UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

O Teste de Painlevé e a Integrabilidade do Modelo Generalizado

de Sine-Gordon

Leonides da Rocha Mota

Orientador: Prof. Dr. Harold Sócrates Blas Achic

Janeiro 2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

O Teste de Painlevé e a Integrabilidade do Modelo Generalizado

de Sine-Gordon

Leonides da Rocha Mota

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal de Mato Grosso como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. Harold Sócrates Blas Achic

Janeiro 2014

Agradecimentos

Sei que são muitos os que merecem meus agradecimentos, mas na impossibilidade de citar a todos, sintam-se agradecidos como aos que aqui citarei.

Agradeço primeiramente a Deus pelo dom da vida e, a vontade constante de mantê-la viva.

À minha família que mesmo distante é minha fonte segura de energia. Com quem divido os méritos desta conquista, em especial aos que me zeram companhia nos innitos nais de semana.

Ao meu orientador, professor Harold, não só pela cuidadosa orientação e competência em ensinar que muito contribuiu para minha formação e conclusão deste trabalho. Mas também, pelo fundamental amparo que me deu para ingressar no mestrado, pois sem este certamente não estaria aqui concluindo o mestrado. A única maneira, de fato, de agradecer é na oportunidade fazer a outros o que para mim foi feito.

Aos amigos mineiros e matogrossenses que de uma forma ou de outra tornaram meus dias mais alegres e jamais me deixaram sentir só.

Aos professores do IF-UFMT que com simplicidade tão bem cuida de seus alunos. Em especial ao professor Alesandro que com paciência e dedicação muito me ensinou. Devo a ele muito do que aprendi ao longo do mestrado. Também, ao professor Maurício que foi o primeiro a me acolher no mestrado e sempre se demonstrou disposto em ajudar.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo nan-ciamento do meu mestrado. E à FAPEMAT (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Mato Grosso) pelo período de bolsa de apoio técnico terceiro grau.

Enm, a todos que direta ou indiretamente contribuiram para que assim fossem.

Obrigado! Leonides

Resumo

Neste trabalho, examinamos a integrabilidade do modelo generalizado de sine-Gordon (GsG), no contexto do teste de Painlevé para equações diferenciais parciais (EDPs). Mos-tramos que o modelo (GsG) possui certos submodelos como o modelo duplo sine-Gordon (DsG), Bukhvostov-Lipatov (BL) e os modelos integráveis sine-Gordon. O modelo BL possui algumas direções integráveis no espaço dos campos. Classicamos as massas das soluções tipo sólitons (kinks) do modelo (GsG) através dos pesos máximos da álgebra de Lie sl(3), e mostramos que essas massas pertencem a determinados multipletos neste es-quema de representação. Abordamos o modelo integrável NLS defocusing e estudamos a colisão de dois sólitons dark, em particular estudamos a mudança de fase após a sua colisão. Palavras chave: Integrabilidade, Generalizado sine-Gordon, Sólitons, Teste de Painlevé, Schrödinger não-linear.

Abstract

In this work the integrability of the generalized sine-Gordon model (GsG) is exami-ned in the context of the Painlevé test for partial dierential equations (PDEs). We show that the (GsG) model possesses certain submodels such as the double sine-Gordon (DsG), Bukhvostov-Lipatov (BL) and the integrable sine-Gordon models. The BL model possesses some integrable directions in the eld space. Moreover, we classify the kink type solutions of the (GsG) model through the highest weight representations of the underlying sl(3) Lie algebra, and we show that these masses belong to certain multiplets in that representation scheme. We discussed the integrable defocusing NLS model and study the collision of two dark solitons, in particular we study the phase shift after their collision.

Sumário

Introdução 1

1 Integrabilidade e Métodos de Análise 5

1.1 Integrabilidade . . . 5

1.2 Teste de Painlevé . . . 6

2 Modelo Generalizado de Sine-Gordon 17 2.1 Introdução . . . 17

2.2 O Modelo GsG . . . 17

2.2.1 Os pontos de vácuo . . . 18

2.3 Coordenadas Canônicas e as Equações de Movimento . . . 19

2.4 Aplicando o teste de Painlevé . . . 22

2.5 Os submodelos: sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov . . . 30

3 O Modelo sl(3) 32 3.1 Um Modelo Particular do sl(3). . . 33

3.2 Órbita do Kink SG1 . . . 38

3.3 Órbita do kink SG2 . . . 41

3.4 A Órbita do Kink SG3 . . . 44

3.5 Órbita do Kink do Modelo Duplo sine-Gordon DSG1 . . . 45

3.6 Órbita do Kink Bukhvostov-Lipatov (BL1) . . . 46

3.7 O Modelo Bukhvostov-Lipatov (BL). . . 47

3.8 Conexão da estrutura vácuo do modelo GsG à raízes e pesos da álgebra de Lie sl(3) . . . 48

4 A Equação de Schrödinger Não-Linear 58

4.1 Introdução . . . 58

4.2 Defocusing NLS: Colisão de sólitons dark e mudança de fase . . . 59

5 Conclusões 66 Apêndice 68 A Teoria de Campos 68 B Álgebras de Lie 75 B.1 Pesos e Raízes . . . 77 B.2 SU(3) . . . 81 C Decomposição - LU 84

D Modos de Goldstone do Modelo NLS 89

1

Introdução e Motivação

Os sistemas integráveis em duas dimensões com soluções sólitons têm sido ampla-mente estudados nas últimas décadas mediante diferentes técnicas matemáticas e grandes avanços foram obtidos na compreensão das suas estruturas responsáveis pela sua integra-bilidade. Além disso, a presença de equações não-lineares descrevendo os fenômenos da natureza em várias áreas da física teórica e aplicada incentivaram o estudo destas equa-ções não-lineares como deformaequa-ções ou perturbaequa-ções em termo das equaequa-ções não-lineares integráveis conhecidas.

Existem muitas equações diferenciais, em especial não-lineares, que não são suscetíveis à solução analítica. Assim, é importante considerar que tipo de informação qualitativa pode ser obtida sobre suas soluções sem resolver, de fato, as equações.

Neste sentido, Henri Poincaré (1854 - 1912) foi o primeiro a cunhar a teoria qualitativa em estudos de equações diferenciais. Ele fez descobertas fundamentais em muitas áreas diferentes da Matemática e da Física, incluindo teoria de funções complexas, equações diferenciais parciais e mecânica celeste. Foi pioneiro na utilização de séries assintóticas em equações diferenciais. Entre outras coisas, usou expansões assintóticas para obter soluções em torno de pontos singulares irregulares, estendendo o trabalho de Fuchs e Frobenius [1]. Seguindo esta linha de raciocínio, podemos dizer que a revolução iniciada por Poin-caré e estendida por Birkho, Kolmogorov, Arnold, Peixoto, Smale e outros, com o estudo qualitativo da dinâmica clássica, tem consequências profundas, comparáveis mesmo às do surgimento da mecânica quântica e da relatividade. A busca de soluções exatas foi trocada por uma compreensão qualitativa ou topológica das famílias de soluções, revelando-se uma enorme riqueza de movimentos. Num extremo temos movimento caótico, hipersensíveis às condições iniciais, e no outro a dinâmica regular dos sistemas integráveis, sendo que tipicamente esses movimentos surgem entrelaçados num mesmo sistema [2]. Dessa forma, conceitos novos, aparentemente mais apropriados à teoria dos números, ou a métodos nu-méricos, vão penetrando em diversos campos da física.

De modo geral, os estudos de sistemas não-lineares envolvem formulações matemáticas no contínuo e sistemas não-lineares discretos, clássicos e quânticos. Os sistemas integráveis e as teorias quânticas de campos integráveis (TQCI) em (1 + 1) dimensões acumularam uma vasta quantidade de técnicas não-perturbativas extremamente poderosas nas últimas duas décadas e meia. Estas técnicas podem ser aplicadas com sucesso a uma variedade de

2 problemas, tais como sistemas magnéticos quânticos de baixa-dimensionalidade, condutores em baixa-dimensionalidade fortemente correlacionados, nanotubos de carbono, polímeros condutores, sistemas ópticos não-lineares, supercondutores a alta tensão, condensação de Bose-Einstein, dentre outros. Dessa forma, temos motivação suciente para estudar siste-mas integráveis.

É importante destacar que, apesar da análise qualitativa como discutido acima, há cer-tas equações não-lineares de interesse físico que admitem soluções na forma f(x ± c0t)para

certas funções f especícas e certas constantes c0. A existência de soluções de equações

não-lineares que apresentam essa forma de estabilidade é bastante surpreendente, pois é in-dicativo da existência de mecânismo de compensação de efeitos de dispersão e de dissipação em meios não-lineares [3]. Soluções de equações diferenciais parciais não-lineares que sejam da forma de ondas caminhantes, estáveis e aproximadamente localizadas em regiões nitas são genericamente denominadas sólitons em Física, termo cunhado por Kruskal e Zabusky em 1965 [4].

A primeira observação empírica desse fenômeno data do ano de 1834 e foi feito pelo engenheiro naval John Scott Russel enquanto cavalgava ao longo de um canal na Escócia [5]. Boussinesq, em 1877, desenvolveu um tratamento analítico à passagem de ondas, no entanto, somente em 1895, Korteweg-de Vries formularam matematicamente uma equação diferencial não-linear que descrevia o fenômeno observado por Scott Russel, esta equação cou conhecida como equação de KdV [6]. Posteriormente, a existência de sólitons foi ob-servada em diversos outros sistemas. Sobretudo, a partir do século XX sólitons encontraram inúmeras aplicações em Física, como na Mecânica dos Fluidos, na Teoria Quântica de Cam-pos, na Mecânica Quântica, na Física Estatística, na Física de Partículas, na Cosmologia, dentre outros.

Por exemplo, a dinâmica de propagação de uxo magnético em uma linha de transmis-são de junção-Josephson é um tema de grande interesse prático. Agora é possível fazer essas linhas com a estabilidade mecânica e elétrica razoável, com aplicações em transmissão, ar-mazenamento e processamento de informações. A propriedade básica da junção-Josephson, que é útil para aplicações em computação, é a quantização do uxo magnético. Um quan-tum de uxo em um sentido é denominado de uxon e no sentido contrário de anti-uxon. Se uma corrente de polarização ajustável está presente, ela irá exercer uma força de Lorentz em um uxon em um sentido e em um anti-uxon em outro sentido. Se todos os efeitos dissipativos e imperfeições na linha de transmissão são negligenciados, a propagação do

3 uxo é regulada pela equação de sine-Gordon [7]. A equação de sine-Gordon é uma equa-ção conservativa, não-linear, que tem soluções tipo sólitons, que neste caso em especial, recebem o nome de kinks e anti-kinks.

A equação de sine-Gordon tem sido extensivamente estudada, e existe uma enorme li-teratura sobre ela [8]. Tanto no sentido de soluções tipo sólitons quanto no que se refere as propriedades de integrabilidade deste modelo. Neste trabalho estudaremos o modelo gene-ralizado de sine-Gordon (com dois campos) e sua propriedade de integrabilidade mediante o método de Painlevé.

Outra equação que merecerá nossa atenção, é a equação de Schrödinger não-linear de-focusing, que também admite soluções tipo sóliton, as quais são de interesse em telecomu-nicações, especialmente, para a propagação de sinais eletromagnéticos em bras ópticas e, no estudo dos chamados condensados de Bose-Einstein. As soluções da equação de Schrö-dinger não-linear são denominadas como sóliton escuro e sóliton claro. Ou como também são conhecidos como sólitons dark e sólitons bright, respectivamente. O motivo dessa no-menclatura cará evidente no capítulo 4 dessa dissertação.

Portanto, essa dissertação está dividida em quatro capítulos, a saber:

No primeiro capítulo, abordamos o conceito de integrabilidade, bem como o critério de integrabilidade utilizado no desenvolvimento deste trabalho, ou seja, descrevemos em uma breve revisão, porém completa, o teste de Painlevé e, exemplicamos com a aplicação do algoritmo na equação de sine-Gordon e no modelo Bukhvostov-Lipatov.

No segundo capítulo, apresentamos o modelo generalizado de sine-Gordon (GsG), onde este tem como submodelos a equação de sine-Gordon, o modelo de Bukhvostov-Lipatov e o modelo duplo sine-Godon. No modelo (GsG) estudamos, em particular, a integrabilidade deste modelo para dois campos escalares reais acoplados. Em princípio, enfatizamos a álge-bra de Lie sl(3) que é a álgeálge-bra que dá a estrutura para o modelo em estudo. Em seguida, encontramos as equações de movimento para este modelo em termos das coordenadas canô-nicas, utilizando novos campos. Neste par de equações de movimento aplicamos o teste de Painlevé, a m de examinar sua integrabilidade. Na última seção deste capítulo estudamos a integrabilidade dos submodelos obtidos a partir da redução das equações de movimento do modelo (GsG).

No Terceiro capítulo, resgatamos o modelo (GsG), para explorá-lo de um outro ponto de vista. A partir das suas equações de movimento estudamos os pontos críticos, os mínimos absolutos, matriz de massa e pequenas utuações no vácuo. Exploramos também um

4 modelo particular do sl(3). Em seguida, damos um tratamento detalhado para as soluções tipo kinks e suas órbitas dos submodelos, tais como sine-Gordon, duplo sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov. E por conveniência aplicamos o teste de Painlevé nestes submodelos. Por m, fazemos uma conexão do modelo (GsG) as raízes e pesos da estrutura de vácuo da álgebra de Lie sl(3).

No quarto capítulo, estudamos o sóliton 2-dark da equação de Schrödinger não-linear. Neste capítulo, mostramos por meio de cálculo numérico e analítico, o resultado da mudança de fase após a colisão entre dois sólitons dark, sendo que um deles é estacionário e o outro viajante.

No quinto capítulo, apresentamos nossas considerações nais. Além disso, esta disser-tação tem quatro apêndices, sendo que no apêndice A apresentamos alguns conceitos de Teorias de Campos, que se faz necessário para um bom entendimento do que tratamos neste trabalho. Já no apêndice B, procuramos fazer uma revisão dos principais conceitos da álgebra de Lie, em especial, da subálgebra de Cartan, bem como as raízes e pesos da álgebra de Lie e para nalizar este apêndice apresentamos as matrizes de Gell-Mann. E nalmente, no apêndice C mostramos um método alternativo, e que usamos, para o cálculo do determinante de matriz de ordem superior. Neste apêndice encontra-se a matriz obtida a partir dos coecientes do conjunto de relações de recorrência desenvolvida no segundo capítulo. No apêndice D, apresentamos os modos de Goldstone.

Capítulo 1

Integrabilidade e Métodos de Análise

1.1 Integrabilidade

O conceito de integrabilidade atualmente tem sido amplamente utilizado para análise de sistemas dinâmicos. Portanto, é comum encontrar na literatura cientíca diferentes denições para o conceito de integrabilidade. Isso deve-se ao fato da variedade de métodos (denições) existentes para examinar a integrabilidade de um sistema dinâmico. Assim podemos encontrar, por exemplo, um dado sistema dinâmico sendo analisado se é integrável segundo o teorema de Liouville. De modo análogo, encontramos análise de integrabilidade via pares de Lax. Neste contexto, o teste de Painlevé, dentre outros, também é um método poderoso para examinar se um dado sistema é integrável.

A escolha de um ou outro método de análise de integrabilidade está associada ao tipo do problema em questão. Porém, é importante destacar que, apesar das diferentes denições de integrabilidade, cada uma delas repousa sobre um rigor adotado naquela denição de integrabilidade e, ao fazer tal restrição, pode-se ser tão preciso quanto se queira, dentro dos limites daquela denição.

No entanto, o conceito que está por trás das denições de integrabilidade deve ser o mesmo, que por sua vez, está ligado a noção de poder conhecer propriedades globais do sistema em estudo. Ao ponto de inferir sobre seu comportamento ao longo da evolução temporal. Dessa forma, o conceito de integrabilidade está intimamente associado as quan-tidades conservadas do sistema, também conhecidas como integrais primeiras ou, ainda como invariantes.

É bom esclarecer, embora seja comum encontrarmos, que o conceito de integrabilidade 5

1.2 Teste de Painlevé 6 não deve ser utilizado como sinônimo de solvabilidade. O conceito de solvabilidade de um sistema dinâmico está associado a possibilidade de encontrar soluções, para o sistema, em termos de funções já conhecidas, tal como é o método de quadraturas.

Sabe-se que as integrais primeiras são funções das variáveis dinâmicas do sistema que permanecem constantes ao longo do tempo [9]. Se, por exemplo, o sistema é integrável estas integrais primeiras podem ser utilizadas para baixar a dimensionalidade do sistema até que este possa ser integrado por quadraturas, daí, em outras palavras, a noção de solvabilidade. Neste contexto, ao longo deste trabalho, adotamos o critério de integrabilidade de acordo com a propriedade de Painlevé, que será exposto na próxima seção.

1.2 Teste de Painlevé

Nesta seção vamos entender melhor as técnicas e do que se trata o termo integrabi-lidade de acordo com a propriedade de Painlevé. Em primeiro lugar, por conveniência, diz-se que um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) possuem a propriedade de Kovalevskaya-Painlevé ou, como é mais frequentemente conhecida, propriedade de Pain-levé, se estas EDOs não possuem pontos críticos móveis, isto é, se todas suas singularidades móveis são polos.

Neste ponto, ainda que breve, é conveniente, diferenciar polos de todos os outros tipos de singularidades de uma equação diferencial ordinária.

Assim, a nível de esclarecimento, ressaltamos que soluções de equações diferenciais or-dinárias podem incorporar singularidades de um ou de outro tipo. Por exemplo, a solução pode ter um polo ou um ponto de ramicação, por exemplo, uma dada função f(z) =√z pode ser dividida em dois ramos de várias maneiras. Em todas elas, no entanto, haverá uma linha de ramicação ou de corte estendendo-se de z = 0 ao innito. Esta linha pode ser uma curva. A susperfície de Riemann pode ser obtida, unindo-se duas folhas de Rie-mann através do corte, e esta superfície é única. O ponto z = 0, em que todas as linhas de corte devem principiar ou terminar é o que chamamos de ponto de ramicação. Agora, as singularidades das soluções das equações diferenciais lineares estão sempre em pontos que são xos, ou seja, suas posições são independentes das constantes arbitrárias de integração, por exemplo, a equação

zdw

1.2 Teste de Painlevé 7 tem solução geral

w(z) = c z,

onde c é uma constante arbitrária. A solução tem um polo simples em z = 0, para todo c 6= 0.

Por outro lado, equações diferenciais ordinárias não-lineares podem ter soluções que tem singularidades móveis, ou seja, cuja posição depende das constantes arbitrárias de integração, tomamos como exemplo, a seguinte

dw dz + w

2 _{= 0,}

cuja solução geral é

w(z) = 1 z − z0

,

onde z0 é um número complexo arbitrário, esta solução tem um polo simples no ponto móvel

z = z0.

E por m, um ponto crítico é uma singularidade, ou seja, um ponto em que a solução não é analítica e, que não seja um polo. Assim, ponto crítico pode ser um ponto de ramicação ou uma singularidade essencial, para um exemplo simples, temos a equação

dw dz = e

−w

,

em que a solução geral é

w(z) = ln(z − z0),

onde z0 é uma constante arbitrária. Esta solução tem, portanto, um ponto de ramicação

logarítmica no ponto móvel z = z0.

Para um tratamento mais aprofundado e pormenorizado sobre as diferenças entre polos e outros tipos de singularidades veja [10, 11].

A busca por denição de sistemas integráveis, para equações diferenciais ordinárias ten-dia a ser voltada para o sentido clássico de integração por quadraturas, segundo o teorema de Liouville. No entanto, como se aplicar um teste de integrabilidade direto nas equações de movimento, sem necessariamente, ter que determinar explicitamente sua solução? E se, ainda, essas equações compõem um conjunto de equações diferenciais parciais (EDPs)?

No nal do século XIX, Soa Kovalevskaya (1888) deu resposta a uma dessas perguntas. Ela foi capaz de identicar, de forma analítica, os casos integráveis conhecidos e analisar a integrabilidade de um sistema de equações de movimento de um corpo rígido em rotação

1.2 Teste de Painlevé 8 sob a ação do campo gravitacional, em que dois dos momentos de inércia no ponto xo são iguais e duas vezes o terceiro. Este é um caso que em geral não é solúvel em termos de quadraturas [12].

No início do século XX, Painlevé e Gambier estenderam essas ideias para equações diferenciais de segunda ordem que satisfaziam a esta propriedade.

Painlevé e seus colaboradores compilaram um conjunto de cinquenta equações que pos-suíam a propriedade de Painlevé e, portanto, integráveis. Porém, Painlevé e seus cola-boradores vericaram que quarenta e quatro das cinquenta equações, eram redutíveis a funções previamente conhecidas. Com isto, restaram apenas seis equações que requeriam a introdução de novas funções para resolvê-las. Essas seis equações diferenciais não-lineares são conhecidas como equações de Painlevé e suas soluções chamadas de transcedentes de Painlevé.

Essas seis equações são as seguintes: P-I: d2y dt2 = 6y + t, P-II: d2y dt2 = 2y 3 + ty + α, P-III: tyd2y dt2 = t( dy dt) 2_{− y}dy dt + δt + βy + αy 3_{+ γty}4_, P-IV: yd2y dt2 = 1 2( dy dt) 2_{+ β + 2(t}2_{− α)y}2_{+ 4ty}4 ₊3 2y 4_, P-V: d2y dt2 = ( 1 2y − 1 y − 1)( dy dt) 2₋ 1 2 dy dt + (y − 1)2 t2 (αy + β y) + γ y t + δ y(y + 1) y − 1 , P-VI: d2y dt2 = 1 2( 1 y + 1 y − 1 + 1 y − t)( dy dt) 2_{− (}1 t + 1 t − 1 + 1 y − t)( dy dt) + y(y − 1)(y − t) t2_{(t − 1)}2 (α + β t y2 + γ t − 1 (y − 1)2 + δ t(t − 1) (y − t)2),

os números α, β, γ e δ são aqui constantes complexas.

Contudo, com esta lista de equações diferenciais em mão, de modo geral, não consiste em tarefa fácil reduzir, via transformações de coordenadas, um dado sistema de equações diferenciais, em um dos cinquenta casos catalogados como sendo integráveis, de acordo com a propriedade de Painlevé.

Por volta de 1978, Ablowitz, Ramai e Segur e, em 1983, McLeod e Olver [13] formularam, pela primeira vez, a conjectura de Painlevé, para equações diferenciais parciais não-lineares que pode ser enunciada como: uma EDP é integrável se, e somente se, todas as EDOs

1.2 Teste de Painlevé 9 derivadas (obtidas) a partir de uma redução exata satisfaz a propriedade de Painlevé [10,

14].

Uma abordagem mais recente foi desenvolvida por Weiss, Tabor e Carnavele, que formu-laram uma versão do teste de Painlevé que pode ser aplicado diretamente a uma EDP, sem qualquer necessidade de redução. Ainda que seja uma conjectura, este algoritmo tem-se mostrado um teste valioso, para estudo de integrabilidade [14]. E cou conhecido como teste de Painlevé.

Nota-se que, a denição acima, para o teste de Painlevé para uma EDP é uma extensão correspondente do algoritmo para uma EDO.

Uma importante diferença entre funções analíticas de uma variável complexa e uma função de várias variávies complexas é que, em geral, as singularidades de uma função de várias variáveis complexas não podem ser isoladas.

Se f = f(z1, ..., zn)é uma função complexa meromorfa de N variáveis complexas, as

sin-gularidades ocorrem ao longo da vizinhança analítica de dimensão 2N −2. Estas variedades são determinadas por equações da forma

χ(z1, z2, z3, ..., zn) = 0, (1.1)

onde χ é uma função analítica de (z1, z2, ..., zn)na vizinhança do ponto.

Portanto, diz-se que uma equação diferencial parcial (EDP) possui a propriedade de Painlevé quando as soluções da EDP são "uni-valuadas"na vizinhança de todas as suas singularidades móveis.

Para testar a presença desta propriedade assume-se que a solução u(z1, z2, ..., zn) pode

ser expandida em torno da vizinhança da singularidade (1.1), como u = u(z1, ..., zn) = χ−α

∞

X

n=0

unχn, n = 0, 1, 2, 3... (1.2)

onde os coecientes un(z1, z2, ..., zn) são funções analíticas nas vizinhanças de χ = 0.

Podemos dizer que o algoritmo para o teste de Painlevé constitui-se em três passos: I- Primeiro substituimos a expansão (1.2) na equação diferencial parcial para determinar os valores de αi inteiros e a relação de recorrência entre os un.

II- Após substituir a série, camos com os termos mais baixos (de ordem zero) da expansão e, os coecientes de u(i)

n formam a matriz Q de ordem M associado ao número de

1.2 Teste de Painlevé 10 Tal que:

Qu(i)

n = 0, un = (u(1)n , u(2)n , u(3)n , ..., u(M )n )T. (1.3)

Portanto, as raízes do determinante desta matriz, ou seja, as ressonâncias, são aquelas cujo det(Q) = 0 [15].

III- Se as relações de recorrência permitem denir um número exato de funções para associá-las, convenientemente, com as condições iniciais arbitrárias do problema, então diz-se que a EDP satisfaz a condição de Painlevé e é conjecturado a diz-ser integrável.

Para melhor compreensão da dinâmica deste algoritmo, vamos analisar, a seguir, dois exemplos, de aplicação do teste de Painlevé, na referência [16] estes exemplos são analisados com mais detalhes. Outros exemplos simples também podem ser encontrados em [14]. Exemplo 1: A equação de sine-Gordon

Uma equação do tipo sine-Gordon, apareceu em 1882 em um trabalho de Bäcklund sobre geometria diferencial. A equação de sine-Gordon é invariante por transformações de Lorentz, sendo portanto apropriada para descrever diversos fenômenos físicos, por exemplo, partículas elementares num espaço-tempo bidimensional, movimento da parede de Bloch em cristais magnéticos, propagação de uma onda de um uxo magnético na junção de Josephson, propagação de uma onda de deslocamento ao longo de uma membrana lipídea. A equação de sine-Gordon bidimensional é descrita pela seguinte densidade lagrangiana

LSG =

1 2∂νθ∂

ν_{θ − µ}2_cos(aθ).

Reescalando o campo escalar θ e parametrizando o termo de massa µ, de modo que µ2 _{= 1,}

podemos reescrever a densidade lagrangiana como LSG =

1 2{(∂tθ)

2_{− (∂}

xθ)2} − cos(θ)

cuja equação de movimento é dada por

∂+∂−θ = senθ, (1.4)

onde introduzimos as coordenadas de cone de luz x± ≡ x1± x2.

De modo a aplicar o algoritmo do teste de Painlevé, vamos transformar a equação acima no seguinte sistema de equações diferenciais parciais equivalente

˙

1.2 Teste de Painlevé 11 A notação ˙X ≡ ∂−X e X0 ≡ ∂+X foi utilizada e, as seguintes novas variáveis dependentes

foram denidas como

A ≡ senθ; B ≡ cos θ; C ≡ ˙θ.

Substituindo no sistema de equações diferenciais (1.5) a expansão em série para as funções de A, B e C de acordo com o ansatz do tipo (1.2), temos

A = χ−α1 ∞ X n=0 Anχn; B = χ−α2 ∞ X n=0 Bnχn; C = χ−α3 ∞ X n=0 Cnχn. (1.6)

Desta forma obtivemos as seguintes relações ˙ A = ∞ X n=0 [ ˙Anχn−α1 + An(n − α1)χn−α1−1χ];˙ ˙ B = ∞ X n=0 [ ˙Bnχn−α2 + Bn(n − α2)χn−α2−1χ];˙ C0 = ∞ X n=0 [C_n0χn−α3 _{+ C} n(n − α3)χn−α3−1χ0].

Considerando os valores de ordem mais baixa, ou seja, para n = 0, das equações (1.5) e (1.6) encontramos α1 = α2 = 2 e α3 = 1 assim, podemos reescrever as relações em (1.6)

como segue A = χ−2 ∞ X n=0 Anχn; B = χ−2 ∞ X n=0 Bnχn; C = χ−1 ∞ X n=0 Cnχn.

Além disso, para os coecientes A0, B0 e C0, temos dois casos, a saber:

A0 = −2i ˙χχ0, B0 = 2 ˙χχ0, C0 = 2i ˙χ,

ou

A0 = 2i ˙χχ0, B0 = 2 ˙χχ0, C0 = −2i ˙χ.

Nota-se que os valores de αi são inteiros e, que as soluções são de valor único em torno

da vizinhança da singularidade χ = 0.

Se calcularmos as relações de recorrência para os coecientes em que n ≥ 1, encontramos (n − 2) ˙χAn − C0Bn− B0Cn = n−1 X m=1 BmCn−m− ˙An−1, (n − 2) ˙χBn + C0An+ A0Cn= − n−1 X m=1 AmCn−m− ˙Bn−1, (1.7) (n − 1)χ0Cn − An = −Cn−10 .

1.2 Teste de Painlevé 12 Dessa forma a matriz Q de ordem M = 3 associado ao número de campos da equação (1.5) é dada por     (n − 2) ˙χ −C0 −B0 C0 (n − 2) ˙χ A0 −1 0 (n − 1)χ0     , cujo determinante é D = ( ˙χ)2(χ0)(n − 4)(n − 2)(n + 1). (1.8) Portanto, as ressonâncias deste determinante são n = 2 e n = 4. Para estes valores pode se vericar que as relações de recorrência são idênticamente satisfeitas, istó é, a matriz tem rank dois fornecendo, em cada caso, uma variável independente que pode ser usada para associá-la com as condições iniciais do problema. Assim, tomando em conta a variável arbitrária χ (associada à ressonância n = −1 em (1.8)), temos um número exato de funções para associá-las com as três condições iniciais arbitrárias do problema. Logo, a equação de sine-Gordon é integrável de acordo com o teste de Painlevé.

Exemplo 2: O Modelo de Bukhvostov-Lipatov

O modelo de Bukhvostov-Lipatov foi primeiramente, em 1981, introduzido por A. P.Bukh-vostov e L. N. Lipatov. Eles mostraram que a versão quântica do modelo é exatamente solúvel.

Porém, será que as equações clássica de movimento são integráveis? M. Ameduri e J. Efthimiou estudaram a integrabilidade deste modelo utilizando o teste de Painlevé, como segue.

A dinâmica do modelo para dois campos escalares é caracterizada pela seguinte lagran-giana LBL = 2 X i=1 1 2∂νθi∂ ν_θ i− µ2cos(a1θ1) cos(a2θ2). (1.9)

Ao xar adequadamente a escala de massa, podemos denir µ2 _{= 1}, de modo que as

equações de movimento tornam-se

∂+∂−θ1 = a1sen(a1θ1) cos(a2θ2),

∂+∂−θ2 = a2cos(a1θ1)sen(a2θ2).

(1.10) Sem perda de generalidade, podemos supor que a1, a2 > 0.

1.2 Teste de Painlevé 13 De modo análogo ao que zemos para a equação de sine-Gordon, vamos reescrever as equações de movimento da seguinte forma

˙

Ai = aiBiCi; B˙i = −aiAiCi; C10 = a1A1B2; C20 = a2A2B1, (1.11)

onde introduzimos, novamente, a notação ˙X ≡ ∂−X e X0 ≡ ∂+X.

Em que as seguintes novas variáveis dependentes foram denidas Ai ≡ sen(aiθi); Bi ≡ cos(aiθi); Ci ≡ ∂−θi,

onde i = 1, 2 e os índices repetidos não indicam uma soma.

Substituiremos no sistema de equações diferenciais (1.11) a expansão em série para as funções de Ai, Bi e Ci de acordo com o ansatz do tipo (1.2)

Ai = χ−pi ∞ X n=0 A(i)_n χn; Bi = χ−qi ∞ X n=0 B_n(i)χn; Ci = χ−αi ∞ X n=0 C_n(i)χn. (1.12) Desta última relação podemos escrever

˙ A1 = ∞ X n=0 [ ˙A(1)_n χn−p1 _{+ A}(1) n (n − p1)χn−p1−1χ],˙ ˙ A2 = ∞ X n=0 [ ˙A(2)_n χn−p2 _{+ A}(2) n (n − p2)χn−p2−1χ],˙ ˙ B1 = ∞ X n=0 [ ˙B_n(1)χn−q1 _{+ B}(1) n (n − q1)χn−q1−1χ],˙ (1.13) ˙ B2 = ∞ X n=0 [ ˙B_n(2)χn−q2 _{+ B}(2) n (n − q2)χn−q2−1χ],˙ C₁0 = ∞ X n=0 [C_n0(1)χn−α1 + C_n(1)(n − α1)χn−α1−1χ0], C₂0 = ∞ X n=0 [C_n0(2)χn−α2 _{+ C}(2) n (n − α2)χn−α2−1χ0].

Quando igualamos as equações (1.11) para n = 0, de acordo com a expansão acima, é fácil ver que p1 = 2 1 + (a2 a1) 2; p2 = 2 1 + (a1 a2) 2; q1 = 2 1 + (a2 a1) 2; q2 = 2 1 + (a1 a2) 2, (1.14) e que as funções B(1) 0 e B (2)

0 são vinculadas pela relação

B₀(1)B₀(2) = 2 ˙χχ

0

a2 1 + a22

1.2 Teste de Painlevé 14 Onde as relações (1.12) assumem os seguintes comportamentos para quaisquer valores de n

Ai = χ−pi ∞ X n=0 A(i)_n χn; Bi = χ−qi ∞ X n=0 B_n(i)χn; Ci = χ−1 ∞ X n=0 C_n(i)χn. (1.16) Nota-se que pi = qi, αi = 1 e que p1+ p2 = 2.

Além disso, os coecientes A(i) 0 , B

(i) 0 e C

(i)

0 são adicionalmente vinculados e, podem-se

combinar em quatro casos, a saber: • Caso I: A(1)₀ = −iB₀(1), A(2)₀ = −iB₀(2), C₀(1) = ip1 a1χ,˙ C (2) 0 = i p2 a2χ.˙ (1.17) • Caso II: A(1)₀ = −iB₀(1), A(2)₀ = iB₀(2), C₀(1) = ip1 a1χ,˙ C (2) 0 = −i p2 a2χ.˙ (1.18) • Caso III: A(1)₀ = −iB₀(1), A(2)₀ = iB₀(2), C₀(1) = −ip1 a1χ,˙ C (2) 0 = i p2 a2χ.˙ (1.19) • Caso IV: A(1)₀ = iB₀(1), A(2)₀ = iB₀(2), C₀(1) = −ip1 a1χ,˙ C (2) 0 = −i p2 a2χ.˙ (1.20) Observamos em primeiro lugar, a partir da equação (1.14), que p1 e p2 são inteiros se, e

somente se, a1 = a2. Neste caso, as equações de movimento (1.10) podem ser trivialmente

desacopladas em duas equações de sine-Gordon, que já vimos ser integráveis.

Como p1 e p2 estão intimamente ligados aos expoentes dos termos dominantes das

funções Ai, Bi e Ci, pode ocorrer que uma nova escolha das variáveis dependentes produzem

um comportamento do tipo polo, isto é, pode ser que as equações para a n-ésima potência das funções Ai, Bi e Ci satisfaçam a propriedade de Painlevé. Por exemplo, a escolha

p1 = m_n, p2 = 2 − m_n com m e n inteiros, poderia implicar que as potências n-ésimas das

funções Ai, Bi e Ci satisfaçam a conjectura de Painlevé usual.

Portanto, vamos aplicar o segundo passo do algoritmo.

Substituindo nas equações (1.11) um ansatz do tipo (1.2), encontramos as seguintes relações de recorrência para os coecientes com n ≥ 1

(n − pi) ˙χA(i)n − aiC (i) 0 Bn(i)− aiB (i) 0 Cn(i) = ai n−1 X m=1

B(i)_mC_n−m(i) − ˙A(i)_n−1,

(n − pi) ˙χBn(i)+ aiC (i) 0 A (i) n + aiA (i) 0 C (i) n = −ai n−1 X m=1

1.2 Teste de Painlevé 15 (n − 1)χ0C_n(1)− a1B0(2)A (1) n − a1A(1)0 B (2) n = a1 n−1 X m=1 A(1)_m B_n−m(2) − C_n−10(1), (n − 1)χ0C_n(2)− a2B (1) 0 A (2) n − a2A (2) 0 B (1) n = a2 n−1 X m=1 A(2)_m B_n−m(1) − C_n−10(2),

onde os coecientes A(i) 0 , B

(i) 0 e C

(i)

0 são vinculados pelas equações (1.15)-(1.20).

Nota-se que em todos os quatro casos acima, (1.17)-(1.20), e tomando em conta (1.15), um dos coecientes B(0)

k é deixado indeterminado. Isto permite associar uma segunda

função indeterminada, por exemplo B(1)

0 , as condições iniciais, além daquela associada à

variedade da vizinhança da singularidade, a função χ.

Portanto, podemos estudar o determinante dos coecientes associados ao conjunto de relações de recorrência (1.21). A matriz Q formada pelos coecientes das relações de recorrência é a seguinte             (n − p1) ˙χ 0 −a1C (1) 0 0 −a1B (1) 0 0 0 (n − p2) ˙χ 0 −a2C (2) 0 0 −a2B (2) 0 a1C0(1) 0 (n − p1) ˙χ 0 a1A(1)0 0 0 a2C (2) 0 0 (n − p2) ˙χ 0 a2A (2) 0 −a1B (2) 0 0 0 −a1A (1) 0 (n − 1)χ 0 ₀ 0 −a2B (1) 0 −a2A (2) 0 0 0 (n − 1)χ 0             , (1.22)

e o determinante desta matriz para todos os quatro casos descritos em (1.17)-(1.20) é dado por

D = ( ˙χ)4(χ0)2(n + 1)n(n − 1)(n − 2)(n − 2p1)(n − 2p2). (1.23)

Notamos que para quaisquer valores de p1 e p2 encontramos duas ressonâncias n = 1

e n = 2. Pode-se vericar que o rank da matriz de ordem 6 para estas ressonâncias é cinco. Isto signica que é permitido apenas mais duas funções arbitrárias. O que implica num total de somente quatro funções arbitrárias e, esta quantidade de funções arbitrárias são insucientes para permitir a arbitrariedade das seis condições iniciais. Ainda devemos analisar os possíveis valores para os parâmetros a1 e a2 de tal maneira que os números 2p1

e 2p2 forneçam ressonâncias inteiras. Neste caso, como comentamos acima, as potências

relevantes das funções Ai, Bi e Ci poderiam produzir comportamentos de tipo polo para os

seus termos dominantes. Este é o caso para (a1

a2)

1.2 Teste de Painlevé 16 O caso a1 = a2, como mencionado acima, é trivialmente integrável (desacopla em dois

modelo sine-Gordon). Portanto, o posto da matriz dos coecientes avaliada nas ressonâncias é pequeno o suciente para acomodar as seis condições iniciais.

Os outros dois casos fornecem a ressonância em n = 3, ou seja, o determinante é ( ˙χ)4(χ0)2(n + 1)n(n − 1)2(n − 2)(n − 3). (1.24) Logo, o modelo de Bokhvostov-Lipatov não passa o teste de Painlevé e, portanto, não é classicamente integrável, exceto para o caso trivial em que a1 = ±a2, onde o modelo dá

Capítulo 2

Modelo Generalizado de Sine-Gordon

2.1 Introdução

O modelo de sine-Gordon (sG) tem sido extensivamente estudado ao longo das décadas, devido a sua utilidade em uma vasta área de aplicação em problemas físicos e também biológicos, tais como o estudo de ondas splay em membranas e de DNA [17], e suas múltiplas propriedades e estruturas matemáticas como, integrabilidade e soluções tipo sólitons. Além disso, o campo clássico de sine-Gordon em (1 + 1)-dimensões é provavelmente a teoria de campos relativística não-linear mais simples que possui soluções tipo sólitons [18]. Neste contexto, um modelo com algumas extensões e modicações em relação ao modelo de sine-Gordon merecem nossa atenção [19].

2.2 O Modelo GsG

O modelo generalizado de sine-Gordon (GsG) para N campos escalares em interação e relacionados segundo a álgebra sl(N) é descrito pela ação [19]

S = Z d2x Nf X i=1 [1 2(∂µΦi) 2_{+ µ} i(cosβiΦi− 1)], (2.1)

onde os campos Φi em (2.1) satisfazem os vínculos

Φp = N −1 X i=1 σpiΦi, p = N, N + 1, ..., Nf, Nf = N (N − 1) 2 , (2.2) 17

2.2 O Modelo GsG 18 onde βi, µi e σpi são parâmetros constantes e Nf é o número de raízes positivas da álgebra

de Lie sl(N, C).

No contexto da construção da álgebra de Lie para o sistema (GsG) estes vínculos surgem a partir da relação entre as raízes positivas e simples de sl(N). Assim, em (2.1) temos (N -1) campos independentes relacionados ao número de raízes simples da álgebra de Lie sl(N). Se considerarmos a álgebra de Lie sl(3), neste caso tem-se duas raízes simples α1 e α2

e, existem dois campos reais independentes ϕ1 e ϕ2 a eles associados, respectivamente, tal

que

Φ1 = 2ϕ1− ϕ2; Φ2 = 2ϕ2− ϕ1; Φ3 = rϕ1+ sϕ2; r, s  R. (2.3)

Uma vez que as raízes positivas α1, α2 e α3 satisfazem a relação α1+ α2 = α3, os campos

Φi acima estarão vinculados por

β3Φ3 = δ1β1Φ1+ δ2β2Φ2, βi ≡ β0νi; i = 1, 2, 3, (2.4)

onde β0, νi, δ1 e δ2 são números reais.

Em virtude das denições acima, o modelo (GsG) na álgebra sl(3) pode ser considerado como três modelos usuais de sine-Gordon acoplados através do vínculo linear (2.4).

2.2.1

Os pontos de vácuo

Levando-se em conta (2.3)-(2.4) e o vínculo (2.2) temos ν2δ2

ν1δ1

= 2s + r

2r + s; (r + s)ν3 = ν1δ1+ ν2δ2. (2.5) E portanto, neste modelo na álgebra sl(3) para Nf = 3 tem-se o termo cinético e o

termo potencial descrito, respectivamente, por Tc= 3 X i=1 1 2(∂µΦi) 2_{; V [ϕ} 1, ϕ2] = 3 X i=1 µi[1 − cos βiΦi]. (2.6)

Vale ressaltar que este potencial carrega propriedades que merecem ser analisadas, ou seja, ele tem profundas inuências nas soluções tipo sólitons, tais como, periodicidade dos valores de ponto de máximos e pontos de mínimos dentre outros, porém aqui vamos destacar apenas que os zeros do potencial são dados por Φi = 2πn_βii, que quando combinado com o vínculo

(2.4) nos fornecem a seguinte relação

2.3 Coordenadas Canônicas e as Equações de Movimento 19 Se ainda combinarmos as equações (2.5) e (2.7) podemos reescrevê-las da seguinte forma

(2r + s)n1 ν1 + (2s + r)n2 ν2 = 3n3 ν3 . (2.8)

Esta relação deve ser satisfeita para a álgebra sl(3) no modelo (GsG) para os parâmetros r, s, ν1, ν2 e ν3.

Os campos Φi dependem dos campos ϕ1 e ϕ2 e assim a densidade lagrangiana, segundo

a ação (2.1), em termos dos campos independentes ϕ1 e ϕ2, torna-se

L = 1 2(5 + r 2_)(∂ µϕ1)2+ 1 2(5 + s 2_)(∂ µϕ2)2+ (rs − 4)(∂µϕ1(∂µϕ2) +

µ1cos β1(2ϕ1− ϕ2) + µ2cos β2(2ϕ2− ϕ1) + µ3cos β3(rϕ1+ sϕ2) − (µ1+ µ2+ µ3).

(2.9) Onde o termo cinético e o termo potencial são, respectivamente, descritos pelas equações

Tc= 1 2(5 + r 2_)(∂ µϕ1)2+ 1 2(5 + s 2_)(∂ µϕ2)2+ (rs − 4)(∂µϕ1(∂µϕ2), (2.10)

V [ϕ1, ϕ2] = µ1cos β1(2ϕ1− ϕ2) + µ2cos β2(2ϕ2− ϕ1) + µ3cos β3(rϕ1+ sϕ2) − (µ1+ µ2+ µ3).

(2.11)

2.3 Coordenadas Canônicas e as Equações de Movimento

A m de reescrever a densidade lagrangiana (2.9) em função das coordenadas canônicas, vamos denir os campos ϕ1 e ϕ2 em termos dos campos canônicos θ1 e θ2 como

(ϕ1 ϕ2) ≡ (θ1 θ2)M, (2.12) onde denimos M ≡ a b c d ! e MT _≡ a c b d ! , a, b, c, d  R. (2.13) Se tomarmos o operador diferencial em ambos os lados da relação (2.12) temos

(∂µϕ1 ∂µϕ2) ≡ (∂µθ1 ∂µθ2)M, (2.14)

cuja transposta torna-se

∂µϕ1 ∂µϕ2 ! ≡ MT ∂µθ1 ∂µθ2 ! . (2.15)

2.3 Coordenadas Canônicas e as Equações de Movimento 20 Com esta transformação o termo cinético (2.10) em função dos campos canônicos pode ser redenido como

Tc= (∂µθ1 ∂µθ2)M 5+r2 2 rs−4 2 rs−4 2 5+s2 2 ! MT ∂µθ1 ∂µθ2 ! , (2.16) onde M 5+r2 2 rs−4 2 rs−4 2 5+s2 2 ! MT= 1 2 0 0 1₂ ! ,

e assim, com alguma manipulação algébrica simples, o termo cinético nalmente pode ser escrito em função de θ1 e θ2, da seguinte forma

Tc= 1 2(∂µθ1) 2₊1 2(∂µθ2) 2_{. (2.17)}

Com a mesma nalidade, podemos encontrar o termo potencial, com operações idênticas as realizadas acima, exceto no que se refere ao uso do operador diferencial. Isto é, podemos escrever ϕ1 ϕ2 ! ≡ MT θ1 θ2 ! , (2.18) como ϕ1 ϕ2 ! ≡ a c b d ! θ1 θ2 ! ,

o que nos leva a obter a seguinte relação (

ϕ1 = aθ1+ cθ2,

ϕ2 = bθ1+ dθ2.

(2.19) Desde que as seguintes relações sejam satisfeitas

a = e1 dm2+ e2lq1 km ; b = −e1e2 q1 m; c = −ld + e2q1 k ; k = 5 + r2; l = rs − 4; n = 5 + s2; (2.20) m = √5r2_{+ 8rs + 5s}2 _{+ 9; q} 1 = √ k − m2_d2_,

2.3 Coordenadas Canônicas e as Equações de Movimento 21 Substituindo a relação (2.19) no termo potencial (2.11) encontramos que

V [θ1, θ2] = (µ1+ µ2+ µ3) − µ1cos β1Φ1− µ2cos β2Φ2− µ3cos β3Φ3, (2.21)

onde usamos denições, tais como

β1Φ1 ≡ a1θ1+ a2θ2; β2Φ2 ≡ b1θ1+ b2θ2; β3Φ3 ≡ c1θ1 + c2θ2 (2.22)

e

a1 ≡ β1(2a − b); a2 ≡ β1(2c − d); (2.23)

b1 ≡ β2(2b − a); b2 ≡ β2(2d − c); (2.24)

c1 ≡ β3(ra + sb); c2 ≡ β3(rc + sd). (2.25)

Dessa forma, a lagrangiana dada pela equação (2.9) pode ser reescrita, em termos dos campos canônicos θ1 e θ2 da seguinte maneira

L = 1 2(∂µθ1)

2₊1

2(∂µθ2)

2_{+ µ}

1cos β1Φ1+ µ2cos β2Φ2+ µ3cos β3Φ3− (µ1+ µ2+ µ3). (2.26)

E portanto, as equações de movimento para essa densidade lagrangiana são dadas pelo par de equações

∂2θ1+ µ1a1senβ1Φ1+ µ2b1senβ2Φ2+ µ3c1senβ3Φ3 = 0, (2.27)

∂2θ2+ µ1a2senβ1Φ1+ µ2b2senβ2Φ2+ µ3c2senβ3Φ3 = 0. (2.28)

Temos acima um sistema acoplado de equações diferenciais não-lineares de segunda ordem, que constitui o modelo generalizado de sine-Gordon para dois campos escalares.

Sabemos que um dos métodos para resolver equações diferencias lineares é utilizando as transformadas de Fourier. Porém, como resolver uma equação diferencial não-linear? Ou como estudar a integrabilidade deste sistema? Encontrar soluções para este sistema de equações pode ser uma tarefa não trivial, a menos que sejam reduzidos a submodelos, tais como sine-Gordon, por exemplo, que podemos encontrar na literatura as suas soluções de tipo kink.

Por outro lado, ao invés de encontrar soluções podemos estudar a integrabilidade deste modelo, ou seja, devemos extrair propriedades globais deste sistema. Neste contexto, pro-curamos na seguinte seção, caracterizar direções integráveis, que como sabemos, estão in-timamente ligadas as simetrias do sistema. Para esta abordagem aplicamos o teste de integrabilidade de Painlevé.

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 22

2.4 Aplicando o teste de Painlevé

No capítulo anterior vimos que o teste de Painlevé pode ser aplicado diretamente nas equações diferenciais de segunda ordem. Além disso, vimos que na equação (2.20), o pa-râmetro d é um papa-râmetro livre, pode-se ajustar a zero qualquer uma das constantes do conjunto {a1, a2, b1, b2, c1, c2} em (2.22). Dessa forma, sem perda de generalidade, vamos

considerar c2 = 0, ou seja, xamos d = −rc_s. Portanto, vamos utilizar as relações em (2.22)

para reescrever as equações de movimento (2.27) e (2.28) da seguinte forma

∂+∂−θ1+ µ1a1sen(a1θ1) cos(a2θ2) + µ1a1cos(a1θ1)sen(a2θ2) + µ2b1sen(b1θ1) cos(b2θ2)

+µ2b1cos(b1θ1)sen(b2θ2) + µ3c1sen(c1θ1) = 0, (2.29)

∂+∂−θ2+ µ1a2sen(a1θ1) cos(a2θ2) + µ1a2cos(a1θ1)sen(a2θ2) + µ2b2sen(b1θ1) cos(b2θ2)

+µ2b2cos(b1θ1)sen(b2θ2) = 0, (2.30)

onde introduzimos a identitade trigonométrica sen(α + β) = senα cos β + cos αsenβ. De modo a aplicar o algoritmo, transformamos o sistema de equações diferenciais acima, seguindo a notação sugerida em [20], no seguinte sistema de equações de movimento equi-valentes ˙ Ai = aiBiEi, B˙i = −aiAiEi, G˙i = biDiEi, ˙ Di = −biGiEi, F˙1 = c1K1E1, K˙1 = −c1F1E1, i = 1, 2, (2.31) E₁0 = −µ1a1A1B2− µ1a1A2B1− µ2b1G1D2 − µ2b1G2D1− µ3c1F1, E₂0 = −µ1a2A1B2− µ1a2A2B1− µ2b2G1D2 − µ2b2G2D1. (2.32) Em que as seguintes novas variáveis dependentes foram denidas

Ai ≡ sen(aiθi), Bi ≡ cos(aiθi), Gi ≡ sen(biθi), Di ≡ cos(biθi),

F1 ≡ sen(c1θ1), K1 ≡ cos(c1θ1), Ei ≡ ∂−θi,

e convenientemente usamos a notação ˙X ≡ ∂−X, X0 ≡ ∂+X.

De modo geral, uma equação diferencial pode ser resolvida pelo método de substituição de série, o teorema de Fuchs nos arma que sempre podemos obter pelo menos uma solução de série de potências, desde que expandimos em torno de um ponto que é um ponto ordinário ou um ponto singular regular. Portanto, substituindo no sistema de equações diferenciais

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 23 parciais (2.31) e (2.32) uma expansão em série para as funções de A, B, G, D, F, K e E de acordo com o ansatz do tipo (1.2), isto é

Ai = ∞ X n=0 A(i)_n χn−pi_{, B} i = ∞ X n=0 B_n(i)χn−qi_{, G} i = ∞ X n=0 G(i)_n χn−αi_{, D} i = ∞ X n=0 D_n(i)χn−ri_, Fi = ∞ X n=0 F_n(1)χn−λ1_{, K} 1 = ∞ X n=0 K_n(1)χn−γ1_{, E} i = ∞ X n=0 E_n(i)χn−τi_, (2.33)

obtemos facilmente, igualando as potências dos termos de ordem mais baixa, as seguintes relações

pi = qi, αi = ri, λ1 = γ1 = 2, τ1 = τ2 = 1, (2.34)

ou ainda

p2 = 2 − p1, α2 = 2 − α1, (2.35)

onde p1 e α1 são parâmetros independentes.

E para os termos de ordem mais baixa da expansão em série, temos as relações que se seguem A(1)₀ = −e1iB(1)0 , A (2) 0 = −e2iB0(2), D (1) 0 = e4iG(1)0 , D₀(2) = e5iG (2) 0 , F (1) 0 = −e3iK (1) 0 , (2.36) E₀(1) = e1ip_a1₁χ, E˙ (2) 0 = e2ip_a2₂χ, E˙ (1) 0 = e4iα_b11χ,˙ E₀(2) = e5iα_b2 2χ, E˙ (1) 0 = e3i_c2 1χ,˙ (2.37) onde ej = ±1, com j = 1, 2, ..., 5.

Se combinarmos as equações (2.35) e (2.37) vemos que os parâmetros independentes podem ser escritos como

p1 = e1e3 2a1 c1 ; α1 = e2e3 2b1 c1 . (2.38)

Operando, convenientemente, as equações (2.36), (2.37) com a equação (2.32) encontra-mos que B0 = e4c21p2χχ˙ 0− 2e5a22(µ3c21K (1) 0 + 2p1χχ˙ 0) (e1+ e2)e2(e1e2e5− e4)µ1a22c21 ; (2.39)

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 24 G0 = −e1c21p2χχ˙ 0+ 2e2a22(µ3c21K (1) 0 + 2p1χχ˙ 0) (e4+ e5)e2(e4− e1e2e5)µ2a22c21 , (2.40) onde B0 ≡ B (1) 0 B (2) 0 e G0 ≡ G (1) 0 G (2) 0 .

Substituindo nas equações (2.31) e (2.32) os ansatz do tipo (2.33), encontramos as seguintes relações de recorrência para os coecentes com n positivo.

(n − pi) ˙χA(i)n − aiE (i) 0 B (i) n − aiB (i) 0 E (i) n = ai n−1 X m=1

B(i)_mE_n−m(i) − ˙A(i)_n−1, (2.41)

(n − pi) ˙χB(i)n + aiE (i) 0 A(i)n + aiA (i) 0 En(i)= −ai n−1 X m=1

A(i)_mE_n−m(i) − ˙B_n−1(i) , (2.42)

(n − αi) ˙χG(i)n − biE (i) 0 D (i) n − biD (i) 0 E (i) n = bi n−1 X m=1

D(i)_mE_n−m(i) − ˙G(i)_n−1, (2.43)

(n − αi) ˙χD(i)n + biE (i) 0 G(i)n + biG (i) 0 En(i) = −bi n−1 X m=1

G(i)_mE_n−m(i) − ˙D_n−1(i) , (2.44)

(n − 2) ˙χF_n(1)− c1E (1) 0 K (1) n − c1K (1) 0 E (1) n = c1 n−1 X m=1 K_m(1)E_n−m(1) − ˙F_n−1(1) , (2.45) (n − 2) ˙χK_n(1)+ c1E (1) 0 Fn(1)+ c1F (1) 0 En(1) = −c1 n−1 X m=1 F_m(1)E_n−m(1) − ˙K_n−1(1) , (2.46) (n − 1)χ0E_n(1)+ µ1a1B0(2)A (1) n + µ1a1A(1)0 B (2) n + µ1a1B0(1)A (2) n + µ1a1A(2)0 B (1) n +µ2b1D (2) 0 G (1) n + µ2b1G (1) 0 D (2) n + µ2b1D (1) 0 G (2) n + µ2b1G (2) 0 D (1) n + µ3c1Fn(1) = −µ1a1 n−1 X m=1 A(1)_m B_n−m(2) − µ1a1 n−1 X m=1 A(2)_m B_n−m(1) − µ2b1 n−1 X m=1 G(1)_m D(2)_n−m −µ2b1 n−1 X m=1 G(2)_m D_n−m(1) − µ3c1 n−1 X m=1 F_m(1)− E_n−10(1), (2.47) (n − 1)χ0E_n(2)+ µ1a2B (2) 0 A(1)n + µ1a2A (1) 0 Bn(2)+ µ1a2B (1) 0 A(2)n + µ1a2A (2) 0 Bn(1) +µ2b2D (2) 0 G (1) n + µ2b2G (1) 0 D (2) n + µ2b2D (1) 0 G (2) n + µ2b2G (2) 0 D (1) n = −µ1a2 n−1 X m=1 A(1)_m B_n−m(2) −µ1a2 n−1 X m=1 A(2)_m B_n−m(1) − µ2b2 n−1 X m=1 G(1)_m D(2)_n−m− µ2b2 n−1 X m=1 G(2)_m D_n−m(1) − E_n−10(2), (2.48)

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 25 onde os coecientes A(i)

0 , B (i) 0 , G (i) 0 , D (i) 0 , F (1) 0 , K (1) 0 e E (i)

0 estão vinculados por (2.36), (2.37),

(2.39) e (2.40).

Por meio do conjunto de relações de recorrência (2.41) a (2.48) podemos determinar completamente os coecientes A(i)

n , Bn(i), G(i)n , Dn(i), Fn(1), Kn(1) e En(i), a menos que para alguns

valores de n o determinante dos coecientes se anula.

Portanto, faz-se necessário estudar o determinante (D) dos coecientes associados ao conjunto de relações de recorrência acima. É fácil ver que, este conjunto de relações de recorrência nos fornece uma matriz de ordem doze e, portanto calcular este determinante por métodos usuais é uma tarefa um tanto tediosa. Por isso, lançamos mão de um método mais engenhoso, usando o conceito de matrizes em blocos, isto é, submatrizes da matriz original. Para mais detalhes sobre as técnicas e aplicações deste método remetimos o leitor ao apêndice C desta dissertação e as referências [21, 32,33].

Seguindo os passos de cálculos de determinantes de matrizes em blocos, podemos escrevê-lo da seguinte maneira      A B C D      =      I 0 CA−1 _I           A 0 0 D − CA−1_B           I A−1_B 0 I      . (2.49)

Observa-se que para a validade do método a matriz A é necessariamente não singular. A matriz formada a partir das relações de recorrência (2.41) a (2.48), como sabemos, é uma matriz de ordem 12 x 12. Contudo, seguindo o método de decomposição de matrizes em blocos, podemos decompô-la em quatro matrizes de ordem seis. Este procedimento de redução da ordem da matriz nos oferece uma importante vantagem para calcular o determinante, uma vez que precisamos calcular apenas os determinantes de A e o de (D − CA−1_{B) e por m o produto entre eles. Devido a extensão das matrizes supracitadas}

preferimos colocá-las em um apêndice, portanto antes de prosseguir a leitura o apêndice C deve ser consultado.

Tomando em conta que para satisfazer o teste de Painlevé os αi no ansatz (1.2) devem

ser inteiros podemos assumir segundo as equações (2.34)-(2.35) que p1 = 1, p2 = 1, α1 =

1, α2 = 1 e γ1 = 2. Assim, das equações (2.37) obtemos para os parâmetros ai, bi, (i = 1, 2),

e c1 as seguintes relações a1 = e1e3 c1 2, b1 = e2e4 c1 2, b2 = e2e5a2, (2.50) onde ej = ±1, com j = 1, 2, ..., 5.

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 26 Assim, encontramos o determinante de A, que a partir de agora, denotaremos por ∆11,

isto é,

∆11= n2(n2− 3n + 2)2( ˙χ)6, (2.51)

e o determinante de (D − CA−1_{B), que chamamos de Γ, cujo valor é expresso por}

Γ = |D − CA−1B| = δ11B0+ η11G0+ κ11K0+ Γ0, (2.52)

onde os termos δ11, η11, κ11 e Γ0 foram denidos como

δ11 = [(1 + e1e2)(4a22+ c21)]µ1(n − 4)(n − 2)2n2( ˙χ)3(χ0) 4(n − 1) ; (2.53) η11 = [(1 + e4e5)(4a22+ c21)]µ2(n − 4)(n − 2)2n2( ˙χ)3(χ0) 4(n − 1) ; (2.54) κ11 = µ3c21(n − 4)(n − 2)2n2( ˙χ)3(χ0) (n − 1) ; (2.55) Γ0 = (n − 4)n3(n − 2)2( ˙χ)4(χ0)2. (2.56)

E como nos instrui a operação por matrizes em blocos, o determinante (D) da matriz primitiva, pode ser colocado na forma

D = ∆11.Γ = ∆11.[δ11B0+ η11G0+ κ11K0+ Γ0]. (2.57)

Das equações (2.39) e (2.40) vemos que B0 e G0 são funções de K (1)

0 . Além do mais,

estas equações estabelecem alguns vínculos entre os ej, com j = 1, 2, ..., 5. Portanto o

determinante acima, equação (2.57), pode incorporar diferentes valores, de acordo com as possíveis combinações entre os ej. Porém, a simetria do modelo reduz a quantidade de tais

combinações, cando assim apenas três casos relevantes a serem analisados, no que segue. Primeiro caso: e4 = e1e2e5, e1 = e2, e4 = e5.

Neste primeiro caso, resolvendo para K(1)

0 as equações (2.39) e (2.40), encontramos que

K₀(1) = −4a 2 2+ c21 2µ3a22c21  ˙ χχ0, c2₁ 6= 4a2 2. (2.58)

Substituindo esta última equação nas equações (2.39) e (2.40), obtemos G0 =

2µ1a22B0+ ˙χχ0

2µ2a22

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 27 Nota-se que aqui B0 = B

(1) 0 B

(2)

0 é uma variável livre. Assim, substituindo as equações

(2.58) e (2.59) no determinante da equação (2.57), obtemos D = ( ˙χ) 10_(χ0₎2_{(n − 4)(n − 2)}5_n3_{(n + 1)[c}2 1+ 4a22(n2− n − 1)] 4a2 2 . (2.60)

A expressão entre colchetes no derteminante acima, equação (2.60), nos possibilita encontrar mais duas ressonâncias n1 =

1−q5−(c1

a2)2

2 e n2 =

1+q5−(c1

a2)2

2 com c1 6= ±2a2, é fácil ver que,

estas ressonâncias não são inteiras.

Sabemos da propriedade de Painlevé para EDP que para um sistema ser conjecturado a ser integrável é nescessário denir, através das relações de recorrência, um número exato de funções arbitrárias para associá-las com as condições iniciais arbitrárias do problema.

Porém, para este caso, o determinante nos permite encontrar um número menor de fun-ções arbitrárias do que as doze condifun-ções inciais do problema. Isto é, tomando em conta que B0 = B

(1) 0 B

(2)

0 é uma variável livre e que K (1)

0 e G0 = G (1) 0 G

(2)

0 caram denidos nas

equações (2.58) e (2.59), respectivamente, alguns destes coecientes são deixados indeter-minados. Temos, por exemplo, B(1)

0 , B (2)

0 e G

(1)

0 são deixados indeterminados. Isto nos

permite associar três funções arbitrárias as condições iniciais do problema, além daquela associada à variedade da vizinhança da singularidade, a função χ. O determinante acima nos fornece as seguintes ressonâncias

n = (−1, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 4, n1, n2),

vemos que as funções B(1) 0 , B

(2) 0 e G

(1)

0 estão associadas a ressonância n = 0, as ressonâncias

n = 2 pode nos fornecer no máximo cinco funções arbitrárias e n = 4 apenas uma. No entanto, as ressonâncias n1 e n2 nunca serão inteiras. Assim, sempre teremos menor

quan-tidade de variáveis independentes. Logo, para o caso em análise, o modelo GsG não passa o teste de Painlevé e, portanto não é integrável para este caso. No que segue analisamos outras possibilidades.

Segundo Caso: e4 = −e5, e1 = e2.

Assim como no caso anterior, resolvendo para K(1)

0 , levando em conta o caso em análise,

ou seja, e4 = −e5 e e1 = e2, das equações (2.39) e (2.40), obtemos a seguinte equação

K₀(1) = −4a 2 2+ c21 2µ3a22c21  ˙ χχ0, c2₁ 6= 4a2₂ (2.61) Combinando esta última equação com as equações (2.39) e (2.40), encontramos

B0 = −

˙ χχ0 2µ1a22

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 28 Observa-se que neste caso G0 = G

(1) 0 G

(2)

0 é a variável independente. Substituindo as

equações (2.61) e (2.62) no determinante (D) da equação (2.57), obtemos resultado idêntico ao do primeiro caso, isto é

D = ( ˙χ) 10_(χ0₎2_{(n − 4)(n − 2)}5_n3_{(n + 1)[c}2 1+ 4a22(n2− n − 1)] 4a2 2 . (2.63)

De modo análogo ao primeiro caso, a expressão entre colchetes no derteminante acima, equação (2.63), nos possibilita encontrar mais duas ressonâncias n1 =

1−q5−(c1

a2)2

2 e n2 =

1+q5−(c1_a2)2

2 com c1 6= ±2a2, é fácil ver que, estas ressonâncias não são inteiras.

Assim, para este caso, o determinante nos permite encontrar um número menor de fun-ções arbitrárias do que as doze condifun-ções inciais do problema. Isto é, tomando em conta que G0 = G

(1) 0 G

(2)

0 é uma variável livre e que K (1)

0 e B0 = B (1) 0 B

(2)

0 caram denidos nas

equações (2.61) e (2.62), respectivamente, alguns destes coecientes são deixados indetermi-nados. Temos, por exemplo, G(1)

0 , G (2) 0 e B

(1)

0 são deixados indeterminados. Isto nos permite

associar três funções arbitrárias as condições iniciais do problema, além daquela associada à variedade da vizinhança da singularidade, a função χ. O determinante acima nos fornece as seguintes ressonâncias

n = (−1, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 4, n1, n2),

vemos que as funções G(1) 0 , G

(2) 0 e B

(1)

0 estão associadas a ressonância n = 0, as ressonâncias

n = 2 pode nos fornecer no máximo cinco funções arbitrárias e n = 4 apenas uma. No entanto, as ressonâncias n1 e n2 nunca serão inteiras. Assim, sempre teremos menor

quan-tidade de variáveis independentes. Logo, para o caso em análise, o modelo GsG não passa o teste de Painlevé e, portanto não é integrável para este caso. Porém podemos seguir nossa análise para o terceiro e último caso.

Terceiro caso: e1 = −e2, e4 = e5.

Assim como nos casos anteriores, resolvendo as equações (2.39) e (2.40) para K(1) 0 , obtém-se K₀(1) = − 4a 2 2− c21 2µ3a22c21  ˙ χχ0, c2₁ 6= 4a2 2. (2.64)

Substituindo a equação (2.64) nas equações (2.39) e (2.40), encontramos G0 =

˙ χχ0 2µ2a22

2.4 Aplicando o teste de Painlevé 29 Vejamos que aqui B0 = B

(1) 0 B

(2)

0 é a variável independente. Portanto, combinando

convenientemente as equações (2.64) e (2.65) com a expressão em (2.57), o determinante torna-se D = ( ˙χ) 10_(χ0₎2_{(n − 4)(n − 2)}5_n3_{(n + 1)[c}2 1+ 4a22(n2− n − 1)] 4a2 2 . (2.66)

Nota-se que da equação (2.66) podemos obter mais duas ressonâncias n1 =

1−q5−(c1 a2) 2 2 e n2 = 1+q5−(c1 a2)2

2 com c1 6= ±2a2, é fácil ver que, estas ressonâncias não são inteiras.

Dessa forma, o determinante nos permite encontrar um número menor de funções ar-bitrárias do que as doze condições inciais do problema. Isto é, tomando em conta que B0 = B

(1) 0 B

(2)

0 é uma variável livre e que K (1)

0 e G0 = G (1) 0 G

(2)

0 caram denidos nas

equações (2.64) e (2.65), respectivamente, alguns destes coecientes são deixados indeter-minados. Temos, por exemplo, B(1)

0 , B (2)

0 e G

(1)

0 são deixados indeterminados. Isto nos

permite associar três funções arbitrárias as condições iniciais do problema, além daquela associada à variedade da vizinhança da singularidade, a função χ. O determinante acima nos fornece as seguintes ressonâncias

n = (−1, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 4, n1, n2),

vemos que as funções B(1) 0 , B

(2) 0 e G

(1)

0 estão associadas a ressonância n = 0, as ressonâncias

n = 2 pode nos fornecer no máximo cinco funções arbitrárias e n = 4 apenas uma. No entanto, as ressonâncias n1 e n2 nunca serão inteiras. Assim, sempre teremos menor

quan-tidade de variáveis independentes. Logo, para o caso em análise, o modelo GsG não passa o teste de Painlevé e, portanto não é integrável para este caso.

Terminando a análise desses três casos, podemos concluir que, de modo geral (parâme-tros ai, bi e c1 com i = 1, 2 e µj com j = 1, 2, 3, completamente arbitários e os expoentes

inteiros, ou seja, p1 = p2 = α1 = α2 = 1 e γ1 = 2), o modelo generalizado de sine-Gordon

não passa o teste de Painlevé e, portanto não é integrável. Porém, existem alguns submo-delos que podem ser obtidos a partir de algumas condições entre os parâmetros, faremos isso na próxima seção. Neste trabalho não estudaremos outras propostas na literatura as-sociadas a uma forma fraca da conjectura de Painlevé. Por exemplo, a escolha x = m

n com

m e n inteiros, tal que x ≡ pi, qi, αi, ri, λ1 e γ1, poderia implicar que as potências n-ésimas

das funções Ai, Bi, Gi, Di, F1 e K1 satisfazam a conjectura de Painlevé usual. Futuramente

2.5 Os submodelos: sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov 30

2.5 Os submodelos: sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov

Vimos na seção anterior que o modelo GsG não é integrável. No entanto, podemos reduzí-lo a submodelos tais como sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov. No primeiro capítulo, analisamos a integrabilidade destes dois modelos em detalhes. Vimos que o modelo de sine-Gordon é integrável e o modelo de Bukhvostov-Lipatov não é integrável, exceto para o caso onde o modelo desacopla em duas equações de sine-Gordon.

Nesta seção, vamos mostrar que para algumas condições entre os parâmetros encontra-mos, a partir do modelo GsG, os submodelos sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov. Se no par de equações de movimento (2.27) e (2.28) assumirmos µ1 = 0, estas equações tornam-se

µ2b1sen(b1θ1) cos(b2θ2) + µ2b1cos(b1θ1)sen(b2θ2) + µ3c1sen(c1θ1) cos(c2θ2)

+ µ3c1cos(c1θ1)sen(c2θ2) = 0,

µ2b2sen(b1θ1) cos(b2θ2) + µ2b2cos(b1θ1)sen(b2θ2) + µ3c2sen(c1θ1) cos(c2θ2)

+ µ3c2cos(c1θ1)sen(c2θ2) = 0.

Para µ2 = µ3 , b1 = c1 e b2 = c2 ou µ2 = µ3, b1 = −c1 e b2 = −c2 encotramos as seguintes

equações

∂+∂−θ1+ 2µ2b1sen(b1θ1+ b2θ2) = 0, (2.67)

∂+∂−θ2+ 2µ2b2sen(b1θ1+ b2θ2) = 0, (2.68)

é fácil ver que, estas são equações de sine-Gordon.

Enquanto que para µ2 = µ3, b1 = c1 e b2 = −c2, obtemos as seguintes equações

∂+∂−θ1+ 2µ2b1sen(b1θ1) cos(b2θ2) = 0, (2.69)

∂+∂−θ2+ 2µ2b2cos(b1θ1)sen(b2θ2) = 0. (2.70)

Aqui temos o modelo de Lipatov. Para obter mais alguns modelos de Bukhvostov-Lipatov, podemos fazer: Por exemplo µ2 = −µ3, b1 = c1 e b2 = −c2 onde obtemos

∂+∂−θ1+ 2µ2b1cos(b1θ1)sen(b2θ2) = 0, (2.71)

∂+∂−θ2+ 2µ2b2sen(b1θ1) cos(b2θ2) = 0. (2.72)

Ou µ2 = µ3, b1 = −c1 e b2 = c2 encontrando

2.5 Os submodelos: sine-Gordon e Bukhvostov-Lipatov 31 ∂+∂−θ2+ 2µ2b2cos(b1θ1)sen(b2θ2) = 0. (2.74)

Ou ainda, µ2 = −µ3, b1 = −c1 e b2 = c2 que nos conduz a

∂+∂−θ1+ 2µ2b1cos(b1θ1)sen(b2θ2) = 0, (2.75)

∂+∂−θ2+ 2µ2b2sen(b1θ1) cos(b2θ2) = 0. (2.76)

Se zermos os mesmos procedimentos para µ2 = 0 ou µ3 = 0 encontramos resultados

idênticos aos que obtivemos aqui.

Ao longo deste capítulo, enfatizamos a estrutura do modelo generalizado de sine-Gordon (GsG) e analisamos a sua integrabilidade de acordo com a propriedade de Painlevé na versão forte, ou seja, para os αi, em (1.2), inteiros. Vericamos que a quantidade de funções

arbitrárias são insucientes para permitir a arbitráriedade das doze condições iniciais do problema. Portanto, o modelo GsG não passa o teste de Painlevé. Exceto para os casos onde se reduz a submodelos tipo sine-Gordon.

Capítulo 3

O Modelo sl(3)

Vimos no capítulo anterior que o modelo generalizado de sine-Gordon (GsG) relacio-nado com a álgebra sl(N) é descrito pela ação (2.1), onde os campos Φi satisfazem alguns

vínculos.

No contexto da construção da álgebra de Lie para o sistema (GsG) estas vículos surgem a partir da relação entre as raízes positivas e simples de sl(N ). Assim, a partir da ação (2.1) temos (N - 1) campos independentes relacionados ao número de raízes simples da álgebra de Lie sl(N ).

Considere a álgebra de Lie sl(3). Neste caso, tem-se duas raízes simples α1 e α2, tal

que α1 + α2 = α3, onde α1, α2 e α3 são raízes positivas. Assim, existem dois campos reais

independentes, ϕ1 e ϕ2 a eles associados, respectivamente, de forma que

Φ1 ≡ α1.ϕ; Φ2 ≡ α2.ϕ; Φ3 ≡ α3.ϕ; ϕ = ϕ1α1+ ϕ2α2. (3.1)

No que segue, analisamos os pontos críticos, os minímos absolutos e a matriz de massa. Os pontos críticos

Denominamos pontos críticos os pontos onde a derivada primeira é nula. Assim, os pontos críticos associados ao potencial (2.21) são os seguintes

∂U ∂θ1

= 0 → a1µ1senβ1Φ1+ b1µ2senβ2Φ2+ c1µ3senβ3Φ3 = 0, (3.2)

∂U ∂θ2

= 0 → a2µ1senβ1Φ1+ b2µ2senβ2Φ2+ c2µ3senβ3Φ3 = 0. (3.3)

Os minímos absolutos

3.1 Um Modelo Particular do sl(3) 33 A relação Φi = 2πn_β i

i combinado com as equações (2.22) nos permite escrever a seguintes

relações para os minímos absolutos

a1θ¯1+ a2θ¯2 = 2πn1, ni  Z (3.4)

b1θ¯1+ b2θ¯2 = 2πn2, (3.5)

c1θ¯1+ c2θ¯2 = 2πn3. (3.6)

O conjunto de inteiros (n1, n2, n3)deve satisfazer a relação (2.8) e ¯θ é constante.

A matriz de massa

A matriz de massa é obtida tomando a derivada segunda do potencial. Logo, a matriz de massa associada ao potencial (2.21) pode ser escrita como

M11 =

∂2U ∂θ2 1

= a2₁µ1cos β1Φ1+ b21µ2cos β2Φ2+ c21µ3cos β3Φ3, (3.7)

M12 = ∂2U ∂θ1∂θ2 , M21= ∂2U ∂θ2∂θ1 , (M12= M21) (3.8)

= a1a2µ1cos β1Φ1+ b1b2µ2cos β2Φ2+ c1c2µ3cos β3Φ3, (3.9)

M22 =

∂2_U

∂θ2 2

= a2₂µ1cos β1Φ1+ b22µ2cos β2Φ2+ c22µ3cos β3Φ3. (3.10)

E assim, a matriz de massa para os pontos críticos pode ser escrita da seguinte maneira M (¯θ1, ¯θ2) = a2 1µ1+ b21µ2 + c21µ3 a1a2µ1+ b1b2µ2+ c1c2µ3 a1a2µ1+ b1b2µ2+ c1c2µ3 a22µ1+ b22µ2+ c22µ3 ! . (3.11) As pequenas utuações de vácuo pode ser examinadas fazendo as mudanças θ1 = ¯θ1 +

δθ1, θ2 = ¯θ2+ δθ2 e substituindo nas equações de movimento (2.27) e (2.28) em que para

uma transformação innitesimal temos

δθ1 = −(a21µ1+ b21µ2+ c21µ3)δθ1− (a1a2µ1+ b1b2µ2+ c1c2µ3)δθ2, (3.12)

δθ2 = −(a1a2µ1+ b1b2µ2+ c1c2µ3)δθ1− (a22µ1+ b22µ2+ c22µ3)δθ2. (3.13)

3.1 Um Modelo Particular do sl(3)

Uma vez que na equação (2.20), o parâmetro d é um parâmetro livre pode-se ajustar a zero qualquer uma das constantes do conjunto {a1, a2, b1, b2, c1, c2}em (2.22). Dessa forma,

sem perda de generalidade, vamos considerar c2 = 0em (2.22) e a parametrização particular

β1Φ1 = a1θ1+ a2θ2; β2Φ2 = µ1 µ2 a1θ1 − a2θ2; β3Φ3 = µ1 + µ2 µ2 a1θ1. (3.14)

3.1 Um Modelo Particular do sl(3) 34 Tal que

a2₁(µ1µ2+ µ1µ3+ µ2µ3) − a22µ22 = 0. (3.15)

E portanto, as equações de movimento (2.27) e (2.28) tornam-se ∂2θ1+ µ1a1sen(a1θ1+ a2θ2) + µ1a1sen( µ1 µ2 a1θ1− a2θ2) + µ3a1 µ1+ µ2 µ2 sen(µ1 + µ2 µ2 a1θ1) = 0, (3.16) ∂2θ2 + µ1a2sen(a1θ1+ a2θ2) − µ2a2sen( µ1 µ2 a1θ1− a2θ2) = 0. (3.17)

Nota-se que para a parametrização (3.14) temos β1Φ1 + β2Φ2 = β3Φ3, então para a

relação (2.4) obtemos δ1 = δ2 = 1 que em (2.7) implica

n1+ n2 = n3. (3.18)

Órbita do Vácuo

Neste caso, as equações (3.4)-(3.6) devem satisfazer a órbita do vácuo

a1θ¯1 + a2θ¯2 = 2πn1, (3.19) µ1 µ2 a1θ¯1− a2θ¯2 = 2πn2, (3.20) µ1+ µ2 µ2 a1θ¯1 = 2πn3. (3.21)

Assim, temos as seguintes relações ¯ θ1 = 2π a1 µ2 µ1+ µ2 (n1+ n2), (3.22) ¯ θ2 = 2π a2 1 µ1+ µ2 (µ1n1 − µ2n2). (3.23)

Nas próximas seções discutiremos em detalhes a conexão da órbita do vácuo com a rede de pontos no espaço dos pesos da representação da álgebra de Lie sl(3).

A Matriz de Massa

De modo análogo, a matriz de massa também simplica-se assumindo a seguinte forma M11 = a2₁ µ2 2 [µ1µ2(µ2cos(a1θ1+ a2θ2) + µ1cos( µ1 µ2 a1θ1−a2θ2)) + (µ1+ µ2)2µ3cos( µ1+ µ2 µ2 a1θ1)], (3.24) M12 = a1a2µ1[cos(a1θ1+ a2θ2) − cos( µ1 µ2 a1θ1− a2θ2)] = M21, (3.25) M22 = a22[µ1cos(a1θ1+ a2θ2) + µ2cos( µ1 µ2 a1θ1− a2θ2)]. (3.26)