Aula 9
FATORAÇÃO LU
Uma fatoração LU de uma dada matriz quadrada é dada por:
onde L é triangular inferior e U é triangular superior. Exemplo:
A = LU
A
=
2
3
8
5
é
ë
ê
ù
û
ú=
LU
=
1
0
4
1
é
ë
ê
ù
û
ú
2
3
0
-
7
é
ë
ê
ù
û
ú
FATORAÇÃO LU
Pode ser provado que, para qualquer matriz não-singular
(inversível), as linhas podem ser reordenadas de forma que a matriz resultante A tenha uma fatoração LU, onde:
L
U
Matriz dos multiplicadores mjk com diagonal principal 1, ..., 1
Matriz do sistema triangular ao final da eliminação de Gauss
FATORAÇÃO LU
Podemos, então, determinar x mais facilmente.
Fazemos y = Ux
Passo 1: Resolvemos o sistema Ly = b para y.
Teorema 1
Se a eliminação de Gauss puder ser realizada no sistema
linear Ax = b sem trocas de linhas, então a matriz A pode ser fatorada no produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, A = LU, em que:
Exemplo 1
Seja o sistema linear:
Resolva utilizando fatoração LU.
2
2
1
4
2
3
3
2
3
4
3 2 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo 1
A fatoração LU é obtida de:
2
1
1
4
2
3
2
3
4
33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
jkA
33 23 22 13 12 11 32 31 210
0
0
1
0
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
m
m
m
Exemplo 1
Usando o processo de Eliminação de Gauss com estratégia
de pivoteamento, para triangular A, temos:
Passo 1: Eliminação de x1 Pivô = a11 = 4 Multiplicadores: e Então, faremos: e
2
3
4
1
0
2
5
4
1
0
2
3
4
1A
4
3
m
11 21
a
a
214
1
m
11 31
a
a
31
E
2
m
21E
1
E
2(
E
3-
m
31E
1)
®
( )
E
3MULTIPLICADORES
Exemplo 1
Uma vez que os elementos são nulos, podemos
guardar os multiplicadores nestas posições, então:
2
3
4
1
4
1
2
5
4
1
4
3
2
3
4
1A
1 1 31 21e a
a
Exemplo 1
Passo 2: Eliminação de x2 Pivô = a22 = -1/4 Multiplicadores: Então, fazemos:1
4
1
4
1
m
22 32
a
a
32
E
3
m
32E
2
E
3
4
1
4
1
2
5
4
1
4
3
2
3
4
2A
Exemplo 1
Os fatores L e U são:e
1
1
4
1
0
1
4
3
0
0
1
L
4
0
0
2
5
4
1
0
2
3
4
U
Exemplo 1
y
2
4
1
1
4
3
3
3 2 1 2 1 1y
y
y
y
y
y
0
4
5
3
y
Exemplo 1
0
5
3
x
0
4
4
5
2
5
4
1
3
2
3
4
3 3 2 3 2 1x
x
x
x
x
x
Vantagem da Fatoração LU
A fatoração LU é eficiente na solução de sistemas de
equações lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes A, porém vetor dos termos independentes b diferentes.
Neste caso, a resolução do novo sistema linear será quase
FATORAÇÃO LU:
Quando trocas de linhas
são necessárias
Matriz de Permutação
Quando as trocas de linhas forem necessárias, utilizaremos
uma matriz de permutação.
Uma n × n, P = [pij] é
obtida por meio da reorganização das linhas de In, a matriz identidade.
Isso resulta em uma matriz com exatamente um elemento
não-nulo em cada linha e em cada coluna, e cada elemento
Exemplo 2
A matriz:
é uma matriz de permutação 3 × 3.
P
=
1
0
0
0
0
1
0
1
0
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
Exemplo 2
Para qualquer matriz A (3 × 3), multiplicar à esquerda por P
tem o efeito:
E
2( )
«
( )
E
3
23 22 21 33 32 31 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 110
1
0
1
0
0
0
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
PA
Exemplo 2
De maneira análoga, multiplicar A à direita por P troca a
segunda e a terceira colunas de A.
32 33 31 22 23 21 12 13 11 33 32 31 23 22 21 13 12 110
1
0
1
0
0
0
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
AP
Seja o sistema linear Ax = b e sejam os fatores L e U obtidos
pelo processo de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento. Quando uma troca de linhas for necessária:
L e U serão fatores da matriz A’ , onde A’ é a matriz A com
as linhas permutadas:
Permutar as linhas de A implica permutar as equações de
Ax = b.
Então, as mesmas permutações efetuadas nas linhas de A
devem ser efetuadas sobre o vetor b:
b’ =Pb
A’x=b’
Ax=b
Se A’ = LU:
Resolvemos então:
Exemplo 3
Considere o sistema:
Resolva utilizando fatoração LU:
2
3
4
3
2
2
9
4
3
3 1 3 2 1 3 2 1x
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo 3
E
1
E
3
3
0
4
2
2
1
1
4
3
0A
Exemplo 3
0
0
1
0
1
0
1
0
0
,
1
4
3
2
2
1
3
0
4
'
0P
0A
0 0 0'
P
A
A
PivôExemplo 3
Usamos os k multiplicadores, cada um multiplicando a respectiva linha k.
e fazemos:
E
j-
m
jkE
k
4
13
4
0
4
11
2
0
3
0
4
Exemplo 3
E
2
1
4
E
1
E
2 m31 = 3/4 m21 = 1/4
1
4
3
2
2
1
3
0
4
E
3
E
E
4
13
4
0
4
11
2
0
3
0
4
4
13
4
4
3
4
11
2
4
1
3
0
4
Exemplo 3
1
4
3
2
2
1
3
0
4
MULTIPLICADORESExemplo 3
Como |a22 |< |a32|, temos que fazer:
E
2
E
3
4
13
4
4
3
4
11
2
4
1
3
0
4
1A
Exemplo 3
A'
( )1=
4
0
-
3
3 4
-
4 13 4
1 4
2
11 4
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
,
P
1 ( )=
0
1
0
0
1
0
0
1
0
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
Pivô
8
35
0
0
4
13
4
0
3
0
4
Exemplo 3
E
3
1
2
E
2
E
3 m32 = -1/2
4
11
2
4
1
4
13
4
4
3
3
0
4
8
35
2
1
4
1
4
13
4
4
3
3
0
4
Exemplo 3
MULTIPLICADORES
4
11
2
4
1
4
13
4
4
3
3
0
4
Exemplo 3
Os fatores L e U são:e
0
1
4
3
0
0
1
L
0
4
13
4
3
0
4
U
8
35
2
1
4
1
4
13
4
4
3
3
0
4
2A
Exemplo 3
Estes são os fatores da matriz A’ = PA, onde P = P(1):
3
0
4
2
2
1
1
4
3
0
1
0
0
0
1
1
0
0
' PA
A
2
2
1
1
4
3
3
0
4
'
A
Exemplo 3
y
3
9
2
2
3
9
0
1
0
0
0
1
1
0
0
Pb
Exemplo 3
y
3
2
1
4
1
9
4
3
2
3 2 1 2 1 1y
y
y
y
y
y
4
35
2
21
2
y
Exemplo 3
2
1
1
x
4
35
8
35
2
21
4
13
4
2
3
4
3 3 2 3 1x
x
x
x
x
EXERCÍCIO
Considere o sistema:
Resolva-o, utilizando Fatoração LU com estratégia de
pivoteamento.
52
8
2
6
16
2
5
3
14
2
8
3 2 1 3 2 1 3 2x
x
x
x
x
x
x
x
Referências
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise
numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2008. xiii, 721 p. ISBN 8522106010.
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da
Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN 8534602042.