Aula9_ESZS012-17 - Aplicações de Elementos Finitos para Engenharia

(1)

Prof. Dr. Wesley Góis – CECS/UFABC

São Bernardo do Campo, março de 2020

ESZS012-17 - Aplicações de Elementos

Finitos para Engenharia

Primeiro Quadrimestre de 2020

-Universidade Federal do ABC

CECS – Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências

Sociais Aplicadas

Engenharia Aeroespacial

(2)

Ø

Extensão para a análise de pórticos planos

As barras de pórticos planos podem estar submetidas a efeitos combinados de deformação por flexão e por força normal.

Dentro dos limites do comportamento linear é possível admitir válida a superposição de efeitos, de modo que uma barra de pórtico acumula tanto a rigidez , por flexão e por força normal, estudadas anteriormente nas barras de treliça e viga.

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

Em cada nó do elemento, agora dito de barra geral, aparecem três graus de liberdade, relacionados aos deslocamentos axial e transversal ao eixo e ao giro.

(3)

Este elemento admite ainda forças axialmente e transversalmente distribuídas, além de forças concentradas aplicadas diretamente nos nós.

Em razão do número total de graus de liberdade, a matriz de rigidez

possui ordem e o vetor de forças nodais equivalentes ordem .

Barras dispostas em direção qualquer do plano, de modo que seus eixos podem não estar alinhados com as direções dos eixos de referência adotados para a estrutura no plano.

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(

6 6´

)

(

6 1´

)

Mesmo desenvolvimento feito para as treliças planas è discretizado por número de nós e barras. Em cada nó define-se um conjunto de três graus de liberdade associados às componentes de deslocamento segundo as direções dos eixos de referência adotados e ao giro do plano.

(4)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

g g g

K u = F

1

Onde o índice refere-se ao sistema global adotado para posicionar a estrutura.

g

O conjunto formado pelos graus de liberdade independentes de cada nó do pórtico compõe um vetor de deslocamentos nodais.

Ao pórtico correspondente, então, uma matriz de rigidez cuja ordem decorre do número total de gruas de liberdade definidos na discretização e que pode ser gerada pelas contribuições das matrizes de rigidez de cada uma de suas barras.

Por outro lado, às forças aplicadas diretamente nas barras ou nos nós correspondente um vetor de forças nodais equivalentes, o qual também pode ser montado pelas contribuições dos vetores de forças equivalentes de cada elemento.

(5)

Para realizar a montagem da matriz de rigidez global a partir das contribuições das matrizes de rigidez de cada elemento é preciso

inicialmente estender a matriz do elemento de ordem , por

sobreposição dos efeitos de treliça e viga e , posteriormente referenciá-la ao sistema de referência global.

Nesse sentido, considerem-se as representações de barras e graus de liberdade indicadas na figura abaixo.

(

6 6´

)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(6)

Figura 01 a è apresenta-se o caso de elemento finito de barra de

treliça, com graus de liberdade locais formados somente por

deslocamentos axiais.

Figura 01 b è apresenta-se o elemento finito de pórtico, já com seis graus de liberdade nodais dispostos segundo referencial local atrelado às direções do eixo da barra e transversal a ele.

Figura 01 c è apresenta-se o elemento finito de pórtico com graus de liberdade dispostos segundo um referencial global.

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

Superposição dos casos de treliça e viga para gerar o elemento de pórticoè Num primeiro passo as matrizes de rigidez de cada caso são

expandidas para a dimensão , com conveniente posicionamento

dos seus elementos. No passo seguinte as matrizes são expandidas são somadas.

(7)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

( ) ( ) ( ) e 1 L 1 L 1 1 e L 2 2 L _e 2 L 2 L A 1 0 u 0 0 v u 0 0 θ 0 1 u u 0 0 v 0 0 θ ì ü é ù ï ï ê ú ï ï ê ú ì ü ï ï ê ú ï ï ₌ ï ï í ý ê ú í ý ï ï ê ú ï_î ï_þ ï ï ê ú ï ï ê ú ï ï ë û î þ 123 Matriz de Mapeamento

2

Para o elemento de treliça, entre os graus de liberdade mostrados nas figuras 1a e 1b, pode-se construir a seguinte relação, caracterizada pela matriz de mapeamento ( )e .

(8)

LT EA EA 0 0 0 0 L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K EA EA 0 0 0 0 L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 é _- ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú = ê_- ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û LT 1 0 0 0 _EA _EA 0 0 _L _L 1 0 0 0 0 0 K 0 1 EA EA 0 0 0 1 0 0 L L 0 0 0 0 é ù ê ú é ù ê ú -ê ú ê ú _é _ù = _ê _ú ê ú_ê _ú ë û ê ú ê _ú -ê ú ê _{ú ë} _û ê ú ë û

Nota-se, claramente, que as linhas e colunas dessa matriz expandida

indicam que a barra tem preservada a característica de rigidez apenas às deformações

axiais. ( ) ( )T e e LT K = A KA

(

2 2´

)

(

6 6´

)

3

4 Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(9)

LT qL 1 0 ₂ 0 0 _qL 0 0 0 ₂ 0 F 0 1 qL qL 2 2 0 0 0 0 0 0 ì ü ï ï é ù ï ï ê ú ï ï é ù ê ú ï ï ê ú ê ú _ï _ï = _ê _ú ê ú = _í _ý ê ú ê ú ï ï ê ú ê ú _ë _û ï ï ê ú ï ï ë û ï ï ï ï î þ ( )e LT F = A F

Vetor de forças nodais

(

6 1´

)

(

2 1´

)

Para o caso de força uniformemente distribuída

5

6 Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(10)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

Em relação à barra de viga vale desenvolvimento análogo, isto é, estabelece-se primeiramente a matriz de mapeamento:

( )e 1 L 1 1 L L 1 1 L L 2 2 L L 2 2 L L 2 L A 0 0 0 0 u 1 0 0 0 v v 0 1 0 0 θ θ 0 0 0 0 u v 0 0 1 0 v θ 0 0 0 1 θ ì ü é ù ï ï ê _{ú ì ü} ï ï ê _{ú ï ï} ï ï ê ú ï ï ₌ ï ï í ý ê ú í ý ï ï ê ú ï ï ï ï ê ú ï ï_{î þ} ï ï ê ú ï ï ë û î þ 1442443 Matriz de Mapeamento

7

(11)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

3 2 3 2 2 2 LV 3 2 3 2 2 2 12 6 12 6 0 0 0 0 L L L L 1 0 0 0 ₆ ₄ ₆ ₂ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 _L _L _L _L 0 0 1 0 0 0 K EI 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 0 0 1 0 L L L L 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 6 2 6 4 0 0 0 1 L L L L é _- ù é ù ê ú ê ú ê _{ú é} _ù ê ú ê _- ú _ê _ú ê ú ê _{ú ê} _ú = ê ú _ê _{ú ê} _ú ê ú _ê_- _- _- _ú _ê _ú ê ú ê _{ú ë} _û ê ú ê ú ë û ê - ú ë û

(12)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

3 2 3 2 2 2 LV 3 2 3 2 2 2

0

12

6

12

6

0

0 L

L

6

4

6

2

0

0 L

L

K

EI

0

12

6

12

6

0

0 L

L

6

2

6

4

0

0 L

L

é

ù

ê

ú

ê

_-

ú

ê

ú

ê

ú

-ê

ú

ê

ú

=

ê

ú

ê

ú

ê

_-

ú

ê

ú

ê

ú

ê

_-

ú

ë

û

8

(13)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

( )e 2 2 LV 2 2 A

0 pL

pL

0

0 ₂

₂

1

0

0 _pL

_pL

0

1

0

0 ₁₂

₁₂

F

0

0 pL

0

2

0

1

0 pL

pL

₂

0

1

12 _pL

12 ì

ü

ï

ì

_{ü ï}

_ï

ï

é

ù

_ï

ï

ê

ú

_ï

ï

ê

ú

_ï

ï

ê

_{ú ï}

_{ï ï}

_ï

=

_ê

_{ú í}

_{ý í}

=

_ý

ê

ú ï

ï ï

ï

ê

ú ï

ï ï

ï

ê

ú ï

_-

ï ï

ï

ë

û ï

ï ï

ï

_{ï ï}

_ï

î

þ

-ï

ï

î

þ

1442443

9

(14)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

8

4 ₆

₉

2 2 2 LP 3 2 2 μ 0 0 μ 0 0 0 6 3L 0 6 3L 0 3L 2L 0 3L L 2EI AL K ,c / μ L μ 0 0 μ 0 0 2I 0 6 3L 0 6 3L 0 3L L 0 3L 2L -é ù ê _- ú ê ú ê - ú = _ê _ú = -ê ú ê _- _- _- ú ê ú -ë û 2 LP 2 qL 2 pL 2 pL 12 F qL 2 pL 2 pL 12 ì ü ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï = í ý ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï_- ï ï ï î þ

10

11

(15)

Matriz de Transformação è Global para Local

{ }

G =

[ ]

T

{ }

L

[ ]

cos α senα T senα cos α -é ù = ê ú ë û 1 ₁ x _L 1 1 L y 1 1 L u cos α senα 0 u v u senα cos α 0 0 0 1 _θ θ ì ü _é _- _ù_{ì ü} ï ï _ê _ú_{ï ï} = í ý _ê _úí ý ï ï _ê_ë _úï ï û î þ î þ 2 2 x L 2 2 y L 2 2 L u cos α senα 0 u u senα cos α 0 v 0 0 1 _θ θ ì ü _é _- _ùì ü ï ï _ê _úï ï = í ý _ê _úí ý ï ï _ê_ë _úï ï û î þ î þ

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(16)

1 1 x _L 1 1 y L 1 1 L 2 2 x L 2 2 y L 2 2 L u _{cos α} _senα ₀ ₀ ₀ ₀ _u u _senα _{cos α} ₀ ₀ ₀ ₀ v 0 0 1 0 0 0 θ θ 0 0 0 cos α senα 0 u u 0 0 0 senα cos α 0 u v 0 0 0 0 0 1 _θ θ ì ü _é _- _ùì ü ï ï _ê _úï ï ï ï _ê _ú_{ï ï} ï ï _ê _ú_{ï ï} ï ï ₌ ï ï í ý ê _- ú í ý ï ï ê ú ï ï ï ï ê ú ï ï ï ï ê ú ï ï ï ï ë û ï ï_{î þ} î þ g L u =Tu

12

13 Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(17)

Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

2 g 2 qL 2 pL cos α senα 0 0 0 0 ₂ senα cos α 0 0 0 0 _pL 0 0 1 0 0 0 ₁₂ F 0 0 0 cos α senα 0 qL 2 0 0 0 senα cos α 0 pL 0 0 0 0 0 1 2 pL 12 ì ü ï ï ï ï ï ï -é _{ù ï} _ï ê _{ú ï} _ï ê _{ú ï} _ï ê _{ú ï} _ï = ê _- ú í ý ê ú ï ï ê ú ï ï ê ú ï ï ë û ï ï ï ï ï_- ï ï ï î þ g L F =TF

14

15

(18)

T Ela é ortogonal, no sentido que sua _{inversa coincide com a sua}

transposta

Portanto , as relações (13) e (15) podem ser invertidas

simplesmente pré-multiplicando ambas por . Com ajuda das

formas inversas de (13) e (15), pode-se obter a relação para o cálculo da matriz de rigidez da barra no sistema global de graus de liberdade: T T { { { T T g g LP L LP T u T F T T LP g g T T LP g g I T g LP K u F K T u T F TK T u TT F K TK T = = = = { T T g L I T L g T F T T F F T F = =

16 Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

(19)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 g 3 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 μc 6 s μ 6 cs 3Ls μc 6 s μ 6 cs 3Ls μ 6 cs μs 6c 3Lc μ 6 cs μs 6c 3Lc 3Ls 3Lc 2L 3Ls 3Lc L 2 EI K L _μc _{6 s} _{μ 6 cs} _3Ls _μc _{6 s} _{μ 6 cs} _3Ls μ 6 cs μs 6c 3Lc μ 6 cs μs 6c 3Lc 3Ls 3Lc L 3Ls 3Lc 2 L é ₊ _- _- _- ₊ _- _- _- ù ê ú ê _- ₊ _- _- _- ₊ ú ê ú ê - - ú = _ê _ú - + - - + -ê ú ê ú - - - + - - + -ê ú ê ú - -ë û 2 AL ,c / μ 2I =

17 Elementos de Barra: Extensão ao

caso de Pórticos Planos

c è s è

cos α