GRUPO DE PESQUISA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINHA DE PESQUISA

(1)

(2)

EQUAC¸ ˜

OES DIFERENCIAIS PARCIAIS

LINHA DE PESQUISA

Equa¸cões de Evolu¸cão Não Lineares

PROJETO DE PESQUISA

Problemas de Valores de Fronteira para

Equa¸c˜oes Semilineares de Ondas

SUB-PROJETO

Modelagem Matem´atica de Problemas de

F´ısica: Uma Estrat´egia de Aprendizagem de

Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias

(3)

Sum´

ario

1 Projeto de Pesquisa do Orientador 3

1.1 Introdu¸cão . . . 3 1.2 Fundamenta¸cão Teórica . . . 4 1.3 Objetivo . . . 6 1.4 Justificativa . . . 7 1.5 Metodologia . . . 8 1.6 Cronograma de Execu¸cão . . . 9 2 Sub-Projeto do Aluno 11 2.1 Introdu¸cão . . . 11 2.2 Objetivo Geral . . . 13 2.3 Objetivos Espec´ıficos . . . 13 1

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2.4 Justificativa . . . 14

2.5 Material e M´etodos . . . 15

2.6 Plano de Trabalho do Aluno . . . 16

2.7 Cronograma de Execu¸c˜ao . . . 17

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Cap´ıtulo 1

Problemas de Valores de

Fronteira para Equa¸c˜

oes

Semilineares de Ondas

1.1 Introdu¸c˜

ao

Apresenta-se neste Cap´ıtulo 1 o Projeto de Pesquisa do Orientador intitulado Problemas de Valores de Fronteira para Equa¸cões Semilineares de On-das, proposto para ser desenvolvido no per´ıodo de agosto/2008 a julho/2009. Trata-se de um problema no âmbito das Equa¸cões Diferenciais Parciais, cuja for-mula¸cão matemática encontra-se na Seçcão Fundamenta¸cão Teórica, onde, além da apresenta¸cão do problema, indica-se o estado da arte e as questões em aberto relativas ao mesmo. O campo das Equa¸cões Diferenciais Parciais se constitui numa área da Matemática que está na interface entre a Matemática Pura e a

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Matemática Aplicada, sendo na atualidade uma área intensamente pesquisada no mundo e particularmente no Brasil, onde há vários Centros de Pesquisa em Matemática com grupos consolidados de pesquisadores.

A pesquisa em Equa¸cões Diferenciais Parciais requer do pesquisador uma forma¸cão básica em Análise Funcional e Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. Neste sentido, é muito proveitoso para a forma¸cão de um futuro pesquisador na área que, em n´ıvel de gradua¸cão, o aluno possa ter um contato mais aprofundado quanto aos aspectos teóricos das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias, bem como das suas principais aplica¸cões em n´ıvel elementar. É exatamente sob este aspecto que, no Cap´ıtulo 2, apresenta-se um Sub-Projeto para ser desenvolvido no âmbito do Programa de Inicia¸cão Cient´ıfica da Universidade Estadual da Para´ıba, por um aluno do curso de Licenciatura em F´ısica, contemplando atividades extra-curriculares de aprofundamento dos aspectos teóricos de Equa¸cões Diferencias Ordinárias, tendo como estratégia de motiva¸cão para a aprendizagem a Mo-delágem Matemática de problemas de de F´ısica.

1.2 Fundamenta¸c˜

ao Te´

orica

Considera-se Ω um subconjunto aberto e limitado do Rn _{(n ≥ 1) com}

fronteira Γ de classe C2_{. Admite-se que a fronteira Γ possui um campo de vetores}

normal, denotado por ν, apontando para o seu exterior. Sup˜oe-se que {Γ0, Γ1}

´e uma parti¸c˜ao da fronteira, com Γ0 e Γ1 possuindo medida positiva (no sentido

de Lebesgue) e satisfazendo `a condi¸c˜ao Γ0 ∩ Γ1 = ∅.1 Dado T ∈ R, T > 0,

formula-se no dom´ınio cil´ındrico Q = Ω×]0, T [⊂ Rn+1 _{o seguinte problema}

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CAP´ITULO 1. PROJETO DE PESQUISA DO ORIENTADOR 5 misto: (1.1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u00_{− µ(t)∆u + h(u) = f (x, t) in Q,} u = 0 on Γ0×]0, T [, µ(t)∂u ∂ν + β(x)u0 = 0 on Γ1×]0, T [, u(0) = u0, u0(0) = u1 in Ω.

Aqui a nota¸cão “ 0 _{” indica deriva¸cão com respeito à variável t.}

Para µ > 0 uma constante e h = 0, as questões de existência e de unicidade de solu¸cões de (1.1) foram respondidas positivamente por KORMONIK-ZUAZUA [26] aplicando teoria de semigrupos. Os referidos autores também analizaram a estabiliza¸cão fronteira de solu¸cões, sem hipóteses geométricas sobre Ω (para

n ≤ 3), usando uma desigualdade provada por GRISVARD ([6] e [7]). Ainda

considerando h = 0 MEDEIROS-MILLA MIRANDA [20], usando o M´etodo de

Faedo-Galerkin implementado para uma base Hilbertiana especial do espa¸co das

solu¸cões, resolveram as questões de existência e unicidade de solu¸cões fortes e fracas para o sistema (1.1). Admitindo hipóteses geométricas fortes (em di-mensão 1, 2 e 3), a estabiliza¸cão fronteira das solu¸cões de (1.1) foi demonstrada por diversos autores, dentre os quais citamos [2], [3], [4], [21] e [24].

Nós investigamos existência, unicidade e comportamento assintótico de so-lu¸cões fracas para o problema (1.1) no caso bem geral em que h é uma fun¸cão cont´ınua satisfazendo à hipótese h(s)s ≥ 0, para todo s ∈ R. Os resultados dessa pesquisa foram publicados na ´ıntegra na revista Nonlinear Analysis, vide [16], periódico este indexado como Qualis A Internacional pela CAPES.

O tipo de n˜ao linearidade considerado, por ser bastante geral, proporci-ona dificuldades no tratamento do problema, principalmente na obten¸c˜ao da

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condi¸cão de Neumann, dificuldades estas que foram contornadas resolvendo-se a existência e unicidade preliminarmente para um problema de valor de fronteira não-homogêneo e utilizando-se argumentos de regularidade escondida (vide [21]). A unicidade de solu¸cões foi demonstrada para casos particulares de h. O caso geral de unicidade é um problema em aberto.

Formula¸cões como (1.1) são exemplos t´ıpicos de problemas de equa¸cões di-ferenciais parciais não lineares de evolu¸cão que são objetos da Linha de Pes-quisa Equa¸cões de Evolu¸cão não Lineares, do Grupo de PesPes-quisa EQUAÇ ÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS do Departamento de Matemática e Estat´ıstica do

CCT/UEPB. Tal grupo está confirmado pela Universidade Estadual da Para´ıba junto ao Diretório de Grupos de Pesquisa do CNPq. Trata-se de um grupo de pesquisa com cerca de dez anos de atua¸cão, composto por pesquisadores do Departamento de Matemática e Estat´ıstica da Universidade Estadual da Para´ıba - UEPB, do Departamento de Matemática da Universiade Federal da Para´ıba - UFPB e do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Piau´ı - UFPI, bem como alunos dos cursos de gradua¸cão em Matemática, F´ısica, Qu´ımica e Estat´ıstica envolvidos em programas de inicia¸cão cient´ıfica das uni-versidades citadas.

1.3 Objetivo

Além da questão da unicidade de solu¸cões em sua forma geral, também o caso em que Γ0∩Γ1 6= ∅ não foi ainda pesquisado. Contudo, temos a expectativa

de que, tratando inicialmente para o caso de n ≤ 3, poderemos obter resulta-dos semelhantes aos j´a demosntraresulta-dos, sendo este tema parte deste Projeto de

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CAP´ITULO 1. PROJETO DE PESQUISA DO ORIENTADOR 7 Pesquisa.

Objetivamente, o nosso propósito principal neste Projeto de Pesquisa é tratar as questões em aberto de unicidade de solu¸cões e o caso em que Γ0∩ Γ1 6= ∅

para o problema (1.1).

1.4 Justificativa

A relevância de se estudar problemas do tipo (1.1), do ponto de vista da pes-quisa em Equa¸cões Diferenciais Parciais, está, em primeiro lugar, na possibilidade de serem usados como modelos matemáticos para fenômenos termo-elásticos e, em segundo lugar, por se constituir numa área fértil de aperfei¸coamento de técnicas modernas de pesquisa de solu¸cões fracas (solu¸cões no sentido das dis-tribui¸cões) e de análise do comportamento assintótico de tais solu¸cões.

Trata-se de uma atividade de pesquisa no campo das Equa¸cões Diferenciais Parciais envolvendo um tipo de equa¸cão não linear de evolu¸cão, estando, por-tanto, de acordo com os objetivos da Linha de Pesquisa Equa¸cões de Evolu¸cão

n˜ao Lineares do Grupo de Pesquisa Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. Como

resul-tados de pesquisa nesta linha, já foram produzidos diversos trabalhos em parceria com outros pesquisadores do grupo (vide [10], [11], [13], [15] e [16]). Além disso, o projeto contempla os objetivos da Linha de Pesquisa Modelagem Matemática do Grupo de Pesquisa em Ensino de Ciências e Educa¸cão Matemática qunto à atividades de inica¸cão cient´ıfica de alunos de Licenciatura em Matemática e em F´ısica. No tocante à esta atividade já foram preparados diversos alunos para in-gresso na pós-gradua¸cão, os quais conclu´ıram seus planos de trabalho no âmbito do Programa de Bolsas de Inicia¸cão Cient´ıfica referentes a cotas anteriores.

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Os bons resultados obtidos pelo grupo em atividades de pesquisa e na pre-para¸cão de alunos para o engajamento em programas de pós gradua¸cão e pesquisa na região, estimulam os integrantes do grupo a continuarem com essa linha de trabalho. No que se refere à prepara¸cão de alunos de inicia¸cão cient´ıfica, es-tamos encaminhando em anexo, como um sub-projeto, proposta de plano de trabalho para um aluno de Matemática, objetivando dar uma prepara¸cão básica em Equa¸cões Diferenciais Ordinárias - EDO e tratar modelos matemáticos em problemas concretos como estragégia de ensino e aprendizagem em sala de aula em n´ıvel superior e modelos matemáticos em Geometria para uso em sala de aula em n´ıvel médio.

A estratégia é aproveitar bem a base matemática adquirida pelo aluno nos dois cursos iniciais de Cálculo Diferencial e Integral, trabalhar os conceitos básicos de equa¸cões e sistemas de EDO e abordar problemas concretos. Desta forma es-taremos melhorarando a forma¸cão matemática desse aluno promovendo um apro-fundamento em tópicos extra curriculares. Com isso podemos esperar no futuro um bom desempenho desse aluno em programas de pós-gradua¸cão e pesquisa na área. A nossa experiência indica resultados positivos com projetos semelhantes.

1.5 Metodologia

A metodologia a ser adotada no trabalho de pesquisa com o problema (1.1), que se constitui no projeto de pesquisa do orientador, est´a descrita nas quatro etapas a seguir resumidas:

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CAPÍTULO 1. PROJETO DE PESQUISA DO ORIENTADOR 9 fun¸cão h de modo a analisar as questões de unicidade de solu¸cões.

Etapa 2 - Considerar interseçcão não vazia na parti¸cão da fronteira e apro-xima¸cões lipschitziamas para a fun¸cão h para análise do desenvolvimento de singularidades das solu¸cõese do problema aproximado.

Etapa 3 - Pesquisar os casos particulares para a dimens˜ao onde as singulari-dades podem ser eliminadas no caso de h satisfazendo uma condi¸c˜ao de Lipschitz.

Etapa 4 - Obten¸c˜ao de stimativas a priori e efetuar a passagem ao limite bus-cando solu¸c˜oes doproblema geral.

Quanto ao plano de trabalho para o aluno de inicia¸c˜ao cient´ıfica, este se constitui em um sub-projeto e est´a detalhado no Cap´ıtulo 2 deste documento.

1.6 Cronograma de Execu¸c˜

ao

O projeto de pesquisa est´a proposto, como meta, para ser desenvolvido em um ano obedecendo ao cronograma esquematizado na Tabela 1.1 a seguir.

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Tabela 1.1: Cronograma do Projeto Ano/Mˆes 2 0 0 8 2 0 0 9 Etapa 08 09 10 11 12 01 02 03 04 05 06 07 1 X X X 2 X X X 3 X X X 4 X X X

(13)

Cap´ıtulo 2

Modelagem Matem´

atica para

Problemas de F´ısica: Uma

Estrat´

egia de Aprendizagem de

Equa¸c˜

oes Diferenciais

Ordin´

arias

2.1 Introdu¸c˜

ao

A questão da representa¸cão, por um modelo matemático, de um problema real de F´ısica, Engenharia ou de outra natureza, em sua forma exata e conside-rando toda a sua complexidade, é, em geral, muito dif´ıcil de ser abordada. As dificuldades podem ser de diversas ordens. A principal delas surge quando da

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identifica¸cão de todas as variáveis envolvidas no fenômeno. Em seguida surge a questão de mensurar as rela¸cões entre as variáveis (o que efetivamente pode conduzir às equa¸cões matemáticas) e finalmente surge a questão da resolu¸cão propriamente dita das equa¸cões, podendo, nesta etapa, aparecer dificuldades ma-temáticas muito sérias e até mesmo imposs´ıveis de serem resolvidas com os atuais conhecimentos. Contudo, se considerarmos um conjunto m´ınimo de variáveis

es-senciais do fenˆomeno observado e simplificando o modelo matem´atico para

simu-lar o fenômeno, de modo a produzir equa¸cões pass´ıveis de resolu¸cão, as solu¸cões encontradas podem ser bem próximas daquelas observadas no problema real. Na modelagem de um fenômeno ou um experimento qualquer, obtém-se equa¸cões que envolvem as varia¸cões das quantidades presentes e definidas como essen-ciais. Assim, as leis que regem o fenômeno podem ser traduzidas em termos de equa¸cões de varia¸cões. Quando o fenômeno se desenvolve continuamente, ou pode ser considerado aproximadamente dessa natureza, podemos determinar varia¸cões instantâneas, por meio de um processo de passagem ao limite, e as equa¸cões resultantes são equa¸cões diferenciais.

Uma equa¸cão da forma F (t, y, y0_{, . . . , y}(n)_{) = 0, onde a incógnita é uma}

fun¸cão y de uma variável t, chama-se Equa¸cão Diferencial Ordinária (EDO). Muitas leis gerais da F´ısica, Biologia e outras ciências têm sua expressão natural como equa¸cões ou sistemas deste tipo de equa¸cões.

O estudo das EDO come¸cou com os métodos do Cálculo Diferencial e In-tegral, sistematizados por Newton e Leibnitz por volta do final do Século XVII, e elaborados a partir de motiva¸cões f´ısicas e geométricas. Esses métodos evo-luiram e conduziram à consolida¸cão das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias como um campo independente dentro da Matemática. A teoria das EDOs se distingue tanto por sua riqueza de idéias e métodos como por sua aplicabilidade.

(15)

CAP´ITULO 2. SUB-PROJETO DO ALUNO 13

2.2 Objetivo Geral

O objetivo geral deste sub-projeto é examinar algumas aplica¸cões das equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem, e de sistemas de tais equa¸cões, a pro-blemas do âmbito da F´ısica. Serão tratados os métodos de resolu¸cão e alguns métodos numéricos, bem como abordagem em diferen¸cas finitas. Para cada modelo estabelecido será analisada a sua adequa¸cão à realidade e discutidas as (poss´ıveis) alternativas para seu aperfei¸coamento.

2.3 Objetivos Espec´ıficos

Os objetivos espec´ıficos pretendidos neste sub-projeto consistem na aborda-gem dos seguintes t´opicos:

2.3.1 - Introdu¸cão à teoria das equa¸cões diferencias ordinárias lineares. Aplica¸cão em problemas de resfriamento de corpos, dilui¸cão de substâncias, espelho parabólico e problemas de Macânica.

2.3.2 - Algumas equa¸cões diferenciais ordinárias não linenares com aplica¸cões a popula¸cões biológicas: Modelo de Verhulst.

2.3.3 - Introdu¸c˜ao aos sistemas de equa¸c˜oes lineares. Estudo qualitativo e espa¸co de fase.

2.3.4 - EDO de segunda ordem e aplica¸cões a movimento de projéteis, oscilador harmônico, Lei da Gravita¸cão Universal e as Leis de Kepler.

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2.3.5 - Métodos numéricos de passo simples e passo duplo. Implementa¸cão do Método de Runge-Kutta.

2.3.6 - Estudos de outros modelos e uso dos softwares Maple e Mathematica para tra¸cado de gr´aficos e compara¸c˜ao de modelos.

2.4 Justificativa

Destacamos na Introdu¸cão deste cap´ıtulo a importância das Equa¸cões Dife-renciais Ordinárias como um campo próprio da Matemática e rico em aplica¸cões, particularmente em F´ısica. É certo que alguns curr´ıculos dos cursos de Licenci-atura em F´ısica contemplam, em geral, uma disciplina de Equa¸cões Diferencias Ordinárias, normalmente ministrada em um semestre letivo com cerca de 60 horas, como é o caso da UEPB. No entanto, essa disciplina se restringe a apre-sentar uma lista de tipos de Equa¸cões Diferencias Ordinárias com as respectivas técnicas de resolu¸cão, se transformando em um receituário que, na prática, se resume a uma lista estéril de resolu¸cão de integrais.

Um aluno de F´ısica que está segundo ano do curso, tendo já cursado um ano de Cálculo Diferencial e Integral e um semestre de Geometria Anal´ıtica, com disponibilidade de tempo para uma dedica¸cão extra-curricular, e desejando inte-grar os fundamentos dessas disciplinas em um programa de inicia¸cão cient´ıfica no campo da Equa¸cões Diferencias Ordinárias, no qual sejam trabalhados conteúdos a partir de modelos para fenômenos da natureza, obterá uma boa experiência para a sua forma¸cão de f´ısico e de professor de F´ısica, a qual será muito útil para sua vida profissional e, caso deseje, fundamental para a continuidade de estudos de pós-gradua¸cão. Essa é a justificativa para o plano aqui proposto.

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2.5 Material e M´

etodos

O material a ser utilizado durante a fase de acumula¸cão de conhecimentos, compreensão dos problemas e dom´ınio das ferramentas matemáticas básicas será a bibliografia recomendada pelo orientador.

Semanalmente o aluno terá uma sessão de trabalho de duas horas com o orientador, quando apresentará oralmente parte do material estudado, oportuni-dade para serem sanadas as dúvidas existentes e feitos os encaminhamentos para o andamento do projeto.

Periodicamente, após o aluno ter acumulado uma quantidade suficiente de informa¸cões, serão programadas algumas exposi¸cões dirigidas para os alunos do Curso de Licenciatura em F´ısica e, com modelos simplificados, para alunos dos cursos de n´ıvel médio da UEPB. Tais atividades possibilitam que o bolsista possa atuar como elemento multiplicador de conhecimentos matemáticos e aplica¸cões, com resultados positivos para outros alunos.

Em paralelo `as atividades do projeto o aluno aprender´a LA_{TEX, um conjunto}

de comandos (macros) para o TEX, o qual, por sua vez, é um programa para edi¸cão de textos com excelente apresenta¸cão gráfica, largamente utlizado como padrão para elabora¸cão de documentos cient´ıficos. Além disso, o aluno cumprirá as atividades normais do seu curso de gradua¸cão e a avalia¸cão no final de cada per´ıodo será feita, pelo orientador, considerando-se o desempenho do aluno em todas as atividades do projeto.

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2.6 Plano de Trabalho do Aluno

O plano de trabalho do aluno bolsista ser´a desenvolvido obedecendo `as se-guintes etapas:

Etapa 01: Agosto e Setembro de 2008

Programa: Alguns conceitos básicos de Cálculo Avan¸cado e de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias.

Etapa 02: Outubro, Novembro e Dezembro de 2008.

Programa: Teorema de existência e unicidade para EDO. Equa¸cões line-ares e não lineline-ares. Estudo de modelos de F´ısica.

Etapa 03: Janeiro e Fevereiro de 2009

Programa: Sistemas de EDO. Estabilidade e espa¸co de fase. Linea-riza¸c˜ao. O modelo n˜ao linear presa-predador de Lotka-Volterra Etapa 04: Mar¸co e Abril de 2009

Programa: Estudo das EDOs de segunda ordem. Aplica¸cões em proble-mas de vibra¸cões mecânicas, Lei da Gravita¸cão Universal e as Leis de Kepler.

Etapa 05: Maio, Junho e Julho de 2009

Programa: Estudos de alguns métodos numéricos de passo simples e passo duplo. Implementa¸cão do Método de Runge-Kutta usando pla-nilhas e programa¸cão em Pascal. Tra¸cados de gráficos usando os softwares Mathematica e Maple.

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2.7 Cronograma de Execu¸c˜

ao

Este sub-projeto est´a proposto para ser desenvolvido em um ano obedecendo ao seguinte cronograma esquematizado na Tabela 2.1 a seguir.

Tabela 2.1: Cronograma de Execu¸c˜ao Ano/Mˆes 2 0 0 8 2 0 0 9 Etapa 08 09 10 11 12 01 02 03 04 05 06 07 1 X X 2 X X X 3 X X 4 X X 5 X X X

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2.8 Or¸camento

Meterial de Consumo

Qtd. Valor Unit. Valor Total

Cartucho de tinta preta

2 45,00

90,00

Cartucho de tinta colorida

2 50,00

100,00

Fotoc´opias

400 0,05

20,00

Livros

2 45,00

90,00

Compact Disk (CD - R)

20 0,50

10,00

Compact Disk (CD - RW)

5 2,00

10,00

Resma de papel A4

3 12,00

36,00

Encaderna¸c˜oes

2 2,00

4,00

Confec¸c˜ao de poster

1 40,00

40,00

Total Geral do Or¸camento

400,00

(21)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] BREZIS, H.: Analyse Fonctionelle, Th´eorie et Applications, Dunod, Paris, 1999.

[2] CHEN, G.: Energy decay estimates and exact boundary value

controllabi-lity for the wave equation in a bounded domain, J. Math. Pures et Appl.,

(9) 58, 249-274, 1979.

[3] CHEN, G.: Control and stabilization for the wave equation in a bounded

domain I-II, SIAM J. Control and Opt. 17, 66-81, 1979, 19, 114-122, 1981.

[4] CHEN, G.: A note on the boundary Ssabilization of the wave equation, SIAM J. Control and Opt., 19, 106-113, 1981.

[5] FIGUEIREDO, D. & NEVES, A.: Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas,

IMPA/CNPq, Cole¸cão Matemática Universitária, 1997.

[6] GRISVARD, P.: Contrôlabilité exacte avec conditions mêlées, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Math. 305, 363-366, 1987.

[7] GRISVARD, P.: Contrôlabilité exacte des solutions de l’équations des

ondes en pr´esence de singularit´es, J. Math. Pures et Appl., 68, 215-259,

1989.

(22)

[8] KOMORNIK, V. & ZUAZUA, E.: A direct method for boundary

stabiliza-tion of the wave equastabiliza-tion, J. Math. Pure et Appl., 69, 33-54, 1990.

[9] LIONS, J. L. & MAGENES, E.: Probl`emes aux Limites Non Homogenes

et Applications, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, vol. 1, 1968.

[10] LIMA, O. A. and CLARK, M. R.: Mathematical analysis of a nonlinear

system, London, Nonlinear Analysis, 45(2001), 343-361.

[11] LIMA, O. A. and CLARK, M. R.: Existence of solutions for a variational

unilateral system, New York, EJDE, 22(2002), 1-18.

[12] LIONS, J. L.: Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites

non lin´eaires, Paris, Dunod, 1969.

[13] MACIEL, A. B. & CLARK, M. R.: On a mixed problem for a nonlinear

k × k system, New York, International J. of Appl. Math., Vol. 9, 2(2002),

207-218.

[14] MACIEL, A. B.: On Hyperbolic-Parabolic Equations with a Continuous

Nonlinearity, NonLinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol.

20, n0_{6, 745-754, 1993.}

[15] MACIEL, A. B. & ARARUNA, F. D.: On boundary value problem of the

semilinear wave equation, Anais do 610 _{SBA, S˜ao Jo˜ao del Rei, 4-11, 2005.}

[16] MACIEL, A. B. & ARARUNA, F. D.: Existence and boundary stabilizatin

of semilinear wave equation, Nonlinear Analysis, vol 67, 1288-1305, 2007.

[17] MEDEIROS, L. A. & MILLA MIRANDA, M.: Weak solutions for a

sys-tem of nonlinear Klein-Gordon equations, Parma, Annali di Mat. Pura ed

(23)

[18] MEDEIROS, L. A. & PERLA MENZALA, G.: On a mixed problem for a

class of nonlinear Klein-Gordon equations, Hamburg, Acta Math. Hung.,

52(1988), 61-69.

[19] MENZALA, G.: On classical solutions of a quasilinear hyperbolic

equa-tion, New York, Nonliner Analysis, TMA, N.3, 1979, 613-627.

[20] MILLA MIRANDA, M.: Tra¸co para o Dual dos Espa¸cos de Sobolev, Bol. Soc. Paran. Matem´atica (2a _{s´erie) 11(2), 131-157, 1990.}

[21] MILLA MIRANDA, M. & MEDEIROS, L. A.: Hidden Regularity for

Se-milinear Hyperbolic Partial Differential Equations, Annales Facult´e des

Sciences de Toulouse, vol. IX, n0 _{1, 103-120, 1988.}

[22] MILLA MIRANDA, M. & MEDEIROS, L. A.: On a Boundary Value

Pro-blem for Wave Equation: Existence Uniqueness-Asymptotic Behavior,

Rev. Mat. Apl. Universidad de Chile, 17: 47-73, 1996.

[23] NAKAO, M.: Decay os solutions of some nonilinear evolution equations, Journal of Math. Ana. and Appl., N.60, 1977, 542-549.

[24] QUINN, J. P. & RUSSEL, D. L.: Asymptotic Stability and Energy Decay

Rates for Solutions of Hyperbolic Equations with Boundary Damping,

Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 77, 97-127, 1977.

[25] SIMMONS, G.: Differential Equations with applications and historical

notes, McGraw-Hill Bok Company, 1972.

[26] ZUAZUA, E.: Stability and Decay for a Class of Nonlinear Hyperbolic

Problems, Asymptotic Analysis 1, 161-185, 1988.