Renato Miranda - Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Prof. Renato J. P. C. Miranda

e Colaboradores

À Délia, Eduardo, Paula e Daniela, pelas horas roubadas e reais desviados.

APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS -APRESENTAÇÃO 2-MAIO DE 2012

PROF. RENATO J. P. C. MIRANDA E COLABORADORES.

Esta segunda apresentação de maio de 2012, é continuação da primeira de fevereiro de 2000,

que está na página seguinte.

Nos anos 60 e 70, eu e alguns colegas escrevemos à máquina e desenhos à nanquim, alguns

capítulos desta apostila. No final dos anos 90, preparamos outros capítulos, alguns

parcialmente, 16 anexos e entregamos o nosso trabalho à comunidade acadêmica e profissional.

São 512 páginas, sendo 20 coloridas. Parte dos capítulos antigos foi apenas “scaneada”, e

portanto, estão com a nomenclatura da época (S para área, J para momento de inércia, Q para

força cortante, etc.) e com exercícios feitos no sistema de unidades técnico ( Kgf, tf,cm, etc.).

Com relação ao modo de indicar o diagrama de momento fletor M, optou-se nesta edição , em

adotar o modo usado por algumas Escolas de Engenharia do Brasil, ou seja desenhá-lo sobre o

lado tracionado. Como sabemos o momento fletor é positivo quando traciona as fibras

inferiores e negativo quando traciona as fibras superiores. Portanto, neste trabalho, será

desenhado positivo para baixo e negativo para cima. Esta convenção facilita o projeto de vigas

de concreto armado, pois as armaduras são colocadas predominantemente no lado tracionado,

ou seja, onde está desenhado o diagrama de momentos fletores.

Recentemente, a FEI e outras Escolas de Engenharia estão usando o sistema universal

empregado na maioria das Escolas no mundo, ou seja, o sistema lógico de desenhar valores

positivos para cima e negativos para baixo. Portanto, se na sua Escola, é usado este sistema

universal, os diagramas de momentos fletores devem ser invertidos.

Na próxima edição , pretendemos uniformizar a maneira de desenhar o diagrama de momento

fletor, em positivo para cima e negativo para baixo; padronizar o sistema de unidades só no SI;

alterar a nomenclatura antiga; atualizar anexos e exercícios e sobretudo completar a parte

conceitual do capítulo II-Complementos de Reações de Apoio –RDA e Diagramas de Esforços

Internos Solicitantes-DEIS, e do capítulo V-Tensões Normais na Flexão.

Apesar destes problemas, podemos dizer que felizmente atingimos os nossos objetivos, pois

durante décadas, milhares de alunos ,centenas de profissionais e dezenas de professores usaram

e usam a nossa apostila, agora disponível livremente na rede, para auxiliar o processo de ensino

e aprendizado de Resistência dos Materiais. Evidentemente, que deve ser usada como

bibliografia complementar à excelente bibliografia existente nacional e internacional.

Agradeço mais uma vez a todos os colaboradores, divulgadores e leitores deste trabalho e

espero ter ajudado muitas pessoas a entrarem no fascinante mundo do projeto das peças sujeitas

a esforços.

Correções, sugestões, criticas, e comentários são sempre bem recebidas. Os convites anteriores

continuam abertos para os interessados na co-autoria, atualização, complementação e quiçá

,transformá-la num livro.

APRESENTAÇÃO

No início da década de 70, alguns jovens Professores de várias Escolas de Engenharia de São Paulo reuniram-se diversas vezes, visando preparar uma apostila sobre Resistência dos Materiais para ajudar os alunos e Professores no delicado processo de ensino e aprendizagem desta importante matéria, que na época tinha um baixíssimo índice de aprovação.

Em algumas Faculdades o índice de aprovação não chegava a 10%!

Cada Professor ficou encarregado de preparar alguns capítulos que depois seriam agrupados para compor uma apostila.

Quase 30 anos se passaram, estamos entrando no novo milênio e apenas nós (Professor Renato J. P. C. Miranda) preparamos 4 capítulos, a saber: III – Complementos de Figuras Planas, IV – Tração Compressão e Cisalhamento; VII – Torção e VIII – Flambagem, que durante muitos anos ajudaram, alunos e Professores de Resistência dos Materiais , em muitas Escolas de Engenharia, Arquitetura, Técnicas e de Projeto, além de propiciar aos profissionais já formados, uma alternativa de revisão dos conceitos básicos da análise de peças sujeitas a esforços.

Em meados de 1999, um grupo de Professores, alunos, ex-alunos e Engenheiros, com a nossa coordenação, reuniram-se com os mesmos objetivos citados, desta vez com auxílio dos recursos da Informática (Word, AutoCAD, Excel, Internet, CorelDraw, Paint, etc.).

Após meses de muito trabalho, entregamos esta edição provisória à comunidade acadêmica e profissional, pois não foi possível fazer os resumos teóricos completos dos capítulos: I – Conceitos Gerais, II – Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes e V – Tensões Normais na Flexão.

Como é citado no capítulo I – Introdução ao Curso e anexo XVI – Referências Bibliográficas, existem centenas de obras sobre Resistência dos Materiais no Brasil e no Exterior, nas bibliotecas e na Internet. Cada uma tem as suas características, adequadas aos meios acadêmicos e profissionais, onde foram produzidas.

No nosso caso, o contato com os Professores e alunos no dia a dia da sala de aula, encorajou-nos a preparar mais este trabalho despretensioso, sem querer chegar perto dos meus extraordinários mestres como Professor Gaspar Ricardo, Professor Telemaco, Professor Soares, Professor Mautoni, Professor Souza Lima, Professor Zagottis, Professor Tupiassu, Professor Freire, Professor Lavaste, Professor Manoel Rocha, entre outros.

Dentre os diversos livros existentes, recomendamos como reforço ao curso, o empréstimo através da Biblioteca do livro “Resistência dos Materiais” de BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. – 3a edição, Editora Makron Books, São Paulo, 1996, que pode ser usado em conjunto com o livro “Mecânica

Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5a edição dos mesmos autores e da mesma editora.

Estes livros, além de se aproximarem da maneira como damos o curso, traz nas edições inglesas, interessantes TUTORIAIS descritos nos anexos VIII, IX e X, além de apresentarem no final de cada capítulo, alguns exercícios para serem resolvidos por computador, como se indica no anexo XI.

Esclarecemos que esta apostila pode ser usada com quaisquer outros livros que abordem Resistência dos Materiais e Estática.

Como se vê no índice, este trabalho foi dividido em 8 capítulos e pode ser usado num curso básico semestral de 4 ou 6 aulas semanais, ou anual de 2 ou 4 aulas semanais, com ou sem atividades de Laboratório.

Abusamos do direito de preparar Anexos. Com auxílio de algumas pessoas, preparamos 16 Anexos, que pretendem dar um caráter atual à apostila. Além dos Anexos dos Tutoriais, destacamos os Anexos da Internet, dos programas existentes nas calculadoras do tipo HP48 GX, das tabelas de materiais, figuras planas e perfis, do formulário completo, da extensa relação de referências e livros, e, sobretudo, da interessante coleção de alguns Exemplos Motivadores das diversas Áreas da Engenharia.

Na próxima edição, que esperamos não demorar 30 anos, devemos completar os Capítulos citados e o anexo dos Exemplos Motivadores, bem como, com o auxílio do leitor, corrigir os eventuais erros e atualizar todos os dados e informações. Desde já agradecemos essa valiosa colaboração no sentido de tentar “zerar” o número de erros, pois sabemos bem o que é “perder” tempo, fazendo de vários modos um determinado exercício e estar com a resposta errada!

Esperamos também num futuro próximo, preparar a continuação deste curso básico, envolvendo os capítulos complementares de Resistência dos Materiais, tais como Cisalhamento na Flexão, Perfis de Parede Fina, Complementos de Torção, Estados Múltiplos de Tensões e Deformações, Lei de Hooke Generalizada, Critérios de Resistência, Solicitações Compostas e muitos outros.

Pretende-se ainda, usar a nossa experiência nas áreas de Análise Experimental de Tensões, Laboratórios Didáticos de Resistência dos Materiais e Método dos Elementos Finitos, para preparar trabalhos específicos nestes importantes setores.

Agradecimentos

Muitas pessoas colaboraram para a produção desta apostila. Algumas, de uma forma mais rápida, por exemplo, ajudando na importante revisão final de um capítulo ou anexo, outras, ao longo de vários meses, organizando, digitando e desenvolvendo capítulos inteiros. Independentemente do tempo dedicado, cada qual foi essencial para a concretização deste trabalho. Nossos agradecimentos a:

PROFESSORES: Airton Nabarrete, Anselmo Martinez, Antonio M. Makiyama, Armando L. P. C. Miranda, Cesar A. Guidetti, Franco Brunetti, Renato I. Teramoto e Werner Mangold;

ALUNOS E MONITORES: Cesar P. Souza, Daniel Cortazzo, Danilo Buchdid, Igor Zucato, Renato Callejon, Rodrigo Ferrante, Sandro Arthur de Oliveira e Vanessa Dias da Silva;

Ex-ALUNOS: Luiz Alberto P. Alvim e Marcelo M. Vieira;

ENGENHEIROS: Eduardo Monteiro, Júlio Ruiz Delgado, Milton Delgado Ruiz, Nelson de Aquino Filho, Roberto Camanho e Shiro Sakon.

Quanto ao concurso da escolha da capa, venceram os alunos: Danilo Buchdid, Tiago Paes de Barros e Oliveira e Filipe Alvarenga. Além deles, participaram com brilhantismo, os alunos: Silvio José Macedo, Marcio O. Zappi e Andressa Rosolem Lopes e os funcionários: Luciano José Silva e Ricardo Corrales Rocha.

Registra-se que o desenho da capa foi compilado do livro: “Quem Deu Asas ao Homem” de VILLARES, Henrique Dumont, Rio de Janeiro, Instituto Nacional do Livro, 1957, que aborda a história do nosso grande aviador: Alberto Santos Dumont.

Agradecimentos especiais aos alunos: Eduardo Tadao Tanaka e Leonardo Moneci Zamboni, que durante vários meses, dedicaram-se intensamente à preparação, digitação e desenhos de praticamente toda a apostila, com muito esforço e paciência.

Finalmente, agradecemos sua atenção e participação, esperando que este trabalho facilite e incentive seus estudos sobre Resistência dos Materiais e que Você entre no fascinante mundo do projeto de peças e estruturas sujeitas a esforços!

Renato José Pereira da Costa Miranda

 Engenheiro Industrial Mecânico;

 Possui diversos cursos de pós-graduação e especialização nas áreas de Resistência dos Materiais, Análise Experimental de Tensões, Método dos Elementos Finitos e Projeto Mecânico em Geral;

 Professor Titular na FEI – Faculdade de Engenharia Industrial de São Bernardo do Campo;

 Professor Associado na Escola de Engenharia Mauá;

 Professor Titular na Universidade Santa Cecília;

 Engenheiro Consultor;

 Ex-Professor da Universidade São Judas Tadeu, Universidade do Grande ABC, Universidade de Guarulhos, Universidade Mackenzie, Escola Técnica Industrial Lauro Gomes e Escola Profitec.

NOMENCLATURA

1- F, P ... Força concentrada 2- w, p , q, g ... Carga distribuída 3- M0, T0 ... Momento, torque 4- P, N, F ... Força normal 5- V, Q ... Força cortante 6- M ... Momento fletor 7- T, MT ... Momento torçor, torque

8- A, S ... Área da secção transversal 9- Qx, Msx, Mx, Sx ... Momento estático

10- Ix, Jx ... Momento de inércia em relação a um eixo, momento axial

11- Ixy, Pxy, Jxy ... Produto de inércia, momento centrífugo

12- J, Ip, Jp, J0 ... Momento polar de inércia

13- r, i, k ...Raio de giração 14- Wx, Sx, Zx ... Módulo de resistência à flexão

15- WT ... Módulo de resistência à torção

16- I1, I2, IMAX, IMIN ... Momentos principais (centrais) de inércia

17- 1, 2, m ... Ângulos correspondentes

18-  ... Tensão normal, tração ou compressão 19-  ... Tensão tangencial ou de cisalhamento 20-  ... Tensão total 21- LIM, LIM ... Tensões limites

22- PLIM, PU ... Carga limite (última)

23- RT, RC, U ... Tensão limite de resistência (última), tração, compressão

24- ET, EC, Y ... Tensão limite de escoamento, tração, compressão

25- R, U ... Tensão limite de resistência ao cisalhamento

26- E, y ... Tensão limite de escoamento ao cisalhamento

27- p ... Tensão limite de proporcionalidade

28- ESM, e ... Tensão de esmagamento

29- CIR, t ... Tensão circunferencial

30- LON ... Tensão longitudinal

31- RAD ... Tensão radial

32- adm, adm,



,



,all, all ... Tensão admissível

33- p ... Pressão 34- d ... Diâmetro interno 35- D ... Diâmetro externo 36- r ... Raio interno 37- R ... Raio externo 38- e, t ... Espessura 39- L, l, a ... Comprimento 40- HA, Rx ... Força horizontal 41- VA, Ry ...Força vertical 42- R ... Reação total 43- MA ... Momento de engastamento

44- , x ... Deformação específica linear

45- T, y, z ... Deformação específica transversal

46-  ... Deformação específica angular (distorção) 47- E ... Módulo de elasticidade longitudinal (Young) 48- G ... Módulo de elasticidade transversal 49-  ... Coeficiente de Poisson 50- , l ... Deslocamento longitudinal 51- d ...Deslocamento transversal 52- y, v, v ... Deslocamento vertical (flecha) 53- ,  ... Deslocamento angular na flexão (rotação)

54- ,  ... Deslocamento angular na torção 55- P, N ... Potência 56-  ... Velocidade angular 57- f ... Freqüência 58- n ...Rotação por minuto – rpm 59- cs, s ...Coeficiente de segurança 60- csT, sT ... Coeficiente de segurança à tração

61- csC, sC ... Coeficiente de segurança à compressão

62- , R ... Raio de curvatura 63- C ... Curvatura 64-

δ

,



l

,

f

,

θ

,

φ

... Deslocamento admissível 65- c, y’, y’’ ... Distâncias das fibras mais afastadas 66- Pfl, Pcr ... Carga crítica de flambagem

67- fl, cr ... Tensão crítica de flambagem

68- Le, lfl ... Comprimento equivalente (efetivo) de flambagem

69- , Le/r ... Índice efetivo de esbeltez 70- , k,  ... Coeficiente, função de vinculação 71- LIM, cc ... Índice de esbeltez limite

72-  ... Coeficiente de dilatação térmica 73- T ... Variação de temperatura 74- p,  ... Peso específico 75- A ... Alongamento de ruptura 76- KIc ... Fator de tenacidade à fratura

77- 1, 2, 3 ... Tensões principais

78- 1, 2, 3 ... Deformações principais

79- S ... Deformação específica de área

80- V ... Deformação volumétrica

81- K ... Módulo de elasticidade volumétrica 82- U ... Energia de deformação 83- R ... Resiliência 84- el, el ... Tensões limites de elasticidade

85- ’, ’’ ... Tensões normais extremas

PREFIXOS SI

Fator de multiplicação Nome Símbolo

1000 000 000 000 000 000 = 1018 ... exa... E 1000 000 000 000 000 = 1015... peta... P 1000 000 000 000 = 1012... tera... T 1000 000 000 = 109... giga... G 1000 000 = 106... mega... M 1000 = 103... quilo... k 100 = 102... hecto... h 10 = 101... deca... da 0,1 = 10-1... deci... d 0,01 = 10-2... centi... c 0,001 = 10-3... mili... M 0,000 001 = 10-6... micro...  0,000 000 001 = 10-9... nano... n 0,000 000 000 001 = 10-12... pico... p 0,000 000 000 000 001 = 10-15... femto... f 0,000 000 000 000 000 001 = 10-18... atto... a

ALFABETO GREGO Alfa...   Ni...   Beta ...   Xi...   Gama...   Ômicron...   Delta...   Pi...   Épsilon...   Rô...   Zeta...   Sigma...   Eta...   Tau...   Teta...   Ipsilon...   Iota...   Fi...   Capa...   Qui...   Lambda...   Psi...   Mi...   Ômega...  

UNIDADES

1- Forças... N, kN, kgf, tf, daN (kip = 103 lbf) 2- Momentos... N.m, kN.m, kgf.m, tf.m (kip.ft , lbf.in) 3- Carga distribuída... N/m, kN/m, kgf/cm, tf/m

4- Comprimento, deslocamentos lineares... m, mm, cm (ft, in) 5- Área... m2, mm2, cm2 (in2) 6- Momento estático, volume... m3, mm3, cm3 (in3) 7- Momento de inércia... m4, mm4, cm4 (in4) 8- Potência... N.m/s = W, cv, hp 9- Ângulo... rad, grau º

10- Tensões, módulo de elasticidade, pressão... N/m2 = Pa, MPa, GPa, N/mm2, kN/cm2, kgf/m2, kgf/cm2 (psi, kpsi = ksi) 11- Velocidade angular... rad/s

12- Freqüência ... Hz 13- Coeficiente de dilatação... ºC -1

14- Peso específico... kN/m3, kgf/m3

SUMÁRIO

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO AO CURSO - CONCEITOS GERAIS

Página

1 - Introdução ao Curso.

. . . 1.1 1. O que é Resistência dos Materiais?. . . . 1.1 2. Principais Esforços - Conceitos Intuitivos. . . 1.2 3. Principais Objetivos. . . . 1.2 4. Principais Tópicos - Resumo do Programa. . .

.

1.3 5. Principais Pré-Requisitos. . . . . . 1.4 6. A Posição da Resistência dos Materiais no Curso. . .

.

1.4 7. A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico. . . . . . 1.5 8. Orientação Bibliográfica. . . . . . 1.5 9. Histórico - Resumo. . . . . . 1.7 10. Tendências - Perspectivas. . . 1.7 11. Desenvolvimento do Curso - Critério de Aprovação. . .

.

1.7 12. Trabalho Prático - Avaliação n.º 1. . .

.

1.8

2 - Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo.

. . . 1.9

CAPÍTULO II - COMPLEMENTOS DE REAÇÕES DE APOIO E

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES

Página PARTE 1- Resumo Teórico - Conceitos Gerais Estruturais. . . 2.1

PARTE 2 - Exercícios resolvidos. . . . . . 2.3 PARTE 3 - Série de 58 exercícios propostos com respostas de reações de apoio e diagramas

de esforços internos solicitantes - Vigas retas. . . 2.16

CAPÍTULO III - COMPLEMENTOS DE FIGURAS PLANAS

Página 1. Generalidades. . . . . . 3.1 2. Momento estático. . . 3.2 3. Centro de gravidade (Baricentro) . . . . . 3.4 4. Momento de inércia em relação a um eixo . . . 3.5 5. Momento de inércia polar. . . . . . . 3.6 6. Momento centrífugo de inércia ou produto de inércia. . . 3.8 7. Raio de giração. . . . . . 3.10 8. Exemplos - Figuras elementares. . . 3.11

9. Translação de eixos - Teorema de Steiner. . . 3.21 10. Exemplos - Figuras elementares. . . . . . . 3.24 11. Formulário - Anexo II. . . 3.30 12. Exemplos - Figuras compostas. . . 3.30 13. Perfis Industriais - Anexo III. . . 3.45 14. Exemplos - Perfis compostos. . . 3.47 15. Rotação de eixos, momentos e eixos principais de inércia. . . 3.53 16. Exemplos. . . . . . 3.67 17. Módulos de resistência em relação a um eixo central. . . 3.82 18. Exemplos. . . . . . 3.89 19. Exemplos diversos. . . . . . 3.99 20. Exercícios propostos. . . 3.110 21. Exercícios complementares. . . . . . 3.125

CAPÍTULO IV - TRAÇÃO - COMPRESSÃO - CISALHAMENTO

Página

1 - Tração e compressão.

1.1- Generalidades . . . . . . 4.1 1.2- Hipóteses. . . . . . 4.2 1.3- Tensão normal . . . 4.4 1.4- Deslocamento longitudinal. . . . . . . 4.6 1.5- Exemplos. . . 4.7 1.6- Deformação transversal - Coeficiente de Poisson. . . 4.19 1.7- Deformação volumétrica na solicitação simples. . . 4.20 1.8- Solicitação dupla e tripla - Generalização da Lei de Hooke. . . 4.21 1.9- Tubos de parede fina. . . . . . 4.26 1.10- Exemplos. . . . . . 4.31 1.11- Energia de deformação - Noções. . . 4.38 1.12- Exemplos. . . 4.40 1.13- Exercícios propostos. . . . . . 4.41

2 - Cisalhamento Puro.

2.1- Generalidades. . . . . . 4.46 2.2- Hipóteses. . . 4.47 2.3- Tensão de cisalhamento. . . . . . . 4.48 2.4- Deslocamento angular e transversal. . . 4.49 2.5- Energia de deformação no cisalhamento puro - Noções. . . 4.52 2.6- Exemplos. . . 4.53 2.7- Exercícios propostos. . . . . . 4.58 2.8- Exercícios complementares. . . 4.68

CAPÍTULO V - TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO

Página 1. Tipos de Flexão. . . . . . 5.1 2. Flexão Pura e Flexão Simples. . . . . . 5.1 2.1. Principais Hipóteses. . . . . . 5.1 2.2. Cálculo das Tensões. . . 5.2 2.3. Projeto de Peças Pela Condição de Resistência, ou seja, Limitação de Tensões. . . 5.2 2.4. Etapas Clássicas dos Problemas de Flexão. . . 5.2 2.5. Exercícios Resolvidos. . . . . . 5.3 3. Flexão Composta Normal. . . . . . 5.9 3.1. Resumo Teórico e Orientação Para Estudo. . . 5.9 3.2. Exercícios Resolvidos. . . 5.9 4. Flexão Simples Obliqua. . . . . . . 5.12 4.1. Resumo Teórico - Orientação para Estudo. . . 5.12 4.2. Exercícios Resolvidos. . . . . . 5.12 5. Exercícios Propostos. . . . . . 5.16

CAPÍTULO VI – DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO

Página

PARTE I- RESUMO TEÓRICO. . . 6.1

1. Objetivos. . . . . . 6.1 2. Importância. . . . . . 6.1 3. Nomenclatura. . . . . . 6.1 4. Hipóteses Fundamentais. . . 6.2 5. Expressão da Curvatura. . . 6.2 6. Cálculos e Simplificações. . . . . . 6.3 7. Equação Diferencial da Linha Elástica. . . 6.4 8. Convenções de Sinais. . . . 6.4 9. Relações entre Esforços e Deslocamentos. . . 6.5 10. Alguns Processos. . . . . 6.5 11. Processo de Integração da Linha Elástica – Seqüência Geral. . . 6.5

PARTE II- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. . . 6.6

PARTE III- CASO GERAL - "N" TRECHOS PELO PROCESSO CLÁSSICO DA

INTEGRAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA. . . . . . 6.40 1. Resumo. . . . . . 6.40

2. Caso Geral – “n” Trechos pelo Processo Clássico da Integração da Linha Elástica - Noções. . . . . . . . . . . . . 6.41 3. Exemplos. . . 6.42 4. Conclusão. . . . . . 6.46 5. Exercício Proposto. . . . . . 6.46

CAPÍTULO VII - TORÇÃO

Página 1- Generalidades. . . . . . . 7.01 2- Torção em peças de secção circular. . . . . 7.03 3- Expressão do momento torçor em função da potência e da rotação por minuto. . . 7.09 4- Dimensionamento pelas condições de resistência e rigidez. . . 7.10 5- Exemplos. . . 7.11 6- Energia de deformação - Noções. . . 7.17 7- Exercícios propostos. . . . . . 7.19 8- Exercícios complementares. . . . . . 7.22

CAPÍTULO VIII - FLAMBAGEM

Página 1- Generalidades. . . . . . 8.1 2- Equilíbrio estável, instável e indiferente. . . . 8.1 3- Conceito de flambagem. . . . . . 8.2 4- Caso fundamental de Euler. . . . . . . 8.3 5- Diversos casos de vinculação. . . . . . 8.5 6- Fórmula geral de Euler. . . . . . 8.5 7- Algumas observações relativas à carga de flambagem. . . 8.7 8- Campo de validade da fórmula de Euler. . . 8.10 9- Flambagem no regime inelástico - Várias teorias. . . 8.11 10- Resumo - Orientação para cálculo - Principais etapas. . . 8.18 11- Exemplos. . . . . . 8.20 12- Exercícios propostos. . . . . . 8.36

ANEXOS

Página

I - PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS E TENSÕES ADMISSÍVEIS. . A.I - 1

Tabela 1 - Propriedades Mecânicas de Alguns Materiais. . . A.I - 1 Tabela 2 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Aços. . . A.I - 7 Tabela 3 - Tensões Admissíveis Típicas Para Alguns Tipos de Madeiras. . . A.I - 7 II - MOMENTOS DE INÉRCIA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS. . . A.II - 1 III - PERFIS INDUSTRIAIS - VÁRIAS TABELAS. . . A.III - 1 IV - ANÁLISE DAS EXPRESSÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS. . . A.IV - 1 V - FORMULÁRIO DE TORÇÃO. . . A.V - 1 VI - TABELA DE DESLOCAMENTOS NA FLEXÃO. . . A. VI - 1 VII - FORMULÁRIO BÁSICO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, NOTAÇÃO

BEER-JOHNSTON. . . A.VII - 1 VIII - TRABALHO N.º 1 - COM TRÊS PARTES:

a) Uso do Tutorial de Estática do livro de Beer - Johnston (5ª Edição) ou equivalente b) Uso do Tutorial de Resistência dos Materiais do livro de Beer - Johnston ou equivalente

c) Desenvolvimento de um tema ligado à Resistência dos Materiais (Seminário). . . A.VIII - 1

IX - COMO USAR O SOFTWARE INTERATIVO "TUTORIAL DE ESTÁTICA" -

- BEER-JOHNSTON. . . . . . A.IX - 1

X - TUTORIAL DE ESTÁTICA - BEER-JOHNSTON - 6ª EDIÇÃO - INFORMAÇÕES. . A.X - 1

XI - TRABALHO N.º 2 - EXERCÍCIOS PARA SEREM FEITOS USANDO COMPUTADOR - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - BEER - JOHNSTON

- 3ª EDIÇÃO - INSTRUÇÕES. . . A.XI - 1 XII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E OS E. N. C. - EXAMES NACIONAIS DE

CURSOS - "PROVÕES" (MEC - MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, CULTURA E

(DESPORTOS). . . . . A.XII - 1

XIII - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E AS CALCULADORAS TIPO HP 48G/GX. A.XIII - 1

XIV - A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E A INTERNET - UM MUNDO A

DESCOBRIR! . . . . A.XIV - 1

XV - EXEMPLOS MOTIVADORES DAS VÁRIAS ÁREAS DA ENGENHARIA. . . A.XV - 1

1.0 1.0

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO AO

CURSO – CONCEITOS

GERAIS

Prof. Renato J. P. C. Miranda

Colaboração:

Leonardo Moneci Zamboni

Bem vindo à Resistência dos Materiais!

Após ler esta introdução, Você saberá como ter um bom

1.1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO AO CURSO – CONCEITOS GERAIS

1a. Parte – Introdução ao Curso:

1. O que é a Resistência dos Materiais (R.M.)? 2. Principais Esforços – Conceitos Intuitivos. 3. Principais Objetivos.

4. Principais Tópicos – Resumo do Programa. 5. Principais Pré-requisitos.

6. Posição da Resistência dos Materiais no Curso. 7. Posição da Resistência dos Materiais no Projeto. 8. Orientação Bibliográfica.

9. Histórico – Resumo. 10. Tendências – Perspectivas.

11. Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação. 12. Trabalho Prático – Avaliação n.º 1.

1 – O Que É Resistência dos Materiais?

Na Natureza, todos os corpos (peças, estruturas, etc.) quando sujeitos a esforços (forças concentradas, distribuídas, momentos, etc.), apresentam deformações (lineares, angulares, etc.)?

a)  Verdadeira. b)  Falsa. c)  Depende.

d)  N. D. A. – Nenhuma Das Anteriores.

É com esta pergunta, que em geral, propicia um bom debate com os alunos, que iniciamos a Introdução ao curso básico de Resistência dos Materiais.

Evidentemente que a resposta certa é a primeira, pois em maior ou menor escala, todos os corpos são deformáveis. Para verificar experimentalmente esta afirmação, basta tomar uma peça de borracha ou giz e submetê-la a um esforço axial “P” como se indica na figura 1 e perceber que o corpo tem suas dimensões alteradas numa proporção que depende da intensidade do esforço, da geometria e das características do material.

Na figura 1 enfatizamos o binômio esforço “P”



deslocamento “” que vai se repetir ao longo de todo o curso.

Com a apresentação do corpo deformável, a hipótese do corpo rígido vista nas disciplinas de Física e Mecânica deve ser encarada com muitas restrições. Evidentemente que durante a análise de um problema, parte do estudo pode ser feita considerando a hipótese de corpo rígido, como por exemplo, a determinação da trajetória, velocidade e aceleração de um veículo espacial. Porém, no dimensionamento da estrutura desse veículo, devem ser limitadas as deformações e deslocamentos das diferentes peças.

Portanto, do ponto de vista simplificado, a Resistência dos Materiais estuda o comportamento dos sólidos, ou seja, os esforços e deformações nos corpos sólidos, elásticos ou plásticos, visando o dimensionamento de uma estrutura.

Será visto mais adiante, com detalhes, que o conceito de estrutura está ligado ao conjunto de elementos, cuja finalidade é receber e transmitir esforços aplicados, respeitando diversas normas de segurança, estabilidade, economia, resistência, rigidez, etc. Dentro dessa visão geral, podemos entender como estrutura ou elemento estrutural, desde um simples parafuso, eixo, viga, até a estrutura completa de um edifício, ponte, veículo, torre de transmissão, ponte rolante, fêmur, guindaste, gasoduto, prensa hidráulica, plataforma marítima, espacial, etc.

P



1.2

De um ponto de vista mais rigoroso, devemos incluir a Resistência dos Materiais dentro da Reologia, que é o capítulo de Física que estuda os corpos deformáveis em geral. Assim fazem parte da Reologia, a Teoria da Elasticidade, Teoria da Plasticidade, Mecânica dos Fluidos e a Mecânica dos Sólidos, que estuda como o próprio nome indica, os corpos elásticos, plásticos, fluidos e granulosos, respectivamente.

Podemos então concluir que a Resistência dos Materiais baseia-se nas hipóteses gerais da Teoria da Elasticidade e da Teoria da Plasticidade, porém, introduz um grande número de hipóteses simplificadoras, compatíveis com a precisão usual dos problemas de engenharia, visando a solução mais rápida do problema clássico de dimensionar e verificar estruturas sujeitas a esforços.

Fica claro entender que a Resistência dos Materiais é sinônimo de Mecânica dos Materiais, Mecânica dos Sólidos e Estática dos Corpos Deformáveis.

2 – Principais Esforços – Conceitos Intuitivos

Visando um primeiro contato intuitivo com os quatro esforços clássicos da Resistência dos Materiais, apresentamos na figura 2, o comportamento das peças sujeitas a:

Esforço ou Força Normal “P” – de tração e compressão – Figura 2a e 2b. Esforço ou Força Cortante “V” – corte ou cisalhamento – Figura 2c. Momento Fletor “M” – Flexão – Figura 2d.

Momento Torçor “T” – Torção – Figura 2e.

3 – Principais Objetivos

Resumindo o que já foi discutido, podemos citar os seguintes objetivos básicos: a) Dimensionamento de peças, sujeitas a esforços conhecidos e conhecendo o material. b) Determinar os esforços admissíveis nas peças, conhecendo a geometria e o material. c) Selecionar o material, conhecendo os esforços e a geometria.

d) Verificação da segurança, conhecidas as dimensões, esforços e material.

Evidentemente que além destes, podemos citar que como a Resistência dos Materiais faz parte do currículo mínimo do MEC – Ministério da Educação, Cultura e Desportos, uma boa aprovação em Resistência dos Materiais é fundamental para a obtenção do diploma de Engenheiro, Arquiteto, Técnico ou Projetista, registro no CREA – Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura e uma boa nota no

P P 2a -Tração P P 2b –Compressão T T 2e -Torção 2d -Flexão M M 2c –Cisalhamento (corte) V V

1.3

ENC – Exame Nacional de Cursos (Provão), cada vez mais solicitado pelas empresas nas seleções de candidatos.

Lembramos, também, que para alguns cursos como Civil, Mecânica, Naval, Aeronáutica, Metalurgia, Mecatrônica, etc. a Resistência dos Materiais é a base para várias outras matérias profissionais como Projeto de Máquinas e Motores, Estruturas Metálicas, Estruturas de Concreto, Estruturas de Madeira, Fadiga, Mecânica da Fratura, Elementos Finitos, Análise Experimental, etc.

4 – Principais Tópicos – Resumo do Programa

Segundo o Conselho Nacional de Educação do MEC, a matéria Resistência dos Materiais faz parte do currículo mínimo de todo o curso de Engenharia em todas as áreas e habilitações e compreenderá: “Tensões e Deformações nos sólidos - Análise de peças sujeitas a esforços simples e combinados – Energia de Deformação”.

Detalhando essa emenda podemos dizer que os principais tópicos de um curso básico de Resistência dos Materiais são:

1. Introdução ao Curso – Conceitos Gerais.

2. Complementos de Estática, incluindo Figuras Planas, Perfis, Cálculo de Reações de Apoio, Diagramas de Esforços Internos Solicitantes, Treliças, Mecanismos, Estruturas Isostáticas, etc.

3. Esforços e Deformações nas Peças sujeitas à Tração-Compressão. 4. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento. 5. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Flexão. 6. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas à Torção. 7. Flambagem.

8. Estados Múltiplos de Tensões e Deformações – Noções. 9. Critérios de Resistência – Noções.

10. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas a Esforços Combinados.

Nos cursos mais completos, de acordo com a modalidade e escola de engenharia, fazem parte das várias disciplinas ligadas a Resistência dos Materiais, entre outros os seguintes tópicos:

1. Esforços e Deformações nas Peças Sujeitas ao Cisalhamento na Flexão. 2. Instabilidade do Equilíbrio – Flambagem – Diversos Casos.

3. Estruturas Hiperestáticas.

4. Cargas Móveis – Linha de Influência. 5. Energia de Deformação – Teoremas.

6. Estado Duplo e Triplo de Tensões e Deformações. 7. Critérios de Resistência.

8. Processo de Cross. 9. Perfis de Parede Fina. 10. Vigas Curvas.

11. Estruturas em Regime Elasto-Plástico. 12. Tubos de Parede Grossa.

13. Torção Não Uniforme.

14. Cálculo de Estruturas pelo P.T.V. – Princípios dos Trabalhos Virtuais. 15. Fadiga.

16. Concentração de Tensões. 17. Mecânica da Fratura.

18. Flexão Composta de Barras Esbeltas. 19. Introdução aos Estudos de Chapas e Placas. 20. Introdução à Teoria da Elasticidade. 21. Análise Experimental de Estruturas.

22. Peças de Material Composto – Plásticos - Compósitos. 23. Choque – Impacto.

24. Análise Matricial de Estruturas Reticuladas. 25. Método dos Elementos Finitos.

26. Estruturas Metálicas – Noções. 27. Estruturas de Madeira – Noções. 28. Patologia das Estruturas.

29. História da Resistência dos Materiais.

Em algumas Faculdades, por motivos didáticos, a carga horária semanal de 6 aulas é dividida nas seguintes partes, com os seguintes tópicos:

1.4

Parte A – Duas aulas por semana:

1. Introdução ao Curso.

2. Complementos de Figuras Planas. 3. Tensões Normais na Flexão.

Parte B – Duas aulas por semana:

1. Conceitos Gerais Estruturais.

2. Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes. 3. Deslocamentos na Flexão.

4. Flambagem.

Parte C – Duas aulas por semana:

1. Tensões – Conceitos Gerais. 2. Tração – Compressão. 3. Cisalhamento. 4. Torção.

Lembrando que a parte mais importante é a Parte D – Dedicação aos estudos, onde os pedagogos recomendam como razoável, o mesmo número de aulas por semana para estudar, ou seja, neste caso 6 horas por semana de dedicação. Sabemos que é difícil atender a esta recomendação e portanto deixamos a critério de cada aluno o número de horas de dedicação semanal a este curso de Resistência dos Materiais.

5 – Principais Pré-Requisitos

Como foi visto nos itens anteriores, o binômio esforços



deformações será estudado completamente e portanto recomenda-se que os alunos tenham além dos indispensáveis conceitos básicos de Matemática e Física, o maior conhecimento possível dos esforços, ou seja, da parte Estática da Mecânica que estuda as relações entre esforços, equilíbrio, cálculo de reações de vínculo, treliças, centros de gravidade e momentos de inércia de figuras planas, cargas distribuídas, etc.

Convém lembrar que alguns desses tópicos são vistos não só no início da Faculdade como também nos cursos do 2o grau.

Por outro lado, em algumas escolas de engenharia, tais assuntos são ministrados em disciplinas denominadas Introdução à Resistência dos Materiais.

Vale a pena enfatizar mais uma vez a importância dos sólidos conhecimentos de Estática no desenvolvimento de quase todo o curso de Engenharia Mecânica e Civil, pois tais áreas lidam basicamente com máquinas e estruturas sujeitas aos mais variados tipos de esforços.

Recomenda-se também conhecimentos de Materiais de Construção e Ensaios Mecânicos, principalmente do importante Ensaio de Tração.

Lamenta-se o fato que a maioria dos alunos traz uma série de deficiências e omissões do ensino do 2º grau, pois se os alunos tivessem por exemplo os conhecimentos básicos de Estática, visto nos bons cursos secundários e técnicos, a ampliação desses conhecimentos no 3º grau seria feita de um modo muito mais eficiente.

6 – A Posição da Resistência dos Materiais no Curso

Como já foi dito, a Resistência dos Materiais faz parte das Matérias de Formação Básica de todo o curso da Engenharia, em todas as áreas, ou seja: Civil, Mecânica, Elétrica, Química, Metalurgia e Minas e nas várias habilitações como por exemplo: Sanitária, Construção, Naval, Aeronáutica, Eletrônica, Comunicações, Alimentos, etc.

Evidentemente que nas áreas de Civil e Mecânica, a matéria Resistência dos Materiais é desdobrada em várias disciplinas, distribuídas nas matérias de Formação Profissional Geral e Específica.

Percebe-se, portanto, que a Resistência dos Materiais é uma das matérias que fazem a ligação entre aquelas eminentemente básicas como Matemática, Física, Mecânica e aquelas de caráter profissional como por exemplo Elementos de Máquinas, Projeto de Máquinas, Máquinas de Elevação e Transporte, Chassis e Carroceria, Máquinas Operatrizes, Máquinas Hidráulicas, Estruturas Metálicas, Máquinas Agrícolas, etc.

Devido a estas e outras características já comentadas, e sendo uma das primeiras disciplinas onde os alunos procuram dimensionar, ou seja, materializar alguma peça, vários alunos encontram algumas dificuldades que serão superadas com dedicação aos estudos, auxílio dos professores e uma boa dose de visão espacial, imaginação, iniciativa e bom senso, tão necessários ao futuro engenheiro.

1.5

7 – A Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico

Alguns alunos, talvez um pouco cansados da Matemática, Física, Mecânica, etc., do ciclo básico, quando chegam ao 2o e 3o ano, pretendem já com a primeira aula de Resistência dos Materiais elaborar projetos de veículos, máquinas, ferramentas, edifícios, pontes, etc.

Embora seja possível desenvolver interessantes projetos sem muitas sofisticações teóricas, é evidente que para um projeto completo de engenharia, são necessárias várias etapas, desde a idealização estrutural até o detalhamento completo.

Percebe-se, então, que a primeira etapa e talvez a mais importante, onde o aluno e futuramente o engenheiro sempre tem a desenvolver é a Idealização do Modelo de Cálculo. A Resistência dos Materiais participa da 2a etapa que é a Análise do Modelo de Cálculo verificando basicamente se as tensões e deslocamentos estão dentro de limites seguros, restando ainda outras não menos importantes etapas ligadas ao Projeto Definitivo, Execução, Montagem, Testes, etc.

Portanto, verifica-se que nesta importante área do Projeto Mecânico, a Resistência dos Materiais junto com outras disciplinas correlatas já citadas desempenha um papel muito especial.

Usando as conhecidas siglas CAD – CAE – CAM, podemos dizer que a 1a etapa da Modelagem está ligada aos diversos sistemas CAD – Computador Auxiliando o Desenho (AutoCAD, Microstation, Catia, Ideas, Meduza, Pro-Engineer, Mechanical Desktop, etc.). A 2a etapa da Análise está associada aos sistemas CAE – Computador Auxiliando a Engenharia, destacando-se o MEF – Métodos dos Elementos Finitos e os programas NASTRAN, COSMOS, ANSYS, MECHANICA, SAP, ADINA, WORKING MODEL FEA, ABAQUS, FEISTRUT, PORTICO, etc. A 3a etapa da Fabricação está direcionada aos sistemas CAM – Computador Auxiliando a Manufatura (Di-Log, SmartCAM, etc.). Finalmente, lembramos que temos uma 4a etapa que serve para validar as anteriores que é parte relativa aos Teste, ou seja, os diversos métodos da Análise Experimental de Tensões que determinam experimentalmente os esforços, deformações, tensões e deslocamentos nas estruturas e que está associada aos sistemas CAT – Computador Auxiliando os Testes, representados pelos programas de aquisição de dados nos modernos Laboratórios de Resistência dos Materiais, do tipo M6000 da Empresa M. M.

8 – Orientação Bibliográfica

Existem dezenas de bons livros de Resistência dos Materiais, de autores nacionais e estrangeiros, que podem ser citados para ajudar o aprendizado dos alunos. Vamos relacionar dez dos livros mais conhecidos e fazer alguns comentários sobre alguns deles.

[1]Beer, Ferdinand P., Johnston Jr., E Russel, “Resistência dos Materiais”, 3a Ed., São Paulo, Editora Makron Books, 1995.

[2]Ricardo, Otávio Gaspar de Souza, “Introdução à Resistência dos Materiais”, Campinas, UNICAMP, 1997.

[3]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Tensões”, Rio de Janeiro, Científica, 1956. [4]Langendonck, Telemaco Hipólito de Macedo van, “Deformações”, Rio de Janeiro, Científica, 1960. [5]Timoshenko, S. P., “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1969.

[6]Silva Jr., Jayme Ferreira da, “Resistência dos Materiais”, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1962. [7]Popov, Egor P., “Introdução à Mecânica dos Sólidos”, São Paulo, Ed. Edgard Blücher.

BÁSICAS DE TRANSIÇÃO PROFISSIONAIS

R. M.

Figura 3 – Posição da Resistência dos Materiais nas disciplinas do curso

MODELAGEM CAD ANÁLISE CAE FABRICAÇÃO CAM R. M.

Figura 4 – Posição da Resistência dos Materiais no Projeto Mecânico TESTES CAT

1.6

[8]Higdon, Archie, Ohlsen, E. H., Stiles, W. B., Weese, J. A. e Riley, W. F., “Mecânica dos Materiais”, 3a Ed., Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1981.

[9]Feodossiev, V., “Resistência dos Materiais”, Porto, Lopes da Silva, 1977.

[10]Miroliubov, I., “Problemas de Resistência dos Materiales”, 3a Ed., Moscou, Mir, 1978. [11]Nash, William Arthur, “Resistência dos Materiais”, São Paulo, McGraw-Hill, 1982, Coleção

Schaum.

Em geral, os cursos de Resistência dos Materiais, ministrados nas várias Escolas de Engenharia, não seguem um único livro texto, sendo uma composição de várias obras com a experiência de cada Professor.

A referência n.º 1 de BEER e JOHNSTON, corresponde em boa parte ao curso que será dado e, portanto, poderá ser utilizado como livro básico. Apresenta a teoria exposta de maneira clara e um grande conjunto de problemas bem ilustrados resolvidos e propostos com respostas.

O livro n.º 2 do Professor GASPAR RICARDO se caracteriza pela orientação para Engenharia Mecânica, embora possa ser utilizado por estudantes de outras áreas.

As referências n.º 3 do Professor TELEMACO e dos seus vários colaboradores na Escola Politécnica da USP na área de Engenharia Civil, constituíram uma fonte de aprendizado da maioria dos professores da Resistência dos Materiais. Além dos livros mencionados, existe um conjunto de apostilas tais como: Introdução à Resistência dos Materiais; Tensões; Deformações; Estruturas Isostáticas; Treliças; e outras.

Os clássicos livros do Professor TIMOSHENKO de Resistência dos Materiais, junto com várias de suas obras como Teoria das Estruturas, Teoria da Elasticidade, Teoria das Placas e Cascas, Teoria da Instabilidade Elástica e outras, constituem uma notável contribuição ao estudo avançado da Resistência dos Materiais.

O livro do Professor J. F. SILVA na linha das obras do Professor Telemaco é também um excelente reforço para os estudantes de Resistência dos Materiais.

Embora não estejam mencionados na lista de livros, merecem destaque alguns trabalhos de vários Professores das Escolas de Engenharia tais como: Professor Crispino, Professor Campanari, Professor Guidetti, Professor Schiel, Professor Susumu, Professor Miranda, Professor Lindenberg e muitos outros.

Enfim, poderíamos apresentar um resumo das principais características de vários livros, mas, o que realmente importa, é que o aluno através da Biblioteca da Faculdade e da Internet, tenha acesso e consulte vários livros e apostilas e que estude de uma maneira mais intensiva seguindo pelo menos um texto básico.

Convém também destacar a conveniência de o aluno se habituar a manusear catálogos industriais. No nosso curso são utilizados os catálogos dos fabricantes de perfis industriais (C. S. N., Usiminas, Aço Minas, Alcan, etc.) e de materiais de construção em geral.

Para a parte de Estática e Introdução à Resistência dos Materiais e Estruturas Isostáticas, podem ser citados entre muitos outros, os seguintes livros:

[1]Beer, F. P., Johnston, E. R., “Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática”, 5a Ed., McGraw-Hill, 1998.

[2]Merian, James L., “Estática”, 2a Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora, 1994.

[3]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Mecânica Técnica – Estática”, Livros Técnicos e Científicos, São Paulo.

[4]Timoshenko, S. P., Young, D. H., “Teoria de las Estruturas”, Urmo Ediciones.

[5]Silva, J. F., “Resistência e Estática das Construções – Introdução”, Universidade de Minas Gerais. [6]Fonseca, Adhemar da Cunha, “Curso de Mecânica – Estática”, vol. 1 e 2, Ao Livro Técnico.

[7]Fonseca, Adhemar da Cunha e Moreira, D. F., “Estática das Construções”, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1966.

[8]Oliveira, M. M. e Gorfim, B., “Estruturas Isostáticas”, Livros Técnicos e Científicos.

[9]Süssekind, José Carlos, “Curso de Análise Estrutural”, 4a Ed., Porto Alegre, Editora Globo, 1979, Vol. 1: Estruturas Isostáticas, Vol. 2: Deformações em Estruturas. Método das Forças, Vol. 3: Método das Deformações. Processo Cross.

[10]Amaral, O. C., “Estruturas Isostáticas”, Universidade Federal de Minas Gerais.

Com relação à parte de mecânica, merecem destaques os trabalhos dos vários professores nas Escolas de Engenharia tais como: Professor Fleury Silveira, Professor Albanese, Prof. Amadeu, Professor Giacaglia, Professor Nóbrega e muitos outros.

1.7

9 – Histórico – Resumo

Datam de Leonardo da Vinci (1452 – 1419) e de Galileu Galilei (1564 – 642), as primeiras contribuições da Estática e da Resistência dos Materiais. A Lei de Robert Hooke (1635 – 1702) sobre a proporcionalidade entre forças e deslocamentos deu um grande impulso no desenvolvimento da Resistência dos Materiais.

O estudo da flexão iniciado em 1638 com a hipótese errada de Galileu da distribuição uniforme só foi corrigida em 1826 com a hipótese de Navier (1785 – 1836) da manutenção das seções planas e a conseqüente distribuição linear das tensões.

A Teoria da Elasticidade teve um grande desenvolvimento na 2a metade do século XIX e no começo do século XX.

Apresentamos a seguir alguns outros nomes e datas que serão citados durante o curso, desde as Leis da Mecânica de Isaac Newton (1642 – 1727), os estudos da família Bernoulli (1645 – 1782) e da flambagem de L. Euler (1707 – 1783) passando pelo coeficiente de D. Poisson (1781 – 1840); Princípio de Saint Venant (1797 – 1886); Fórmula de Cisalhamento na Flexão de D. Jourawski (1821 – 1891); Círculo de O. Mohr (1835 – 1918) até o estudo de perfis de paredes finas de V. Z. Vlasov (1906 – 1958).

Vários problemas foram resolvidos de modo experimental ou integrando as várias e trabalhosas equações diferenciais da Teoria da Elasticidade, porém, diversos problemas mais complexos ficaram sem solução devido às grandes dificuldades matemáticas.

10 – Tendências – Perspectivas.

Foi a partir da segunda metade do século XX, com o advento dos computadores digitais, que possibilitou através da técnica da discretização do problema em dezenas, centenas e milhares de elementos recair em sistemas de equações lineares e resolver qualquer problema estrutural da Análise Matricial de Estruturas e Método dos Elementos Finitos.

Estas novas técnicas matriciais já são dadas em várias Escolas de Engenharia e constituem o presente e o futuro do engenheiro de projeto, que entretanto não substituem os conceitos básicos que serão vistos neste curso de Resistência dos Materiais, pelo contrário, será através do perfeito domínio dos conceitos elementares que o aluno e o engenheiro continuarão investigando, pesquisando, trabalhando, agora em companhia do computador.

Com a popularização do Métodos dos Elementos Finitos, e da filosofia CAE – Computador Auxiliando a Engenharia, entendemos que os softwares vão se tornar cada vez mais amigáveis, facilitando a entrada e saída dos resultados, porém, sempre exigindo cada vez mais, os conceitos básicos de Resistência dos Materiais.

11 – Desenvolvimento do Curso – Critério de Aprovação

A carga horária semanal e o tipo de curso semestral ou anual, variam, em função das características da Faculdade e do Curso de Engenharia. Em geral, infelizmente, predominam as aulas expositivas, com os conceitos teóricos ilustrados com vários exercícios.

Algumas Escolas oferecem Laboratório de Resistência dos Materiais ou Salas Ambiente de Resistência dos Materiais, o que, evidentemente, facilita, estimula e desenvolve melhor o interesse do aluno pelo aprendizado. As aulas práticas de Resistência dos Materiais podem numa primeira etapa serem desenvolvidas virtualmente através de softwares ou tutoriais adequados e numa segunda etapa serem vistas fisicamente no Laboratório de Resistência dos Materiais.

Mesmo sem Laboratório ou sala ambiente, estimulamos os professores a levar para as salas de aulas, pequenos modelos ilustrativos os diversos pontos da Resistência dos Materiais.

É importante que o aluno participe ativamente das aulas, na fixação da teoria, na execução dos exercícios desde a primeira semana, de modo a bem acompanhar e assimilar os ensinamentos vistos.

Como já foi dito, em média, a disponibilidade para estudo fora das aulas é de 2 a 6 horas semanais e cabe ao aluno, fixar as suas cargas horárias de estudos por semanas.

Com relação aos sistemas de unidades, recomendamos que o aluno intensifique o uso do Sistema Internacional (Newton, Pascal, etc.) e, como estamos numa fase de adaptação, convém utilizar também o usual sistema M. K. S. técnico (kgf, etc.), além do sistema inglês ( polegada, pé, psi, etc.) que, felizmente, num futuro próximo tenderá a desaparecer.

O critério de avaliação baseia-se principalmente na média ponderada das provas oficiais, porém, convém lembrar que a entrega das séries de exercícios e trabalhos sugeridos (ver anexos: VIII – Trabalho n.º 1 com três parte, IX – Como usar o software interativo “Tutorial de Estática” – Beer-Johnston, X – Tutorial de Estática - Beer-Johnston – 6a edição – Informações e XI - Trabalho n.º 2 – Exercícios para

1.8

serem feitos usando computador – Resistência dos Materiais - Beer-Johnston – 3a edição – Instruções) a assiduidade, pontualidade e efetiva participação nas aulas, o desempenho nas eventuais “provinhas” e argüições, o interesse e a imaginação na elaboração das “experiências” recomendadas, enfim, todos os estudos, atividades e comportamentos do aluno visando o bom acompanhamento da matéria, estão evidentemente numa relação direta com um alto rendimento escolar ou obtenção de boas notas.

Como em quase todas as disciplinas básicas e conceituais, as provas principais são em geral sem consulta, e envolvem questões teóricas, conceituais e práticas.

Durante os cursos e nas provas, é distribuído um completo formulário com um resumo de todas as expressões e tabelas necessárias.

Além dos vários professores em tempo parcial, os alunos são atendidos pelos professores em tempo integral e pelos monitores.

Aproveitando a oportunidade, talvez seja conveniente fazer algumas considerações a respeito das eventuais revisões de provas. Embora constitua um direito dos alunos, que deve ser respeitado, solicitamos que não seja confundida revisão propriamente dita, ou seja, uma análise e comentários dos erros e acertos nas provas, que conduz à manutenção ou não da nota atribuída, com uma lamentação, seguida de longas explanações sobre problemas pessoais, familiares, etc., que para o aluno são da maior importância, influindo, infelizmente, de um modo negativo no rendimento escolar, mas que não podem nas Escolas de maior seriedade, alterar substancialmente os resultados das várias e exaustivas avaliações feitas pelas equipes de professores.

Observamos que nos casos de dúvidas, a prova é avaliada por dois ou mais professores, e que de modo geral, as notas são mantidas, salvo erro grosseiro de correção, soma das notas, ou passagens das notas. Neste caso, pedimos desculpas pelo erro e corrigimos a nota.

12-Trabalho Prático – Avaliação n.º 1

Visando dar um caráter prático a esta introdução, vamos retomar a peça da figura 1, desenhando agora em perspectiva na figura 5. Admitindo os seguintes dados:

Evidentemente que esta peça será oportunamente calculada analiticamente pela Resistência dos Materiais Básica, ou de um modo mais sofisticado por um método numérico tipo Elementos Finitos, ou ainda analisada com as técnicas de Análise Experimental de Tensões (Extensometria Elétrica).

Atualmente, desejamos testar apenas a sua intuição e saber qual a capacidade da peça, ou seja, qual o valor da máxima carga P1 de tração admissível na peça e qual o valor da máxima carga P2

admissível que provoca flexão na barra.

Mais tarde, depois de calculada ou analisada experimentalmente, compararemos a sua “intuição” com o valor exato da capacidade da peça a tração e flexão.

Finalizando, só nos resta desejar e aplicar os nossos esforços, no sentido de que todos os alunos obtenham o melhor aproveitamento, desenvolvimento e utilização do curso de Resistência dos Materiais da maneira mais agradável possível.

P2 P1 b h l l = 250 mm b = 25 mm h = 3 mm aço comum

1.9

2a Parte – Conceitos Gerais - Orientação Para Estudo

Nesta edição não serão desenvolvidos os vários Conceitos Gerais da Resistência dos Materiais previstos para este capítulo I.

Recomenda-se que o aluno participe ativamente das aulas do seu curso e utilize como reforço o livro texto ou de referência adotado na sua Escola.

De acordo com a nomenclatura já apresentada no início deste trabalho, neste capítulo deverão ser vistas as seguintes grandezas:

P, N, F... Força normal V, Q ... Força cortante M ... Momento fletor T, MT ... Momento torçor, torque

 ... Tensão normal, tração ou compressão

 ... Tensão tangencial ou de cisalhamento

 ... Tensão total A, S ... Área da secção transversal

LIM, LIM ... Tensões limites

RT, RC, U ... Tensão limite de resistência (última), tração, compressão

ET, EC, Y ... Tensão limite de escoamento, tração, compressão

ESM, e ... Tensão de esmagamento

csT, sT ... Coeficiente de segurança à tração

csC, sC ... Coeficiente de segurança à compressão

adm, adm,



,



,all, all ... Tensão admissível

Nas aulas, recomenda-se a seguinte seqüência para a apresentação dos seguintes conceitos: Tensão – Conceito Elementar; Conceito Geral; Convenção de Sinais; Caso Geral; Equivalência Entre Tensões e Esforços Internos Solicitantes; Estados Limites; Cargas Limites; Tensões Limites; Tensões Admissíveis; Coeficiente de Segurança; Principais Fatores; Valores Orientativos; Projeto Pelas Condições de Rigidez e Resistência; Observações Gerais.

Com relação ao estudo por livros, por exemplo, nas Escolas que utilizam a referência BEER, F. P. e JOHNSTON JR., E. R. – Resistência dos Materiais, Makron Books do Brasil Editora Ltda, São Paulo, 1996, recomenda-se estudar os seguintes conceitos gerais dos Capítulos 1 e 2, cujo sumário apresenta-se a seguir:

Página

Capítulo 1 - Introdução Conceito de Tensão... 1

1.1 Introdução ... ... 1 1.2 Forças e Tensões... 2 1.3 Forças Axiais; Tensões Normais... ... 6 1.4 Tensões de Cisalhamento... 10 1.5 Tensões de Esmagamento... ... 13 1.6 Aplicações na Análise de Estruturas Simples... 14 Problema Resolvido 1.1... ... 18 Problemas... ... 20 1.8 Tensões Para um Caso de Carregamento Qualquer; Componente de Tensões... 31 1.9 Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança... 37 Problema Resolvido 1.2... ... 41 Problema Resolvido 1.3... ... 44 Problemas... 46 Revisão e Sumário... ... 52 Problemas de Revisão... 57

Capítulo 2 – Tensão e Deformação – Carregamento Axial... 64

2.1 Introdução... 64 2.2 Deformação Específica Normal Sob Carregamento Axial... 65 2.3 Diagrama Tensão-deformação... 68 2.4 Tensões e Deformações Específicas Verdadeiras...75 2.5 Lei de Hooke, Módulo de Elasticidade...76 2.6 Comportamento Elástico e Comportamento Plástico dos Materiais... 77 2.8 Deformações de Barras Sujeitas à Cargas Axiais... 81 Problema Resolvido 2.1... ... 85

1.10

Problema Resolvido 2.2... ... 87 Problemas... ... 89 2.11 Coeficiente de Poisson... 124 2.14 Deformação de Cisalhamento... 133 2.16 Distribuição das Tensões e Deformações Específicas Causadas por

Carregamento Axial; Princípio de Saint-Venant... 152 Este capítulo I, de Conceitos Gerais, está ligado ao capítulo II - Complementos de Reações de Apoio e Diagramas de Esforços Internos Solicitantes, onde se detalha a determinação dos esforços internos solicitantes, Força Normal de Tração e Compressão (P = N) e Força Cortante (V = Q) e ao Capítulo IV – Tração, Compressão e Cisalhamento, onde se vê com detalhe as tensões, deformações e deslocamentos provocados pelas Força Normal de Tração e Compressão (P = N) e pela Força Cortante (V = Q).

Resumindo, a parte teórica deste Capítulo I – Conceitos Gerais da nossa apostila encontra-se no Capitulo 1 – Conceito de Tensão e Capítulo 2 - Tensão e Deformação – Carregamento Axial do BEER-JOHNSTON e no capítulo IV – Tração, Compressão e Cisalhamento da apostila. Na próxima edição, pretende-se fazer um capítulo I, completo e separado com os Conceitos Gerias da Resistência dos Materiais.

Por enquanto, vamos fazer um resumo dos esforços já estudados

                                      to Cisalhamen de ou Tangencial Tensão Compressão ou Tração de Normal Tensão Tensões sistentes Re Internos Torçor Momento M T Fletor Momento M Cortante Força Q V Compressão e Tração de Normal Força N P es Solicitant Internos Reativos Ativos Externos Esforços T

Este quadro será ampliado no final do Capítulo II, após o aprofundamento em cálculo de Reações de Apoio e de Diagramas de Esforços Internos Solicitantes.

VA =2 0 0 N VB = -200N VA =1 3 0 N NA =2 0 0 N VB =2 7 0 N

HA

=

FX =F √ . co sα = 2 0 0 0 kN FY =F √ . sen α = 2 0 0 0 k N

3

0

3.0

Este capítulo é a rigor,

um anexo, pois o assunto é da Física e ou Mecânica.

CAPÍTULO III

COMPLEMENTOS

DE FIGURAS

PLANAS