UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS. CURSO DE PõS-GRADUAÇSO EM F1SICO-QUÍMICA

CENTRO DE C I Ê N C I A S FÍSICAS E MATEMÁTICAS CURSO DE P õ S - G R A D U A Ç S O EM F1SICO-QUÍMICA

M A G N E T I S MO DE S U P E RF Í C I E P A R A MODELOS FERROMAGNÉTICOS A N I S O TR ö PI C O S

DI S S E RT A Ç Ã O SUBMETIDA Ã U N I V E R S ID A D E FEDERAL DE SANTA C AT AR I N A PARA

, ' i , O BT ENÇSO DO G RA U DE M E S T R E EM CIÊNCIAS. J O A Q U I M N E ST OR BRAGA DE MORAES FLORI A NÓ PO LI S S A NT A C A T A RI N A - BRASIL JULHO - 1990

ANISOTRóPICOS

JOAQUIM NESTOR BRAGA DE MORAES

ESTA D IS S ER T A Ç SO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO T ITULO DE

"MESTRE.EM CIÊNCIAS'

E S P EC I A L ID A D E EM FISICO-QUIMICA E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PôS-GRADOAÇXO

PROB. ADEMIR NEVES, DR. COORDENADOR.

B A NC A E X AMINADORA

PROF. WtarÈR FIGUEIREDO, DR.

A l ^ C u r X T f á ^ ' .

PROF. SÍLVIO ROBERTO S Â L I N A S , DR,

A GRADECIMENTOS

Ao D ep a rt a m e nt o de F ísica da UFSC.

Ao P ro fe s so r W a g n e r F i g u ei r ed o pelo p a ci en te e minucioso t ra balho de o ri e nt aç So e pelo incentivo constante.

à M a ri l en a pelo a po io e incentivo.

Ao N o rberto Majlis pelas valiosas discussões.

RESUMO

C on s i d e r a m o s neste trabalho um modelo de H e i s e n b e r g a ni s ot ró pi co em uma rêde c úbica s e m i- i nf i n i ta dentro do f o rm al is mo das funçSes de Green na A p r o x im a ç ã o de Fases Aleatórias ÍRandom Phase A p p r o x i m a t i o n ). A n al i s a mo s as difere n te s p o s s í v e i s c o nf i g u r a ç S e s para os p a r â me t r o s de a n is o t r op i a da superfície e do volume. Por simplicidade c o ns i de r a m os em nossos cálculos que a m a gn e t i z a ç ã o do terceiro plano viá é igual à do volume. O b t i v e m o s o perfil da m a gnetização de superf íc ie e o espectro de energia das ondas de spin para d i fe r e n te s c on fi g ur a ç 3 es dos p ar â m e tr o s de anisotropia. Em particular compar am os n o ss os resultados p a ra os p ontos m u l t i c r i t i c o s , obtidos via funçSes de Green, com os o b ti do s por Mariz, C o st a e T s a l l i s ^ ^ ^ através de cálculos de G r u p o de R e n o r m a l i z a ç ã o .

ABSTRACT

In this work we c on si de r an a ni so tr op ic H e is en b er g model on a s e m i - i n f i n i t e cubic lattice within the G r een's function formalism a nd R an d o m P h as e Approximation. We analyse the different possible c o n f i g u r a t i o n s for the surface and bulk a n is ot ro p y parameters. In o ur c a l c ul a ti o n s we have assumed for simplicity that the m a g n e t i s a t i o n of the third plane equals the bulk value. For the d i f f e re n t c o n fi g u r at i o n s of the a n i so tr o py parameters we have o b t a i n e d the p r of i le of the surface m a gnetisation and the e nergy s p e c t r um for the spin-waves. In particular we have c om pared our G r ee n 's funct io ns results for the m ul t ic ri ti ca l points with the R e n o r m a l i s a t i o n G r o u p c alculations p e rf or me d by Maris, Costa and T s a l l i s ao> .

L IS T A DE ILUSTRAÇÕES P A G . F IG U R A 1 - T e m p e r a t u r a c rí t ic a reduzida (r ) em função C do p a r â m e t r o de anisotropia (£) . ... 20 F IG U RA 2 - M a g n e t i z a ç ã o (<$">) em função da t em pe ra tu ra r e d u zi d a (t ) para diferentes valores do

p a r â m e t r o de a n i s o tr o p i a ( £ ) ... 20

FIGURA 3 - Relaç ão de d i sp er sã o para as ondas de spin em função do p ar â m e t r o A(k„) para £=0.50 e

~Y~ = 0.179 ... 21 C

FIGURA 4 - Rel açã o de d i s p er sã o para as ondas de spin em função do p ar â m e t r o A(k„) para £-0.50 e

= 0.774 ... ... ... 21 C

FI GUR A 5 - Rel açã o de d isp ers ão para as ondas de spin em função do p a râ me tr o A(k„) para £=0.50 e

-j- = 0.976 ... '... 22 C

F IG U RA 6 - R e la ç ã o de d i s p e rs ã o para as ondas de spin em função do p a râ m e t r o A (k„) para £=0.30 e v ários v a l o r e s de T/T : -£-=0.213 ; — i-=0.870 ; C i 1 c c T =0.994 ... 22 T C

F IG U RA 7 - E squema das interações de interc â mb io ... . . 24

F I G U RA 8 - M a gn e t iz aç ão ( < S Z>) em função da t e mperatura

reduzida ('O p a r a <£„=0.50 ; ^ v=0.50 ;RJ=2.00 ... 48

F IG U RA 9 - M ag n et i za ç ã o (<$">) em função da temper at ur a

r eduzida (t ) p a r a ^ c=0.50 ; e v=0 . 10 ; R.J=5.00 48

F IG U RA 10 - M a gn e t iz aç ão ( < S Z>) em função da t emperatura

r eduzida (t) p a ra £^-0.30 ; *?w=0.50 ; RJ=2.00 51

F IG U RA 11 - T em pe ra tu ra c r í t i c a de superfície (t*) em

função do p a r â m e t r o RJ p a ra e^=0.50 ; £ - 0.10 51

F IG U RA 12 - T e m pe r a t ur a c r í t i c a de superfície (T *)

função do p a r â m e t r o RJ p a r a e =0.30 ; £^= 0.50 52

F IGURA 13 - T e m p er at ur a c r í t i ca de superfície relativa (t"/tv ) em f u nç ão do p a râ me t ro de anisotropia

C C

de superfície (£ ) para: £ - 0.10 ; RJ = 4.09 . . 52

S V c

F I GU RA 14 - Parâmetro de a c o p l a m e n t o de superfície (RJ) em função dos p a râ m et r o s de a nisotropia de

superfície (£ ) e de v o lu me (£ ) ... 54

F IGURA 15 - M a g n et i z a ç ã o ( < $ z>) em função da t emperatura r ed uzida (t) para £ =0.50 ; £ =0.50 ;

Si V

RJ=1.00 e d i f e r e n t e s valores do parâmetro de

inter c âm bi o e n tr e a superficie e o 2 a plano (Jj_) 59

FIGURA 16 - Energia n o r m a l i z a d a das ondas de spin , (F) em funçSo do p a r â m e t r o A(k„) p a r a £^=0.30 ;

£ v= 0 .50 ;R J = 1 ,12 t = 0.0189 ; = 0 . 0 8 3 9 ___ 61

F IGURA 17 - E n ergia n o r m a l i z a d a das ondas de spin (F) em função do p a r â m e t r o A(k„) p a r a ^ = 0 . 3 0 ;

e =0.50 ;R J = 1 .12 ; t = 0.0837 ; t v = 0.0839 .... 61

V c

F IGURA 18 - Energia n o r m a l i z a d a das ondas de spin (F) em função do p a r â m e t r o A(k„) p a r a -£^=0.30 ;

£ = 0 . 5 0 ; R J = 0 . 5 6 ; r = 0 . 0 8 3 7 ; t v = 0 . 0 8 3 9 ... 63

V C

FIGURA 19 - Energia das o n da s de spin (E^ ) em função da **• $*

te m p er a t u ra r e d u zi d a (t ) p a r a <s^=0.30 ;

* v=0.50; R J = 1 . 96 ; ít„( 0,0,0) ... . 63

FIGURA 20 - Energia das o nd a s de spin ( E+ ) em função da

*•

t e mp e ra t u r a r e du zi da (t ) p a r a £ fi=0.30 ;

SUMÁRIO PAG . A g r a d e c i m e n t o s ... iii R e s u m o ... iv A b s t r a c t ... ... ... v . Lista de F i g u r a s ... vi C AP ITULO 1 - I n t r o d u ç ã o ... 01

CAPITULO 2 - F unção de G r e e n para u m Sistema F er ro m ag né ti co de H ei s e n be r g A n i s o t r ó p i c o ... 06

CAPITULO 3 - F unção de G r e e n para um S i stema F er ro m ag né ti co de H e is en b e rg S e m i - I n f i n i t o ... 23

CAPITULO 4 - R e s u l t a d o s ... 47

CA P ITULO 5 - C o n c l u s S e s ... 66

A P Ê N D I C E . . . ... ... 70

C AP I T UL O 1

INTRODUÇXO

Nos ú lt im o s anos tem havido um grande interêsse t e ó r i c o ^

( 16 ” 21)

e experi me nt a l nos p r ob le ma s relativos ao o r d e na me nt o m ag n ético de superfícies. Do ponto de v is ta teórico, d iv ersas técnicas têm sido u t i l i z a d a s no estudo do m a g n e t is m o de superfície: Teorias de C a mp o E f e t i v o ^ ^ ? ExpansSes em Séries de Altas

/ e \ / 7 \

T em p e ra t ur a s , S i mu la ç ã o de Monte C ar io , G ru p o de R e n o r m a l i z a ç ã o ^ M ét o d o das FunçSes de G r e e n ^ ^ Do ponto de vista e x p e r im e nt a l d i v e r s a s técnicas têm sido e m p r e g a d as que p er m it em a n al is ar a m a g n et i z a ç ã o das p r i m e ir a s camadas de uma amostra magnética. Entre as técnicas mais u s a da s d e s t a c a m o s a difraçSo de e lé tr on s p o l a r i z a d o s de baixa energia, e s p e c t r o s c o p i a de captura de elétrons, r es s on â n c ia de spins eletrônicos, etc.. Uma revisSo d es t e s m ét od os pode ser e n co nt ra da nos t r a ba l h o s de

(22 ) ( 2 3 )

N.Majlis e C e l o t t a e P ierce . Uma r evisão sobre os d iv ersos tratamentos t e ór i co s com ê nfase partic u la r p a ra o modelo de Ising,

(24)

pode ser e n c o nt r a d o no trabalho de Binder , v o lume 8 d a coleção Domb e Lebowitz.

Um dos p r o b le m as mais interessantes no m a g n e t i s m o de super f íc ie s é o a pa r ec i me n t o de uma fase f e r r o m a g n é t i c a acima da t emperatura c r í t i ca de volume. Por exemplo, c o n s i d e r a n d o - s e uma rêde s e m i - i n f i n i t a de á to mo s magnéticos, é p os sí v el obter, a partir de uma d a da temperatura, uma configuração do sistema, na qual apenas os p l an os p ró xi m os à superfície estão ordenados, enquanto

c o m p o r t a m e n t o tem sido o b se rv a do em d if er en te s experi me nt os r e a l i z a d os nos últimos anos. Por exemplo, para o íon terra rara

C i g )

gadolíneo. o bs e rv ou -s e que a t e m p e ra t u r a critica desse cristal é de 293K , enquanto que o o rd e na m e n to m ag né ti co de superfície p er s i st e até uma t e mp er at ur a de 307K . Esse tipo de c o mp o rt am en to também tem sido observado em outros elementos, como por exemplo, no terbio ( T b ).

D e ve m os ressaltar que e mb or a jiá exista uma c o n s id e rá ve l q u a n t i d a d e de informaçSes sobre este tipo de ordenamento, os m e c a n i s m o s b á si co s que levam a essas transiçSes nSo sSo s u f i c i e n t e m e n t e conhecidos. Por exemplo, informaçSes acerca do tipo de o r d e n am e n t o (ferro ou a n t i f e r r o m a g n é t i c o ), m a gn itude dos d i f e r e n t e s a c op la me nt os de i n te rc âm bi o e se o m e ca ni sm o de o r d e n a m e n to é d evido a spins locali za d os ou itinerantes, não são ainda s u fi c i e n t e m e n t e conhecidos.

Por isso, a maioria dos c ál cu l os r e al iz ad os até o p r es en te n e ss a á r ea f or necem apenas i n fo r m aç õe s q u a l it at i va s sobre o c o m p o r t a m e n t o experimental. Na m a i o r i a das situaçSes consideradas, o modelo de spins localizados tem sido o mais estudado, com ênfase p a r t i c u l a r nas p r op r ie d ad e s do m odelo de Ising em siste ma s

(24)

s e mi - i n f i n i t o s . 0 estudo do m od el o de H e is e nb e r g em siste m as s e m i - i n f i n i t o s é muito interessante, pois além de podermos e st udar os a s pectos relativos ao o r d e n a m en t o de superfície, podemos também obter i n fo rm a çS es sobre o e sp ec tr o de e n e r g i a das ondas de spin. Neste caso, a análise é um p ou co mais complexa, pois d e v id o à q u e b r a d a s i m et ri a t r anslacional em três dimens3es, p od eremos agora ter ondas de spin cujas a m pl it u de s d e c r e s c e m rapidamente a p artir

da superfície. Isso nos p er mi te d i s t i n g u i r modos de excitação l ocalizados d a q u e l e s que se e s tendem por sobre todo o volume c r i s t a l i n o .

Neste t ra balho c o ns i d e ra m os um modelo de H e i se n be r g a ni s o tr ó pi co nume rede c úbica semi infinita. 0 modelo que estudamos p er m it e que, a través de uma e s colha c o nv e ni en te dos p a râ me t r o s de an i s ot r o p ia de interc â mb io na s up er fí ci e è no volume, p o ssamos d et e r m i n a r d i f e r e n t e s c o n f ig ur aç Se s p a ra os ordena m en to s da superf í ci e e do volume. A lg um as s i tu aç S es são d i sc ut i da s èm detalhe, como por exemplo, q u an do a s up er fí c i e e o volume são d e sc r i t os por m od el o s de Heisenberg, d e vido às consequências

( 25 ) teóricas r e la tivas à a pl ic aç ão do t e or e ma de M ermin e Wagner a s is temas s e m i - i n f i n i t o s .

(26) Em n o ss a análise u t i l i z a m os o m é to do das F u nçSes de Green , com o d e s a c o p l a m e n t o RPA ("Random Phase A p p r o x i m a t i o n ” )

Além disso, c o n s i d er a mo s que a m a gn e t i z a ç ã o é u n iforme dentro de cada plano e que o terceiro plano a partir da superfície se c om porta como se p e r t e n ce s se ao volume^ . Como p ar âm et r o s v ar i áveis em nosso modelo, tomamos os graus de a n is o tr o pi a da s uperfície e do v olume e as relaçSes entre os acopla me nt os de intercâmbio d a s u pe rf íc ie e do volume.

No c ap ít u lo 2 deste trabalho e s tu da m os o c om po rt am en to da m ag n et iz aç ão em função da t em pe ra tu ra p a r a um modelo de H e i s e n b e r g an i so tr óp ic o em função do p a râ me tr o de anisotropia, para u m a rêde cúbica simples sem s u pe r f íc ie s delimi t ad o ra s. Além disso, o b ti ve mo s os c o r r e s p o n de n t e s e sp ec tr os de energia. Isso se faz necessário, pois p a ra se estudar as excita ç Se s na s u pe rf íc i e d e vemos c o nh ec er o valor da m a g n et i z a ç ã o para cada t e mp er at ur a considerada. Isso é

i ntegrado ao v o lu me do sistema.

No c ap ítulo 3 , d e s e n v o l v e m o s d e t a l h a d a m e n t e todo o formalismo d as F u nçSes de Green aplicado ao estudo das e xc it aç Se s de ondas de spin no s i stema s e m i - i n f i n i t o . Em p a r ti c u l ar d er iv a mo s expressSes p a r a as m a g n e t i z a ç S e s dos dois p r i m ei r os p lanos em função da temperatura, e calcul a mo s o espectro de e n ergia dos magnons locali z ad os p r óx im o à superf í ci e cristalina. 0 f o rm al i sm o deve ser a pl i ca do com muito cuidado, s e pa ra n do -s e c o nv en ie n t e me n te as r eg i Be s abaixo e acima da t em p er a t u ra c rí ti ca de volume. As e x pr e s s õe s obtidas formam um c on junto de e qu aç Se s integrais, não lineares e a co pl ad as que deve ser r es olvido a ut oc on s i s te n te m e n te p a r a cada valor de t em p e r at u ra e dos p a râ m e t r o s d a H a m i l t o n i a n a .

No capít ul o 4, a p r e se n ta mo s os p ri m ei r os resul ta do s obtidos a p ar t ir da análise das equaçSes d er iv a da s no c a pítulo 3. M o st ra m os que através de uma escolha c o nv en i en te dos p a râ m e t ro s é possível obter uma m a g n et i z a ç ã o de superf íc ie acima de um volume p a r a m a g n é t i c o . D is cu t i mo s as s i n g u l a ri d a d es obtidas para a m a g n e t i z a ç ã o de superf í ci e na t e mp e r at ur a c rí t ic a de volume, no c on texto de teorias e fe tivas de Campo Médio e do Grupo de R e n o r m a l i z a ç ã o ^ ^ ^. T am b é m obtivemos um d i a g r a m a p ar a os a co p l am e nt o s críticos de super fí ci e em função dos graus de a ni s o t ro p ia do volume e d a superfície. S ur pr ee nd entemente, nossos resultados, b a seados no m étodo das F un ç Se s de Green, são c om p a r áv e i s à q u e l e s obtidos a través de G r up o de R e n o r m a l i z a ç ã o . M o s t ra m o s ainda que através da análise dos e sp ectros de e n ergia p a r a os modos localizados, p od emos também inferir sobre o o r de n a me nt o m a g n ét ic o de superfície. No c ap ít ul o 5, aprese n ta mo s

as p ri nc ip a i s c o n c l u s 3 e s deste trabalho e as p e r s p e ct i v a s de d e s e n v o l v i m e n t o de futuros trabalhos empregando o f o rm al i sm o das FunçSes de G r e e n . F i n a l m en t e . apresentamos no apênd ic e uma d is c us s ão sobre a a p li ca ç ão do t eorema de Mermin e W a gn er para s istemas s e m i - i n f i n i t o s .

C A PÍ TU LO 2

F U N Ç 20 DE G R E E N PARA UM SISTEMA F E R R O MA G N É TI C O DE HEISENBERG A N IS OT Rö PI CO

N este c a p í t u lo a p r e se n t a mo s o c á lc ul o da m a gn et iz aç ão de um

m é t o d o d a F u n ç ã o de Grêen.

I n i c i a l m e n t e é e s t a b e l e c i d a u ma r elação entre a m a g n et i za ç ã o e a d e s c o n t i n u i d a d e da F un çã o de Green. Em seguida, a p ar t ir da H a m i l t o n i a n a a d ot ad a e da e q ua ç ão de m o vi m e n t o da Função de Green o b t e m o s a F u n çã o de G r e e n de interesse u ti l iz a n d o a a p r o xi m aç ão das f ases aleató r i as , RPA ("Random P hase A p p r o x i m a t i o n " ). Fazemos uma c o m p a r a ç ã o e nt re os v a lo r es das t em p er a tu r a s críticas obtidas com os a p r e s e n t a d o s na literatura. D e te r mi na mo s as curvas de m a gn et i za ç ã o , a t e mp e r a t u r a c r ít i ca e a r elação de' d is pe rs ão das o ndas de s p i n p ar a d i f e r e n t e s graus de a n i s o t ro p ia cristalina.

A magnetização, d e f i n i d a como sendo a m édia t ér mi c a do o p e r a d o r de spin S z , isto é,

a b s o l u t a e a H a mi l t o n i a n a de spins do sistema, pode ser c a lc u la da a t r a v é s do uso das F u nç Se s de Green se c on si de ra rm os que o o p er a do r c r i s t a l f e r r o m a g n é t i c o i n finito p a r a o caso de spin=l/2 através do

Tr

T r

f

(

2

1

V

onde / ^ ( K T) K sendo a c on st a n t e de Boltzmann, T a t em pe ra tu ra

co m o

s : = ± i s r

(2 - 2 )

L e m b r a n d o q u e : ,

( s ;)2 = ( $ D 2 + (ií)2+ (ií)*= I (síif ♦ $:.$!) + ($í>2 ,

(2-3) e q u e

[ í * ; s : ] - 2 $;

£

; s ;j; = 2 s* + s: $; ,

S f = f $ i )

8

- ( $ I

)2

- S : $ í

<$r> = <(si)

2

>-<($f)

2

> - < s :s '> r

sis+i)- <(slf

)-($:& >.

(2 - 6 )

Em p a r t i c ul a r , p a r a s = 1/2 , obtemos

< $ ? > - i - < $ : Si* > .

P a r a q u e p o s s a m o s u s a r a técnica da Função de G r ee n devemos c o n s i d e r a r os o p e r a d o r e s e na repre s en t aç ão de H ei se n b er g

d e p e n d e n t e s do t e m p o e da t e mp e r a tu r a , são defin id as para os o pe r a d o r e s S * e $. na s e g ui n t e forma : Cir ct,f) = - i e l t - t ) < [ $; ■ ( « , £ ] tf)] > * - ; e ( t - t ) . - < $ í ( f i s : < t > > } = « s / c t j , $i' (t’) » r , 12 9) = i © < [ S r « ) , $ [ » ' ) ] > = S ^ a ' ) > - < £ } <-t'J £ ! « ) > } - « , (

2

1 0

onde 3(t) é a f u nç ão de Heaviside e as funçSes

F' (t,t" ) = <$.'(t)S. (t')> e F ' (t ,t" ) = <S. (t')S.‘ (t) > são as funçSes t J- ; i -.j. de c o r r e l a ç ã o o u as m é di as t ér mi ca s do p r od u t o dos o pe ra do re s 5^(t) e S . (t ') . O u seja,

xS^c-t)

- 2

r L

e

Si (o) e

e

J ,

2

1 1

onde Z=Tr ^ e j é a f unção de partição.

L e m b r a n d o q u e o t ra ço do produto de operadores é invariante sob p e r m u t a ç ã o c í c l i c a d e ss es operadores, vemos que:

F * ( t , t o = F ~ T ( t - t ' } - + (2 - 1 2 ) e que, c o n s e q u e n t e m e n t e

Q r

( i ,

t’

) =r

(Gir (t -t')

,

Este fato n o s p e r m i t e introdusir a t r an s fo rm a da de Fouriér t em p or al p a r a as F u n ç S e s de G r e e n e p ar a as funçSes dé correlação: r *° ° i

7P

f

i E (t-t )

CUÍE-) « —

(Q (t-t') e

d c t - O

,

Ij (t -t'j r

Cf) e

o

L

f

onde <S(t - t') p o d e r e p r e s e n t a r as FunçSes de G r ee n a v ançada e retardada. Temos a i n d a que:

+ oo

r +

,

I '

-xoJCt

-t')

I

(t-t) =

J

cuj

) 6

d to

Nas e qu aç Se s acima, é a c h a m a da função densi d ad e e s p e c t ra l e pode ser e x p r e s s a como:

+ oo —p i I J— ~+ A C Ü Í t . - ^ )

J c oj) -

_L_

I

f- ct-t’)

e

d c t - t ')

^

r+0°

r

Ç,.

= _ L

[ - x©cti

+

e

d t =

£

—► o1

-

2

íT J

x (E - co

4

-

ie.)

onde o fator e (£ -» 0 ) é i n troduzido para g a r a nt i r a c o n v e r g e n c i a da integral q u an do t -*■ oo . p o r t a nt o temos: - + CO J(u,> ( e ^ - l ) cico

( E - CJ + 1 d )

(Ç (E) = J L

a

27r

iec-t]

.e, por um p r o c e d i m e n t o a n ál og o ao caso a nt er i o r c h egamos a: f ■+ CO = 1 L 2TT £ o* -co

■Jto) (

(E -

cü

■- i£ )

.

A d e s c o n t i n u i d a d e da F un çS o de Green pode ser relacionada com a f unçSo d e n s i d a d e e s pe ct r al J(<*>) p o r m e io da seguinte r e p r e s e n t a ç ã o p a r a a funçSo <5(x):

i

2

2 1

£ —► O

J(u,) ( e ® " i ) i i m

1

____L

£ -*. O"1- I E - cü - i.£

E -

to + i£

- 1 J ( w ) l ) 2 t f * C> ( E - u j} cloü -00

d

cü

A p a r t i r das equações (2.7) , (2.15) e (2.23) tomadas para t=t', p o d e m o s d e t e r m i n a r a m a gn e t i za ç ão de e q ui l íb r i o por spin p a ra o sistema:

r +°° i____ b m Í Q ( E + í & ) " ^ ( E- a E) e (3 E _ i £ _ ^ 0+ cJe • (2-24) A d e t e r m i n a ç ã o da m a gn e t i z a ç ã o depende agora u n i c am en te do cá l cu lo das F u n ç S e s de G r e e n © (e ), o que será feito a t r a v é s de suas r es p ec ti va s e q u a ç S e s de movimento. Temos portanto:

l d- = i A __ í-i 6 Ct-t') <■ r $ ! ( * ) . 2 - < ^ > 1 y 1

d t

r

at I

*

' m

J

d-

<G

C M ' ) = A Ã - ,

onde c o n s i d e r a m o s que os operad or es $^(t) e S (t') p o de m estar

l m

a ssoci ad os a d i f e r e n t e s p o n t o s da rede.

+00

L e m b r a nd o que

ô(t-t'):J

d s £ -oo

dt-— = | s + (t) ,sej é fácil verificar que

;

d-

(Ej (t

,t’)

=

i d-

da Ct,t*

)

=

i

cl

(Ç

(t ,t’)

A i .

r

,.

‘a.

rr-dt

d t

(2-26)

O b temos a s s i m a s e g u in t e equação de movimento:

 - Ç

"i*.*’» = &

<■*-*"> <

[ S r “’*

+ « [ s r w ^ l

•

d t

(2-27)

E« $ :; $1», = ^ < [>*«■>, s ; (o] > t « [Sj:

$

J . $i >>B •

(2-2 8) *

N e st e t r a b a l h o c o n s i d e r a r e m o s a seguinte Hamiltoniana, numa rêde c ú b i c a simples, p a r a v al o re s de spin s=l/2:

o n d e a s o ma é c o n s i d e r a d a p a r a todos, os pares de spins vizinhos mais p r ó x i m o s l o ca li z ad os nos pontos t e j da rêde, J

_*7

_"7

i j

p a r â m e t r o de troca, h é a e n e r g i a a ss oc ia da ao campo magnético e x t e r n o e £ é um p a r â m e t r o q u e permite controlar a anisot r op ia de n o s s o modêlo. Em p ar ti cu l ar , se £=0.5 obtemos o modelo de H e i s en be rg , e se £->-0, o b t e m o s o m o delo de Ising.

D e v e - s e r e s s a l t a r q u e o v al or fi=0, que em nosso caso r e p r e s e n t a r i a u m m od e l o de Ising puro, deverá ser evitado uma vez q ue o c á l c u l o d a m a g n e t i z a ç ã o > via Função de Green, se b a s ei a na d e t e r m i n a ç ã o das funçSes de c o rr e la çã o < $ + (t),$ (t') > e < $ ( t ) , $ + (t') > , e q u e £=0 elimina de nossa H a mi l t on ia na j u s t a m e n te os o p er a d o r e s S + e S ; p or essa razão, em nossos c á l c u l o s subsequentes, t o m a r e m o s o valor de £=0.01 como sendo o l i mite p a r a o m od el o de Ising.

E x p r i m i n d o a H a m i l t o n i a n a em termos dos operadores e $ t e r e m o s :

I n tr o du z i n do e s t a H a mi l t o ni a n a na equação (2.28) e e f e t u a n d o - s e um d e s a c o p l a m e n t o através da aproximação RPA ("Random P h a s e A p p r o x i m a t i o n ” ) obtemos:

[

e

-

Ç

C

u

-

o

<

s

Ç > - k ] «

= j r

< S ! > L . - Ç Jrr £ <s;> «

K

; S l » e

JL l im i (2-31)

A e x i s t ê n c i a de s i m e t r i a translacional no cristal infinito p e r m i t e i nt ro du z i r a t r a n s f o r m a d a de Fourier para a Função de G r e e n

( G <E>) na f o r m a :

t

i

K.( £-/vw )

/

(2-32)

o nd e N é o n ú m e r o de c é l u l a s u n it árias do cristal e os v etores K são os v e tores de o n d a d a 1- zona de Brillouin. Devido à s im etria t r a n s l a c i o n a l ,< S z >=< $ z > , independentemente do ponto da r ê d e .

l

C o n s id e r a nd o que a f u n ç ã o <5 pode ser expressa na forma: l m liT.íA p o d er e m o s e s c r ev e r a F u n ç ã o de Green <B^(E)como: K

(R . ( £ ) - < í a>

1

"

TI'

E - Erí

onde

E - =

e

<T < ï 2 > [ L - d - £ (T-] + k

n ú m e r o de v i z i n h o s mais p r ó x i m o s de u m dado spin. A e q uaçSo (2.35) dá os poios da F un ç So de Green, que sSo identificados com as

(12 26) e ne r gi as de e x c i t a ç S o das ondas de spin do sistema ’

I n t r od u zi n d o -s e a e x p r e s s ã o de <B (e ) na equação (2.32), e k

-y

fa z e n do - s e rn-i t e remos a Função de G r e e n que necessitamos:

N TT

K

/

(2-36)

e q u e permite, portanto, a o bt ençSo de uma expressSo para a m a g n e t i z a ç ã o < $ z > p or m e i o da e q uação (2.24): + oo

2

e se- l

E

< s *>

C o l o c a n d o - s e h=0, na e qu aç ã o (2.35), p odemos d et er mi na r a m a g n e t i z a ç ã o e s p o n t â n e a como função da temperatura.

A d e t e r m i n a ç ã o de < $ z> em função d a t e mp e r a tu r a pode ser r e a l i za d a a t ra v é s do c ál c ul o autoco n si st en te das equaçSes (2.38) e (2.35) . A soma sobre os v e tores de onda k foi e f et ua da usando-se o M E T O D O D O S P O N T O S E S P E C I A I S (1 4 1 2 7 ) .

A e x p r e s s ã o da t e m p e r a t u r a c r itica de v ol u m e em função do p a r â m e t r o s é o b t id a impondo-se a condi ç ão de que p a r a h=0 ,

< $ z>— > 0 q u a n d o T — > T c . P o de mo s e s c r e v e r que:

(2-40)

<7

L e m b r a n d o que, q u a nd o < S ^>— > 0 , E-» — > 0, p o demos expandir

ftEtt c o t g h ^ —

2

~J e

Z J

<sz>

NI

V

= J L

1

____________

TT rn f B ‘c

onde T = --- =— e a temoer a tu ra critica reduzida. n z J

P a ra o uso do método dos pontos espec ia is devemos fazer a a p r o x i m a ç ã o :

•n

onde os k são os pontos e s p e c i a i s .d e te r m i n a d o s através das p r op r i e d a d e s de simetria da rede, p e rt e nc e n t es à p r imeira zona de

—>

B ri l lnuin e o são os ossos associados aos oon.tos . k .

Para uma. rede cúbica siitmies os D o n t o s k oodem ssr escritos na forma k = i'x,y,z) onde x . y ,z são os 16 D r i m e i r o s

n úm e r os impares positivos, compondo assim um conjunto de 816 v et o re s irredu t ív ei s dentro da p r im ei ra zona de Brillouin.

Temos 16 vetores do tipo (a.a,a) . com peso Civr4^gg" ’ ^40 do A

tipo ( a . a , b ) com peso ^ ^ g q g e 560 do tipo ( a , b , c ) com peso

6

a.

\ 4096

No q uadro abaixo aprese n ta mo s os v a lores obtidos a t r a v é s do m ét o do das F u nç Se s de Green e por outros m é to d o s para a temperatura c r í t ic a ( K T /zJ ) do modelo de H ei s e n be r g ( 3f : - 2J ^ S S. )

B C Zj . ^ J

< v j>

A p r o x v m a ç a o d © C a m p o M e d i o E x p a n s ã o e m S e r i e s d e A l t a s T e m p e r a t u r a s < A ) Q r u p o d e R e n o r m a l v z c u j ã o - M i g d a l K a d a n o f f < B > F u n a o d e G r e e n < C > H e t s e n b e r g _{0 . 5 0.28 0 . 26 0.33} 1s t n g _{1.0 0.75 ■ 0 . 75 0.99} e = 0.01 (A) <B> <C>

M . F ^ y k e s , D . S . G aunt and M.Glen. J.Phys. A 9 , 97 (1976') F.Lie, H.H. Chen and H.C. Tseng , Phys.Rev. B 38 , 508 <"1988) R e su lt a do s obtidos neste trabalho

Na f i gura 1 apresentamos o g rá fi co da m a gn e ti za çã o espontânea em f u nção da t em p e r at u r a para d i ve r so s valores do parâmetro de

*

a n i s o t r o p i a £ . A temperatura crítica d e cresce monoto ni ca me nt e d e s d e s — *■ 0 ('modélo de Ising) at.é = 0.5 (modêlo de H e i s e n b e r g ) . O bs er ve que os valores de T c são quatro vezes menores que aqueles aprese nt ad os na tabela 1 . devido à. forma como e s c r ev e m o s a n o s s a H a mi lt on ia n a de p artida . Na figura 2 , exibimos o c o m p o r t a m e n t o da magnet iz aç ão espontânea , como uma função da t e m p e r a t u ra p ar a d i fe re nt es valores do p a râ metro de anisotropia c ,

A curva A foi d e te r mi n a d a também u t il iz a nd o o método das Funções de Green . p or ém evitamos tomar explic i ta me nt e = 0 em nossos c ál c u lo s , pois as equaçSes de m ov im en to para as FunçSes de Green não e s ta ri a m d e fi n id a s . Devido a isso tomamos explicitamente o v al o r £ = 0.01 como sendo o limite para o loodêlo de Ising .

Nas figuras 3.4 e 5 repres e nt am os a relação de dispersão das o n da s d e.spin para o modêlo de H e i se nb er g (' s = 0.5 ). Esse gráfico é u ma r ep re s en t aç ã o da equação (2.35') para h = 0 . Note que a abcissa e escrita em função de A(k„) = 1 - cos aK^ + cos a K j , por isso os dois limites corres po nd em aos v alores de k =0 e k = ±- n . Esse

tipo de r e p r es en t aç ão é conveniente p a ra se comparar p o st er io r me nt e as e xc i ta çS es de ondas de spin no volume com aquelas dos modos de superfície. Podemos verificar que à m ed i da que nos aproximamos da t em p e r at u r a crítica, as energias de e xc it a çã o vão progre s si va me nt e diminuindo. Isto é de certa forma esperado, pois as energias de e x ci ta çã o são p ro po rc io na i s à m a gn e ti z aç ã o d entro da a proximação de fases aleatórias que estamos considerando. Finalm e nt e na figura 6 é exibido o compor ta m en to da relação de d i sp e r s ã o para o modêlo de H e i s e n b e r g a nisotrópico ( s = 0.3 ) para três valores d i fe re nt es da temperatura. 0 comportamento observado é semelhante ao caso do m odêlo de Heisenberg. Nos próximos capítulos esses resultados serão u t i l iz a do s para d es cr ev er o c om po r t a me n to da m agnetização de s u pe rf íc ie bem como as respectivas relaçSes de dispersão dos modos de superfície.

FIGURA 1 - Temperatura critica reduzida (t ) em funçSo do K oT

parâmetro de anisotropia (c) . Tc~ z~J~

FIGORA 2 - Magnetização ( < S 2>) em funç2o da temperatura reduzida (T ) para diferentes valores do parâmetro de

K T . anisotropia (c) , t=— 2_—

z J

# CDRVAS: A - *=0.01 (Ising) ; B - £=0.30 ; C - £=0.50

T

T.

.Na figura, ^=0.50 (Heisenberg) = 0.179 .

A

(S.)

FIGURA 4 - RelaçSo de dispersão para as ondas de spin em funçïo

do parâmetro A(»c„) = [1 -

.Na figura, c=0.50 (Heisenberg)

2~ ( cos °X-x+ cos _>KZ)] 0.774 .

FIGURA 5 - RelaçSo de dispersSo para as ondas de spin em funçSo do parâmetro A(k,.)= [1 -

.Na figura, c=0.50 (Heisenberg)

■j-( cos ttKx+ cos

= 0.976 .

FIGÜRA 6 - RelaçSo de dispersSo para as ondas de spin em funçSo

do parâmetro A(ie„)= [1 - — ( cos °Kx+ cos a^z)3

.Na figura, *=0.30 (Heisenberg anisotròpico) ,

K T

A f

]

B f

1

F ÜN Ç S O DE G RE EN PARA ÜM SISTEMA_ FERROMAGNÉTICO DE H E I S E N B E R G S E MI -I NF IN IT O

Neste c a p í t u l o são a p r e s e nt a d o s os cálculos que p e r m i t e m a d e te r m in aç ão da m a g n e t i z a ç ã o do primeiro plano (superfície) e do segundo plano de u m c r i s t a l ferromagnético serai-infinito, tendo sido c o ns i d er ad o que a p a r t i r do terceiro p l an o do c r i s t a l a m a g ne ti za çã o é a m e s m a q u e a do cristal i n fi n it o c a l c u l a d a anteriormente. Os c á l c u l o s foram feitos para o caso de spin = 1/2 através do m é t od o da F u n ç ã o de Green com d e sa co p la m en t o RPA .

Em função de que p a r a determinados valores dos p a r â m e t r o s empregados se o bt e m m a g n e t i z a ç ã o diferente de zero para o p r i m e i r o e para o s eg un do plano, m esmo para tempe ra tu ra s a c i m a da te m pe ra tu ra c r í t ic a de v o l u m e ( t > t v ) , os c á lc u lo s feitos f ò ra m

C

específicos p a r a c ad a r e g i ã o de temperaturas: p a ra t < t v q u a n d o se C

co n si de ra que a p a r t i r do t e r c ei r o plano a m a g n et i za ç ã o é igual á de um volume infinito e p a r a r > t v quando se c o n s i d e r a , já. no

C

início dos cálcu lo s , q u e a m ag ne ti za ç ão do v olume é nula. F oram t ambém obtidas as r el aç S e s de dispersão das ondas de s pi n p a r a cada uma das regiSes de temperatura.

Nosso s i st em a s e m i - i n f i n i t o s e r á representado p o r um c o n j u n t o de planos, o p r i m ei r o dos quais, a superfície, será l o ca l i z ad o pelo p ar â me tr o ^=0 (fig. 7.1) . 0 segündo plano c o r r e s p o n d e r á a £=1 e. a p artir do t e r c ei r o p l a n o ( ■£=2 ) inclusive, c o n s i d e r a r e m o s as interações e n tr e os spins do cristal como sendo i d ên ticas às de

u m v olume infinito.

A H a m i l t o n i a n a que u t i l i z a r e m o s agora é a m es ma que usamos p a ra o c r is t al infinito: sendo que a g or a o p a râ m e t r o de t ro c a J' e o p ar âm e tr o , q u e dá. o g r au de a n i s o t r o p i a no m o d e l o , t erão r e sp ec ti v a m en t e as seguintes formas: n o p r i m e i r o p l an o (■£ = 0) t om aremos J„ e £„ ; e nt re a s u pe rf ic ie (■£ = 0) e o s e gu n do plano (-£ = 1) , u s aremos J e £ j_ > a p a r t ir do t e r c ei r o p l an o (■£ = 2) , u s aremos J e ^ .

A n a l o g a m e n t e ao p r o c e d i m e n t o a d otado no caso do c r istal infinito, s u b s t i t u i n d o a Hamiltoniana, e x pr e ss a em termos dos o pe r ad or es $ + e $ , na e qu a çã o de m o v im e n t o da t r a n sf o r m a d a de

l m

F ou r ie r da F un çS o de Green, e e f et ua nd o o d e sa c o p la m e n to R.P.A. ob temos a s e gu i nt e expressão:

[ C - ( 1 - £ ■ ) Ç J r r < o - k ] « s : , $ 1 » , =

=-£- <si>

_ff

_i

_i

_^

- £■ E x . <$!>«$: . $■_ »

_^r*

_x

_ü

_£

_r

_>

_{^ ' i}

íiu - ^//)

<Çr»

=

- i - H ^

Ci<„ ,E) e

1 Nc, r* l£frA / (3-3)

* K ii v

4 ^

onde é o n úm er o de p on t o s da rêde n a superfície; i„ e m„ são as

jk.

c o m p o ne nt es dos v et or es í e ™ paralelas aos planos do cristal, enquanto i e ™ são as c o m p o n e nt e s p er p e n di c u l ar e s aos planos e, consequentemente, l o ca li z a m os planos do cristal. Os vetores são os v etores de o nd a a s s o ci a do s à p r i m e i r a zona de B ri ll o ui n da rède quadrada.

U s ando a i nd a a r e p r e s e n t a ç ã o p a ra a f unção <5 _"7"^ d ad a por: l m ^ i y~’ ) r (3-4)

í

Ns

^

itm j

< s;> = <$*> ,

c3-6)

e q u a ç S e s o b t i d o a t r a v é s d a a p l i c a ç S o d a e q u a ç ã o (3 .6 ) a c a d a p l a n o d o c r i s t a l , a p a r t i r d a s u p e r f í c i e (>-=0 ). T e r e m o s p o r t a n t o :

1=0 (e +[£v/T„H Xjjj -z(i.-£„)

- k } < l + e J < $ * ><2 n

= _ < £ f > S,

(3-io)

iYn *■ '(í+i)^ J? <yy\ )

o n de c o ns id er am os que a p a r t i r do terce i ro plano (L=2) a m a g n e t i z a ç ã o será. a m e s m a p a r a todos os pontos da rêdé sendo seu

p a r a o v olume infinito. Nas e qu aç õe s anteriores z r e p r e s e n t a o n ú m e r o de v i zi n ho s mais p r óx i mo s de u m dado spin, e ?•'-» é o fator de e s tr ut ur a r ef er en te aos p l a n o s c r is ta li no s dado p or :

0 a c o p l am e nt o e ntre as e q u a ç õ es (3-7) a (3-10) não p e r m i t e que o c ál cu lo da m a g n e t i z a ç ã o da s up er fí ci e ou do s e gu nd o p l a n o seja feito da m e sm a forma q u e foi r e a l i z a d o p a ra o v ol u m e infinito, uma vez que agora não é p o s s í ve l e x p r i m i r as Funções de G r e e n de cada plano na forma de u m a função d e l t a . Utiliz an do a e q u a ç ã o (2-23) q u e dá a função d e n s i da d e e s pe c t r a l em função do salto d a F un ç ão de G r e e n ao c ruzar o eixo real, temos:

v a l o r , < S2> «aquele o bt i do no c á lc u l o que reali za mo s a n t e r i o r m e n t e

(3-11)

C o n s i d e r a r e m o s ainda a segui n te identidade

íl~ r __

±

< ^

0

+

£ - LO 1. is.

( r -o J )

(3-12)

/ O O \

.onde P indica a parte p r in c i pa l de Cauchy

Usando esta identidade nas equações (2-18) e (2-20) que r e l a ci o na m as Funções de G r e e n r e t ardada e a v a n ç ad a c o m a função

d en s i d a d e e s p e c t r a l obtemos: tr fi rm • + c o (i uJ ( G L ç r j = J _ _ I j ícu, ( e - - i ) 2 Tf" -CO 1 ____

ET —

co

L

(E -OJ)

íPf Jfuafe'3-!) do; + i . J i E,(efl-±)

J m ( e - u > ) ' 2. (3-14)

Temos e n t S o que:

<Rl (e>- qtce) = - i j c í ) ( e -t) =

2

i l » (E|(ff

1

jL rm

JL rm

A f unçSo d e n s id a de e s p e c t r a l pode e n tã o ser e s cr it a como:

p J ( E ) = _ 2 f c m I'»"

£ - 0 * ( g ^3 E- _ L ) (3-16)

U t i l i za n do esta e x p re s s ã o de J (e) na e q uaçSo (2-15) com t = t ' ,

l evand o- se em conta a s i m e t r i a de t r an sl a çS o b id im e n s io n al do c r istal e c o n s i d er a nd o - s e m=l, teremos a função de correl a çã o e s c r i t a c o m o : < $ - ■ & > = OT» fi 2 h m £--* 0 + -too r ___ ■—«

f

T

ÍJu $3 <5

(K«(E+i

( e /3E - O

Su b s ti t u i nd o esta e x p r e s s ã o d a f u nç ão de correlação na equação C2-7) e escrev e nd o

-J- E ^JLCie','E+i£l = ffir)

^ ti5,E+i’e) '

N S K// / (3-18)

onde e stamos c o n s i d e r a n d o q u e o c r i s t a l está sendo r ep r es e nt a d o por u ma rêde c ú b i c a simples c o m p a r â m e t r o de r^de o- , o b te mo s a seguinte r el a çã o entre a t r a n s f o r m a d a de F ou ri er da F unção de Green e a magnetização:

4 00

< $ Z> =

_L + 2

k m [ d E ( - à j f f I m

ol!

K,

4 2

£-0+/

J E

_

(3_19)

- C O

onde n o v a m e n t e c o n s i d e r a m o s que a m a g n e t i z a ç ã o é h o m og ê n e a dentro de cada plano.

Pa r a se obter uma e x p r e s s ã o para a t ra nsformada de F o u r i er da Função de G r e e n , , em função dos p ar âm et ro s a ss oc ia d os ao c r i s t a l ,d ev em o s r e so l ve r o s i st em a de e q uaçSes (3-7) a (3-10). Esse sistema de e qu açSes pode ser r e p r es e n t a d o por um p r o d u t o de matrizes na forma:

[ a r ] . =

£

' <Yr\

Desta forma, p o d e m o s e s c r e v e r a m a g n et i za çã o em c a da p l an o t do c r is ta l como:

<s;>

Ó. c —

-^óyyx

c

LB f

\

£-o+ ir

J

[sLir]

r

X

rxn

C

CK/-/y E-frjg-O cl

Ku

( e/2E

-

1

)

-Q-/ - C í *

D o

(3-24)

onde C,, é o c o f ã t o r de O,, e D é o d e t e r m in a n t e da m a t ri z O

li li o

Para d e t e r m i n a r os ^ * v am os e sc rever a matriz O co n ve n i ê nc i a será. e x p r e s s a n a forma: qu e por

Í1--2

*

O

o

O

lo

2

,-fc +

-

0-^2

o

O

O

2

t +

O

O

O

zt

©<

O

O

O

2

-t

a (3-10) p o d e m o s e s c r e v e r que:

- z ( í - £ - ) X ] < £ 0

z > f t E j K s * ?

- ( z * i ) ( i - £ ) J . ] < r s “ >

,

'3- 27>

« * „ - - ( l - £ ) J < S ? > + C i - £ ) T < $ Í >

;

í3-28)

- ^ o t = £ J-JL <

;

£ X J

1

< S * >

o< =

£

j

< $ ; > ,

x>0-

₍

₂

_{t +o.}

₀₀

₎

₃₎₁

_{_}

_,

Í>1. ( 2 t + ' X t ú D z - ^ £ 2 i z 7)3

Do = (

2 ir

+- °<

2

.

2

.) X) __

2 T>

2 V * J 3 ^ (3-36)

1) = 2 t £ )

~ CX2- D

N N + i N + C2.

sendo q u e D^, r e p r e s e n t a o d e te r m i na n te da m at r i z O, de onde foram retiradas as p r im e i r as n linhas e colunas.

C o n s i d e r a n d o que C_ =B, teremos para o ”1 a seguinte

o ú i ao e x p r e s s ã o :

C l ~ l

_ T

_

i

-i

tD

D - ~ l -

i

- i

oo —

2 t -f jn.12

P a r a N ^ 3 vemos p e la equaçSo (3-37) que:

C o ns e qu e nt e m e nt e , à m edida que N cresce, a fração tem sua f o r m a r e p e t i d a indefinidamente:

2 t

V

^M+L

2-t _ ______ ___________

X I "

- í

1

_________________

1

'oo

2. "t •+ 0<00_ _____ Xlo^ Jflio_______

P r o c e d e n d o de forma a n ál og a obtemos a s eg ui nt e e x pr es sã o para O ' 1 : ii X I " 1 ■*-il -

i

_ Q _i -

N t (

V

D Cf)

N

0

( f U ? [

f

)

-

+ (°<2+

f

^

^

I>0?) = a 0 + a j + a z f + a 3 f

+

+ a 5 f

o n de os c o e f i c i e n t e s ai sâo dados por:

(3-50)