21 - integral definida

Áreas por fracionamento

O método de fracionamento é uma técnica efetiva para determinar as áreas de muitas regiões planas. Dada uma dessas regiões, tome um eixo de referência, por exemplo o eixo s da figura abaixo, e em cada ponto ao longo desse eixo, construa uma reta perpendicular interceptando a região em um segmento de reta de comprimento l. Note que l é uma função de s.

A região a ser calculada a área se situa entre a perpendicular em s = a e a perpendicular em s = b. Denote por A a área da porção da região entre as perpendiculares em a e s. Evidentemente, A é uma função de s e A = 0 quando s = a.

O conceito de diferencial permite-nos formar uma equação diferencial para A. Se s é aumentada por uma quantidade infinitesimal ds, então A cresce de uma quantidade infinitesimal correspondente dA.

Note que dA é virtualmente a área do pequeno retângulo de comprimento l e largura ds, isto é, dA = l ds. Portanto, A pode ser obtida resolvendo-se a equação diferencial dA = l ds sujeita à condição de contorno A = 0 quando s = a. O valor de A quando s = b é a área procurada.

Exemplo: Determine a área da região no primeiro quadrante do plano xy limitada superiormente pela parábola y = x², inferiormente pelo eixo x, e à direita pela reta vertical x = 2.

Aqui, a equação diferencial é dA = l dx, onde , pela figura, l = y = x². Assim:

A=

∫

∫

3

3 +C

Como sabemos que A = 0, para x = 0, então concluímos que C = 0. Para x = 2, A = 8/3, logo, A = 8/3.

Integral Definida

De forma semelhante ao procedimento anterior, podemos calcular a área de uma função f em um intervalo fechado pertencente ao seu domínio. No entanto, ao usar a integral indefinida para esse cálculo, a área entre a função e o eixo do domínio terá um sinal associado, sempre igual ao sinal da imagem da função no intervalo.

Ao se calcular a área total no intervalo fechado [a,b], o resultado será A = A1 – A2, onde A1 é a área

acima do eixo x, e A2 é a área abaixo do eixo.

Então, seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a.b], a área (com sinal) sob o gráfico de f entre x = a e x = b é:

∫

∫

f (x)dx é chamada de integral definida de a até b de f(x)dx. O intervalo [a,b] é chamado de intervalo de integração e os números a e b são chamados de limite inferior e superior de integração, respectivamente.

Pela semelhança na notação da integral indefinida e a integral definida, é natural que se estabeleça uma relação entre as duas. Suponha que:

∫

∫

Exemplo: Calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x2/3 _{entre x = 0 e x = 1.}

∫

Por uma questão de praticidade, é usada uma notação especial para a expressão g(b) – g(a): g(b)−g (a)=g( x)b a Exemplo: Calcule

∫

∫

[

]

(

)

(

)

No simbolismo matemático, podemos representar a soma de vários termos (em geral relacionados) através do símbolo Σ, que significa “a soma de todos os termos da forma...”. Por exemplo,

Σk2₌₁2₊₂2₊₃2

+⋯ .

Pode-se também limitar o número de termos a serem somados, adicionando-se índices no somatório:

∑

k=1

6

k2=12+22+32+42+52+62=91

Uma aplicação prática da utilização do somatório é o cálculo (aproximado) da área sob a curva de uma função. Por exemplo, calcularemos a área sob a função y = x² no intervalo entre x = 0 e x = 1. Primeiramente, dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais.

Acima de cada intervalo formamos um retângulo circunscrito correspondente. Evidentemente, a altura do k-ésimo retângulo circunscrito é

(

n

)

(

)

. Uma estimativa da área A pode agora ser obtida pela adição das áreas dos n retângulos circunscritos, isto é:

A≈

∑

(

)

∑

(

)

(

)

∑

[

]

Uma vez que os retângulos aproximadores são circunscritos, a expressão acima fica:

A⩽1 3+ 1 2 n+ 1 6 n2

Fazendo agora uma aproximação semelhante, mas agora consideramos os retângulos inscritos ao invés dos circunscritos. A altura do k-ésimo retângulo inscrito é

(

n

)

(

)

Novamente, obtemos uma estimativa da área A através da soma das áreas dos n retângulos inscritos: A≈

_∑

(

)

∑

(

)

∑

(

)

(

)

∑

[

]

Uma vez que os retângulos aproximadores são inscritos, a expressão acima fica: 1 3− 1 2 n+ 1 6 n2⩽A Juntando os dois resultados:

1 3− 1 2 n+ 1 6 n2⩽A⩽ 1 3+ 1 2 n+ 1 6 n2

Para aumentar a precisão dos cálculos, aumentamos o número de subintervalos, levando n para infinito, fazendo com que os intervalos em x virem diferenciais dx. Para a expressão acima, fazer n tender a infinito faz com que ambos os lados da inequação se aproximem de 1/3, que é a área sob a curva.

Integral Definida – definição analítica

Se o limite lim

Δx→0

∑

f (c_k)Δx existe, onde Δx = (b – a)/n, então a função f é dita ser integrável em [a,b]. Se f é integrável, então a integral definida de f no intervalo [a,b] é definida por:

∫

∑

Tal integral é chamada de integral de Riemann. É preciso, então, a definição de regras para determinar se uma função é integrável. São elas:

1- Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b]. Consequentemente, todas as funções polinomiais são integráveis.

A função ilustrada na figura abaixo não é contínua em todo intervalo [a,b], mas é contínua em um número finito de subintervalos entre a e b. Essa função é, então, dita seccionalmente contínua no intervalo [a,b].

A função seguinte é seccionalmente contínua, mas não é limitada no intervalo [-1,1], pois o valor da função tende a +∞ para x → 0+.

2- Se f é uma função limitada e seccionalmente contínua no intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b].

3- Se f é definida e integrável em [a,b] e se h é também definida em [a,b] e satisfaz h(x) = f(x) para do x em [a,b] exceto num número finito de pontos, então h é também integrável em [a,b] e

∫

_∫

Exemplo: Seja a função h definida abaixo, ache

∫

−1 1

h(x )dx :

h(x )=

{

}

Considerando uma função f(x) = 1 para todo x, h(x) = f(x) para todo x, exceto para x = 0 (número finito de pontos), logo:

∫

∫

∫

Propriedades básicas da integral definida

A propriedades básicas da integral definida podem ser deduzidas a partir da definição analítica. Integral de uma função constante

Seja f uma função constante definida pela equação f(x) = K:

∫

∫

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e K é um número constante, então Kf é também integrável em [a.b] e:

∫

∫

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f + g é também integrável no mesmo intervalo, e:

∫

_∫

_∫

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b] e A e B são números constantes, então Af + Bg é também integrável no mesmo intervalo, e:

∫

∫

∫

Positividade

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e se f(x) ≥ 0 para todos os valores de x no intervalo, então:

∫

Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b] e se f(x) ≥ g(x) é válido para todos os valores de x no intervalo, então:

∫

_∫

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b], então |f(x)| também o será, e:

|

∫

|

∫

Aditividade com respeito ao intervalo de integração

Se a < b < c e f é integrável no intervalo [a,b] bem como no intervalo [b,c], então f é também integrável no intervalo [a,c], e:

∫

∫

∫

Teorema do valor médio para integrais

f (c)⋅(b−a)=

∫

a b

f (x )dx

Valor médio de uma função em um intervalo

Se f é uma função integrável no intervalo [a,b], então o valor médio de f no intervalo é dado por:

1 (b−a)⋅

∫

b

f (x )dx

Integral definida para a ≥ b

Se f é uma função qualquer e a é um número no domínio de f, define-se que:

∫

a a

f (x)dx=0

E se a > b e f é integrável no intervalo [b,a], então define-se que:

∫

_∫