Aos meus pais Waldomiro e Guaraciaba
Aos meus filhos Nícolas, Yuri e Mikhail.
Pai e Mãe "De sua existência resta comigo o exemplo, a saudade imensa, eterno agradecimento, além do pesar por não poder abraçá-los agora e partilhar juntos a alegria da tarefa cumprida”.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me ter dado serenidade e paciência nos momentos difíceis da minha vida.
Ao Prof. Dr. Isaías Vizotto, pela orientação, pela amizade e pela disponibilidade sempre dispensada.
Ao Prof. Dr. Leandro Palermo Júnior pelos esclarecimentos na fase inicial do trabalho.
Ao Prof. Dr. Wilson Sérgio Venturini pelos ensinamentos e pela colaboração em diversas partes do trabalho.
Ao Prof. Dr. Humberto Breves Coda pela atenção e pelo auxílio prestado.
Ao Prof. Dr. Renato Soliani pelo apoio e incentivo.
A todos os professores e funcionários, que de alguma forma, contribuíram para o desenvolvimento desse trabalho.
A minha família pelo apoio e estímulo, sem os quais este trabalho não teria sido possível.
______________________________________________________________________
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ... 4 1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS...5 1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO...10 CAPÍTULO 2 ELASTOSTÁTICA ... 12 2.1 INTRODUÇÃO...132.2 ESTADO PLANO DE TENSÃO...13
2.3 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO...14
2.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO...16
2.5 RELAÇÃO DEFORMAÇÃO - DESLOCAMENTO...21
2.6 RELAÇÃO TENSÃO - DEFORMAÇÃO...22
2.7 EQUAÇÕES DE NAVIER...23
2.8 CONDIÇÕES DE CONTORNO...24
2.9 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DE DOMÍNIO...26
2.10 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL...31
2.11 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO...34
2.12 REGIÕES INFINITAS...40
2.13 TENSÕES NOS PONTOS INTERNOS...43
2.14 TENSÕES NOS PONTOS DO CONTORNO...44
CAPÍTULO 3 ELASTODINÂMICA ... 46
3.1 INTRODUÇÃO...47
3.2 EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTODINÂMICA...47
3.3 IDENTIDADE DE SOMIGLIANA...51
3.4 EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO...52
3.5 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS EXTERNOS...53
3.6 EQUAÇÃO INTEGRAL DAS COMPONENTES DE TENSÃO...53
CAPÍTULO 4 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO (MEC) ... 56
4.1 FORMULAÇÃO ESTÁTICA...57
4.1.1 Introdução ... 57
4.1.2 Discretização Geométrica e das Variáveis ... 59
4.1.2.1 Elemento Linear ... 59
4.1.2.2 Elemento Quadrático ... 65
4.1.3 Equações Integrais na Forma Matricial ... 68
4.1.4 Matriz dos Coeficientes de Influência do Elemento ... 72
4.1.4.1 Submatriz g... 75
4.1.4.2 Submatriz h... 77
4.1.5 Condensação de Deslocamentos em Nós Duplos... 81
4.2 FORMULAÇÃO DINÂMICA...84
4.2.1 Introdução ... 84
4.2.2 Formulação com Reciprocidade Dual ... 86
4.2.3 Formulação com Integração Direta... 95
4.2.4 Obtenção da Solução Numérica... 109
CAPÍTULO 5 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) ... 115
5.1 FORMULAÇÃO ESTÁTICA...116
5.2 FORMULAÇÃO DINÂMICA...121
5.3 ELEMENTO FINITO UNIDIMENSIONAL...122
CAPÍTULO 6 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ... 128
6.1 INTRODUÇÃO...129
6.2 MÉTODO DE NEWMARK...129
6.3 MÉTODO DE HOUBOLT...133
6.4 APLICAÇÃO DOS INTEGRADORES AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO... ... 136
6.4.1 Método de Newmark Aplicado ao MEC ... 137
6.4.2 Método de Houbolt Aplicado ao MEC ... 138
CAPÍTULO 7 COMBINAÇÃO DOS MÉTODOS ELEMENTOS FINITOS - ELEMENTOS DE CONTORNO... 140
7.1 INTRODUÇÃO...141
7.2 EQUAÇÕES BÁSICAS DA FORMULAÇÃO MEC E MEF...142
7.3 TÉCNICA DE ACOPLAMENTO MEC – MEF...144
CAPÍTULO 8 APLICAÇÕES NUMÉRICAS ... 148
8.1 ANÁLISE ESTÁTICA...149
8.1.1 Exemplo 1: Viga Solicitada por Força Normal Uniformemente Distribuída Constante na Extremidade Livre ... 149
8.1.2 Exemplo 2: Viga Solicitada por Força Cortante na Extremidade Livre... 153
8.1.3 EXEMPLO 3: Viga Solicitada por Momento Concentrado na Extremidade Livre... 161
8.2 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA...167
8.3 MEC – VIBRAÇÃO LIVRE DE UMA VIGA EM BALANÇO...171
8.4 MEC – VIBRAÇÃO LIVRE: ARCO...176
8.5 ANÁLISE TRANSIENTE DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELÁSTICAS: VIGA ENGASTADA SUBMETIDA A CARREGAMENTO TRANSVERSAL SÚBITO EM SUA EXTREMIDADE. 179 8.6 MEC - ANÁLISE TRANSIENTE DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELÁSTICAS: VIGA ENGASTADA SUBMETIDA A CARREGAMENTO LONGITUDINAL SÚBITO EM SUA EXTREMIDADE 182 8.7 ACOPLAMENTO MEF-MEC–ANÁLISE TRANSIENTE: CARREGAMENTO TRANSVERSAL ...187
CAPÍTULO 9 CONCLUSÕES ... 190
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 194
ANEXO 1: NOTAÇÃO INDICIAL CARTESIANA... 211
ANEXO 2: CÁLCULO DO JACOBIANO DA TRANSFORMAÇÃO PARA O ELEMENTO LINEAR ... 214
ANEXO 3: INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DE GAUSS... 218
ANEXO 4: OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO DESLOCAMENTO ... 222
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
A crescente exigência da engenharia moderna, aliada à necessidade de se obter resultados úteis para os problemas em estudo, faz com que a maior parte das pesquisas na área de mecânica dos sólidos esteja voltada para os métodos numéricos.
Com a utilização de computadores cada vez mais potentes, tornou-se possível a análise detalhada de problemas mais gerais que envolvem sistemas com milhares de equações.
O método mais difundido e ainda o mais utilizado é o Método dos Elementos Finitos (MEF), pela facilidade em modelar casos com geometria complexa, problemas não lineares e com variação das propriedades no domínio.
Apesar da eficiência, pela versatilidade e pela possibilidade de modelar a maior parte dos problemas da engenharia de maneira real, o MEF exige a exaustiva discretização de todo o domínio para a resolução de um problema. Surge, entre outras, a dificuldade de se modelar domínio infinito, como é necessário em problemas da elastodinâmica, onde existe a propagação de ondas para o infinito. Como a malha é finita aparecem implicações relacionadas com a reflexão das ondas provocadas pela formulação de um contorno fictício.
No final da década de 70, destacou-se uma técnica conhecida como Método dos Elementos de Contorno (MEC), ganhando notoriedade graças a uma série de características vantajosas. Uma delas é diminuição considerável nos dados de entrada, bem como do esforço computacional, uma vez que o sistema gerado tem dimensões menores que o obtido nos métodos que discretizam o domínio. Outra vantagem é a habilidade em tratar domínios complicados, como por exemplo, os meios infinitos, pois neste método apenas a discretização do contorno do domínio é necessária. A idéia básica do método consiste em relacionar as variáveis dos diferentes pontos do contorno
quais são colocados em forma matricial. As condições de contorno são aplicadas de maneira semelhante ao MEF. Uma característica do sistema de equações gerado é ter a matriz final cheia e não simétrica, o que impede a utilização das técnicas largamente empregadas na resolução de sistemas com matrizes simétricas e em banda.
O MEC tem apresentado excelentes resultados comprovados em numerosos trabalhos, mostrando ser uma técnica bastante eficiente na solução dos problemas analisados.
Nota-se, porém, que não existe uma superioridade de determinada técnica sobre a outra. Isso depende, entre outras coisas, do tipo de problema a ser resolvido.
Assim, combinações dos métodos tem sido objeto de pesquisa, visando o melhor aproveitamento de cada técnica.
As equações integrais para problemas potenciais e elasticidade apareceram na literatura no século passado. Em 1872 Betti demonstrou o Teorema da Reciprocidade. A Identidade de Somigliana, que é a base dos métodos diretos das equações integrais (BREBBIA,1984), foi apresentada em 1886. Essa identidade é a equação integral que estabelece a relação entre as forças e deslocamentos no contorno de um corpo e seus deslocamentos internos.
A formulação de Somigliana é chamada direta. Nela, as variáveis, que são os deslocamentos e as forças no contorno, têm significado físico. Rizzo, em 1967, apresentou para a elastostática a formulação que até hoje é usada no MEC, relacionando deslocamentos e forças. Ele trabalhou com a solução fundamental da equação diferencial que governa o problema, a qual corresponde à força concentrada.
A outra formulação, chamada indireta, emprega funções fictícias sem qualquer significado físico. Ela está relacionada ao trabalho publicado por Fredholm em 1903, que discutiu soluções baseadas no processo da discretização.
O estudo da elastodinâmica começou com as teorias de movimento de corpos elásticos de Navier, em 1827 e Cauchy, em 1828 e continuou com as contribuições de Green (1838), Stokes (1849) e outros pesquisadores nos problemas de propagação de ondas.
A solução de problemas que envolvem a variável tempo tem gerado muitas pesquisas no estudo da formulação adequada. Sendo uma área de atuação relativamente recente, ainda são muitos os aspectos discutíveis. O número de trabalhos publicados nos últimos anos, nos quais diferentes formulações são empregadas, mostra o interesse que o assunto tem despertado, como também, as potencialidades do MEC nessa área.
Cruse (1968) e Cruse e Rizzo (1968) apresentaram os primeiros trabalhos para solução de problemas elastodinâmicos, utilizando o MEC. A partir do trabalho de Rizzo (1967) em elastostática, utilizaram a formulação direta e a Transformada de Laplace (BESKOS, 1987) para resolver um problema transiente de propagação de onda. Nesse procedimento, o problema torna-se independente da variável tempo e as equações integrais são estabelecidas em função dos parâmetros de transformação.
Numa etapa posterior, Manolis e Beskos (1983) aperfeiçoaram essa metodologia para resolver problemas transientes de dispersão de ondas.
A partir de 1983 a maior parte das pesquisas se desenvolveu usando na sua formulação soluções fundamentais dependentes do tempo. Destacam-se os trabalhos de Mansur (1982), que abordou os problemas de propagação de ondas elásticas, e Mansur e Brebbia (1986) que desenvolveram uma formulação geral no domínio tempo que usa núcleos bidimensionais. Essa formulação, embora bastante precisa em certos tipos de problemas, implica em desenvolvimento matemático elaborado e em alguns casos, considerável esforço computacional.
pode-com essa técnica são excelentes, mas tal recurso foge um pouco à filosofia do MEC, que limita a discretização ao contorno.
Para o cálculo da vibração livre de corpos finitos, as poucas opções disponíveis até 1981 não eram adequadas. Nardini e Brebbia, em 1982, apresentaram uma técnica que recebeu o nome de Dupla Reciprocidade. Esse procedimento consiste do emprego de soluções fundamentais independentes do tempo, juntamente com um procedimento que transforma as integrais de domínio em integrais de contorno. Os problemas de vibrações livres foram reduzidos à solução algébrica de problemas de autovalores, como apresentado por Coda (1990). A maior vantagem dessa técnica é que as integrais do contorno são calculadas apenas uma vez, pois são independentes da freqüência.
Motivados pela propriedade da formulação e pelos ótimos resultados, Nardini e Brebbia fizeram uma aplicação para obtenção da resposta em problemas de elastodinâmica transiente, publicada em 1983. A formulação permite resolver esses problemas empregando a solução fundamental da elastostática na transformação da integral de domínio em integral de contorno.
O método da dupla reciprocidade é uma maneira geral de se construir soluções particulares que podem ser usadas para resolver problemas dependentes do tempo, problemas não-lineares, bem como para representar qualquer distribuição interna de forças. Podem ser citados entre os inúmeros trabalhos publicados utilizando esse conceito, os de Loeffler (1988, 1994), Partridge, Brebbia e Wrobel (1992), Coda e Venturini (1990), Zhu e Zhang (1993), Partridge e Sensale (1997), Chen, Brebbia e Power (1999), Almeida e Coda (2001) e Barbirato e Venturini (2005).
É interessante notar que, apesar das diversas características vantajosas que essa formulação oferece, ainda há muitos pontos a serem abordados, visando a melhor utilização da sua potencialidade como algoritmos auxiliares adequados, recursos que melhorem a precisão da resposta, entre outros.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) tem-se constituído numa ferramenta poderosa e amplamente utilizada para construção de soluções aproximadas para os mais variados problemas de engenharia. Sua utilização não abrange apenas a engenharia estrutural, mas também muitas outras áreas, proporcionando significativos avanços nos mais diversos campos.
Na década de 1940, Hrenikoff (1941), McHenry (1943) e Newmark (1949) apresentaram trabalhos com a utilização do MEF no tratamento de problemas de mecânica dos sólidos. Em 1956 foi estabelecida a formulação da forma como é hoje conhecida, com a publicação de um trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp. Os primeiros livros textos surgiram com Holand e Bell, em 1969, e Zienkiewicz em 1971. Atualmente existem dezenas de monografias, revistas e livros voltados para o estudo desse método e esse número está crescendo exponencialmente com revelações adicionais do poder e da versatilidade de suas aplicações.
Por causa das vantagens e desvantagens que cada método apresenta, muitos autores têm se interessado no desenvolvimento de algoritmos onde o acoplamento MEC/MEF é considerado. O primeiro trabalho, que surgiu em 1977, foi de Zienkiewicz, Kelly e Bess, que utilizaram uma aproximação de energia para o domínio do MEC.
Em se tratando de elastodinâmica, podem ser citados Kobayashi e Kawakami, em 1985 e Kobayashi e Mori, em 1986 na análise de problemas no domínio freqüência. Entre os primeiros trabalhos, nos quais formulações de acoplamento para a completa análise no domínio tempo de problemas transientes são apresentadas, encontram-se as contribuições de Karabalis e Beskos e Spirakos e Beskos, em 1986, que investigaram a resposta dinâmica em fundações flexíveis.
Podem-se citar ainda os trabalhos de Von Estorf e Kausel (1989), Coda (1993), Araújo (1994), Lei e Qinghua (1997), Siqueira (1999), Coda e Venturini (2000), Almeida (2003) e Almeida, Coda e Mesquita (2004).
O presente trabalho apresenta o estudo de problemas elastodinâmicos, governados por uma equação de campo vetorial, através do MEC. Foram analisados os problemas de vibrações livres e transientes, com o conceito de matriz de massa, através de duas técnicas.
A primeira, que desenvolve a integração no domínio por células, e a segunda através da reciprocidade dual. A discretização do domínio por células foi implementada para se obter resultados confiáveis nos problemas a serem analisados. Essa técnica leva a ótimos resultados nesse tipo de análise, embora seja preciso discretizar todo o domínio.
Na reciprocidade dual, no estudo de regiões onde o contorno apresenta cantos ou angulosidade, houve a necessidade de se buscar um caminho alternativo na geração das matrizes de transformação, uma vez que se chegava a uma matriz não inversível. Isso foi feito através de um algoritmo auxiliar, que modifica o sistema de equações. Depois de implementada a parte estática, o algoritmo foi adaptado para os problemas elastodinâmicos de vibrações livres. Com a obtenção de bons resultados, essa técnica foi levada aos problemas transientes e ao acoplamento MEC/MEF.
1.2 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O trabalho está organizado em nove capítulos, sendo o primeiro constituído pela presente introdução.
No Capítulo 2 apresenta-se uma revisão dos conceitos básicos da teoria da elasticidade para problemas no regime elástico linear. Demonstra-se a Identidade de Somigliana para corpo elástico utilizando a técnica dos resíduos ponderados, onde a função ponderadora é a solução fundamental. A equação integral do contorno é obtida através do acréscimo de um setor circular e são mostradas as expressões para a obtenção das tensões.
No Capítulo 3 são apresentadas as equações gerais para a elastodinâmica e para a vibração livre de corpos finitos.
No Capítulo 4 demonstra-se a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC). Descreve-se a formulação estática, com as funções de interpolação utilizadas para a discretização da geometria e das variáveis. Apresentam-se os elementos disponíveis para a análise e as matrizes dos coeficientes de influência desses elementos. Demonstra-se a condensação da equação integral de deslocamentos, proposta para a eliminação das linhas e colunas dependentes. Em seguida apresenta-se a formulação dinâmica, com a matriz de massa vinda da integração dos termos inerciais pelos processos da reciprocidade dual e integração direta. A implementação numérica é descrita com a eliminação dos deslocamentos e acelerações dependentes.
O Capítulo 5 é dedicado à apresentação da formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF) aplicada às estruturas reticuladas nesse trabalho.
Os métodos de integração numérica para problemas dinâmicos são descritos no Capítulo 6. Foram utilizados os esquemas Houbolt e Newmark de avanço no tempo.
No Capítulo 7 desenvolveu-se o acoplamento entre os métodos dos elementos finitos e dos elementos de contorno (MEF e MEC), através da técnica das sub-regiões.
No Capítulo 8 apresentam-se alguns exemplos e uma comparação dos resultados obtidos com soluções analíticas ou de outras modelagens existentes na bibliografia para comprovar o programa desenvolvido.
As conclusões e as sugestões para novos estudos e continuidade do trabalho estão no Capítulo 9.
2.1 INTRODUÇÃO
Apresentam-se, neste capítulo, os conceitos da teoria da elasticidade que serão utilizados nos capítulos subseqüentes. Estes conceitos serão importantes na aplicação do Método dos Elementos de Contorno para problemas bidimensionais, no regime elástico linear.
Admitem-se as hipóteses de pequenos deslocamentos, pequenas deformações e material obedecendo a Lei de Hooke, isto é, linearidade das relações entre deformações e tensões, bem como a não influência da mudança de configuração da estrutura na formulação das equações de equilíbrio.
Para a representação concisa das equações gerais da Teoria da Elasticidade e dos teoremas dela conseqüentes será utilizada, além da notação usual, a notação indicial que é uma forma compacta usual de se representar longas expressões. Torna-se uma alternativa vantajosa que permite uma melhor compreensão das grandezas envolvidas, bem como facilita a manipulação de somatórios e sistemas de equações. Tal notação é representada no sistema cartesiano convencional e usa índices 1, 2 e 3 para representar os eixos x, y e z. Algumas regras básicas estão descritas no Anexo 1.
2.2 ESTADO PLANO DE TENSÃO
Seja uma chapa delgada solicitada por forças paralelas ao plano x x (Figura 1 2 2.1) e distribuídas uniformemente ao longo da espessura t. Desde que as faces perpendiculares a x estejam descarregadas, as tensões 3 σ33 , σ13 e σ23 são nulas e pode-se admitir, em princípio, que sejam nulas também no interior da chapa.
Sendo pequena a espessura t, admite-se, aproximadamente, que σ11 , σ22 e σ12 sejam independentes de x3. (TIMOSHENKO e GOODIER,1980).
Figura 2.1 - Chapa delgada submetida a carregamentos no seu plano.
As deformações ε13 e ε23 são nulas e a deformação específica ε33 pode ser calculada em função de ε11 e ε22 conforme equações das componentes de deformação apresentadas no item 2.5: 11 22 33 ( ) 1 ν ε ε ε ν + = − (2.1)
onde ν é o coeficiente de Poisson.
2.3 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
Seja um corpo prismático, localizado entre dois planos indeslocáveis e sem atrito, solicitado por forças agindo em planos perpendiculares ao eixo longitudinal x3
2 x 2 x 1 x x3 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q t
(Figura 2.2) e que estas, bem como as condições de contorno, não variam ao longo do comprimento.
O deslocamento axial u3 é nulo nas extremidades e, por simetria, na seção do
meio, podendo admitir que o mesmo ocorra em todas as seções transversais. As componentes u e u são funções de 1 2 x e x , portanto 1 2 ε33, ε13 e ε23 são nulas e as demais independentes de x3 .
As tensões σ13 e σ23 são nulas e a tensão longitudinal σ33 pode ser determinada em função de σ11 e σ22 conforme as equações constitutivas apresentadas no item 2.6:
33 ( 11 22 )
σ = ν σ + σ (2.2)
Figura 2.2 - Sólido prismático submetido a forças paralelas ao plano x x1 2.
2 x 2 x 3 x 1 x 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q
2.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Considere um corpo em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças externas 1 , 2 , ...., n
Q Q Q e, um plano fictício π passando através do ponto O no interior desse
corpo, que fica dividido em duas partes, denominadas A e B (Figura 2.3).
Figura 2.3 - Tensões no ponto interno.
A parte A está em equilíbrio com as forças Q1 , Q2 , Q3 e o efeito da parte B.
Assume-se que esse efeito é continuamente distribuído sobre a seção
π
. Em torno do ponto O considera-se uma pequena superfície dA , e um vetor unitário ˆn saindo da superfície e normal a ela. O efeito de B em dA pode ser reduzido a um diferencial de força. Define-se o vetor tensão como (LOVE, 1944):0 lim dA dQ dA σ → § · = ¨ ¸ © ¹ (2.3)
Pode-se decompor a tensão em duas componentes com relação ao plano: uma normal, que é a projeção de σ na direção da normal ˆn , e outra tangencial, que é a
projeção de σ no plano π (Figura 2.4). Essa última ainda pode ser projetada nesse plano nas duas direções ortogonais.
Figura 2.4 - Decomposição do vetor tensão σ .
Forças como Q1 , Q2 ,...,Qn são chamadas forças de superfície. Forças
distribuídas sobre o volume do corpo, tais como forças gravitacionais e forças magnéticas são chamadas forças de volume.
Por facilidade, pode-se admitir um sistema de coordenadas cartesianas e as componentes de tensão σij como indicado na Figura 2.5: uma componente normal e duas tangenciais, todas nas direções dos eixos coordenados. O primeiro índice (i) indica a direção do eixo perpendicular ao plano em questão, e o segundo (j) indica a direção da componente de tensão.
Um plano cuja normal externa tem o sentido positivo do eixo é um plano positivo. A tensão normal na direção dessa normal externa é considerada positiva. A tensão tangencial de um plano positivo e que tem o sentido positivo do eixo é uma tensão tangencial positiva.
Já foi visto que, num plano π passando por O atua um vetor tensão dado pela Equação (2.3). Em outro plano passando por O um vetor de tensão diferente irá agir. Mostra-se que, o vetor de tensão em qualquer plano passando por um ponto pode ser
π σn
σt
σ
obtido quando são conhecidos os vetores de tensão nos três planos normais aos eixos coordenados, passando por esse ponto, ou seja:
1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 n n n n n n n n n ρ σ σ σ ρ σ σ σ ρ σ σ σ = + + = + + = + + em notação indicial: i ij nj ρ = σ (2.4)
onde
ρ
i é a componente do vetor tensão num plano qualquer e nj são os cossenosdiretores da normal n ao plano em questão, com relação ao sistema de coordenadas definido.
Aplicando a fórmula (2.4) num plano coincidente com a superfície, obtém-se a condição de equilíbrio no contorno do corpo (Figura 2.5):
1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 p n n n p n n n p n n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ = + + = + + = + + em notação indicial: i ij j p = σ n (2.5)
Figura 2.5 - Representação das forças de superfície no contorno do corpo.
O equilíbrio estático das forças que agem no paralelepípedo mostrado na Figura 2.6 requer que (SAADA, 1994):
13 11 12 1 1 2 3 23 21 22 2 1 2 3 31 32 33 3 1 2 3 0 0 0 b x x x b x x x b x x x σ σ σ σ σ σ σ σ σ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ em notação indicial: , 0 ij j bi σ + = (2.6)
onde bi são as componentes das forças por unidade de volume.
Além disso, se não existe nenhum momento aplicado no corpo, o equilíbrio de momentos nos leva a igualdade:
12 21 13 31 23 32 σ σ σ σ σ σ = = = ou : ij ji σ = σ (2.7)
Figura 2.6 – Sólido elementar submetido a esforços internos.
1 dx 2 dx 3 dx 1 x 2 x 3 x 1 b 2 b 3 b
2.5 RELAÇÃO DEFORMAÇÃO - DESLOCAMENTO
Um corpo, submetido a um sistema de forças, terá sua configuração inicial modificada, ou seja, sofrerá uma deformação. Se as componentes de deslocamento ui
são tais que sua primeira derivada é tão pequena que quadrados e produtos das derivadas parciais podem ser desprezados, então a seguinte relação, entre as componentes do tensor de deformação (εij) e do deslocamento (ui) pode ser escrita em
notação indicial (TIMOSHENKO,GOODIER,1980) :
1 , , 2 ( ) ij ui j uj i ε = + (2.8) Explicitando os termos: 1 11 1 2 22 2 u x u x ε ε ∂ = ∂ ∂ = ∂ 3 33 3 1 2 12 2 1 3 1 13 3 1 1 2 1 2 u x u u x x u u x x ε ε ε ∂ = ∂ §∂ ∂ · = ¨ + ¸ ∂ ∂ © ¹ §∂ ∂ · = ¨ + ¸ ∂ ∂ © ¹
3 2 23 3 2 1 2 u u x x ε = §¨∂ +∂ ·¸ ∂ ∂ © ¹
2.6 RELAÇÃO TENSÃO - DEFORMAÇÃO
O tensor de tensão relaciona-se com o tensor de deformação, para sólidos elásticos, através da Lei de Hooke. Se o material é isótropo, ou seja, tem as mesmas propriedades em qualquer direção, essa relação se expressa como (BREBBIA, TELLES, WROBEL, 1984):
(
)
(
)
(
)
11 11 22 33 11 22 11 22 33 22 33 11 22 33 33 2 2 2 G G G σ λ ε ε ε ε σ λ ε ε ε ε σ λ ε ε ε ε = + + + = + + + = + + + 12 12 13 13 23 23 2 2 2 G G G σ ε σ ε σ ε = = = em notação indicial: 2 ij kk ij G ij σ =λ ε δ + ε (2.9)As constantes de Lamé, λ e G , podem ser escritas em função do Módulo de Young ou de Elasticidade (E) e do Coeficiente de Poisson ( ν ) pelas relações:
2 ( 1 ) E G ν = + 2 1 2 Gν λ ν = − (2.10)
As equações (2.6), (2.8) e (2.9) formam um conjunto de 15 equações para as 15 incógnitas , σij εij e ui e definem o problema de elasticidade linear para estado plano de
deformação. Para o caso de estado plano de tensão deve-se substituir ν por (1ν +ν).
2.7 EQUAÇÕES DE NAVIER
Substituindo a equação (2.8) em (2.9), obtém-se a expressão das tensões em termos das derivadas dos deslocamentos que, substituída na equação de equilíbrio (2.6) leva à equação de Navier-Cauchy (LOVE, 1944):
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 1 2 2 2 1 2 3 1 0 0 u u u u u u G G b x x x x x x x x u u u u u u G G b x x x x x x x x u u u u G G x x x x λ λ λ §∂ ∂ ∂ · ª∂ ∂ ∂ º + + + + + + + = ¨ ¸ « » ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ © ¹ ¬ ¼ §∂ ∂ ∂ · ª ∂ ∂ ∂ º + + + + + + + = ¨ ¸ « » ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ © ¹ ¬ ¼ §∂ ∂ ∂ · ∂ + + + + ¨ ¸ ∂ ∂ ∂ ∂ © ¹ 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 0 u u b x x x x ª ∂ ∂ º + + + = « » ∂ ∂ ∂ ∂ ¬ ¼em notação indicial:
, ( ) , 0
j kk k kj j
G u + λ + G u + b = (2.11)
Tomando-se as equações (2.8) e (2.9), substituindo na equação (2.5) para pontos no contorno, as forças de superfície são obtidas:
3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 u u u u u u u u p n G n G n G n x x x x x x x x λ§∂ ∂ ∂ · ∂ §∂ ∂ · §∂ ∂ · = ¨ + + ¸ + + ¨ + ¸ + ¨ + ¸ ∂ ∂ ∂ ∂ ©∂ ∂ ¹ ∂ ∂ © ¹ © ¹ 3 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 1 3 2 1 2 3 3 2 2 u u u u u u u u p G n n G n G n x x x x x x x x u u u u u u u u p G n G n n G n x x x x x x x x λ λ § · § · §∂ ∂ · ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ¨ + ¸ + ¨ + + ¸ + + ¨ + ¸ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ © ¹ © ¹ © ¹ §∂ ∂ · §∂ ∂ · §∂ ∂ ∂ · ∂ = ¨ + ¸ + ¨ + ¸ + ¨ + + ¸ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ © ¹ © ¹ © ¹ em notação indicial: , , , ( ) i k k i i j j i j p = λ u n + G u + u n (2.12)
2.8 CONDIÇÕES DE CONTORNO
A equação (2.11) governa o comportamento linear de um corpo elástico homogêneo e isótropo submetido a ações estáticas. Para esse corpo, Ω define o domínio e Γ o contorno. É necessário conhecer as condições de contorno, as quais o corpo está submetido:
a) Condições essenciais ou deslocamentos prescritos:
i i
u = u em Γ 1 (2.13)
b) Condições naturais ou forças de superfícies prescritas:
i i
p = p em Γ2 (2.14)
Nas equações (2.13) e (2.14) ui e pi são os valores conhecidos no contorno. A
superfície externa total do corpo é Γ = Γ ∪ Γ1 2 ( Figura 2.7).
Essa subdivisão do contorno em duas partes torna possível a resolução dos casos em que, num mesmo ponto existem os dois tipos de condições de contorno em diferentes direções ou mesmo uma combinação delas, como no caso de apoios elásticos.
Figura 2.7 - Domínio Ω com as condições de contorno em Γ.
a Q b Q c Q
2.9 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DE DOMÍNIO
A equação de equilíbrio da estática (2.6) pode ser aproximada numericamente através da técnica dos resíduos ponderados. Utilizando-se uma solução fundamental qualquer como função ponderadora, obtém-se:
(
)
*, . 0
ij i bj uj
σ + = (2.15)
Efetuando uma integral em todo o domínio do corpo, a equação (2.15) passa a ser representada por:
(
)
* , . 0 ij i bj u dj σ Ω + Ω =³
(2.16)A expressão (2.16) pode ser escrita como:
* * , . - . ij i u dj b u dj j σ Ω Ω Ω = Ω
³
³
(2.17)Integrando-se por partes a primeira integral de (2.17), tem-se:
* * * , . . . - . , ij i u dj ij n u di j ij uj i d σ σ σ Ω Γ Ω Ω = Γ Ω
³
³
³
(2.18) Sendo * ijε o campo de deformação correspondente à solução fundamental, a equação (2.8) e a simetria dos tensores envolvidos, permite escrever:
* * * , . . . ij uj i d ij ji d ij ij d σ σ ε σ ε Ω Ω Ω Ω = Ω = Ω
³
³
³
(2.19)Substituindo a relação (2.19) na segunda integral do lado direito de (2.18), tem-se:
* * * , . . . - . ij i u dj ij n u di j ij ij d σ σ σ ε Ω Γ Ω Ω = Γ Ω
³
³
³
(2.20)Substituindo-se a condição de equilíbrio no contorno, dada pela equação (2.5), em (2.20): * * * , . . - . ij i u dj p u dj j ij ij d σ σ ε Ω Γ Ω Ω = Γ Ω
³
³
³
(2.21)As equações (2.17) e (2.21) têm a mesma integral de domínio no lado esquerdo. Logo: * * * . - . - . j j ij ij j j p u d σ ε d b u d Γ Ω Ω Γ Ω = Ω
³
³
³
(2.22)Na expressão (2.22), a segunda integral é de domínio. É preciso transformá-la em uma integral de contorno.
Sendo *
ij
σ o campo de tensão correspondente à solução fundamental, a lei de Hooke para materiais isótropos faz verdadeira a relação:
* *
. .
ij ij kl kl
σ ε = ε σ (2.23)
De forma análoga à equação (2.19):
* *
,
. .
ij ij uj i ij
ε σ = σ (2.24)
Portanto a integral de domínio a ser transformada pode ser escrita como:
* * , . . ij ij d uj i ijd σ ε σ Ω Ω Ω = Ω
³
³
(2.25)* * * , . ij . . - . , j i j i ij j ij i u σ d u n σ d u σ d Ω Γ Ω Ω = Γ Ω
³
³
³
(2.26)Substituindo-se a condição de equilíbrio no contorno, dada pela equação (2.5) em (2.26): * * * , . . - . , j i ij j j j ij i u σ d u p d u σ d Ω Γ Ω Ω = Γ Ω
³
³
³
(2.27)Levando-se essa integral para a equação (2.22), obtém-se:
* * * * , . - . . . 0 j j j j j ij i j j p u d u p d u σ d b u d Γ Γ Ω Ω Γ Γ + Ω + Ω =
³
³
³
³
(2.28)O campo de tensão correspondente à solução fundamental satisfaz a equação de equilíbrio: * * , ij i 0 j b σ + = (2.29)
E a equação (2.28) fica escrita como:
* * * . * . - . - . . 0 j j j j j j j j p u d u p d b u d b u d Γ Γ Ω Ω Γ Γ Ω + Ω =
³
³
³
³
(2.30)Torna-se necessário modificar a equação (2.30) para uma forma integral a fim de que se possa realizar uma análise numérica sobre ela. Será analisada a terceira integral da equação, que é a equação de domínio:
* .
bj . uj d Ω
Ω
Adotando-se as componentes das forças de volume *
j
b como forças concentradas
unitárias aplicadas no ponto *
s∈ Ω em cada uma das três direções ortogonais definidas pelo vetor de componentes pj, tem-se:
* ( , ) .
j j
b =δ s q p (2.32)
onde pj =1 e ( , )δ s q é a função Delta de Dirac.
A distribuição Delta de Dirac é muito importante para a formulação do Método dos Elementos de Contorno. Seja s o ponto onde as forças unitárias serão aplicadas, q o ponto onde as respostas a essas forças serão avaliadas e f uma função contínua qualquer. A função tem as seguintes propriedades:
( , ) s q δ = ∞ se q = s ( , ) 0 δ s q = se q ≠ s (2.33)
{
}
( ) se ( ) ( , ) 0 se f s s f q s q d s δ ∞ Ω ∈ Ω ° Ω = ® ∈ Ω − Ω − Γ °¯³
Substituindo (2.33) em (2.31) , tem-se: * . bj . uj d ( ) . u sj pj Ω Ω =³
(2.34)A equação (2.33) considera as cargas unitárias aplicadas ao mesmo tempo. Se cada uma delas atuar independente da outra, os deslocamentos e forças de superfície podem ser escritos como:
* * * * ( , ) ( , ) j ij i j ij i u u s q p p p s q p = = (2.35) onde * ( , ) ( , )* ij ij
u s q e p s q representam os deslocamentos e forças de superfície na
direção j no ponto q, devido à uma força unitária aplicada na direção i no ponto s.
De maneira geral, sendo δij o Delta de Kronecker, a equação (2.32) fica: * . ( , )
ij ij
b = δ δ s q (2.36)
Substituindo o estado de deslocamento *
ij
u e seu carregamento correspondente *
ij
b na equação (2.30), tem-se a equação integral do contorno para deslocamentos:
( )
* * * ( ) ( , ) - ( ) ( , ) ( ) ( , ) i j ij j ij j ij u s p Q u s Q d u Q p s Q d b q u s q d Γ Γ Ω = Γ Γ + + Ω³
³
³
(2.37)onde s é o ponto fonte, Q é ponto do contorno e q é ponto do domínio.
Essa equação é conhecida como a Identidade de Somigliana para deslocamentos e representa o deslocamento ui em qualquer ponto q do domínio. Ela pode ser escrita na forma de equilíbrio da equação de Navier - Cauchy (2.11), como:
* *
, ( ) , ( , ) 0
j kk k kj j
G u + λ + G u + δ s q p = (2.38)
2.10 SOLUÇÃO FUNDAMENTAL
Utilizam-se as soluções fundamentais, obtidas de problemas específicos, para
desenvolver formulações do Método dos Elementos de Contorno (LOVE, 1944; BREBBIA, WALKER, 1980; BREBBIA, TELLES, WROBEL, 1984). Seja Ω um meio * elástico infinito e, por conseqüência, Γ o contorno infinito. Esse caso corresponde à * solução fundamental de Kelvin, que representa fisicamente o efeito de uma carga estática unitária concentrada atuando no ponto s ∈ Ω (Figura 2.8). Essa é a solução * para a equação de equilíbrio de Navier - Cauchy (Equação(2.38)).
Figura 2.8 - Carga concentrada unitária aplicada na região infinita.
As expressões das soluções fundamentais são:
a) Deslocamentos 2 x 1 x * Γ *, * ij ij u p 1 1 Γ s q 1 r 2 r * Ω Ω
* , , -1 ( , ) (3 - 4 ) ln( ) 8 (1- ) ij ij i j u s q r r r G ν δ π ν ª º = ¬ − ¼ (2.39)
O primeiro índice corresponde à direção de aplicação da carga unitária, o segundo à direção do deslocamento e r = r (s, q) à distância entre os pontos q e s (Figura 2.8).
b) Forças de Superfície
Introduzindo a equação (2.39) em (2.17), obtêm-se as forças de superfície nas direções j, devidas à carga unitária em s na direção i. Essas forças atuam em uma superfície definida pelos cossenos diretores (n ) de um vetor normal a ela: j
* , , , , -1 ( , ) (1 - 2 ) 2 - (1 - 2 )( - ) 4 (1- ) ij ij i j i j j i r p s q r r r n r n r ν δ n ν π ν ½ ∂ ª º = ®¬ + ¼ ¾ ∂ ¯ ¿ (2.40) c) Deformações Específicas Considerando * kji
ε (Figura 2.9) como a deformação *
ji
ε em um ponto q, devido a uma carga unitária aplicada no ponto s na direção k, a relação deformação - deslocamento (equação (2.8)) fornece:
* , , , , , , - 1 ( , ) (1- 2 )( ) - 2 8 (1- ) kji s q ri kj rj ki rk ji r ri j rk G r ε ν δ δ δ π ν ª º = ¬ + + ¼ (2.41)
Figura 2.9 - Deformações específicas fundamentais. d) Tensões Seja * kji σ (Figura 2.10) a tensão * ji
σ em um ponto q, devido a uma carga unitária aplicada no ponto s na direção k. A equação (2.41) em (2.9) fornece:
* , , , , , - 1 ( , ) (1- 2 ) 2 4 (1- ) kji s q ri kj rj ki r ri j rk r σ ν δ δ π ν ª º = ¬ + + ¼ (2.42) q q s s 1 p= 1 p= r r * 122 ε * 121 ε * 111 ε * 111 ε * 112 ε * 122 ε ponto q * 222 ε * 221 ε * 211 ε * 211 ε * 212 ε * 222 ε ponto q
Figura 2.10 - Tensões específicas fundamentais.
Para todas as expressões, as derivadas de r =r s q( , ) são tomadas com referência às coordenadas do ponto q, ou seja:
, ( ) j j j r r r x q r ∂ = = ∂ (2.43)
As soluções fundamentais acima são válidas para o estado plano de deformação. No caso do estado plano de tensão, deve-se substituir ν por
1 (1 ) ν = + ν .
2.11 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO
Considerando a solução fundamental de Kelvin, a Identidade de Somigliana
(equação (2.37)) só é satisfatória para a obtenção de deslocamentos em qualquer
q q s s 1 p = 1 p= r r * 122 σ * 121 σ * 111 σ * 111 σ * 112 σ * 122 σ ponto q * 222 σ * 221 σ * 211 σ * 211 σ * 212 σ * 222 σ ponto q
ponto interno s (Figura 2.11), quando os deslocamentos e forças no contorno são conhecidos.
Figura 2.11 - Ponto fonte interior.
É preciso determinar os valores incógnitos de deslocamentos e forças de superfície de todos os pontos do contorno. Para isso escreve-se a equação integral para pontos do contorno utilizando um artifício que transforma, inicialmente, o ponto de contorno em um ponto do domínio, sobre o qual se pode aplicar a Identidade de Somigliana (CODA, 1990).
Nessa técnica o corpo representado como na Figura 2.12 tem o domínio Ω acrescido de um setor de círculo com o centro no ponto fonte S de raio ε. O ponto S do contorno agora pertence ao domínio Ω + Ω . ε
n
Γ
Ω
s
Figura 2.12 – Contorno expandido por superfície esférica.
O novo domínio passa a ser Ω + Ωε e o seu contorno -Γ Γ + Γε, para os quais a equação (2.37) pode ser aplicada:
( )
* * * ( ) ( , ) - ( ) ( , ) ( ) ( , ) i j ij j ij j ij u S p Q u S Q d u Q p S Q d b q u S q d ε ε ε Γ−Γ+Γ Γ−Γ+Γ Ω+Ω = Γ Γ + + Ω³
³
³
(2.44) onde :Γ = contorno da superfície que foi expandida
ε
Γ = contorno da superfície esférica acrescida
ε
Ω = domínio da parte esférica acrescida
ε Ω ε Γ Γ S Q q Ω Γ
Separando-se as integrais para cada trecho do domínio e do contorno, escreve-se: * * * * * * ( ) ( ) ( , ) - ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) - ( ) ( , ) ( ) ( , ) i j ij j ij j ij j ij j ij j ij u S p Q u S Q d u Q p S Q d b q u S q d p Q u S Q d u Q p S Q d b q u S q d ε ε ε Γ−Γ Γ−Γ Ω Γ Γ Ω = Γ Γ + + Ω + Γ Γ + Ω
³
³
³
³
³
³
(2.45)Para que o ponto S volte a pertencer ao contorno é necessário fazer o limite de ε tender a zero, para que Γε e Ωεtendam a zero também.
As integrais com núcleos semelhantes a *
ij
u (Equação (2.45)), são chamadas
integrais singulares de camada simples e demonstra-se que para ε → o seu limite é 0 nulo. Desta forma, tem-se:
* 0 * 0 lim ( ) . ( , ) 0 lim ( ) . ( , ) 0 j ij j ij b q u S q d p Q u S Q d ε ε ε ε → Ω → Γ Ω = Γ =
³
³
(2.46)No trecho do contorno Γ Γ , desde que a integral do lado direito da igualdade -seja calculada de acordo com o conceito de valor principal de Cauchy, pode-se escrever que: * * 0 lim ( ) . ( , ) p Qj u S Q dij ( ) . ( , ) p Qj u S Q dij ε→ Γ−Γ Γ Γ = Γ
³
³
(2.47)Já as integrais com núcleo *
ij
p são chamadas de camada dupla e espera-se uma
descontinuidade no limite ε → . O desenvolvimento do limite sobre 0 Γε para esse termo pode ser feito:
* * 0 0 * 0 lim ( ) ( , ) lim ( ) - ( ) ( , ) lim ( ) ( , ) j ij j j ij j ij u Q p S Q d u Q u S p S Q d u S p S Q d ε ε ε ε ε ε ε ε ε → → Γ Γ → Γ ª º Γ = ¬ ¼ Γ + + Γ
³
³
³
(2.48)O primeiro termo do lado direito da equação (2.48) é identicamente nulo, uma vez que o campo de deslocamento ( )u Qj satisfaz a condição de H o lder :
( ) - ( ) ( , )u Qk u Sk ≤ B r S Qα (2.49)
sendo B e α constantes positivas.
Assim, na expressão (2.48) o limite sobre Γε é igual a:
* * 0 0 lim ( ) ( , ) u Q p S Q dj ij ε lim ( ) u Sj p S Q dij( , ) ε C S u Sij( ) ( )j ε ε ε ε → → Γ Γ Γ = Γ =
³
³
(2.50)O coeficiente Cij é dado pela seguinte expressão:
( ) ij ij ij C S =δ + I (2.51) onde: * 0 lim ( , ) ij ij I p S Q d ε ε → Γ =
³
Γ (2.52)com δij , que é o Delta de Kronecker.
Demonstra-se que ( ) 2
ij ij
C S = δ para contornos suaves.
Se o ponto S pertence ao domínio, tem-se C Sij( ) 1= , e para pontos externos ao corpo, tem-se C Sij( ) 0= .
Para pontos definidos em contornos com angulosidade, o limite da equação (2.52) pode ser expresso como função dos ângulos θ1 e θ2definidos na Figura 2.13:
1 2 -1 8 ( 1 - ) 2 3 ij A A I A A π ν ª º = « » ¬ ¼ com: 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4 ( 1 - ) ( - ) 2 - 2 2 cos 2 - cos 2 3 4 ( 1 - ) ( - ) 2 - 2 A sen sen A A sen sen ν π θ θ θ θ θ θ ν π θ θ θ θ = + + = = + + (2.53)
Figura 2.53 - Definição dos ângulos para cálculo dos termos da matriz C.
1 n 2 n 1 θ 2 θ
A equação integral do contorno fica dada por: * * * ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ij j j ij ij j j ij C S u S u Q p S Q d u S Q p Q d b q u S q d Γ Γ Ω + Γ = Γ + + Ω
³
³
³
(2.54)Essa equação fornece uma relação entre os deslocamentos e as forças de superfície que deve ser satisfeita. Introduzindo as condições de contorno, obtêm-se as incógnitas apenas no contorno.
2.12 REGIÕES INFINITAS
As equações integrais analisadas até agora levam em conta apenas corpos finitos. A extensão da equação (2.54) para regiões infinitas com uma ou mais cavidades internas, requer uma análise cuidadosa do comportamento das funções envolvidas. Essa análise está relacionada ao comportamento das funções sobre uma superfície de contorno infinitamente distante das cavidades.
Seja r o raio de uma esfera de superfície Γr, centrada em S, que envolve as cavidades do problema representado na Figura 2.14. A equação (2.54) pode ser escrita para esse corpo com r finito, como:
* * * * ( ) ( ) ( ). ( , ) ( ). ( , ) ( , ) . ( ) ( , ) . ( ) ij j j ij j ij r ij j ij j r C S u S u Q p S Q d u Q p S Q d u S Q p Q d u S Q p Q d Γ Γ Γ Γ + Γ + Γ = = Γ + Γ
³
³
³
³
(2.55)Figura 2.64 - Definição da região infinita com cavidade interna
No limite, quando r → ∞ , a equação (2.55) apresenta o significado desejado se for satisfeita a condição de regularidade:
* * lim ( ) . ( , ) - ( , ) ( ) j ij ij j 0 r r u Q p S Q u S Q p Q d →∞ Γ ª º Γ = ¬ ¼
³
(2.56)Para problemas bidimensionais, considerando o contorno infinito ( Q ∈ Γr), tem-se: * * onde ( ) ; ( ln 1) ( , ) (1) 1 ( , ) ij ij d G d G O r O r i j u S Q O i j p S Q O r ϕ Γ = = + = = ® ≠ ¯ § · = ¨ ¸ © ¹ (2.57)
onde O ( ) é o comportamento assintótico de uma função para r → ∞ ou r → . 0
r S Γ Ω Q infinito Γ
Se a carga total aplicada sobre a superfície Γ não for auto-equilibrada, o princípio de Saint-Venant mostra que ( )u Qj e p Qj( ) terão o mesmo comportamento da solução
fundamental correspondente a uma carga concentrada na direção resultante. Logo, ( ) 0 (ln 1) ( ) 0 (1 )
j j
u Q = r + e p Q = r são obtidos, o que não garante, em geral, a
anulação de cada termo separadamente. Mas, pode-se substituir ( ) ( )u Q e p Qj j pelos
tensores correspondentes à solução fundamental e verificar que a equação (2.55) é satisfeita, pois os termos se cancelam quando r → ∞ .
Pode-se afirmar que as condições de regularidade são sempre satisfeitas se ( ) ( )
j j
u Q e p Q se comportam, na pior das hipóteses, como a solução fundamental no
infinito.
Neste caso, os problemas de cavidade em meio infinito podem ser representados pela equação (2.54), com a normal apontando para dentro da cavidade.
Figura 2.15 - Definição da normal.
n n
2.13 TENSÕES NOS PONTOS INTERNOS
É necessário conhecer as componentes de tensão em qualquer ponto do sólido em estudo, para que se possa considerar resolvido o problema elastostático.
A equação (2.37), que é uma representação contínua dos deslocamentos nos pontos internos, pode ser derivada em relação às coordenadas do ponto S. Substituindo as derivadas nas equações (2.8) e (2.9), obtém-se a expressão das tensões para pontos interiores (CODA, 1990):
* * * ( ) ( , ) ( ) - ( , ) ( ) ( , ) ( ) ij kij k kij k kij k s D s Q p Q d S s Q u Q d D s q b q d σ Γ Γ Ω = Γ Γ + + Ω
³
³
³
(2.58)Para o estado plano de deformação, tem - se:
(
)
* , , , , , , * , , , 2 , , , , , , 1 1- 2 - 2 4 (1- ) 2 (1- 2 ) ( ) -2 (1- ) - 4 2 ( kij ki j kj i ij k i j k kij ij k ik j jk i i j k i j k j D r r r r r r r G r S r r r r n r r r n r r n r ν δ δ δ π ν ν δ ν δ δ π ν ν ª º = ¬ + + ¼ ∂ ª = ® ¬ + + ∂ ¯ º + + ¼ , , , ) (1- 2 ) (2 ) - (1- 4 ) ) i k k i j j ik i jk k ij r n r r n n n ν δ δ ν δ + ½ + + ¾ ¿ (2.59)2.14 TENSÕES NOS PONTOS DO CONTORNO
As tensões em pontos do contorno podem ser calculadas com bastante precisão através dos valores conhecidos das forças de superfície e dos deslocamentos, após a resolução do problema. Esses valores são obtidos no sistema global de coordenadas.
Utilizando a matriz de transformação para tensor de primeira ordem, determinam-se os deslocamentos e forças de superfície em relação a um sistema de referência local ao elemento considerado (Figura 2.16).
Figura 2.16 - Sistema de referência local ao elemento.
A equação de Cauchy (2.4) para o sistema local, fornece:
22 2 12 1 p p σ σ = = (2.60)
Sendo u1 o deslocamento interpolado ao longo do elemento em função dos
valores nodais, a componente de deformação para esse sistema é dada por:
1 11 1 u x ε = ∂ ∂ (2.61) 2 x =n 1 x 1 x 2 x Ω
A lei de Hooke (Equação (2.9)) permite escrever:
]
22 22 11 1 (1- 2 ) - (1- 2 ) 2G σ ε ν ν ε ν ª = « ¬ (2.62)Com os valores de ε11 e ε22 pode-se obter as tensões em um ponto qualquer do contorno em relação ao sistema local do elemento, através da lei de Hooke generalizada. Assim: 11 2 G 11 - 1- 22 ν σ ε ε ν ª º = « » ¬ ¼ (2.63)
As equações (2.63) e (2.60) fornecem as tensões em um ponto qualquer do contorno em relação ao sistema local de coordenadas.
3.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo as expressões estão também representadas sob a forma de notação indicial e no sistema de coordenadas cartesianas convencionais. Serão apresentados os conceitos necessários para o desenvolvimento da formulação da vibração livre e elastodinâmica transiente bidimensional.
3.2 EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTODINÂMICA
Admitem-se novamente as hipóteses de pequenos deslocamentos, pequenas deformações e material obedecendo à Lei de Hooke. O corpo em estudo é elástico, homogêneo e isótropo.
A condição de equilíbrio no contorno de um corpo é dada por:
i ij j
p =σ n (3.1)
A relação entre as componentes do tensor de deformação e do deslocamento é escrita como:
(
, ,)
1 2 ij ui j uj i ε = + (3.2)A Lei de Hooke relaciona tensor tensão com tensor deformação:
2
ij kk ij G ij
σ =λ ε δ + ε (3.3)
com G e λ dados pela equação (2.10).
,
ij j bi ui
σ + = ρ (3.4)
onde:
i
b são as forças de volume;
ρ é a densidade do corpo; 2 2 i i u u t ∂ = ∂
é a aceleração com relação à direção xi.
Figura 3-1 - Sólido elementar submetido a esforços internos.
As equações de equilíbrio de forças resultantes de tensões (3.4), relações cinemáticas (3.2) e Lei de Hooke (3.3) formam um conjunto de 15 equações para 15
i i i b =b −ρ u 1 dx 2 dx 3 dx 1 x 2 x 3 x
incógnitas (σijj , , εij ui ). Substituindo a expressão (3.2) na expressão (3.3), a Lei de Hooke é escrita em termos dos deslocamentos:
, , ,
( )
ij uk k ij G ui j uj i
σ = λ δ + + (3.5)
As equações (3.5) e (3.4) nos levam à equação geral de Navier-Cauchy:
, ( ) ,
i jj j ji i i
G u + λ +G u + b = ρ u (3.6)
A equação (3.6) constitui um sistema linear de equações diferenciais hiperbólicas para a variável ui.
As ondas que ocorrem no estado elastodinâmico, para o qual as rotações são nulas, são chamadas ondas longitudinais e se propagam com uma velocidade dada por:
( 2 )
d
c = λ + G ρ (3.7)
Quando a variação do volume é nula (u = 0), as ondas num corpo elástico são i i,
chamadas distorcionais e se propagam com uma velocidade cs, dada por:
ρ G =
cs (3.8)
As constantes cd e cs podem ser usadas para escrever a equação de
equilíbrio em termos dos deslocamentos, isto é, a equação de Navier-Cauchy:
2 2 2
, ( - ) .
s i jj d s j ji i i
c u + c c u + b = ρ u (3.9)
a) a equação (3.9) para t≥t0 em todos os pontos do domínio Ω ; b) as condições iniciais: 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) i i i i i t t u s t u s u s t u s t v s t = ° = ° ° ® ° ∂ ª º ° =« » = ∂ ° ¬ ¼ ¯ (3.10)
em todos os pontos s pertencentes ao domínio. O índice ‘0’ significa que os valores prescritos correspondem ao tempo t0 =0. O ponto sobre a variável representa derivada parcial com relação ao tempo e v é a velocidade.
Figura 3-2- Deslocamentos e velocidades prescritas em t = 0.
c) Condições de Contorno: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i i i ij j i u S t u S t S p S t σ n p S t S = ∈ Γ ° ® ° = = ∈ Γ ¯ (3.11)
onde p são os valores conhecidos das forças em i Γ , 2 u são os valores conhecidos i
dos deslocamentos em Γ1 , S são pontos do contorno e t é tempo.
( )
( )
v
io io io iou
s
u
u
s
=
=
Ω ΓFigura 3-3- Condições de contorno p e ui i no tempo t em Γ1 eΓ2.
Reordenando as equações (3.7) e (3.8) para obter λ e G em função das velocidades cd e cs das ondas e substituindo na equação (3.5), as tensões podem ser
também escritas como:
= 2 2 , + 2 , + ,
( - 2 ) ( )
ij cd cs uk k ij cs ui j uj i
σ ρ δ ρ (3.12)
A segunda das condições de contorno dada pela equação (3.11) é escrita em função dos deslocamentos usando a equação (3.1):
= 2 2 , + 2 , + ,
( - 2 ) ( )
i d s k k i s i j j i j
p ρ c c u n ρ c u u n (3.13)
3.3 IDENTIDADE DE SOMIGLIANA
O procedimento para se obter a Identidade de Somigliana é idêntico ao
n dΓ s S 1 Γ 2 Γ Ω
que representa fisicamente o efeito de uma carga unitária estática atuando em um domínio infinito. A versão correspondente ao problema tratado aqui pode ser obtida diretamente, pela substituição da componente da força de volume bi por ρui na equação (2.37). Assim: * * ( , ) ( , ) ( , ) ( ) - ( , ) ( , ) ( ) k i ki i ki u s t p Q t u s Q d Q u Q t p s Q d Q Γ Γ =
³
Γ³
Γ + * ρ uki ( , ) ( , )s q u Q ti Ω +³
(3.14)onde, com exceção dos tensores fundamentais, todas as variáveis envolvidas na análise são também função da variável tempo.
A formulação baseada na equação (3.14) é recomendada devida a sua simplicidade e universalidade. O problema está no fato de que, para essa formulação, a integral inercial é estendida a todo o domínio, o que acarreta um esforço adicional de discretização.
3.4 EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO
A Identidade de Somigliana (3.14) é válida para pontos s contidos no interior do corpo ( Ω ). Quando o ponto fonte está no contorno ( Γ ) a obtenção de uma expressão similar é elaborada através do processo limite apresentado na seção 2.11 . A equação integral fica:
* * ( ) ( ) ( , ) ( , ) - ( , ) ( , ) ij j ij j ij j C S u S u S Q p Q t d p S Q u Q t d Γ Γ =
³
Γ³
Γ + * ( , ) ( , ) ρ u S qij u q t dj Ω +³
Ω (3.15)3.5 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS EXTERNOS
A equação integral para pontos externos é muito útil em problemas com descontinuidade de reações de contorno, ocasionada por deslocamentos prescritos. Considera-se o campo virtual de deslocamentos como causado por uma carga unitária que não esteja contida na região ocupada pelo corpo estudado. A equação será:
* * * 0 ( , ) ( , ) - ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ij j j ij ij j u s Q p Q t d u Q t p s Q d u S q u q t d ρ Γ Γ Ω = Γ Γ + + Ω
³
³
³
(3.16)3.6 EQUAÇÃO INTEGRAL DAS COMPONENTES DE TENSÃO
A expressão para se calcular as tensões nos pontos internos do sólido em estudo é obtida substituindo o valor de (equação (3.14) ) na relação tensão deformação dada pelas equações (2.9) e (2.8):