Sabendo que tgh(x) = x −13x

3₊ 2

15x 5

− ... ≃ x, o sistema (3.3) fica apenas

(39)

Podemos reescrever o sistema de equa¸c˜oes acima, explicitando as magnetiza¸c˜oes, como: 0 + m1[K1(z − 2) − 1] + m2K1 = 0 m1K1 + m2[K2(z − 2) − 1] + m3K2 = 0 m2K2 + m3[K3(z − 2) − 1] + m4K3 = 0 ... mN−1KN−1 + mN[KN(z − 2) − 1] + 0 = 0 (3.6)

no qual definimos Ki≡βTJie usamos condi¸c˜oes de contorno livres. E agora, fica claro que o sistema (3.6) pode ser escrito na forma matricial:

          ˜ K1 K1 0 0 ··· 0 K1 K˜2 K2 0 ··· 0 0 K2 K˜3 K3 ··· 0 ... 0 0 0 _{··· K}N−1 K˜N                     m1 m2 m3 ... mN           = 0 (3.7)

sendo ˜Ki≡ Ki(z − 2) − 1. E assim chegamos a uma equa¸c˜ao do tipo:

K . −→m = 0, (3.8) com K≡           ˜ K1 K1 0 0 ··· 0 K1 K˜2 K2 0 ··· 0 0 K2 K˜3 K3 ··· 0 .. . 0 0 0 _{··· K}N−1 K˜N           (3.9) e − →_m _≡           m1 m2 m3 .. . mN           . (3.10)

(40)

Para chegarmos à solu¸cão do sistema ( 3.8 ) observamos que, se existir a matriz inversa de K, seja ela K−1, então o vetor −→m é obrigatoriamente nulo:

K−1K . −→m _{= K}−10

I . −→m = 0 ⇒ −→m = 0,

sendo I a matriz identidade. O fato da magnetiza¸cão do sistema ser diferente de zero para temperaturas abaixo da temperatura cr´ıtica (ver fig. (1.2)), implica em uma matriz K não invert´ıvel, i.e., det(K) = 0. Já o contrário, para temperaturas acima da temperatura cr´ıtica, a magnetiza¸cão deve ser nula, havendo assim uma matriz inversa de K, ou seja,

det_{(K) 6= 0. Podemos ent˜ao obter a temperatura cr´ıtica variando a temperatura do sistema}

até encontrarmos o ponto no qual a matriz K deixa de ser, ou passa a ser, invert´ıvel. Prontos para calcular a temperatura cr´ıtica, nosso passo seguinte foi encontrar o de-terminante de K para um valor de temperatura, onde garantimos que estamos próximos, porém acima, da temperatura cr´ıtica. Feito isso, continuamos calculando esse determi-nante para temperaturas cada vez menores, até encontrarmos uma temperatura na qual o determinante seja zero, ou melhor, uma temperatura na qual o determinante “cruza o zero”. Esse determinante não se torna zero para qualquer temperatura T < Tc, pois a equa¸cão matricial (3.8) é válida somente para temperaturas muito próximas à tempera-tura cr´ıtica. E o que acontece é que, para temperatempera-turas mais afastadas, esse determinante varia em torno de zero. Por exemplo, as figuras (3.3) e (3.4) mostram esse comporta-mento para um sistema homogêneo, r = 1, e outro com modula¸cão aperiódica, r = 0, 5, respectivamente.

Dizemos então, que a temperatura pseudo-cr´ıtica de um sistema de comprimento linear L, definida como Tc(L), é a temperatura na qual o determinante de K “cruza o zero” pela primeira vez, partindo de uma temperatura acima da temperatura cr´ıtica. Para calcular esse determinante, primeiro encontramos os auto-valores da matriz K, de modo que o determinante é dado pela multiplica¸cão desses elementos. Para o cálculo dos auto-valores usamos o algoritmo do livro “Numerical Recipes in C” chamado tqli() [29, 30]. Uma vez encontrada a temperatura Tc(L) usamos o método da bisse¸cão para melhorar a precisão dessa grandeza.

Antes de aplicarmos o m´etodo da bisse¸c˜ao, vale notar que, dado um intervalo de temperaturas em torno da temperatura pseudo-cr´ıtica, precisamos garantir que nesse in-tervalo existe apenas uma raiz. Como bem podemos perceber nas figuras (3.3) e (3.4)

(41)

existem várias ra´ızes. Conforme aumentamos o tamanho do sistema essa oscila¸cão muda de comportamento, de forma que as ra´ızes ficam cada vez mais próximas e portanto, mais dif´ıcil de encontrar a primeira raiz isoladamente. Como garantia que estávamos tomando a raiz correta, primeiro faz´ıamos uma estimativa de onde ela estava e depois, baseado na varia¸cão de temperatura até a próxima raiz, fizemos uma varredura para um intervalo de temperaturas anteriores à temperatura pseudo-cr´ıtica encontrada. O intervalo usado foi tipicamente três vezes maior que o intervalo de temperatura entre a primeira e a se-gunda raiz encontrada e nesse intervalo fizemos o cálculo para mil valores diferentes de temperatura.

Outra peculiaridade desse problema é que no cálculo do determinante, quando mul-tiplicamos os auto-valores da matriz K, para matrizes grandes, esse valor extrapola o limite aceitável para a variável do tipo “double” usada em linguagens de programa¸cão. Para contornar o problema, notamos que estamos interessados apenas em quando o deter-minante “cruza” o eixo zero, ou seja, quando ele troca de sinal. Então, passamos a olhar apenas para o sinal do determinante, dado pela multiplica¸cão dos sinais dos auto-valores. Notamos que o cálculo dos expoentes cr´ıticos é bastante sens´ıvel quanto à incerteza na temperatura cr´ıtica e por isso, resolvemos obtê-las com mais de oito casas decimais. Para o cálculo das temperaturas pseudo-cr´ıticas, decidimos usar o número de coordena¸cão

z= 6 (correspondente a três dimensões, d = 3, em uma rede hipercúbica, onde z = 2d) e calcular os valores de Tc(L) até L = 196418, onde L sempre coincide com um n´umero de Fibonacci, pois dessa forma evidenciamos o comportamento aperiódico do sistema.

−1e−25 −5e−26 0 5e−26 1e−25 5.6 5.7 5.8 5.9 6 det(K) kT/J

Figura 3.3: Modelo de Ising puro, r = 1, 0, com o sistema de comprimento linear L = 34 e n´umero de coordena¸c˜ao z = 6. A temperatura pseudo-cr´ıtica obtida para esse sistema foi

(42)

−4e−26 −2e−26 0 2e−26 4e−26 5.16 5.2 5.24 5.28 5.32 det(K) kT/J_A

Figura 3.4: Modelo de Ising aperi´odico, r = 0, 5, com o sistema de comprimento linear

L= 34 e n´umero de coordena¸c˜ao z = 6. A temperatura pseudo-cr´ıtica obtida para esse sistema foi Tc= 5, 291608377098458(3).

3.2.2 Extrapola¸c˜ao BST

Para calcularmos a temperatura cr´ıtica real ter´ıamos que saber a solu¸cão do sis-tema infinito (3.8). Obviamente, não podemos resolvê-lo dessa forma; porém, a partir das temperaturas pseudo-cr´ıticas obtidas, conseguimos obter o valor extrapolado para a tem-peratura cr´ıtica real, Tc≡ Tc(∞). Essa extrapola¸cão foi feita através do método conhecido como BST (devido a Bulirsch e Stoer [31]). De um modo geral, esse método consiste na aplica¸cão de um algoritmo usado para obter a convergência, F, de fun¸cões do tipo:

F(hN) = F + g1h_Nω1+ g2hω_N2+ . . . , (3.11)

na qual hN deve ser uma sequˆencia qualquer que converge para zero quando N →∞ e

N pode inclusive assumir valores não-inteiros. E ainda, ω1,ω2, g1 e g2 são parâmetros a

serem ajustados por esse m´etodo.

Se identificarmos hN como 1/L, F(hN) como Tc(L) e F como Tc ent˜ao a equa¸c˜ao (3.11) torna-se

Tc(L) = Tc+ g1L−ω1+ g2L−ω2+ . . . , (3.12)

e agora L assume os valores da sequência de Fibonacci, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .. Sendo assim, estamos aptos a usar esse método observando que L →∞ implica em Tc(L) → Tc. Dessa forma, obtivemos o valor real da temperatura cr´ıtica, Tc, para um valor de r previamente fixado. Além do caso puro, r = 1, fizemos esse cálculo para outros quatro valores de r.

(43)

Segue abaixo uma tabela com os resultados: r kBTc/JA 0, 5 5.293976885866227(95) 0, 7 5.48015869027470(51) 1, 0 6.000000000000038(64) 1, 3 6.8300746634876(33) 1, 5 7.49926993983266(27)

Tabela 3.1: Temperatura cr´ıtica em fun¸cão da razão entre as diferentes intera¸cões. Podemos observar que para o caso puro, r = 1, a temperatura concorda muito bem com o resultado anal´ıtico de campo médio, seja ele kBTCM

JA = z, uma vez que usamos z = 6 (ver se¸c˜ao 1.4).

Esse resultado pode ser comparado com os valores obtidos por Igl´oi [27], ver a figura (3.5). Para isso, precisamos definir a temperatura cr´ıtica do caso homogˆeneo

T_c0_≡ z ¯J kB (3.13) sendo ¯J_{≡ J}A(pA+ rpB) e r = J_JB_A. 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tc /Tc 0 r = J_B/J_A Nossos resultados Igloi

Figura 3.5: Compara¸c˜ao da temperatura cr´ıtica obtida, com o resultado obtido por Igl´oi [27].