Aplicação da teoria das filas no diagnóstico do processo de atendimento de um laboratório de análises clínicas / Application of queueing theory to investigate the service process in a clinical analysis laboratory

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761

Aplicação da teoria das filas no diagnóstico do processo de atendimento de

um laboratório de análises clínicas

Application of queueing theory to investigate the service process in a

clinical analysis laboratory

DOI:10.34117/bjdv6n4-266

Recebimento dos originais:24/03/2020 Aceitação para publicação:22/04/2020

Ana Beatriz Zschornak Sardinha Corrêa

Graduada em Engenharia de Produção pela Universidade do Estado do Pará Instituição: Universidade do Estado do Pará

Endereço: TV. Enéas Pinheiro, nº 2626 – Bairro do Marco, Belém – PA, Brasil E-mail: b.zschornack@gmail.com

Yvelyne Bianca Iunes Santos

Doutora em Engenharia de Recursos Naturais pela Universidade Federal do Pará Instituição: Universidade do Estado do Pará

Endereço: TV. Enéas Pinheiro, nº 2626 – Bairro do Marco, Belém – PA, Brasil E-mail: yvelyne@uepa.br

RESUMO

O objetivo deste artigo foi analisar e propor soluções para problemas de tamanho e demora nos processos de atendimento, nas filas da recepção e coleta de material para exames, em um laboratório de análise clínica localizado em Belém, PA. Para isso, foi utilizada a metodologia da Teoria das Filas, fazendo-se necessária coleta dos dados de chegada e de atendimento de clientes, tratamento estatístico e utilização de fórmulas para o cálculo analítico dos parâmetros de decisão. Cálculos desenvolvidos através da simulação de diferentes cenários, onde foram variadas as demandas e o número de atendentes, mostraram que, o número adequado de servidores na Recepção é quatro e, na Coleta, dois para manter o equilíbrio do sistema, considerando a média atual de demanda e a taxa de ocupação do servidor de até 80%. Podendo, no entanto, diminuir nos períodos de pouco movimento, para dois, e um atendente respectivamente.

Palavras-Chave: Teoria das Filas; Sistemas Equilibrados; Laboratório de Análise Clínica.

ABSTRACT

The purpose of this article was to analyze and propose solutions for problems related to queue length and waiting times at reception and specimen collection processes, in a Clinical Analysis Laboratory located in Belem – PA. It was used Queueing Theory methods for that, thus it was necessary to collect arriving and client service data, to perform statistical tests and to use formulas for decision parameters analytical calculus. The calculations performed through simulation of different sceneries in which was varied the demand of services and the number of attendants showed that ideal number of servers in the reception is four, and in the collection

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 process is two to keep the system balanced, considering the current demand average and the server occupancy rate up until 80%. However, it is possible to reduce to one and two servers respectively in periods of low demand.

Key-Words: Queueing Theory; Balanced Systems, Clinical Analysis Laboratory.

1 INTRODUÇÃO

Atualmente, faz-se necessário o estudo de técnicas e métodos para melhorar a qualidade e agilidade dos processos de atendimento desenvolvidos pelas empresas a fim de aumentar a satisfação dos clientes. Esse fator é definido principalmente pelo tempo de espera em filas e eficiência do serviço. A empresa estudada neste artigo é um laboratório de análises clínicas, situado no centro de Belém, Pará. O laboratório em questão possui várias unidades na região, mas o estudo concentrou-se na matriz, a qual possui maior volume de exames coletados diariamente. Foram observadas as filas de espera no atendimento da recepção e da coleta.

A unidade do laboratório estudada já recebeu muitas reclamações dos clientes em relação ao tempo de espera no atendimento. Após a observação do local, verificou-se que nos horários de maior movimentação o salão estava sempre congestionado e alguns clientes permaneciam por mais de trinta minutos nas filas. Caso esse ritmo fosse mantido durante todo o expediente, muitos clientes não conseguiriam ser atendidos até a hora de fechamento da unidade. Diante disso, os gestores da empresa constataram a necessidade de análise das filas do local para melhorar seus serviços.

Assim, foram coletados dados de tempo de chegada e de atendimento, feita avaliação da distribuição de probabilidade adequada para cada processo e realizados cálculos dos parâmetros de decisão tais como, ritmos de atendimentos e chegada, tempo médio de espera na fila, dimensionamento de número de atendentes e taxa de ocupação. Foram feitas ainda simulações de diferentes cenários a fim de propor melhorias ao sistema estudado.

Este artigo apresenta a revisão bibliográfica sobre teoria das filas, a metodologia utilizada no estudo, seguida dos resultados e discussões da pesquisa, finalizando com as conclusões.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 PESQUISA OPERACIONAL

Segundo Winston (2004), Pesquisa Operacional (PO) é uma abordagem científica para a tomada de decisões que busca melhorar o projeto e a operação do sistema, geralmente por

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 meio de condições que exigem alocação de recursos escassos. Para Hillier e Lieberman (2013), o processo que envolve a Pesquisa Operacional começa observando-se e formulando-se cuidadosamente o problema, incluindo a coleta de dados relevantes. A etapa seguinte é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então, da hipótese de que esse modelo é uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões (soluções) obtidas do modelo também são válidas para o problema real.

Entre os tipos de problemas que a Management Science e a Pesquisa Operacional podem ser utilizadas para ajudar no processo de decisão, encontram-se: problemas de otimização de recursos; de localização; de roteirização; de carteiras de investimento; de alocação de pessoas; e de previsão e planejamento (LACHTERMACHER, 2009).

2.2 TEORIA DAS FILAS

Pagar uma conta em uma loteria, passar a compra no caixa de supermercado e esperar atendimento médico, são fatos que nos deparamos com muita frequência e todos mostram que as filas fazem parte do nosso cotidiano, assim como nos processos industriais e em todos os outros de produção, o que nos permite analisar o quanto é importante o estudo desta teoria, a qual visa atender o cliente de forma satisfatória, obtendo melhor desempenho na espera do atendimento proporcionando satisfação (LIMA et al, 2015).

Diversos estudos, utilizando a metodologia da Teoria das Filas, tem sido desenvolvidos na busca de sistemas de filas equilibrados e otimizados, nos mais variados ambientes. Bruns, Soncim e Fogliatti (2001), por exemplo, utilizaram Teoria das Filas para avaliar o sistema de pagamento de mercadorias nos caixas de uma loja de departamento com capacidade para onze atendentes, chegando, ao final do estudo, no número de postos de atendimento que deveriam ser mantidos de acordo com a variação de demanda para um tempo médio do cliente no sistema de seis minutos.

ROMERO, C. M. et al. (2010), por sua vez, aplicou a Teoria das Filas na maximização do fluxo de paletes em uma indústria química, onde retratou o problema de espera existente na esteira rolante para estocagem de produtos acabados, concluindo que pequenas alterações no sistema, como a implantação de mais uma empilhadeira, diminuiriam consideravelmente a perda no processo.

Para Doile (2010), na busca de atingir melhores índices de lucratividade, as empresas procuram reduzir ao máximo todos os custos operacionais, tendo como objetivo trabalhar com

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 a máxima capacidade produtiva. Em ambientes altamente competitivos, uma empresa que consegue dimensionar de maneira correta a capacidade produtiva pode ter uma grande vantagem em relação à outra empresa que esteja trabalhando abaixo ou acima de sua capacidade.

Um cliente é uma entidade contável originária de determinada população, que espera pela sua vez para ser servido na fila de espera, considerando que já entrou no sistema, ocupa um servidor durante certo tempo e por fim sai do sistema (PINTO, 2011).

Segundo Fogliatti e Mattos (2007), um sistema com fila é qualquer processo onde usuários oriundos de uma determinada população chegam para receber um serviço pelo qual esperam, se for necessário, saindo do sistema assim que o serviço é completado.

Diferentemente de outras ferramentas de pesquisa operacional, a teoria de filas não é uma ferramenta de otimização, apenas determina a situação da fila atual, segundo medidas de desempenho (taxa de chegada, taxa de serviço, tempo de espera, tempo ocioso, desempenho atual, entre outras), com o objetivo de buscar melhorias para oferecer ao cliente um serviço satisfatório (TAHA, 2008).

Baseado em distribuições de probabilidade, a teoria das filas pode definir um modelo quantitativo de uma fila a partir do padrão de comportamento da mesma. Assim, essa metodologia busca solucionar questões quanto à adequação de número de atendentes a demanda de atendimento (FIGUEIREIDO e ROCHA, 2010).

Para Anderson et al (2012) e Prado (2014), a teoria de filas é um método analítico que estuda filas de espera com uso de fórmulas matemáticas e equações para determinar e avaliar as características operacionais (medidas de desempenho) do processo. As principais características a serem determinadas são: Probabilidade de não haver elementos no sistema; Média do número de elementos na fila de espera; Média do número de elementos no sistema; Média de tempo que um elemento aguarda na fila; Média de tempo que um elemento gasta no sistema; e Probabilidade de um elemento esperar pelo serviço.

Segundo Wernke (2015), mesmo tendo o tempo como principal direcionador de custos, “a ociosidade não é suficientemente explorada”. Ainda defendem que a Teoria das Filas probabilísticas costuma “apontar a ociosidade como um elemento dependente das médias dos tempos entre as chegadas e os tempos de atendimento de clientes demandantes dos serviços”.

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 2.3 PROCESSO DE CHEGADA

Definir o processo de chegada para teoria das filas envolve determinar a distribuição de probabilidade para o número de chegadas em um período de tempo estabelecido. Para muitas filas de espera, a chegada ocorre de maneira aleatória e independente de outras chegadas e não se pode prever quando um elemento irá entrar no sistema. (ANDERSON et al, 2012)

Segundo Winston (2004), o tempo entre chegadas é exponencial com parâmetro  (taxa de chegada) se, e somente se, o número de chegadas ocorre em intervalos de comprimento t e segue uma distribuição de Poisson com parâmetro t. Uma variável aleatória discreta N tem uma distribuição de Poisson com parâmetro  se, para n= 0,1,2...,

𝑃(𝑁 = 𝑛) = 𝑛_𝑒−

𝑛! , 𝑛 = 0,1,2 …

2.4 PROCESSO DE ATENDIMENTO

Para descrever o processo de serviço de um sistema de filas, geralmente se especifica uma distribuição de probabilidade que regula o tempo de serviço dos clientes. Em alguns casos, assume-se que o tempo de atendimento é independente do número de clientes presentes.

Segundo Taha (2008), em algumas situações de filas, a chegada de clientes ocorre de maneira totalmente aleatória. Aleatório, nesse contexto, significa que a ocorrência de um evento não é afetada pela duração do tempo que decorreu desde o último evento ocorrido. As chegadas e o tempo de serviço aleatórios, são descritos quantitativamente no modelo de filas pela distribuição exponencial, que é definido por:

𝑓(𝑡) =𝑒−𝑡_{, 𝑡 > 0}

Para a distribuição exponencial tem-se: E{t}=1/

P𝑃{𝑡 ≤ 𝑇} = ∫ 𝑒₀𝑇 −𝑡 𝑑𝑡 = 1-𝑒−𝑇,

Então, definição de E{t} mostra que  é a taxa por unidade de tempo que os eventos são gerados.

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 2.5 DISCIPLINA DE ATENDIMENTO

De acordo com Harchol‐Balter (2009), a disciplina de filas é a ordenação de atendimentos (ou processamentos) e depende dos parâmetros de cada sistema analisado. Alguns tipos de disciplina de filas são: FIFO, em que o atendimento ocorre de acordo com a ordem de chegada; RANDOM (aleatório), em que o servidor escolhe qualquer serviço que esteja aguardando de forma aleatória; LCFS, em que o último trabalho que chegou na fila é o primeiro a ser atendido quando o servidor está livre. Neste artigo, o sistema estudado seguiu a disciplina FIFO para as duas filas analisadas.

3 DESCRIÇÃO DO SISTEMA

O sistema em questão é composto por duas filas consideradas independentes nesse estudo. A primeira é referente ao processo de atendimento na recepção do laboratório, o qual envolve o pagamento dos exames, o cadastramento de clientes, entrega de resultados e entrega de material. O cliente entra nessa fila a partir do momento em que retira a senha para o atendimento, aguardando sentados. O número de atendentes da recepção é variável de acordo com a disponibilidade dos funcionários e a demanda aparente do dia (a gerente avalia a quantidade de pessoas no salão, mas não existe um parâmetro definido para essa decisão). Nos dois dias observados existiam respectivamente três e quatro recepcionistas.

A segunda fila do sistema é referente à coleta, onde os clientes aguardam para o processo de verificação dos seus dados e encaminhamento às salas de coleta de material. Durante esse atendimento, os dados do cliente são confirmados nas etiquetas que serão pregadas nos tubos que armazenarão o material coletado e os clientes são questionados em relação ao prepapo adequado para o exame. Esse processo é sempre realizado por uma única enfermeira. O cliente entra nessa fila quando se dirige à área de espera para a coleta.

As duas filas foram consideradas independentes em função da fila de coleta incluir clientes que entram no sistema sem passar pelo atendimento na recepção, como no caso de recoleta de material. Além disso, também existem clientes que não chegam a entrar na segunda fila, como no caso de entrega de resultados. A figura 1 ilustra o layout do sistema estudado.

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Figura 1. Layout do sistema estudado. Fonte: Autores do artigo (2017).

4 MODELAGEM DO SISTEMA

Para a modelagem do sistema, primeiramente foi realizada a coleta de dados sobre a quantidade de pessoas que chegavam por minuto em cada uma das duas filas entre 07:30 e 08:30 em dois dias, além do tempo de atendimento de todos os clientes que entraram no sistema nesse período. A partir disso, foram realizados testes para analisar a distribuição de probabilidade adequada às frequências de chegada e tempos de atendimento, seguido da análise de estabilidade do sistema e cálculo dos parâmetros de decisão.

4.1 CHEGADA DOS CLIENTES

Os dados sobre a chegada dos clientes tanto para a fila da recepção, quanto para a da coleta, nos dois dias, foram levantados de acordo com a quantidade de pessoas que chegavam por minuto em cada fila durante um período de 60 minutos. Assim, foi determinada a frequência observada do número de chegadas de clientes por minuto (Oj), bem como suas frequências relativa e relativa acumulada. Então, calculou-se a taxa média de chegada para cada fila (λmédio). A partir disso, foram computadas as frequências absolutas (Ej) e relativas da distribuição de Poisson para a realização dos testes de Aderência Gráfica e do Chi-quadrado. Abaixo estão os dados referentes a tais frequências nas tabelas 1, 2, 3 e 4 respectivamente para os dias 1 e 2 das filas recepção e filas de coleta.

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Tabela 1. Frequências Observadas e Calculadas de chegada na Recepção no dia 1. Fonte: Autores (2017).

Tabela 2. Frequências Observadas e Calculadas de chegada na Recepção no dia 2. Fonte: Autores (2017).

Tabela 3. Frequências Observadas e Calculadas de chegada na Coleta no dia 1. Fonte: Autores (2017).

Tabela 4. Frequências Observadas e Calculadas de chegada na Coleta no dia 2. Fonte: Autores (2017). Nº de Chegadas por Minuto Frequência Absoluta Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Relativa Acumulada Dist. De Poisson Frequência Calculada Acumulada Frequência Calculada (Ej) (Oj-Ej)²/Ej 0 38 0,63 0,63 0,58 0,58 34,62 0,33 1 13 0,22 0,85 0,32 0,89 19,04 1,92 2 7 0,12 0,97 0,09 0,98 5,24 0,59 3 2 0,03 1,00 0,02 1,00 0,96 1,13 Total 60 1 1,00 59,85 3,97 λmédio 0,55 Nº de Chegadas por Minuto Frequência Absoluta Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Relativa Acumulada Dist. De Poisson Frequência Calculada Acumulada Frequência

Calculada (Ej) (Oj-Ej)²/Ej

0 35 0,58 0,58 0,61 0,61 36,39 0,05 1 20 0,33 0,92 0,30 0,91 18,20 0,18 2 5 0,08 1,00 0,08 0,99 4,55 0,04 Total 60 1,0 1,0 59,14 0,28 λmédio 0,5 Nº de Chegadas por Minuto Frequência Absoluta Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Relativa Acumulada Dist. De Poisson Frequência Calculada Acumulada Frequência Calculada (Ej) (Oj-Ej)²/Ej 0 33 0,55 0,55 0,61 0,61 36,39 0,32 1 24 0,40 0,95 0,30 0,91 18,20 1,85 2 3 0,05 1,00 0,08 0,99 4,55 0,53 Total 60 1,0 1,0 59,14 2,69 λmédio 0,5 Nº de Chegadas por Minuto Frequência Absoluta Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Relativa Acumulada Dist. De Poisson Frequência Calculada Acumulada Frequência

Calculada (Ej) (Oj-Ej)²/Ej

0 30 0,50 0,50 0,50 0,50 30,30 0,00 1 21 0,35 0,85 0,35 0,85 20,70 0,00 2 7 0,12 0,97 0,12 0,97 7,07 0,00 3 2 0,03 1,0 0,03 1,0 1,61 0,09 Total 60 1,0 1,0 59,68 0,10 λmédio 0,68

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 Baseado nos dados das tabelas acima, foram realizados os testes de aderência gráfica para cada fila. Os gráficos abaixo mostram a comparação dos dados das frequências relativas observadas em cada fila estudada e das frequências relativas calculadas pela distribuição de Poisson. Pode-se observar nos gráficos da figura 2 que os dados reais se aproximam da curva de Poisson com taxas médias de chegada (λ) respectivamente de 0,55; 0,50; 0,50 e 0,68.

Figura 2- Gráficos 1 à 4. Teste de aderência da frequência relativa de chegadas. Fonte: Autores (2017).

Ainda que os testes de aderência gráfica ilustrem como as distribuições reais se aproximam da distribuição de Poisson, é necessário que sejam realizados testes não paramétricos para essa distribuição que possam comprovar a adequação dos dados à mesma. Assim, utilizou-se as taxas médias de chegada de cada fila observada para calcular os respectivos erros (Oj-Ej)²/Ej e então comparou-se aos valores da tabela do Chi-Quadrado. Esses valores possuem grau de significância de 5% e k-s-1 graus de liberdade, sendo k o

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Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 número de intervalos e s o número de variáveis na situação. Todos esses dados para a análise estão resumidos na tabela 5.

Tabela 5. Teste do Chi-Quadrado das distribuições de chegada do sistema. Fonte: Autores (2017)

Como pode ser observado na tabela 5, todos os valores de (Oj-Ej)²/Ej são menores aos correspondentes valores do teste do Chi-Quadrado. Diante disso e dos testes de aderência gráfica, afirma-se que a distribuição de Poisson pode ser utilizada para a modelagem da chegada das filas do sistema.

4.2 PROCESSOS DE ATENDIMENTO

No processo de atendimento, os dados coletados foram a duração do atendimento de todos os clientes que entraram no sistema ao longo dos 60 minutos observados, tendo no primeiro e no segundo dia, 3 e 4 atendentes, respectivamente na recepção, e apenas um para a coleta.

O primeiro passo, para a análise de dados foi o cálculo do número e da amplitude de intervalos de acordo com os tempos dos serviços, além da taxa média de atendimento (µ) para cada atendente. A partir disso, foram determinadas as frequências de atendimento (Oj) de acordo com a duração do atendimento de cada cliente, encontrando-se também as correspondentes frequências relativas. Em seguida, calculou-se as frequências absoluta e relativa segundo a distribuição Exponencial Negativa e foram realizados testes de aderência gráfica e Chi-quadrado para verificar sua adequação ao processo de atendimento estudado. Os dados estão resumidos nas tabelas 6, 7, 8 e 9 respectivamente para os dias 1 e 2 das filas recepção e filas de coletas.

Fila Taxa de chegada (λmédio) Nível de significância Grau de Liberdade (Oj-Ej)²/Ej Valor na tabela do Chi-Quadrado (x²) Recepção - Dia 1 0,55 5% 2 3,968 5,991 Recepção - Dia 2 0,50 5% 1 0,28 3,841 Coleta - Dia 1 0,50 5% 1 2,69 5,991 Coleta - Dia 2 0,68 5% 2 0,1 3,841

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Tabela 6. Frequências para atendimento na Recepção no dia 1. Fonte: Autores (2017).

Tabela 7. Frequências para atendimento na Recepção no dia 2. Fonte: Autores (2017).

Tabela 8. Frequências para atendimento da Coleta no dia 1. Fonte: Autores (2017).

Início Fim Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 0 120 2 3 4 0,22 0,30 0,29 2,76 3,34 6,07 0,33 0,35 0,41 0,21 0,04 0,71 120 240 1 1 6 0,11 0,10 0,43 1,91 2,23 2,98 0,23 0,24 0,20 0,44 0,67 3,07 240 360 1 1 1 0,11 0,10 0,07 1,33 1,48 2,06 0,16 0,16 0,14 0,08 0,16 0,55 360 480 3 2 1 0,33 0,20 0,07 0,92 0,99 1,43 0,11 0,10 0,10 4,70 1,04 0,13 480 600 1 0 1 0,11 0,00 0,07 0,64 0,66 0,99 0,08 0,07 0,07 0,21 0,66 0 600 720 0 2 1 0,00 0,20 0,07 0,44 0,44 0,69 0,05 0,05 0,05 0,44 5,59 0,14 720 840 1 1 0 0,11 0,10 0,00 0,31 0,29 0,48 0,04 0,03 0,03 1,57 1,73 0,48 Total 9 10 14 1,00 1,00 1,00 8,31 9,42 14,70 1,00 1,00 1,00 7,65 9,88 5,07

Processo de Atendimento da Recepção - Dia 1 Frequência Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Calculada (Ej) Frequência Calculada Relativa Intervalo (segundos) (Oj-Ej)²/Ej

Início Fim Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 4 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 4 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 4 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 4 Atd. 1 Atd. 2 Atd. 3 Atd. 4 0 133 3 2 0 1 0,38 0,33 0,00 0,14 2,86 1,70 0,80 2,25 0,38 0,33 0,27 0,36 0,01 0,05 0,80 0,69 133 266 4 2 2 3 0,50 0,33 0,50 0,43 1,84 1,22 0,64 1,53 0,25 0,23 0,22 0,24 2,54 0,50 2,91 1,42 266 399 1 1 1 1 0,13 0,17 0,25 0,14 1,18 0,87 0,51 1,04 0,16 0,17 0,17 0,16 0,03 0,02 0,47 0 399 532 0 1 1 1 0,00 0,17 0,25 0,14 0,76 0,63 0,41 0,70 0,10 0,12 0,14 0,11 0,76 0,22 0,85 0,13 532 665 0 0 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,49 0,45 0,33 0,48 0,07 0,09 0,11 0,08 0,49 0,45 0,33 0,48 665 798 0 0 0 1 0,00 0,00 0,00 0,14 0,31 0,32 0,26 0,32 0,04 0,06 0,09 0,05 0,31 0,32 0,26 1,41 Total 8 6 4 7 1,00 1,00 1,00 1,00 7,44 5,18 2,94 6,32 1,00 1,00 1,00 1,00 4,13 1,57 5,62 4,13 (Oj-Ej)²/Ej Frequência Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Calculada (Ej) Frequência Calculada Relativa Intervalo (segundos)

Processo de Atendimento da Recepção - Dia 2

Frequência Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Calculada (Ej) Frequência Calculada Relativa (Oj-Ej)²/Ej

Início Fim Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1

0 41 3 0,10 9,89 0,35 4,80 41 82 10 0,33 6,63 0,24 1,71 82 123 8 0,27 4,44 0,16 2,85 123 164 5 0,17 2,98 0,11 1,37 164 205 2 0,07 2,00 0,07 0,00 205 246 1 0,03 1,34 0,05 0,09 246 287 1 0,03 0,90 0,03 0,01 Total 30 1,00 28,18 1,00 10,83

Processo de Atendimento da Coleta - Dia 1 Intervalo

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Tabela 9. Frequências para atendimento da Coleta no dia 2. Fonte: Autores (2017).

Diante dos valores das frequências relativas observada e calculada, estruturou-se os gráficos 5 ao 13, os quais comprovam a tendência gráfica dos atendimentos a seguirem a distribuição exponencial negativa.

Frequência Observada (Oj) Frequência Relativa Observada Frequência Calculada (Ej) Frequência Calculada Relativa (Oj-Ej)²/Ej

Início Fim Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1 Atd. 1

0 25 5 0,12 11,58 0,30 3,74 25 50 8 0,20 8,31 0,22 0,01 50 75 10 0,24 5,96 0,16 2,73 75 100 8 0,20 4,28 0,11 3,24 100 125 3 0,07 3,07 0,08 0,00 125 150 4 0,10 2,20 0,06 1,47 150 175 2 0,05 1,58 0,04 0,11 175 200 1 0,02 1,13 0,03 0,02 Total 41,00 1,00 38,12 1,00 11,32

Processo de Atendimento da Coleta - Dia 2

Intervalo (segundos)

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Figura 4. Teste de aderência para a Frequência Relativa de Atendimento na Coleta: Gráficos 12 e 13. Fonte: Autores (2017).

Para os testes não paramétricos da distribuição exponencial negativa, utilizou-se os valores da tabela do Chi-Quadrado seguindo os mesmos parâmetros de significância e grau de liberdade da distribuição de chegada. A tabela 10 mostra os valores calculados.

(14)

Tabela 10. Teste do Chi-Quadrado das distribuições de atendimento do sistema. Fonte: Autores (2017).

É possível observar, a partir da tabela 10, que os valores totais de (Oj-Ej)²/Ej são menores que os valores da tabela do Chi-Quadrado, o que significa que a distribuição exponencial negativa é adequada para o modelo de atendimento das filas do sistema.

4.3 PARÂMETROS DE DECISÃO

Os cálculos já efetuados mostram que o sistema estudado é considerado estável uma vez que as taxas de chegada e atendimento serão consideradas constantes no tempo e, os atendentes são capazes de atender o fluxo de chegada.

Segundo os dados obtidos, o Modelo ajustado é M/M/C/∞/FIFO para a fila da Recepção, e M/M/1/∞/FIFO para fila da Coleta (notação de Kendall). Sabendo que C é o número de atendentes, os parâmetros a serem calculados e que representam a operacionalidade do sistema são especificados a seguir e apresentados nas tabelas 11 e 12.

• L(c)= Número médio de clientes no sistema;

• W(c) = Tempo médio de permanência de um cliente qualquer no sistema; • Lq(c) = Número médio de clientes na fila aguardando atendimento; • Wq (c)= Tempo médio de permanência de um cliente qualquer na fila; • Po = Probabilidade de o sistema estar vazio.

Fila Atendente Taxa de chegada (µmédio em segundos) Nível de significância Grau de Liberdade Total de (Oj-Ej)²/Ej Valor na tabela do Chi-Quadrado (x²) Atd.1 0,0031 5% 5 7,6453396 11,07 Atd.2 0,0034 5% 5 9,8765478 11,07 Atd.3 0,0047 5% 5 5,0749213 11,07 Atd.1 0,0034 5% 4 4,1331406 9,488 Atd.2 0,0025 5% 4 1,5704076 9,488 Atd.3 0,0017 5% 4 5,6204559 9,488 Atd.4 0,0029 5% 4 4,1325212 9,488

Coleta - Dia 1 Atd. 1 0,0098 5% 5 10,83 11,07

Coleta - Dia 2 Atd.1 0,0133 5% 6 11,32 12,592

Recepção - Dia 1

Recepção - Dia 2

(15)

Tabela 11. Fórmulas dos parâmetros de decisão para filas que seguem o modelo M/M/c. Fonte: Fogliatti & Mattos (2007).

Tabela 12. Fórmulas dos parâmetros de decisão para filas que seguem o modelo M/M/1. Fonte: Prado (2014).

5 RESULTADOS E DISCUSSÕES

A partir dos modelos estruturados para cada fila e do cálculo dos seus respectivos parâmetros, foi feita análise da situação atual do sistema, bem como simulações de diferentes cenários para avaliação da melhor quantidade de atendentes para diferentes demandas diárias.

5.1 ANÁLISE DO PROCESSO DA RECEPÇÃO

As tabelas 13 e 14 mostram os resultados para a fila da recepção nos dia 1 e 2.

Tabela 13. Parâmetros de decisão para Tabela 14. Parâmetros de decisão para fila da Recepção no Dia 1. fila da Recepção no Dia 2.

Fonte: Autores (2017) Fonte: Autores (2017)

= =

P

0 = 𝑛 𝑛! 1 𝑛=0 _{! (1 )} − = 𝑃0 1 ! ( ) = 𝑃0 ! (1 ) = ( ) ₌1 = ( ) = _{( )} = ( ) = 1 ( ) 𝑃𝑛 = 1 𝑛 M/M/3 Chegada λ Wq (c) Lq (c) ρ W (c) L(c) 0,55 5,62 3,09 82% 10,10 5,55 C TA NA µ P0 P. Ocup. Total 3 4,47 2,46 0,22 5% 68% Recepção - Dia 1 Sistema Atendimento Probabilidades Fila M/M/4 Chegada λ Wq (c) Lq (c) ρ W (c) L(c) 0,5 4,78 2,39 80% 11,18 5,59 C TA NA µ P0 P. Ocup. Total 4 6,40 _3,20 0,16 3% _60% Atendimento Probabilidades Recepção - Dia 2 Fila Sistema

(16)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 É possível perceber que a taxa de atendimento média foi ligeiramente maior no primeiro dia, isso se deve ao fato de que os serviços solicitados no segundo dia exigiram mais tempo. Essa demora de alguns atendimentos é comum para clientes que fazem exames através de planos de saúde, pois o atendente precisa solicitar a autorização do plano e essa resposta em média é lenta.

A taxa de ocupação, nos dois dias, estão em uma faixa aceitável para o funcionamento do sistema, ainda que no primeiro dia seja pouco maior em relação ao segundo, mas isso é coerente ao fato da taxa de chegada (λ) ser um pouco maior também no primeiro. Os demais parâmetros estão semelhantes comparando-os entre si, com um tempo total no sistema em torno de 11 minutos (um tempo aceitável de espera para o processo).

Baseado nos resultados obtidos, foram realizadas simulações de diferentes cenários utilizando-se as médias da taxa de chegada (λ = 0,53 clientes/min) e da taxa de atendimento (µ = 0,19 clientes/min) entre os dois dias observados.

5.1.1 Projeção de Demandas

O cenário 1 diz respeito a projeção de diferentes demandas, traduzida pela variação da taxa de chegada, que foi calculada através da fórmula do cálculo de ocupação do sistema =ʎ/(c.µ), considerando a média da taxa de atendimento µ = 0,19 e fixando a taxa de ocupação em 80% (limite considerado aceitável pela empresa em estudo). Assim, foram definidos o número de servidores (c) para cada faixa de taxa de chegada, como mostra a tabela 15.

Tabela 15 - Resultados da projeção de demanda para a recepção. Fonte: Autores (2017).

A partir desses resultados, conclui-se que o número de atendentes mais adequado para a média atual da demanda (λ = 0,53) é de 4 servidores. Caso a demanda aumente, o sistema teria capacidade para suportar uma taxa de chegada de até 0,91 clientes/min com 6 atendentes;

Cenário 1 - Recepção

Taxa de Chegada () Nº de Servidores

0 <  ≤ 0,15 1 0,15 <  ≤ 0,30 2 0,30 <  ≤ 0,46 3 0,46 <  ≤ 0,61 4 0,61 <  ≤ 0,76 5 0,76 <  ≤ 0,91 6

(17)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 pois esse é o valor máximo para o sistema permanecer a uma ocupação limite de 80% e o laboratório tem capacidade de utilizar até 6 postos de atendimentos. Para dias com pouco movimento, como em dias de feriados, 2 atendentes seriam suficientes para suprir a baixa demanda.

5.1.2 Variação do Número de Atendentes

Para o Cenário 2, foi utilizada a taxa média de chegada λ = 0,53 e a taxa média de atendimento µ = 0,19, calculando-se o valor dos parâmetros de decisão para diferentes números de atendimento. Os resultados são apresentados na tabela 16.

Tabela 16 - Resultados do cenário 2. Fonte: Autores (2017).

Como mostram os dados da tabela, 3 atendentes deixam o sistema muito sobrecarregado, com uma taxa de ocupação de 93%. Utilizando-se mais atendentes, essa taxa diminui, reduzindo assim consideravelmente também os tempos médios do cliente no sistema e na fila. O gráfico14 ilustra essa redução do tempo no sistema.

Gráfico 14 – Tempo médio no sistema em função do Nº de atendentes. Fonte: Autores (2017).

Diante disso, conclui-se que é necessário, no mínimo, 4 atendentes na recepção para que o cliente permaneça no sistema por um tempo máximo aceitável. Na atual situação do

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 3 4 5 6 T em p o m éd io n o s is tem a W (c)

Número de Atendentes da Recepção

Tempo Médio do Cliente no Sistema em função do Número de Atendentes na Recepção

Cenário 2 – Recepção Nº Atendentes L(c) W(c) Lq(c) Wq(c) Ρo 3 13,58 25,86 10,80 20,57 93% 4 3,73 7,11 0,95 1,82 69% 5 3,01 5,73 0,23 0,44 56% 6 2,84 5,41 0,06 0,12 46%

(18)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 sistema, utilizar mais servidores (5 e 6) não causaria mudanças tão significativas para o cliente. Esses cenários seriam alterados com diferentes demandas.

5.2 ANÁLISE DO PROCESSO DE COLETA

As tabelas 17 e 18 mostram os resultados para a fila da Coleta nos dia 1 e 2.

Para o caso da atividade de coleta, os dois dias analisados deram resultados com maior diferença em relação aos tempos. Dois motivos foram percebidos para justificar essa diferença. O primeiro foi a quantidade de dados coletados serem diferentes, visto que no dia 1, foram 30 pacientes que solicitaram coletas durante os 60 minutos de anotação dos dados; e no dia 2, foram 41 pacientes. Outro motivo foi a troca de atendente de um dia para o outro fazendo com que o tempo de atendimento variasse mais no dia 1 do que no dia 2. Existem as hipóteses da atendente do dia 1 ser menos experiente ou menos treinada que a do segundo dia, ou ainda, os serviços solicitados no primeiro dia exigirem uma verificação mais detalhada com o paciente.

Porém, apesar da diferença entre os tempos, os resultados são coerentes com os cenários observados e se mostram satisfatórios, visto que passaram nos testes estatísticos desenvolvidos. Para o primeiro dia, a taxa de utilização do servidor, foi aproximadamente, 88% e, para o segundo dia, foi de 86%. Esses dados mostram que o sistema está sobrecarregado e deveriam ser colocados mais servidores no processo de coleta para assegurar uma taxa de até 80%, que é a meta da empresa.

Para o caso da coleta, foram realizadas a simulação de dois cenários com a utilização da média dos dois dias para a taxa de atendimento (= 0,691 clientes/min).

(19)

5.2.1 Projeção de Demandas

O Cenário 1, consistiu em fixar a taxa de utilização do servidor () em 80% e variar a taxa de chegada () obtendo o número de atendentes (c) para cada situação de demanda conforme apresentado na tabela 21.

Tabela 19. Resultados da projeção de demanda para a fila da Coleta. Fonte: Autores (2017).

Analisando os resultados da tabela 19 conclui-se que o mínimo de servidores para a Coleta deveria ser 2 a fim de não ultrapassar a meta da empresa de 80% de taxa de ocupação.

5.2.2 Variação do Número de Atendentes

No Cenário 2 foi feita a variação no número de atendentes considerando a média das taxas de chegada (λ = 0,6 clientes/min) e da taxa de atendimento (µ = 0,691 clientes/min) dos dias estudados e calculou-se os parâmetros de decisão. Este cenário se torna importante para verificar, como os parâmetros seriam se a quantidade de servidores fosse aumentada e se haveria uma taxa de utilização do servidor menor ou igual a 80%. Os resultados são apresentados na tabela 22.

Tabela 20. Resultados do Cenário 2. Fonte: Autores (2017).

Cenário 1 - Coleta

Taxa de Chegada () Nº de Servidores

0 <  ≤ 1,1057 2 1,1057 <  ≤ 1,6586 3 1,6586 <  ≤ 2,2114 4 2,2114 <  ≤ 2,7643 5 Cenário 2 – Coleta Nº Atendentes L(c) W(c) Lq(c) Wq(c) Ρo 2 1,07 1,78 0,2 0,34 43% 3 0,89 1,49 0,03 0,04 29% 4 0,87 1,45 0 0,01 22% 5 0,87 1,45 0 0 17%

(20)

Gráfico 15. Tempo médio no sistema em função do Nº de atendentes. Fonte: Autores (2017).

Analisando os resultados da tabela 20, observa-se que, com dois atendentes a taxa de utilização do servidor passa a ser 43%, diminuindo pela metade os valores calculados a partir da situação atual da empresa que é com apenas um atendente, e melhorando todos os demais parâmetros de decisão.

6 CONCLUSÃO

A finalidade do presente artigo foi analisar o processo de atendimento da Recepção e da Coleta de exames em um laboratório de análises clínicas, relacionando as informações obtidas no local com o estudo da Teoria das Filas. Assim, coletou-se dados da chegada e do tempo de atendimento, foi feito tratamento estatístico e obtida a taxa média de chegada e de atendimento, que possibilitaram o cálculo dos parâmetros de decisão e simulação de cenários a fim de ver o comportamento do sistema com a variação de demanda e número de atendentes. Os resultados encontrados constatam que, para a fila da Recepção, o número adequado de atendentes é quatro considerando a média atual de demanda (λ = 0,53 clientes/min) e a taxa de ocupação do servidor de até 80%. Porém, a análise mostra a necessidade de controlar diariamente esta fila, visto que seus servidores estão no limite de sua taxa de utilização, podendo, assim, diminuir a produtividade em função da fadiga. Os estudos demostram ainda que, caso a demanda aumente, o sistema teria capacidade para suportar uma taxa de chegada de até 0,91 clientes/min com 6 atendentes em seus postos de trabalho, porém, para períodos de pouco movimento, com taxa de chegada de até 0,30 clientes/min, dois atendente é suficiente manter o equilíbrio do sistema.

Para a fila da Coleta, o número adequado de atendentes é dois, considerando a média atual de demanda (λ = 0,6 clientes/min) e a taxa de ocupação do servidor de até 80%. Este resultado é um alerta para o sistema uma vez que, hoje esta fila é atendida sempre com apenas

1,4 1,6 1,8 2 3 4 5 Te m p o m éd io n o sis tem a W(c)

Número de Atendentes da Recepção

Tempo Médio do Cliente no Sistema em função do Número de Atendentes para Coleta

(21)

Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.4,p.20223-20244 apr. 2020. ISSN 2525-8761 um servidor, que trabalha com sua taxa de utilização acima do limite estabelecido como meta pela empresa, ocasionando momentos de congestionamento e consequentemente, insatisfação nos clientes e no próprio servidor. O aumento de um servidor, neste caso, devolverá o equilíbrio ao sistema, reduzindo à metade a taxa de utilização atual e, diminuindo bastante o número médio de clientes na fila e seu tempo médio no sistema. Para os períodos de pouco movimento, no entanto, apenas um atendente é suficiente para manter o equilíbrio do sistema.

Para proporcionar uma melhora continua do serviço prestado pelo laboratório e aumentar o conhecimento, controle e planejamento de seus processos, sugere-se, estender o estudo para mais dias de coleta de dados e em períodos do dia distintos, além de simular cenários do sistema em um software de simulação para comparar com o trabalho analítico desenvolvido e possibilitar a utilização de curvas probabilísticas mais complexas que possam aderir melhor aos dados reais.

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