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Testes de hipóteses em modelos lineares com dados desbalanceados e caselas vazias

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Academic year: 2021

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(1)TESTES DE HIPÓTESES EM MODELOS LINEARES. COM DADOS DESBALANCEADOS E CASELAS VAZIAS. JOMAR ANTONIOCAMARINHA FILHO Engenheiro Agrônomo. Orientador: Pror.. Dr .. Antonio Francisco Iemma. Escola apresentada à Dissertação "Luiz de Superior Agricultura de são Universi.dade Queiroz", da de Paulo, para obtenção t í.tulo do de Área Mestre em de Agronomia, Estat tst ica e Concentração: Experimentação Agronômica.. P I R AC IC AB A. Estado de São Paulo - Brasil Janeiro - 1995.

(2) Ficha catalográfica preparada pela Seç�o de Livros da Divisão de Biblioteca e Documentaç�o - PCLQ/USP Camarinha Filho, Jomar Antonio C172t Testes de hipóteses em modelos lineares com dados desbalanceados e caselas vazias. Piracicaba, 1995. 142p. ilus. Diss.(Mestre) - ESALQ Bibliografia. 1. Análise de variância 2. Hipótese estatística 3. Modelo linear I. Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Piracicaba CDD. 519.56.

(3) TESTES DE HIPóTESES EM MODELOS LINEARES COM DADOS DESBALANCEADOS E CASELAS VAZIAS. JOMAR ANTONIO CAMARINHA FILHO. Aprovado em:. 02.. 03.. 95. Comissão Julgadora: Pro~.. Or.. Antonio Francisco Iemma. Pro~.. Or.. Décio Barbin. Pro~a.. a. Dr .. ESALQ/USP. Marinéia de. Pro~.. Or.. IEMMA.

(4) i v.. À Adriana. e aos meus pais.

(5) v.. AGRADECIMENTO. Pro:f.. Ao. orient.ação. no. DI'.. decorrer. Ant.onio. dest.e. Francisco. t.rabalho. e.. Iemma.. pela. principalment.e.. pela con:fiança. À CAPES. pela bolsa de est.udos concedida.. Aos amigos do Depart.ament.o de Est.at.ist.ica da Universidade Federal do Paraná. Aos Depart.ament.o Especialment.e.. de aos. pro:fessores Mat.emát.ica pl-o:fessores. e. e. :funcionários. Estat.ist.ica dout.ores:. da. Clal'ice. do ESALQ. Garcia. Borges Demét.rio. Décio Barbin e Robert.o Simionat.o Moraes..

(6) vi.. SUMÁRIO. RESUMO. .. SUMMARY. 1.. x. I NTRODUCÃO. 1. 2. REVISÃO DE LITERATURA. 3. 3. MATERI AL E MÉTODOS 3.1.. 3.2.. viii. •. 32. Ma1:-er i aI. 32. 3.1.1.. Conjun1:-o A. 32. 3.1.2.. Conjun1:-o B. 34. 3.1.3.. Paco1:-es Es1:-a1:-ís1:-icos. 37. Mé1:-odos 3.2.1.. 3.2.2.. 38. Modelo Linear. 38. 3.2.1.1.. Modelo com In1:-eração. 38. 3.2.1.2.. Modelo sem In1:-eração. 40. Solução de Mínimos Quadrados 3.2.2.1.. Modelo com In1:-eração. 40. 3.2.2.2.. Modelo sem In1:-eração. 41. 3.2.3.. Somas de Quadrados. 3.2.4.. Hipó1:-eses Es1:-a1:-1st-icas. 3.2.6.. 40. 3.2.4.1.. Modelo com In1:-eração. 3.2.4.2.. Modelo sem In1:-eração. 41. Cons1:-rução das Mat-rizes. 45. 3.2.6.1.. Modelo com In1:-eração. 46. 3.2.6.2.. Modelo sem In1:-eração. 49.

(7) vii.. ••. 3.2.6. Quadro da Análise de Variância •. 51. 3.2.7.. 52. Proje~ores. Or~ogonais. 3.2.9. Notação RC ) •. 53. 3.2.9.. 55. Paco~es. Es~atís~icos. RESULTADOS E DISCUSSÃO. 59. 4.1. Exemplo 1. 59. 4.1. 1. Caso Ai. 60. 4.1.2. Caso A2. 71. 4.1. 3. Caso A3. 79. 4.1. 4. Caso A4. 87. 4.1.6. Caso N3. 91. Exemplo 2. 95. 4.2.1. Caso B1. 95. 4. G. 2. Caso B2. 102. 4.2.3. Caso B3. 108. 4.2.4. Caso B4. 113. 4.2.6. Caso B6. 120. 4.2.6. Caso B6. 125. 4.2.7. Caso B7. 129. 4.2.. 5. CONCLUSõES 6.. •. REFE~NCIAS. 132. BIBLIOGRÁFICAS. 136.

(8) viii.. TESTES DE HIPóTESES EM MODELOS LINEARES COM DADOS DESBALANCEADOS E CASELAS VA2I AS. Au~or:. Orientador:. JOMAR ANTONIO CAMARINHA FILHO. PROF.. DR.. ANTONIO FRANCISCO IEMMA. RESUMO. Os esta~ística. (pacotes de. pesquisadores vulneráveis testadas. usuários. no. tocante das. Queremos. programas.. De. computaci onas. es t a t í s t. i c os) •. somas. de. que. manuseio.. fa~o.. são.. interpretação. à. o. motivado. os. isso. ocorra. mui tas. vezes. das. obtidos. casos.. o. processo é. rapidamenle.. insu:ficien~e.. inerente a. No. agilizado e entanto,. alguns. pacotes.. os. eles. devido. à. inadequado. aos. pacotes. es~atística.. a. Naturalmente. resullados. são. documentação. a. e. hipóteses. aplicadas. áreas. planejar e analisar suas próprias pesquisas. nesses. os. geral.. por. quadrados. acesso i medialo. pesquisadores. em. das. estatísticos e a escassez de profissionais da ~êm. par a. especialmente. aplicadas.. crer. facilidade de acesso e desses. si stemas. ciências. através. fornecidas.. de. a. ausência. do. profissional especializado em análise de dados. pode levar,.

(9) ix. em geral. a erros de os result.ados. interpretação. que podem comprometer. obt.idos. a. alt.os. cust.os. e. após. vários. anos. de experiment.ação. Com o objetivo de amenizar essa defici3ncia e visando. iniciar. pesquisador. o. nas. int.erpret.ação das hipót.eses t.est.adas, foram. ut.ilizados. dois. idéias. no present.e t.rabalho. est.at.íst.icos,. pacot.es. sobre. SAS. o. eSt.at.ist.ical Analyses Syst.em) e o STATGRAPHICS CStat.ist.ical Graphics System).. Essa escolha se deveu ao fat.o. primeiro apresent.a quat.ro t.ipos. de. somas. de que o. de quadrados. e.. port.anto, quat.ro tipos de hipót.eses; o segundo. duas delas. Naturalmente, ambos são universalment.e adot.ados. Foram t.omados dois de auxi I i ar as. na escol ha das. diversas. hi pót.eses. caract.erizações. ou. proposto.. seja.. exemplos. prát.icos.. mai s. impost.as. adequadas. ao. experimentos. a. modelo. lim par a. linear. balanceados. e. desbalanceados. com e sem caselas vazias. Nesse contexto. hipóteses. para. dados. foi. possí vel não. balanceados. mostrar. que as. apresent.aram. diferenças. isto é. as quatro hipóteses do SAS e as duas do STATGRAPHICS foram idênticas. as. dilerenças. Para. o. caso. ent.re de. as. caselas. Já para dados desbalanceados,. hipóteses vazias.. tornaram-se. evident.es.. o. agravou-se. problema. severamente. a const.rução das hipót.eses tornou-se difícil e sua interpretação extremamente complexa..

(10) x.. TESTS OF HYPOTHESIS IN LINEAR MODELS WITH UNBALANCED DATA AND MISSING CELLS. Jomar. Au~hor:. Adviser:. Camarinha Filho. An~onio. PROF.. DR.. ANTONIO FRANCISCO IEMMA. SUMMARY. The users of ~he. searchers of. rela~ing. ~o. ~hrough. ~he. believe. ~ha~. pra~ical. ~he. ~his. squares. inadequa~ed. fac~,. immedia~e. ~he. ~he. lack. of. searchers of own searchs. rapid. and. the lack of may lead.. access. resul~s. ~he. ~he. areas. in. ~hese. are. ~hem.. of. have. achieved to. promise the resul ~s. ~o. in~erpre~ation. achieved. a~. a. hi gh. ~o. ~he. ~heir. procedure is. rapidly. some. In. packages and mo~iva~ed. ~he. specialized prolissional in. generrally,. wan~. plan and analyze. cases,. inheren~. We. programs.. ~hese. s~a~is~ical. ~o. hypo~hesis. of access and. facili~y. ~imes. ~he. ~es~ed. by. profissionaIs. documen~ation ~he. ~o. ~o. prac~ical. Na~urally.. ~he. insufficien~. many. s~a~is~ical ~he. of. provi ded. occur due. handling.. specially. sciences are generally vulnerable. in~erpre~a~ion. sum of. packages,. s~a~is~ical. But. ~he. packages. da~a. mis~akes. effor~. and. analysis. wich can and. af~er.

(11) xi. many years or. experimen~a~ion.. On ~o. seeking. ini~ia~e. in~erpre~a~ion. cal. CS~a~is~ical rac~. ~he. or. ~hererore,. ~wo. or. ~hem.. heI p. several. Na~urally.. in. wi~h. or. ~hat. wi~hout. bo~h. or. unbalanced evi den~.. i~s. ~he. ~he. ~he. SAS. STATGRAPHICS ~he. rour kinds or sum or squares. adap~ed. ~he. imposed and. or ~o. second one.. universally.. were. choi ces. ~his. respec~.. ror. taken,. hypo~esi. so s. ~hat. ~o. linear. ~he. unbalanced. is.. ~he. ~he. ~he. model. experimen~s.. hypo~hesis. rour. exac~l. y. cons~ruc~ion. in~erpre~a~ion. or. e~remely. ~he. ~he. mi ssi ng cell s. ~he. ~o. show. didn't. da~a. dirrerences among. case or ~he. it. was possible. balanced. STATGRAPHICS were. very worse and hard and. packages.. This choice occured by. examples. balanced. presen~. missing cells.. ~ha~. da~a. To. and. are. sui ~abl e. is.. hypo~hesis. dirrerences. ~he. bo~h. prac~ical. ~he. In ~he. s~at.is~ical. ~he. and abou~. ideas. hypo~hesis.. Sys~em). charac~eriza~ions. proposed.. ~hese. in. lack. ~his. rour kinds or hypothesis and. Two ~hey. ~wo. presen~s. one. easing. searcher. Sys~em).. Graphics. and. or. ~es~ed. Analyses. ~he rirs~. or. ~he. made use or. produc~ion. CS~a~i s~i. purpose. ~he. or. ~he. same.. presen~. SAS and Bu~. hipo~hesis. ~he. complexo. ror. became. probl em. hypo~hesis. ~ha~. grew. became.

(12) 1. 1. INTRODUCÃO. Test.es. de. hipót.eses. t.êm. sido. amplament.e. ut.ilizados. como alt.ernat.iva para se concluir a respeit.o da inlluência das lont.es de variação em modelos lineares. tant.o.. é. comum. a. ut.i I i zação. lornecem anál i ses. de. de. var i ânci a.. pacot.es. Para. est.at.í st.i cos. baseadas. em. t.est.es. que F. de. Snedecor. para a t.omada de decisões. Como é. bem sabi do •. na. anál i se de. var i ânci a. obt.ém-se uma soma de quadrados para cada eleit.o do modelo linear que. por sua vez. est.á int.imament.e ligada à hipót.ese a ser t.est.ada sobre o relerido eleit.o. quadros. convenci ol"'lai s. est.at.i st.i cos. est.ão,. t.est.e de lunç5es pouco. i nt.er esse. apresent.ados. na. ver dade,. lineares do. Em cont.rapart.ida, os por. sendo. paramét.ricas.. pesqui sador .. Na. muit.os. ut.i 1 i zados muit.as. ver dade.. pacot.es par a. vezes,. não. o de. ha ver i a. problema algum se ele soubesse disso. De lat.o.. est.a sit.uação. pode ocorrer com uma. IreqUência considerável. Grande. part.e. dest.e. resolvida se os pacot.es exist.ent.es. problema. most.rassem,. explicit.a. que hipót.eses est.ão sendo t.est.adas. os. pesquisadores.. principalment.e. prolundament.e a est.at.ist.ica,. poderia. os. que. ser. de maneira Dessa lorma.. não. conhecem. t.eriam condições de avaliar o. grau de adequação ou não, aos objet.ivos de sua pesquisa, da hipót.ese. que. est.á. sendo. t.est.ada.. Inlelizment.e,. isso,. em.

(13) 2 ge~al.. oco~~e.. não. Devido à pacot.es. estatísticos.. costuma. comet.e~. context.o ,. um. necessi dade de se subsídios. pa~a. c~ i a~.. ale~t.a~. si tuações. se t.esta modelo. e. quanto. caso onde um. o. pa~a. p~oblema. maio~:. ut.iliza~am-se. SAS. as. somas. eGene~al. de. de. G~aphics. Nesse. está. na. p~ áti. cas.. pesquisado~es.. dois. o. é. de. tanto. exemplos. exatamente.. obtém a. estatí sti ca. classiricação. com. o. que F.. O. dupla. dados balanceados. pa~a. Ademais.. ac~escentou-se. obse~vações.. totais de. o. ocasionando. o de caselas vazias. nessas. auxilia~. Analyses Syst.emO.. quad~ados. Linea~. quad~ados. usuá~ios. interpret.ações.. dois pacotes est.atíst.icos de ampla aplicação.. eSt.at.istical. estat.istical. t~abalho. evid€'ncia~.. exemplo. dive~sos. de hipóteses.. po~tanto.. inte~ação.. Pa~a. o. a esses. dados desbalanceados.. ainda. de. base em si tuações. um deI es. oco~~em pe~das. núme~o. deste. com. p~ocu~ando. com e sem. pa~a. int.e~pl~etação. c~iados,. como cada. usado. c~uzada.. de. conside~ável. objetivos. Fo~am. vá~ias. um. e~~os. dos. racilidade de manuseio dos. Models. Sys t. em). e. o. STATGRAPHICS. t.endo como enloque. Io~necidas P~ocedure). pelo. p~incipal. P~ocediment.o. GLM. do SAS. que são as somas. dos t.ipos I, 11. 111 e IV..

(14) 3. 2. REVISÃO DE LITERATURA (1934). YATES. coment.ou. estatístico apropriado para o. que. método. o. caso de dados balanceados é. simples e muito desenvolvido em associação com experimentos de campo na agricultura.. O método é. método. análise. conhecido. introduzido presença. por. como. R. A. F'isher.. de dados. a. de. variância,. Alertou,. desbal anceados,. consideráveis modiricações.. um caso especírico do. a. no. que. ent.ant.o,. anál i se. que. na. necessi ta. de. Nesse trabalho, o autor relat.ou. análise de ensaios ratoriais. com dados desbalanceados e. apresentou quatro métodos para solucionar o problema. mét.odos,. segundo. HERR. roi. C1986) ,. estão. reI aci onados. principais métodos utilizados nos dias de hoje.. Tais. com. os. Os métodos. são: a). Quadr ado. de. médi as. ponder adas. de. Ya t. es. que, incorporado pelo SAS. rornece as Somas de Quadrados do ti po I I I. e. testa hi póteses sobr e. linhas CIEMMA. 1991,. médi as não ponder adas de. médias não ponderadas).. ser descritos pela notação RC ) ou IEMMA, 1991) pela rorma:. Todos podendo. de Searle Cver SEARLE. 1971. RCatl-l,f~,Y);. b) Tamanhos proporcionais de caselas de Yates que. incorporado pelo SAS, rornece as Somas de Quadrados do ti po I. e testa hi póteses sobr e. médi as ponder adas de 1 i nhas. CIEMMA. 1991. médias ponderadas). ou RCall-l) de Searle~ c). Ajustamento. de. constantes. de. Yates. que.. incorporado pelo SAS. rornece as Somas de Quadrados do tipo.

(15) 4. II. e. "les"la. hi póLeses. sobr e. médi as. ajus"ladas para colunas (IEMMA. R(CilIJ-l.{3). de. Searle;. o. qual. ponder adas. 1 i nhas. médias ponderadas).. 1991.. se. de. uLiliza. de. ou. parameLrização. sucessiva; d). O. quarLo. mét.odo. não. é. de. i n"leresse. ao. Lrabalho. pois não es"lá incorporado ao PROC GLM. YATES (1934). alerLou que os. méLodos. dilerem. de acordo com a suposição de exis"lência de inLeração. ainda que.. se suposiç5es são IeiLas.. cons"lanLes. Iornece. est.i maLi vas. elicienLes.. Caso conLrário,. esLimat.ivas elicient.es. ponderadas. IaLorial. 2. k. e o. as. o mé"lodo de ajusLe de tes"les. e. médias das caselas Iornecem. mét.odo dos quadrados de médias. a análise pode ser O auLor. análise com um IaLor,. a. hipóLeses. de. elicien"les "les"les de signilicãncia.. ou sem inLeração.. IeiLa de Iorma simples.. considerou que, soma. No caso do. quadrados. quadrados (g.l.). do. do. modelo.. de quadrados. modelo. Not.ou.. dividida. LoLal. Iorneceu uma es"lima"liva. que. ainda.. pelos. com. no resulLado da ajus"lada. pode ser decompos"la em soma de quad,- ados do r esí duo e de. Disse. graus. a. de. elicienLe da. soma. soma. de. liberdade. variãncia das. observaç5es individuais. quando a hipóLese de não dilerença en"lre. os. eleiLos. principais. Ioi. verdadeira.. Deixou. claro. que,. usando-se "boas" es"lima"livas "ler-se-iam "bons" LesLes.. Uma. visão. para. a. exLremamenLe. época. descrever. em. "como". que os. lúcida. Ioi. do. escri"lo.. cálculos. arLigo. Ioi. deveriam. a ser. principalmente preocupação. em. realizados. e..

(16) 5. t.ambém,. "o que" se est.ava calculando. YATES (1933) desenvolveu explicit.ament.e o que. ~l~. para. pr~t.~ndia. dist.inguiu,. o. êrêit.o. preferido se o. 111.. médias. da. caselas.. Ela. clarament.e. o modelo adit.ivo (sem int.eração) e. o modelo superparamet.rizado. o. dê. Porém.. esperou-se. modelo é. para mais. Declarou ser o. se 40. adit.ivo,. provar anos,. essa. caso. mét.odo t.ipo 11 cont.rário,. a:firmação. de. BURDICK. coment.am. t.ipo. Yat.es, HERR. &. (1980) . Segundo HERR (1986),. no mesmo volume da JASA. (Journal o:f t.he American St.at.ist.ical Associat.ion). Snedecor (1934). suger i u de. através (1936). um. out.r o. modo. tesi:..e. de. resumiram. os. par a 2. .:t .. méi:..odos.. se. Mais. contor nar i:.. ar de.. o. pr obl ema.. Snedecor. apresentados. &. Cox. aquele. at.é. momeni:..o, para dados desbalanceados. KRAMER. (1955). ponderou. di:ficuldade resul t.ava em se det.erminar quadrado. para. identi:ficar. os. e:feitos. do. que a. corret.a. soma da. Ele. preferiu. modelo.. "o que" esi:..ava sendo calculado.. não "como" calcular.. pri ncipal. a. ou t.esi:..ado.. e. Ressalt.ou que a soma de quadrados do. t.ipo 11 é ót.ima se a suposição de não int.eração :for feit.a. caso cont.rário. deu pre:ferência a do t.ipo 111,. concordando. SNEDECOR,. O. W., "The Met hod of Expected Number for Tables with Disproportionate subClassification Multiple of of The Americam sta.tistica.l Numbers". Journa.l classes Associa.tion. 25>, 385>-5>3. :15>34.. SNEDECOR,. O. W.. Se. COX,. O., "Disproportionate subcla.ss Numbers. in Ta.bles of Multiple cta.ssificalion". 1:0""0. stat.e A9ricu~ ture Experiment sta.tion Research Butletin :180. 15>35..

(17) 6. com YATES (1934).. Sua visão loi que a soma de quadrados do. tipo 111 era mais lácil de se calcular, mas não era tão boa se o modelo losse aditivo.. Trabalhando com um exemplo com. dois. método. f'atores,. relembrou. o. de. quadrados. de. médias. ponderadas de YATES (1934) e notou que o número desigual de elementos. em. cada. subcl asse. implica. em. lalta. de. ortogonalidade entre os eleit.os principais e as int.erações.. DI TCHBURNE experimento lator. é. com. dois. testado em. (1955),. latores,. todos. os. trabalhando. alirmou. ni vei s. número de observações nas caselas é verilica-se que. que,. do. com. quando. outro. um cada. lalor.. e. o. igualou proporcional,. as esti mati vas dos eleí tos de cada lator. são Iacilmente obtidas. a análise de variância dos dados é simples. e. a. diliculdades,. interpretação pois os. dados. dos. resultados. são ortogonais.. é. livre. Porém.. se. de há. desbalanceamento, ou se todos os níveis de um lator não são testados para todos níveis do outro (de maneira que algumas caselas são vazias).. os dados. podem ser. não-ortogonais.. e. um método de análise deve ser encontrado para satislazer o delineamento do experimento particular.. Porém, seu trabalho. tratou de uma f'orma muito especílica o. problema de casela. vazia. através de tabelas triangulares. SCHEFFÉ análise,. (1959). propôs. que. se. lizesse. desconsiderando que as caselas são vazias,. a. ou que. os eleitos principais não são estimáveis. ELSTON & BUSH (1964) lembraram que. quando se.

(18) 7. t..est..am. hi pót..eses. sobre. parâmeLros. de. um. modelo.. cert..as. somas de quadrados são calculadas e servem de base para a análise de variância.. Disseram ainda que. se int..erações são. assumidas no modelo, as somas de quadrados apropriadas para t..est..ar os efeit..os principais dependem de como esses efeit..os são definidos. hipót..eses. Procuraram deixar claro a respeit..o do que as. sobre. efeit..os. principais. podiam. t..est..ar.. e. ilust..raram um mét..odo convenient..e para se obt..er as somas de quadrados. cor r espondent..es,. ocorriam caselas vazias.. especialment..e. para. casos. onde. Enfat..izaram que, em experiment..ação. biológica. ist..o era freqUent..e.. Além disso, coment..aram que o. caso de caselas vazias não t..em sido adequadamente discut..ido na lit..erat..ura e forneceram est..ímulos para que programadores de. pacot.es. dados.. const..ruam. mét..odos. O método se resume em:. matr i ci aI. dado por. observações.. A é. EC Y) =At;,. uma. o. matriz. sendo. que. el ement..os. f..I cc i. cc. para. anál i se. de. modelo básico em not..ação. onde y. é. um vet..or. col una. C é. deI i neament..o e. coluna de parâmet..ros da forma,. c' = (. cor r et..os. de. um vet..or. para o exemplo.. 2. A é. uma. são. "uns. mat..ri z OI. e. colunas de A como ECY). quadrada. "zer os" .. =. de. ordem. Rearanjando. =. AC. onde os vet..ores colunas em A. doze os. =A(1. 1. cujos. vet..ores +AY. 2"2. são escolhidos para serem. 1. qualquer conjunto de vet..ores independent..es ocorrendo em A formando. uma. base. para. t..odos. Assim, pode-se escolher A. 1. e A. 2. os. vet..ores. col unas. de maneira que:. de. A..

(19) 8 ( , =C f.1. 1.. hipó~ese. a. Ho:. =. C(. ri. 1. ri. 2). f3 1. f3 2. C(. 1.. ~es~ada. is~o. 0,. é,. suf'iciente. para. 0,. En~ão. hipótese. partição de. a. condi ção. é. C. ~estabilidade. a. onde a. C. onde os vetores linhas de C são. e. independentes.. a. [~1.1 =. [C1.iC2). mu~uamen~e. que. e. pode ser escrita por:. corresponde àquela de (.. contando. ri. 9 r 21. r 22 r 29). e ( ; =C °2 f3 9. é. 2. testável. =. necessár i a. C C A' A ) 1.. 1.. a. soma. 1.. e. -1. A' A 1. 2. de. e. quadrados. apropriada é Ao. ('. 1.. C'. 1.. [C 1.. CA'A). -1.. -1.. A. C,) 1.. 1.1.. C. onde (. ( , 1.1.. 1.. =. ELSTON & BUSH C 1 964) exceto o. que todos os ef'eitos. Em detalhe, com a. e. 1.. uti 1 i zar am o. erro,. respectivamen~e,. b niveis,. maior. nesse modelo.. sempre é. cada. com. Ca-1). sej a. conexo. f'ator,. deI i neamento pode. 1.1.. modelo em. são assumidos. f'oram considerados apenas dois f'atores,. classif'icação. teste. CA'A )A' y.. não. é. ser. exatamente possi vel. de. e. f'ixos. A e. B,. mas o principio para uma o. mesmo.. Comentaram. desenvol ver. Cb-1). g. 1. ,. C I EMMA,. 1991 ,. interesse. um teste para. contanto p. 62) .. prático.. que. O. que. o. Porém,. o. teste. para. interação sem casela vazia pode ser f'eito sem dif'iculdades com Ca-1)Cb-1) interação. g.1... deve. obviamente,. não. Porém,. ser. ~estada. testa. todas. se com as. t. há. concei to. hipóteses. de. f'unções. tes~áveis,. interações,. esti mávei s.. ou seja,. vazias.. Ca-1)Cb-1)-t. aquelas que envolvam médias est.imáveis. o. caselas. g.1.. mas. a. e.. somente. Utilizaram. também,. reI aci onando-o. com. as. uma hipótese só é testável se. sua f'unção linear paramétrica correspondente f'or. estimável.

(20) 9. (ver IEMMA. 1987 e 1991). as da. hipó~eses. ~es~áveis.. de. análise. com. ~rabalharam. dados:. o. ~es~adas. "novo". ~oram. KUTNER. HOCKI NG &. pesqui sador es •. (1964).. médias de caselas.. começar am. Den~.e. ( 1 974) •. HACKNEY. HENDERSON (1981). en~re. o. au~ores. dos. ~.a~amen~o. Todas. hipó~eses. as. a. u~i. do. I i zar. ~r. o. abal ho. de. modelo. de. URQUHART. WEEKS & HENDERSON. eles. SPEED. ( 1 978).. depoi s. HOCKI NG. &. FRANE. ( 1 976) •. ( 1 980).. SEARLE.. JENNI NGS & WARD (1982). e. SPEED. SPEED. &. I EMMA (1991).. ou~ros.. comum. É. notar. que. HOCKING & SPEED (1976) para a de caselas, embora o. ~rabalho. de proporcionar. ~or~e. uma. Na a. essas.. escolha. ar~igos. ci~am. de ELSTON & BUSH (1964).além. con~ribuição. para a. u~ilização. lit.era~ura. exis~em. do. modelo. de. modelo. per mi ~e. desse modelo.. algumas. médias. de. solução do. jus~ifica~ivas. caselas.. Den~re. des~acam-se:. " ... o origens. muit.os. escolha do modelo de médias. problema. é um dos pioneiros na. para. para. do quadro. por esse modelo.. descri~as. BUSH. &. ( 1 973) •. modelo. geral para. os. ar~igo.. modelo de médias de caselas.. Mui ~os ELSTON. Nesse. ~o.ma. e~ei~os. sobre cada um dos. variância. um. uma. Apresen~aram. da. en~endimen~o. confusão. das. mi ni mi za. a. principalmen~e.. hipó~eses. em. função. mui ~as. cons~rução. dos. das e. pa.âme~.os. o do. modelo." (SPEED. HOCKING & HACKNEY. 1978). " ... o. modelo de médi as. de. caseI as. é. o. mai s.

(21) 10. adequado. para. de. ~lexibilidade. con'lex'lo. especiricar.. do. parâme~ros. modelo. runção linear. de. pesquisador as. das médias. médias. ~êm. as. rornecem boas. ao. precisamen~e.. e. das médias. dá. ~ermos. em. experimen~al,. corresponden~es. pois. si~uação.. relevan~es,. paramé'lricas Os. essa. pode. ser. ~unções. de caselas.. clara. relação. Assim.. es'limada.". no. amost.rais. médias. es~ima'livas.. a. qualquer. CURQUHART &. WEEKS, 1978).. ... os modelos de médias apresen'lam,. a van'lagem de descrever. hipó~eses. com grande simplicidade.. em relação aos modelos superparamelrizados. SPEED.. HOCKI NG. modelo de médias ou modelo-Mo. &. HACKNEY. li. CIEMMA. 1991).. C1978). deri nem. o. como o modelo linear. =. WJ.l + e. uma ma'lriz conhecida.. é. y. ainda •. onde n. W. k. é. populações das quais são reliradas. um velor as. um. velor. de. médi as. amos~ras. variáveis. alea~órias. não. das. alea~órias. de observações e. que compõem as caselas, é. de. observáveis. n. e. j.. com. es'lru'lura de Gauss-Markov.. o vol'la. de. concei 'lo de Mí ni mos Quadr ados. 1800,. na. e. o. por. obler. melhores. Começou alravés. de Gauss.. in'leresse con'linua a'lé o. presenle.. 'len~a'liva. es'lima'li vas para os parâme'lros. ao redor de 1796.. emer gi u. de. se. passando por Fisher. que inlroduziu esse. concei~o. de variância. nome propos'lo lambém por ele.. à. análise.

(22) 11 Segundo OVERALL & SPIEGEL C1969). o minimos quadrados. delineamen~os. produz. quando aplicado a. resul~ados. idên~icos.. análise de regressão. complexos.. como. ~o~almen~e. os. sério,. o. ~azem. pois. variância. do esperado.. mínimos. disponíveis e realizam que. o. mé~odo. ci~ação:. di~eren~es. desse. da. para. real. análise. es~ão. ~ipos. não. a. e de. ~acilmen~e. de análises.. é. são. con~ex~o.. "O problema é. quadrados.. geralmen~e.. usado.. mé~odo. resul~ados. Den~ro. compu~ador.. de. variância. de. os. desbalanceamen~o.. programas de. análise. em. se aplicado em problemas mais. seguin~e. a. balanceados. quando comparado ao. Porém.. di~eren~es. au~ores. uma. experimen~ais.. dados. de. mé~odo. compreendido. sendo pelo. usuário". Na concl usão do ar ~i go de OVERALL & SPI EGEL C1969) é. in~ormá~ica. mé~odo. dos. a. en~a~izada. pode. grande. proporcionar.. mais adequado e.. que o. con~ribuição. :facili~ando. conseqUen~emen~e.. na. na. avanço da escolha. do. in~erpre~ação. resul~ados.. Nesse métodos. de. con~e~o.. mínimos. os autores apresentaram três. quadrados. para. a. análise. de. dados. expei-imen~ais:. o mé~odo. do. mé~odo. modelo. de mínimos quadrados completos ou. linear. 1969); que corresponde ao o CSNEDECOR & COCHRAN.. ger aI mé~odo. método 1967);.. do. CGRABI LL.. 1961 ;.. SHEFFÉ,. Ca) de YATES C1934). delineamento. experimen~al. que corresponde ao método Cc).

(23) 12. de YATES C1 934). e o método da ordenação lia priori" CCohen. 1968); que correponde ao método Cb) de YATES C1934). Segundo IEMMA C1991). em. 1976. esses. literatura C1969).. três. como. Embora. métodos.. sendo YATES. proposto anteriormente.. e. PROC GLM incorporou. estão. e. propostos C1934). o. por. consagrados. & SPIEGEL. OVERALL. Henderson. na. C1953). tivessem. Uma boa comparação entl-e os métodos. pode ser vista, também. em IEMMA C1991). Durante a década de 70. trabalhos sobre ensaios devido. com dados desbalanceados.. ~atoriais. considerável. à. publicaram-se vários. con~usão. na. análise. de. tais. experimentos.. Depois da entrada dos computadores, houve uma. redescoberta. dos. artigos. de. ocorreu sem polêmica CHERR.. YATES. C1933-34),. 1986).. o. Dentre eles. que. não. podem ser. vistos: URQUHART. WEEKS & HENDERSON C1973) relato. histórico. lineares.. a. respeito. da. utilização. ~izeram. de. modelos. com a análise de conjuntos complexos de dados.. motivo principal para realização do di~iculdade. trabalho. um. veio. com. O a. em se analisare interpretar conjuntos de dados. desbalanceados com grande número de caselas vazias. De. C1973). COHEN.J.. acordo. com. URQUHART.. WEEKS. &. HENDERSON. modelos lineares têm sido usados para descrever as Mutti..pte. System. HENDERSON,. Regressi..on. psychotogi..cat C. R.,. Componen t s.. .. E s. t i. ma l i o n. B i omet r i.. cs,. as. o.. Buttetin,. 9:. of. Generat 70, Var. 226-52.. Dato. -. 426-49,. i ance 1953.. and. anatyti.c. 1969. Covariance.

(24) 13 característ.icas assim. ereit.o. de. int.eresse. substancial. do. na. experimento.. própria. exercendo.. análise.. Alguns. modelos t.êm sido superparamet.rizados. no sentido que cont.êm mais. parâmet.ros. experiment.al. est.i mações.. que. necessi t.am. Assim.. o. i déi a. A. para. descrever. experiment.o. de. não. esti mabi I i dade. modelo de post.o complet.o. ut.ilizar solução. o. mét.odo de mínimos. para. rest.rit.o. rat.ori aI. Relataram.. o. vet.or. quant.o 2x3. Coment.aram. e. ainda. delineament.o. para um. o. Rao. essas. C 1 945). roi. conjuntament.e com o. ainda.. quadrados. de parâmet.ros.. cont.exto. suport.ará. de. int.roduzida para evit.ar esse problema.. o. o. para se obt.er. t.ant.o. irrest.ri to.. porquê de se. para. Dois. o. uma. modelo. exemplos.. um. 3x3. ilust.ram os conceit.os descritos.. que. com. um. "a. experiment.al.. experimental int.eressant.e.. modelo. já. escolhido. seleção. de. descrit.o por. baseadas em um vet.or de médias.. um. para. o. conjunt.o. runções lineares.. conduz a um grande problema. para o est.at.íst.ico e para o pesquisador." FRANCIS (1973) alguns. programas. variância.. que. ent.re. at.ravés de um. teceu. rornecem. eles.. exemplo. o. de. o. consideração sobre. quadro. Essa. SAS.. um. uma. ensaio. encontrada. int.eração.. RAO,. C. R.. Generat 1.. 94.!5.. o. uma que. soma rez. de. rat.orial. quadrados. aument.ar. lhe Linear On Theory of Least. a. análise. comparação. rat.ores. na presença de desbalanceament.o. roi. da. é. dois. exemplo.. negat.i va. discussão. reit.a. com. Nesse. para. e. 7(1):. 237-!56,. a. cert.as. Conbination of Observalions and Squares. Sa.nkhyn,. de.

(25) 14 indagações,. como:. publicadas.. usando. f'al sos?".. ou:. "Quant-as. análises. cálculos. "Nenhuma. são. realizadas. comput-acionais. document-ação. para. e. t-ot-alment-e. a. análise. de. variância. nem mesmo mensagens escrit-as. sugerem a causa do problema?".. O pesquisador ressalt-a que um programa sem uma. document-ação. adequada. pode. ser. per i goso.. aI ém do. que.. o. usuário pode se enganar. Na FRANCIS. (1973). t-ent-at-iva ut-ilizou. de. t-rês. esclarecer. programas.. Porém.. BMDX64 esclareceu. at-ravés de seu manual. para as somas de quadrados são obt-idas. um est-at-íst-ico ou at-é mesmo result-ados pr ogr ama.. e.. qualquer. conseqUent-ement-e.. Considerou. não-ort-ogonalidade. que. ent-re. o os. ef'eit-os.. o. possibilit.ando que. um. do. apenas. como os cálculos. usuário.. f'aça. erro. problema.. o. decif're. melhor. SAS. é. Assim,. os. uso. do. devido. à. soma. de. a. quadrados da int-eração não pode ser obt-ida por subt-ração. De acordo com KUTNER (1974),. uma. análise. de. dados. balanceados. os result-ados de. são.. f'reqUent-ement-e.. resumidos por um quadro de análise de variância.. Cada soma. de quadrados da análise de variância est-á associada a hip6t-ese part-icular bem conhecidas e est-á. t-est-ando.. do modelo linear.. Essas. não causam conf'usão a Porém.. as. hipót-eses. uma. hip6t-eses são. respeit-o do que se para. a. análise. de. variância com dados desbalanceados não são t-ão simples e. port-ant.o. t-est-ando.. est-at-í st-i cos. se. conf'undem. sobr e. o. que. se. est-á. Inclusive. o t-est-e pode não ser de seu int-eresse..

(26) 16 Algo. mui "lo. semelhan"le. foi. di "lo. por. DITCHBURNE. (1966).. ELSTON & BUSH (1964) e IEMMA (1991). Um ensaio fa"lorial Doença) foi (1974).. com dois fa"lores CDroga x. desenvol vi do par a i I ust.r ar as i déi as de KUTNER. U"lilizou. o. modelo. de. médias. Apresen"lou as hipó"leses adequadas a. de. pos"lo. cada caso,. comple"lo.. e. forneceu.. em duas "labelas, as somas de quadrados corresponden"les. não. esclareceu.. ma"lricialmen"le Apenas. as. forneceu. quadrados. expl i ci "lament.e,. de. hipó"leses. a. fórmula. maneira. que. como. es"lão. para. o. o. ma"lricial.. cons"lruir. sendo. cáculo. "les"ladas.. das. "les"le. Mas. somas. de. de. hipó"leses. assumindo o modelo-M e a soma de quadrados para "les"lar Ho: onde H'. é. uma ma"lriz Cs x ab). pos"lo linha. complelo,. s. =. H' f.1. h. de cons"lan"les conhecidas de. Cs<ab),. e. h. é. um ve"lor. Cs. x. 1). de cons"lan"les conhecidas, é da dada pela expressão. =. SQHo e. =. /-l. Em. relação SQHo/ a de. CH'f.1. I i ber dade.. 2. reI ação. "lem dis"lribuição de X. O quadr ado. es"lima"liva não-viesada de a CSQHo/s) /QMres Ver SEARLE C1971 , p. SPEED somas. de. hi pó"lese. à.. quadrados. médi o 2. e a. do. 2. les"lada,. Ho,. cen"lral com s. r esí duo. a. graus. CQMres). é. uma. es"la"lís"lica. lem di st.r i bui ção. FC s,. LLC n, ,-1)) I..J. 112) para maiores de"lalhes. &. HOCKI NG dadas. C 1 976). pelas. menci onar am. "labelas. de. que. as. análise. de. variância podem ser escri"las de forma mais simples, a"lravés da no"lação RC. ),. vis"lo que essa. no"lação pode ser. aplicada.

(27) 16 em dois modelos CSEARLE. 1974) .. linea~es. 1971).. Mos~~a~am. equivalen~es.. p~ovável. hipóteses. pos~o. da. comple~o. es~imáveis.. supe~pa~ame~~izado,. não são. de. são. Sea~le. iden~iricação. e. a. das. comen~a~am. de. que a. quad~ados. con~~as~es po~. essa. usada vez. de. pa~a. ericien~e. RC ). a. se. pa~a. das. condições. não. suge~idas. àquelas. se é. com. ~~abalha. po~. hipó~eses. que essas. dados. de pequeno auxí 1 i o. SPEED. &. é limi ~ada. HOCKING pa~a. a notação RC. essa de~er-. não. é as. ~odos. of. S. R. , "Using. Squares. Spri.ng. .... hen. Regional. lhe R(. deve. um. Mas.. Meeti.ngs of. ENAR.. Ames.. somas. Presented at lo .... a.. 1.972.. se~. uma. algo~i~mo. > Nolalion for Reduction in Sums. Fi. t t ing Linear Models.. os. desc~i~os. ~es~adas.. no~ação. mi na~. se~em ). somas. quad~ados.. SEARLE,. na. (1976).. gel-a~. nem. ou seja. quais as hipóteses. hipó~ese.. é. que as somas de. são possíveis de. Po~~an~o.. desc~eve~. decidida. ). na análise de dados.. no~ação.. En~ão.. hipó~eses.. con~ex~o.. in~e~esse. hipó~ese. em modelos de. de. adve~~ia. RC. são. == O • no modelo. quando. no~ação. no~ação. ). obse~va-se. idên~icas. dire~en~es. Nesse. RC. =. (1972) já. TIMM,. in~e~p~e~ações. nas. no~ação. a. ~.. simples,. ro~ma. desbal anceados ,. =. a.. va~iância.. imposição. pela. ~ipo. do. YATES (1934).. u~iliza. ~epa~ame~~izado,. ob~idas. quad~ados. não indica a. de. e~~os. de. incomple~o. no~ações. duas. no~ação. análise. oco~~ência. Quando se. a. as. pos~o. CCARLSON &. comple~o. onde. ~ambém. quad~o. a. pos~o. Inrelizmen~e,. no. ~estada. de. ou~~o. um de. dis~in~os.. t he. de.

(28) 17. URQUHART &. WEEKS C 1978). deno"l ar am por. dados. "messy" aqueles com classificação cruzada e desigual número de. repe"lições.. conlendo.. lalvez.. &. HOCKING. SPEED. pesquisa. afirmaram:. ". lão. conslruir. fáceis. de. se. inlerprelar ... ". fazer. conhecimen"los mui los. Segundo. os. primeiro. dados. lampouco.. quando. se. "messy".. criaram. resullados. Nesse. HERR. pesquisador foi. maiores. delalhes.. a. Fi sher •. se. em. assim.. pl~oblema. em. que. de. o. dados. uma. sol ução. a. aplicação. descreveu. em. mui "la. comenlou. propondo. 1926.. em 1931.. Já. com. oplou. se. diferenles.. e.. (1986). deparar. de. balanceados.. mé"lodos. dis'linlos. con"lexlo.. "messy". sua. baseada. já s6lidos da análise de dados. proporcionando. em. (1978).. nem. e.. au"lores.. para. pesquisadores. confusão.. HACKNEY. as hipóleses de inleresse não são. análise. a. vazias.. caselas. sem do. mé"lodo de minimos quadrados para o problema da análise com dados desbalanceados e com dois Ia"lores. SPEED. vários. mélodos. propos"los. assoei ação desses época.. HOCKING. mé"lodos. Concluiram.. na com. por"lanlo.. HACKNEY. &. lileralura os que. seleção de qual mélodo u"lilizar é Para descrever de. médias. de. e. o. fizeram. eslalf sli cos. cri"lério. para a. 'lrabalho. comparação. nalural. empregaram o "lambém. brevemen"le. sobre o problema de caselas vazias. nove hip6"leses. uma da de. a hip6"lese a ser leslada.. comparar os mé'lodos. caseI as.. e. paco"les o. examinaram. (1978). enl!~e. os. modelo. discule. Propuseram. mélodos.. Nessa.

(29) 18. apresenl.ação. pode-se alguma. coment.aram. realizar. análises. rest.rição. ou. que. at.ravés. com. caselas. observando-se. a. de. alguns. deles. vazias.. impondo-se. posição. da. casela. vazia. A. tabela. contendo. as. nove. hipóteses. roi. descrit.a da seguinte rorma: Tabela 1 - Hipóteses no modelo linear com dois ratores. EFEITOS LINHAS. ~ ~n.tJ. n t . ' ..1' f.1;c , t'J. .1' .. In •. j. COLUNAS f.1. H6:. j. =:. f.1. j ,. tni.. jf.1i.. j/n.. =. tni. j. ,f.1 i j. ,In.. j'. Ha: INTERACÃO f.1. . lo. J. =. -. BURDICK (1979). analisou t.rês. O. hipót.eses dadas. em um modelo com dois ratores de ereitos ri xos , e descreveu as. si t.uações. onde tai s. hipóteses são as. hí póteses. são. equí vaI entes.. mesmas rornecidas pelo PROC GLM.. Essas Provou,.

(30) 19 a~ravés. a. geomé~rica.. de exposição. hip6~ese. do. equivalen~es.. mesma.. ~ipo. 111 do PROC GLM.. ~ipo. do. I. linhas. independen~e. das caselas é. e.. a. quando o. ~ambém,. das colunas.. e. di~as. para linhas. são. se a média harmônica para cada coluna for. no caso de apenas duas. ~amanho. hip6~ese. que a. no caso de. mais de duas linhas.. & MONLEZUN. SPEED análise. de. um. fa~orial. ensaio. desbalanceados.. seja. ponderadas.. porque não. pode ser dados no ~êm. Is~o. sen~i. ~an~o. para os. fa~o.. A~ravés. de um exemplo,. não ponderadas com o que a. já havia. escol ha. mé~odo. de qual. se. de. médias. e de. exa~os.. médi os do numer ador. com 1. grau. quan~o fei~o. de. liberdade.. para o. efei~o. referências a mé~odo. es~á. nas. da. esse. de médias. de mínimos quadrados, i zar. não. ma~riz. ~es~es. a. dados. para análise. fei~os. comparou o. u~i 1. que. com. inversão de. quadr ados. principais. YATES (1934). in~eração.. k. proporciona. de Qui-Quadrado. efei~os. 2. mé~odo. paco~es. os. ~odos. propuseram. ~ipo. necessi~a. Além disso.. do de que. di~ribuição. do. pelo. fei~a. realizado usando. balanceados.. (1979). mos~rando. hi p6~eses. de. in~eresse.. Um li~era~ura.. vazi a.. é. que. vi s~o. dos ~ra~a. em. primeiros. especificamen~e. FREUND. reconheceu que o problema anos.. mas pouco se. ainda. que os. ~em. paco~es. ar~igos. (1980) .. ~em. fei~o. sido. encon~rados. na. do problema de casela Nesse. rela~ado. o. au~or. duran~e. mui~os. ar~i. go. para solucioná-lo.. Comen~ou.. disponíveis para dados desbalanceados.

(31) 20. :fornecem. respost-as. vazias.. Porém,. sat-is:fat-óri as. quando. não-est-imáveis CSEARLE. obt-idas. por. rest-rições. t-ais ou. as. para. médias. 1971),. programas. suposições.. as. o. caso. dessas. de. caseI as. est-imat-ivas. result-am. Al ém. da. disso,. caselas são. especí:ficas. imposição. os. pacot-es. de não. in:formam quais são essas suposições, embora possam :fornecer mensagens. de que os. resul t-ados. não. são.. necessariament-e,. corret-os ou únicos. Segundo. FREUND. (1980),. o. PROC. GLM. usa. a. met-odologia das :funções est-imáveis. para veri:ficar as bases para. as. est-imat-ivas. est-imáveis é. mais di:fícil. além de :fornecer. o. obt-idas.. de se ut-ilizar.. uma est-imat-iva. especí:fica em relação a. mét-odo. out-ros. das. Por out-ro lado,. part-icular. de. parâmet-ros,. uma :função. possibilit-a. const-rução de t-est-es de hipót-eses baseados nos par amét-r i cos e PROC. GLM. t-enha. ent-ret-ant-o, possíveis. ai nda a:f i r mou: a. solução. :fornece. a. cont-rast-es. .. Não há pr et-ensão de que o. "corret-a". in:formações. est-i mat-i vas. :funções. para. sobre. t-ais a. port-ant-o.. e.. sit-uações.. nat-ureza permit-e. das aos. pesquisadores decidirem se os result-ados t-êm algum sent-ido prát-ico.". o. objet-ivo. at-ravés de um exemplo. GLM. o:ferece,. e. reparamet-rização.. os. de. FREUND. t-ipos. compará-los. (1980). :foi. most-rar.. de result-ados que o. com. um. programa. que. PROC usa. Para t-ant-o, dois mét-odos para obt-enção de. solução dos parâmet-ros :foram descrit-os:. a. reparamet-rização.

(32) 21. e o uso de funções. es~imáveis.. Nesse. com dados desbalanceados que. as. podem. vas. es~i ma~i. con~er. consi derou-se. con~ex~o.. e. é. os. mais. complicada. sobre. ~es~es. de. con~ribuições. que. a. anál i se. pelo. aI guns. :fa~o. parâme~ros. como pode ser. ou~ros.. de. vis~o. em SPEED. HOCKING & HACKNEY (1978). FREUND (1980) quadro funções sobre. as. caseI as. ~ra~ar. é aquela que. nas funções. es~imáveis. ar~igo.. as. duas.. das. comen~ou. quando. do. mesmo.. es~a~ls~ico. variância. usuários. o. que.. veio. O. há. exemplos.. quando. na. mui~os. vazias.. preferência. se. ~odas. deixado a. ao. somas. do. melhor. maioria dos de. quadrados. paramé~rico. problema.. vazias.. caso. a). ~es~adas.. ~es~e. usuário. na. desejado.. são. :fei~os. quais são as hipóteses "eficazes". caselas no. mos~rada. quadros de análise de. das. con~ribuicão. recomendações: dá-se. ~em. o. A mais. para escreverem o. preocupação. escolha. Discu~e-se. ocorrem. mos~raram. baseando-se. hipó~eses.. que. Comen~am. por sua vez.. uma. (1980). es~lmulo. da. apropriadas para se proceder ao dar. as. cons~rói. pode gerar. confusos.. ~en~ar. COLEMAN. o problema de casela vazia.. do GLM.. provavelmen~e.. n~rodução. ~rês. 111 e IV) e. en~re. &. SPEED. convenien~e. Para. com duas. vazias.. duas formas de se. paco~e. hou apenas. (~ipo. exis~en~es. HOCKING.. i. do GLM. es~imáveis. diferenças. ~r abal. de às. as caselas. :fazendo-se. experimento mesmas. ~êm. sem. hipó~eses. algumas caseI as que. a mesma freqUência;. são b) se.

(33) 22 há. casela. 1'unções. vazia.. escolhem-se. paramétricas. de. as. hipóteses. interesse. do. através. das. pesquisador;. um. algoritmo é providenciado para encontrar tais funções. BRYCE (1980). o. trabalho. escol ha. de. do. SPEED.. modelo. de. superparametrizado. deve mostrar. assim como IEMMA (1991). citou. HOCKING. &. médi as •. dei xando. Comentou.. ao pesquisador. HACKNEY. também.. (1978). de. I ado. que. como testar. o. para o. modelo. estatístico. hipóteses.. Mas. responsabilidade da escolha de quais as hipóteses a testadas.. deve. ser. do. pesquisador.. discussão. sobre. contrastes. Forneceu. "constraints". a. a. serem. uma. CSEARLE.. boa 1971.. p.209). FRANE (1980) discutiu casos particulares onde o. pacote. relação. estatístico a. dados. BMD?. "messy".. 1'ornece Um. exemplo. ilustração.. Comentou-se. ainda.. programa a. tratar. a. análise. análises 1'oi. com dados. fatorial. com. efeitos. usuais (para dados balanceados). o. para. O exemplo 1'oi. 1'ixos).. As. caseI a. subhipóteses. com a. vazia.. essas. de um. para cada efeito do modelo. e. No caso. denotadas. hipóteses.. 1'icam restritas a. hipótese do tipo 111. a. hipóteses. 1'oram descritas pelo modelo de médias de caselas. de. em. primeiro. desbalanceados.. por volta de 1960.. (modelo. criado. que o BMD10V foi. uma forma conveniente. 2x3. coerentes. por. algumas caselas (parecidas a. hipótese. do. tipo. IV.. do. ?ROC GLM). GOODNIGHT. (1978). usou. o. conceito. de.

(34) 23. estimabilidade. modelos lineares nos ensaios sem recorrer estimáveis tipos I,. às suposições. são. testes. const~uir. pa~a. def'inidas. 11 e 111) e. de. em. com ef'eitos f'ixos.. f'at.o~iais. usuais.. hipóteses. Três. tipos. (equivalentes. de. àquelas. f'unções do. comenta-se que exist.em várias.. SAS.. dentre. elas. uma quarta para o caso de caselas vazias (tipo IV). (1980). SEARLE pesquisado~es. a.. Port.ant.o.. que. sem. obte~. a. estatíst.ica. f'ormular. ant.es. da. F. análise. t.ent.a~. ainda. como. ent.ender. o. f'unções. as. que. se. est.á. dadas. GLM. derivam das hipót.eses t.est.adas pelo modo Em sua explanação. e. também. as. desc~eveu. o. F e.. Mostrou. t.est.ando.. est.imáveis.. de. t.est.adas.. hipót.eses. as. colocam-se na posição de primeiro calcular. então.. quadrados. muitos. t.rabalham com os pacot.es estat.ísticos de modo. p~imeiramente.. variância.. enf'atizou. PROC. pelo. t.~adicional.. est.imador não viesado de. 2 Cf. das hipót.eses t.est.áveis e das somas de. f'o~mas. Uma. co~respondent.es.. ~elação. ent.re. essas. descrições f'ornece a est.at.íst.ica F. que t.em dist.ribuição de Snedecor.. At.ravés dessa est.at.í st.i ca é. respeit.o da hipót.ese t.est.ada. com SEARLE (1980).. o. Só. concl ui r. cont.ext.o.. a. de acordo. procediment.o corret.o para se ef'et.uar. um t.est.e de hipót.ese est.á. hipólese.. Nesse. possí vel. inicialment.e.. deve-se. ent.ão.. na f'ormuIação da. t.eslá-Ia. pelo. uso. da. eslat.í st.i ca F. HEMMERLE dados. desbaIanceados. (1980). podem ser. considera t.rat.ados. sit.uações.. onde. pela subslit.uição.

(35) 24 de. dados. balanceados.. modelos lineares.. para. resolução. de. problemas. rees~ru~uração. Uma simples. em. de freqUências. nas caselas é aplicada. BURDICK hi pó~eses. mai s. comuns. no~ação. geomé~rica.. caselas.. Porém. com. apresen~adas. do SAS. providenciados:. o. in~erpre~aç5es. do. quando. de o. paramé~rico. hipó~ese. não. das. no. es~á. do. Já a maior. ~amanho. ~ipos. I. hipó~ese. do. ~ipo. o ~em. como. 111 ar~igo. obje~ivo. de quadrados. para. hipó~eses. concen~ra. e. vi s~o. uma. é. comple~o. e. para o. se. do. reduzido. do. mé~odo. ~es~e. a. é. ~o~al.. e há a. vos.. quando. ca~i. de comparação.. paramé~ricas. ~es~am. o. soma de quadrado. mé~odo. raramen~e. de SEARLE.. relacionar. como o. problema. a. nas. principais.. sej am si gl11 f i. as si m.. dados. de. que as. a soma de quadrado. quando. Mesmo. 11.. médias. desbalanceados. in~erpre~aç5es. das caselas.. e. o. desvan~agem. de que as. fa~o. que. post.o. possi bi 1 i dade de que efei ~os não o são.. de. para a análise são. hipó~eses. Como conseqUência.. "comple~a". a ~r a vés. de. que se. paramé~rico.. dados. não-or~ogonalidade.. da. modelo. mé~odos. comple~o.. com. col unas. no~a-se. compar ação.. é. as. apresen~aram. àquelas fornecidas pelo PROC GLM. modelo de. não. e. no. cuidado.. cer~o. paramé~ricas. en~re. es~e. baseando-se. mé~odo. modelo. comparação. 1 i nhas. I. 11 e 111). Dois. (~ipos. mé~odo. sobr e. idên~icas. são. (1980). HERR. &. as. dependem. hipó~eses. se. dos. recomenda. a. de dados desbalanceados. SPEED & HENDERSON (1981). mé~odos. para calcular as somas. desbal anceados.. Três. mé~odos. são.

(36) 25 avaliados.. Um. impõe. superparametrizado. envolve a II I. restrições. ~ornando-o. ponderadas.. O úl ti mo é Para se. mé~odo. o. u~ilizar. fa~or.. in~eração. caselas não serã. corresponden~e. 54) .. Uti I i zar am-se o. contornar. a. é. modelo de. si tuação.. estimabilidade. possivel. pois. algumas. para. desbalanceados.. Den~re. de restrições do. II. de médi as. do. necessãrio. en~re. os niveis. em modelos com hipó~ese. a. Cver IEMMA, 1991. médi as. de caseI as menos. p.. 14 e. par a. problemas. ~ipo. da. o. caso. os. qua~ro,. ~. CIEMMA.. ti po. IV. são. estatisticas F, para testar. de. interesse. pacotes. qua~ro. são representadas peI a. quadr ados. é. Por~an~o.. hipóteses. somas de quadrados do tipo 111. e. quadr ados. mé~odos.. apresenta. Analisaram-se. especialmente.. I. X'X CTipo. se com. Assim, com as técnicas de modelos lineares,. ~estar. pesquisador.. ~estãvel. Outro. ma~riz. es~imãveis. vazias.. modelo. comple~o.. Diferenças. por exemplo. não são e. dos. desses. se basear em funções estimãveis. de um. pos~o. de. inversa de parte da inversa da. do SAS).. no. estatisticos, com. anãlise. o. SAS.. 1991). do. dados. Comenta-se o. para o. uso. cãlcuIo das. Somas de quadrados do tipo notação RC. ger adas. como. hipó~eses. ),. e. a. soma de. numer ador es. de. especificas.. O artigo de JENNINGS & WARD C1982) é. o outro. trabalho pioneiro para o caso de caselas vazias. encontrado na. literatura.. caso. de. C1980),. Trata-se da. caselas eles. vazias.. provaram. identificação de. Com. que. base. mui -tas. no das. hipóteses. trabalho. de. dificuldades. no. FREUND em. se.

(37) 26 os. en~ender. problemas. es~ão. vazias.. no. quando. uso do. se. geralmen~e.. a:firmar. que.. mínimos. quadrados. caseI as. superparame~rizado.. model o. SMITH & MURRAY (1983). con~ex~o.. com. ~rabalha. ci~am. quando. se. Graybill :faz. a. pos~o. com um modelo de. Nes~e. (1976).. ao. es~imação. de. incomple~o. para. dados desbalanceados. há con:fusão. JENNING & WARD (1982). a FREUND (1980).. pelo PROC GLM do SAS. hip6~eses. de. são. quadrados. iden~i:ficar. buscaram. Porém.. cons~ruídas.. hip6~eses. esclareceram. ~es~adas. como. CAMARI NHA. FI LHO. reconheceu. que.. para o. de caselas proporcionais. as análises com. 11. são. iguai s.. há.. por~an~o.. doi s casos.. se. in~eração. a. di:ferença. Ai nda. en~re. HERR (1 986). de análises.. as. den~re. es~á. &. I EMMA. para a. eles.. ~rês. caso ~ipo. ~es~adas. que Snedecor u~ilização. :foram. de. de I. e. Não. presen~e.. hip6~eses. comen~ou. suges~ões. (1935) providenciaram. ~ais. pon~o.. HERR (1986). mé~odos. as. nem como são calculadas as somas. corresponden~es.. (1991) esclarecem esse. ~ama.nho. não. do exemplo de. par~ir. nesses &. Cox. cinco. incorporados. pelo SAS: a). Somas de Quadrados do Tipo I: em. sobre. aproximações e:fei~os. GRAYD:tLL, North. F.,. grosseiras.. onde. somen~e. in:formações. principais são desejadas;. "Theory. Sci.tuate,. and. Mass:. Appli.cati.on. Duxbury Press.. of. the. 1.976.. Li.near. Modelo.

(38) 27 b). para. exame. dos. e:feitos. classes desproporcionais é. principais.. onde. o. número. de. representativo de uma população. em que exista interação. - Somas de quadrados do Tipo 11: a). para os casos nos. quais. assume-se que a. interação não. existe e um resultado mais con:fiável é desejado; b). em. casos. onde. alguns. dados. são. perdidos. dentro. das. caseI as. - Somas de quadrados do Tipo l I ! : a) em tabel as 2xs. em que i nl.er ações são assumi das; b) em outras tabelas de classi:ficação dupla,. em que não se. desejam in:formações sobre a inl.eração. HERR C1986) ainda propõe que. Snedecor. :fosse. C1936). Cox. &. se o artigo de. mais. esclarecedor.. proporcionaria uma maior curiosidade sobre o assunto. o que levaria. a. mais. artigos. tentando. uma. sol ução. par a. o. problema.. o modi:ficado. uso. C MURRAY. interessante.. não. •. é. do. modelo. apropriado. médi as de caseI as convenci onal . entendimento. para. a. tanto para a. obtenção. hipóteses. de. das. Esse. caselas. de. seja. um. quanto. o. par ece. ser. modelo. modelo de. estimação de parâmetros.. somas. interesse.. médias. embora. 1986) •. tão. de. de. quadrados.. Sobretudo.. em. de. mai or quanto. associadas. às. relação. pesquisadores de ciências aplicadas. O modelo proposto por MURRAY (1986). trabalha.

(39) 28 com. par'lições. a solução. de. de. ma'lrizes.. forma. de. mínimos quadrados e. que. se. ob'lém. 'les'les de hipó'leses de. in'leresse. em relação aos parâmetros do ve'lor de médias caseI as.. =. y. de. Seja o modelo difinido como:. W/-l + e. onde G é. =. sujei 'lo a G/-l uma ma'lr i z. 0.. (I). de cons'lantes conheci das. 'lipicamen'le especificando con'lras'les. de. de pos'lo s.. não-in'leracão.. Se. não há casela vazia. W é de pos'lo comple'lo. caso con'lrário. W 'lem uma col una de. fica. da. mesma. ocupadas. caselas. "zer os". forma. O modelo vazias. e. como. G/-l=0. é. ob'lido. por. é. cada. caseI a. 'lodas. as. mais. ú'lil. vazi a.. caselas. do. /-l. fossem. que (I). sub'lração. e. se há. con'lras'le. por meio disso se reduz a. dimensão. Isso é fei'lo reordenando as colunas de G. assim.. =. i mpl i ca em. colunas. se. modificado. dire'lamen'le do modelo. do modelo.. par a. de. Agor a. /-lo 1.. W si mi I armen'le. a. G. e. r eor denando. subs'li 'luindo-se. as. em. 'lem-se o modelo modificado y. =. V/-l. +. 1.. e.. ". onde /-l. =. (V'V). -1.. V'y e. se V 'lem pos'lo coluna. comple'lo. en'lão os es'limadores de mínimos quadrados para /-l e /-l. 2. •. 1.. exi s'lem. MURRAY (1986) forneceu meios para se es'limar. caseI as. vazi as.. Criou. dois. um. exemplos.. casualizados. ou'lro para quadrado la'lino e dos modelos. conexo e. corre'la. hi pó'lese. vazias.. Caso. pode. desconexo. ser. con'lrário.. Se. ob'li da. HOCHING.. sugerem as hipó'leses "eficazes".. o. sem. para. observou o caso. modelo es'li mar. SPEED. &. blocos. é. conexo. as. COLEMAN. a. caseI as (1980).

(40) 29. IEMMA (1991) uma. análise. na. presença. discute o de. problema em se f'azer. desbalanceamento. e.. também.. f'ornece algumas idéias sobre caselas vazias. Dentre as indagações ser citadas:. de IEMMA (1991),. podem. "Como esperar que um pesquisador f'aça uma boa. i nterpretação da. hi pótese que está sendo. testada. por. das quatro somas de quadrados f'ornecidas pelo SAS?". uma. "Como. esperar que ele possa f'azer uma comparação sensata de seus resul tados. com os. resul tados. de. outros. utilizaram outros pacotes estatísticos.. pesqui sadores para a. que. análise de. seus dados?" IEMMA (1991) analisou. criteriosamente. todas as somas de quadrados obtidas pelas tabelas de análise de variância. encontrados. através de diversos métodos de análise de dados na. literatura.. desde. YATES. C 1 934) •. até. os. quatro tipos de somas de quadrados f'ornecidas pelo PROC GLM do. SAS.. Posteriormente.. apresentou. métodos de YATES (1934).. as. entre. os. de OVERALL & SPI EGEL (1969).. de. Henderson (1953) e do PROC GLM do SAS. trabalho que mais esclarece o. relações. Sem dúvida. esse é o. problema.. Pois.. além de se. obter as somas de quadrados para cada f'onte de variação. mostrado "como" cada uma das somas. de. quadrados.. possibilita que o. é. hi póteses assoei adas a. o. construída.. pesquisador. de acordo com seu interesse.. autor.. é. essas assim,. escolha a. hipótese correta.. dentre. quatro f'ornecidas. as. pelo PROC GLM. IEMMA. (1993).. relacionou. alguns. problemas.

(41) 30. ocasionados pela presença de caselas vazias. são eles: a) Podem ocorrer desconexões; b). O. t-est-e. da. int-eração,. em. geral,. lesla. que. soment-e. algumas inlerações são nulas; c). hipót-eses. As. sobre médias. não ponderadas. de. linhas. e. colunas, em geral, t-êm uma inlerprelação bast-anle direrent-e daquelas sem caselas vazias; d) Os graus de liberdade da inleração devem ser escolhidos com caut-el a. IEMMA, maneira. simples. associado. most-ram. SQHo. =. e. obt-er. o. Ho. para. qualquer. Fundamenlam-se. oblêm. y' aC a' a). observações;. a. CLAUSTRIAUX (1993). como. hipót-ese. à. desbalanceamenlo. est-imáveis. PALM &. -i. a' y. é. o. a. na. at-ravés. projelor. orlogonal nível. de:finição. de. y'PHoy. velor. de. onde. y. coeri ci enles. linear dos componenles do vet-or y;. o. é. da. velor. por de. combi nação. =. aCa'a)-1 a ,. e. de. runções. soma de quadrados da hipólese. =. de. PHo é. o. projet-or ortogonal associado a Ho. (1994). SANTOS. comparou. vários. pacoles. eslatíslicos em relação às hipóteses rornecidas por esles. SEARLE (1992),. C1 994). onde esle apresenlou,. diriculdade. de. enlendimenlo. dois pacotes eslatíslicos: especi r i camenle a. DALLAL,. wi.th i PP2 .. anal i sou. O. E. , "The Nesled. o. alravés das SAS.. hi pólese do. ComputeI'. Factors".. The. o. arli go de. um. hipóleses usando o. t-i po I I I ). Anatysis of. e. de. Dall ai. exemplo,. rornecidas. a. por. PROC GLM (mais o. SPSS MANOVA,. Factori.at Experiments. Americanstatisti.ci.an, 46,. 24C..

(42) 31. que Iornece a. hip6~ese. de quadrados deram. convencional, observou que as somas. resul~ados. SEARLE. dis~in~os.. discu~iu. (1994). vários. aspectos. da. disparidade, quando se usa o PROC GLM para o exemplo Dallal (1992).. Ou seja.. um delineamento com dados. de elei tos lixos e. Iatores. "nested".. São. desbalanceados. rrr.. hip6teses ligadas às somas de quadrados do tipo para o. modelo superparametrizado com restrições. par a. modelo de médi as de caseI as.. o. Modelo <C Ioi. providenciado para. se deve. à. Iatores.. No modelo <C.. A*B é A1. e. presença. ro~ulado.. sei s. tratar. dentro. de. elei to "nested".. dois modelos,. o. de. de. um. dos. as observações dentro de cada casela tem-se três níveis em cada casela de. uma. modelo <C tem a :forma y. 1.. que o. quanto. Conclui-se que a dilerença. em cada caseI a. A*B terá. o. de desbal anceamento dentro. assim,. ni vei s. L.. tanto. Um modelo denomi nado. Vê-se que as hip6teses dilerem para os médias de caselas e o modelo <C.. as. apresen~adas. de A2 e. observação f.1. 'k=. J. +. Ol. i.. a. ~odo. menos.. ni vel. Portanto.. o. Note. +. termo erro não está presente.. de C. pois em cada nível. de. C. que é "nested" de ntro de A*B. há apenas uma observação. Finalizando. o autor declarou, que. "soItwares". mais detalhes e. está Iizer. calculando. para. estatísticos.. caseiros. precisam. especialmente. E. evitar. valerá a pena.". Iornecer.. claramente.. mais descrições do que se. acrescen~a:. certos. veemen~emente.. usos. . qual quer ridículos. coi sa de. que. se. paco~es.

(43) 32. 3. MATERIAL E MÉTODOS 3.1. MATERIAL. Vi sando neste estudo. ~oram. i 1 ustr ar. as. i déi as. centr ai s. postas. utilizados dois conjuntos de dados. para auxiliar nas discussões dos problemas. 3.1.1. CONJUNTO A. o experimento para. os. producão de ao. e:feitos. mudas.. conjunto. obtido. ~oi. de. um. 2x3 delineado inteiramente ao acaso,. ~atorial. testar. quanto. primeiro. e. 2. de. 3. recipientes. espécies. desenvol vi mento. das. (LINHAS). mudas. (COLUNAS) de. para. eucaliptos.. (BANZATTO. &:. KRONKA,. 1989, p.132). Os recipientes e as espécies testadas. ~oram:. Ll. Euca[yptus citriodora. Cl. saco plástico pequeno. L2. Euca[yptus. C2. saco plástico grande. C3. laminado. ~randis. Os dados das alturas médias das mudas,. em. em. aos 80 dias de idade, constam do Quadro Al. Quadro Al. -. Al turas médias das mudas, em em, aos 80 dias.. 1. 1. RECIPIENTE 2. 3. 26.2; 26,0. 25,7; 26,3. 22,8; 19,4. 25.0; 25,4. 25,1; 26.4. 18,8; 19,2. 24,8; 24,6. 19,6; 21,1. 19,8; 21,4. 26,7; 25,2. 19, O; 18,6. 22,8; 21,3. ESPÉCIE 2 Fonte:. BANZATTO &: KRONKA (1989).

(44) 33. maneira. De. geral.. pode-se escrever como no. Quadro A. Quadro A - Dados genéricos. RECIPIENTE 1 1. 3. 2. YJ.J.J.;. Y 1 J.2. YJ.2J.;. YJ.22. YJ.3J.;. YJ.32. YJ.J.3;. YJ.J.4. YJ.23;. Y 124. YJ.33;. Y. Y 2 J.1;. Y 212. Y 221;. Y. Y 231;. Y. Y 2 J.4. Y. Y. Y. Y. 134. ESPÉCIE 2. Y 2 J.3;. 223. ;. 222 224. 233. ;. 232 234. Note que cada casela contém 4 observações. ou. =. seja. n ... l.J. 4 para quaisquer valores de i. Com aleatoriamente.. nesse. base. cinco situações,. e j. criaram-se.. exemplo.. desde o caso original com. dados balanceados, até o caso onde ocorre desbalanceamento. presença. na. de. vazias.. caselas. situações. As. são. as. seguintes Ctodos os modelos criados contêm interação); 1) dados balanceados sem casela vazia.. como no Quadro Ai;. 2) dados desbalanceados sem casela vazia; as posições das observações perdidas são: 213, n. 2J.. =. 1. e n. 222, 22. =. 3. uma caseI a. 3). Cn. 214,. i. j. =. 4)'. •. 231, •. 234;. ou seja:. n. J.J.. =. n. 131, 132. 211. J.2. =. Quadr o. H. =. n. 29. =. n. 29. =. 2;. vazi a. Cn. J. 1. =. O)·. e. demais. dados. balanceados. •. como no Quadro A3; 1.1.. =. O), como. A4 ;. 5) dados Cn. J.3. como no Quadro A2;. 4) dados desbalanceados com uma casela vazia Cn no. n. 4;. desbalanceados. =. O). como no. com. Quadro. duas A5;. caselas. vazias.

(45) 34 Os quadros relentes ao. eonjun~o. A são. vis~os. a seguir. Quadro A2 -. Al~uras. médias das mudas. em em. aos 80 dias.. RECIPIENTE. 1. 1. 2. 26.2; 26.0. 25.7; 26.3. 25.0; 25.4. 25.1 ; 26.4. 3. 18.8; 19,2. ESPÉCIE 24,6 2. Quadro A3 -. 19,6;. 21.4. 19, O; 18,6. Al~uras. 22.8. médias das mudas. em em. aos 80 dias.. RECIPIENTE 1. 2. 3. 25,7; 26.3. 22.8; 19.4. 25.1 ; 26.4. 18.8; 19,2. 24.8; 24,6. 19.6; 21,1. 19,8; 21,4. 26,7; 26,2. 19. O; 18,6. 22.8; 21,3. 1. ESPÉCIE 2. Quadro A4 -. Al~uras. médias das mudas. em em. aos 80 dias.. RECIPIENTE 1. 3. 2 26.7; 26.3. 1. 25,1; 26.4. 18.8; 19,2. ESPÉCIE 24,6 2 Quadro AS -. 21.4. 19.6; 19, O; 18,6. 22.8. Alturas médias das mudas. em em. aos 80 dias.. RECIPIENTE 2. 1. 3. 26.7; 26.3 1. 25,1 ; 26.4. ESPÉCIE 24.6 2. 19.6; 19, O; 18.6. 18.8; 19.2.

(46) 35 3.1.2.. CONJUNTO. o ensaio. la~orial. B. segundo 4x3.. conJun~o. O primeiro. Cvariedade de cana-de-acócar). lic~ício.. é. Csolo). fa~or. a. ~êm. Tra~a-se. seguin~e. e. o. de um. segundo. descricão para. seus ní vei s: Variedades CV) :. Solos CS):. Vi. : SP71-1143. Si:. LVA.. fase argilosa. V2:. SP71-799. S2:. La~ossolo. V9:. RB79-454. S3:. LVA.. S4:. Podzólico. Os dados Quadro. cons~am. Produ~ividade. B1. Roxo. fase arenosa. do Quadro B1. em. média.. variedades de cana-de-acócar em. qua~ro. ~/ha.. de. ~rês. solos.. VARIEDADES 1. 2. 3. 1. 70; 71 73; 78. 67; 66 65. 102; 110. 2. 76; 74 78. 69. 106; 116. 66; 64. 62. 94; 101 102. 65; 64 63. 58; 52 61. 91 ; 97. S O. L O. 3. S. 4 Fon~e:. Dados. lic~lcios. Algumas. si~uacões. ~ambém. loram criadas.. elas: 1) com,. in~eracão.. sem casela vazia; como no Quadro B1;. 2) sem. in~eracão.. sem casela vazia; como no Quadro B1;. São.

(47) 36 3). com interação.. com uma caseIa vazia Cn. ~2. =. O);. como no. Quadro 82; 4). sem i n-ter ação.. com uma caseI a. vazi a. Cn. ~2. =. como. O);. no. Quadro 82; 5) com interação. como no. Quadro. com duas caseIas vazias Cn. =. n. =. n. 33. =. O);. =. O);. 83;. 6) sem interação. com duas caseIas como no. ~2. Quadro. vazi as Cn. ~2. 33. 83;. 7) sem interação.. com -três caseI as vazi as (n. :1.2. =. n. 93. =. n. 4:1.. =0)'. como no Quadro 84. Os quadros para conjunto 8 são dados a seguir. Produtividade. Quadro 82. média.. em. t/ha.. variedades de cana-de-açúcar em quatro solos.. VARIEDADES 2. 1. 1 2. 76; 74 78. 69. 106; 116. 66; 64. 62. 94; 101 102. 66; 64 63. 68; 62 61. 91 ; 97. S O L. O. S. 3 102; 110. 70; 71 73; 78. 3 4. de. três. •.

(48) 37 Quadr-o B3. Pr-odut.ividade. média.. em. t./ha.. de. t.r-ês. de. t.r- ês. var-iedades de cana-de-acúcar- em quat.r-o solos. VARIEDADES. 1. 2. 76; 74 78. 69. 66; 64. 62. 65; 64 63. 58; 52 61. L O. S. 3 102; 110. 1 S O. 2. 70; 71 73. 78. 3 4. Quadr-o B4. Pr-odut.ividade. 106; 116. média.. 91 ; 97. em. t./ha.. var-iedades de cana-de-acúcar- em quat.r-o solos. VARIEDADES. 1 S O L O. S. 2. 3. 1 70; 71 73; 78 76; 74 78. 69. 66; 64. 62. 106; 116. 58; 52 61. 4. 3.1.3.. 3 102; 110. 2. 91 ; 97. PACOTES ESTATíSTICOS. Dois. pacot.es. est.at.ist.icos. r-esult.ados par-a os dados apr-esent,ados.. f'or-necem. São eles:. - SAS CSt.at.ist.ical Analyses Syst.em) - STATGRAPHICS CSt.at.ist.ical Gr-aphics Syst.em). os.

(49) 38. 3.2. MÉTODOS 3.2.1. MODELO LINEAR. o interação. análise. modelo linear de ereitos rixos.. dependendo. dos. dados.. do. A. exemplo.. é. por. Modelo. escolhido. caracterização. do. através das médias populacionais das M CIEMMA.. 1991). ou. com ou sem para. modelo. é. subclasses. Modelo. de. a. reita. denotado. Médias. de. Caselas.. 3.2.1.1. MODELO COM INTERAÇÃO Considere o modelo linear com dois ratores CA e. e. B). interação.. nor mal mente. As. observações. di str i buf das.. variância comum. a. com. Y,1.)'k são. médias. populacionais. Y"k 1.). =. 1. 2.. onde a. e. b. e e. 1-1 ij. 2. Sua caracterização pode. i. independentes. ... • a são os. ;. j. =. =. 1-1, , + e 1.). (1). ijk. . • b. 1 • 2.. números. ser dada por:. de. ;. níveis. k. =. dos. 1 • 2.. .•. n,.. ratores. A. e. 1.). B.. respectivamente. e n .. o número de observações na subclasse 1.J. ou. casela. disso.. Ci.j).. =. com. 1-1 .. 1.J. o número total de observações é. o. modelo linear. =. e. a. 2. Além. .. o.b. rr.. isto é.. ?:~n .. 1. J. 1.J. =. n.. caracterizado dessa rorma é. denotado Modelo de Médias de CaseI as. Pode-se escrever (1) na rorma matricial. como:. Y. = W 1-1. +. e. (2). onde Y é um vetor Cn x 1) de observações. W é uma matriz Cn x. ab). de "uns" e. "zeros".. 1-1. é. um vetor. de parâmetros das.

(50) 39. médias populacionais. alea~órias de~al. hes. não. e. e. é. um. ~ais. observáveis. podem ser. ve~or. encon~r ados. (n x 1) de variáveis. que. 2. N(0;IO').. e. em ELSTON &. Mais. BUSH ( 1 964). e. IEMMA (1991). Alguns SNEDECOR. &. ~rabalhar. com o modelo. COCHRAN. Y. ou. i.jk. por exemplo. GRAYBILL (1961).. au~ores.. (1967). =. e. SEARLE. Superparame~rizado. fJ +. pref'erem. (1971).. ou modelo - S (3). O.. lo. ma~ricialmen~e. xe. Y = para. descrever. modelos são. as. observações.. es~a~is~icamen~e. + e. (4). En~re~an~o.. equivalen~es. ou URQUHART.. WEEKS & HENDERSON (1973)).. ao. de. modelo. Porém.. é. de. médias. como. dá-se. pref'erência t-rabal ho.. bom lembrar que o PROC GLM t-rabalha com o. superparamet-rizado, est-imáveis. quant-o. dois. (ver SPEED (1969). nest-e. caselas. os. modelo. t-ant-o na apresent-ação de suas f'unções para. as. est-imat-ivas. de. cada. um. dos. parâmet-ros do modelo linear. Nesse cont-ext-o, f.1... loJ. onde:. fJ é. =. fJ +. imponham. é o ef'eilo do. (3. é. Y .. é J. J. 1.). ~odas. média geral,. as observações dest-e. que. se. paramét-ricas convenient-es), ver. 1 82) f'a~or. A·•. o ef'eit-o do f'alor B'•. J. 1.. a. res~rições. I EMMA (1987, pg. i.. + (3. + Y ... 1.. uma const-ant-e inerent-e a. Cusualment-e igual. o. O.. o ef'eit-o da inleração enlre o i -ésimo nível do. fa~or. A e o j-ésimo nível do. fa~or. B..

(51) 40. 3.2.1.2. MODELO SEM INTERAÇÃO. o carac~erização. não. es~á. caso para o. presen~e.. ques~ão. em. modelo de. Assim.. o. necessi~a. médias.. de. pois. a. novo modelo pode ser. uma. nova. in~eração. descri~o. por: Yi.j = J..l + OI.1- + [1.J + e ij. com J..l +. OI. i.. En~ão.. = J..l. 1.. Y .. 1.J. E. =. con~orme. J..l.1. + [1.. (2). hipó~eses vis~o. é. no. ~undamental. que o modelo-M. mas o modelo linear i. momen~o. da. (5). ij. WJ..l + e. os dois modelos.. en~re. construção e. na. modelo-S. in~erpre~ação. para uma boa compreensão do. ~acili~a. na. cons~rução. S deixa claro quais os os. envolvidos. por:. ma~ricialmen~e. =. A comparação modelo-Mo. + e. J. y. e. (5). re~erida. lei~or.. das hipóteses.. e~ei~os. hipó~ese.. das. do modelo. ~acilí~ando. sua. nterpre~ação.. 3.2.2. SOLUÇÃO DE MíNIMOS QUADRADOS 3.2.2.1. MODELO COM INTERAÇÃO Usa -se nesse caselas pelos. mo~ívos. ~r. abal ho o. já mencionados no. além de proporcionar. solução únicado. pois.. pos~o. a. ma~riz. W. ~em. modelo de médí as. coluna. capí~ulo. ve~or. comple~o. an~erior.. de médias. (ab).. de. Assim.. J..l.. a.

(52) 41 ma~riz. quadrada W'W de ordem ab,. posto completo e. ~em. tem. inversa clássica. solução. a. Assim.. es~imador. coincide com o. de. de mínimos. quadrados. mínimos quadrados. para. e. /-l. é. dada por /-l ~ambém. que /-l.. =. CW'W). -1. W'y. é o B.L.U.E (Best Linear Unbiased Estimator) de mos~rado. Pode ser. que o BLUE de /-l . . é t. da caseI a. (7). (i. j) :. /-lo. ~. 1.J. =. J. a. amos~ral. média. y.. 1.... 3.2.2.2. MODELO SEM INTERAÇÃO As sol uções de mi ni mos quadr ados. par a. são. /-l. dadas por A. /-l. onde CW' W) a que a. qual quer. é. ma~riz. =. (W'W"J. a. i nver sa. W'y. (8). gener aI i zada de. W' W.. W'W é singular. ou seja. não tem posto coluna. completo como no modelo com interação visto neste. o. posto de W'W será. ~rivial. nesse. e. por~anto.. ~rabalho.. ~rabalho.. a+b-1.. A obtenção de CW'W)-1 e CW·W)o.. é. Note. Maiores. não. será. de~alhes. nesse modelo.. disticutida podem ser. com. detalhes. encontrados. em. SEARLE C1982) e IEMMA C1990).. 3.2.3. SOMAS DE QUADRADOS Sabe-se que as somas de quadrados rornecidas nos. quadros. de. análise. de. variância. estão. estreitamente.

Referências

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