Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas

Universidade Federal de Lavras

Departamento de Ciências Exatas

Dependência via Cópulas

Devanil Jaques de Souza Lucas Monteiro Chaves

Variável aleatória bi-dimensional

(

X Y

,

)

~

F

X Y,

( )

x y

,

Variável aleatória bi-dimensional

(

X Y

,

)

~

F

X Y,

( )

x y

,

As

marginais:

F

_X

( )

x e

F

_Y

( )

y

Variável aleatória bi-dimensional

(

X Y

,

)

~

F

X Y,

( )

x y

,

As

marginais:

F

_X

( )

x e

F

_Y

( )

y

A estrutura de dependência entre X e Y

O coeficiente de correlação de Pearson

(

)(

)

(

)

2

(

)

2 ,

,

X Y X Y X Y X Y E X E Y

E X

Y

Cov X Y

μ μ

μ

μ

σ σ

ρ

⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎡⎢_⎣ ⎤⎥_⎦ = ⎡ ₋ ⎤ ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−

−

=

, , X Y aX b cY d

ρ

=

ρ

_{+ +}

Problema: Capta dependência linear

1

Como modelar outras dependências:

Tau de Kendall amostral

Uma amostra bivariada de tamanho n:

(

x y1, 1

)

,

(

x y2, 2

)

, ...,

(

xn,yn

)

c – número de pares concordantes

(

x_i−x_j

)(

y_i −y_j

)

>0

d – número de pares discordantes

(

x_i−x_j

)(

y_i −y_j

)

<0

O coeficiente Tau de Kendall amostral

:

c d

t

c d

−

=

+

Tau de Kendall populacinal

(

X Y1, 1

)

e

(

X Y2, 2

)

duas cópias independentes de uma população FX Y, .

Probabilidade de concordância do tipo 1

P _c1 =P_⎣⎡

(

X₂−X₁

)(

Y₂−Y₁

)

>0⎤_⎦ 2 F_{X Y,}

( )

x y f, _{X Y,}

( )

x y dx dy,

∞ ∞

−∞ −∞

=

_{∫ ∫}

, Probabilidade de discordância do tipo 1

P _d1 =P⎡_⎣

(

X₂ −X₁

)(

Y₂−Y₁

)

<0_⎦⎤= −1 P _c1 Tau de Kendall populacional ₁

1

c _d

Se X e Y têm distribuição conjunta normal bivariada então

`

τ =

2

arcsin

ρ

(

) (

)

sgn sgn i j j i j i A = X −X Y −Y

(

j≠i

)

( )

1 caso 0 sgn -1 caso 0 u u u > ⎧ = ⎨ _< ⎩

(

)

1 1 1 2 1 n n i j i j i T A n n − = = + = −

∑ ∑

O RHO de Spearman amostral

Amostra

(

x y₁, ₁

) (

, x y₂, ₂

)

,...,

(

x_n,y_n

)

de uma população bivariada

(

X Y,

)

. Sejam

(

p q1, 1

) (

, p q2, 2

)

,...,

(

p qn, n

)

os respectivos postos.

(

)

2 1 n i i i S p q = =

∑

− .

O Rho de Spearman amostral

(

)

(

)(

)

(

) (

)

2 2 2 1 1 1 6 1 1 n i i i n n i i i i P P Q Q S R n n P P Q Q = = = − − = − = − − −

∑

∑

∑

O RHO de Spearman populacional

(

X Y_i, _i

)

,

(

X Y_j, _j

)

e

(

X Y_k, _k

)

três cópias independentes de uma população bivariada e contínua

(

X Y,

)

.

Probabilidade de concordância do tipo 2: P _c2 =P_⎣⎡

(

X_j −X_i

)

(

Y_k −Y_i

)

>0⎤_⎦ Probabilidade de discordância do tipo 2:

2

d

P =P_⎣⎡

(

X_j−X_i

)

(

Y_k −Y_i

)

<0⎤_⎦

RHO de Spearman populacional

(

2 ₂

)

2 ₂

3 6 3 3 6

S c _d c _d

Relação entre o RHO de Spearman e o coeficiente de correlação produto-momento de Pearson

X e Y com distribuição conjunta normal bivariada: 6 arcsin 2 S ρ ⎛ ⎞ ρ = _{⎜ ⎟} π _{⎝ ⎠}

Variável aleatória bidimensional

(

X Y

,

)

( )

( )

( )

( )

,

,

,

X Y X Y

F

x y

F

x

F

y

x y

⎧ ⎪ ⎪ → ⎨ ⎪ ⎪⎩

( )

( )

(

F

X

x F

, Y

y

)

→

F

X Y,

( )

x y

,

Uma cópula

Sejam

I

=

⎡_⎣

0,1

⎤_⎦

( )

u v

,

∈

I

2

Cópula bi-dimensional: uma função

C I

:

2

→

I

P1 -

C

( ) ( )

0,

v

=

C u

,0

=

0

,

C u

( )

,1

=

u

e

C

( )

1,

v

=

v

P2 -

C b d

( ) ( ) ( )

,

−

C a d

,

−

C b c

,

+

C a c

( )

,

≥

0

em que

a<b

c<d

v C(u,v)

Exemplos de Cópulas

E1 -

C u v

_I

( )

,

=

u v

Desigualdade de Fréchet-Hoeffding:

Se

C u v

₀

( )

,

=

max

{

u v

+ −

1,0

}

e

C u v

₁

( )

,

=

min

{ }

u v

,

então

( ) ( )

( )

0

,

,

1

,

C u v

≤

C u v

≤

C u v

Teorema de Sklar:

Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuições marginais

( )

P

[

]

X F x = X ≤x

G_Y

( )

y =P

[

Y ≤ y

]

e

distribuição

conjunta

( )

[

]

, , P , X Y H x y = X ≤x Y≤ y

.

Então, tomando-se

u=F_X

( )

x

e

v=G_Y

( )

y

,

( )

(

1

( )

1

( )

)

, , _{X Y X} , _Y C u v =H F− u G− v

é uma cópula.

Além disso:

• para quaisquer

FX

( )

x

e

GY

( )

y

e qualquer cópula

( )

,

C u v

,

HX Y,

( )

x y, =C F

(

X

( )

x G, Y

( )

y

)

é uma conjunta

admissível.

• se

FX

( )

x

e

GY

( )

y

são contínuas, para cada conjunta

(

)

, ,

X Y

H x y

admissível existe uma e somente uma cópula

( )

,

Propriedade: Se

f

( )

.

e

g

( )

.

são funções

estritamente crescentes então

, _, U V _{f U g V}

C

C

_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

Cópulas e o TAU de Kendall τ 4 F_{X Y,}

( )

x y f, _{X Y,}

( )

x y dx dy, 1 ∞ ∞ −∞ −∞ =

_{∫ ∫}

−

( )

2

( )

1 1 0 0 , 4 C u v, C u v du dv 1 u v ∂ = − ∂ ∂

∫ ∫

Cópulas e o RHO de Spearman

ρ _S 12 F_X

( ) ( )

x F_Y y f_{X Y,}

(

x y,

)

3 ∞ ∞ −∞ −∞ =

∫ ∫

−

( )

2 1 1 0 0 , 12 u v C u v du dv 3 u v ∂ = − ∂ ∂

∫ ∫

Construção de Cópulas

-

Método da mistura (compound)

Exemplo:

( )

(

)

P | 1 P P | 1 1 ~ , x r X x e X x E X x x Gama r γ γ

γ

γ

λ

γ

λ

− − ⎧ ⎡ ⎤ = ⎪ ⎣ ⎦ _{⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤⎤} ⎨ _{⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎦} ⎪⎩ ≤ − → ≤ = ≤ = − + 1

X

e

X₂

independentes, a menos de um risco

γ

.

F x x

(

1, 2

)

( )

( )

(

( )

)

(

( )

)

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 r r r F x F x F x − F x − − ⎡ ⎤ = + − _⎢ − + − − _⎥ ⎣ ⎦

C u v

( )

, 1 1

(

)

1

(

1

)

1 1 r r r u v u − v − − ⎡ ⎤ = + − _⎣ − + − − _⎦

Construção de Cópulas

- Cópulas

Arquimedianas

: 0,1 0,

φ

⎡_⎣ ⎤_⎦→⎡_⎣ ∞⎤_⎦

função convexa estritamente decrescente

( ) ( )

(

)

( )

1 , u v C u v

φ

⎡ ⎤

φ

φ

⎣−⎦ + =

( )

( )

( )

( )

1 1 0 0 0 t t t t

φ

φ

φ

φ

⎡ ⎤ ⎣ ⎦ − − ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ≤ = ≥

( )

.

φ função geradora da cópula

_{( )}

1

(

_{( ) ( )}

)

,

Ajuste de Cópulas:

τ

( )

( )

2 1 1 0 0 , 4 C u v, C u v du dv 1 u v ∂ = − ∂ ∂

∫ ∫

Os dados: X – índice de estresse hídrico da região de Castro – Paraná Y – produtividade de soja no município de Castro – Paraná

Período de 1980/1981 a 2007/2008

(

1.156, 1.147, ..., 1.2446

)

X =

(

2200, 2134, ..., 3126

)

Y =

(

,

)

0.47 Corr X Y =

As cópulas e a relação entre os parâmetros e o Tau de Kendall

( )

(

)

(

) (

)

( )

( )

(

)

( )

(

)(

)

1 1 1 1 1 ,

Família Expressão , parâmetro Tau de Kendall

Clayton max 1 ,0 1 +2 Gumbel exp ln ln 1 1 2 Normal , 1 1 arcsin 2 Morgenstern 1 1- 1 1 1 9 U V X Y C u v u v u v N N u N u uv u v θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ρ ρ π θ θ θ − − − − − − ⎛_{⎡ + − ⎤} ⎞ _{≥ −} ⎜_{⎣ ⎦} ⎟ ⎝ ⎠ ⎧_{− −⎡ + − ⎤} ⎫ _{≥ −} ⎨ _{⎣ ⎦} ⎬ ⎩ ⎭ − ≤ ≤ + − − ≤ ≤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Clayton 1.024 Gumbel 1.512 0.3386 Normal 0.518 Morgenstern NA θ θ τ ρ = ⎧ ⎪ ₌ ⎪ = _{→ ⎨} = ⎪ ⎪⎩

Qualidade do ajuste

Método gráfico: comparar o scatter plot de uma amostra grande da

cópula ajustada e os pontos

(

R_i

(

n+1 ,

)

S_i

(

n+1

)

)

(suporte da cópula

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0. 0 0 .2 0. 4 0 .6 0. 8 1 .0 Clayton(1,024) samp.clayton[, 1] sa m p .c la yt o n [, 2 ] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0. 0 0 .2 0. 4 0 .6 0. 8 1 .0 Gumbel-Hougaard(1,512) samp.gumbel[, 1] s a m p .gum bel [, 2]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .0 0 .2 0. 4 0 .6 0. 8 1 .0 Clayton(1,024) samp.clayton[, 1] sa m p .c la yt o n [, 2 ] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .00 .2 0 .40 .6 0 .81 .0 Normal(0,518) samp.normal[, 1] s a mp .n o rma l[ , 2 ]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0. 0 0 .2 0 .4 0 .6 0. 8 1 .0 Gumbel-Hougaard(1,512) samp.gumbel[, 1] s a mp .g u m b e l[, 2 ] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .00 .2 0 .40 .6 0 .81 .0 Normal(0,518) samp.normal[, 1] s a m p .n or m a l[ , 2]

Referências

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