Sara Einsfeld, Roberto Salgado UFSC / CTC/ EEL Laboratório de Sistemas de Potência Florianópolis, SC, Brasil

(1)

SOLU ¸C ÕES DO FLUXO DE POTÊNCIA COM RESTRI ¸C ÕES DE INTERC ÂMBIO LÍQUIDO DE POTÊNCIA ATIVA

Sara Einsfeld∗, Roberto Salgado∗

∗_{UFSC / CTC/ EEL}

Laboratório de Sistemas de Potência Florianópolis, SC, Brasil

Emails: [email protected], [email protected]

Abstract— This work proposes a methodology to determine power flow solutions taking into account the constraints on the net interchange of active power between areas. These solutions are obtained by solving the set of nonlinear power flow equations, augmented by the analytical model of the active power interchange. At each iteration of the solution process through Newton-Raphson method, the general solution of an undetermined linear system is obtained. The load is modelled as constant power and the power flow equations are expressed in rectangular coordinates. Numerical results obtained with the IEEE 118-bus test system illustrate the features of the proposed methodology.

Keywords— power flow control, active power interchange, underdetermined linear system, rectangular coor-dinates.

Resumo— Este trabalho apresenta uma metodologia para a determina¸cão de solu¸cões do fluxo de potência considerando restri¸cões de intercâmbio l´ıquido de potência ativa entre áreas. Este problema é representado analiticamente por um conjunto de equa¸cões algébricas não lineares, no qual as equa¸cões do fluxo de potência convencional são complementadas com o modelo anal´ıtico das restri¸cões de intercâmbio. As variáveis deste problema são selecionadas de tal forma que em cada itera¸cão do processo de solu¸cão via método de Newton-Raphson, determina-se a solu¸cão geral do sistema linear subdeterminado. A carga é modelada como potência constante e as equa¸cões que representam a rede elétrica em regime permanente são expressas em coordenadas retangulares. Resultados numéricos com o sistema IEEE 118-barras ilustram as caracter´ısticas da metodologia proposta.

Palavras-chave— Controle de fluxo de potência, intercâmbio de potência ativa, sistema linear subdetermi-nado, coordenadas retangulares.

1 Introdu¸c˜ao

Sistemas de energia elétrica de grande porte ge-ralmente são divididos em áreas conectadas por li-nhas de transmissão, através das quais é realizada a transferência de potência. Durante a opera¸cão desses sistemas, o suprimento de determinados n´ı-veis de carga em certas regiões é dificultado pela limita¸cão da capacidade de gera¸cão no interior da própria área e/ou por restri¸cões de transmissão em determinados elos de interliga¸cão. Por esta razão, é necessário identificar os n´ıveis de carregamento para os quais a solu¸cão das equa¸cões do fluxo de potência é compat´ıvel com as restri¸cões de inter-câmbio programado.

No Brasil o Sistema Interligado Nacional (SIN) é operado de forma coordenada a fim de aproveitar ao máximo as diversidades das bacias hidrográficas do extenso território. Para viabilizar a transferência de energia entre estas diferentes regiões, com a consequente otimiza¸cão dos recur-sos energéticos existentes, são utilizadas as inter-liga¸cões regionais, tornando assim o sistema elé-trico mais robusto e aumentando significadamente a confiabilidade do atendimento às cargas. Os li-mites de intercâmbio juntamente com os pontos de opera¸cão do SIN são determinados pelo Opera-dor Nacional do Sistema Elétrico (ONS). Porém, esta tarefa é realizada geralmente de forma ma-nual, através de aplicativos de fluxo de potência convencional, o que requer frequentemente tempo de estudo e esfor¸co computacional elevados.

Em geral, o estudo de transferência de potên-cia requer a execu¸cão de três etapas fundamentais (Echavarren et al., 2011): 1) obten¸cão da solu-¸cão do fluxo de potência para um caso base; 2) a pré-especifica¸cão da varia¸cão da carga e da área onde ela ocorre; e 3) a determina¸cão da solu¸cão do fluxo de potência com a programa¸cão de inter-câmbio inclu´ıda. Os métodos existentes na litera-tura para o Controle de Intercâmbio entre Áreas (CIA) baseiam-se geralmente em duas estratégias. A primeira consiste em alternar a aplica¸cão de ajustes na gera¸cão de potência ativa com as so-lu¸cões do fluxo de potência, até que o intercâmbio alcance o valor desejado. As rela¸cões de sensibi-lidade entre as variáveis do sistema de potência são utilizadas para estimar a corre¸cão da potên-cia ativa gerada em cada área, nas barras previ-amente selecionadas para esta finalidade. Apesar desta técnica ser atrativa pela sua simplicidade, os ajustes na gera¸cão de potência ativa são calcula-dos de forma indireta num processo de tentativa-erro, o que pode demandar um considerável es-for¸co computacional, sem garantir a determina¸cão as melhores solu¸cões em termos do n´ıvel de potên-cia gerada. A referênpotên-cia (Ibsais e Ajjarapu, 1996) aborda o problema do limite de intercâmbio de po-tência devido a restri¸cões de estabilidade de tensão utilizando uma metodologia baseada na estraté-gia dos ajustes alternados e no fluxo de potência continuado. Busca-se o máximo fluxo de potên-cia que pode ser estabelecido entre as áreas, sem causar problemas de estabilidade de tensão. A

(2)

se-gunda estratégia é baseada na inclusão das equa-¸cões do Controle de Intercâmbio entre Áreas no conjunto de equa¸cões do fluxo de potência. Neste caso, a gera¸cão de potência ativa das barras sele-cionadas para compensar o desvio de intercâmbio é inclu´ıda no conjunto de variáveis a serem deter-minadas na solu¸cão das equa¸cões da rede elétrica em regime permanente. A formula¸cão anal´ıtica proposta (Okamura et al., 1975) aborda este pro-blema sob o ponto de vista da resposta dos gerado-res a uma varia¸cão do fluxo de potência nas linhas de interliga¸cão. A potência de sa´ıda dos geradores dentro de uma certa área é regulada automatica-mente, de modo a manter o intercâmbio progra-mado com as outras áreas. O modelo de fluxo de potência proposto em (Calovic e Strezoski, 1981), considera o erro estático de controle de área com-posto dos desvios de frequência em regime per-manente e de fluxo de potência nas linhas de in-tercâmbio. Esses desvios são calculados explicita-mente na solu¸cão das equa¸cões da rede elétrica em regime permanente e distribu´ıdos entre as barras de gera¸cão que participam do controle secundá-rio, segundo critérios baseados na capacidade de regula¸cão dos geradores. Em (Santos et al., 2004), propõe-se o controle do fluxo de potência de inter-câmbio baseado na utiliza¸cão de múltiplas barras de folga em uma mesma área. Os incrementos de potência ativa gerada nas barras de folga de cada área são inclu´ıdos como variáveis adicionais no problema de fluxo de potência, e o Controle do Intercâmbio entre Áreas é representado explicita-mente na formula¸cão anal´ıtica. A gera¸cão de po-tência ativa de cada barra de folga depende do seu fator de participa¸cão no intercâmbio. A inclusão das equa¸cões do CIA no fluxo de potência continu-ado é proposta em (Carhuallanqui e Alves, 2012). Uma sequência de solu¸cões do fluxo de potência desde um caso base até o ponto de carregamento máximo, considerando as restri¸cões de intercâm-bio entre áreas, é determinada. As equa¸cões do fluxo de potência são modificadas conforme suge-rido em (Santos et al., 2004), considerando m´ ulti-plas barras de folga em uma mesma área. A prin-cipal desvantagem das metodologias baseadas na inclusão das equa¸cões de intercâmbio é o risco de inviabilidade na solu¸cão do fluxo de potência, por efeito de conflito entre as restri¸cões de intercâm-bio e a disponibilidade dos geradores selecionados para a compensa¸cão dos desbalan¸cos no fluxo de potência.

O presente trabalho propõe uma abordagem para considerar o intercâmbio de potência entre áreas no problema de fluxo de potência. Segundo o ONS, cada área de controle do sistema brasileiro é operada de tal forma que o seus intercâmbio l´ı-quido com o SIN coincida com o seu valor progra-mado. Assim, esta metodologia pode ser inserida no contexto do controle automático de gera¸cão (controle secundário), com o objetivo de manter a potência de intercâmbio no seu valor nominal, distribuindo os desvios de intercâmbios entre as múltiplas barras reguladoras da área, conforme o

critério de gera¸cão de potência ativa.

A principal diferen¸ca da metodologia pro-posta com rela¸cão aquelas existentes na literatura (particularmente (Okamura et al., 1975; Santos et al., 2004; Carhuallanqui e Alves, 2012)) diz res-peito a forma como os controles (potência ativa gerada nas barras reguladoras) são inclu´ıdas na modelagem do problema de fluxo de potência com restri¸cões de intercâmbio entre áreas. Usualmente os controles são selecionados em áreas distintas, de uma maneira tal que o número de equa¸cões do sistema não linear é igual ao número de variáveis. Além de restringir a região das solu¸cões viáveis, isto aumenta o risco de inviabilidade da solu¸cão se os fluxos de intercâmbio não forem adequada-mente especificados. Na abordagem apresentada aqui, a modelagem anal´ıtica dos controles é es-tabelecida de forma que o numero de variáveis é maior do que o número de incógnitas. Conse-quentemente, a aplica¸cão do método de Newton-Raphson requer a solu¸cão de um sistema linear subdeterminado a cada itera¸cão. Isto aumenta a região de viabilidade da solu¸cão e possibilita de-terminar n´ıveis de gera¸cão de potência ativa com diferentes caracter´ısticas.

O texto apresentado a seguir está organizado da seguinte forma: a Se¸cão 2 descreve os funda-mentos teóricos do problema de fluxo de potên-cia com a inclusão dos intercâmbios programados; a Se¸cão 3 descreve a metodologia proposta, in-cluindo os aspectos computacionais; os resultados numéricos da implementa¸cão computacional, ob-tidos com o sistema IEEE-118 barras são apresen-tados na Se¸cão 4, e as principais conclusões são sumarizadas na Se¸cão 5.

2 Fluxo de potência com restri¸cões de intercâmbio entre áreas 2.1 Modelo anal´ıtico

Na formula¸cão do problema de fluxo de potência convencional, uma barra de gera¸cão é escolhida para regular o balan¸co de potência total do sis-tema. Isto dificulta a redistribui¸cão de potência ativa e reativa gerada, necessária para compensar os desbalan¸cos de potência causados por eventuais varia¸cões de carga e/ou contingências. Alternati-vamente, um conjunto de barras de gera¸cão (re-feridas em (Okamura et al., 1975; Calovic e Stre-zoski, 1981) como barras reguladoras e em (Santos et al., 2004; Carhuallanqui e Alves, 2012) como barras de folga), é selecionado para realizar esta compensa¸cão, o que torna o modelo de fluxo de potência mais real´ıstico. Neste caso, a potência ativa gerada na i-ésima barra reguladora pode ser determinada através de diversas formas alternati-vas. Neste trabalho é suposto que um conjunto de barras reguladoras é previamente selecionando com base em critérios econômicos e/ou de segu-ran¸ca. A formula¸cão anal´ıtica da gera¸cão de po-tência ativa é parametrizada segundo a equa¸cão,

P_g

i(ρgi) = P

ref

(3)

onde Pref

gi é o valor de referência, o parâmetro si

determina a parcela de varia¸cão na potência ativa de sa´ıda da i-ésima barra reguladora, e ∆Pgi é

uma constante que representa a taxa de varia¸cão da potência ativa gerada, a qual é especificada ge-ralmente com base em critérios econômicos e/ou de seguran¸ca. Por exemplo, o uso de fatores iguais para todos os geradores reguladores supõe que a varia¸cão de potência ativa independe do custo, da capacidade ou da localiza¸cão destas unidades. Em (Carhuallanqui e Alves, 2012), esses fatores são definidos de acordo com a equa¸cão,

∆Pgi = P_gref i P iǫΩj P_g i (2)

onde Ωjrepresenta o conjunto de barras

regulado-ras da ´area j, e P

iǫΩj

P_g

i ´e a potˆencia total gerada

na área j. Este critério é baseado na participa¸cão da i-ésima barra reguladora na gera¸cão total da ´

area em que a mesma est´a localizada.

Para formular o problema de fluxo de po-tência com restri¸cões de intercâmbio entre áreas, supõem-se que o gerador da barra reguladora con-tribui para a compensa¸cão de ambos, a varia¸cão de carga e o controle dos fluxos de intercâmbio. Assume-se que o mesmo opera com a magnitude da tensão constante e a potência ativa de sa´ıda varia de acordo com a Eq. (1). A gera¸cão de potência reativa dessas unidades é dada por,

Q_g

i = Qdi+ Qdi(e, f ) (3)

onde a demanda de potência na barra i é modelada como potência constante.

O j-ésimo intercâmbio l´ıquido de potência ativa, denotado PTj, entre as áreas i e k é expresso

de forma semelhante `a (Monticelli, 1983), P_T

j =

X

ikǫΓj

P_ik(e, f ) (4)

onde Pik ´e o fluxo de potˆencia na linha de

trans-miss˜ao ik, e Γj ´e o conjunto de linhas de

trans-miss˜ao que interligam as ´areas i e k.

A inclusão das equa¸cões que representam o in-tercâmbio entre áreas na formula¸cão do problema de fluxo de potência resulta num o sistema de equa¸cões não lineares composto de: 1) a equa¸cão de balan¸co de potência ativa de todas as barras, exceto a de referência angular; 2) a equa¸cão de balan¸co de potência reativa das barras PQ; 3) a equa¸cão quadrática da magnitude da tensão das barras PV e de regula¸cão; e 4) as equa¸cões de es-pecifica¸cão dos fluxos nas linhas de intercâmbio programado. Em termos anal´ıticos,

P_g i− Pdi(ei, fi) − Pi(e, f ) = 0 Q_g i− Qdi− Qi(e, f ) = 0 Vref 2 i − e 2 i − f 2 i = 0 Ppgr Tj − PTj(e, f ) = 0 (5)

onde P_Tpgr_j e PTj(e, f ) s˜ao respectivamente os

valo-res programado e calculado do intercâmbio j. As variáveis a serem determinadas na solu¸cão deste problema são as componentes real e imaginária da tensão nas barras e a potência ativa gerada nas barras reguladoras.

O balan¸co de potência ativa das barras regula-doras é modelado expressando-se a potência ativa gerada Pgi segundo a Eq. (1), tal que as variáveis

adicionais s˜ao os si correspondentes aos

gerado-res de regula¸cão. As restri¸cões de desigualdade impostas na formula¸cão do fluxo de potência es-tendido são os limites de gera¸cão de potência ativa e de potência reativa, isto é,

P_gm i ≤ Pgi(si) ≤ P M gi Qm_g i ≤ Qgi(e, f ) ≤ Q M gi (6) onde Pm gi, P M gi e Q m gi, Q M gi s˜ao respectivamente os

limites m´ınimo e máximo de gera¸cão de potência ativa e reativa.

A imposi¸cão das restri¸cões de igualdade adi-cionais relativas a especifica¸cão dos intercâmbios l´ıquidos está inevitavelmente associada ao risco de inviabiliza¸cão da solu¸cão do problema da Eq. (5), se as unidades reguladoras não forem convenien-temente selecionadas ou se as restri¸cões de inter-câmbio forem conflitantes com as caracter´ısticas do sistema de potência. Portanto, para estabele-cer o problema representado na Eq. (5), as se-guintes suposi¸cões são adotadas:

• os geradores reguladores dispon´ıveis para o ajuste dos intercâmbios entre áreas são pre-viamente selecionados;

• o número de intercâmbios programados é me-nor ou igual ao que o número de geradores reguladores;

• considera-se que cada ´area possui pelo menos um gerador regulador;

• o número de intercâmbios programados é me-nor do que o número de áreas interligadas; • a parcela da varia¸cão de carga atribu´ıda a

cada intercâmbio de potência é especificada a priori;

2.2 M´etodo de Solu¸c˜ao

A solu¸cão do problema expresso pela Eq. (5) atra-vés do método de Newton requer que a cada ite-ra¸cão seja resolvido um sistema linear da forma,

   ∆P ∆Q ∆V2 ∆T   =    J1 J2 Ft J3 J4 0 J5 J6 0 H1 H2 0    " _∆e ∆f ∆s # (7)

(4)

onde, J1= ∂ P(e, f ) ∂ e J2= ∂ P(e, f ) ∂ f J3= ∂ Q(e, f ) ∂ e J4= ∂ Q(e, f ) ∂ f J5= ∂ V2(e, f ) ∂ e J6= ∂ V2(e, f ) ∂ f H1= ∂ P_T(e, f ) ∂ e H2= ∂ P_T(e, f ) ∂ f (8)

e, ∆s ´e um vetor coluna e Ft ´e uma matriz

es-parsa. A ordem e natureza dos elementos de ∆s e Ftdependem da forma como a gera¸c˜ao de

potên-cia ativa das barras reguladoras é modelada. Os aspectos da implementa¸cão computacional para o cálculo das matrizes da Eq. (8) são apresentados em (Qin, 2008).

Suponha que: nb ´e o n´umero total de barras

do sistema; nr´e o n´umero de barras reguladoras

dispon´ıveis para o controle do intercˆambio; na o

número de áreas interligadas; e nté o número de

intercâmbios programados. O número de equa¸cões a serem resolvidas e o número de variáveis a serem determinadas no problema de fluxo de potência estendido são respectivamente,

n_eq = 2n_b_{− 2 + n}_t n_vr= 2n_b_{− 2 + n}_s

onde ns´e a ordem do vetor ∆s, cujas componentes

são as variáveis adicionais inclu´ıdas no problema de fluxo de potência estendido pelas equa¸cões que representam as restri¸cões de intercâmbio l´ıquido de potência ativa.

O vetor ∆s possui ns= nr componentes ∆si

e a matriz Ft tem dimens˜ao (nb − 1) × nr. A

solu¸cão do problema de fluxo de potência esten-dido fornece nvr= 2nb− 2 + nrvariáveis, ou seja,

(2nb− 2) relativas as componentes real e imagin´

a-ria das tens˜oes nas barras e nr vari´aveis si para

o ajuste da potência ativa gerada. Os elementos Ft(i, j) não nulos ocupam as posi¸cões em que o

regulador j está localizado na barra i. Esses ele-mentos são os fatores ∆Pgi (desde que a gera¸cão

de potência ativa é modelada pela Eq. (1)). A dimensão do sistema linear da Eq. (7) de-pende do número de áreas envolvidas, do número de intercâmbios programados e do número de bar-ras reguladobar-ras dispon´ıveis para ajustar os inter-câmbios. A análise desta equa¸cão revela a matriz Jacobiana tem dimensão (2nb− 2 + nt)×(2nb− 2 + n_s), tal que os seguintes três casos podem ocorrer: 1. o número de fluxos de intercâmbio progra-mados é menor do que o número de barras reguladoras. Então, ns > n_t, isto é, o n´ u-mero de equa¸cões é menor do que o número de variáveis, tal que o sistema linear é subde-terminado e admite infinitas solu¸cões. 2. o número de intercâmbios programados é

igual ao n´umero de barras reguladoras. Neste

caso, ns = nt, ou seja, o n´umero de

equa-¸cões é igual ao número de variáveis, tal que o sistema linear admite uma única solu¸cão, supondo-se que a matriz Jacobiana é n˜ ao-singular.

3. o número de fluxos de intercâmbio programa-dos é maior do que o número de barras regu-ladoras. Então, ns< n_t, isto é, o número de equa¸cões é maior do que o número de variá-veis, tal que a Eq. (7) representa um sistema linear sobredeterminado. Neste caso, técnicas baseadas no critério dos m´ınimos quadrados poderiam ser utilizadas para obter uma so-lu¸cão, a qual seria inútil para as aplica¸cões práticas, desde que as restri¸cões de igualdade representadas pelas equa¸cões não lineares do fluxo de potência não seriam necessariamente satisfeitas.

3 Metodologia proposta

As equa¸c˜oes que representam o fluxo de potˆencia estendido podem ser escritas na forma compacta como

g(x, s) = 0 (9)

onde g(x, s) ´e um vetor coluna de ordem neq, cujos

componentes são as fun¸cões algébricas não lineares representando as equa¸cões de balan¸co de potência e os intercâmbios l´ıquidos programados.

Fazendo yt _{= [x}t

| st], a lineariza¸c˜ao da Eq. (9) no ponto yee na dire¸c˜ao ∆y fornece

W(ye)∆y = b (10)

onde W(ye) ´e a matriz Jacobiana, de ordem

n_eq_{× n}_vr e b = −g(x_e) ´e um vetor coluna de or-dem neq, ambos calculados no ponto onde ´e feita

a lineariza¸c˜ao.

Quando o número de intercâmbios de potência ativa programados é menor do que o número de controles (ou áreas com intercâmbio controlado), a Eq. (10) caracteriza um sistema linear subde-terminado, com infinitas solu¸cões. Neste caso, se o posto da matriz W(xe) é neq, o seu espa¸co nulo

tem dimens˜ao (nvr− neq) × nvr. Isto significa que

a solu¸c˜ao geral da Eq. (10) pode ser expressa num sub-espa¸co reduzido, de dimens˜ao (nvr− neq), em

fun¸c˜ao de (nvr− neq) vari´aveis. No presente

es-tudo, a estratégia utilizada para incorporar as res-tri¸cões de fluxo de potência ativa nos intercâmbios consiste em determinar inicialmente uma solu¸cão geral para a Eq. (10), e posteriormente calcular a solu¸cão particular de acordo com um critério pré-estabelecido, de forma análoga aquela proposta em (Simões Costa et al., 1985).

A solu¸c˜ao geral da Eq. (10) ´e dada por (Hanson e Lawson, 1969)

∆y= ∆y₀+ T0z (11)

onde ∆y0 ´e a solu¸c˜ao de m´ınima norma

Euclide-ana, T0 ´e a matriz de ordem nvr× (nvr− neq),

(5)

W(ye)T0 = Θ (Θ ´e uma matriz nula de ordem

n_eq_{× (n}_vr_{− n}_eq)), e z ´e um vetor coluna arbitr´a-rio de ordem (nvr− neq).

A solu¸cão de m´ınima norma Euclideana é ob-tida resolvendo-se o problema de otimiza¸cão

M aximiz e 1 2∆y

t 0∆y0

suj eito a W(y_e)∆y

0= b

(12)

ou seja,

∆y₀= W(ye)tW(ye)W(ye)t

−1 b λ0= W(ye)W(ye)t

−1

b (13)

onde λ0´e o vetor dos multiplicadores de Lagrange

das restri¸c˜oes de igualdade da Eq. (12).

Diversos critérios podem ser utilizados para calcular a solu¸cão particular, definida com o aux´ı-lio das variáveis z da Eq. (11). Em todos os casos, a matriz de espa¸co nulo T0 é suposta conhecida

(no presente trabalho foi utilizado um comando espec´ıfico do ambiente MatLab para esta finali-dade). Considerando que a potência ativa gerada varia de acordo com a Eq. (1), a determina¸cão do vetor z que minimiza os desvios quadráticos da potência ativa gerada nas barras reguladoras com rela¸cão ao valor de referência pode ser estabelecido como o objetivo. Neste caso, é necessário resolver um problema de otimiza¸cão de porte reduzido, da forma, Minimize 1 2(P ref gr + Ftr∆s) t_(Pref gr + Ftr∆s) (14) onde Pref

gr ´e um vetor coluna de ordem nr, cujos

componentes são os valores de referência da gera-¸cão de potência ativa nas barras reguladoras; Ftr

a submatriz da matriz Ftdefinida anteriormente,

correspondente as barras de regula¸cão (e portanto de dimensão (nr× nr)), e ∆s é um vetor coluna

de ordem nr, com componentes ∆si.

Da Eq. (11),

∆s= ∆y0s+ T0rz (15)

onde ∆y0s e T0r s˜ao respectivamente o vetor com

as componentes de ∆y0e a submatriz de T0,

am-bos relativos as barras reguladoras. Substituindo-se a Eq. (15) na Eq. (14) e aplicando-Substituindo-se as con-di¸cões de otimalidade de primeira ordem, a solu-¸cão do problema de otimiza¸cão resultante é obtida resolvendo-se o sistema linear

(Tt 0rF t trFtrT0r)z = −T t 0rF t trFtr(P ref gr + ∆y0s) (16) onde a matriz de coeficientes e o vetor do lado direito tem dimens˜oes (nr− nt) × (nr− nt) e (nr−

n_t) × 1), respectivamente.

O problema de otimiza¸cão da Eq. (14) é ir-restrito e portanto a solu¸cão correspondente ao espa¸co nulo tende a minimizar acentuadamente os desvios na gera¸cão de potência ativa das bar-ras reguladobar-ras. Isto é compensado pela gera-¸cão da barra de folga, calculada após a conver-gência do processo iterativo. Além disso, devido

a inclus˜ao de Pref

gr no vetor do lado direito da

Eq. (16), os incrementos obtidos como solu¸cão deste sistema linear possuem considerável magni-tude quando comparados com os respectivos com-ponentes da solu¸cão de m´ınima norma Euclideana. Visando determinar uma solu¸cão geral mais equi-librada em termos dessas duas componentes, a so-lu¸cão correspondente ao espa¸co nulo é modificada pelo fator de passo,

α= β||∆y0|| ||T0z||

(17) onde β ´e um escalar especificado pelo usu´ario. O componente ||∆y0||

||T0z||

uniformiza as duas solu¸cões em termos de magnitude dos componentes. O es-calar β pode ser usado controlar diretamente os incrementos de gera¸cão de potência das barras re-guladoras e indiretamente a gera¸cão de potência ativa da barra de folga. Assim, β = 0 implica em desvios de pequena magnitude, distribu´ıdos uni-formemente como decorrência da natureza da so-lu¸cão de m´ınima norma Euclideana. Na medida em que este escalar aumenta, mais gera¸cão de po-tência ativa é atribu´ıda a barra de folga. Note ainda, que o fator α tende a zero na convergência do processo iterativo.

Visando avaliar a solu¸cão do problema de fluxo de potência com restri¸cões de intercâmbio, o procedimento sumarizado na sequência de pas-sos descrita a seguir foi utilizado.

1. determina¸cão da solu¸cão do fluxo de potência convencional para o caso base;

2. especifica¸cão da varia¸cão percentual da carga de cada área e dos intercâmbios de potência ativa;

3. solu¸c˜ao do problema de fluxo de potˆencia es-tendido expresso pela Eq. (5).

O objetivo dos testes foi observar os seguintes aspectos:

1. o processo iterativo com rela¸cão a influência dos diferentes fatores de pondera¸cão atribu´ı-dos a solu¸cão correspondente ao espa¸co nulo; 2. a qualidade das solu¸cões obtidas com o uso dos fatores ∆Pgi da Eq. (1) definidos com

base na capacidade máxima de gera¸cão de po-tência ativa da área segundo a Eq. (2).

4 Resultados da simula¸c˜ao

Para a obten¸cão dos resultados numéricos, o sistema-teste IEEE 118-barras foi decomposto nas quatro áreas mostradas na figura 1. A divisão das áreas de intercâmbio foi proposta em (Lin e Horng, 2011).

O sistema é composto por 54 geradores distri-bu´ıdos nas quatros áreas: área 1 (15 geradores), ´

(6)

Figura 1: Sistema-teste IEEE 118 barras: 4 ´areas interligadas

4 (16 geradores). Destes geradores foram deter-minadas 16 barras de regula¸cão: área 1 (barras 49, 54, 59, 61, 65 e 66), área 2 (barras 12 e 46), área 3 (barras 10, 25 e 26) e área 4 (barras 80, 89, 100, 103 e 111). Inicialmente foi determinada a solu¸cão do fluxo de potência para o caso base, a qual é apresentada por área nas tabelas 1 e 2. Nesta condi¸cão, os fluxos de intercâmbio entre as áreas são: P12= 503, 14 MW, P13= 26, 57 MW,

P₁₄= −269, 66 MW e P₂₃= −434, 61 MW. Posteriormente, foi suposto um aumento de 15% na demanda total do sistema, com um au-mento de 15% nos fluxos de potˆencia ativa dos intercˆambios P12, P13 e P14 o que restringe

es-tes fluxos aos valores 578,61, 30,55 e -310,11 MW, respectivamente.

A tabela 3 mostra a solu¸cão do problema de fluxo de potência com a inclusão dos intercâm-bios programados e aumento de carga, obtida após 18 itera¸cões do método de Newton-Raphson. Du-rante o processo iterativo a potência ativa das bar-ras de regula¸cão é ajustada de acordo a com a Eq. (1) até que os desbalan¸cos nos fluxos de intercâm-bio programados satisfa¸cam o critério de conver-gência adotado (1.0 ×10−3 _{pu(MW)). Após isto,}

o ajuste é feito para satisfazer o desbalan¸co de po-tência ativa das barras de regula¸cão, o que requer em geral duas itera¸cões adicionais para a conver-gência. Deve ser observado que o número de itera-¸cões para a convergência depende mais das restri-¸cões impostas do que do porte do sistema elétrico. Em ternos de CPU, as 18 itera¸cões correspondem a um esfor¸co computacional de 4,2 segundos.

Pode ser observado que as gera¸cões de po-tência ativa totais das áreas 1, 2, 3 e 4

aumen-Tabela 1: Resultado do fluxo de potˆencia - caso base Barra V delta Pg Qg ´ Area 1 49 1,02 -9,00 204,00 115,69 54 0,95 -14,70 48,00 3,93 59 0,98 -10,62 155,00 105,26 61 0,98 -5,80 160,00 -146,35 65 1,00 -2,28 391,00 101,97 66 1,05 -2,47 392,00 -2,13 ´ Area 2 12₄₆ 0,99_1,00 -17,51_-11,44 85,00_19,00 91,28_-5,25 ´ Area 3 10 1,05 5,87 450,00 -51,04 25 1,05 -1,82 220,00 49,72 26 1,01 -0,04 314,00 9,89 ´ Area 4 80 1,04 -1,00 477,00 104,90 89 1,00 9,73 607,00 -13,66 100 1,02 -1,92 252,00 108,87 103 1,00 -5,52 40,00 41,69 111 0,98 -10,22 36,00 -1,84

(7)

Tabela 2: Fluxos nas Interliga¸cões - caso base De Para MW Mvar interliga¸cão 1-2 47 46 25,84 0,38 49 42 119,00 18,73 49 42 119,00 18,73 49 45 36,22 0,21 49 48 29,30 3,85 65 38 173,75 -8,53 Total 503,14 interliga¸cão 1-3 70 24 6,24 -1,86 70 71 20,32 -11,95 Total 26,57 interliga¸cão 1-4 77 80 -81,47 -54,39 77 80 -81,47 -54,39 79 80 -46,60 -28,62 81 80 -44,38 -124,12 77 82 -15,73 21,40 Total -269,66 interliga¸cão 2-3 4 5 -82,41 -26,69 3 5 -56,05 -13,16 7 6 -34,18 -4,49 11 5 -63,74 3,84 12 16 4,04 5,33 15 17 -74,04 -22,32 18 17 -60,42 25,49 19 20 -12,45 6,70 38 30 -55,33 38,52 Total -434,61 taram de 1350 MW , 104 MW, 984 MW e 1412 MW para 1480,20 MW, 107,64 MW, 1118,10 MW e 1585,20 MW, respectivamente. As demandas totais do caso base das áreas 1(1432 MW e 486 MVAr), 2 (941 MW e 393 MVAr), 3 (372 MW e 138 MVAr) e 4 (923 MW e 421 MVAr) atingiram os valores 1646,80 MW e 558,90 MVAr (área 1); 1082,10 MW e 451,95 MVAr (área 2); 427,80 MW e 158,70 MVAr (área 3) e 1061,4 MW e 484,15 MVAr (área 4) na solu¸cão obtida após o aumento de carga.

Os fluxos de potência ativa e reativa nas li-nhas de intercâmbio após a varia¸cão da demanda são mostrados na tabela 4. Observe que as restri-¸cões programadas nos intercâmbios (áreas 1 e 2 , áreas 1 e 3 e áreas 1 e 4) são satisfeitas, ou seja, es-tes fluxos de intercâmbio aumentam em 15% com rela¸cão aos valores do caso base (P12 = 578, 61

MW, P13 = 30, 55 MW, P14 = −310, 02 MW).

Por outro lado, o intercâmbio entre as áreas 2 e 3 tem uma varia¸cão de 17% (-434,61/-508,59) em re-la¸cão ao caso base, o que é atribu´ıdo a ausência de restri¸cão correspondente a um valor programado. Deve ser enfatizado que há um compromisso en-tre o aumento de carga, a programa¸cão do fluxo de intercâmbio que suprirá este aumento e a ge-ra¸cão de potência ativa de cada área. Desde que o problema de fluxo de potência com restri¸cões de intercâmbio é resolvido sob o ponto de vista global, a programa¸cão equivocada do intercâmbio de potência pode facilmente inviabilizar a solu¸cão. Por exemplo, pode haver reserva de potência ativa numa determinada área, mas a restri¸cão de inter-câmbio impede que a mesma seja utilizada.

Na tabela 5 é apresentada a varia¸cão na ge-ra¸cão de potência ativa na barra de folga do

sis-Tabela 3: Resultado do fluxo de potência - após a varia¸cão de carga Barra V delta Pg Qg ´ Area 1 49 1,02 -12,12 220,68 145,45 54 0,95 -19,20 48,89 22,20 59 0,98 -14,43 163,23 139,21 61 0,98 -8,70 168,27 -99,75 65 1,00 -3,83 436,23 85,78 66 1,05 -4,40 442,90 17,00 ´ Area 2 12₄₆ 0,99_1,00 -22,78_-15,25 94,88_12,75 110,47_5,69 ´ Area 3 10 1.05 2,15 465,63 -48,66 25 1,03 -2,49 267,51 -34,02 26 1,02 -0,58 384,92 104,36 ´ Area 4 80 1,00 -1,43 546,61 -27,94 89 1,02 9,68 692,31 37,83 100 1,03 -3,96 269,41 155,00 103 0,99 -7,88 40,45 14,82 111 0,98 -13,46 36,38 -1,75

Tabela 4: Fluxos nas Interliga¸cões - após a varia-¸cão de carga De Para MW Mvar interliga¸cão 1-2 47 46 36,65 0,38 49 42 138,29 18,73 49 42 138,29 18,73 49 45 43,99 0,21 49 48 34,78 3,85 65 38 209,47 -8,53 Total 578,61 interliga¸cão 1-3 70 24 8,33 -1,86 70 71 22.21 -11.95 Total 30,55 interliga¸cão 1-4 77 80 -97,36 -54,39 77 80 -97,36 -54,39 79 80 -52,86 -28,62 81 80 -57,68 -124,12 77 82 -4,74 21,40 Total -310,02 interliga¸cão 2-3 4 5 -93,51 -26,69 3 5 -65,08 -13,16 7 6 -37,57 4.76 11 5 -70,10 0.21 12 16 -0,53 5,33 15 17 -92,49 -22,31 18 17 -71,43 -25,49 19 20 -18,35 -6,70 38 30 -56,52 -35.52 Total -508,59

(8)

tema, devido ao valor especificado de β. Pode ser observado que o valor de potência ativa gerada au-menta conforme o valor de β é acrescido, passando de 667,48 MW na solu¸cão de m´ınima norma para 750,42 MW (β = 1, 6).

Tabela 5: Varia¸cão da Potência gerada na Barra de folga em Fun¸cão de β β P_g f (MW) Qgf (MVar) -1,5 665,85 -9,73 -1,0 657,92 -97,76 0 667,48 -40,73 1,0 729,17 -158,11 1,6 750,42 -31,03

Os resultados num´ericos apresentados nesta se¸c˜ao foram obtidos com os fatores ∆Pgi definidos

de acordo com a Eq. (2). Valores unitários tam-bém foram testados. Entretanto, verificou-se que geralmente a especifica¸cão dos fluxos nas linhas de intercâmbio conduz a uma solu¸cão do fluxo de potência na qual estes fatores de distribui¸cão exer-cem pouca influência.

A análise dos resultados do fluxo de potência mostra que o n´ıvel de tensão das barras do siste-mas se manteve dentro dos limites especificados (0,90 e 1,05 pu), tanto no caso base quanto após a varia¸cão da carga e do intercâmbio. Isto se deve ao grau de acoplamento reduzido entre as malhas P δ_{− QV do sistema-teste.} Outro dado impor-tante são as perdas de potência ativa nas linhas de transmissão, que no caso base foram 132.99 MW e após a varia¸cão de carga atingiram o valor de 177,40 MW. Este aumento de 33,44% é devido a localiza¸cão das barras de regula¸cão em cada área.

5 Conclus˜oes

Este trabalho aborda o problema da determina¸cão de solu¸cões das equa¸cões da rede elétrica em re-gime permanente com restri¸cões de intercâmbio programado. A formula¸cão do fluxo de potên-cia convencional é estendida para incluir o mo-delo anal´ıtico das restri¸cões de intercâmbio. A inclusão da potência ativa gerada nas barras re-guladoras como variável do problema de fluxo de potência resulta num sistema linear subdetermi-nado na solu¸cão através do método de Newton-Raphson. Este tipo de modelagem tem a vanta-gem de flexibilizar a determina¸cão de diferentes n´ıveis de potência ativa gerada. Os resultados nu-méricos apresentados para um modelo de potên-cia constante ilustram o potenpotên-cial da metodologia proposta em estudos de planejamento da opera¸cão dos sistemas elétricos de potência.

Referˆencias

Calovic, M. S. e Strezoski, V. C. (1981). Cal-culation of steady-state load flows incorpo-rating system control effects and consumer

self-regulation characteristics., International Journal of Electric Power and Energy Sys-tems 3(2): 65–74.

Carhuallanqui, H. A. e Alves, D. A. (2012). Fluxo de carga continuado considerando o controle de intercâmbio entre áreas., Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012., pp. 1506–1513.

Echavarren, F. M., Lobato, E., Rouco, L. e G´ o-mez, T. (2011). Formulation, computation and improvement of steady state security margins in power systems. Part 1: theoretical framework., Electric Power System Research 33: 340–346.

Hanson, R. J. e Lawson, C. L. (1969). Extensi-ons and applicatiExtensi-ons of the Householder al-gorithm for solving linear least squares pro-blems, Math. Comput.

Ibsais, A. e Ajjarapu, V. (1996). Voltage stability-limited interchange flow, Electric Power Sys-tem Research 38: 91–95.

Lin, S. S. e Horng, S. C. (2011). A more gene-ral pagene-rallel dual-type method and applica-tion to state estimaapplica-tion, Internaapplica-tional Jour-nal of Electrical Power and Energy Systems 33(3): 799–804.

Monticelli, A. J. (1983). Fluxo de Carga em Redes de Energia El´etrica, Editora Edgard Bl¨ucher. Okamura, M., O-ura, Y., Hayashi, S., Uemura, K. e Ishiguro, F. (1975). A new power flow mo-del and solution method - including load and generator characteristics and effects of sys-tem control devices., IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 94(3): 1042– 1050.

Qin, Z. Yang, Y. (2008). Vectorization implemen-tation of optimal power flow in rectangular form based on interior point method, Procee-dings of the IEEE Power Engineering Soiety General Meteeing - Delivery of the Electrical Energy in the 21-st Century, pp. 1–6. Santos, M. J., Pereira, J. L. R., Passos Filho, J. A.,

Oliveira, E. J. e Silva Jr., I. C. (2004). Uma nova proposta para o controle de intercâmbio entre áreas., Revista Brasileira de Automa¸cão e Controle 15(4): 449–458.

Sim˜oes Costa, A. J., Seleme Jr., S. I. e Sal-gado, R. S. (1985). Equality constraints in power system state estimation via orthogonal row-processing techniques, Proceedings of the IFAC Symposium on Planning and Operation of Electric Energy Systems, pp. 43–49.