Realismo e Racionalismo na Matemática
Marco Ruffino Universidade Federal do Rio de Janeiro e-mail: [email protected]
O propósito deste artigo é retomar alguns pontos de uma discussão iniciada por ocasião do último encontro deste grupo em Buenos Aires há um ano atrás. Naquela ocasião, tivemos a oportunidade de assistir a uma interessante apresentação do Professor Samuel Cabanchik1 sobre o papel de considerações pragmáticas na questão sobre o ser, isto é, na questão ontológica sobre o que existe, ou, mais precisamente, sobre a diferença entre o que é e o que não é real. Cabanchik defendeu uma forma de pragmatismo lingüístico, cujo representante mais típico talvez seja Goodman, para quem a determinação daquilo que é real é derivada, em última instância, da forma como nosso sistemas simbólicos (ou linguagens) são estruturados. No final do artigo de Cabanchik podemos encontrar uma síntese de sua posição: “’[Q]ue es lo que hay?’ pregunta la ontologia. La respuesta es que hay lo que hacemos existir de múltiples maneras com uma variedad de instrumentos, ellos
mismos en crescimientos y transformación permanentes.” Os instrumentos de que fala
Cabanchik aqui são, principalmente, formas lingüísticas, cujas regras sintáticas são estabelecidas por convenção, e a partir das quais dizemos que tais e tais coisas existem, ou que tais e tais coisas são reais. O que acabei de fazer é certamente um esboço bastante grosseiro e vago da posição de Cabanchik, bem como dos filósofos em cujo trabalho ele se baseia. Mas meu propósito aqui não é polemizar diretamente com as teses específicas de Cabanchik, mas sim com o estilo geral de relativismo ontológico por ele preferido, qual
seja, o do relativismo ontológico baseado na variabilidade dos sistemas simbólicos. De agora em diante eu irei usar o termo relativismo ontológico lingüístico para me referir a
este estilo de anti-realismo.
Embora eu tenha simpatias pelo realismo, não pretendo neste trabalho oferecer uma defesa abrangente do mesmo, mas sim mostrar que há limites fortes para o relativismo ontológico lingüístico. Mais precisamente, quero mostrar que dificilmente o relativismo ontológico lingüístico forneceria uma explicação plausível da matemática (e, suspeito, do campo das verdades necessárias em geral). Para este efeito, quero explorar algumas das idéias filosóficas de Kurt Gödel (que é talvez o mais paradigmático pensador realista da matemática do século XX), além de adicionar algumas considerações minhas.
I-Relativismo empírico e matemática como sintaxe lógica
Mas da constatação deste fato trivial certamente não se segue tudo o que o relativismo ontológico lingüístico quer. Em primeiro lugar, já poderíamos ter dúvidas de que não exista uma ontologia privilegiada no que diz respeito àquilo que existe no universo físico. Pois certamente seria necessária uma argumentação mais sofisticada que esta para se negar, por exemplo, que um físico contemporâneo esteja em uma posição mais autorizada para fornecer uma descrição daquilo que há no universo físico (em termos de partículas subatômicas) que, por exemplo, um cientista da antiguidade que imaginava ser a realidade física composta de terra, ar, água e fogo. Não se segue da constatação trivial acima que não houve um avanço em direção à verdadeira ontologia do mundo físico, e que certas ontologias “leigas” estão mais afastadas da realidade que a ontologia descoberta pela física quântica. Por outro lado, parece-me haver um certo equívoco no relativismo ontológico lingüístico, que me parece vir de uma má apreciação do fato de que normas lingüísticas são fixadas por convenção: Não se pode duvidar que, ao fixarmos o uso que certos predicados hão de ter, estamos, até certo ponto, decidindo o que cai ou deixa de cair na extensão deste predicado. Mas isto não significa que tenhamos fixado por decreto quais as propriedades que os objetos hão de ter, pois se assim fosse, a ciência empírica não teria nenhum propósito. (Por exemplo, é certamente convencional o significado atribuído ao predicado
condutor de eletricidade, o que não significa que seja uma decisão convencional que o
mas isto não significa que não haja casos claros de aplicação do conceito, casos estes que não dependem de nossas estipulações. (Um exemplo: dados os contornos pouco nítidos do conceito de planeta do sistema solar, podemos decidir que os cometas são planetas. Mas seria uma violência aos contornos iniciais de nosso conceito se decidíssemos que o Sol é planeta.) Em outras palavras, se é verdade que há uma certa margem para a fixação da extensão dos predicados, daí não se segue, no entanto, que os objetos do mundo físico têm as propriedades que têm em virtude de uma convenção lingüística.
Mas, como disse no início, não é neste ponto, isto é, na defesa do realismo científico (já tão explorada na literatura) que quero me concentrar aqui. Assim como tenho insistido em outras ocasiões, parece-me que a matemática (e, numa perspectiva mais ampla, o campo das ciências formais em geral) apresenta um caso limite, que foge a esta perspectiva relativista. Em alguns casos (que quero considerar aqui como paradigmático) de alguns resultados fundamentais da matemática, não cabe falar de um relativismo gerado por convenções lingüísticas. O que está envolvido nestes resultados, em minha opinião, é a análise de alguns conceitos básicos da razão, tais como o conceito de número, de computabilidade, de infinitude, etc. (Parece estranho dizer-se, por exemplo, que a prova de que não existe um maior número primo depende de alguma maneira de nossas convenções lingüísticas ou mesmo não lingüísticas, de tal forma que se estas convenções fossem outras poderia haver um maior número primo, ou então nenhum número primo.) A matemática parece ser um campo onde seria bastante difícil dizer-se que a existência ou não das entidades correspondentes depende, em última instância, das convenções ou do sistema simbólico adotado.
and Ontology” (1950)2 elaborou de maneira muito clara a restrição das questões
ontológicas significativas ao estudo das possibilidades do simbolismo, particularmente no que diz respeito às entidades abstratas. A questão que abre o segundo parágrafo do texto de Carnap é a seguinte: “Are there properties, classes, numbers, propositions?” E a resposta lança mão de uma famosa divisão proposta por ele entre questões internas aos sistemas lingüísticos, e questões externas aos mesmos:
In order to understand more clearly the nature of these and related problems, it is above all necessary to recognize a fundamental distinction between two kinds of questions concerning the existence or reality of entities. If someone wishes to speak in his language about a new kind of entities, he has to introduce a system of new ways of speaking, subject to new rules; we shal call this procedure the construction of a linguistic framework for the new entities in question. And now we must distinguish two kinds of questions of existence: first, questions of existence of of certain entities of the new kind within the framework; we call them internal questions; and second, questions concerning the existence or reality of the system of entities as a whole, called external questions.” (p. 242)
Como se sabe, questões externas ao referencial lingüístico não fazem sentido para Carnap. Apenas faz sentido perguntar-se pela existência daqueles tipos de entidades para os quais temos uma provisão lingüística, com regras sintáticas de uso. Com relação ao outro tipo de questão, Carnap faz as seguintes observações:
From these questions we must distinguish the external question of the reality of the thing world itself. In contrast to the former question, this question is raised neither by the man in the street, nor by the scientists, but only by philosophers. Realists give an affirmative answer, subjective idealists a negative one, and the controversy goes on for centuries without ever being solved. And it cannot be so, because it is framed in a wrong way: to be real in the scientific sense means to be an element of the system. (p. 243)
2
Revue Internationale de Philosophie4 (1950), pp. 20-40. Reimpresso em Benacerraf, P. e Putnam, H.,
Philosophy of mathematics: selected readings. Segunda Edição. New York: Cambridge University Press,
Ou seja, a questão sobre a existência independentemente da questão sobre o simbolismo correspondente não faz sentido para Carnap. Em particular, isto vale para a matemática. Aquilo que podemos significativamente dizer que existe são aquelas entidades para as quais temos nomes em um framework lingüístico, nomes estes regidos por regras sintáticas. É
apenas a partir de um vocabulário que inclua numerais, além de expressões para propriedades numéricas (‘par’, ‘ímpar’, etc.), relações (‘sucessor’, ‘maior que’), variáveis numéricas e variáveis para propriedades (no caso de uma linguagem de segunda ordem), quantificadores universais apropriados, etc., que podemos responder a uma questão como ‘existe algum número primo entre 5 e 9?’ de maneira apropriada, e a resposta é simplesmente uma verdade analítica, uma vez que vem da simples análise das regras para as expressões correspondentes.
A culminação do ponto de vista de Carnap a respeito de questões ontológicas é, no caso da matemática, que a mesma deve ser vista como sendo nada mais que sintaxe lógica,
uma vez que corresponde a um mero desdobrar de conseqüências advindas do vocabulário primitivo juntamente com as regras sintáticas originalmente estabelecidas que o regem. (Na verdade, como sabemos, Carnap estende para toda a filosofia esta visão da matemática, uma vez que a mesma passa a ser por ele identificada com a sintaxe lógica da linguagem da ciência. Em Logische Syntax der Sprache (1934) Carnap formula aquilo que é conhecido
como o princípio da tolerância, segundo o qual não deve haver restrições no que diz
respeito à formulação de linguagens. Assim, tanto a linguagem clássica quanto a intuicionista são admissíveis, uma vez que cada uma delas serve a propósitos específicos.)
A perspectiva de Carnap que estamos aqui brevemente examinando (e que, repito, me parece ser um caso particularmente claro do relativismo lingüístico em ontologia) foi detalhadamente analisada e criticada por Gödel em um texto póstumo intitulado “Is mathematical logic syntax of language?”, escrito entre 1953 e 1959 para aquilo que viria a
ser o volume de Paul Schilpp sobre a filosofia de Carnap.3 Como vimos, o programa sintaticista de Carnap pretendia dispensar, por um lado, a necessidade da intuição matemática (que é essencial ao Kantismo, ao intuicionismo, e, em uma forma especial, ao próprio Gödel) e, por outro, a necessidade de um conteúdo objetivo associado às sentenças matemáticas. No referido artigo, Gödel examina os princípios do projeto de Carnap (deixando de lado aspectos técnicos do mesmo), e argumenta que a matemática apenas pode ser considerada como sintaxe lógica da linguagem se uma porção muito pequena daquilo que é normalmente chamado de matemática for reconhecida como tal. Pois há
3Devido ao fato de Gödel ter feito tantas correções no texto ao longo dos anos, e devido à exigüidade do
alguns requisitos que o programa sintaticista tem que satisfazer, se ele pretende ser minimamente convincente, mas estes requisitos apenas podem ser conjuntamente satisfeitos se o vocabulário da teoria matemática for drasticamente reduzido. Estes requisitos são:
1-Uma vez que o objetivo do programa é mostrar a dispensabilidade das noções de intuição e de fatos extra-lingüísticos na matemática como um todo, ele deve então poder cobrir a totalidade daquilo que, na matemática é aplicável à ciência. Isto significa, no entanto, que o programa teria que cobrir a totalidade da matemática clássica.
2-Temos que entender por “linguagem” um simbolismo que pode efetivamente ser exibido. Isto exclui, por exemplo, linguagens com um número infinito de nomes primitivos, ou sentenças consistindo de um encadeamento infinito de símbolos. Pois, de acordo com Gödel, como sentenças de comprimento infinito não podem ser exibidas no mundo empírico, estas teriam que permanecer como um objeto matemático, mas este é um dos tipos de entidades que o programa sintaticista tem por objetivo evitar.
3-Da mesma maneira, as regras sintáticas devem ser regras finitárias, isto é, elas não podem fazer referência a um número infinito de expressões de um certo tipo, pois neste caso a expressão da regra não teria significado exceto aquele conferido por uma intuição ou um fato matemático.
4-As regras envolvidas apenas podem ser chamadas de sintáticas em seu sentido próprio se a sua formulação deixar claro que elas não implicam nenhuma sentença factual, isto é, que dependam de fatos extra-linguísticos. Como Gödel chama a atenção, daí se segue a necessidade de uma prova da consistência para as regras em questão, pois de regras inconsistentes, qualquer proposição factual se segue.
axiomas devem poder ser derivados destas mesmas regras. (Isto reforça, na verdade, o requisito 4, uma vez que, para que isso seja possível, deve haver uma prova de consistência, pois do contrário tanto um fato quanto a sua negação seriam deriváveis das regras inconsistentes.)
6-Não apenas as regras sintáticas devem ser finitárias, mas também os procedimentos de prova, bem como os conceitos usados na prova dos axiomas matemáticos a partir das mesmas deve ser finitários.
On the grounds of this results it can be said that the scheme of the syntactical program to replace mathematical intuition by rules for the use of symbols fails because this replacing destroys any reason for expecting consistency, which is vital for both pure and applied mathematics, and because for the consistency proof one either needs a mathematical intuition of the same power as for discerning the truth of the mathematical axioms or a knowledge of empirical facts involving an equivalent mathematical content. (ibid., p. 346)
O problema crucial é, portanto, este: há que se estabelecer a consistência das teorias antes que estas possam ser vistas como tendo alguma utilidade. Mas o estabelecimento da consistência implica abandonar o ponto de vista segundo o qual as teorias matemáticas podem ser vistas como puros sistemas de símbolos regidos por regras sintáticas. E a razão disto é que as teorias matemáticas têm um vocabulário essencialmente não-finitário (isto é, que supostamente faz referência a entidades infinitas) e não há um método finitário para provar a consistência desta parte do vocabulário matemático, como queria Hilbert, e como Gödel mostrou ser impossível. Se se quisesse insistir que a matemática deveria ser restrita a um vocabulário finitário, então haveria aqui uma restrição excessivamente forte e artificial, pois esta linguagem finitária seria de muito pouco interesse, e jogaria fora a maior parte da matemática clássica.
originalmente dado. Ou seja, existe aquilo que usualmente chamamos de uma função de escolha. Esta afirmação pode parecer trivial se estamos raciocinando com conjuntos finitos, ou se há uma escolha óbvia a ser feita (tal como “escolha-se o menor número de cada conjunto”). Mas o lado não-trivial do axioma aparece quando consideramos conjuntos infinitos de conjuntos, para os quais não há uma escolha óbvia (por exemplo, no conjunto cujos elementos são todos os conjuntos de números reais da forma {x/ n<x<n+1}para n natural, não há uma escolha igualmente óbvia, pois não há um menor elemento de cada conjunto).
Há várias formulações diferentes e equivalentes do axioma da escolha, todas elas tendo alguma implicação existencial sobre conjuntos. Uma interpretação como a de Carnap, de que uma asserção existencial na matemática (assim como em qualquer ramo da ciência) tem que ser tomada como dizendo respeito aos recursos disponíveis no sistema simbólico em questão parece apenas viável se estivermos considerando conjuntos bastante simples, mas não parece funcionar em casos mais interessantes. Não parece haver uma forma coerente de salvaguardar o axioma da escolha, ou de ao menos interpretá-lo, sem que o mesmo seja ou restrito a linguagens muito pobres, ou tenha que ser forçosamente considerado como falso ou absurdo.
um famoso resultado obtido por Paul Cohen em 1964, consistente com estes axiomas. Por outro lado, a hipótese não pode ser desprovada, uma vez que, devido a um outro resultado famoso do próprio Gödel (de 1940), ela é consistente com os axiomas de Zermelo-Fraenkel. Assim, a hipótese do contínuo não pode, rigorosamente falando, nem ser provada e nem ser desprovada na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ou em qualquer outra parecida).
Pois bem, dada a formulação desta hipótese, nós temos a forte impressão de que ela deve ser ou verdadeira ou falsa: se há um conjunto com a cardinalidade entre Aleph 0 e 2 exp. Aleph 0, então há este conjunto, sempre houve e sempre haverá, independentemente de nosso acesso ao mesmo no presente momento. E se não há um tal conjunto, então nunca houve e nunca haverá. Por outro lado, fica difícil imaginar como poderia ser uma interpretação sintaticista no estilo de Carnap da hipótese do contínuo, pois não está claro que sentido faria interpretar-se a existência de um uma linguagem com um número infinito não-enumerável de nomes: esta linguagem certamente não seria inteligível para nós.
progresso na direção da verdadeira noção de função, assim como a moderna noção de prova analítica em geometria representa um avanço com relação à noção Euclideana em direção à verdadeira noção de prova.
II-Racionalidade na aceitação de novos axiomas
Mas há uma parte da tese do relativismo ontológico lingüístico que quero recordar aqui, que é a seguinte: somos nós quem colocamos os objetos no mundo, baseado nas estipulações que fazemos a respeito dos novos símbolos introduzidos.. Bem, o exemplo que eu mencionei aqui da hipótese do contínuo parece ilustrar uma situação em que, por não haver uma resposta definitiva a um certo problema, precisamos, de acordo com a opinião de vários pensadores (entre eles o próprio Gödel) de novos axiomas que possam vir a solucioná-la, dada a incapacidade dos axiomas atualmente aceitos em prová-la ou desprová-la. Mas axiomas freqüentemente têm um caráter existencial, isto é, afirmam a existência de um tipo de entidade. Não seria este um caso em que, como talvez diria um anti-realista, estamos colocando algo novo no mundo em função de nossas necessidades de provas? Então certamente faz-se necessário aqui esclarecer o que está envolvido na aceitação de um axioma, ou seja, se a mesma não corresponde simplesmente à aceitação de novos símbolos com novas regras sintáticas.
devem ser verdadeiros de maneira absoluta, e não meramente enquanto uma convenção conveniente. Mas qual poderia ser o critério de verdade de axiomas novos para um realista como Gödel? Tal questão é abordada na seguinte passagem:
For these axioms there exists no other rational (and not merely practical) foundation except that they (or propositions implying them) can be directly perceived to be true (owing to the meaning of the terms or by an intuition of the objects falling under them), or that they are assumed (like physical hypotheses) on the grounds of inductive arguments, e.g., their success in the applications. (pp. 346-7)
A primeira forma de reconhecimento da verdade de um teorema diz respeito a um aspecto do realismo de Gödel que tem sido muito criticado na filosofia da matemática contemporânea, qual seja, o de que nós temos um tipo especial de intuição que nos proporciona acesso cognitivo imediato aos objetos matemáticos ou aos axiomas que os regem. Tal acesso seria uma espécie de contato puramente intelectual com o mundo Platônico dos entes matemáticos. Não me estenderei sobre este aspecto da epistemologia de Gödel, embora a idéia aqui sugerida não me pareça tão absurda ou extravagante como muitos a tomaram. Parece-me que há de fato raízes desta intuição Gödeliana na tradição racionalista, mais notadamente na noção de idéias claras e distintas de Descartes. Mas é o segundo critério de verdade de axiomas que nos interessa mais de perto aqui: trata-se de um critério que Gödel chama de “indutivo” sem querer, obviamente, dizer que o axioma em si é uma verdade empírica. A “confirmação indutiva” aqui diz respeito ao sucesso verificado no emprego do novo axioma na prova de resultados, como explica Gödel em um texto anterior (“What is Cantor’s Continuum Hypothesis”4, de 1947):
Success here means fruitfulness in consequences, in particular in “verifiable” consequences, i.e., consequences demonstrable without the new axiomm whose proof with the help of the new axiom, however, are considerably simpler and easier to discover, and make it possible to contract into one proof many different proofs [...] There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light upon a whole field, and yielding such powerful methods for solving problems [...] that, no matter whether or not they are intrinsically necessary, they would have to be accepted at least in the same sense as any well-established physical theory. (p. 477)
Ou seja, novos axiomas devem ter as suas credenciais de verdade avaliadas de uma maneira análoga à verdade dos axiomas da teoria física: da mesma forma que estes devem explicar um grande número de fenômenos observáveis independentemente da aceitação dos mesmos, aqueles devem poder derivar de maneira mais curta ou elegante um grande número de resultados prováveis sem os mesmos, mas de maneira mais elegante, simples e fácil de descobrir. E da mesma maneira que os axiomas da teoria física devem poder conectar vários tipos de fenômenos, os axiomas da matemática devem poder unificar muitas provas diferentes em uma só, bem como mostrar que teoremas longínquos podem ser derivados de uma “fonte” comum. (Putnam, em sua fase realista, chamou este processo de confirmação de axiomas matemáticos baseado no sucesso de suas aplicações de “método quase-empírico”5.)
As considerações aqui apresentadas sobre aquilo que guia a aceitação de novos axiomas têm, assim, um elemento pragmático. Mas trata-se de um pragmatismo radicalmente diferente daquele pressuposto, por exemplo, no trabalho de Carnap, ou dos relativistas lingüísticos em geral. Pois os fatores pragmáticos indicados (fecundidade, brevidade, possibilidade de reunir várias provas em uma só, etc.) são fatores que, aos olhos do realista, nos aproximam da verdadeira estrutura lógica da realidade, a qual é
5 “What is mathematical truth?” in Putnam, H., Mathematics, Matter and Method, segunda edição, New York:
independente de nossas teorias ou de nossas convenções. O melhor (e talvez único) critério que temos de que estamos sendo bem sucedidos nesta aproximação é o sucesso dos axiomas escolhidos fornecer uma teoria simples em seus fundamentos, mas sofisticada em seu desenvolvimento, isto é, uma teoria que possa unificar várias sub-teorias, e que seja, portanto, rica em teoremas interessantes, além de prover provas simples e naturais para os mesmos.6
III-Conclusões
Como expliquei no começo, a idéia de que questões ontológicas dizem respeito a formas lingüísticas e suas regras de uso encontrou uma formulação particularmente precisa no trabalho de Carnap, e um crítico particularmente contundente em Gödel (no que diz respeito à matemática). As ontologias baseadas nas formas simbólicas podem ser vistas como fortemente limitadas, pois formas simbólicas têm necessariamente que ser introduzidas com as correspondentes regras sintáticas de uso. E, caso estas regras sejam inconsistentes, então absolutamente todo e qualquer enunciado se segue das mesmas, em particular, todo enunciado existencial, assim como a negação de todo enunciado existencial. Portanto, as regras devem ser comprovadamente consistentes para que qualquer conseqüência ontológica (ou de qualquer outra natureza) possa ser derivada das mesmas de maneira não trivial. Mas a prova de consistência é impossível sem envolver elementos ou raciocínios não-finitários, e estes só têm sentido, como argumenta Gödel, se assumirmos
6 Esta perspectiva de que axiomas devem ser corroborados por um método “quase-empírico” está também
fortemente presente em Frege, na justificativa de seu sistema axiomático nas Grundgesetze der Arithmetik, e
uma intuição matemática básica, ou um domínio de entidades matemáticas necessariamente existentes.
Por outro lado, vários exemplos de problemas ou de teses fundamentais na fundamentação da matemática não parecem ter muito sentido se a ontologia matemática é interpretada como dizendo respeito a formas simbólicas (nomes da linguagem). No caso da lógica e da matemática, parece antes valer o contrário: como disse Frege ao apresentar sua distinção entre função e objeto, temos aqui uma diferenciação que “tem fundamentos profundos na natureza das coisas”7, e é por isso que necessitamos, na linguagem, de expressões de tipos diferentes que espelhem esta divisão categorial que se dá no mundo.
Finalmente, de acordo com a visão de Gödel que procurei esboçar aqui (e com a qual concordo em suas linhas gerais), a introdução de novos axiomas matemáticos, com novos postulados existenciais (como se faz necessário, por exemplo, para a solução da hipótese do contínuo), embora seja guiada por considerações pragmáticas, pode ser vista como um processo de aproximação da verdadeira estrutura lógica da realidade, uma vez que estas considerações pragmáticas têm a função de diferenciar certos axiomas como melhores candidatos à verdade que outros.
7 “Funktion und Begriff”, em Angelelli, I. ,
Gottlob Frege: Kleine Schriften, segunda edição, Hildesheim:
