Modelagem da anisotropia magnética utilizando funções de distribuição de orientações - ODF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS–GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA

Guilherme Costa Ayres Tolentino

MODELAGEM DA ANISOTROPIA

MAGNÉTICA UTILIZANDO FUNÇÕES DE

DISTRIBUIÇÃO DE ORIENTAÇÕES -ODF

Florianópolis, Santa Catarina – Brasil 26 de abril de 2019

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Modelagem da Anisotropia Magnética utilizando

Funções de Distribuição de Orientações -ODF

Dissertação submetida ao Programa de Pós–Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Jean Vianei Leite

Florianópolis, Santa Catarina – Brasil 26 de abril de 2019

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Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da Universidade Federal de Santa Catarina.

Arquivo compilado às 11:15h do dia 17 de maio de 2019. Guilherme Costa Ayres Tolentino

Modelagem da Anisotropia Magnética utilizando Funções de Distribuição de Orientações -ODF / Guilherme Costa Ayres Tolentino. – Florianópolis, Santa Catarina – Brasil, 26 de abril de

2019-110 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm. Orientador: Prof. Dr. Jean Vianei Leite

– Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Departamento de Engenharia Elétrica e Eletrônica – EEL

Programa de Pós–Graduação em Engenharia Elétrica – PGEEL, 26 de abril de 2019.

1. Palavra-chave1. 2. Palavra-chave2. I. Orientador. II. Universidade xxx. III. Faculdade de xxx. IV. Título

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Modelagem da Anisotropia Magnética utilizando

Funções de Distribuição de Orientações -ODF

Esta dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós–Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina.

Florianópolis, 26 de abril de 2019.

Prof. Bartolomeu Ferreira Uchôa-Filho, Dr.

Coordenador do Programa de Pós–Graduação em Engenharia Elétrica

Prof. Dr. Jean Vianei Leite

Orientador

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Banca Examinadora:

Prof. Nelson Jhoe Batistela , Dr.

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Prof. Antônio Carlos Pinho , Dr.

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR

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Este trabalho é dedicado às crianças adultas que, quando pequenas, sonharam em se tornar cientistas.

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Agradecimentos

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus por ter me concedido o essencial para a conclusão desta dissertação.

Gostaria de agradecer também a minha família que sempre esteve ao meu lado, me dando suporte e me apoiando sempre na minha trajetória acadêmica.

Gostaria de agradecer também ao meu orientador Prof. Jean Vianei Leite pela orientação, amizade e convívio durante este trabalho, que contribuiu não somente na área profissional mas também em meu desenvolvimento pessoal. Foi um prazer trabalhar com esta pessoa que tem profundo conhecimento na área de modelagem materiais magnéticos.

A todos os professores do Grucad pelos ensinamentos nas disciplinas cursadas e pelo convívio harmonioso no laboratório.

Aos professores presentes na banca, pela disponibilidade, atenção e contribuição.

Aos meu amigos do laboratório: Duani Tedesco, Cristhian Marcelo Becker Cares, Kleyton Hoffmann, Bruno Willam Wisintainer, Rodrigo Miranda , Diogo Figueiredo ,Benjamin Joseph Mailhé , Ricardo Elias, Carlos Alexandre Corrêa Wengerkievicz e Indiara Pita e aos demais colegas do grupo pelas discussões não somente de cunho técnico e pelo apoio em todos os momentos desta caminhada.

Gostaria de agradecer ao Wilson Silva Costa e Marcelo Siqueira, pela presteza sempre em seu atendimento perante a coor-denação da pós-graduação, e também a Celly Mello, que apesar do meu curto convívio, sempre esteve disponível a me auxiliar quando necessário.

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Por fim e não menos importante gostaria de agradecer ao suporte financeiro da CAPES.

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Resumo

Neste trabalho, a anisotropia magnética é modelada através de funções de orientação de distribuição (Orientation Distribution Function - ODF). A ODF é uma metodologia que pode ser empre-gada para modelar o fenômeno da anisotropia magnética. O modelo é inserido em um software de cálculo de campos (2D) em formula-ção potencial vetor magnético. Aspectos relativos ao processamento numérico do sistema de cálculo e da caracterização de materiais magnéticos são analisadas.

Palavras-chaves: Anisotropia magnética; Aço grão orientado (GO); ODF.

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Abstract

In this work, magnetic anisotropy is modeled through distri-bution orientation functions (ODF). ODF is a methodology that can be used to model the phenomenon of magnetic anisotropy. The model is inserted into a field calculation software (2D) in magnetic potential vector formulation. Aspects related to the numerical processing of the calculation and characterization of magnetic materials are analyzed.

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Lista de ilustrações

Figura 2.1 – Representação das componentes de campo magné-tico em um plano XY(Fonte: Autor) . . . 33 Figura 2.2 – Permeabilidades magnéticas em diferentes meios

(Fonte: Autor) . . . 37 Figura 2.3 – Representação de ~B e ~H colineares (Fonte: Autor) 39

Figura 3.1 – Domínios do Policristalino de uma aço Fe-Si (CUL-LITY, 2009) . . . 42 Figura 3.2 – Paredes de Bloch (Fonte: Autor) . . . 44 Figura 3.3 – Dominios Magnéticos (Fonte: Autor) . . . 45 Figura 3.4 – Movimentação das paredes do domínio quando

aplicado campo externo (Fonte: Autor) . . . 46 Figura 3.5 – Processo de Magnetização (Fonte: Autor) . . . . 48 Figura 3.6 – Cubo de borda (Goss) - Modificado (TUMANSKI,

2006) . . . 49 Figura 3.7 – Cubo face centrada - Modificado (TUMANSKI,

2006) . . . 50 Figura 3.8 – Cubo face centrada e Cubo de borda - (CULLITY,

2009) . . . 50 Figura 4.1 – Modelo simplificado de um Átomo (IVÁNYI, 1997) 54 Figura 4.2 – Interação Spin-Orbita-Rede (Fonte : Autor) . . . 55 Figura 4.3 – Magnetização de um monocristal cúbico de ferro

(CULLITY, 2009) . . . 56 Figura 4.4 – Direção do domínio de magnetização com o campo

aplicado em um cristal na direção [110] (STEWART, 2016) . . . 58 Figura 4.5 – Representação das diferentes curvas BH

desenvol-vidas sob o material ferromagnético no sentido de laminação (Concepção ODF) (Fonte: Autor) . . . 59

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Figura 4.6 – Representação do modelo ODF baseado em 3 cur-vas experimentais (Fonte: Autor) . . . 60 Figura 4.7 – Representação da colinearidade dos vetores de

campo e indução magnética (Fonte: Autor). . . . 64 Figura 5.1 – Exemplo de curvas BH obtidas para ângulos de

0◦ _{e 90}◦ _{necessário para implementação da ODF}

(Fonte: GRUCAD) . . . 68 Figura 5.2 – Exemplo da interpolação entre pontos próximos

nas curvas 0◦ _{e 90}◦ _{(Fonte: Autor) . . . .} ₇₀

Figura 5.3 – Cálculo dos Pontos da ODF para direção de exci-tação de 25◦ _{(Fonte: Autor) . . . .} ₇₁

Figura 5.4 – Variaveis do modelo (Fonte: Autor) . . . 72 Figura 5.5 – Excitação pulsantes em Bxe Byde 1T (45°) (Fonte:

Autor) . . . 73 Figura 5.6 – Curva BH (45°) - Entrada do algorítimo ~_√ B =

2∠45◦T (Fonte: Autor) . . . 73

Figura 5.7 – Resultado do algoritmo - Módulo H (45°) (Fonte Autor) . . . 74 Figura 5.8 – Curva BH para excitação de 40◦_{, 45}◦_{e 50}◦ _(Fonte:

Autor) . . . 75 Figura 5.9 – Pontos medidos e o modelo de desenvolvido (Fonte:

Autor) . . . 77 Figura 5.10–Modelo ODF com passo de H=10[A/m] (Fonte:

Autor) . . . 78 Figura 5.11–Modelo ODF com passo de H=50[A/m] (Fonte:

Autor) . . . 79 Figura 5.12–Modelo ODF com passo de H=100[A/m] (Fonte

Autor) . . . 79 Figura 5.13–Dimensões RSST em milímetros (Fonte: Autor) . 82 Figura 5.14–Considerações do modelo ODF para aplicação na

parte exterior (Fonte: Autor) . . . 83 Figura 5.15–Dispositivo RSST malhado. (Fonte: Autor) . . . 84 Figura 5.16–Vetores de indução magnética em um instante de

tempo com excitação à 45◦ _{- RSST (Fonte: Autor) 85}

Figura 5.17–Vetores de indução magnética - RSST (Zoom Amos-tra) (Fonte: Autor) . . . 85 Figura 5.18–Posição dos elementos 2688 e 2652 (Fonte Autor) 86

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Figura 5.19–Comparação BH modelo ODF e resultado da curva BH simulada pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) . . . 87 Figura 5.20–Comparação BH modelo ODF e resultado da curva

BH simulada pelo MEF - Elemento 2652 (Fonte: Autor) . . . 87 Figura 5.21–Comparação módulo | ~B|do modelo ODF e

resul-tado simulado pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) . . . 89 Figura 5.22–Comparação módulo | ~H|do modelo ODF e

resul-tado simulado pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) . . . 89 Figura 5.23–Comparação módulo | ~B|do modelo ODF e

resul-tado simulado pelo MEF - Elemento 2652 (Fonte: Autor) . . . 90 Figura 5.24–Comparação módulo | ~H|do modelo ODF e

resul-tado simulado pelo MEF - Elemento 2652 (Fonte: Autor) . . . 90 Figura 5.25–Zoom dispositivo em elementos com induções não

realísticas com possível influência na divergência do modelo. (Fonte: Autor) . . . 91 Figura 5.26–Efeito da desestabilização do elemento na peça

(Fonte: Autor) . . . 92 Figura 5.27–Comparação da curva BH (40◦_{) medida e curva}

BH simulada pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) . . . 93 Figura 5.28–Comparação da curva BH (40◦_{) medida e curva}

BH simulada pelo MEF - Elemento 2652 (Fonte: Autor) . . . 94 Figura 5.29–Comparação módulo | ~B|curva medida e resultado

simulado pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) 95 Figura 5.30–Comparação módulo | ~H|curva medida e resultado

simulado pelo MEF - Elemento 2688 (Fonte: Autor) 95 Figura 5.31–Comparação módulo | ~B|curva medida e resultado

simulado pelo MEF - Elemento 2652 (Fonte: Autor) 96 Figura 5.32–Comparação módulo | ~H|curva medida e resultado

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(19)

Lista de tabelas

Tabela 5.1 – Tempos de formação da função de ODF x passo do campo magnético . . . 77 Tabela A.1–Tempos de formação da função de ODF x passo

do campo magnético - Módulo B = 0,3[T] . . . . 109 Tabela A.2–Tempos de formação da função de ODF x passo

do campo magnético - Módulo B = 1[T] . . . 110 Tabela A.3–Tempos de formação da função de ODF x passo

(20)

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Lista de abreviaturas e siglas

2D Duas dimensões

RD Direção de laminação (Rolling direction) TD Direção transversal (Transversal direction) ODF Função de Distribuição de Orientação (Orientation

Distribution Function)

RSST Teste Rotacional de Chapa Única (Rotacional Sin-gle Sheet Tester)

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Lista de símbolos

~

A Potencial vetor magnético [W b/m] ~

B Indução magnética [T ]

Bx Indução magnética na coordenada x [T ]

By Indução magnética na coordenada y [T ] | ~B| Módulo da Indução magnética [T ]

~

H Campo magnético [A/m]

| ~H| Módulo do campo magnético [A/m] ~

A Densidade de corrente [A/m2]

R Resíduo - Método dos resíduos ponderados W Função peso dos resíduos ponderados µ Permeabilidade magnética

α1, α2, α3 cossenos direcionais da magnetização relativos aos

eixos do cubo.

K1, K2 Constantes de anisotropia .

K0 Contribuição energética da isotropia. θ Ângulo referente a excitação do material.

(24)

(25)

Sumário

CAPÍTULO 1 . . . 27 1 INTRODUÇÃO . . . 27 1.1 MOTIVAÇÃO DO PROBLEMA E JUSTIFICATIVA 27 1.2 OBJETIVOS DO TRABALHO . . . 29 1.2.1 Objetivo Geral . . . 29 1.2.2 Objetivos Específicos . . . 29 1.2.3 Contribuições . . . 29 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . 30 CAPÍTULO 2 . . . 31

2 CAMPOS MAGNÉTICOS EM MEIOS

ANI-SÓTROPICOS . . . 31 2.1 PROBLEMA MAGNETOSTÁTICO 2D . . . 31 2.1.1 Método dos resíduos ponderados . . . 35 2.2 TENSOR PERMEABILIDADE . . . 37 CAPÍTULO 3 . . . 41

3 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS E

CRIS-TALOGRAFIA . . . 41 3.1 DOMíNIOS MAGNÉTICOS . . . 43 3.2 PROCESSO DE MAGNETIZAÇÃO . . . 46 3.3 TEXTURAS CRISTALOGRÁFICA . . . 49

(26)

4 ANISOTROPIA MAGNÉTICA MODELADA ATRAVÉS DE FUNÇÕES DE DISTRIBUI-ÇÃO DE ORIENTADISTRIBUI-ÇÃO - ODF . . . 53 4.1 CRISTAIS ANISOTRÓPICOS . . . 53 4.2 ENERGIA ANISOTRÓPICA . . . 55 4.3 ANISOTROPIA ELETROMAGNÉTICA

REPRE-SENTADA POR ODF’S (ORIENTATION DIS-TRIBUTION FUNCTION) . . . 58 4.3.1 Aumento de Ordem . . . 61 4.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O TENSOR DE

PER-MEABILIDADE . . . 64 5 RESULTADOS . . . 67

5.1 MODELAGEM DA ANISOTROPIA VIA ODF’S 67

5.1.1 Etapa 1 - Dados experimentais . . . 67 5.1.2 Etapa 2 - Cálculo dos Coeficientes ODF . . . 68 5.1.2.1 Atenção Especial . . . 69 5.1.3 Etapa 3 - Acoplamento com MEF . . . 71 5.2 SIMULAÇÃO ANALíTICA DA CURVA

ANISO-TROPIA . . . 72 5.3 MODELO ODF E TEMPO DE SIMULAÇÃO . . 75 5.4 APLICAÇÃO DA ODF EM MEF . . . 81 5.4.1 Estudo de Caso - Modelagem RSST . . . 81 5.4.2 Descrição do dispositivo . . . 81 5.4.3 Simulação em Elementos Finitos . . . 82 5.5 CONCLUSÃO DOS RESULTADOS . . . 97 6 CONCLUSÃO . . . 99

(27)

REFERÊNCIAS . . . 103

ANEXO A TEMPOS DE CÁLCULO DAS

(28)

(29)

Capítulo 1

Introdução

1.1 MOTIVAÇÃO DO PROBLEMA E JUSTIFICATIVA

Os projetistas de máquinas elétricas necessitam de ferra-mentas de projeto eficientes e precisas. Tal interesse implica em um crescimento da busca por métodos de modelagem de fenômenos não lineares que ocorrem no núcleo dos aços magnéticos.

As propriedades anisotrópicas magnéticas de aços elétri-cos têm sido objeto considerável de pesquisas ((NAKATA et al., 1994);(CORNUT; KEDOUS-LEBOUC; WAECKERLÉ, 1996);(FI-ORILLO et al., 2002);(FI1996);(FI-ORILLO, 2006);(CAMPOS; LANDGRAF; PADOVESE, 2011);(GUTIERREZ-URRUTIA et al., 2014); (BAGHEL; KULKARNI, 2013); (WANG; LI ; ZHU, 2014)). Do ponto de vista de um projetista de máquinas, é crucial projetar circuitos magnéticos com baixa relutividade ((NAKATA et al., 1994)); (FIORILLO et al., 2002); (CORNUT; KEDOUS-LEBOUC; WAECKERLÉ, 1996); (KHAPARDE; KULKARNI, 2004). Como os aços para fins elétricos apresentam diferentes propriedades para diferentes direções de exci-tação, é imprescindível que se conheça o comportamento magnético do aço para diferentes ângulos de excitação. Porém, os produtores de aço elétrico geralmente negligenciam o fenômeno da anisotropia

(30)

28 Capítulo 1. Introdução

e fornecem somente dados obtidas de catálogo para a direção de laminação (RD) ou somente para amostras mistas, obtidos com o quadro Epstein. Por outro lado, o fenômeno da anisotropia deve ser levado em conta também nos aços de grãos não orientados usados nos núcleos das máquinas rotativas ((CORNUT; KEDOUS-LEBOUC; WAECKERLÉ, 1996);(LANDGRAF et al., 2003);(EMURA et al., 2001);(CAMPOS, 2006);(CHWASTEK, 2013);(KAI et al., 2013)). Um controle adequado do nível da anisotropia é importante para a redução de vibrações e ruído emitidos por máquinas elétricas ((DE-MIAN et al., 2012);(ZHANG et al., 2014)). A necessidade de conside-rar anisotropia em cálculos de engenharia é ainda mais pronunciada para estudos de perda de energia sob campo rotacional ((GUO et al., 2008);(PFUTZNER et al., 2011);(LEITE et al., 2012);(ZUREK, 2014)).

Todos os materiais metálicos submetidos à laminação e cozimento exibem alguma textura de deformação e textura de re-cristalização. Tal assunto tem sido extensivamente estudado para o desenvolvimento de modelos que representam os aços, onde o chamado parâmetro Lankford é definido em função de três direções principais ((LANKFORD; SNYDER; BAUSHER, 1950);(RAY; JONAS; HOOK, 1994)), a direção de laminação(RD), a direção transversal(TD), bem como a direção que está posicionada a um ângulo de 45 ° em relação à direção de laminação(RD).

Sabe-se que a anisotropia estará presente mesmo em aços de grãos não orientados e que sua influência no comportamento do circuito magnético pode ser importante.

Para descrever as propriedades anisotrópicas do aço elétrico, é desejável desenvolver modelos capazes de representar as curvas BH para ângulos arbitrários com respeito ao sentido de laminação(RD) (WANG; LI ; ZHU, 2014).

Pela necessidade de compreender a anisotropia magnética, a análise da textura do metal se tornou foco de estudo há mais de 30 anos. Técnicas para medida de textura cristalográfica têm sido amplamente utilizada para medir orientações dos grãos.

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1.2. Objetivos do Trabalho 29

Em uma abordagem moderna, a anisotropia magnética pode ser representada através de funções de distribuição de orientação, do inglês Orientation Distribution Function(ODFs) que trazem consigo a informação cristalográfica do material(BUNGE, 1969).

1.2 OBJETIVOS DO TRABALHO 1.2.1 Objetivo Geral

O objetivo geral da dissertação é contribuir com a modelagem do fenômeno da anisotropia magnética e realizar o acoplamento de um modelo com uma ferramenta de cálculo de campos. Pretende-se contribuir com a formulação necessária para a reprePretende-sentação de tal fenômeno e aplicar técnicas numéricas necessárias para a sua implementação.

1.2.2 Objetivos Específicos

• Realizar uma revisão bibliográfica e científica sobre o estado da arte da modelagem do fenômeno da anisotropia.

• Elaborar uma modelagem analítica das propriedades aniso-trópicas dos aços magnéticos de grãos orientados através das ODF’s.

• Realizar acoplamento do modelo implementado com uma fer-ramenta de cálculo de campos usando o método de elementos finitos.

1.2.3 Contribuições

Os seguintes pontos são contribuições do trabalho:

• Estudo da modelagem das propriedades anisotrópicas dos aços magnéticos de grãos orientados a partir dos dados de medi-ções para diferentes angulamedi-ções de excitação, entre 0° e 90º, utilizando ODF’s.

• Acoplamento do modelo implementado em uma ferramenta de cálculo de campos através do método de elementos finitos 2D.

(32)

30 Capítulo 1. Introdução

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O trabalho está organizado em seis capítulos. No primeiro capítulo são apresentados a introdução, as motivações e as justificavas do trabalho, bem como os objetivos e as contribuições.

No Capítulo 2 , é desenvolvido o equacionamento para pro-blemas magnetostáticos em duas dimensões(2D) e descrito como foi realizado o acoplamento do modelo no equacionamento de elementos finitos.

No Capítulo 3 é apresentado os conceitos sobre domínios magnéticos, texturas cristalográficas e processo de magnetização dos materiais magnéticos.

No Capítulo 4, é mostrado o equacionamento referente à anisotropia eletromagnética através do modelo de ODF.

Os resultados são expostos no capítulo 5, onde é realizada a aplicação do modelo implementado em um Rotational Single Sheet Tester (RSST) e simulado através de elementos finitos.

No sexto capítulo são apresentadas as conclusões obtidas no decorrer do trabalho e das análises dos resultados. Também são incluídas neste capítulo propostas de trabalhos futuros.

(33)

Capítulo 2

Campos Magnéticos em meios

Anisótropicos

Neste capítulo será apresentado de forma sucinta a solução do problema magnetostático em duas dimensões (2D), utilizando a formulação potencial vetor magnético a partir das equações de Maxwell. Também será demostrado como se realiza a incorporação do tensor de permeabilidade no método de elementos finitos. 2.1 PROBLEMA MAGNETOSTÁTICO 2D

Problemas magnetostáticos podem ser representados por duas equações de Maxwell e uma relação constitutiva (IDA; BASTOS, 1997).

∇ · ~B = 0 (2.1)

∇ × ~H = ~J (2.2)

~

(34)

32 Capítulo 2. Campos Magnéticos em meios Anisótropicos

onde ~B é a densidade de fluxo magnético ou indução

mag-nética, ~H é a intensidade de campo magnético e ~J é densidade de

corrente, e µ é definido como permeabilidade magnética.

A Equação 2.1 é referente à lei de Gauss do magnetismo. A lei de Ampère é dada pela Equação 2.2 e a relação constitutiva existente entre o campo e indução magnética é apresentada pela Equação 2.3.

Uma vez que o campo magnético é livre de divergências, definido pela Equação 2.1, isso significa que ~B pode ser sempre

representado como o rotacional de qualquer outro campo vetorial, assim, podemos sempre relacionar ~B a um campo vetorial que será

chamado de ~A(FEYNMAN ROBERT B. LEIGHTON, 2011).

Sabendo que divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é nulo (∇ · (∇ × ~A) = 0), é possível escrever a Equação 2.4.

~

B = ∇ × ~A (2.4)

onde ~Aé um campo vetorial qualquer que respeita a

identi-dade do cálculo vetorial e será chamado de potencial vetor magnético. Da substituição de (2.4) em (2.3) e em (2.2), obtém-se: ∇ × 1 µ∇ × ~A = ~J (2.5)

A Equação 2.5, é a forma forte da formulação em potencial vetor magnético. Nos casos limitados somente a 2D, considerando-se que somente existe corrente na direção z, as componentes do campo magnético estarão contidos no plano XY.

Na Figura 2.1 é exibido uma densidade de corrente na direção perpendicular ao plano XY e os vetores de indução e campo magnético são paralelos a este plano. A indução magnética no plano XY é dada pela Equação 2.6.

(35)

2.1. Problema Magnetostático 2D 33

Figura 2.1 – Representação das componentes de campo magnético em um plano XY(Fonte: Autor)

     ~ B = Brxbi + Brybj ~ A = Abk ~ J = Jbk (2.6)

Neste domínio, o rotacional de um vetor ~Aqualquer apresenta

somente componente na direçãobk multiplicado por uma constante.

O cálculo do rotacional é dado pelo determinante da matriz que apresenta as derivadas parciais de ~Anas coordenadas em x , y e z.

Tal operação pode ser visualizada nas Equações 2.7 e 2.8, onde ~A

possui somente componente emzb.

∇ × ~A = det    bi bj kb ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ~ Ax A~y A~z    (2.7) ₁ µ∇ × ~A = det    bi bj bk ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z 0 0 A_µ    (2.8)

O resultando da aplicação do rotacional é dado pela Equação 2.9. 1 µ∇ × ~A = 1 µ ∂ ~A ∂ybi − 1 µ ∂ ~A ∂xbj (2.9)

(36)

Realizando novamente o cálculo do rotacional sobre a Equa-ção 2.9, é obtido então a EquaEqua-ção 2.11.

∇ × ₁ µ∇ × ~A = det    bi bj bk ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z 1 µ ∂ ~A ∂y − 1 µ ∂ ~A ∂x 0    (2.10) ∇× _µ1∇× ~A=_∂z∂ 1 µ ∂ ~A ∂y bi+ ∂ ∂z 1 µ ∂ ~A ∂x bj− h ∂ ∂x 1 µ ∂ ~A ∂x +_∂y∂ 1 µ ∂ ~A ∂y i bk (2.11)

Como não existirá variação do campo na direção z, ou seja

∂ ∂z = 0

. É necessário então separar somente a componentebk

refe-rente a Equação 2.11, pois seus termos variam somente na direção do plano. Assim o resultado desta operação é descrito pela Equação 2.12: − " ∂ ∂x 1 µ ∂ ~A ∂x ! + ∂ ∂y 1 µ ∂ ~A ∂y !# b k = Jbk (2.12)

Na Equação 2.12, é possível reescrever o termo em colchetes como divergente de um gradiente. O resultado da operação com componente ~Ana direçãobkse torna um escalar. Tal representação é

descrita pela Equação 2.13.

∂ ∂x 1 µ ∂ ~A ∂x ! + ∂ ∂y 1 µ ∂ ~A ∂y ! = ∇ · 1 µ∇A (2.13)

Realizando a substituindo da Equação 2.13 em 2.12, se obtém a forma forte da formulação em potencial vetor magnético em 2D para o plano XY e é representada pela Equação (2.14).

∇ · 1 µ∇A + J = 0 (2.14)

Da Equação 2.14, a solução é encontrada através da aplicação do método de resíduos ponderados (IDA; BASTOS, 1997).

(37)

2.1. Problema Magnetostático 2D 35

2.1.1 Método dos resíduos ponderados

Para se obter a solução da Equação 2.14, o problema é formulado pelo procedimento de Galerkin, onde a solução aproximada da Equação 2.14 é definida como um resíduo "R"(Equação 2.15) ((KOST, 1994);(IDA; BASTOS, 1997)).

∇ · 1 µ∇A + J = R (2.15)

Pela aplicação do método dos resíduos ponderados, para se obter a solução exata do problema, o resíduo "R"precisa tender a zero. O método de Galerkin é uma forma particular para o método dos resíduos ponderados e é caracterizado pelo fato da função de ponderação (W ) definida para os nós da malha e a função de inter-polação serem as mesmas((IDA; BASTOS, 1997)). A utilização do método de resíduos ponderados é descrita pela Equação 2.16, onde a variável (Ω) é definida como todo o domínio de cálculo (Ver Figura 2.1).

Z Z Z

Ω

RW dΩ = 0 (2.16)

Realizando a substituição da Equação 2.15 em 2.16 e desen-volvendo os termos se obtém a Equação 2.18

Z Z Z Ω W ∇ · ₁ µ∇A + J dΩ = 0 (2.17) Z Z Z Ω ∇ · ₁ µ∇A W dΩ + Z Z Z Ω J W dΩ = 0 (2.18)

Seja v e ~U quaisquer funções. Utilizando os operadores di-vergente e gradiente é possível obter a relação de equivalência abaixo, também chamada relação grad-div.

(38)

Ajustando-se os termos da relação grad-div, é possível obter a Equação 2.20:

vdiv ~U = div(v ~U ) − gradv · ~U (2.20)

Pela Equação 2.20, é possível correlacionar o termo (vdiv ~U) da relação grad-div com o primeiro termo da Equação 2.18, onde

v = W e ~U =1_µ∇Aconforme a Equação 2.21.

vdiv ~U = Z Z Z Ω ∇ · ₁ µ∇A W dΩ (2.21)

Desenvolvendo os demais termos da relação grad-div e utili-zando o teorema da divergência na Equação 2.20, o termo div(v ~U) se transforma em um integral de superfície (BASTOS, 1989).

I S(Ω) n · ₁ µ∇A W ds − Z Z Ω 1 µ∇A · ∇W dΩ + Z Z Ω J W dΩ = 0 (2.22) Onde S(Ω) é a superfície que envolve o volume do domínio Ω e n é o vetor normal unitário definido para todos os pontos da superfície. Este temo é referente as condições de contorno do problema((KRAUS; CARVER, 1973);(IDA; BASTOS, 1997)).

Adotando-se que as condições de contorno do problema são nulas pela imposição do potencial na fronteira de cálculo, a Equação 2.22 pode ser simplificada como:

− Z Z Ω 1 µ∇A · ∇W dΩ + Z Z Ω J W dΩ = 0 (2.23)

A Equação 2.23 é a solução do problema magnetostático em duas dimensões em potencial vetor magnético, sem realizar a descrição dos elementos da malha. Não foi desenvolvimento o equaci-onamento relativo a descrição dos elementos da malha por considerar que este processo é bastante difundido no meio acadêmico e é um

(39)

2.2. Tensor Permeabilidade 37

fator de escolha do usuário sobre o tipo de descrição do elemento e sua ordem.

2.2 TENSOR PERMEABILIDADE

É possível imaginar a aplicação das equações de Maxwell em diferentes meios. A situação mais abrangente é a sua aplicação em meios anisotrópicos, onde deve-se considerar a permeabilidade magné-tica mais preponderante em certas direções (BASTOS; QUICHAUD, 1985).

Na Figura 2.2, estão representados uma lâmina à GO, cuja permeabilidade em x é maior que em y, e um empilhamento das mesmas chapas (núcleo laminado). O fenômeno da anisotropia será verificado tanto na lâmina à GO quando no núcleo magnético de chapas empilhadas. É concebível que em ambos os casos da Figura 2.2 o fluxo magnético flua com maior facilidade no sentido de x, visto que suas permeabilidades são maiores nesta direção. Os transformadores elétricos são um exemplo prático dessas estruturas.

Figura 2.2 – Permeabilidades magnéticas em diferentes meios (Fonte: Autor)

Autores frequentemente expressam a relação constitutiva empregando uma permeabilidade entre ~H e ~B na forma de ~B = µ ~H,

ao qual µ depende geralmente das quantidades de campo incidente ((KRAUS; CARVER, 1973),(IDA; BASTOS, 1997),(FEYNMAN

RO-BERT B. LEIGHTON, 2011),(SADIKU, 2014)).

(40)

existam a incidência do campo magnético ~H também direcionada às

suas coordenadas, ou seja, ~Hx e ~Hy e que desenvolva uma indução magnética ~Bxe ~By no material. Visto isto, o conceito de permeabili-dade na forma escalar (µ) não é mais satisfeito, sendo necessário a utilização de um tensor de permeabilidade (Equação 2.25).

As aplicações do tensor de permeabilidade não somente abrangem problemas em duas dimensões (2D), mas também se es-tendem a solução de problemas de três dimensões (3D)(KAIMORI; KAMEARI; FUJIWARA, 2007). Diversos autores trazem soluções que apresentam variações do modelos tensorial para representar o pacote das chapas laminadas, como por exemplo, os núcleos dos transformadores ((NAPOLI; PAGGI, 1983);(BASTOS; QUICHAUD, 1985);(SILVA; MEUNIER; FOGGIA, 1996)).

Como o foco desta dissertação é a aplicação do modelo em duas dimensões (2D), frequentemente é apresentado na literatura a relação constitutiva com o tensor de permeabilidade na forma da Equação 2.24, − → B = " µxx µxy µyx µyy # − → H (2.24)

onde, µxx e µyy são as permeabilidades relativas obtidas pelas relações da indução pelo campo magnético em x e em y, respec-tivamente. As permeabilidades relativas da diagonal secundária do tensor µyx e µxy , são referentes às relações de coordenadas trocadas, a fim de representar qualquer interação entre a indução ~B e o campo

~ H.

A direção da densidade de fluxo ~Bnem sempre será a mesma

que a do campo magnético ~H. Se negligenciada que a excitação do

material em uma direção terá influência na magnetização em outras direções, a Equação 2.24 na forma tensorial pode ser reescrita através da Equação 2.25 ((BASTOS, 1989);(LIU; SHIRKOOHI, 1993)).

" Bx By # = " µx 0 0 µy # " Hx Hy # (2.25)

(41)

2.2. Tensor Permeabilidade 39

Esta equação significa que o campo magnético ~H produz

ape-nas uma densidade de fluxo ~B na mesma direção do campo aplicado,

ou seja, o campo e a indução são considerados colineares e apresen-tam um ângulo (θh= θb) em relação ao sentido de laminação, como representado na Figura 2.3. Assim a característica de anisotropia do material é inserida no cálculo de elementos finitos através da relação entre a Equação 2.25 e as diferentes permeabilidades magnéticas.

Figura 2.3 – Representação de_B~ _e_H~ _{colineares (Fonte: Autor)}

Quando se deseja modelar a anisotropia no plano do aço elétrico de grãos orientados, é possível encontrar a condição de pos-suir um número limitado de dados experimentais. Geralmente tais dados são fornecidos pelos fabricantes de aços elétricos somente para a direção transversal e de rolamento e 45◦ _{com relação a direção}

de laminação. Por esse motivo modelos que tratam da interpolação destas curvas podem ser encontrados para se obter as direções inter-mediarias. ((LIU et al., 1994);(SHIRKOOHI; LIU, 1994);(JANICKE et al., 1997))

(42)

(43)

Capítulo 3

Propriedades Magnéticas e

Cristalografia

Materiais magnéticos podem ser representados por um nú-mero finito de dipolos magnéticos, ou seja, por um conjunto de momentos magnéticos.((IVÁNYI, 1997), (JILES, 2015)).

É sabido que a partir das movimentações dos elétrons ocor-rentes nos materiais ferromagnéticos, difeocor-rentes tipos de interações moleculares podem ser evidenciadas. A interação entre os momentos magnéticos individuais originado pela movimentação dos elétrons, formam pequenos volumes de densidade de mesma orientação. Tais volumes, de forma simplificada, são a soma vetorial dos momentos magnéticos do átomo.

Na indústria, a procura por materiais que apresentam boas características magnéticas é de fato recorrente quando a aplicação se dá para o desenvolvimento de dispositivos eletromagnéticos. É rele-vante evidenciar que grande parte dos materiais magnéticos utilizados na indústria possuem estrutura policristalina. O arranjo estrutural do metal é formado por uma infinidades de cristais, também chama-dos de "grãos"ou cristalitos((FIORILLO, 2004),(CULLITY, 2009)). A Figura 3.1 representa os arranjos dos domínios estruturais do

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42 Capítulo 3. Propriedades Magnéticas e Cristalografia

policristalino de um aço Fe-Si.

Os materiais que apresentam estrutura policristalina pos-suem propriedades que comumente dependem das características individuais de cada grão que a constitui e dos parâmetros estruturais do policristal, ou seja, depende dos tamanhos, formas, disposições e orientações cristalográficas de cada elemento desta rede formada. Os cristais por sua vez, também podem conter ligeiros defeitos em sua estrutura, que podem alterar drasticamente as suas propriedades magnéticas ((FIORILLO, 2004),(CULLITY, 2009)).

Figura 3.1 – Domínios do Policristalino de uma aço Fe-Si (CULLITY, 2009)

A base do ferromagnetismo é a magnetização espontânea do policristal((FIORILLO, 2004);(JILES, 2015)). Sabe-se também que a rede do policristal pode apresentar um certo grau deformação e esta deformação é chamada de magnetostrição. Ambos os efeitos da magnetização espontânea e a magnetostrição do material são de características anisotrópicas, isto é, dependem da direção cristalográ-fica em que eles estão sendo considerados. Assim as propriedades de um material policristalino dependerá da distribuição das orientações

(45)

3.1. Domínios Magnéticos 43

cristalográficas, ou seja, da textura do material.

A magnetização espontânea em um material ferromagnético não é definida de forma aleatória. Tal explicação se remete ao forte campo molecular originado pela interação de troca direta entre spins de átomos vizinhos que os orientam paralelamente no grão magnético.

No entanto, a simetria da rede cristalina afeta tais processos de troca molecular, fazendo com que existam determinados eixos preferenciais de magnetização, determinando assim a anisotropia magnetocristalina. Tal eixo preferencial de magnetização está direta-mente ligado à orientação dos momentos magnéticos, que por sua vez está associada a uma energia de anisotropia magnetocristalina. Ou seja, energia anisotrópica é a mínima energia demandada quando os momentos magnéticos estão orientados ao longo desdes eixos de fácil magnetização. A menor estrutura de formação do metal, o cristalito, exibe uma direção privilegiada de magnetização, que é um eixo onde os grãos estão orientados de tal forma que a magnetização aconteça mais facilmente.

Os grãos podem ser orientados aleatoriamente e, portanto, é composto de um grande número de áreas magnetizadas em direções aleatórias. Com a devida aplicação de tecnologia, é possível também ordenar todos os cristalitos em uma determinada direção e assim assegurar uma direção cristalográfica preferencial da textura. Tal di-reção quando posicionada no mesmo sentido da didi-reção de laminação do aço, é comumente chamada de aço de grãos orientados (GO).

Como já mencionado, cada cristalito possui um tamanho, uma estrutura e até mesmo pode apresentar impurezas e deformações. Tais circunstâncias influenciam de forma direta na magnetização do material e o equilíbrio da energia do cristal.

3.1 DOMÍNIOS MAGNÉTICOS

Em materiais magnéticos, existem pequenas regiões de mag-netização espontânea, ou seja, micro-áreas magnetizadas que possuem uma direção da magnetização, e frequentemente são chamados de domínios magnéticos. Foi em 1906 que Weiss mostrou que existe

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a interação entre o campo e o momento atômico dentro do mate-rial ferromagnético e conseguiu provar que esta interação provoca o alinhamento dos momentos magnéticos (STEWART, 2016).

Sobre a estrutura dos domínios magnéticos, pode-se dizer que existe uma separação física entre os domínios de lados opostos da direção de magnetização. Tal estrutura de separação passou a ser chamada de paredes do domínio ou "paredes de Bloch". Pode ser visualizado na Figura 3.2 uma representação das paredes do domínio para dois domínios orientados em direções opostas.

Figura 3.2 – Paredes de Bloch (Fonte: Autor)

Na época da descoberta de Weiss existia a seguinte questão: por que todo o material magnético não é magnetizado de forma espontânea? Em 1935, Landau e Lifschitz mostraram que a estrutura de domínios é uma consequência natural das várias contribuições das energias de anisotropias associadas a um material ferromagnético (LANDAU; LIFSHITZ, 1935). A estrutura de domínios surge da minimização da energia livre magnética. Porém o termo principal responsável pela formação dos domínios é a energia magnetostática, embora os demais termos da energia livre fossem importantes.

Assim um único domínio magnético tem associado a ele uma grande energia magnetostática. A divisão da magnetização em regiões específicas, ou seja nos domínios, proporciona o confinamento do fluxo em regiões locais reduzindo a energia magnetostática total. A ocorrência da diminuição da energia e a "quebra"das regiões de

(47)

3.1. Domínios Magnéticos 45

magnetização somente é possível quando a energia magnética do domínio se mostra maior do que a energia necessária para formar paredes do domínio magnético.

A Figura 3.3 apresenta o processo de formação de um do-mínio magnético. Para cada estado subsequente, apresenta-se uma combinação de menor energia. O último estágio de energia magnetos-tática mínima está praticamente sem fluxo disperso e toda a energia magnética está contida dentro do material.

Figura 3.3 – Dominios Magnéticos (Fonte: Autor)

Carr em 1969 e Hubert e Schäfer em 1998, estabeleceram que a energia local de um material pode ser definida da seguinte forma ((HUBERT; SCHÄFER, 2008)):

• Energia magnetostática: energia associada a campos desmagne-tizadores;

• Energia magnetocristalina: energia associada com anisotropia de cristais;

• Troca de energia: troca de interação entre momentos magnéticos vizinhos;

(48)

• Energia de parede de domínio: energia associada a interação entre spins de elétrons vizinhos.

Nesta dissertação foi abordado de forma mais extensiva a energia magnetocristalina.

3.2 PROCESSO DE MAGNETIZAÇÃO

Em 1907 foi estabelecida a teoria do momento magnético por Weiss. Weiss aborda que nos materiais ferromagnéticos, de acordo com a forte interação entre os momentos magnéticos, são constituídos pequenos de volumes denominados domínios, mesmo considerando a ausência de um campo externo aplicado. Cada domínio é formado por dipolos atômicos perfeitamente alinhados de forma paralela, a fim de que a magnetização dentro de cada domínio atinja a saturação. Este conceito já foi citado previamente e tal fenômeno é dito como magnetização espontânea.

Quando é aplicado um campo magnético H0 a um material ferromagnético, sucede-se então uma reordenação dos domínios mag-néticos a fim de garantir a energia do sistema mínima, como ocorre na Figura 3.4. Tal rearranjo pode ser determinado pela movimentação dos momentos magnéticos e também da movimentação das paredes do domínio (Figura 3.4).

Figura 3.4 – Movimentação das paredes do domínio quando aplicado campo externo (Fonte: Autor)

As movimentações das paredes dos domínios é caracterizada pelo deslocamento das paredes a fim de se obter um aumento signifi-cativo dos domínios no mesmo sentido ao campo aplicado, e como

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3.2. Processo de Magnetização 47

resultado deste deslocamento ocorre a diminuição dos domínios de orientações diferentes a aplicação do campo.

Ainda sobre a movimentação dos domínios, tal fenômeno pode ser descrito de forma reversível ou irreversível e está diretamente ligado à intensidade do campo aplicado no material.

Ao submeter um campo externo em um material ferromagné-tico, os domínios que possuem direção próxima à direção de incidência do campo começam a aumentar, caracterizando o deslocamento rever-sível das paredes dos domínios. Os domínios aumentam no sentido do campo aplicado e os demais que permanecem com sentidos opostos acabam sendo comprimidos por esse aumento. Este processo ocorre até o momento em que os domínios remanescentes de sentidos dife-rentes ao campo aplicado são tomados pelo crescimento dos domínios vizinhos. Esse processo é tido como irreversível. A representação de tal processo pode ser visualizado na Figura 3.4.

No processo de rotação dos momentos, o fenômeno é dito irreversível, pois o crescimento do domínio já chegou ao seu limite ao ponto de se necessitar de campos extremamente altos para promover o alinhamento na mesma direção. E quando o campo externo é retirado, nem todos os domínios voltam ao seu estado de origem((JILES, 2015), (CULLITY, 2009)).

(50)

Figura 3.5 – Processo de Magnetização (Fonte: Autor)

A movimentação das paredes ocorre principalmente até o “joelho” da curva de magnetização e a rotação dos momentos é predominante a partir deste ponto. Na região de saturação, ou seja no processo de rotação dos momentos, é realizado um trabalho que atua contra as forças anisotrópicas, pois nesta região é necessário aplicar um grande aumento na excitação de campo para produzir um pequeno ganho de indução.

Um material está saturado quando, os domínios magnéticos apresentam o mesmo alinhamento com o campo externo aplicado, e cada material possui seu ponto único de saturação.

Sobre ainda o processo de magnetização apresentado na Figura 3.5, pode-se dizer que a divisão da curva entre os processos de movimentação reversível,irreversível e rotação dos momentos é um pouco grosseira mas aceitável, pois a movimentação das paredes e rotação dos momentos não são processos claramente divisíveis. Na prática, adotando qualquer nível de magnetização, pode estar acontecendo o movimento das paredes em uma porção da amostra

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3.3. Texturas cristalográfica 49

e rotação em outra ao mesmo tempo em certas orientações de uma amostra de cristal.

3.3 TEXTURAS CRISTALOGRÁFICA

A textura é definida somente partir da distribuição e orien-tação dos cristalitos não existindo assim a dependência relativa ao seus tamanhos e formas.

Ao analisar a energia total magnética de um cristal ideal, pode-se observar que esta energia não é somente em função das dire-ções cristalográficas da magnetização intrínsecas a ele, mas também a forma e o tamanho do cristal influenciam na distribuição do campo magnético dentro do cristal. Em outras palavras, a textura é mais um dos vários parâmetros estruturais que agregam as propriedades magnéticas de um material policristalino.

Em 1934, Goss criou o método de produção de aço elé-trico de ferro-silício texturizado (ZUREK, 2017). Através de pro-cessos metalúrgicos que combinavam a laminação (rolling) e recozi-mento(anneling), desenvolveu uma tecnologia que resultou em uma textura (110)[100] que é a estrutura chamada "cubo de borda". Nesta textura os cristais são posicionados com um "eixo-fácil"próximo a di-reção de laminação. Esta tecnologia é comumente usada na fabricação aços para equipamentos elétricos em todo o mundo.

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Pode-se destacar a textura de face centrada (100)[001], que é também uma textura que possui um eixo preferencial de mag-netização. Esta textura é característica das ligas de permalloy e foi descoberta por Graham em 1969. Tal textura também pode ser chamado de aço cubo-face ou duplo orientado (Figura 3.7).

Figura 3.7 – Cubo face centrada - Modificado (TUMANSKI, 2006)

Pode-se também visualizar os cristais cúbicos e suas direções de textura através da Figura 3.8.

Figura 3.8 – Cubo face centrada e Cubo de borda - (CULLITY, 2009)

A textura pode ser genericamente definida como uma condi-ção na qual a distribuicondi-ção das orientações dos grãos de um policristal não é aleatória. É importante destacar que a textura não se refere à forma dos grãos, mas sim à forma como a rede cristalina desses

(53)

3.3. Texturas cristalográfica 51

grãos é arranjada especialmente. Na existência de um material onde os cristais constituintes (grãos) do corpo policristalino são orientados de forma aleatória, é tido que o corpo como um todo não exibirá anisotropia cristalina. Em contrapartida, caso os cristais possuam um arranjo da rede na orientação preferencial, que é também chamada de textura cristalográfica, então o próprio agregado policristalino terá uma anisotropia ditada pela média ponderada de cada cristal individual. Ou seja, o tipo da textura que o material possui depende da sua forma e de como ela foi formada.

A intensidade desta anisotropia depende do grau de alinha-mento dos cristais. Sabe-se que a orientação preferencial pode ser introduzida por diversas técnicas industriais e deste modo, a anisotro-pia cristalina é frequentemente explorada no fabricação de materiais magnéticos.

Sabe-se que existem limitações com relação a formação do cristal e as atuais técnicas ainda não foram capazes de promover alte-rações marcantes de qualquer tipo no policristalino. Como exemplo, temos a aplicação de processo de deformação e recristalização do fio de ferro, que originalmente estão na direção [110], e resiste a qualquer tentativa de girar as direções fáceis do [100] que são paralelas ao eixo do fio (CULLITY, 2009).

Em todo caso, as texturas nos metais podem também ser adquiridas durante algum processo que promova deformação (texturas de deformação) ou também adquirida durante um tratamento térmico de recristalização (texturas de recristalização). Por outro lado, o controle da orientação do eixo fácil é relativamente simples de ser alcançado, pois quando em sua fabricação pode-se realizar o processo de prensagem ou sinterização de um pó metálico ou não-metálico para o caso das partículas individuais de monocristais. O processo da prensagem envolve somente a aplicação de um campo magnético forte na direção necessária durante a operação de prensagem. Já o processo de sinterização ocorre quando as partículas de pó ainda estão soltas, e o alinhamento com seus eixos-fáceis para cada partícula em relação campo aplicado ocorre através da aplicação de um campo externo. Somente após a ocorrência do alinhamento que aplica-se o processo

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da compactação dessas partículas que as bloqueia nesta orientação quando o pó é comprimido.

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Capítulo 4

Anisotropia Magnética Modelada

através de funções de

distribuição de orientação - ODF

A anisotropia é uma propriedade física dos cristais e denota dependência das propriedades do material em relação à direção em que está sendo realizada a sua excitação. Em outras palavras, o material exibe anisotropia se suas propriedades mudam de acordo com a direção de magnetização. A anisotropia magnética está diretamente ligada à simetria da rede cristalina((FIORILLO, 2004);(CULLITY, 2009)).

4.1 CRISTAIS ANISOTRÓPICOS

Para melhor entendimento sobre a anisotropia é importante compreender a origem física dos cristais anisotrópicos e suas intera-ções. Para tal é necessário ter o entendimento sobre a movimentação dos elétrons e os diferentes níveis de energia nas estruturas atômicas dos materiais.

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54

Capítulo 4. Anisotropia Magnética Modelada através de funções de distribuição de orientação - ODF

de movimentações podem ser associados ao comportamento magné-tico dos materiais. São eles: àqueles atribuídos à movimentação dos elétrons em órbita, aqueles associados ao spin do elétron e ao spin nuclear (Figura 4.1).

Figura 4.1 – Modelo simplificado de um Átomo (IVÁNYI, 1997)

A anisotropia de um cristal é devida principalmente à inte-ração spin-órbita. Esta inteinte-ração refere-se à troca entre dois spins de átomos vizinhos, dito que é um acoplamento spin-spin. Tal aco-plamento pode ser muito forte e atua para manter os spin vizinhos paralelos ou antiparalelos um ao outro ((FIORILLO, 2004);(CUL-LITY, 2009)).

A “Rede” é formada por vários núcleos atômicos dispostos no espaço, e cada um possui sua nuvem circundante de elétrons orbitais. Pode-se dizer que interação spin-rede também é uma interação fraca em comparação ao acoplamento rede-orbita.

Existe também uma interação entre o spin e o movimento orbital de cada elétron. Ao aplicarmos um campo externo esta in-teração tenta reorientar o spin do elétron e, como consequência, a órbita desse elétron também tende a ser reorientada. Sabe-se a órbita está vigorosamente acoplada à rede e, portanto, se mostra resistente à tendência do movimento de giro do eixo de rotação. A energia necessária para que ocorra a rotação de um domínio na sua direção

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4.2. Energia Anisotrópica 55

de fácil magnetização, que é chamada de energia anisotrópica, é a única energia necessária para superar o acoplamento energético spin-órbita, que por sua vez é relativamente mais fraco pois os campos geralmente aplicados são somente suficiente para promover o giro dos spins((IVÁNYI, 1997),(CULLITY, 2009),(JILES, 2015)).

Figura 4.2 – Interação Spin-Orbita-Rede (Fonte : Autor)

A Figura 4.2 apresenta a interação spin-órbita-rede que me-lhor dizendo é a interação de troca dos spin entre átomos vizinhos na rede cristalina. Anisotropia intrínseca do material, que é a aniso-tropia magnetocristalina, influencia diretamente a forma que a rede cristalina se comporta.

4.2 ENERGIA ANISOTRÓPICA

A energia anisotrópica armazenada no cristalino está as-sociada às direções preferenciais de alinhamento. Uma vez que os momentos magnéticos estão posicionados sobre estas direções, a energia é considerada mínima e apresenta uma amostra com menor campo de saturação. Neste contexto, os eixos preferenciais também chamados eixos de fácil magnetização (easy-axis) apresentam um maior campo de saturação em relação aos demais eixos, como por exemplo os eixos-duros (hard-axis)(FIORILLO, 2004).

Foi somente em 1926 que Honda e Kaya conseguiram mos-trar a existência das direções preferenciais de magnetização diferen-tes magnetizações através de estudos em monocristais cúbicos de ferro(HONDA; KAYA; MASUYAMA, 1926).

(58)

56

A Figura 4.3 apresenta as curvas de magnetização de cristal de ferro, que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado. O mo-nocristal ferro exibe excelentes propriedades magnéticas ao longo do eixo de <100> que é eixo fácil de magnetização. Nota-se que é necessário um campo magnético muito mais intenso para magnetizar o monocristal de ferro nas direções cristalinas <110> e <111>.

Figura 4.3 – Magnetização de um monocristal cúbico de ferro (CUL-LITY, 2009)

Honda e Kaya concluíram que para caso do monocristal cúbico de ferro a direção de fácil magnetização é a direção <100>, que também pode ser chamada direção espontânea. Onde em cada domínio, os momentos magnéticos atômicos se alinham paralelamente às direções de fácil magnetização.

Em aços de GO o eixo de fácil magnetização coincide com a chamada de direção rolamento (rolling direction) e sua textura é in-duzida por processos especiais de redução de espessura por laminação a quente ou a frio.

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4.2. Energia Anisotrópica 57

um transformador é realmente desejável que os cristais das lâmina do aço apresentem as propriedades do eixo de fácil magnetização para as direções onde já se tem o conhecimento de como o fluxo magnético percorre o núcleo. Em vista disto, os núcleos dos transformadores podem ser construídos com lâminas de grãos orientados que são cortadas no sentido sentido da laminação (RD), garantindo assim o eixo de fácil magnetização no mesmo sentido de corte da lâmina.

Já em máquinas elétricas rotativas, como o fluxo magnético muda periodicamente de direção, a eliminação da anisotropia é sempre pauta durante o projeto, pois perdas adicionais são geradas caso seja escolhido um material com anisotropia significativa.

Em 1929 o físico russo Akulov mostrou que a energia aniso-trópica do cristalino pode ser expressa por meio de uma expansão em série de cossenos, levando em consideração a direção de magnetização de saturação em relação aos eixos de cristal cúbico (STEWART, 2016). E = K0+ K1 α2₁α2₂+ α2₂α2₃+ α2₃α2₁+ K2 α2₁α2₂α2₃ (4.1)

Na Equação 4.1, α1 , α2 e α3 são os cossenos direcionais da

magnetização relativos aos eixos do cristal cúbico; K1, K2 são as

constantes de anisotropia e K0 é a contribuição energética da

isotro-pia. E na equação apresentada a força da anisotropia em qualquer cristal é medida pela magnitude das constantes de anisotropia.

Para determinação das constantes direcionais utilizados em sua formulação, Akulov trabalhou com a aplicação de um campo magnético em cristal cúbico de ferro. Em seus trabalhos Akulov adicionou um termo extra que é referente à energia livre, ou seja, é a energia da magnetização do campo externo, onde Is é a intensidade de magnetização de domínios, H é o campo magnético e θ é o ân-gulo entre as direção. Sabe-se então, que a direção de equilíbrio da magnetização dos domínio sob a ação combinada de forças magne-tocristalinas e o campo externo é definida pela somatória dos dois termos referentes a energia livre (STEWART, 2016).

(60)

58

Para o fim do entendimento sobre as constantes direcionais de magnetização relativo aos eixos do cristal, observe a Figura 4.4, que expressa o domínio de magnetização em um cristal cúbico na direção [110].

Figura 4.4 – Direção do domínio de magnetização com o campo aplicado em um cristal na direção [110] (STEWART, 2016)

As constantes α1, α2, α3são relativas ao eixo do cristal cúbico

em termos de θ e o campo aplicado e estão relacionadas através de termos cossenoidais expressos da forma como: α1= cos(45◦− θ) , α2= cos(45◦+ θ) , α3= 0.

4.3 ANISOTROPIA ELETROMAGNÉTICA REPRESENTADA POR ODF’S (ORIENTATION DISTRIBUTION FUNCTION ) A teoria das ODF’s pode ser usada para fornecer a expressão de qualquer propriedade física de um material policristalino. Esta teoria foi aplicada para expressar a densidade do fluxo magnético B dentro de lâminas de aço de grão orientado através de uma série de cossenos de 3ª ordem ((BUNGE, 1969);(CAMPOS, 2006)).

A idéa da ODF, apesar da matemática complexa, é rela-tivamente simples. Deseja-se obter o comportamento de um dado

(61)

4.3. Anisotropia Eletromagnética representada por ODF’s (Orientation

Distribution Function) 59

material quando submetido à um campo em um ângulo arbitrário, com relação a direção de laminação (RD). Para tanto, são necessários informações sobre o comportamento do material para três direções conhecidas: a RD, a TD, e a de 45◦_{. A Figura 4.5 ilustra a ideia de}

diferentes curvas BH em uma lâmina.

Figura 4.5 – Representação das diferentes curvas BH desenvolvidas sob o material ferromagnético no sentido de laminação (Concepção ODF) (Fonte: Autor)

A Equação 4.2 evidencia que a ODF está diretamente rela-cionada com as direções θ da densidade de fluxo magnético e com campo magnético H aplicado. O número de termos da expressão refere-se à ordem da equação, ou seja, é de terceira ordem.

B(H, θ) = A1(H) + A2(H)cos(2θ) + A3(H)cos(4θ) (4.2)

Onde B(H,θ) é a curva BH do material para uma excitação em uma direção θ arbitrária no material. Adotando B(H,0◦₎_{, ou seja} θ = 0◦, a curva BH para o material está sendo excitada na mesma

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60

Os coeficientes da equação Ai são calculados através das relações abaixo: A1= 1 4 h B(H, 0◦) + B(H, 90◦) + 2B(H, 45◦)i (4.3) A2= 1 2 h B(H, 0◦) − B(H, 90◦)i (4.4) A3= 1 4 h B(H, 0◦) + B(H, 90◦) − 2B(H, 45◦)i (4.5) Vale destacar que θ na Equação 4.2 é o ângulo entre o campo magnético H e o sentido laminação da chapa (RD). Os coeficientes da equação Ai são determinados a partir de dados experimentais obtidos ao longo da caracterização do material ao longo do RD(0◦_),

TD(90◦_{) e em 45}◦ _{em relação a RD.}

Para que seja calculado os coeficientes da ODF de terceira ordem, é necessário a utilização de três curvas experimentais para três direções distintas. As curvas utilizadas para obtenção da curva BH de angulação intermediaria do modelo proposto por Bunge são as de (0◦_{) , (45}◦_{) e (90}◦_{). A ideia do modelo ODF pode ser representada}

pela Figura 4.6.

Figura 4.6 – Representação do modelo ODF baseado em 3 curvas experimentais (Fonte: Autor)

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Artigos recentes analisaram o grau de representabilidade deste modelo com as caracterizações chapas de grãos orientados ((CHWASTEK et al., 2015);(BOROWIK; CHWASTEK, 2017);(ZU-REK; BOROWIK; CHWASTEK, 2018)). Alguns autores notaram que existe algumas lacunas entre o modelo e as medições. Tais lacu-nas se devem ao fato de considerar a utilização da equação somente com três coeficientes, ou seja, considerar a ODF somente na terceira ordem.

Em vista desta situação, neste trabalho foi generalizada a ordem da Equação 4.2 para que seja utilizada com quaisquer ordens que se desejar. O aumento de ordem foi citado por (BUNGE, 1969) e o modelo que utiliza tal técnica foi proposto e testado por (JIANG; ROSSI; PARENT, 2018). Tais equacionamentos serão mostradas na próxima seção.

4.3.1 Aumento de Ordem

Considerando que a ODF fornece a expressão de qualquer propriedade física de um material policristalino, representada pela Equação 4.2, nesta seção será investigado o aumento da ordem do modelo ODF.

Bunge em seu livro propõem que o modelo ODF pode ser generalizado pela Equação 4.6, ao qual pode-se trabalhar com o modelo de forma mais complexa, apresentando o equacionamento com quantos coeficientes Ai desejar.

b(H, θ) =

n

X

i=1

Ai(H)cos(2(i − 1)θ) (4.6)

Onde, n é a ordem de decomposição e os coeficientes Ai são determinados a partir de n curvas experimentais. Tal que para um dado valor de ângulo θ, o ângulo preferencial permanece dentro intervalo entre 0◦ _{e 90}◦_.

Foi em 2018 que Jiang et al, apresentaram um sistema um sistema de aumento de ordem para que fosse possível a utilização

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de um número maior de curvas de caracterização, e não somente as relativas às direções transversal, laminação e direção de (45◦_).

Para um dado valor de campo magnético denotado H0, a

resolução do sistema(4.7) proporciona a determinação dos coeficientes da equação genérica(4.6), para qualquer número de curvas inseridas.

    cos(2(i − 1)θi) · · · cos(2(i − 1)θi) ... cos(2(i − 1)θj) ... cos(2(i − 1)θn) · · · cos(2(i − 1)θn)     ·     A1(H0) ... An(H0)     =~ (4.7) ~ =     B(H0, θ1) ... B(H0, θn)     (4.8)

Vale lembrar que tal procedimento de aquisição dos coe-ficientes do modelo ODF pode ser realizado quantas vezes forem necessárias para diferentes valores de H0 no intervalo desejado.

A fim de testar a validade do equacionamento do aumento de ordem, será realizado o procedimento de cálculo inverso, onde as Equações(4.7) e (4.8) serão alimentadas com coeficientes de terceira ordem e as três curvas proposta por Bunge. O teste tem como finalidade obter os valores dos coeficientes Ai da equação de terceira ordem, listadas nas Equações 4.3 a 4.5.

  

cos(2(1 − 1)0◦) cos(2(2 − 1)0◦) cos(2(3 − 1)0◦)

cos(2(1 − 1)45◦) cos(2(2 − 1)45◦) cos(2(3 − 1)45◦)

cos(2(1 − 1)90◦) cos(2(2 − 1)90◦) cos(2(3 − 1)90◦)

  ·    A1(H0) A2(H0) A3(H0)   =~ (4.9) ~ =    BH(H0, 0◦) BH(H0, 45◦) BH(H0, 90◦)    (4.10)

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Resolvendo o sistema linear acima descrito, obtem-se que:

   1 1 1 1 0 −1 1 −1 1   ·    A1(H0) A2(H0) A3(H0)   =    BH(H0, 0◦) BH(H0, 45◦) BH(H0, 90◦)    (4.11)    A1(H0) A2(H0) A3(H0)   =    1 4 1 2 1 4 1 2 0 − 1 2 1 4 − 1 2 1 4   ·    BH(H0, 0◦) BH(H0, 45◦) BH(H0, 90◦)    (4.12)    A1(H0) A2(H0) A3(H0)   =    +1₄BH(H0, 0◦) +1₂BH(H0, 45◦) +1₄BH(H0, 90◦) +1₂BH(H0, 0◦) 0BH(H0, 45◦) −1₂BH(H0, 90◦) +1₄BH(H0, 0◦) −1₂BH(H0, 45◦) +1₄BH(H0, 90◦)    (4.13)          A1(H0) = h +1₄BH(H0, 0◦) +1₂BH(H0, 45◦) +1₄BH(H0, 90◦) i A2(H0) = h +1₂BH(H0, 0◦) 0BH(H0, 45◦) −1₂BH(H0, 90◦) i A3(H0) = h +1₄BH(H0, 0◦) −1₂BH(H0, 45◦) +1₄BH(H0, 90◦) i (4.14)          A1(H0) = +1₄ h BH(H0, 0◦) +2BH(H0, 45◦) +BH(H0, 90◦) i A2(H0) = +1₂ h BH(H0, 0◦) −BH(H0, 90◦) i A3(H0) = +1₄ h BH(H0, 0◦) −2BH(H0, 45◦) +BH(H0, 90◦) i (4.15) Fatorando-se as contantes de cada coeficiente referente a Equação 4.14, se obtêm os mesmos coeficientes A1,A2,A3 propostos

por Bunge. Mostrando assim que o sistema de aumento de ordem genérico é valido para representar a equação ODF para qualquer valor de ordem desejado.

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4.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O TENSOR DE PERMEABILI-DADE

Nas seções anteriores, o tensor de permeabilidade para o caso da não ocorrência de defasagem entre ~B e ~H foi definido como:

" Bx By # = " µx 0 0 µy # " Hx Hy # (4.16)

Assumiu-se que não há interdependência entre as grandezas, ou seja, os elementos fora da diagonal principal são nulos, conforme a Equação 4.16. Esta simplificação precisa ser realizada, pois o modelo ODF em sua origem necessita de curvas obtidas com campos pulsantes (Quadro de Epstein). Tal relação é válida por considerar que o módulo de ~B e o módulo de ~H são colineares e apresentam o

mesmo ângulo relativo entre os eixos (Figura 4.7). Podendo então de fato simplificar a notação tensorial e assim representá-lo somente como um escalar.

Figura 4.7 – Representação da colinearidade dos vetores de campo e indução magnética (Fonte: Autor).

" µx 0 0 µy # = µ " 1 0 0 1 # (4.17)

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4.4. Considerações sobre o tensor de Permeabilidade 65 Bθ= µθ " 1 0 0 1 # Hθ (4.18) Bθ= µθHθ (4.19)

Na Equação 4.19, µθ é verdadeiramente considerado escalar, sendo dependente do nível de excitação e também do ângulo do campo ou indução no material.

Para a caracterização de um dado material é necessário um conjunto de curvas BH medidas para diferentes direções de excitação das lâminas. Desta forma, utilizando o método das ODF’s, será possível se obter a permeabilidade magnética para diferentes ângulos e níveis de excitação.

De maneira geral, dois métodos podem ser usados para se obter as curvas BH experimentais: O primeiro método é fazendo o uso do quadro de Epstein e o segundo é através do dispositivo RSST (Rotational Single Sheet tester). Em ambos os casos, as curvas devem ser pulsantes para no tempo para diferentes ângulos de excitação.

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Capítulo 5

Resultados

5.1 MODELAGEM DA ANISOTROPIA VIA ODF’S

A inclusão do fenômeno da anisotropia em uma ferramenta de cálculo de campos aplicado ao método de elementos finitos será realizada por meio do equacionamento da ODF’s. Nas etapas abaixo, será explicado como foi realizado a inserção do modelo ODF com o método de elementos finitos.

5.1.1 Etapa 1 - Dados experimentais

É necessário um conjunto de dados experimentais, curvas BH, para diferentes direções de excitação no material. Tais curvas podem ser obtidas com o quadro de Epstein utilizando-se de lâminas cortadas em diferentes ângulos em relação à direção de laminação (RD).

No equacionamento original proposto por Bunge (Equação 4.2), a ODF apresentada é de 3◦ _{ordem, o que exige somente três}

curvas medidas (BH(0◦_{), BH(45}◦_{) e BH(90}◦_{)). Neste caso, a equação}

4.2 necessita somente de três coeficientes (A1,A2 e A3).

Os dados experimentais devem ser processados para que se evite ruídos das medições (filtragem) pois poderá afetar a