Modelos Biomecânicos para o estudo do Osso Humano e Projecto de Implantes Ortopédicos

Modelos Biomecânicos para o estudo do Osso

Humano e Projecto de Implantes Ortopédicos

Paulo R. Fernandes

IDMEC – Instituto Superior Técnico

FCT-UNL

Sumário

• Modelo de adaptação óssea

• Implante da anca – modelo de adaptação óssea e modelo de osseointegração

• Optimização de forma da haste da prótese da anca

Modelo de adaptação óssea

• A estrutura óssea pode adaptar-se em resposta à alteração dos estímulos mecânicos.

• Esta adaptação do osso pode ser descrita por leis matemáticas.

• A arquitectura interna do osso depende do estado de tensão e as trabéculas estão alinhadas com as tensões principais.

(Julius Wolff , 1892) • O modelo de adaptação é baseado num modelo de

optimização material.

• O osso é considerado um material poroso, com densidade variável e comportamento ortotrópico.

Modelo material do osso

B A ( ) 1 2 3 1 2 3 1 PONTO B , , B B B B T B B B B a a a µ θ θ θ ⎧ = − ⎪ ⎨ = ⎪⎩θ 1/8 da célula unitária ( ) 1 2 3 1 2 3 1 PONTO A , , A A A A T A A A A a a a µ θ θ θ ⎧ = − ⎪ ⎨ = ⎪⎩θ θ B 1 2 2 B a 1 1 2 B a 1 3 2 B a θ A 1 1 2 A a 1 2 2 A a 1 3 2 A a

Modelo de adaptação óssea

(Problema de optimização)

, 1 min f NC P P P i i P f u d

α

= _Γ ⎡ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ Γ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ _{⎝ ⎠} ⎣

∑

∫

a θ _Ω ( ) ⎤ + _Ω⎥ ⎥⎦

∫

b d

κ µ

a trabalho das forças aplicadas (maximizar rigidez) massa total de osso sujeito a 0 ≤ ≤a_i 1 , i =1,2,3 equação de equilíbrio

Lei de adaptação óssea

(

condição necessária de óptimo)

→ parâmetros constantes em cada elemento finito

estacionaridade em relação aos parâmetros da microcélula, a:

( ) ( )

1 0 e _e NC ijkl P P kl ij e e P E e e

∂

_µ

κ

∂

= ⎡ ⎤ _∂ + ⋅ = ⎢ ⎥ _∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑

u v a a

(traduz o equilíbrio de remodelação óssea)

A solução numérica da equação permite-nos calcular a distribuição da densidade relativa.

Resultados de adaptação óssea

1 1 2 2 3 3

Resultados de adaptação óssea

1 1 2 2 3 3

Resultados tridimensionais

a F ₃ 2 F_h 1 x y z 1 2 3 Cargas multiplas; κ=0.01

Resultados tridimensionais

0 50 100 150 200 250 0.25 0.5 1 1.5 2 Load factor

Hard Tissue Bone Mass (g)

k = 0.01 k = 0.05 k = 0.1 k = 0.25 k = 0.5

Modelo de adaptação óssea

(em torno de hastes não cimentados)

Modelo de adaptação óssea

+

Modelo de osseointegração

h F 1 2 3 a F 1 ₂ 3 z x y

+

Osseointegração

• a osseointegração não ocorre em toda a zona revestida

• onde ocorre a osseointegração?

• a combinação do modelo de remodelação óssea e de um modelo de osseointegração permite-nos simular o comportamento do osso desde uma situação pós-operativa imediata

Modelo de osseointegração

• Logo após a cirurgia não existe osseointegração

• zonas não revestidas - contacto sem atrito • zonas revestidas - contacto com atrito

• Em cada iteração o deslocamento relativo da interface osso/haste é calculado

• Se existir contacto e o deslocamento relativo osso/haste for inferior a valor admissível, a osseointegração é possível

• zonas não revestidas - contacto sem atrito

Modelo computacional

Inicializar a0, θ0 e

condições interface

Calcular Eh

ijkl(a,θ)

Elementos Finitos – ABAQUS equação de estado: uP_, τ

nP, τtP

equação adjunta: vP

Verificar condições óptimo SIM STOP

Actualizar ak, θk → modelo remodelação

e condições interface → modelo osseointegração NÃO

k=k+1

Casos carga Carga F_x(N) F_y(N) F_z(N) F_a -768 -726 1210 1 F_h 224 972 -2246 F_a -166 -382 957 2 F_h -136 630 -1692 F_a -383 -669 547 3 F_h -457 796 -1707 h F 1 2 3

Modelo de elementos finitos

a

F

1 ₂

3

haste “circular” haste “rectangular”

z x y

• densidade inicial uniforme e não uniforme • diferentes extensões de revestimento

• κ=0.02, m=2

Evolução da adaptação óssea e da osseointegração - parcialmente revestida, Co-Cr

secções corte – vista posterior corte – vista anterior

Resultados de adaptação óssea

Haste “circular” em Co-Cr – diferentes extensões do revestimento

parcialmente revestida totalmente revestida

Resultados de adaptação óssea

Haste “circular” totalmente revestida – diferentes materiais

cobalto crómio titânio

Evolução do processo

0.5 1

0 50

trabalho das forças aplicadas

volume da massa óssea

0.5 1

0 50

trabalho das forças aplicadas

volume da massa óssea

haste “rectangular” haste “circular”

fino – haste em titânio

espesso – haste em Co-Cr densidade inicial uniforme

coeficiente de atrito = 0.6

deslocamento tangencial admissível = 50 µm

não revestido

parcialmente revestido totalmente revestido

Resultados de osseointegração – haste “rectangular” em Co-Cr

densidade inicial não uniforme

parcialmente revestida 25 µm valor admissível 50 µm valor admissível totalmente revestida 50 µm valor admissível 25 µm valor admissível zonas com osseointegração

Resultados de osseointegração – haste “circular” em Co-Cr

densidade inicial não uniforme

totalmente revestida parcialmente revestida 25 µm valor admissível 50 µm valor admissível 25 µm valor admissível 50 µm valor admissível zonas com osseointegração

Deslocamentos interfaciais – haste “circular” em Co-Cr

iteração inicial, caso carga 1

parcialmente revestida

desloc. normal desloc. tangencial

totalmente revestida

desloc. normal desloc. tangencial

com contacto separação

< 25 µm 25-50 µm

Deslocamentos interfaciais – haste “rectangular” em Co-Cr

iteração inicial, caso carga 1

desloc. normal desloc. tangencial

parcialmente revestida

desloc. normal desloc. tangencial

totalmente revestida

com contacto separação

< 25 µm 25-50 µm

Optimização de forma da haste da prótese

Para hastes não cimentadas, a estabilidade inicial permite o intra-crescimento do osso para os poros do revestimento, factor essencial para uma boa fixação biológica.

• A estabilidade inicial depende dos deslocamentos relativos e das tensões na interface.

Optimização de forma da haste

Para estudar a relação entre a forma da haste e a estabilidade inicial, foi desenvolvido um processo de optimização de forma da haste de modo a:

• minimizar o deslocamento relativo na interface osso/haste;

• minimizar a tensão normal na interface osso/haste;

• processo de optimização multi-objectivo com as duas funções.

Problema de optimização

⎛ ⎞

_⎟

⎛ ⎞

_⎟

⎜

_⎟

₊

⎜

_⎟

₌

⎜

_⎟

_⎟

⎜

_⎟

_⎟

⎜

⎜

⎝ ⎠

⎝ ⎠

p p

x

y

1

a

b

a=b p=4.5 a=b p=2

Problema de optimização

i d min f j i h (d ) 0≤

• Para um caso de cargas múltiplas:

sujeito a, (l_i)_min≤d_i≤(l_i)_max α =

∑

P P 1 c 2 t n c

1

f

d

Γ

=

τ

Γ

Γ

∫

0 0 d d t t mc d _{i 0} t _{i 0} d d t t

f

f

f

f

f

f

f

f

f

−

−

= β

+ β

−

−

c 5 2 rel d t c

10

f

u

d

Γ

=

Γ

Γ

∫

Problema de optimização

i

d

min f sujeito a,

(l_i)_min≤d_i≤(l_i)_{max Constrangimentos para} assegurar uma forma admissível

j i

Problema de optimização

1 1 4 2 4 7 3 7 10 3 4 7 11 5 10 14 5 6 15 11 7 2 5 8 5 8 9 8 12 10 12 16 11 14 10 11 7 14 12 10 h d d h d d h d d c h d d h d d c h d d h d d h d d h d d h d d h d d c d d h d 2 = − = − = − + = − = − + = − = − = − = − = − = − + + = − i d min f sujeito a, (l_i)_min≤d_i≤(l_i)_max j i h (d ) 0_{j i} ≤ h (d ) 0≤

Problema de optimização

j i h (d ) 0≤ _{3 7 10 3} 5 10 14 5 11 14 10 11 h d d c h d d c h d d c = − + = − + = − + c₃=3.5 c₅=3.5 c₁₁=-9

Problema de optimização

7 14 12 10 d d h d 2 + = − j i h (d ) 0≤

Modelo numérico

marrow _{Cortical bone} Trabecular bone

Modelo numérico

O coeficiente de atrito depende do revestimento Foram consideradas duas situações: totalmente revestido (coated) e não revestido (uncoated)

0.6 - coated 0 - uncoated ϑ =

Modelo numérico

x – medial – lateral

y – anterior – posterior z – inferior – superior

Foram considerados 3 casos de carga simulando diferentes actividades diárias.

Minimizar f_d

Resultados – caso de carga 2

Resultados – f

_d

Deslocamentos tangenciais – hastes revestidas (coated)

Inicial

Optimizadas

< 25 µm

caso carga 2 caso carga 3 caso carga 1

Resultados – f

_d

Deslocamentos tangencias – hastes não revestidas (uncoated)

Inicial

Optimizadas

< 25 µm

caso carga 2

caso carga 1 caso carga 3

Minimizar f_t

Resultados – caso carga 2

Minimizar f_mc – β_d=β_t=0.5

Resultados – caso carga 2

Resultados – f

_mc

Deslocamentos tangenciais – hastes revestidas (coated)

Inicial

Optimizadas

< 25 µm

Caso carga 1 Caso carga 2 Caso carga 3

Componente acetabular

desgaste e geração de calor

-• As articulações artificiais produzem maior atrito que as articulações naturais.

• Este facto origina taxas de desgaste que podem conduzir à falha da prótese.

• O atrito existente aquece a junta, podendo danificar os tecidos biológicos adjacentes e aumentando o desgaste existente.

• Foi desenvolvido um modelo computacional que analisa o desgaste existente e o calor gerado. O modelo permite-nos o cálculo do desgaste na junta e a temperatura nas zonas adjacentes para diferentes materiais, diferentes actividades e diferentes indivíduos.

Modelo de elementos finitos –

modelo de contacto

Contact surfaces

Acetabular Cup

Modelo numérico – distância de escorregamento

θ₃ θ₁ θ₂ X₃ X₁ X₂

Ponto na superfície de contacto: _θ

1 = Flexion/Extension

θ₂ = Abduction/Adduction θ₃ = Internal rotation

Modelo numérico – distância de escorregamento

• As “novas” coordenadas de cada ponto são calculadas através das rotações. • Os ângulos são incrementados para cada instante do ciclo da marcha.

p_N = (R_θ1)(R_θ2)(R_θ3) p_O 1 θ 1 1 1 1 1 0 0 R 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ − _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 θ 2 2 cosθ 0 sinθ R 0 1 0 sinθ 0 cosθ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3 3 3 θ 3 3 cosθ sinθ 0 R sinθ cosθ 0 0 0 1 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ p_O p_N S α a b

• A distância de escorregamento é calculada como o comprimento do arco S.

Modelo numérico – distância de escorregamento

Medial (Flexion axis)

Superior (Rotation axis)

Anterior (Abduction axis)

Calor gerado por atrito

)

(N

c c n

P

A

F

=

Força de contacto

Pc – Pressão de contacto calculada através de FEM Ac – Área de contacto

Energia dissipada por atrito

Calor gerado

(

N ⋅ m

)

= _{ni i} i µF S Q

(

N ⋅ m

)

=

∑

= N 1 i i T Q Q _t

( )

W Q Q T T =  µ é o coeficiente de atrito.

S_i é a distancia de escorregamento para o nó i F_ni é a força de contacto para o nó i

Desgaste Linear e Volum

Desgaste Linear e Volum

é

é

trico

trico

- Desgaste linear:

( )

mm

i i c W i L

K

P

S

W

=

K_w é o factor de desgaste para o par de materiais em contacto. S_i é a distância de escorregamento para o nó I

P_ci é a pressão de contacto para o nó i

- Desgaste volumétrico:

( )

3 i i L V

∑

mm = = N 1 i A W W A_i é a área.

Resultados

Resultados

–

–

Pressão

Pressão

de

de

contacto

contacto

Polietileno – Cobalto Crómio Cobalto Crómio – Cobalto Crómio

Anterior

Superior

P_c Max. = 78,9 MPa P_c Max. = 10,8 MPa

Resultados

Resultados

–

–

Calor gerado / Desgaste

Calor gerado / Desgaste

Desgaste linear Energia dissipada Anterior Superior Desgaste máximo = 0,116 (mm / milhões de ciclos) Calor gerado médio = 1,54

Resultados

Resultados

–

–

Calor gerado / Desgaste

Calor gerado / Desgaste

Desgaste Calor Gerado

Estudo actual Maxian et al Clínico Estudo actual Bergmann et al Davidson et al Linear (mm/ano) 0,116 0,111 0.08 +/-0.07 Volumétrico (mm3_/ano) 25,8 16,0 0 a 225 Calor Gerado (W) 1,54 1,11 1,59

¾TA Maxian et al., A sliding-distance-coupled finite element formulation for polyethylene wear in total hip arthroplasty. J.

Biomechanics 29, 687-692, 1996

¾JA Davidson et al., Wear, creep and frictional heating of femoral implant articulating surfaces and the effect of long-term performance – part II, friction, heating and torque. J. Biomedical Materials Research 22, 69-91, 1988

¾G Bergmann et al., Frictional heating of total hip implants, part 1: measurements in patients and part 2: finite element study

Simulador computacional da articula

Simulador computacional da articula

ç

ç

ão da anca

ão da anca

Um modelo global pode ser utilizado para obter a distribuição da temperatura no implante da anca, incluindo a prótese, osso e tecidos moles adjacentes

Q_MÉD= 1,54 W T_MAX= 46,3 ºC Q_MÉD= 1 W T_MAX= 43,3 ºC Q (W) - Calculado Q (W) - Ajustado

Simulador computacional da articula

Simulador computacional da articula

ç

ç

ão da anca

ão da anca

• O modelo computacional apresentado faz parte do

desenvolvimento de um simulador numérico para a junta articular da anca:

- Forças Aplicadas e Rotações na Articulação para um Paciente Particular - Caracteristicas geometricas e materiais da junta artificial

Modelo de Contacto: Pressões de Contacto na Interface Cúpula / Cabeça

Determinação do Calor Gerado / Desgaste na articulação

Modelo térmico da prótese e tecidos envolventes: distribuição de temperaturas durante um ciclo de actividade

Equipa de investigação

• Paulo R. Fernandes, • João Folgado

• José Miranda Guedes • Helder Rodrigues

• Rui Ruben • Jorge Fialho

• Pedro Coelho (FCT-UNL) • Rogério Rodrigues

Evolução da adaptação óssea e da osseointegração - parcialmente revestida, Co-Cr

medial-anterior lateral-posterior

Resultados de remodelação óssea

Haste “rectangular” totalmente revestida – diferentes materiais

cobalto crómio titânio