Página 1 Guia do Professor I -Introdução:
Atividade: Permutação
Sabe-se que resolver problemas em Análise Combinatória não é uma tarefa muito simples, pois geralmente o aluno confunde arranjo, permutação e combinação, importantes conceitos, acarretando erros significativos. Esse conteúdo gera muitas dúvidas e nem sempre as questões estão absolutamente claras, o que causa muita confusão no raciocínio do aluno. E pela interpretação errônea, constrói o raciocínio inadequado para resolver o problema. Devido a esta situação ele se desmotiva, não procura resolver os exercícios e, conseqüentemente, não aprende o conteúdo o que acarretam falhas no seu processo de aprendizagem.
Nesta atividade serão trabalhados problemas sobre permutação. Dessa maneira, sabe-se que o conceito de permutação expressa a idéia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes. Por exemplo, quando se dá dois passos, um após o outro, podemos ter duas permutações: "pé esquerdo-pé direito" ou "pé direito-pé esquerdo", dependendo apenas do pé que dá o primeiro passo.
O objetivo dessa atividade é que o aluno consiga interpretar e resolver os problemas de permutação propostos com o uso das fórmulas, fazendo isso de forma motivadora e interativa.
II - Objetivos:
· Interpretar o problema proposto reconhecendo que se trata de permutação; · Calcular através das fórmulas disponibilizadas as atividades;
· Avaliar o aprendizado, através dos exercícios propostos na tela “ATIVIDADES”.
III - Pré – requisitos:
Para a realização das atividades é importante que os alunos tenham conhecimento de fatorial.
IV - Tempo previsto para a atividade:
As atividades levaram 2 horas-aula. V - Na sala de aula:
Uma atividade em laboratório em geral, rende mais se o professor realizar todas as etapas da atividade antes de levar os alunos para executá-las, sendo assim poderá ajudar os alunos no caso de terem alguma dúvida.
Sugerimos que o professor prepare com antecedência uma aula que motive seus alunos a realizarem a atividade, acredita-se que o professor terá mais sucesso de
trabalhar em sala de aula com exercícios similares aos que são propostas nas atividades, uma aula antes de ir ao computador.
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Nesta etapa é interessante ser discutido a aplicação do conteúdo:
- Porque é importante o conhecimento do conteúdo? (Se o professor tiver interesse, sugerimos que veja a seção histórico, disponível no tópico Para saber mais).
- Alguém sabe dizer algumas aplicações do mundo real?
Por exemplo: cálculo do número de possibilidades de um determinado número de algarismos diferentes, o número de maneiras diferentes que quatro livros de português, três de história e dois de geografia podem ser dispostos numa mesma prateleira de uma estante de modo que livros de mesma matéria permaneçam juntos.
O assunto pode ser discutido com todo o grupo. Onde depois serão apresentadas as atividades.
O computador poderá auxiliar de forma única, através de simulação/interação as atividades, em que as mesmas seriam menos interessantes se realizadas de forma tradicional.
VI - Na sala dos computadores: Preparação
Ao ir à sala de computadores, ou laboratório de informática, o professor já deve ter trabalhado o conteúdo em sala de aula.
Além disso, como foi exposto anteriormente sugerimos que o professor faça toda a atividade, preparando uma aula, onde esteja claro que o tipo de problema se trata de uma permutação. Por exemplo, da livrariasugerimos que o professor enfatize que todos os elementos entram no grupo.
Material necessário:
- Para o aluno: Rascunho e lápis para efetuar os cálculos propostos pela atividade. - Para o professor: Um quadro, para que o professor possa esclarecer as dúvidas caso elas persistam, uma aula previamente elaborada e caso achar conveniente, questões complementares para explorar de forma mais ampla a atividade.
- Organização da sala: Os alunos poderão sentar em duplas para discutir os exemplos e exercícios propostos.
- Requerimen tos técnicos: Os computadores deverão ter plugins do Flash instalados previamente, pois a atividade proposta, somente funcionará com esse recurso.
VII - Durante a atividade:
A atividade é planejada para que o aluno não necessite da ajuda do professor, este deverá ficar apenas à disposição para qualquer dúvida.
Página 3 VIII - Depois da atividade:
Em uma aula depois de utilizar a atividade, o professor pode solicitar que cada grupo faça a apresentação das suas anotações, tendo por objetivo a interpretação e resolução de problemas de permutação. O professor também poderá pedir que os alunos façam os dois exercícios propostos na seção atividades.
Além disso, o professor poderia explorar algumas curiosidades sobre permutação. Um exemplo interessante está no tópico Para saber mais, e sugerimos que sejam discutidas com os alunos.
IX - Avaliação
Sugerimos para o professor que utilize como avaliação às atividades propostas de forma objetiva na atividade, verificando se os alunos atingiram os objetivos propostos, bem como, uma preparação para o vestibular.
X – Para saber mais Histórico:
Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
Assim, a Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.
Curiosidade:
Uma das grandes aplicações da análise combinatória na criptologia, e talvez a primeira que nos ocorre, é o número de alfabetos cifrantes possíveis. Se considerarmos o alfabeto ocidental da atualidade, com 26 letras, quantos alfabetos cifrantes podem ser obtidos?
Sabemos que um alfabeto cifrante não pode ter letras repetidas e precisa conter todas as letras do alfabeto original. Se apenas as posições das letras são alteradas, sabemos que se trata de uma permutação simples. Então vamos ao cálculo das possibilidades:
P26 = 26!
P26 = 26 · 25 · 24 · ... · 3 · 2 · 1
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Ou seja, o número de alfabetos cifrantes possíveis é maior que espantosos 400 septilhões! Se alguém quiser encontrar um determinado alfabeto cifrante através da "força bruta", ou seja, tentando cada uma das possibilidades, e gastar apenas 1 minuto para cada possibilidade, precisaria de pelo menos... a eternidade para encontrar o alfabeto cifrante correto.
403.291.461.126.605.635.584.000.000 min = 6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas
6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas = 280.063.514.671.253.913.600.000 dias 280.063.514.671.253.913.600.000 dias = 9.335.450.489.041.797.120.000 meses 9.335.450.489.041.797.120.000 meses = 777.954.207.420.149.760.000 anos
Se considerarmos que a solução seja encontrada a "meio do caminho", ainda restam cerca de 390 quatrilhões (388.977.103.710.074.880) de milênios! É claro que a força bruta, neste caso, é uma sandice.
Sites: www.somatematica.com.br www.mat.puc-rio.br www.mathema.com.br www.geocities.com/matematicacomprazer Algo mais:
Sugerimos que o professor realize também as atividades de permutação e arranjo disponibilizadas na página do RIVED, fazendo assim uma comparação entre os três conteúdos.
XI– Referências Bibliográficas:
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.5. São Paulo: Atual Editora,1993.
MORGADO, Augusto César de Oliveira, e outros. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro:SBM – IMPA, 1991.
NETTO,Scipione Di Pierrô, ORSI FILHO, Sérgio. Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. QUANTA. Fascículo 6. São Paulo: Editora Saraiva,2000.
SANTOS, José Plínio de Oliveira, e outros. Introdução à Análise Combinatória. São Paulo: Editora da UNICAMP, 2002.
TROTA, Fernando. Análise Combinatória, Probabilidade e Estatística. Volume 4. Matemática por assunto. São Paulo: Editora Scipione,1988.
Página 5 Autores:
Conteúdo Pedagógico: Carmen Vieira Mathias, Clandio Timm Marques, Daiana A. de Siqueira, Larissa Rosa dos Santos. Equipe de Apoio Técnico: Gabriel Gorski,
Marcos Cassal,
Ana Paula Canal, Alex Marin, Gustavo Rauber,
Henrique Telles Neto, Rafael Diel
Ricardo Schirmer Tarcila Gesteira da Silva
