Ensaios de Jearl Walker

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Texto

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 Edição

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HALLID

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JEARL

JEARL W

WALKER

ALKER

Cleveland State University

Cleveland State University

VOLUMES 1 a 4

VOLUMES 1 a 4

Tradução e Revisão Técnica

Tradução e Revisão Técnica

Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.

Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.

Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME

(3)

Este Material Suplementar contém os Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 que podem ser usados como apoio para o livroFundamentos de Física, Volumes 1 a 4, Nona Edição, 2012. Este material é de uso exclusivo de professores que adquiriram o livro.

Material Suplementar Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 traduzido dos materiais originais: HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME ONE, NINTH EDITION

Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license.

HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITION

Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license. Obra publicada pela LTC:

FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUMES 1 A 4, NONA EDIÇÃO Direitos exclusivos para a língua portuguesa

Copyright© 2012 by

LTC__ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.

Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Projeto de Capa: M77 Design

Imagem de Capa:©Eric Heller/Photo Researchers, Inc.. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc.

Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc. Editoração Eletrônica do material suplementar:

(4)

Dimensão Fractal de uma Bola de Papel

3

Duas Camas de Pregos

4

Fervura e o Efeito Leidenfrost

6

Marcas de Derrapagem

14

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Bola Alta

Jearl Walker

Em 20 de agosto de 1938, Frankie Pytlak e Hank Helf, dois

receptores dos Cleveland Indians, se dispuseram a bater o

re-corde mundial de recepção de uma bola de beisebol lançada de grande altura. Enquanto esperavam na calçada ao lado da

Terminal Tower, em Cleveland, Ken Keltner, o terceira base, se preparou para lançar as bolas do alto do edifício, 210 m acima do nível da rua. O recorde anterior de 170 m tinha sido

estabelecido em 1908 por dois receptores de outra equipe, que

pegaram bolas arremessadas do Monumento de Washington,

em Washington, D.C.

Como Keltner não podia ver os companheiros na rua,

ar-remessou as bolas ao acaso. Pytlak e Helf estavam usando

capacetes de aço para se proteger das bolas, que iriam chegar a uma velocidade da ordem de 225 km/h. Helf pegou a pri-meira bola, garantindo, com um sorriso, que tinha sido

mui-to fácil. Entretanmui-to, as primeiras cinco bolas lançadas para Pytlak erraram o alvo. Uma delas chegou ao 13o andar depois

de quicar a primeira vez e foi pega por um policial depois de quicar três vezes. Na sexta tentativa, Pytlak conseguiu pegar a bola e dividiu o recorde com Helf.

No ano seguinte, Joe Sprinz, do San Francisco Baseball

Club, tentou pegar uma bola de beisebol arremessada de um

dirigível que estava a uma altura estimada de 240 m (de

acor-do com alguns relatos, a altura era muito maior no momento

do lançamento). Na quinta tentativa, Sprinz conseguiu aparar

a bola com a luva, mas o impacto levou mão, luva e bola em direção ao seu rosto, fraturando seu maxilar superior em 12 lugares, quebrando cinco dentes, deixando-o desacordado... e fazendo-o soltar a bola.

Mais engraçada foi a tentativa, em 1916, de pegar uma

bola de beisebol arremessada de um pequeno aeroplano.

Wil-bert Robinson, gerente dos Brooklyn Dodgers e ex-receptor, pediu ao treinador dos Dodgers, Frank Kelly, que lançasse a bola de um avião voando a 120 m de altura. Entretanto, sem que Robinson soubesse, Kelly trocou a bola por uma toranja vermelha. Quando o impacto com a luva fez a fruta se despe-daçar, o conteúdo vermelho empapou Robinson, que gritou:

“Minha nossa! Ela abriu um buraco na minha mão! Estou

coberto de sangue!” Referência

A velocidade da bola ao atingir Joe Sprinz foi calculada no

Exemplo 2-10 dos Problemas Suplementares do volume 1,

(6)

Dando Luzes a um Árbitro

Jearl Walker

No conto “Um ligeiro caso de insolação”, de Arthur C. Clarke,

uma partida de futebol foi disputada entre dois países rivais

diante de um público de mais de 100.000 pessoas. Metade dos espectadores era militar, não precisou pagar ingresso e

ainda recebeu grandes programas de capa prateada para co-memorar o evento.

O jogo estava sendo aguardado com ansiedade. No ano anterior, o time da casa havia perdido o jogo porque o juiz

tinha sido subornado pelo time visitante. Na verdade, o time

da casa também oferecera dinheiro ao juiz, mas,

aparente-mente, menos que o necessário.

Como, de acordo com as regras, o time visitante tinha o

direito de escolher o juiz e os bandeirinhas, o juiz seria o mes-mo. A torcida estava curiosa para ver como ele se comportaria.

No início do jogo, parecia estar apitando com imparcialida-de, mas, depois que o time visitante marcou o primeiro gol, anulou o gol que seria de empate do time da casa e, logo em seguida, marcou um pênalti duvidoso para os visitantes, que

foi convertido. Com o time perdendo de dois a zero, a torcida

começou a temer pelo pior.

As esperanças voltaram quando o time da casa, jogando com muita raça, conseguiu marcar um gol tão limpo que nem

o juiz mais corrupto do mundo teria coragem de anular. Pouco

depois, a torcida comemorou de pé quando um dos atacantes

do time da casa passou por vários adversários e colocou a bola

no fundo das redes, empatando o jogo. No meio da gritaria, ouviu-se o apito do juiz. Ele anulou o gol com a alegação ab-surda de que o atacante havia colocado a mão na bola.

Parte da torcida ameaçou invadir o campo, revoltada, mas

os militares permaneceram onde estavam. Depois que os

joga-dores dos dois times se retiraram, deixando o árbitro sozinho

no centro do campo, alguém gritou um comando e, em perfeito sincronismo, todos levantaram seus programas no sol e

apon-taram as capas para o juiz. Houve um clarão e, no lugar onde estava o juiz, só restou um monte de cinzas fumegantes.

Em alguns países, o futebol é levado muito a sério. Referência

Clarke, A.C., “A Slight Case of Sunstroke”, emTales of Ten Words, Harcourt, Brace & World, Inc., 1963. (Edição

bra-sileira: Clarke, A.C., “Um Ligeiro Caso de Insolação”, em

(7)

MATERIAL S UPLEMENTAR 3

Dimensão Fractal de uma Bola de Papel

Um problema aplicado envolvendo regressão linear Jearl Walker

Uma folha plana de papel pode ser considerada bidimensional

(ou seja, possui uma dimensão d  2,0) e um cubo maciço

feito de papel é tridimensional (d  3,0). De acordo com a

geometria fractal, quando usamos uma folha para fazer uma

bola de papel, a superfície bidimensional da folha passa a

ocupar três dimensões e dizemos que a folha possui uma di-mensão fractal d que pode ter um valor entre 2,0 e 3,0. Um

valor próximo de 2,0 significa que a folha tende a evitar a si própria na formação da bola; um valor próximo de 3,0 sig-nifica o oposto.

A massamdo papel e o diâmetro Dda bola estão

relacio-nados à dimensãod  da bola através da equação

m  kDd , (1)

na qual k é uma constante desconhecida. Medindo o valor

dempara vários valores de D – o que pode ser feito usando

o mesmo tipo de papel para fazer bolas de vários tamanhos

–, podemos calcular o valor de d ajustando os resultados à

Equação 1. Em vez disso, porém, é mais fácil transformar a

Equação 1 em uma equação linear e determinar o valor de

dpor regressão linear, ou seja, encontrando a linha reta que

melhor se ajusta aos dados.

Como a dimensãodaparece na forma de um expoente na

Equação 1, podemos transformá-la em uma equação linear

tomando o logaritmo natural de ambos os membros: lnm  lnkDd 

 lnk  ln Dd 

 lnk  d ln D. (2)

O resultado está na forma de uma equação linear y  a  bx ,

na qualaé a ordenada do ponto de intercessão com o eixo ye

b é a inclinação. Na Equação 2, a variável y é ln m, a ordenada

do ponto de intercessão com o eixo yé lnk , a inclinação (que

é o valor procurado) éd  e a variável xé ln D.

Podemos, portanto, calcular a dimensão fractaldfazendo

uma regressão linear dos valores de ln mem função de ln D

para obter a inclinação da reta. Para isso, podemos usar uma calculadora científica ou um programa de computador.

Para obter os dados, começamos com uma folha de

pa-pel relativamente grande, fazemos uma bola, medimos a massa m em uma balança e calculamos o diâmetro médio

 D tomando a média das larguras da bola seguindo duas

di-reções quaisquer. Depois de alisar a folha, cortamos a

fo-lha pela metade e repetimos o processo para cada pedaço. Alisamos novamente uma das folhas, cortamos a folha pela

metade e repetimos o processo. Continuamos o processo até

atingirmos o limite de nossa capacidade de medir a massa ou o diâmetro.

Quando executei o experimento usando um papel relati-vamente grosso (com uma área original de aproximadamente

0,80 m2), as massas m foram 112; 56,6; 55,5; 25,9; 30,0; 15,2;

14,8; 7,57; 7,71; 3,85; 3,89; 2,05; 1,85 gramas. Os diâmetros

 D correspondentes foram 27,5; 20,0; 19,0; 14,5; 15,5; 10,0;

9,0; 7,8; 6,5; 6,0; 4,8; 4,9; 4,8 cm.

Qual é a dimensão fractal dde minhas bolas de papel? Sugestão: Em uma calculadora científica, prepare primeiro

uma lista das massas e uma lista dos diâmetros. Em seguida,

calcule o logaritmo natural das duas listas para obter duas

novas listas. Use as duas listas e a rotina de regressão linear da calculadora para obter a inclinação da reta que melhor se

ajusta aos dados experimentais. Os passos necessários para obter as duas listas e regressão linear são explicados, para vários modelos de calculadoras, em outro recurso

disponí-vel neste site. Atenção: Algumas calculadoras usam y  a  bxcomo equação linear genérica e outras usam y  ax  b

como equação genérica, o que faz diferença na hora de exe-cutar uma regressão linear.

A resposta está mais próxima de 2,0 do que de 3,0.

Inter-prete o resultado em termos da tendência do meu papel de

evitar ou não evitar a si próprio na hora de formar a bola.

Determine experimentalmente a dimensão fractal de outros materiais, como cartolina, plástico para embrulhar alimentos,

folha de alumínio e tortilhas. (Determinar a dimensão fractal

de uma tortilha em um restaurante mexicano pode ser uma

forma de conseguir popularidade instantânea. Pensando me-lhor, talvez não seja uma boa ideia.)

Referência

Baseado em “Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls”, de

M.A.F. Gomes, American Journal of Physics, 55, 649-650

(1987), e “A Simple Experiment that Demonstrates Fractal Behavior”, de R.H. Ko e C.P. Bean, The Physics Teacher ,

(8)

Duas Camas de Pregos

Jearl Walker

Um dos meus passatempos preferidos é ser imprensado, sem camisa, entre duas camas de pregos, e convidar uma ou duas pessoas para subir na cama de cima. Quando estou realmen-te deprimido, peço para colocarem um bloco de concreto na cama de cima, que meu assistente quebra com uma marreta. (Essa demonstração confirma minha observação de que não

há um modo melhor de atrair a atenção dos estudantes que

apresentar uma demonstração na qual o professor aparente-mente corre risco de vida.) Devo confessar que, enquanto a primeira demonstração é apenas exótica, a segunda pode ser realmente perigosa. Mais de uma vez fui atingido por frag-mentos de bloco de concreto, mas, felizmente, meus dentes e meus olhos foram poupados.

O Começo

Comecei a dar essas demonstrações em 1974, depois de as-sistir à segunda em um espetáculo de caratê. Na verdade, fui o primeiro a fazer isso em uma sala de aula. Também usei as demonstrações nas palestras doCirco Voador da Física (que apresentei em muitas cidades dos Estados Unidos e do Canadá

nas décadas de 1970 e 1980) e na série de televisão da PBS “O Carnaval Cinético”. Em consequência, foram vistas por muitos professores e, hoje em dia, demonstrações semelhan-tes são apresentadas em muitas escolas dos Estados Unidos e de outros países.

Para dizer a verdade, a primeira vez que apresentei a

de-monstração em sala de aula, as coisas não correram como

eu havia previsto. Pedi a um aluno para usar a marreta, mas, imprudentemente, eu havia escolhido um pequeno tijolo, em vez de um bloco de concreto, para ser colocado sobre a cama de cima. O golpe foi tão forte que levei alguns minutos para

me recuperar. Os estudantes ficaram assustados, mas meu

primeiro pensamento foi que aquilo era uma forma absurda de passar desta para melhor.

Quando uma ou duas pessoas sobem na cama de cima, o peso é distribuído por um número tão grande de pregos que a força aplicada por um dos pregos não é suficiente para per-furar minha pele. A força exercida pelos pregos da cama de

baixo é maior, já que ela precisa também sustentar o meu

peso. Depois de fazer alguns experimentos, determinei com boa precisão o peso máximo das pessoas que podem subir na

cama de cima sem que eu fique ferido. (Não pense que é tudo

um mar de rosas; na verdade, sinto muita dor quando estou fazendo a demonstração.)

O grande bloco de concreto que é feito em pedaços na se-gunda demonstração não só acrescenta um toque teatral, mas

também aumenta a segurança de três formas sutis (das quais não me dei conta quando usei inicialmente um pequeno tijo-lo). (1) Para que eu sofra um grande impacto, é preciso que o bloco sofra uma grande aceleração; quanto maior o bloco, maior a massa e, portanto, menor a aceleração. (2) Boa parte da energia do golpe de marreta é usada para quebrar o bloco e não para movimentar a cama de cima. (3) O fato de que o

bloco se quebra significa que o tempo de colisão é mais longo

do que se o bloco não estivesse presente, e, portanto, a força da colisão é menor.

A Alfândega Americana

Quando estava voltando de uma palestra doCirco Voador da Física no Canadá, eu e minha mulher tivemos de passar na

alfândega com um caixote que continha as camas de pregos. O funcionário da alfândega perguntou:

− O que está levando nesse caixote? − Duas camas de pregos − respondi.

Ele olhou para mim, olhou para minha mulher e piscou

o olho.

Eu e minha mulher enrubescemos.

Tétano

Uma vez, apresentei minha palestra do Circo Voador da Fí-sica na Oxford University, na Inglaterra, para um grupo de

especialistas em educação de várias nacionalidades. Infeliz-mente, poucos dos presentes falavam inglês e muito menos estavam em condições de compreender meu humor texano. Assim, no decorrer da palestra, ao perceber que ninguém ria das minhas piadas, fui ficando cada vez mais nervoso e

me-nos cauteloso. Quando cheguei à demonstração das camas de

pregos, no final da palestra, descobri que teria de executar o número em cima de um banco para que todos pudessem ver

o que estava acontecendo. Meu assistente colocou o bloco

de concreto sobre o sanduíche de camas de pregos (eu era o recheio do sanduíche) e se preparou para usar a marreta.

Como eu sabia que, com aquele arranjo incomum, o

assis-tente teria dificuldade para quebrar o bloco sem que a cama

de cima deslizasse, tentei ajudá-lo segurando a cama com

uma das mãos. Quando ele desferiu o golpe, um dos pregos

produziu um corte na minha mão. Não notei que estava ferido

até me levantar para encerrar a palestra, mas nesse momento o sangramento se tornou evidente tanto para mim como para a plateia. Os espectadores ficaram impressionados com a de-monstração e principalmente com o sangue... não era preciso saber inglês para perceber que eu havia me machucado.

(9)

MATERIAL S UPLEMENTAR 5

Depois de guardar o equipamento, encontrei-me com o organizador da palestra em um pub local para beber umas

cervejas, sentindo-me aliviado com o fato de pelo menos mi-nha demonstração final ter despertado uma reação por parte

da plateia. Foi então que o homem me revelou que estava

havendo muitos casos de tétano naquela parte da Inglaterra. Eu não tinha me incomodado com a dor do ferimento, mas a

ideia de contrair tétano me deixou preocupado. (A bactéria do tétano entra no corpo através de um ferimento causado,

por exemplo, por um prego enferrujado. Se a pessoa não foi

vacinada e não recebe imediatamente soro antitetânico, morre

em poucos dias, com todos os músculos do corpo contraídos, o que a impede de respirar.)

Quando saí do pub, fui a um posto de saúde para receber

uma injeção de soro antitetânico. Antes, porém, foi necessá-ri explicar à enfermeira como havia me fenecessá-rido. Enquanto me

dava a injeção, a moça ria tanto que teve dificuldade para

manter a agulha na posição correta. Eu havia atravessado o Oceano Atlântico para me exibir diante de uma plateia

sele-ta e acabei baixando as calças na frente de uma enfermeira

às gargalhadas.

Não Olhe Agora

Também passei por uma situação constrangedora no dia em que apresentei a demonstração das camas de pregos em uma escola feminina do ensino médio. Como, em minha opinião, a parte da marreta seria violenta demais para as meninas, eu planejava fazer apenas a parte em que uma pessoa subia na cama de cima. Combinei com a mulher que me havia convi-dado que ela seria a pessoa a subir na cama. O que não me ocorreu durante a conversa ao telefone foi discutir o tipo de

traje que ela estaria usando. Só me dei conta da omissão

quan-do estava deitaquan-do entre as duas camas e a mulher começou a subir na cama de cima. Ela estava usando uma saia curta e,

enquanto se posicionava alguns palmos acima da minha

cabe-ça, começou a explicar à plateia o que estava para acontecer.

Fiz o que pude para manter a cabeça voltada para a audiência em vez de olhar para cima; as meninas começaram a rir; a

mulher até hoje não sabe de que elas estavam rindo; e passei uma semana com torcicolo.

Má Sorte

Eu costumava fazer a demonstração da cama de pregos não

só em escolas e nas excursões do Circo Voador da Física,

mas também em uma série de palestras para os vendedores da IBM. Começava essas palestras fazendo o papel do típico professor de física (falando de coisas esotéricas, deixando a plateia entediada), assumia gradualmente um tom coloquial e terminava com a demonstração das camas de pregos.

Minha mensagem era que, no dia a dia, meu trabalho

resu-mia-se a vender um produto (a física) a um público (os

estu-dantes) que inicialmente não o desejava, assim como o pessoal

de vendas tentava vender um produto da IBM a

consumido-res desinteconsumido-ressados. Parte da minha estratégia consistia em

simular uma queda do palco no meio da palestra. O suposto acidente deixava a plateia atônita, já que as palestras da IBM normalmente eram planejadas nos mínimos detalhes. Quan-do os espectaQuan-dores se davam conta de que tuQuan-do não passava

de uma brincadeira, relaxavam de vez e o resto da palestra

transcorria em um clima ameno.

Antes das palestras, eu me reunia com o executivo da IBM

responsável pelo evento, porque era ele que subia na cama de

cima durante a demonstração. Os executivos ficavam apreen-sivos e eu dizia: “Não se preocupe, já fiz muitas vezes essa

de-monstração. Claro que vou sentir uma dorzinha quando você

subir na cama e os pregos fizerem pressão na minha pele, mas

estou acostumado. Tudo vai dar certo, você vai ver.”

Em uma das palestras, o executivo se mostrou ainda mais preocupado do que de costume, já que pesava cento e poucos quilos, mas repeti minhas palavras tranquilizadoras.

Infelizmente, quando chegou a hora do tombo proposital,

caí de mau jeito e fraturei uma costela. Na hora, não sabia que estava com uma costela quebrada; sentia apenas uma dor

forte no peito. Continuei a palestra da melhor forma possível,

embora estivesse respirando com dificuldade.

Chegou então a hora da demonstração das camas de pregos

com o executivo peso-pesado. Quando ele subiu na cama de cima, eu vi estrelas; não sei como consegui levar a palestra até o final.

No mesmo dia, voltei para Cleveland e fui direto ao con-sultório da minha médica. Ela me informou que eu havia fraturado uma costela e devia ficar de repouso por um mês.

Comecei a rir (mas parei, porque a dor era insuportável) e disse: “Você deve estar brincando. Tenho outra palestra na

IBM programada para a semana que vem.” E prossegui com o ciclo de palestras como se nada tivesse acontecido.

Feliz-mente, nenhum dos executivos das palestras seguintes pesava

mais que uns oitenta quilos.

O Sangue Dá o Toque Final

Uma vez, quando apresentei a palestra do Circo Voador da Física na Western Illinois University, meu assistente não pôde viajar comigo; por isso, pedi ao meu anfitrião para usar a

mar-reta no número final. Disse a ele para golpear o bloco com

vontade, caso contrário a plateia ficaria desapontada.

Eu queria um final bombástico e foi isso que ele me pro-porcionou. O homem bateu no bloco de concreto com tanta

força que ele se despedaçou e alguns fragmentos foram ar-remessados na minha direção. Protegi os dentes e os olhos

com a mão, mas um dos cacos fez um corte profundo no meu queixo.

Quando saí do espaço entre as camas e me dirigi

nova-mente à plateia, o sangue escorria do meu queixo, sujando a calça e os sapatos. Meu anfitrião ficou pálido de preocupa-ção, mas o público irrompeu em aplausos. Aquele foi o me-lhor final das minhas apresentações do Circo Voador. Toda vez que dou uma palestra, sinto uma estranha vontade de me cortar novamente.

(10)

Fervura e o Efeito Leidenfrost

Jearl Walker

Como ferve a água? Por mais comum que seja esse fenômeno, talvez você não tenha notado todos os seus aspectos curiosos. Alguns desses aspectos são importantes para aplicações

indus-triais, enquanto outros servem de base para certos números perigosos apresentados em espetáculos de circo.

Esquente uma panela com água da torneira em um fogão

a gás. Quando a água começa a esquentar, moléculas de ar que estavam dissolvidas na água formam pequenas bolhas

em irregularidades no fundo da panela (Fig. 1a). As bolhas

aumentam gradualmente de tamanho e começam a se

des-prender do fundo da panela e subir à superfície (Figs. 1 b- f ),

sendo substituídas por outras bolhas, até que todo o ar que estava em solução na água seja consumido. A formação de

bolhas de ar é sinal de que a água está sendo aquecida, mas não tem nada a ver com a fervura.

Fig. 1(a) Uma bolha se forma em uma irregularidade no fundo de

uma panela com água. (b-f ) A bolha cresce, se desprende e sobe

até a superfície.

A água que está exposta diretamente à atmosfera ferve a uma temperatura T S , conhecida como temperatura normal

de ebulição, que depende da pressão atmosférica. Quando a pressão do ar é 1 atm, T é aproximadamente 100 oC. Como

a água no fundo da panela não está diretamente exposta à atmosfera, permanece no estado líquido, mesmo quando é

superaquecida, ou seja, quando atinge uma temperatura um

pouco maior queT . Durante o processo, a água é

constante-mente misturada por convecção, que faz a água quente subir e a água fria descer.

Se a temperatura da panela continua a aumentar, a água do fundo da panela também começa a passar para o estado gasoso, com as moléculas de água formando pequenas

bo-lhas de vapor nas mesmas irregularidades onde bobo-lhas de

ar, como a mostrada na Fig. 1a, se formaram. Essa fase da

fervura é acompanhada por estalidos, chiados e zumbidos. É quase como se a água estivesse se lamentando por virar

vapor. Toda vez que uma bolha de vapor atinge uma altura

onde a temperatura é um pouco menor, a bolha sofre uma

implosão, pois o vapor volta a se condensar. Essa implosão produz uma onda sonora, que constitui o zumbido. Quando a temperatura da água como um todo aumenta mais um pouco, as bolhas começam a chegar intactas à superfície. Essa fase da fervura, conhecida como “bolhas isoladas de vapor” está ilustrada na Fig. 2.

Fig. 2 Curva de ebulição da água. Quando a temperatura do fundo da panela é aumentada acima do ponto normal de fervura, a taxa com a qual o calor é transferido do fundo da panela para a água aumenta a princípio. Acima de uma temperatura, porém, a taxa de transferência cai bruscamente para quase zero. Em temperaturas ainda maiores, a taxa volta a aumentar.

Conforme a temperatura da panela continua a aumentar, o barulho da implosão das bolhas primeiro fica mais alto e depois desaparece. O ruído começa a diminuir quando a

tem-peratura da água como um todo se torna tão alta que a maioria

das bolhas chega intacta à superfície. A água está agora em plena ebulição.

Se a fonte de calor é uma boca de fogão, a história para por

aqui. Entretanto, com um bico de Bunsen você pode

continu-ar a aumentcontinu-ar a temperatura da panela. Nesse caso, as bolhas de vapor se tornam tão abundantes e se desprendem do

fun-Bolha inicial Formação de um pescoço A bolha sobe Ebulição nucleada Ebulição de transição Ebulição em filme Colunas e balas Bolhas isoladas de vapor  Início da fervura    T  a   x   a    d  e    t  r  a   n   s    f  e  r    ê  n   c    i  a    d  e   c   a    l  o  r Temperatura acima deT  (°C)

(11)

MATERIAL S UPLEMENTAR 7

do da panela com tanta frequência que começam a se fundir,

formando colunas de vapor que sobem de forma violenta e caótica, às vezes se chocando com “balas” de vapor que se

formaram previamente.

A produção de bolhas e colunas de vapor é chamada de

ebulição nucleada porque a formação e o crescimento das

bolhas dependem de irregularidades no fundo da panela, que

no caso se comportam como centros de nucleação (locais

de formação). Cada vez que você aumenta a temperatura da panela, a taxa com a qual o calor é transferido para a panela

aumenta. Se você continua a aumentar a temperatura além

do estágio das colunas e das balas, a ebulição entra em uma nova fase, conhecida comoregime de transição. Nessa fase,

novos aumentos da temperatura fazem diminuir a taxa com a qual o calor é transferido para a panela. Existe uma explica-ção para isso. No regime de transiexplica-ção, boa parte do fundo da panela está coberta por uma camada de vapor. Como o vapor d’água conduz calor em uma ordem de grandeza mais deva-gar que a da água no estado líquido, a taxa de transferência de calor para a água diminui. Quanto maior a temperatura da panela, menor o contato direto da água com a panela e mais lenta a transferência de calor. Esse fenômeno pode prejudi-car o funcionamento de um trocador de calor , cujo objetivo

é transferir energia de um objeto para o ambiente. Se a água

de um trocador de calor entra no regime de transição, a taxa de transferência de energia diminui e o objeto pode sofrer algum

tipo de dano por causa do aquecimento excessivo.

Se a temperatura da panela continua a aumentar, toda a

superfície da panela acaba ficando coberta de vapor. Nesse caso, a energia passa a ser transferida para o líquido apenas por radiação e condução através do vapor. Essa nova fase é conhecida como regime de ebulição em filme.

 Embora não seja possível produzir a ebulição em filme

em uma panela com água colocada na boca de um fogão, isso é relativamente comum na cozinha. Minha avó uma vez me mostrou o que fazer para verificar se a frigideira estava

suficientemente aquecida para fazer panquecas. Depois de esquentar a frigideira por algum tempo, ela aspergiu

algu-mas gotas d’água na frigideira. As gotas evaporaram quase imediatamente, o que, segundo minha avó, queria dizer que

a frigideira ainda não estava quente o bastante. Depois de

continuar o aquecimento por mais algum tempo, minha avó

repetiu o teste e, dessa vez, as gotas se mantiveram suspensas

por quase um minuto antes de desaparecer. Isso era sinal de que estava na hora de assar as panquecas.

Para reproduzir o teste da minha avó, aqueci uma placa

de metal com um bico de Bunsen. Enquanto media a tempe-ratura da placa com um termopar, deixei cair gotas de água destilada de uma seringa de injeção mantida a uma pequena distância da placa. As gotas caíam em uma depressão que eu

havia feito na placa com uma verruma. Com a seringa, era possível produzir gotas de tamanho uniforme. Depois de

dei-xar cair uma gota, eu media o tempo que a gota levava para evaporar. Mais tarde, fiz um gráfico desse tempo em função

da temperatura da placa (Fig. 3). O gráfico apresenta um pico

interessante. Quando a temperatura da placa estava entre 100

e 200oC, as gotas formavam uma camada fina na superfície da placa e evaporavam rapidamente. Em temperaturas um pouco

maiores que 200oC, as gotas mantinham a forma

arredonda-da e levavam mais de um minuto para evaporar. Em

tempe-raturas ainda maiores, as gotas evaporavam mais depressa.

Experimentos semelhantes com água da torneira produziram gráficos com picos mais largos, provavelmente porque

par-tículas suspensas de impurezas interrompiam a camada de

vapor, conduzindo calor para as gotas.

Fig. 3 Tempo de vida de gotas d’água em uma placa quente em fun-ção da temperatura. Curiosamente, em um certo intervalo de

tempe-raturas, o tempo de vida aumenta quando a temperatura aumenta.

O fato de que uma gota d’água leva muito tempo para eva-porar quando é depositada em uma placa de metal muito mais

quente do que a temperatura de ebulição da água foi men-cionado pela primeira vez por Hermann Boerhaave em 1732,

mas a primeira investigação sistemática do fenômeno de que se tem notícia foi realizada em 1756, quando Johann Gottlob Leidenfrost publicou “Um Tratado Sobre Algumas Qualida-des da Água Comum”. Como a obra de Leidenfrost não foi

traduzida do latim até 1965, não teve muita divulgação.

Mes-mo assim, seu nome foi associado ao fenômeno. Além disso,

a temperatura correspondente ao pico de um gráfico como da

Fig. 3 é conhecida como ponto de Leidenfrost.

Leidenfrost executou seus experimentos com uma colher de ferro aquecida ao rubro em uma lareira. Depois de colo-car uma gota d’água na colher, ele media o tempo que a gota

levava para evaporar, com a ajuda de um pêndulo.

Leiden-frost observou que a gota parecia absorver a luz e o calor da colher, deixando um ponto escuro em seu lugar. A primeira gota que depositou na colher durou 30 s, enquanto a gota

se-guinte durou apenas 10 s. As gotas sese-guintes duraram apenas

alguns segundos.

Leidenfrost interpretou erradamente suas observações

por-que não percebeu por-que as gotas por-que sobreviviam por mais

tempo estavam evaporando parcialmente. Vou explicar o que

acontece em termos de meus experimentos. Quando a tem-peratura da placa está muito abaixo do ponto de Leidenfrost,

Ponto de Leidenfrost    T  e   m   p   o    d  e   v    i    d  a    d  a   s   g   o    t  a  s    (  s    ) Temperatura da placa (°C)

(12)

o vapor protege e sustenta a gota durante mais de um minuto.

A camada de vapor é constantemente reposta pelo vapor que se forma quando a parte de baixo da gota continua a evapo-rar por causa da energia fornecida pela placa por radiação e por condução através da camada de vapor. Embora a camada tenha menos de 0,1 mm de espessura na periferia da gota e apenas cerca de 0,2 mm no centro, retarda a evaporação de forma extraordinária.

Fig. 4 Vista de perfil de uma gota flutuante.

Depois de ler a tradução da pesquisa de Leidenfrost,

en-contrei por acaso a descrição de um número curioso, realizado

em alguns circos por volta de 1900, que envolvia enfiar os dedos da mão em um recipiente com chumbo fundido.

Su-pondo que não se tratasse de um truque, cheguei à conclusão de que o número deveria se basear no efeito Leidenfrost. No

momento em que os dedos úmidos do artista tocassem o metal

líquido, parte da água se transformaria em vapor, protegendo

os dedos e evitando que se aquecessem muito.

Não pude resistir à tentação de testar minha teoria. Usei um bico de Bunsen para fundir uma quantidade considerá-vel de chumbo em um cadinho. Aqueci o chumbo até uma temperatura da ordem de 400oC, muito acima da temperatura

de fusão do metal, que é 328oC. Depois de molhar um dedo

em água da torneira, preparei-me para tocar na superfície do chumbo fundido. Confesso que tinha um assistente a postos

com material de primeiros socorros. Confesso também que

minhas primeiras tentativas falharam porque meu cérebro se recusou a permitir a execução de um experimento tão ridícu-lo, fazendo-me recolher o dedo na última hora.

Quando finalmente consegui superar o medo e toquei no

chumbo, tive uma grande surpresa. Não houve nenhuma sen-sação de calor. Como eu havia previsto, parte da água que cobria meu dedo se transformou em vapor, formando uma

camada protetora. Como o contato foi breve, a radiação e a

condução de calor através do vapor não foram suficientes para

fazer a temperatura do meu dedo aumentar de forma

signi-ficativa. Minha ousadia aumentou. Depois de molhar bem a mão, mergulhei todos os dedos no chumbo, chegando a to-car no fundo do recipiente (Fig. 5). O contato com o chumbo

Fig. 5 Walker demonstrando o efeito Leidenfrost com chumbo

dido. Ele acabou de mergulhar os dedos no chumbo, tocando o fun-do fun-do cadinho. A temperatura fun-do chumbo está indicada em graus Fahrenheit no termômetro industrial.

Eu ainda não estava totalmente convencido de que havia

encontrado a explicação correta. Seria possível tocar o

chum-bo com um dedo seco sem sofrer queimaduras? Deixando de lado toda a cautela, fiz a experiência, percebendo

imediata-mente a bobagem que fizera quando senti uma dor aguda.

Mais tarde, experimentei com uma salsicha seca, mantendo-a

imersa no chumbo fundido por alguns segundos. A pele da

salsicha logo ficou preta, pois, como o meu dedo, não contava

com a proteção da camada de vapor.

Devo prevenir o leitor de que mergulhar os dedos em chumbo fundido é extremamente perigoso. Se o chumbo es-tiver apenas ligeiramente acima do ponto de fusão, a per-da de energia com a vaporização per-da água pode solidificar o chumbo em torno dos dedos. Essa luva de chumbo sólido a uma temperatura de mais de 200 oC ficaria em contato com

os dedos por tempo suficiente para evaporar toda a água e

causar sérias queimaduras. É preciso também levar em conta a possibilidade de respingos. Se houver água demais nos de-dos, a evaporação rápida pode causar uma pequena erupção de chumbo fundido, capaz até mesmo de atingir os olhos. Já sofri algumas queimaduras nos braços e no rosto produzidas

por essas vaporizações explosivas. Em suma: não tente re- petir esse experimento!

A ebulição em filme também pode acontecer quando nitro-gênio líquido é derramado no chão. O líquido está a uma

tem-Gota flutuante Camada de vapor 

(13)

MATERIAL S UPLEMENTAR 9

peratura de cerca de 200oC abaixo de zero. Quando as gotas

se aproximam do piso, a parte inferior de cada gota se trans-forma em vapor, sustentando o resto do líquido e permitindo que sobreviva por um tempo surpreendentemente longo.

Ouvi falar de um espetáculo no qual um artista despeja-va nitrogênio líquido diretamente na boca sem se queimar; o líquido sofria uma ebulição em filme ao entrar na boca e

por isso não chegava a entrar em contato com a língua. To-lamente, resolvi imitá-lo. Fiz isso muitas vezes sem nenhum problema. Depois de inspirar fundo, despejava na boca uma

quantidade considerável de nitrogênio líquido e soprava o ar. O vapor presente no ar exalado se condensava, produzindo

uma linda nuvem que se estendia até um metro de distância da minha boca. Entretanto, uma vez, o líquido produziu uma contração tão brusca dos meus dentes incisivos que eles

so-freram dezenas de fissuras. Meu dentista me fez prometer que

aquela tinha sido minha última demonstração.

O efeito Leidenfrost pode ser responsável por outro tipo de feito, o de “andar sobre brasas”. De vez em quando, a mí-dia relata, com muito alarde, casos de indivíduos que andam

descalços sobre carvões em brasa, às vezes afirmando que o fato de não se queimarem é uma prova de que “a mente

é mais forte que a matéria”. Na verdade, o que os protege é um fenômeno físico. Particularmente importante é o fato de que, embora a superfície dos pedaços de carvão esteja a uma

temperatura muito elevada, a quantidade de energia envol-vida é surpreendentemente pequena. Se a pessoa caminha com um passo relativamente apressado, a duração da cada

pisada é tão curta que o pé recebe pouca energia dos pedaços de carvão. Naturalmente, andar devagar pode ser um convi-te para uma queimadura, pois o contato mais longo permiconvi-te

que o calor proveniente do interior do carvão tenha tempo

de chegar ao pé.

Se os pés estão molhados no início da caminhada, isso pode ajudar, graças ao efeito Leidenfrost. Para molhar os pés, a pessoa pode pisar em grama úmida antes de chegar às brasas. Outra possibilidade é que os pés estejam suados por causa do calor das brasas, ou mesmo graças à emoção do momento. Quando a pessoa começa a pisar nas brasas, parte

do calor das brasas é usada para vaporizar o líquido, o que

deixa pouca energia para queimar os pés. Além disso, pode haver pontos de contato onde a ebulição em filme protege a sola do pé.

Andei sobre brasas em cinco ocasiões. Nas quatro primei-ras, eu sentia tanto medo que meus pés estavam molhados de

suor. Na quinta vez, porém, já me sentia tão seguro que meus pés estavam secos e sofri queimaduras extensas e

extrema-mente dolorosas. Meus pés levaram semanas para sarar. Meu fracasso pode ter sido causado pela falta de uma

ca-mada de vapor entre meus pés e as brasas, mas eu também

havia omitido um fator adicional de segurança. Nas

caminha-das anteriores, eu tinha levado junto ao peito um exemplar de

Fundamentos de Física para reforçar minha fé na física. No

dia em que me queimei, tinha esquecido o livro em casa. Faz alguns anos que defendo a ideia de que os cursos de física deviam usar “caminhar sobre brasas” como exame fi-nal. O coordenador do programa ficaria esperando do outro lado de um leito de carvões em brasa a ser atravessado pelo

candidato. Se a fé do candidato na física fosse suficiente para

que seus pés não sofressem queimaduras, o coordenador en-tregaria ao aluno seu diploma. Esse tipo de teste seria mais revelador que os exames tradicionais.

Referências

Leidenfrost, Johann Gottlob, ‘‘On the Fixation of Water in

Diverse Fire’’, International Journal of Heat and Mass Trans- fer , Vol. 9, 1153-1166 (1966).

Gottfried, B. S., C. J. Lee, and K. J. Bell, ‘‘The Leidenfrost Phenomenon: Film Boiling of Liquid Droplets on a Flat Pla-te’’, International Journal of Heat and Mass Transfer , Vol.

9, 1167-1187 (1966).

Hall, R. S., S. J. Board, A. J. Clare, R. B. Duffey, T. S. Playle,

and D. H. Poole, ‘‘Inverse Leidenfrost Phenomenon’’,  Natu-re, Vol. 224, 266-267 (1969).

Walker, Jearl, ‘‘The Amateur Scientist’’, Scientific American,

Vol. 237, 126-131, 140 (August 1977).

Curzon, F. L., ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, American  Journal of Physics, Vol. 46, 825-828 (1978).

Leikind, Bernard J., and William J. McCarthy, ‘‘An

Investi-gation of Firewalking’’,Skeptical Inquirer , Vol. 10, No. 1,

23-34 (Fall 1985).

Bent, Henry A., ‘‘Droplet on a Hot Metal Spoon’’, American  Journal of Physics, Vol. 54, 967 (1986).

Leikind, B. J., and W. J. McCarthy, ‘‘Firewalking’’,  Expe-rientia, Vol. 44, 310-315 (1988).

Thimbleby, Harold, ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, Phy-sics Education, Vol. 24, 300-303 (1989).

Taylor, John R., ‘‘Firewalking: A Lesson in Physics’’,The Physics Teacher , Vol. 27, 166-168 (March 1989).

Zhang, S., and G. Gogos, ‘‘Film Evaporation of a Spherical Droplet over a Hot Surface: Fluid Mechanics and Heat/Mass Transfer Analysis’’, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 222,

543-563 (1991).

Agrawal, D. C., and V. J. Menon, ‘‘Boiling and the Leiden-frost Effect in a Gravity-free Zone: A Speculation’’,Physics  Education, Vol. 29, 39-42 (1994).

(14)

Fasores

Apoio ao Capítulo 16, Volume 2, de Fundamentos de  Física, Nona Edição

Jearl Walker

Vamos discutir o uso de fasores, definidos na Seção 16-11,

com mais detalhes e novos exemplos, primeiro com uma onda

e depois com duas ondas. Em seguida, vamos propor alguns problemas (cujas respostas aparecem no final).

Uma onda

Suponha que uma onda dada pela função

y( x ,t ) (2,00 mm) sen(300 x  − 700t ) (1) esteja se propagando em uma corda. Essa função nos diz que a onda se propaga no sentido positivo do eixo x  (que é a direção da corda), com a corda oscilando paralelamente ao eixo y (que

é uma direção perpendicular à corda). Na função, a posição x 

está em metros e o tempo testá em segundos.

Vamos calcular o deslocamento da corda em x  0, que

é uma posição na qual a Equação 1 fica mais simples,

por-que o termo 300 x  se anula. Nesse ponto, o deslocamento da

corda é dado por

 y(0,t ) (2,00 mm) sen(−700t). (2) No instante t  0, o deslocamento é y(0, 0) (2,00 mm) sen[−700(0)] 0 No instantet  2,25 ms, o deslocamento é y(0, 2,25 ms) (2,00 mm) sen[−700(2,25 × 10−3)]  −2,00 mm.

(Para refazer as contas na sua calculadora, não se esqueça de colocar a calculadora no modo de radianos.) No instantet 

4,50 ms, o deslocamento é

y(0, 4,50 ms) (2,00 mm) sen[−700(4,50 × 10−3)]

 1,7 × 10−2 mm 0.

Dessa forma, podemos montar uma tabela do deslocamento em nosso ponto de observação em função do tempo:

Tempo (ms) Deslocamento (mm) 0 0 2,25 −2,00 4,50 0 6,75 +2,00 9,00 0

Uma forma de representar a oscilação da corda no ponto

de observação é usar um diagrama fasorial. Em um diagrama

desse tipo, um fasor é um vetor que gira em torno da origem de um sistema formado por dois eixos mutuamente perpen-diculares, com a cauda na origem (Fig. 1).

Os eixos não são os eixos x  e y de um sistema de

coorde-nadas convencional; vamos chamá-los simplesmente de eixo

horizontal e eixo vertical. O comprimento do vetor representa

a amplitude da onda (2,00 mm nas Equações 1 e 2). A

veloci-dade angular do vetor é a frequência angular da onda (700

rad/s no caso que estamos discutindo). O sentido de rotação é sentido horário.

Enquanto o fasor (o vetor) gira em torno da origem do

diagrama fasorial, sua projeção no eixo vertical, em qualquer

instante, corresponde ao deslocamento da onda nesse instante

em nosso ponto de observação. (A expressão “projeção no

eixo vertical” significa a componente do vetor em relação ao eixo vertical, como mostra a Fig. 2.)

Já vimos que, no ponto x  0, o deslocamento da onda da

Equação 1 é 0 no instante t  0, −2,00 mm no instante t 

2,25 ms e 0, novamente, no instante t  4,50 ms. Podemos

representar esses resultados através dos fasores da Fig. 3.

Fig. 1

(15)

MATERIAL S UPLEME NTAR 11

No instantet  0, o fasor aponta para a direita e não

pos-sui uma projeção (ou seja, uma componente) em relação ao eixo vertical (Fig. 3a). Assim, esse arranjo corresponde a um

deslocamento 0 da corda. No instante t  2,25 ms, o fasor

aponta para baixo e sua projeção no eixo vertical é igual ao módulo do fasor, 2,00 mm (Fig. 3b). Esse arranjo

correspon-de a um correspon-deslocamento da corda correspon-de −2,00 mm. No instante

t  4,50 ms, o fasor aponta para a esquerda e não possui uma

projeção em relação ao eixo vertical, o que corresponde a um

deslocamento 0 da corda (Fig. 3c).

O deslocamento da corda no ponto de observação é sem-pre dado pela projeção do fasor no eixo vertical do diagrama fasorial, que varia de acordo com o ângulo de rotação do

fa-sor. Podemos imobilizar mentalmente o fasor em um instante

qualquer e calcular qual é o deslocamento y da corda nesse

instante. Para isso, podemos traçar a projeção ou, uma vez

conhecido o ângulo entre o fasor e o eixo horizontal ou ver-tical, calcular o deslocamento usando a equação

 y  (módulo do fasor) × sen (ângulo com o eixo

horizontal) ou a equação

 y  (módulo do fasor) × cos (ângulo com o eixo vertical).

Assim, por exemplo, no instantet  8,22 ms, o fasor faz

um ângulo de aproximadamente 30o com o eixo horizontal

do diagrama fasorial. Nesse instante, o deslocamento é apro-ximadamente

 y  (2,00 mm) sen 30o 1,00 mm,

o que significa que o deslocamento da corda no ponto de ob-servação é 1,00 mm.

A vantagem de usar um fasor para representar uma onda é que essa representação permite investigar a variação da

amplitude da onda com o tempo em um certo ponto de ob-servação. Entretanto, quando se trata de uma única onda, a

vantagem é pequena. Vamos agora examinar uma vantagem maior dos fasores: quando precisamos combinar duas (ou mais) ondas de diferentes amplitudes, o uso de fasores pode poupar muito trabalho.

Duas ondas

Suponha que temos agora duas ondas se propagando na

mes-ma corda. Umes-ma das ondas é dada pela Equação 1 (vamos usar

um índice inferior para distingui-la da segunda onda):

 y1 ( x ,t ) (2,00 mm) sen(300 x  − 700t ) (3)

A outra onda é dada por

 y2( x ,t ) (1,00 mm) sen(300 x  − 700t  +  /2 rad). (4)

As duas ondas estão se propagando no sentido positivo do

eixo x  e têm o mesmo número de onda (300 m−1) e a mesma

frequência angular (700 rad/s). Entretanto, possuem ampli-tudes diferentes (2,00 mm, no caso da onda 1, e 1,00 mm,

no caso da onda 2). Além disso, não estão em fase, já que a constante de fase da onda 1 é 0 e a constante de fase da onda 2 é  /2.

Se pudéssemos ver as duas ondas passarem pelo nosso

pon-to de observação (que continua a ser o ponpon-to x  0),

notaría-mos que, por causa da diferença de fase, as ondas passariam por um pico (ponto de máximo deslocamento) em instantes

diferentes: a onda 1 passaria por um pico antes da onda 2.

Entretanto, não podemos ver as ondas separadamente; o que vemos é a onda que resulta da interferência das duas ondas.

Estamos interessados em obter uma equação que

represen-te a onda resultanrepresen-te para calcular a variação com o represen-tempo do deslocamento da corda. Um ponto importante é o seguinte:

Como as ondas têm amplitudes diferentes, não podemos usar as identidades trigonométricas simples da Seção 16-10 para obter o resultado relativamente simples da Equação 16-51.

Resumindo, a tentativa de combinar as duas ondas para

ob-ter a onda resultante leva a um beco sem saída. Entretanto,

os fasores podem ser a salvação. Para começar, desenhamos

um fasor para cada onda no mesmo diagrama fasorial. Em

seguida, somamos vetorialmente os fasores para obter um

fasor resultante. Finalmente, usamos o fasor resultante para escrever a equação da onda resultante e calcular a variação

com o tempo do deslocamento da corda.

Como desenhar os dois fasores

Os fasores que representam as duas ondas giram em torno da origem do diagrama fasorial com a mesma velocidade

angu-lar, já que as duas ondas possuem a mesma frequência angular

(  700 rad/s). Por outro lado, os módulos dos fasores são

(16)

significa que o fasor 2 faz um ângulo de   /2 (ou 90o) com o

fasor 1. Entretanto, os fasores estão orientados como na Fig. 4a ou como na Fig. 4b?

O fasor 2 é perpendicular ao fasor 1 nas duas figuras. Para responder, basta lembrar que a onda 1 passa por um pico an-tes da onda 2. Quando uma onda passa por um pico, o fasor correspondente está alinhado com o eixo vertical do diagra-ma fasorial. Assim, o fasor 1 deve ser alinhado com o eixo vertical antes do fasor 2, o que significa que a representação correta é a da Fig. 4a.

Como somar os dois fasores

Podemos agora somar vetorialmente os fasores 1 e 2 para

obter o fasor resultante e, a partir do fasor resultante, a onda

resultante. Embora seja possível somar os dois fasores em qualquer instante, vamos somá-los no instantet  0 para que

o fasor 1 não possua uma componente em relação ao eixo

vertical (Fig. 5a).

Para realizar a soma, podemos usar as técnicas do Capítulo

3 ou uma calculadora científica. Técnicas do Capítulo 3:

Deslocamos o fasor 2 até que sua cauda coincida com a ponta do fasor 1 e desenhamos um fasor entre a origem e a

ponta do fasor 2 (Fig. 5b). No caso que estamos analisando,

os três fasores formam um triângulo retângulo. ( Atenção:

  tan-1 [(1,00 mm)/(2,00 mm)] 0,464 rad,

é a constante de fase da onda resultanteem relação à onda 1 (Fig. 6).

Calculadora científica:

A soma é executada entrando na calculadora com [20] + [1  /2]

na qual os vetores são indicados por colchetes e a calcu-ladora deve estar no modo de radianos. (Nas calcucalcu-ladoras

TI-89 e TI-92, é preciso digitar uma vírgula entre o módulo

e o símbolo de ângulo; em outras calculadoras, é preciso substituir  /2 por 1,571.) Na maioria das calculadoras, a

resposta aparece na forma [2,240,464]

que significa que o módulo e o ângulo do fasor resultante

são, respectivamente, 2,24 mm e 0,464 rad. Assim, a onda

resultante tem uma amplitude de 2,24 mm e uma constante

de fase de 0,464 rad.

Para somar os fasores em um instante diferente de t  0,

usaríamos um arranjo como o da Fig. 5.b com o triângulo em

outra orientação em relação aos eixos. Os valores do módulo e do ângulo do fasor resultante em relação à onda 1, porém, seriam os mesmos. Como o fasor resultante liga a origem à ponta do segundo fasor, ele gira em torno da origem com a

mesma velocidade angular que os fasores 1 e 2. Assim, a onda

resultante tem a mesma frequência angular (  700 rad/s)

que as ondas 1 e 2.

A onda resultante pode ser escrita na forma

 y( x ,t ) (2,24 mm) sen(300 x  − 700t  + 0,464 rad).

Quando a onda resultante passa pelo nosso ponto de

obser-vação, o deslocamento da corda varia senoidalmente com uma amplitude de 2,24 mm. Como a constante de fase de

Fig. 4

Fig. 5

(17)

MATERIAL S UPLEME NTAR 13

0,464 rad da onda resultante está entre as constantes de fase de 0 e  /2 das ondas 1 e 2, a onda resultante passa por

um pico depois da onda 1 e antes da onda 2. Se você quer ficar com dor de cabeça, tente resolver esse problema sem usar fasores.

Agora É a Sua Vez

(As respostas estão no final do texto) 1. A onda 1 é

 y1( x ,t ) (2,00 mm) sen(300 x  − 700t )

e a onda 2 é

 y2( x ,t ) (1,00 mm) sen(300 x  − 700t  −  /2 rad).

(Note que a constante de fase da onda 2 tem um valor

ne-gativo.) (a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t  0 e

determine o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constante de fase da onda resultante?

2. Repita o Problema 1 para a mesma onda 1 e uma onda 2 dada por

 y2( x ,t ) (1,00 mm) sen(300 x  − 700t  + 3  /4 rad).

3. (Agora vamos a um desafio de verdade.) Três ondas se

propagam na mesma corda:

 y1( x ,t ) (2,00 mm) sen(300 x  − 700t ),

 y2( x ,t ) (1,00 mm) sen(300 x  − 700t  −  /2 rad),

 y3( x ,t ) (3,00 mm) sen(300 x  − 700t  + 2  /3 rad).

(a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t  0 e determine

o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constante de fase da onda resultante?

Respostas

1. (b) 2,24 mm; (c) −0,464 rad (ou −26,6o)

2. (b) 1,47 mm; (c) +0,501 rad (ou +28,7o)

(18)

Marcas de Derrapagem

Jearl Walker

Um dos exemplos da Seção 6-2 deFundamentos da Física,

Nona Edição, se refere ao recorde de marcas de derrapagem em uma via pública, estabelecido em 1960 pelo motorista de

um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra, que estava a mais de

210 km/h quando as rodas foram travadas e o carro começou

a derrapar. A velocidade do Jaguar era excessiva, é claro, mas eu não me surpreenderia se descobrisse que velocidades ainda

maiores são atingidas rotineiramente nas autobahns alemãs,

onde alguns motoristas se mostram dispostos a estabelecer

um novo recorde de velocidade em terra.

As marcas de derrapagem do Jaguar foram impressionan-tes, mas não se comparam às marcas deixadas por Craig Bre-edlove, em outubro de 1964, no deserto de sal de Bonneville, no estado americano de Utah. Para tentar derrubar o recorde terrestre e romper a “barreira” das 500 milhas por hora (805 km/h), Breedlove conduziu seu Spirit of America, movido a

foguete, por uma milha medida, primeiro em um sentido e depois no sentido oposto, para eliminar a influência do vento.

Quando passou a segunda vez pela milha, estava se movendo a aproximadamente 870 km/h.

Para reduzir a velocidade, lançou um paraquedas, mas a

corda arrebentou com o esforço; o paraquedas de reserva também falhou. Breedlove recorreu aos freios, afundando o pedal até o fim, mas eles só serviram para deixar marcas de derrapagem de quase 10 km de comprimento antes de quei-marem.

O veículo estava a cerca de 800 km/h quando passou entre

duas filas de postes telefônicos, deixando de colidir com eles por uma questão de centímetros. Finalmente, parou após su-bir em um monte de terra e cair, a 260 km/h, em um lago de salmoura com 6 m de profundidade. Como Breedlove estava preso pelo cinto de segurança, quase se afogou no carro

sub-merso. (Perigoso, sim, mas, pensando bem, menos do que em

umaautobahn.) As duas passagens de Breedlove pela milha

quebraram o recorde de velocidade: a velocidade média atin-gida foi 526,277 milhas por hora (846,961 km/h).

(19)

MATERIAL S UPLEME NTAR 15

Tráfego na Hora do Rush

Um problema aplicado envolvendo velocidade e aceleração

Jearl Walker

Os sinais de trânsito de uma pequena cidade em geral não

pre-cisam estar sincronizados. O tráfego pode ser desordenado, mas as filas que se formam nos sinais vermelhos são

peque-nas. Nas grandes cidades, por outro lado, especialmente na

hora do rush, o tráfego deve ser bem organizado, caso

con-trário as filas crescem até bloquear os cruzamentos,

produ-zindo um grande engarrafamento. Como, em casos extremos,

apenas os carros que estão na periferia do congestionamento

podem se mover, podem ser necessárias várias horas para que

os carros no centro da cidade sejam liberados.

Suponha que você seja encarregado de planejar o sistema

de sinais de trânsito de uma avenida de mão única, com várias

pistas, que apresenta um intenso movimento na hora do rush. Os sinais devem permanecer verdes durante 50 s, amarelos durante 5 s e vermelhos durante 25 s (esses tempos são va-lores típicos para vias urbanas de grande movimento). Para facilitar o movimento dos carros, você pode se sentir tentado

a aumentar a duração do sinal verde ou diminuir a duração

do sinal vermelho. Entretanto, não pode se esquecer de que o tráfego nas ruas transversais não deve ser interrompido por muito tempo, caso contrário serão formadas longas filas.

Como você deve programar o sincronismo dos sinais? Se todos os sinais ficarem verdes ao mesmo tempo, os carros só

poderão andar durante 50 s. Cada vez que os sinais abrem,

pelotões de carros avançam na avenida até que todos os sinais

fiquem vermelhos. Para maximizar a distância percorrida, os motoristas devem acelerar ao máximo. Grandes pelotões de

carro se movendo, digamos, a 100 km/h em uma única via

criam um cenário de “fórmula um”, o que, obviamente, é uma

situação indesejável, em se tratando de pilotos amadores. Um sincronismo melhor e mais seguro é aquele no qual a abertura dos sinais é escalonada de tal forma que o sinal só fica verde em um cruzamento quando os primeiros carros de

um pelotão estão se aproximando. (A luz verde deve aparecer um pouco antes da chegada dos carros, para que não reduzam

a marcha desnecessariamente.) Esse tipo de arranjo desenco-raja os motoristas afoitos, já que, se acelerarem demais, terão

de parar em um sinal que ainda não abriu.

A Fig. 1 mostra uma parte da avenida a ser controlada.

Suponha que os carros da frente de um pelotão acabaram de chegar ao cruzamento 2 e que o sinal abriu quando estavam a uma distânciad  do cruzamento.

Fig. 1 A avenida de mão única cujos sinais devem ser

programa-dos.

Os carros continuam a se mover a uma velocidadevP (o

limi-te de velocidade) até chegarem ao cruzamento 3, no qual o

sinal fixa verde quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d . Os cruzamentos estão separados por uma

distância D23.

Questão 1: Qual deve ser o tempo de retardo do sinal verde

do cruzamento 3 em relação ao sinal verde do cruzamento 2 para que o pelotão se mova com velocidade constante? (Nesta pergunta e nas seguintes, apresente a resposta em termos dos símbolos dados.)

A situação (e a resposta) muda se o pelotão teve que parar em um sinal vermelho no cruzamento anterior. Na Fig. 1, por

exemplo, o pelotão está parado no cruzamento 1. Quando o

sinal abre, os primeiros carros do pelotão precisam de um

determinado tempot  R para reagir à mudança e de um tempo

adicional para atingir a velocidade vP. Durante a aceleração, os carros da frente do pelotão percorrem uma distância menor

do que se estivessem à velocidade vP.

Questão 2: Se a distância entre os cruzamentos 1 e 2 é  D12 e o sinal do cruzamento 2 deve ficar verde quando os

carros da frente do pelotão estão a uma distânciaddo

cru-zamento, quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 1 abre, o sinal do cruzamento 2 deve abrir?

(20)

motoristas começam a reagir apenas quando a onda chega até

eles. Os motoristas da parte de trás do pelotão também têm uma distância maior a percorrer até o cruzamento seguinte.

Questão 3: Suponha que um motorista se encontra a uma distânciad 1da frente do pelotão que está parado no

cruza-mento 1 e que a duração do sinal verde do cruzacruza-mento 2 é

2. Se o sinal do cruzamento 2 fecha quando o motorista

está a uma distânciad  do cruzamento (e consegue passar no amarelo), qual é o retardo do sinal verde do cruzamento

2 em relação ao sinal verde do cruzamento 1?

Todos esses pontos aparecem na Fig. 2, que mostra o mapa dos

cruzamentos do lado esquerdo e um gráfico do progresso do pelotão (com os ciclos dos sinais de trânsito) do lado direito. Um trechod 1 do pelotão, que estava inicialmente parado

no cruzamento 1, consegue passar por todos os sinais, sem

parar. Os períodos iniciais de aceleração estão representados por linhas curvas, com os carros da parte de trás do pelotão

levando mais tempo para iniciar a aceleração. O sinal de cada cruzamento fica verde momentos antes da chegada dos carros

da frente do pelotão.

A figura também mostra que nem todos os carros do pe-lotão conseguem passar pelo cruzamento 1 antes que o sinal feche. Se isso acontece várias vezes em sequência, a fila de

carros “abandonados” tende a crescer, chegando talvez ao cruzamento anterior, caso em que pode bloquear o trânsito

da rua secundária, causando um engarrafamento.

quei retido em um engarrafamento quando uma nevasca sú-bita atingiu a cidade de Cleveland na hora do rush da tarde.

Como a rua em que eu estava ficou escorregadia, os carros da

parte da frente do pelotão reduziram a velocidade. A veloci-dade das ondas de movimento também diminuiu. Em menos de 20 minutos, a fila de carros abandonados da parte de trás dos pelotões atingiu os cruzamentos anteriores, bloqueando as ruas secundárias. Em três quilômetros da minha rua e em

cinco ruas paralelas, o trânsito ficou praticamente paralisado.

Só consegui avançar porque os carros que estavam na parte dianteira do congestionamento escaparam gradualmente por vias laterais. Enquanto deixavam a via principal, uma onda

de movimento progredia preguiçosamente ao longo do

engar-rafamento, permitindo que eu me adiantasse alguns poucos carros de cada vez. O problema se agravou quando a neve ficou mais funda e carros atolados começaram a bloquear

as pistas. Embora o percurso que eu pretendia fazer levasse normalmente 5 minutos, naquele dia fatídico levei mais de 2 horas para chegar ao destino.

Respostas das questões: 1. t  D23 / vP

2.t  t  R vP /2a  ( D12−d )/ vP

3.t  t  R vP /2a  d 1 / vS −t V 2 ( D12−d  d 1)/ vP

4. (a)vP é a inclinação da parte retilínea de x (t ). (b)v é a

in-clinação da parte inicial da curva de x (t ). (c)vP / a.

Fig. 2 Representação gráfica do movimento de um pelotão de carros que estavam inicialmente parados no cruza-mento 1. As barras coloridas mostram o tempo que os sinais permanecem verdes, amarelos e vermelhos.

Imagem

Referências

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