PERCOLAÇÃO DE ÁGUA NO SOLO - REDE DE FLUXO

PERCOLAÇÃO DE ÁGUA NO SOLO

-REDE DE FLUXO

Profª. Valquíria Claret dos Santos

Importância do estudo

- Controlar o movimento de água através do solo e evidentemente proporcionar uma proteção contra os efeitos nocivos desse movimento (erosão).

- Quantificar a água que percola através da barragem e ainda evitar que a água arraste partículas do solo.

O estudo do fluxo de água através do solo é feito usualmente através de um procedimento gráfico conhecido como:

REDE DE FLUXO

O processo consiste em desenhar dentro da região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas como linhas de fluxo e linhas equipotenciais

EQUAÇÃO GERAL DO FLUXO

dx dz v_x .dx x v v x x ∂ ∂ + v_z .dz z v v z ∂ ∂ + z z x Igualando as expressões da quantidade de água que entra e sai no elemento de solo, vem

dx .dz z v v dz .dx x v v dx . v .dz v z z x x z x       ∂ ∂ + +       ∂ ∂ + = + Supondo :

solo saturado, fluxo

estacionário, durante o fluxo não ocorre compressão e nem expansão, as partículas sólidas são incompressíveis

Pode-se chegar na expressão vx vz ₀

x z ∂ ∂ + = ∂ ∂ Equação da continuidade

Incorporando a lei de Darcy v z z h k z ∂ = ∂ x v k_x h x ∂ = ∂ 2 2 x 2 z 2

h

h

k

k

0

x

z

∂

∂

+

=

∂

∂

Considerando o solo isotrópico em relação a permeabilidade (k_x= k_z) tem-se:

k

h

h

x z

⋅



+









 =

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2

0

Equação de Laplace

A equação de Laplace é então resolvida utilizando-se expedientes diversos, dentre eles:

- Método analítico

- Métodos numéricos: uso do conceito de diferenças finitas e MEF - Utilização de modelos em escala reduzida

- Analogia com campos elétricos

- Método gráfico (método da rede de fluxo)

A resolução analítica (integração direta da equação de fluxo, obedecendo as condições de contorno específicas. Contudo, somente é possível para alguns casos, onde os contornos impostos e a geometria do problema assim o permitem.

MÉTODO ANALÍTICO

(problema de Forchheimer) z l x l senh 2 2 2 2 2 2 1 ⋅cosh ψ + ⋅ ψ = z l x l senh 2 2 2 2 2 2 1 ⋅cosh φ− ⋅ φ = A 4₂ 4₄ 4₆ 4 8 5 0 5 2 5 4 5 6 58 60 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

MÉTODOS NUMÉRICOS:

- Baseado no método das diferenças finitas ou no MEF.

- A zona de fluxo é subdividida em uma série de pequenos elementos

geométricos, sendo o comportamento do fluxo estudado em cada um deles mediante funções simples.

A aplicação dessa técnica pressupõe familiaridade com álgebra matricial, cálculo variacional e técnicas computacionais

MODELOS EM ESCALA REDUZIDA

Consiste em construir num caixa de paredes transparentes um modelo reduzido da seção onde percola a água

Traçado das linhas de fluxo: utiliza corante em posições determinadas no paramento de montante, o qual atingirá a água permitindo a distinção das linhas de fluxo. Piezômetros permite a obtenção das cargas piezométricas em vários pontos

ANALOGIA COM CAMPOS ELÉTRICOS

Fluxo elétrico através de um meio resistivo: governado pela eq. Laplace. Analogia entre permeabilidade do solo e condutividade elétrica do meio

Volt=Carga Cond=Perm Corrente=V

MÉTODO GRÁFICO

:

- Mais comum de todos os métodos

- O método foi desenvolvido por Forchheimer (1930) e difundido por Casagrande (1937)

- Desenhar dentro da região em que o fluxo ocorre as famílias de curvas equipotenciais e de fluxo que satisfazem a equação de Laplace

⇒

⇒

⇒

⇒ Rede de Fluxo

O traçado da rede respeitando as condições de fronteira e de ortogonalidade conduzirá a uma solução única do problema, esta aproximação (se o desenho foi realizado com cuidado) é suficientemente boa para fins de engenharia.

Conjunto de linhas equipotenciais (φ₁, φ₂, φ_n) e linhas de fluxo (ψ₁, ψ₂, ψ_n)

PROPRIEDADES BÁSICAS DE UMA REDE DE FLUXO

A) as linhas de fluxo (ψ(x, z)) e as linhas equipotenciais (φ(x, z)) são ortogonais entre si (interseção a 90°)

ψ ψψ ψ(x, z)= cte φ φ φ φ(x, z)= cte z x cte v v z x dx dz = ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ =       = φ x z cte v v z x dx dz − = ∂ Ψ ∂ ∂ Ψ ∂ − =       = Ψ

As linhas equipotenciais cortam as linhas de fluxo

em ângulo reto

B) A vazão em cada canal de fluxo (trecho entre duas linhas de fluxo consecutivas) é constante (igual para todos os canais)

v_x ψd c d x z ψc A vazão unitária (q) por cd

compreendida entre duas linhas de fluxo (ψ_de ψ_c) é dada por:

Ψc Ψd dΨ .dz v q d c d c Ψ Ψ Ψ Ψ x = = − =

∫

∫

O que implica dizer que o fluxo entre duas

linhas de fluxo é constante

O fluxo total ocorrendo em uma dada seção será:

total f

q

= ⋅ ∆ ⋅

k

h N

Onde N_fé o numero de canais de fluxo ou seja (Nf = no_{. linhas de fluxo -1)} Por outro lado:

De modo que:

(

)

Ne

N

h

h

k

q

total

=

⋅

i

−

f

⋅

f

A rede é traçada em sucessivas aproximações, a partir das condições de contorno, até a solução final.

e hi hf ∆h N − =

Ne: número de quedas de potencial ou seja (Ne = no_{. equipotenciais -1)}

e

N

Nf

_{Característica da} rede Fator de forma

C) A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante h₁ h_{2 h} 3 _h 4 q q _b l equipotenciais LF LF I II

q canal de fluxo = cte ⇒⇒⇒⇒qI = qII.

k_I= k_II e

=

=

=

1

ΙΙ ΙΙ Ι Ι

_cte

b

b

1

1

b

.

.

b

ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ Ι Ι Ι Ι

=

∆h

.

k

∆h

.

k

(quadrados) Então: ∆ ∆ ∆ ∆hI= ∆∆∆∆hII = cte

Resumindo: PROPRIEDADES DA REDE DE FLUXO

a) Cada canal de fluxo deve transportar a mesma descarga

b) A diferença de potencial (carga total) entre qualquer parte de linhas equipotenciais deve ser igual

c) As linhas equipotenciais cortam as linhas de fluxo em ângulo reto d) As figuras formadas pelas linhas de fluxo e linhas equipotenciais são aproximadamente quadrados

e) Em qualquer ponto da rede, o espaçamento entre linhas equipotenciais são aproximadamente proporcional ao gradiente hidráulico e velocidade de percolação

APLICAÇÃO DE REDE DE FLUXO:

- Cálculo da descarga (vazão), gradiente hidráulico e velocidade em qualquer ponto, pressões hidrodinâmicas e força de percolação em diversas posições

CONDIÇÕES LIMITES

Qualquer que seja o método adotado para determinação da rede de fluxo é necessário definir previamente as condições limites do escoamento

-

Geralmente há quatro condições a serem definidas

- superfície de entrada

- superfície de saída

- linha de fluxo superior

- linha de fluxo inferior

Linhas equipotenciais

Linhas de fluxo

FLUXO CONFINADO

- Condições limites estão determinadas: uma equipotencial de carga máxima e uma de carga mínima, duas linhas de fluxo

NA H A B C D M N R AB:equipotencial de carga máxima (entrada) CD:equipotencial de carga mínima (saída)

BRC:linha de fluxo superior

MN:linha de fluxo inferior

Traçado da rede de fluxo

LF= 6 ⇒ Nf = 5 Le=11 ⇒ Nd = 10

OBS:

- perdas de carga iguais entre os vários quadrados da rede - vazões através dos vários canais de fluxo são iguais

RECOMENDAÇÕES SEREM SEGUIDAS NO

TRAÇADO DE REDE DE FLUXO

- Observar o aspecto de redes já traçadas e bem desenhadas, quando a figura estiver bem gravada, procurar reproduzi-la na memória (treino).

- usar entre 3 a 5 canais de fluxo (a preocupação com um maior número de linhas poderá desviar a atenção de outros detalhes importantes)

- as linhas de fluxo e as equipotenciais deverão ser normais entre si e procurar obter uma figura formada por “quadrados”

- não tentar acertar detalhes antes que a rede, como um todo se apresente aproximadamente correta

Efeito de estruturas drenantes e

impermeáveis no traçado de rede de fluxo

O aspecto da rede de fluxo pode se modificar bastante com a presença das cortinas de vedação ou dos tapetes permeáveis

Efeito de estruturas

drenantes e

impermeáveis no

traçado de rede de

fluxo

FLUXO DE ÁGUA EM MEIOS

HETEROGÊNEOS

- Quando a água flui através de uma fronteira entre 2 solos de permeabilidade diferentes, as linhas de fluxo mudam de direção. - Nessa mudança de curso deve ser mantidas as propriedades gerais de percolação, isto é, igualdade de vazão e perda de carga

- Quanto > k ⇒ menor área requerida para passar um dado volume de água (canais mais estreitos)

- Quanto < k ⇒ maior área requerida (canais mais largos)

Condições de transferência das linhas de fluxo entre

dois meios de permeabilidade diferentes