O INTEGRAL DE LEBESGUE

Texto

(1)O INTEGRAL DE LEBESGUE RUI LOJA FERNANDES Resumo. Esta notas contêm uma introdu¸ca õ a ` teoria do integral introduzido por Lebesgue. Elas formam como que um cap´ıtulo 3,5 do livro de M. Spivak “Calculus on Manifolds”. O seu objectivo é servir como texto de apoio aos alunos da Turma E de An´ alise Matem´ atica III. Apesar de existirem excelentes textos (ver bibliografia) que podem ser utilizados como introdu¸ca õ a ` teoria do integral de Lebesgue, n˜ ao conhe¸co nenhum que possua as caracter´ısticas do livro de Spivak, e essenciais para o funcionamento deste projecto: (i) elementar; (ii) sucinto e (iii) que exija uma boa dose de trabalho individual. S˜ ao, pois, ´ claro que as dificulestas as caracter´ısticas que pretendi dar a estas notas. E dades e virtudes mencionadas no pref´ acio desse livro sobre esta metodologia aplicam-se aqui mutatis mutandis. Os pré-requisitos para esta notas s˜ ao, portanto, os três primeiros cap´ıtulos do livro de Spivak. Uma cita¸ca õ do tipo [S, thm 3-10] refere-se ao teorema 3-10 desse livro. Lisboa, Outubro de 2004 Departamento de Matem´ atica Instituto Superior Técnico. 1.

(2) 2. RUI LOJA FERNANDES. ´do Conteu Introdu¸ca õ σ-´ algebras e fun¸co ˜es σ-aditivas Medida de Lebesgue Fun¸co ˜es Mensur´ aveis O Integral de Lebesgue Teoremas de Convergência Rela¸ca õ com o Integral de Riemann Bibliografia. 3 5 7 12 15 18 22 25.

(3) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 3. õ Introduc ¸a Neste cap´ıtulo, vamos introduzir uma generaliza¸ca õ do integral de Riemann e que se chama integral de Lebesgue 1. Esta generaliza¸ca õ vai permitir, por exemplo, extender a classe das fun¸co ˜es integr´ aveis. Um exemplo simples de uma fun¸ca õ f : [0, 1] → R integr´ avel a ` Lebesgue que n˜ ao é integr´ avel a ` Riemann é dado pela fun¸ca õ de Dirichelet:  se x ∈ [0, 1] ∩ Q;  1, f (x) =  0, caso contr´ ario.. Esta extens˜ ao do conceito de integral tem in´ umeras vantagens pr´ aticas algumas das quais veremos mais tarde. Uma forma simples de ilustrar a diferen¸ca entre o integral de Lebesgue e o de Riemann é a seguinte analogia. Suponhamos que t´ınhamos uma saco cheio de moedas de euro e que pretend´ıamos saber a quantia que temos no saco. Podemos contar as moedas de duas formas distintas:. (i) Retiramos as moedas uma a uma do saco e vamos adicionando os seus valores; (ii) Agrupamos todas as moedas do saco pelos seus valores, formando um grupo de moedas de 5 cêntimos, outro grupo de 10 cêntimos, etc. Contamos as moedas em cada grupo, multiplicamos pelos seus valores e somamos; A segunda forma de contagem (que corresponde ao integral de Lebesgue) é muito mais eficiente do que a primeira forma de contagem (correspondente ao integral de Riemann), embora ambas forne¸cam o mesmo valor. Note-se que para descrever (ii) tivemos de usar uma linguagem um pouco mais elaborada do que para descrever (i). Como veremos adiante, a defini¸ca õ do integral de Lebesgue também envolve, de facto, um pouco mais de conceptualiza¸ca õ do que a defini¸ca õ do integral de Riemann. No entanto, o integral de Lebesgue é bastante mais eficiente que o integral de Riemann, tal como o segundo processo de contagem. Por fim, as fun¸co ˜es integr´ aveis a ` Riemann também s˜ ao integr´ aveis a ` Lebesgue e o valor do integral é o mesmo. A t´ıtulo de exemplo, consideremos uma fun¸ca õ f : [a, b] → R que assume um n´ umero finito de valores, como ilustrado na figura seguinte:. f (x) y1 y2 y3 y4. a.

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(43) b. x. 1O matem´ atico francês Henri Lebesgue (1875-1941) introduziu a nova no¸ca õ de integral na sua tese de doutoramento, entregue na Universidade de Nancy em 1902. Mais tarde, seria professor na Sorbonne, em Paris. Lebesgue foi um dos maiores analistas da primeira metade do Século XX..

(44) 4. RUI LOJA FERNANDES. Para calcularmos o integral pela defini¸ca õ de Riemann, podemos dividir o intervalo [a, b] em sub-intervalos [xk , xk+1 ] onde a fun¸ca õ é constante, multiplicar o valor que a fun¸ca õ toma em cada sub-intervalo pelo seu comprimento, e somar: Z. b. f dx = a. n X. f (xk )(xk − xk−1 ).. k=1. Por outro lado, para calcularmos o integral pela defini¸ca õ de Lebesgue, precisamos de introduzir primeiro a no¸ca õ de medida ou volume de subconjuntos de Rn : esta n˜ ao é mais que uma fun¸ca õ que a um subconjunto A ⊂ Rn associa um n´ umero n˜ ao negativo µ(A). Depois, determinamos qual é a pré-imagem E k de cada valor yk que a fun¸ca õ assume, multiplicamos a medida (ou volume) dessa pré-imagem por esse valor, e somamos:. f (x). . y1 y2 y3 y4.

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(74) . a. Z. b. f dµ = a. b. m X. x. yk µ(Ek ).. k=1. Para uma fun¸ca õ como a da figura, estes dois métodos d˜ ao o mesmo valor para o integral. Mas, para uma fun¸ca õ mais complexa, tal como a fun¸ca õ de Dirichelet, a diferen¸ca é dram´ atica: a defini¸ca õ de Riemann n˜ ao faz sequer sentido! Como vemos, uma parte essencial da defini¸ca õ do integral de Lebesgue reside na introdu¸ca õ da medida de um conjunto. Esta fun¸ca õ deve satisfazer certa propriedades naturais. Por exemplo, gostar´ıamos certamente que: (i) Para um rectˆ angulo A = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] em Rn a sua medida é dada por µ(A) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ); (ii) Se A é a uni˜ ao de subconjuntos A1 , A2 , . . . de Rn , disjuntos dois a dois, P+∞ ent˜ ao a sua medida é µ(A) = k=1 µ(Ak ); (iii) Se A é um conjunto com medida µ(A) ent˜ ao a sua transla¸ca õ x + A = {x + y : y ∈ A} dever´ a ter a mesma medida: µ(x + A) = µ(A). Infelizmente n˜ ao existe tal fun¸ca õ!!! A primeira parte do nosso estudo do integral de Lebesgue ser´ a dedicado a ` resolu¸ca õ deste problema, e consiste em escolher uma coleçca õ de subconjuntos de R n que contém os intervalos, e aonde é poss´ıvel definir uma tal fun¸ca õ de medida. Na segunda parte introduzimos o integral de Lebesgue e estudamos algumas das suas propriedades b´ asicas..

(75) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 5. ´lgebras e func ˜ es σ-aditivas σ-a ¸o Defini¸ c˜ ao A.1. Uma fam´ılia A de subconjuntos de X diz-se uma a ´lgebra de conjuntos se ∅, X ∈ A e A, B ∈ A =⇒ A ∪ B, A − B ∈ A. Uma a ´lgebra A diz-se uma σ-´ algebra se A1 , A2 , · · · ∈ A =⇒. +∞ [. Aj ∈ A.. j=1. Note que se A é uma a ´lgebra de conjuntos e A, B ∈ A ent˜ ao A ∩ B = A − (A − B) ∈ A, logo A é fechada para interseçco ˜es. Da mesma forma, para qualquer A ∈ A: Ac = X − A ∈ A, logo A é fechada para a passagem ao complementar. Por outro lado,Tse A é uma σ-´ algebra é um exerc´ıcio simples mostrar que se A1 , A2 , · · · ∈ A ent˜ ao +∞ j=1 Aj ∈ A. Exemplos A.2.. ´ claro 1. Seja A a coleçca õ de todos os subconjuntos de um conjunto X. E que ∅, X ∈ A e que A é fechada para uni˜ oes arbitr´ arias e diferen¸cas de conjuntos, logo A é uma σ-´ algebra. 2. Seja A a coleçca õ formada por todas as uni˜ oes finitas I1 ∪ · · · ∪ Im de rectˆ angulos de Rn . Ent˜ ao A é uma a ´lgebra de conjuntos mas n˜ ao é uma σ-´ algebra (exerc´ıcio). A no¸ca õ de medida que queremos discutir baseia-se na seguinte defini¸ca õ: Defini¸ c˜ ao A.3. Seja A uma a ´lgebra. Uma fun¸ca õ φ : A → [0, +∞] n˜ ao-constante diz-se aditiva se, dados A, B ∈ A, A ∩ B = ∅ =⇒ φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B). A proposi¸ca õ seguinte fornece algumas propriedades elementares das fun¸co ˜es aditivas. A sua demonstra¸ca õ fica como exerc´ıcio. Proposi¸ c˜ ao A.4. Seja A uma a ´lgebra e φ : A → [0, +∞] uma fun¸ca õ aditiva. Se A, B, A1 , A2 , . . . , Ak ∈ A ent˜ ao: (i) (ii) (iii) (iv) (v). φ(∅) = 0; φ(B) ≤ φ(A) se B ⊂ A; φ(A − B) = φ(A) − φ(B) se B ⊂ A e φ(B) < +∞; φ(A1 ∪ A2 ) = φ(A1 ) + φ(A2 ) − φ(A1 ∩ A2 ) se φ(A1 ∩ A2 ) < +∞; φ(A1 ∪ · · · ∪ Ak ) = φ(A1 ) + · · · + φ(Ak ) se Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j;. Note que, em princ´ıpio, n˜ ao podemos dizer nada sobre o comportamento das fun¸co ˜es aditivas para conjuntos A que s˜ ao uni˜ oes (mesmo disjuntas) de conjuntos A1 , A2 , . . . . Para isso precisamos de mais uma defini¸ca õ: Defini¸ c˜ ao A.5. Seja A uma a ´lgebra. Uma fun¸ca õ φ : A → [0, +∞] aditiva diz-se S+∞ σ-aditiva se, para A1 , A2 , · · · ∈ A com j=1 Aj ∈ A, temos Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j) =⇒ φ(. +∞ [ j=1. Aj ) =. +∞ X. φ(Aj ).. j=1. Uma propriedade importante das fun¸co ˜es σ-aditivas é a de podermos calcul´ a-las por aproxima¸ca õ. Mais precisamente temos:.

(76) 6. RUI LOJA FERNANDES. Teorema A.6. Seja A uma a ´lgebra e φ : A → [0, +∞] uma fun¸ca õ σ-aditiva. Se S+∞ A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . com Ai ∈ A e A = j=1 Aj ∈ A ent˜ ao lim φ(Aj ) = φ(A).. j→+∞. Demonstra¸ca õ. Seja B1 = A1 e defina-se para j = 2, 3, . . . Bj = Aj − Aj−1 . Claramente Bj ∈ A, Bi ∩ Bj = ∅ se i 6= j e Aj = B1 ∪ · · · ∪ Bj . Logo φ(Aj ) =. j X. φ(Bk ).. k=1. Como φ é σ-aditiva e A =. S+∞ j=1. Bj obtemos. lim φ(Aj ) =. j→+∞. +∞ X. φ(Bj ) = φ(. j=1. +∞ [. Bj ) = φ(A).. j=1. Defini¸ c˜ ao A.7. Um espa¸ co de medida é um par (M, µ) onde M é uma σ-´ algebra num conjunto X e µ : M → [0, +∞] é uma fun¸ca õ σ-aditiva. Os elementos de M dizem-se conjuntos mensur´ aveis e a fun¸ca õ µ diz-se uma medida em X. Como um exemplo simples de um espa¸co de medida (M, X) mencionamos a medida discreta num conjunto X. A σ-´ algebra M é formada por todos os subconjuntos A ⊂ X, e a medida de um subconjunto A ⊂ X é  se A é finito;  cardinal de A, µ(A) =  +∞, se A é infinito.. Esta medida é muito importante, por exemplo, na Teoria das Probabilidades. Uma boa parte do nosso estudo incidir´ a sobre uma certa medida em Rn , a chamada medida de Lebesgue. Para esta medida, os rectˆ angulos de Rn s˜ ao conjuntos mensur´ aveis e a sua medida de Lebesgue coincide com os seu volume ndimensional [S, chp 3]. Estudamos esta medida na pr´ oxima seçca õ. Problemas A.1. Seja A uma σ-´ algebra. Mostre que se A1 , A2 , · · · ∈ A ent˜ ao A.2. Demonstre a Proposi¸ca õ A.4.. T+∞ j=1. Aj ∈ A.. A.3. Seja A uma a ´lgebra e φ : A → [0, +∞] uma fun¸ca õ σ-aditiva. Se A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ T · · · ∈ A, φ(A1 ) < +∞ e A = +∞ j=1 Aj ∈ A mostre que lim φ(Aj ) = φ(A).. j→+∞. A.4. Seja A a fam´ılia dos subconjuntos de Rn que s˜ ao uni˜ ao de um n´ umero finito de S I ´ e um elemento de A defina rectˆ angulos disjuntos. Se A = N j j=1 µ∗ (A) =. N X. v(Ij ).. j=1. (a) Mostre que A é uma a ´lgebra de conjuntos; (b) Mostre que µ∗ : A → R é uma fun¸ca õ aditiva;. A.5. Seja A uma σ-´ algebra com um n´ umero infinito de elementos. Ser´ a que A pode ser numer´ avel?.

(77) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 7. Medida de Lebesgue O nosso pr´ oximo objectivo é construir uma σ-´ algebra A em Rn , que contém todos os rectˆ angulos, e uma medida µ : A → [0, +∞] tal que (i) para todo o rectˆ angulo I, µ(I) = v(I) é o seu volume n-dimensional e (ii) µ é invariante por transla¸ca õ: µ(x + A) = µ(A). Se A ⊂ Rn consideramos coberturas de A por rectˆ angulos abertos {I1 , I2 , . . . } e definimos +∞ X µ∗ (A) = inf v(In ), n=1. onde o inf é tomado sobre todas as coberturas numer´ aveis de A por rectˆ angulos abertos. A fun¸ca õ µ∗ fica assim definida na σ-´ algebra A formada por todos os subconjuntos de Rn e costuma designar-se por medida exterior de Lebesgue. Proposi¸ c˜ ao A.8. A medida exterior de Lebesgue µ∗ : A → [0, +∞] satisfaz as seguintes propriedades: (i) µ∗ (∅) = 0; (ii) µ∗ (B) ≤ µ∗ (A) se B ⊂ A; (iii) µ∗ (I) = v(I) se I ⊂ Rn é um rectˆ angulo; (iv) µ∗ (x + A) = µ∗ (A) se x ∈ Rn ; (v) µ∗ (A) = 0 sse A é um conjunto de medida nula; S+∞ P+∞ (vi) Se A = j=1 Aj ent˜ ao µ∗ (A) ≤ j=1 µ∗ (Aj ).. Demonstra¸ca õ. As demonstra¸co ˜es de (i)-(v) s˜ ao deixadas como exerc´ıcio. Para demonstrar (vi) podemos assumir que µ∗ (Aj ) < +∞, para todo o j. Dado ε > 0 existe uma cobertura Ij,k (k = 1, 2, . . . ) de Aj por rectˆ angulos abertos, tal que +∞ X. v(Ij,k ) < µ∗ (Aj ) +. k=1. ε . 2j. Os Ij,k (j, k = 1, 2, . . . ) formam um cobertura de A por rectˆ angulos abertos, logo µ∗ (A) ≤. +∞ X +∞ X. v(Ij,k ) <. j=1 k=1. +∞ X. µ∗ (Aj ) + ε.. j=1. Um fun¸ca õ que satisfaz a desigualdade (vi) diz-se uma fun¸ca õ sub-aditiva. Existem exemplos de subconjuntos Ai ⊂ Rn , com Aj ∩ Ak = ∅ se j 6= k, para os quais esta desigualdade é estrita, i.e., a medida exterior de Lebesgue n˜ ao é σ-aditiva. Exemplo A.9. Definimos uma rela¸caõ de equivalência no intervalo [0, 1] estipulando que x ∼ y sse x − y ∈ Q (é f´ acil verificar que esta rela¸ca õ bin´ aria é de facto transitiva, simétrica e reflexiva). Seja E ⊂ [0, 1] um conjunto formado por exactamente um elemento de cada classe de equivalência de ∼. A existência de E é garantida pelo axioma da escolha. Este conjunto tem as seguintes propriedades: (a) (q + S E) ∩ (r + E) = ∅ se q, r ∈ Q e q 6= r; (b) R = q∈Q (q + E); (c) µ∗ (E) > 0; De facto, se q + x = r + y onde x, y ∈ E, q, r ∈ Q, com x 6= y e q 6= r, ent˜ ao temos x ∼ y, o que n˜ ao pode acontecer pois E contém um elemento de cada classe de equivalência de ∼. Logo (a) é verdadeira. Por outro lado, se x ∈ R ent˜ ao existe um q ∈ Q, tal que x − q ∈ [0, 1] e, portanto, existe e ∈ E tal que x − q ∼ e. Conclu´ımos que x ∈ q 0 + E para algum racional q 0 , e (b) é verdadeira. Como R n˜ ao tem medida nula, (b) mostra que E também n˜ ao tem medida nula. Pela Proposi¸ca õ A.8 (v), conclu´ımos que µ∗ (E) > 0..

(78) 8. RUI LOJA FERNANDES. Dada uma enumera¸ca õ {q1 , q2 , q3 , . . . } dos racionais entre 0 e 1, definimos subconjuntos Aj ⊂ [0, 2] por Aj = qj + E, j = 1, 2, 3, . . . . S+∞ Seja A = j=1 Aj . Afirmamos que µ∗ (A) <. +∞ X. µ∗ (Aj ).. j=1. é claro que A ⊂ [0, 2] logo, pela proposi¸ca õ A.8 (ii), µ∗ (A) ≤ 2. Por outro lado, pela proposi¸ca õ A.8 (iv), os Aj têm todos a mesma medida exterior: µ∗ (Aj ) = µ∗ (E) > 0. P+∞ ∗ Assim, j=1 µ (Aj ) = +∞. Este exemplo mostra que a fun¸ca õ µ∗ n˜ ao é σ-aditiva na σ-´ algebra formada por todos n os subconjuntos de R .. Observa¸ c˜ ao A.10. Na realidade, as u ńicas propriedades da fun¸ca õ µ que us´ amos no exemplo s˜ ao as enumeradas na Proposi¸ca õ A.8. Assim, o exemplo mostra que n˜ ao existe uma fun¸ca õ σ-aditiva definida na σ-´ algebra formada por todos os subconjuntos de Rn , invariante por transla¸ca õ, e que para os rectˆ angulos coincide o seu volume n-dimensional. Vamos procurar uma σ-´ algebra mais pequena, que ainda contenha os rectˆ angulos I ⊂ Rn , e na qual µ∗ é σ-aditiva. Para isso, introduzimos: Defini¸ c˜ ao A.11. Um conjunto A ⊂ Rn diz-se mensur´ avel a ` Lebesgue S se para +∞ todo o ε > 0 existem rectˆ angulos {I1 , I2 , . . . } tais que a sua uni˜ ao U = j=1 Ij satisfaz(2) µ∗ (A 4 U ) < ε.. Figura A.1. O conjunto A 4 U . Observe-se que nesta defini¸ca õ é indiferente supor que os rectˆ angulos s˜ ao disjuntos. Em termos geométricos, podemos dizer que um conjunto é mensur´ avel a ` Lebesgue se puder ser bem aproximado, em termos de medida exterior, por uma uni˜ ao numer´ avel de rectˆ angulos. De facto temos o seguinte resultado cuja demonstra¸ca õ deixamos como exerc´ıcio: Lema A.12. Sejam A, B ∈ Rn com µ∗ (A) < +∞ ou µ∗ (B) < +∞. Ent˜ ao: |µ∗ (A) − µ∗ (B)| ≤ µ∗ (A 4 B) Daqui em diante designamos por M a fam´ılia dos conjuntos mensur´ aveis a ` Lebesgue. 2Usamos o s´ımbolo A 4 B para designar a diferen¸ ca sim´ etrica dos conjuntos A e B:. A 4 B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)..

(79) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 9. Teorema A.13. A fam´ılia M dos subconjuntos de Rn mensur´ aveis a ` Lebesgue é uma σ-´ algebra. A restri¸ca õ de µ∗ a M é uma fun¸ca õ µ : M → [0, +∞] σ-aditiva. Demonstra¸ca õ. Designemos por conjuntos elementares os conjuntos formados por uni˜ oes finitas, disjuntas, de rectˆ angulos. Como vimos num problema da seçca õ anterior, a fam´ılia A dos conjuntos elementares é uma a ´lgebra e a restri¸ca õ de µ ∗ a A é aditiva. Para efeitos da demonstra¸ca õ vamos ainda designar por MF a fam´ılia dos subconjuntos A ⊂ Rn que podem ser aproximados por um conjunto elementar: A ∈ MF se, dado ε > 0, existe E ∈ A tal que µ∗ (A 4 E) < ε. Precisamos do seguinte lema: Lema A.14. MF é uma a ´lgebra e a restri¸ca õ de µ∗ a MF é uma fun¸ca õ σ-aditiva. Temos, ainda, que: (a) Se A ∈ M e µ∗ (A) < +∞ ao A ∈ MF ; S∞ ent˜ (b) Se A ∈ M ent˜ ao A = j=1 Aj , com Aj ∈ MF disjuntos dois a dois; S (c) Se Aj ∈ MF ent˜ ao A = ∞ j=1 Aj ∈ M.. Assumindo que este lema é verdadeiro, passemos a ` demonstra¸ca õ do teorema. Primeiro verificamos que M é uma σ-´ algebra: se A1 , A2 , · · · ∈ M s˜ ao conjuntos mensur´ aveis, ent˜ ao, pela propriedade (b) do lema, existem conjuntos Aik ∈ MF tais que: ∞ [ Ai = Aik . k=1. Logo, pelo propriedade (c) do lema, ∞ ∞ [ [ Aik ∈ M. Ai = A= i=1. i,k=1. Assim, M é fechada para uni˜ oes numer´ aveis. Por outro lado, s e A, B ∈ M ent˜ ao temos as decomposi¸co ˜es A=. +∞ [. B=. Aj ,. j=1. +∞ [. Bk ,. k=1. onde Aj , Bk ∈ MF . Como MF é uma a ´lgebra, Aj ∩ Bk ∈ MF . Logo, A∩B =. +∞ [. (Aj ∩ Bk ) ∈ M.. j,k=1. Assim, M também é fechada para interseçco ˜es finitas. Finalmente, para ver que MF é fechada para diferen¸cas, sejam A, B ∈ M. Observe que podemos escrever A=. +∞ [. Aj ,. j=1. onde Aj ∈ MF e µ∗ (Aj ) < +∞. Assim, vemos que: A−B =. +∞ [ j=1. (Aj − B) =. +∞ [. (Aj − (B ∩ Aj )).. j=1. Note que, pela propriedade (a) do Lema, B ∩ Aj ∈ MF , pois B ∩ Aj ∈ M (j´ a vimos que M é fechada para interseçco ˜es) e µ∗ (B ∩ Aj ) ≤ µ∗ (Aj ) < +∞. Como MF é uma a ´lgebra, segue-se que Aj − (B ∩ Aj ) ∈ MF e, pela propriedade (c) do Lema, conclu´ımos que A − B ∈ M..

(80) 10. RUI LOJA FERNANDES. Vejamos agora que µ∗ restrita a M é σ-aditiva: Se Aj ∈ M s˜ ao disjuntos, S ∗ A = +∞ A ∈ M, e existe um A com µ (A ) = +∞, ´ e claro que j j j j=1 µ∗ (A) =. +∞ X. µ∗ (Aj ).. j=1. Por outro lado, se todos os Aj têm µ∗ (Aj ) < +∞, ent˜ ao Aj ∈ MF . Sendo µ∗ sub-aditiva, temos, a priori, µ∗ (A) ≤. +∞ X. µ∗ (Aj ).. j=1. ∗. Como µ é aditiva em MF e µ∗ (. SN. N [. j=1. Aj ⊂ A, para todo o inteiro N , obtemos. Aj ) =. j=1. N X. µ∗ (Aj ) ≤ µ∗ (A).. j=1. Passando ao limite, conclu´ımos que +∞ X. µ∗ (Aj ) ≤ µ∗ (A).. j=1. Logo, também neste caso, temos µ∗ (A) =. +∞ X. µ∗ (Aj ).. j=1. Para terminar a demonstra¸ca õ do teorema falta a: Demonstra¸ c˜ ao do Lema A.14. Vejamos que MF é uma a ´lgebra: MF é fechada para os complementares pois se A ∈ MF ent˜ ao Ac ∈ MF , j´ a que é v´ alida a rela¸ca õ Ac 4 E c = A 4 E. Por outro lado, MF é fechada para uni˜ oes finitas: Se A1 , A2 ∈ MF , dado ε > 0, existem conjuntos elementares E1 , E2 ∈ A tais que ε ε µ∗ (A1 4 E1 ) < , µ∗ (A2 4 E2 ) < . 2 2 Como (A1 ∪ A2 ) 4 (E1 ∪ E2 ) ⊂ (A1 4 E1 ) ∪ (A2 4 E2 ), segue-se que µ∗ ((A1 ∪ A2 ) 4 (E1 ∪ E2 )) ≤ µ∗ (A1 4 E1 ) + µ∗ (A2 4 E2 ) < ε. Logo A1 ∪ A2 ∈ MF . Sendo MF fechada para reuni˜ oes e complementares, é claro que se A, B ∈ MF ent˜ ao A − B = (Ac ∪ B)c ∈ MF . Como Rn , ∅ ∈ MF conclu´ımos que MF é uma a ´lgebra. Para ver que a restri¸ca õ de µ∗ a MF é aditiva, sejam A1 , A2 ∈ MF conjuntos disjuntos. J´ a sabemos que µ∗ (A1 ∪ A2 ) ≤ µ∗ (A1 ) + µ∗ (A2 ). Basta pois mostrar a desigualdade oposta e para isso podemos assumir que µ ∗ (A1 ), µ∗ (A2 ) < +∞. Dado ε > 0, escolha-se conjuntos elementares E1 , E2 ∈ A tais que: µ∗ (A1 4 E1 ) < ε,. µ∗ (A2 4 E2 ) < ε.. Como A1 ∩ A2 = ∅, temos E1 ∩ E2 ⊂ (A1 4 E1 ) ∪ (A2 4 E2 ),.

(81) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 11. e conclu´ımos que µ∗ (E1 ∩ E2 ) < 2ε. Por outro lado, pelo lema A.12, também temos |µ∗ (A1 ) − µ∗ (E1 )| < ε,. |µ∗ (A2 ) − µ∗ (E2 )| < ε.. Tomemos A = A1 ∪ A2 e E = E1 ∪ E2 . Visto que para conjuntos elementares a medida exterior é aditiva, obtemos µ∗ (E) = µ∗ (E1 ) + µ∗ (E2 ) − µ∗ (E1 ∩ E2 ) > µ∗ (A1 ) + µ∗ (A2 ) − 4ε. Finalmente, observamos que A 4 E ⊂ (A1 4 E1 ) ∪ (A2 4 E2 ), logo µ∗ (A1 ∪ A2 ) ≥ µ∗ (E) − µ∗ (A 4 E) > µ∗ (A1 ) + µ∗ (A2 ) − 6ε. Como ε era arbitr´ ario, conclu´ımos que µ∗ (A1 ∪ A2 ) ≥ µ∗ (A1 ) + µ∗ (A2 ), o que mostra que a restri¸ca õ de µ∗ a MF é aditiva. A verifica¸ca õ das propriedades (i)-(iii) é deixada como exerc´ıcio. A fun¸ca õ µ : M → [0, +∞] costuma designar-se por medida de Lebesgue. A classe M dos conjuntos mensur´ aveis a ` Lebesgue é uma classe bastante ampla e inclui muitos dos conjuntos que nos s˜ ao familiares. Por exemplo, como M é uma σ-´ algebra e contém os rectˆ angulos I ⊂ Rn , vemos que: (i) M contém os conjuntos abertos O ⊂ Rn , pois todo o aberto de Rn é uma uni˜ ao numer´ avel de rectˆ angulos; (ii) M contém os conjuntos fechados F ⊂ Rn , pois todo o conjunto fechado é o complementar de um conjunto aberto. ´ claro que M contém muitos outros conjuntos. Por exemplo, M contém os conE juntos que antes designamos por conjuntos de medida nula, pois estes s˜ ao de facto os conjuntos mensur´ aveis a ` Lebesgue com medida de Lebesgue nula. Problemas A.6. Complete a demonstra¸ca õ da Proposi¸ca õ A.8. A.7. Se A, B ⊂ Rn defina d(A, B) = µ∗ (A 4 B). Mostre que esta fun¸ca õ satisfaz: (a) (b) (c) (d). d(A, B) ≥ 0 e d(A, A) = 0; d(A, B) = d(B, A); d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C); |µ∗ (A) − µ∗ (B)| ≤ d(A, B), se µ∗ (A), µ∗ (B) < +∞.. O que é que pode dizer se d(A, B) = 0? A.8. Mostre que:. (a) Se A ∈ M e µ∗ (A) < +∞ ao A ∈ MF ; S ent˜ (b) Se A ∈ M ent˜ ao A = ∞ Aj com Aj ∈ MF disjuntos dois a dois; j=1 S (c) Se Aj ∈ MF ent˜ ao A = ∞ j=1 Aj ∈ M.. A.9. Mostre que o conjunto E do exemplo A.9 n˜ ao é mensur´ avel a ` Lebesgue. A.10. Mostre que um conjunto mensur´ avel a ` Jordan é mensur´ avel a ` Lebesgue. Ser´ a o inverso verdadeiro?.

(82) 12. RUI LOJA FERNANDES. A.11. Considere conjuntos A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . onde cada Ai é uma uni˜ ao finita de intervalos obtidos indutivamente da seguinte forma: A0 = [0, 1] e Ai+1 é obtido a partir de Ai retirando o ter¸co do meio de cada intervalo de Ai . Assim: A0 = [0, 1]; 2 1 A1 = [0, ] ∪ [ , 1]; 3 3 1 2 3 6 7 8 A2 = [0, ] ∪ [ , ] ∪ [ , ] ∪ [ , 1]; 9 9 9 9 9 9 .. . Mostre que o conjunto de Cantor C = ∩+∞ e mensur´ avel e n˜ ao numer´ avel. Qual é i=0 Ai ´ a sua medida de Lebesgue?. ˜ es Mensura ´veis Func ¸o Defini¸ c˜ ao A.15. Seja f : A → R uma fun¸ca õ definida num conjunto mensur´ avel A ⊂ Rn . Dizemos que f é uma fun¸ ca õ mensur´ avel (` a Lebesgue) se o conjunto f −1 (]c, +∞[) = {x ∈ A : f (x) > c} é mensur´ avel para todo o c ∈ R. Na defini¸ca õ de fun¸ca õ mensur´ avel pod´ıamos ter utilizado, em vez de f −1 (]c, +∞[), qualquer um dos conjuntos f −1 ([c, +∞[), f −1 (] − ∞, c[) ou f −1 (] − ∞, c]): Proposi¸ c˜ ao A.16. Seja f : A → R uma fun¸ca õ definida num conjunto mensur´ avel A ⊂ Rn . As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao todas equivalentes: (i) {x ∈ A : f (x) > c} é mensur´ avel, para todo o c ∈ R; (ii) {x ∈ A : f (x) ≥ c} é mensur´ avel, para todo o c ∈ R; (iii) {x ∈ A : f (x) < c} é mensur´ avel, para todo o c ∈ R; (iv) {x ∈ A : f (x) ≤ c} é mensur´ avel, para todo o c ∈ R. Demonstra¸ca õ. As rela¸co ˜es: {x ∈ A : f (x) ≥ c} =. +∞ \. k=1. 1 x ∈ A : f (x) > c − k. . {x ∈ A : f (x) < c} = A − {x ∈ A : f (x) ≥ c} +∞ \ 1 {x ∈ A : f (x) ≤ c} = x ∈ A : f (x) < c + k k=1. {x ∈ A : f (x) > c} = A − {x ∈ A : f (x) ≤ c} mostram que (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i).. . Exemplos A.17. 1. Se f : Rn → R é uma fun¸ca õ cont´ınua ent˜ ao f é mensur´ avel: como o conjunto ]c, +∞[ é aberto e f é cont´ınua sabemos que f −1 (]c, +∞[) é aberto, logo é mensur´ avel. 2. A fun¸ca õ de Dirichelet f : [0, 1] → R dada por:  se x ∈ [0, 1] ∩ Q;  0, f (x) =  1, caso contr´ ario,. é mensur´ avel a ` Lebesgue (porquê?). 3. Mais geralmente, a fun¸ca õ caracter´ıstica χA : Rn → A de um conjunto n A ⊂ R é mensur´ avel sse A é um conjunto mensur´ avel. Assim, existem fun¸co ˜es que n˜ ao s˜ ao mensur´ aveis..

(83) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 13. Os pr´ oximos resultados permitem obter mais exemplos de fun¸co ˜es mensur´ aveis. Proposi¸ c˜ ao A.18. Se f, f1 , f2 , . . . s˜ ao fun¸co ˜es mensur´ aveis, ent˜ ao (i) |f | é mensur´ avel; (ii) sup fn , inf fn , lim supn→∞ fn e lim inf n→∞ fn s˜ ao mensur´ aveis; Demonstra¸ca õ. A parte (i) segue-se da proposi¸ca õ anterior e da rela¸ca õ {x ∈ A : |f (x)| > c} = {x ∈ A : f (x) > c} ∪ {x ∈ A : f (x) < −c} . Por outro lado, se g(x) = sup fn (x), vemos que {x ∈ A : g(x) > c} =. +∞ [. {x ∈ A : fn (x) > c} .. n=1. Assim sup fn é mensur´ avel. De igual modo mostra-se que inf fn é mensur´ avel. Como temos que lim sup fn = inf gm n→∞. onde gm (x) = sup {fn (x) : n ≥ m}, vemos ainda que lim supn→∞ fn é mensur´ avel. De forma an´ aloga mostra-se que lim inf n→∞ fn é mensur´ avel. Portanto, (ii) também se verifica. Corol´ ario A.19. Se f, g s˜ ao fun¸co ˜es mensur´ aveis, ent˜ ao max(f, g) e min(f, g) s˜ ao fun¸co ˜es mensur´ aveis. Em particular, f + = max(f, 0) e f − = − min(f, 0) s˜ ao fun¸co ˜es mensur´ aveis. Corol´ ario A.20. Se f1 , f2 , . . . s˜ ao fun¸co ˜es mensur´ aveis e f (x) = limn→∞ fn (x), ent˜ ao f é mensur´ avel. Se A é um conjunto mensur´ avel designamos por M (A) o conjunto das fun¸co ˜es mensur´ aveis em A. O pr´ oximo resultado mostra que este conjunto é um espa¸co linear para as opera¸co ˜es usuais de adi¸ca õ de fun¸co ˜es e multiplica¸ca õ de uma fun¸ca õ por um n´ umero real. Teorema A.21. Sejam f, g : A → R fun¸co ˜es mensur´ aveis. Se F : R2 → R é uma fun¸ca õ cont´ınua, ent˜ ao a fun¸ca õ h(x) = F (f (x), g(x)) é mensur´ avel. Em particular, f + g, f − g e f · g também s˜ ao mensur´ aveis. . Demonstra¸ca õ. O conjunto Oc = (x, y) ∈ R2 : F (x, y) > c é aberto, pois F é cont´ınua, logo podemos escrever Oc =. +∞ [. Ik ,. k=1. onde cada Ik é um rectˆ angulo aberto de R2 :. Ik = (x, y) ∈ R2 : ak < x < bk , ck < y < dk . Como os conjuntos. {x ∈ A : ak < f (x) < bk } = {x ∈ A : f (x) < bk } ∩ {x ∈ A : f (x) > ak } {x ∈ A : ck < g(x) < dk } = {x ∈ A : g(x) < bk } ∩ {x ∈ A : g(x) > ak } s˜ ao mensur´ aveis, segue-se que o conjunto {x ∈ A : (f (x), g(x)) ∈ Ik } = {x ∈ A : ak < f (x) < bk } ∩ {x ∈ A : ck < g(x) < dk } é mensur´ avel. Logo, também é mensur´ avel o conjunto: {x ∈ A : F (f (x), g(x)) > c} =. +∞ [. k=1. {x ∈ A : (f (x), g(x)) ∈ Ik } ..

(84) 14. RUI LOJA FERNANDES. Assim, as opera¸co ˜es mais comuns da An´ alise, incluindo as passagens ao limite, quando aplicadas a fun¸co ˜es mensur´ aveis resultam em fun¸co ˜es mensur´ aveis ( 3). A seguinte classe de fun¸co ˜es desempenha um papel importante na teoria. Defini¸ c˜ ao A.22. Um fun¸ ca õ simples é uma fun¸ca õ s : Rn → R cuja imagem é finita, i.e., s(x) assume um n´ umero finito de valores. As fun¸co ˜es constantes s˜ ao fun¸co ˜es simples. Se A ⊂ Rn , ent˜ ao a fun¸ca õ caracter´ıstica de A dada por  se x ∈ A,  1 χA (x) =  0 se x 6∈ A, é uma fun¸ca õ simples. Qualquer fun¸ca õ simples s : Rn → R é uma combina¸ca õ linear de fun¸co ˜es caracter´ısticas. De facto, se Im s = {c1 , . . . , cm }, basta tomar Ai = {x ∈ Rn : s(x) = ci } de forma que s=. m X. c i χ Ai .. i=1. Vemos, ainda, que a fun¸ca õ simples s é mensur´ avel sse os conjuntos Ai s˜ ao mensur´ aveis. Qualquer fun¸ca õ pode ser aproximada por fun¸co ˜es simples. No caso de uma fun¸ca õ mensur´ avel, podemos escolher fun¸co ˜es simples mensur´ aveis. Teorema A.23. Seja f : A → R uma fun¸ca õ. Ent˜ ao existe uma sucess˜ ao {s k }k∈N de fun¸co ˜es simples tais que lim sk (x) = f (x),. k→∞. ∀x ∈ A.. Temos ainda que: (i) Se f é mensur´ avel, os sk podem ser escolhidos mensur´ aveis; (ii) Se f ≥ 0, podemos escolher {sk }k∈N uma sucess˜ ao mon´ otona crescente: 0 ≤ s1 (x) ≤ s2 (x) ≤ · · · ≤ sk (x) ≤ · · · ≤ f (x),. ∀x ∈ A.. Demonstra¸ca õ. Se f ≥ 0 definimos, para cada k = 1, 2, . . . , conjuntos j j −1 ≤ f (x) < k , j = 1, . . . , k2k , Akj = x ∈ A : 2k 2 Bk = {x ∈ A : f (x) ≥ k} . Basta ent˜ ao tomar k. sk =. k2 X j −1 j=1. 2k. χAkj + kχBk .. No caso geral, escrevems f = f + − f − , com f + , f − ≥ 0. e constru´ımos sucess˜ oes − + − de fun¸co ˜es simples s+ , s que convergem para f e f . A sucess˜ a o de fun¸ c o ˜ es k k − simples sk = s+ − s converge para f . Se f ´ e mensur´ a vel, os conjuntos A e B kj k k k s˜ ao mensur´ aveis, logo os sk s˜ ao mensur´ aveis. Problemas A.12. Seja f ∈ M (A). Mostre que se B ⊂ A é mensur´ avel ent˜ ao f ∈ M (B). 3No entanto, deve-se observar que a composi¸ ca õ de duas fun¸co ˜es mensur´ aveis pode n˜ ao ser. mensur´ avel..

(85) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 15. A.13. Seja f ∈ M (A). Mostre que o conjunto {x ∈ A : f (x) = c} é mensur´ avel para todo o real c ∈ R.. A.14. Sejam f, g ∈ M (A), e suponha que g 6= 0 em A. Mostre que a fun¸ca õ sur´ avel em A.. f g. é men-. A.15. Seja f uma fun¸ca õ mensur´ avel. Mostre que se g(x) = f (x), excepto num conjunto de medida nula, ent˜ ao g é mensur´ avel. A.16. Mostre que uma fun¸ca õ f : R → R mon´ otona é mensur´ avel.. A.17. Seja {fk }k∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es mensur´ aveis. Mostre que o conjunto dos pontos onde {fk (x)}k∈N converge é mensur´ avel.. A.18. Construa um exemplo de uma fun¸ca õ f para a qual n˜ ao existe uma sucess˜ ao mon´ otona crescente de fun¸co ˜es simples {sk }k∈N tal que limk→∞ sk = f .. A.19. Mostre que se f : A → R é limitada ent˜ ao existe uma sucess˜ ao {s k }k∈N de fun¸co ˜es simples que converge uniformemente para f , i.e., tal que lim sup {|sk (x) − f (x)| : x ∈ A} = 0.. k→∞. A.20. Mostre que se f, g : R → R com f mensur´ avel e g cont´ınua, ent˜ ao g◦f é mensur´ avel. O que pode dizer de f ◦ g?. O Integral de Lebesgue Vamos agora definir o integral de Lebesgue de uma fun¸ca õ mensur´ avel sobre um conjunto mensur´ avel, em situa¸co ˜es bastante gerais. Seja s : Rn → R uma fun¸ca õ simples mensur´ avel, n˜ ao negativa, s=. m X. ci ≥ 0.. c i χ Ai ,. i=1. Se A ∈ M é um conjunto mensur´ avel, definimos: IA (s) =. m X. ci µ(A ∩ Ai ).. i=1. Defini¸ c˜ ao A.24. Seja f : A → R uma fun¸ca õ mensur´ avel, n˜ ao-negativa, definida num conjunto mensur´ avel. O integral de Lebesgue de f em A é: Z f dµ = sup {IA (s) : s é uma fun¸ca õ simples, mensur´ avel, com 0 ≤ s ≤ f } . A. No caso de uma fun¸ca õ simples s : Rn → R verifica-se facilmente que Z sdµ = IA (s). A. Uma vez definido o integral para uma fun¸ca õ n˜ ao-negativa podemos definir o integral para uma fun¸ca õ mensur´ avel através da decomposi¸ca õ f = f + − f − , onde as ± componentes f s˜ ao as fun¸co ˜es mensur´ aveis, n˜ ao-negativas, definidas por: f + = max(f, 0),. f − = − min(f, 0).. Defini¸ c˜ ao A.25. Seja f : A → R uma fun¸ca õ mensur´ avel, definida num conjunto mensur´ avel. O integral de Lebesgue de f em A é Z Z Z + f dµ = f dµ − f − dµ, A. A. desde que pelo menos um dos integrais. A. R. ±. A. f dµ seja finito..

(86) 16. RUI LOJA FERNANDES. Note que o integral de Lebesgue de uma fun¸ca õ assume valores em [−∞, +∞]. Dizemos que f : A → R é uma fun¸ c˜ ao integr´ avel em A, e escrevemos f ∈ L(A) se o integral de Lebesgue de f existe e é finito. Na proposi¸ca õ seguinte fornecemos algumas propriedades elementares do integral de Lebesgue. A sua demonstra¸ca õ fica como exerc´ıcio. Proposi¸ c˜ ao A.26. Seja A um conjunto mensur´ avel e f : A → R uma fun¸ca õ mensur´ avel. (i) Se f é limitada e µ(A) < +∞ ent˜ ao f ∈ L(A); (ii) Se f, g ∈ L(A) e f (x) ≤ g(x) para x ∈ A ent˜ ao Z Z f dµ ≤ gdµ; A. A. (iii) Se a ≤ f (x) ≤ b para x ∈ A e µ(A) < +∞ ent˜ ao f ∈ L(A) e Z f dµ ≤ bµ(A); aµ(A) ≤ A. (iv) Se µ(A) = 0 ent˜ ao Z. f dµ = 0; A. (v) Se f ∈ L(A) e B ⊂ A é mensur´ avel ent˜ ao f ∈ L(B). Uma outra propriedade importante do integral de Lebesgue é a σ-aditividade em rela¸ca õ ao dom´ınio de integra¸ca õ. S+∞ Teorema A.27. Seja f uma fun¸ca õ mensur´ avel n˜ ao-negativa e A = j=1 Aj uma uni˜ ao numer´ avel de conjuntos mensur´ aveis, disjuntos dois a dois. Ent˜ ao Z +∞ Z X f dµ = f dµ. A. Aj. j=1. Demonstra¸ca õ. Pretende-se mostrar que a fun¸ca õ φ : M → R dada por Z φ(A) = f dµ, A. é uma fun¸ca õ σ-aditiva. Se f = χX é uma fun¸ca õ caracter´ıstica dum conjunto mensur´ avel X, ent˜ ao a σ-aditividade de φ n˜ ao é mais que a σ-aditividade de µ. Pm Se f = s é uma fun¸ca õ simples, mensur´ avel, n˜ ao-negativa, ent˜ ao s = k=1 ck χXk com ck > 0 e verifica-se também a σ-aditividade. Seja ent˜ ao f mensur´ avel, n˜ ao-negativa. Se 0 ≤ s ≤ f é uma fun¸ca õ simples, mensur´ avel, ent˜ ao Z +∞ Z +∞ Z X X f dµ, sdµ ≤ sdµ = A. j=1. Aj. j=1. Aj. logo φ é sub-aditiva: φ(A) ≤. +∞ X. φ(Aj ).. j=1. Falta pois mostrar a desigualdade oposta. Como φ(A) ≥ φ(Aj ) o resultado é verdadeiro se algum φ(Aj ) = +∞. Podemos pois assumir que φ(Aj ) < +∞, para todo o j. Ent˜ ao, para N ∈ N fixo, dado ε > 0 podemos escolher uma fun¸ca õ simples 0 ≤ s ≤ f , mensur´ avel, tal que Z Z ε j = 1, . . . , N. f dµ − , sdµ ≥ N Aj Aj.

(87) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 17. Logo, vemos que φ(. N [. j=1. Aj ) ≥. Z. sdµ = SN. j=1. Aj. N Z X j=1. sdµ ≥ Aj. N X. φ(Aj ) − ε.. j=1. Sendo ε > 0 arbitr´ ario, esta desigualdade mostra que φ(. N [. Aj ) ≥. j=1. Finalmente, observando que. SN. j=1. N X. φ(Aj ).. j=1. Aj ⊂ A, obtemos. φ(A) ≥. +∞ X. φ(Aj ).. j=1. Corol´ ario A.28. Seja A ∈ M e B ⊂ A com µ(A − B) = 0, ent˜ ao Z Z f dµ = f dµ A. B. Este resultado mostra que os conjuntos de medida nula n˜ ao contribuem para o valor do integral. Assim, na teoria da integra¸ca õ, é frequente estarmos interessados em afirma¸co ˜es P (x) que s˜ ao verdadeiras excepto possivelmente para x ∈ N , onde N é um conjunto de medida nula. Dizemos nesse caso, que P (x) é verdadeira quase em toda a parte, o que abreviamos para P (x) é verdadeira q.t.p. Problemas A.21. Mostre que se f ∈ L(A) e B ⊂ A é mensur´ avel ent˜ ao f ∈ L(B).. A.22. Seja A um conjunto mensur´ avel e f : A → R uma fun¸ca õ mensur´ avel. Mostre que: (a) Se f, g ∈ L(A) e f (x) ≤ g(x) para x ∈ A ent˜ ao Z Z f dµ ≤ gdµ; A. A. (b) Se a ≤ f (x) ≤ b para x ∈ A e µ(A) < +∞ ent˜ ao f ∈ L(A) e Z aµ(A) ≤ f dµ ≤ bµ(A); A. A.23. SejaR A um conjunto mensur´ avel e f : A → R uma fun¸ca õ mensur´ avel. Mostre que ao f (x) = 0 q.t.p. se f ≥ 0 e A f dµ = 0 ent˜ R A.24. Se f ∈ L(Rn ) é uma fun¸ca õ tal que A f dµ = 0 para todo o A ∈ M, o que é que pode dizer sobre f ? A.25. Mostre que o teorema A.27 pode ser generalizado a fun¸co ˜es f ∈ L(A). A.26. Mostre que se f ∈ L(A) e g(x) = f (x) q.t.p. em A, ent˜ ao g ∈ L(A) e Z Z f dµ. gdµ = A. A. A.27. Mostre que se f ∈ L(A) ent˜ ao |f | ∈ L(A) e ˛Z ˛ Z ˛ ˛ ˛ f dµ˛ ≤ |f | dµ. ˛ ˛ A. A. A.28. Mostre que se f é mensur´ avel em A e |f | ≤ g com g ∈ L(A) ent˜ ao f ∈ L(A)..

(88) 18. RUI LOJA FERNANDES. Teoremas de Convergˆ encia Uma das propriedades mais u ´teis do integral de Lebesgue é a possibilidade de, sob hip´ oteses bastante fracas, podermos trocar o sinal de integral e de limite: Z Z fk dµ = lim fk dµ. lim k→+∞. A k→+∞. A. Nesta seçca õ vamos estudar alguns resultados deste tipo. Teorema A.29. (Teorema da Convergˆ encia Mon´ otona de Levi) Seja A ∈ M e {fn }n∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es mensur´ aveis em A tais que 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ . . .. (x ∈ A).. Se f : A → R é tal que (x ∈ A),. lim fk (x) = f (x),. k→+∞. ent˜ ao lim. k→+∞. Z. fk dµ = A. Z. f dµ. A. Demonstra¸ca õ. Como 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · ≤ f (x) para x ∈ A, vemos que existe l ∈ [0, +∞] tal que Z Z f dµ. lim fk dµ = l e l≤ k→+∞. A. A. R Falta pois mostrar que l ≥ A f dµ. Seja 0 < c < 1 e 0 ≤ s ≤ f uma fun¸ca õ simples mensur´ avel. Defina-se Ak = {x ∈ A : fk (x) ≥ cs(x)}. (k = 1, 2, . . . ).. Como 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · ≤ f (x) em A, vemos que A1 ⊂ A2 ⊂ . . . e A=. +∞ [. Ak ,. k=1. Conclu´ımos que, para todo o k, Z Z fk dµ ≥ A. fk dµ ≥ c Ak. Z. sdµ. Ak. Tomando k → +∞, podemos aplicar o teorema A.6 (pois o integral é σ-aditivo), para concluir que Z l≥c sdµ. A. Sendo 0 < c < 1 arbitr´ ario, isto mostra que Z l≥ sdµ, A. para toda a fun¸ca õ simples 0 ≤ s ≤ f . Logo l ≥. R. A. f dµ, como pretendido.. . O exemplo seguinte mostra que os resultados de convergência obtidos n˜ ao s˜ ao v´ alidos se substituirmos integral de Lebesgue por integral de Riemann. Exemplo A.30. Seja {q1 , q2 , . . . } = Q ∩ [0, 1] uma enumera¸caõ dos racionais entre 0 e. 1. Para cada k = 1, 2, . . . , defina-se fk : [0, 1] → R por 8 se x = {q1 , . . . , qk } , < 1 fk (x) = : 0 caso contr´ ario..

(89) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 19. Ent˜ ao f (x) = limk→+∞ fk é a fun¸ca õ de Dirichelet. Conclu´ımos do teorema da convergência mon´ otona que Z Z f dµ = lim fk dµ = 0, k→+∞. [0,1]. [0,1]. ´ claro que este resultado podia ser obtido de forma mais logo f é integr´ avel a ` Lebesgue. E r´ apida observando que a fun¸ca õ de Dirichelet é uma fun¸ca õ simples.. Corol´ ario A.31. RSeja A um conjunto mensur´ avel. Ent˜ ao L(A) é um espa¸co vectorial e o integral : L(A) → R é uma transforma¸ca õ linear.. Demonstra¸ca õ. é preciso mostrar que se f, g ∈ L(A), c ∈ R, ent˜ ao f + g, cf ∈ L(A) e Z Z Z gdµ, f dµ + (f + g)dµ = A A A Z Z cf dµ = c f dµ. A. A. Limitamo-nos a demonstrar a primeira rela¸ca õ, deixando a segunda como exerc´ıcio. Suponhamos primeiro que f, g ≥ 0. Se f, g s˜ ao simples, ent˜ ao Z Z Z s2 dµ. s1 dµ + (s1 + s2 )dµ = IA (s1 + s2 ) = IA (s1 ) + IA (s2 ) = A. A. A. Sen˜ ao, pelo teorema A.23, podemos escolher sucess˜ oes mon´ otonas de fun¸co ˜es simples {s0n }n∈N e {s00n }n∈N que convergem para f e g. Como Z Z Z (s0n + s00n )dµ = s0n dµ + s00n dµ, A. A. A. passando ao limite, conclu´ımos que Z Z Z (f + g)dµ = f dµ + gdµ. A. A. A. Para provar o caso geral consideram-se separadamente os conjuntos onde f e g têm sinal constante. Para obter um resultado de convergência para sucess˜ oes n˜ ao-mon´ otonas de funço ˜es precisamos do Lema A.32. (Lema de Fatou) Seja A ∈ M e {fn }n∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es n˜ ao-negativas, mensur´ aveis em A. Se f : A → R é tal que (x ∈ A),. lim inf fk (x) = f (x),. k→+∞. ent˜ ao lim inf. k→+∞. Z. fk dµ ≥ A. Z. f dµ. A. Demonstra¸ca õ. Para cada m = 1, 2, . . . , defina-se gm (x) = inf {fk (x) : k ≥ m} ,. (x ∈ A).. Ent˜ ao gm é mensur´ avel em A e temos 0 ≤ g1 (x) ≤ g2 (x) ≤ . . .. com. lim gm (x) = f (x).. m→+∞. Pelo teorema da convergência mon´ otona, conclu´ımos que Z Z lim gm dµ = f dµ. m→+∞. A. A.

(90) 20. RUI LOJA FERNANDES. Como fm (x) ≥ gm (x) para x ∈ A, obtemos Z Z Z f dµ. fk dµ ≥ lim gm dµ = lim inf k→+∞. m→+∞. A. A. A. Como mostra um exerc´ıcio no final desta seçca õ, a desigualdade do lema de Fatou pode ser estrita. Teorema A.33. (Teorema da Convergˆ encia Dominada de Lebesgue) Seja A ∈ M e {fn }n∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es mensur´ aveis em A. Se f : A → R é tal que lim fk (x) = f (x), (x ∈ A), k→+∞. e existe g ∈ L(A) tal que |fk (x)| ≤ g(x), ent˜ ao lim. k→+∞. Z. fk dµ = A. (x ∈ A), Z. f dµ. A. Demonstra¸ca õ. Como fk e f s˜ ao mensur´ aveis e dominadas por uma fun¸ca õ integr´ avel, por um exerc´ıcio da seçca õ precedente, vemos que f k , f ∈ L(A). Como fk + g ≥ 0 o lema de Fatou mostra que Z Z (f + g) dµ ≤ lim inf (fk + g) dµ, k→+∞. A. A. ou seja Z. f dµ ≤ lim inf k→+∞. A. Z. fk dµ. A. Por outro lado, g − fk ≥ 0 logo, também pelo lema de Fatou, Z Z (g − fk ) dµ, (g − f ) dµ ≤ lim inf k→+∞. A. A. ou seja −. Z. f dµ ≤ lim inf −. Z. f dµ ≥ lim sup. k→+∞. A. Z. fk dµ,. A. o que equivale a Z. fk dµ. R R Assim, vemos que limk→+∞ A fk dµ existe e é igual a A f dµ. k→+∞. A. A. . Corol´ ario A.34. (Teorema da Convergˆ encia Limitada) Se µ(A) < +∞, {fn }n∈N é uma sucess˜ ao limitada de fun¸co ˜es mensur´ aveis em A e f : A → R é tal que lim fk (x) = f (x), (x ∈ A), k→+∞. ent˜ ao lim. k→+∞. Z. fk dµ = A. Z. f dµ. A. Demonstra¸ca õ. Por hip´ otese, existe M > 0 tal que |fk (x)| ≤ M para x ∈ A. Como µ(A) < +∞, uma fun¸ca õ constante em A é integr´ avel, logo podemos aplicar o teorema da convergência dominada. Observe que no dois resultados anteriores a fun¸ca õ limite é uma fun¸ca õ integr´ avel. Por outro lado, no Teorema da Convergência Mon´ otona a fun¸ca õ limite pode ter integral +∞..

(91) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 21. Exemplo A.35. As fun¸co˜es cosk (x) , 1 + x2. fk (x) =. (x ∈ [0, π]),. formam uma sucess˜ ao limitada de fun¸co ˜es mensur´ aveis e x 6= 0, π.. lim fk (x) = 0,. k→+∞. Pelo teorema da convergência limitada vemos que Z Z cosk (x) cosk (x) lim dµ = dµ = 0. lim 2 2 k→+∞ [0,π] 1 + x [0,π] k→+∞ 1 + x. Problemas A.29. Seja g(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ fun¸co ˜es fk : [0, 1] → R por. 1 2. 1 2. e g(x) = 1 para. < x ≤ 1. Defina uma sucess˜ ao de. f2k (x) = g(x), f2k+1 (x) = g(1 − x). Mostre que para esta sucess˜ ao a desigualdade do lema de Fatou é estrita. A.30. Seja A ∈ M e {fn }n∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es n˜ ao-negativas, mensur´ aveis em A. Mostre que: Z X +∞ +∞ Z X fk dµ. fk dµ = A. k=0. A k=0. A.31. Seja A ∈ M e {fn }n∈N uma sucess˜ ao de fun¸co ˜es mensur´ aveis em A. Mostre que P+∞ se existe g ∈ L(A) tal que k=0 |fk (x)| ≤ g(x), ent˜ ao: +∞ Z X k=0. Z X +∞. fk dµ = A. fk dµ.. A k=0. A.32. Se A é mensur´ avel, dizemos que f ∈ L2 (A) se f : A → R é mensur´ avel e Z |f |2 dµ < +∞. A. 2. Se f, g ∈ L (A) ent˜ ao define-se a norma em L2 por: kf k =. „Z. A. |f |2 dµ. «1. 2. ,. e o produto interno em L2 por hf, gi =. Z. f gdµ.. A. Mostre que: (a) Se f ∈ L2 (A) e c ∈ R ent˜ ao kcf k = |c| kf k; (b) Se f, g ∈ L2 (A) ent˜ ao f g ∈ L(A) e é v´ alida a desigualdade de Schwarz: |hf, gi| ≤ kf k kgk ; 2. (c) Se f, g ∈ L (A) ent˜ ao f + g ∈ L2 (A) e é v´ alida a desigualdade triangular kf + gk ≤ kf k + kgk . O que é que pode dizer sobre f se kf k = 0?.

(92) 22. RUI LOJA FERNANDES. ˜ o com o Integral de Riemann Relac ¸a Vamos agora mostrar que o integral de Lebesgue é uma extens˜ ao do integral de Riemann, i.e., que se f : A → R é uma fun¸ca õ integr´ avel a ` Riemann ent˜ ao f é integr´ avel a ` Lebesgue e os dois integrais coincidem. Assim, a teoria de Lebesgue é, de facto, uma extens˜ ao da no¸ca õ de integral a uma classe muito mais ampla de fun¸co ˜es. Teorema A.36. Seja f : A → R uma fun¸ca õ integr´ avel a ` Riemann. Ent˜ ao f é integr´ avel a ` Lebesgue e Z Z f dµ = f dx1 dx2 . . . dxn A. A. Demonstra¸ca õ. Podemos assumir que A ⊂ Rn é um rectˆ angulo limitado. Para k = 1, 2, . . . , existe uma parti¸ca õ Pk de A tal que (a) Pk+1 é um refinamento de Pk ; R R (b) limk→+∞ L(f, Pk ) = f e limk→+∞ U (f, Pk ) = A f ; A. Sejam Uk e Lk fun¸co ˜es simples tais que para todo o rectˆ angulo S de Pk temos Lk (x) = mS (f ). e. (x ∈ intS).. Uk (x) = MS (f ). Ent˜ ao é claro que L(f, Pk ) =. Z. U (f, Pk ) =. Lk dµ, A. Z. Uk dµ, A. e por (a) vemos que L1 (x) ≤ L2 (x) ≤ · · · ≤ f (x) ≤ · · · ≤ U2 (x) ≤ U1 (x). (q.t.p. em A).. Assim, existem fun¸co ˜es mensur´ aveis L(x) = lim Lk (x),. U (x) = lim Uk (x),. k→+∞. (q.t.p. em A),. k→+∞. tais que L(x) ≤ f (x) ≤ U (x),. (q.t.p. em A).. De (b) e pelo teorema da convergência mon´ otona, conclu´ımos que Z Z Z Z Ldµ = f dx, U dµ = f dx. A. A. A. A. Se f é integr´ avel a ` Riemann, estes dois integrais s˜ ao iguais. Logo, temos U − L ≥ 0 q.t.p. em A, e Z (U − L)dµ = 0. A. Por um exerc´ıcio da seçca õ anterior, conclu´ımos que U = L q.t.p. em A. Assim, f (x) = U (x) = L(x) q.t.p. em A, portanto f é integr´ avel a ` Lebesgue e Z Z f dµ = f dx1 dx2 . . . dxn . A. A. A rela¸ca õ entre o integral de Lebesgue e de Riemann, que acab´ amos de mostrar, também é u ´til no c´ alculo de integrais de Lebesgue, pois muitas fun¸co ˜es integr´ aveis s˜ ao limites de fun¸co ˜es cont´ınuas e para estas sabemos calcular o seu integral de Riemann. Ilustramos esta técnica nos exemplos seguintes..

(93) O INTEGRAL DE LEBESGUE. Exemplo A.37. Seja a > 0 e consideremos a fun¸caõ f (x) = Para cada k = 1, 2, . . . , as fun¸co ˜es fk (x) =. 8 < :. 1 xa. se x ∈ [ k1 , 1[,. 0. se x ∈]0, k1 [,. 23 1 xa. no intervalo A =]0, 1[.. s˜ ao limitadas e cont´ınuas q.t.p., logo s˜ ao integr´ aveis a ` Riemann e ´ 8 1 ` a−1 Z 1 Z −1 (a 6= 1), < a−1 k 1 fk dx = dx = a 1 x : ]0,1[ k log k (a = 1).. Assim, vemos que {fk } é uma sucess˜ ao mon´ otona de fun¸co ˜es integr´ aveis a ` Lebesgue, n˜ aonegativas, tais que f (x) = lim fk (x). k→+∞. Pelo teorema da convergência mon´ otona, conclu´ımos que 8 1 Z Z < 1−a 1 dµ = lim fk dx = a k→+∞ ]0,1[ : ]0,1[ x +∞. Por exemplo, vemos que. √1 x. ∈ L(]0, 1[) mas. √1 x. se a < 1, se a ≥ 1.. 6∈ L2 (]0, 1[).. Exemplo A.38. Para cada y > 0 consideremos a fun¸caõ f :]0, +∞[→ R definida por f (x) = e−x xy−1 . Afirmamos que f ∈ L(]0, +∞[). De facto, para x ∈]0, 1[ temos que. |f (x)| ≤ xy−1. e, pelo exemplo precedente, a fun¸ca õ xy−1 é integr´ avel se y > 0. Portanto, f ∈ L(]0, 1[). Para x ≥ 1 a fun¸ca õ exp(−x/2)xy−1 é cont´ınua e tende para zero quando x → ∞. Logo existe M > 0 tal que f (x) ≤ M e−x/2. (x ≥ 1),. e basta verificar que exp(−x/2) ∈ L([1, +∞[). Defina-se fk : [1, +∞[→ R por 8 −x/2 se x ∈ [1, k], < e fk (x) = : 0 se x ∈]k, +∞[, Ent˜ ao fk é integr´ avel a ` Riemann em [1, k] e Z Z k “ ” fk dµ = e−x/2 dx = 2 e−1/2 − e−1/k . [1,+∞[. 1. Pelo teorema da convergência mon´ otona, conclu´ımos que exp(−x/2) ∈ L([1, +∞[) com Z 2 e−x/2 dµ = √ . e [1,+∞[ Conclu´ımos ainda que f ∈ L(]0, +∞[). A fun¸ ca õ gama é a fun¸ca õ Γ :]0, +∞[→ R definida por Z Γ(y) = e−x xy−1 dµx . ]0,+∞[. Deixamos como exerc´ıcio mostrar que Γ(1) = 1 e que esta fun¸ca õ satisfaz a rela¸ca õ de recorrência Γ(y + 1) = yΓ(y). Em particular, conclui-se que sobre os inteiros esta fun¸ca õ coincide com a fun¸ca õ factorial: Γ(n + 1) = n!. (n = 0, 1, 2, . . . )..

(94) 24. RUI LOJA FERNANDES. Exemplo A.39. Seja f : R2 → R a fun¸caõ. f (x, y) = e−(x. 2. +y 2 ). .. 2. Definimos fun¸co ˜es integr´ aveis fk : R → R por 8 2 2 < e−(x +y ) fk (x, y) = : 0. se (x, y) ∈ Bk (0), se (x, y) 6∈ Bk (0). Ent˜ ao {fk }k∈N é uma sucess˜ ao mon´ otona que converge pontualmente para f . Usando a f´ ormula de mudan¸ca de vari´ aveis calculamos « Z Z Z 2π „Z k “ ” 2 2 2 2 fk dµ = e−(x +y ) dxdy = e−r rdr dθ = π 1 − e−k . R2. Bk (0). 0. 0. Pelo teorema da convergência mon´ otona, conclu´ımos que f ∈ L(R 2 ) e Z Z fk dµ = π. f dµ = lim k→+∞. R2. Como. Z. R2. obtemos. f dµ =. „Z. e. −x2. dµx. « „Z. e. −y 2. dµy. R. R. Z. R2. 2. e−x dµ =. √. «. ,. π.. R. Problemas A.33. Calcule ou mostre que n˜ ao existem os seguintes limites: R +∞ (a) 1 t sin( 1t ) − 1 dt; R +∞ 1 − t √ e k dt; (b) limk→∞ 0 R +∞ tcos(x/n) (c) limn→+∞ 0 dx; 2 R +∞ 1+x (d) limn→+∞ −∞ e−|x| cosn x dx; R 2 2 2 1 (e) B (x2 +y 2 )2 dxdy onde B = {(x, y) ∈ R : x + y > 1}. 2 +y2 +z 2 x R (f) limn→+∞ B ex2 +yn2 +z2 dxdydz onde B = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < x2 + y 2 + z 2 < 1}.. A.34. Seja A ∈ M com µ(A) < +∞. Mostre que L2 (A) ⊂ L(A) (ver o u ´ltimo exerc´ıcio da seçca õ anterior). O que é que pode dizer se µ(A) = +∞? A.35. Mostre que a fun¸ca õ Γ satisfaz: Γ(1) = 1,. Γ(y + 1) = yΓ(y).. ˜ o: Aplique integra¸ca Sugesta õ por partes ao integral Z k e−x xy dx. 1 k. A.36. Considere a fun¸ca õ g : R → R definida por Z t2 2 g(t) = etx dx. 0. (a) Mostre que g é cont´ınua; (b) Mostre que g é diferenci´ avel; (c) Calcule g 0 (0)..

(95) O INTEGRAL DE LEBESGUE. 25. Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5]. M. Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley,1992 L. T. Magalhães, Integrais M´ ultiplos, 2 a Edi¸caõ, Texto Editora, 1995. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill, 1976. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill, 1986. A. Kolmogorov e S. Fomin, Elementos da Teoria das Fun¸co ˜es e de An´ alise Funcional, MIR, 1982. [6] F. Riesz e B. Nagy, Functional Analysis, Dover, 1990..

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