Algoritmos de aproximação para problemas de empacotamento

(1)

Algoritmos de aproximação para problemas de

empacotamento

Flávio K. Miyazawa

UNICAMP

Seminários de Teoria da Computação

Novembro, 2020

(2)

Conteúdo

1 _{Problemas de Empacotamento} 2 _{Curiosidades e Complexidade} 3 Algoritmos de Aproximação 4 _Mochila 5 _{Empacotamento em Faixa} 6 _{Empacotamento em Recipientes} 7 _{Outras variantes} 2

(3)

P

ROBLEMAS DE

E

MPACOTAMENTO

(4)

Problemas de Empacotamento

Problemas de empacotamento d -dimensionais ortogonais da Mochila / Knapsack (1K, 2K, 3K,...,d K)

em Faixa / Strip Packing (1S, 2S, 3S,...,d S)

em Recipientes / Bin Packing (1B, 2B, 3B,...,d B)

Interesse nas versões orientadas e com rotação.

(5)

Empacotamento (em um recipiente)

Entrada:

Lista de itens geométricosL(arestas alinhadas/ortogonais aos eixos) Um recipiente (geométrico)B

(Nas versões orientadas, recipientes tem dimensões iguais a 1) Saída:

EmpacotamentoP de L em B tal que

Dois itens empacotados não se interseptam Todo item deve estar contido no recipiente

Versão orientada: Itens empacotados na orientação inicial Versão c/ rotação: Itens podem ser girados de 90◦

Exemplos de empacotamentos:

Barras Retângulos Círculos Caixas

(6)

Problema da Mochila - d K

Entrada:

Lista de itens geométricosL Valorvi para cada item i ∈ L

Um recipiente (geométrico)R Itens Recipiente 8 3 4 2 2 9 3 7 3 1 Saída: SubconjuntoS⊆ L

EmpacotamentoP de S em R tal quev (S)=P_i∈Sviémáximo

Solução Ótima

7

8

9

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Problema da Mochila

Aplicações

Carregamento de itens com restrições de peso Seleção de Portfolio com restrições de orçamento Escolha de itens para transmissão de dados Alocação de Propagandas

Alocação de dados em mídias, pré-paginação Problemas de alocação de banda

A B

Como subproblema de outros problemas Escalonamento de tarefas

Corte de barras, vigas, bobinas etc etc

(8)

Problema da Mochila

Alocação de propagandas

(9)

Empacotamento em Faixa - d S

Entrada:

Lista de itens geométricosL Um recipienteRde altura ilimitada Saída:

EmpacotamentoP de (todos os itens em) L em R tal que aalturade P émínima

Minimizar

Faixa 2D Faixa 2D Faixa 3D

retângulos discos caixas

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Empacotamento em Faixa

Aplicações

Corte de tecido e peças de roupas Escalonamento de tarefas tempo de processamento memória da tarefa Tarefa

Retângulo: memória × tempo de processamento

Memória do computador

Tempo do escalonamento = altura do empacotamento

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Problema de Empacotamento em Faixa

Alocação de propagandas

Tempo

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Empacotamento em Recipientes - d B

Entrada:

Lista de itens geométricosL

Conjunto de recipientes idênticosR

Recipientes Itens

Saída:

EmpacotamentoP de (todos os itens em) L em recipientes de R tal que onúmero de recipientesem P émínimo

Um empacotamento

(13)

Empacotamento em recipientes - d B

Empacotamento de Retângulos

Empacotamento de Discos

Empacotamento em Contêineres

(14)

Empacotamento em recipientes - d B

Aplicações

Corte de barras, placas e chapas (madeira, metal, vidro etc)

161(300x269) 97(352x339) 168(343x365) 187(303x362) 129(162x359) 177(169x362) 37(221x295) 53(316x362) 125(116x285) 103(344x338) 183(346x291) Placa 1

Area ocupada 983850 ( 0.98), No. retangulos = 11 Tamanho da placa: 1000 x 1000 63(186x161) 121(169x267) 166(185x149) 124(151x184) 78(198x158) 103(179x263) 50(161x274) 173(184x156) 27(179x122) 151(187x126) 159(178x170) 95(176x188) 111(143x272) 120(187x189) 115(161x260) 178(181x115) 187(167x275) 168(188x262) 109(170x139) 140(274x109) 88(127x263) 165(268x166) 177(187x146) 97(179x268) 127(178x137) 189(176x159) 190(166x262) 102(116x174) 155(160x269) Placa 1

Area ocupada 988185 ( 0.99), No. retangulos = 29 Tamanho da placa: 1000 x 1000 168(343x453) 85(430x128) 178(424x123) 72(205x310) 163(444x137) 118(303x284) 97(352x419) 46(137x118) 103(344x418) 53(450x316) 73(202x137) 40(304x132) Placa 1

Area ocupada 990449 ( 0.99), No. retangulos = 12 Tamanho da placa: 1000 x 1000

Transporte de carga

(15)

C

URIOSIDADES E

C

OMPLEXIDADE

(16)

Curiosidades e Complexidade

Dificuldade para obter empacotamentos ótimos Pallet Loading Problem

Entrada:PlacaR = (A, B)e retângulor = (a, b)

Saída: Maximizar número de retângulos r = (a, b) ou rT = (b, a) empacotados em R.

T

r r

Só se sabe que está em EXPSPACE.

Demaine, Mitchell, O’Rourke: The Open Problems Project -Problem 55

(17)

Curiosidades e Complexidade

Dificuldade para obter empacotamentos ótimos Empacotamento de esferas iguais no espaço

Conjectura de Kepler’1611: Arranjo mais denso de esferas iguais

Provado por Thomas Hales em 1998

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Curiosidades e Complexidade

On the dissection of rectangles into squares. R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone, and W. T. Tutte’40.

On Packing Squares with Equal Squares. P. Erdös and R. L. Graham’75.

On Packing of Squares and Cubes. A. Meir and L. Moser’68.

(19)

Complexidade Computacional

Dificuldade para obter empacotamentos ótimos Problemas de Empacotamento são NP-difíceis Mochila 1D (versão Subset Sum), Karp’72

Versão de decisão é problema NP-completo

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Curiosidades e Complexidade

Dificuldade para obter empacotamentos ótimos

Improvável existir algoritmos eficientes para problemas NP-difíceis Só se conhece algoritmos de tempo exponencial

Algoritmo eficiente leva a algoritmos eficientes para toda (imensa) classe NP

Conjectura P=NP?: Prêmio de US$ 1 milhão

(21)

A

LGORITMOS DE

A

PROXIMAÇÃO

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Algoritmos de Aproximação

Algoritmoseficientes(tempo polinomial)

Análise: Quão longe do valor da solução ótima ?

Compromisso:

Tempo computacional ×Qualidade da solução

(23)

Algoritmos de Aproximação - Minimização

AAlgoritmo de tempo polinomial

A(I)Valor da solução produzida por A para entrada I OPT(I)Valor de uma solução ótima de I

A temfator de aproximação αse

A(I) ≤ α OPT(I) para toda entrada I,

A(I)

OPT(I)≤ α para toda entradaI

OPT(I) A(I)

Minimizar

A temfator de aproximação assintótico αse

A(I) ≤ α OPT(I) + β para toda entrada I, para alguma constante β

Iremos nos concentrar em fatores assintóticos

(24)

Algoritmos de Aproximação - Maximização

AAlgoritmo de tempo polinomial

A(I)Valor da solução produzida por A para entrada I OPT(I)Valor de uma solução ótima de I

A temfator de aproximação αse

OPT(I)

Maximizar

A(I)

OPT(I)≥ α para toda entradaI

A(I)

(25)

Algoritmos de Aproximação

Problemas de minimização

PTAS:Esquema de aproximação polinomial (Polynomial Time Approximation Scheme) Algoritmos Aε, para ε > 0, que

é detempo polinomialna entrada e ε fixo temfatorde aproximação1 + ε

APTAS:Esquema de aproximação assintótico (Asymptotic PTAS) Algoritmos Aε, para ε > 0, que

é detempo polinomialna entrada e ε fixo temfatorde aproximaçãoassintótico 1 + ε

(26)

M

OCHILA

(27)

Problema da Mochila

Problema 1K quando vi é tamanho de i

Algoritmo Aε(L) com mochila decapacidade 1eε >0

1.G← {i ∈ L : si ≥ ε} // itens grandes

2.P← L \ G // itens pequenos

3.Seja G conjunto de todos empacotamentos viáveis de G 4. Escolha PG ∈ G tal que tamanho P é máximo

5.Seja P obtido de P_G acrescentando itens de P de maneira gulosa. 6.Devolva P.

(28)

Problema da Mochila

Mochila 1D por Espaço

Teorema. Aε é um PTAS para Mochila 1D maximizando ocupação

Ideia:

PG PG+Pequenos SejaO⊆ L uma solução ótima,

O_G itens grandes de O eOP itens pequenos de O tamanho(PG)≥ tamanho(OG)

Caso 1: Se todos itens pequenos foram empacotados em PG: tamanho(P_G+P)+ ≥ tamanho(O_G+OP)

Caso 2: Se sobraram itens de P não empacotados: tamanho(P) ≥ 1 − ε

(29)

Problema da Mochila

Problema Fator

1K 1 − ε Ibarra, Kim’75

2K 1/3 − ε Steinberg’97

2K 1/2 − ε Jansen, Zhang’07

2K 0,529 Gálvez, Grandoni, Heydrich

Ingala, Khan, Wiese’17

3K 1/7 − ε Diedrich, Harren, Jansen Thöle, Thomas’08

(*) Recipiente aumentado de ε.

(30)

Problema da Mochila

Algoritmo A2KD(L, v )- Corolário do Algoritmo de Steinberg’97

1.P ← FPTAS-Mochila-1D(L, v), usando área como tamanho 2.S← Itens em P

3.P_S ←Steinberg(S) - empacotamento em recipiente (1 × 2) 4.Particione PSem P1,P2,P3em recipientes unitários

5.Devolva Pi que tem maior valor, i ∈{1, 2, 3}

Teorema. A2KD é uma 1/3 − ε aproximação para Problema 2K.

(31)

E

MPACOTAMENTO EM

F

AIXA

(32)

Problema de Empacotamento em Faixa

Empacotamento de Quadrados

NFDHs_(L)

1. Ordene L = (1, . . . , n) tal que y1≥ · · · ≥ yn

2. Para i← 1 até n:

3. Empacote i no último nível,se possível

4. caso contrário, empacote i em um novo

nível no topo do anterior m

m+1 Lt L_k L1 1 L2 s

Lema. Se xi,yi ≤ _m1 para todo i ∈ L e m ∈ Z+ então

NFDHs(L) ≤ m+1_m Area(L) +_m1 Prova. Exercício.

Teorema. NFDHs tem fator de aproximação assintótico 2 para itens quadrados.

Prova. Exercício. Obs.: O fator também vale para itens retangulares.

(33)

Problema de Empacotamento em Faixa (*)

Problema Fator

2S 2 Sleator’80

2S 1,7 Coffman, Garey, Johnson e Tarjan’80

2S 1,25 Baker, Brown, Katseff’81

2S 1 + ε Kenyon and Rémila’00

3S 3,25 Li, Cheng’90

3S 2,89 Li, Cheng’92

3S 2,67 M., Wakabayashi’97

3S 1,69 Bansal, Han, Iwama’07

3S 1,5 Jansen, Prädel’14

(*) fatores assintóticos (**) a menos que P=NP

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E

MPACOTAMENTO EM

R

ECIPIENTES

(35)

Problema de Empacotamento em Recipientes

NFDHb_(L)

# Para o empacotamento de quadrados 1. Ordene L = (1, . . . , n) tal que y1≥ · · · ≥ yn 2. Para i ← 1 até n:

3. Empacote i no último nível (do último recipiente),se possível 4. caso contrário, em novo nível no topo do nível anterior, 5. caso contrário, em novo nível de um novo recipiente.

Lema. Se xi,yi ≤ _m1 para todo i ∈ L e m ∈ Z+ então

NFDHb_{(L) ≤} m+1 m

2

Area(L) +m+2_m

Teorema. NFDHb tem fator de aproximação assintótico 4 para quadrados.

Prova. Exercício.

(36)

Problema de Empacotamento em Recipientes - d B

Problema Fator

1B 1,222 . . . Johnson’73

1B 1 + ε Fernandez de la Vega, Lueker’81

2B 2,125 Chung, Garey, Johnson’82

2B 2 + ε Kenyon, Remila’00

2B 1,691 . . . Caprara’02

2B 1,52 . . . Bansal, Caprara, Sviridenko’09

2B 1,5 Jansen, Prädel’13

2B 1,405 . . . Bansal, Khan’14

2B Não admite APTAS(**) Bansal, Correa, Kenyon, Sviridenko’06

3B 4,84 . . . Li, Cheng’92; Csirik, van Vliet’93

3B 3,38 + ε Bansal, Han, Iwama’07

3B 3 + ε Jansen, Prädel’14

(*) fatores assintóticos; (**) a menos que P=NP

(37)

Problema de Empacotamento 1B

Algoritmo Aε(L),ε >0

1.G← {i ∈ L : si ≥ ε} // itens grandes

2.P← L \ G // itens pequenos

3.Obtenha empacotamento quase ótimo PG para G

4.Seja P obtido de P_G acrescentando itens de P de maneira gulosa. 5.Devolva P.

Fernandez de la Vega, Luecker’81: Utilizaram técnica de

arredondamento Linear Grouping e arredondamento por programas lineares para o passo 3.

Corolário: Para todo ε > 0, existe algoritmo de tempo polinomial A para o Problema 1B tal que

A(L) ≤ (1 + ε)OPT(L) + 1

(38)

Com rotações ortogonais

Directions for further research [...] A second line of attack would be to design and analyze algorithms which could make use of the fact that, in some applications, 90◦rotations of rectangles might be allowable.

Algorithms which consider the possibility of rotations might well yield improvements. Can one prove worst case bounds that reflect these improvements ?

F.R. Chung, M.R. Garey and D.S. Johnson’82 E.G. Coffman Jr., M.R. Garey, D.S. Johnson and R.E. Tarjan’80

Fato. Se existe uma α-aproximação para o caso geral com rotações ortogonais dos problemas d K, d S ou d B, esta aproximação também vale para o caso orientado.

(39)

Com rotações ortogonais

Problema Fator

2K 1/2 − ε Jansen, Zhang’07

2S 2 Coffman Jr., Garey, Johnson, Tarjan’80

2S 1,5 Epstein, van Stee’04

2S 1 + ε Jansen, van Stee’05

2B 2,67 M., Wakabayashi’00

2B 2 + ε Jansen, van Stee’05

3S 2,76 M., Wakabayashi’00

3S & z-orientado 2,54 M., Wakabayashi’00 3S & z-orientado 2,25 Epstein, van Stee’05

(40)

Com rotações ortogonais em quadrados/cubos

Problema Fator

2K em quadrados 2/3 Gálvez, Grandoni, Heydrich Ingala, Khan, Wiese’17 3K em cubos 1/5 − ε Diedrich, Harren, Jansen,

Thöle, Thomas’08 2B & em quadrados 2,543 M., Wakabayashi’00 2B & em quadrados 2,25 Epstein, van Stee’05 2B & em quadrados 1,52 Bansal, Caprara, Sviridenko’09 2B & em quadrados 1,5 Jansen, Prädel’13 2B & em quadrados 1,405 Bansal, Khan’14 3B & em cubos 4,5 Epstein, van Stee’05

(41)

O

UTRAS VARIANTES

(42)

Problema d B com Cubos d -dimensionais

Fator

(3/2)d _{− (3/4)}d₊₁ _{Coppersmith, Raghavan’89} (4/3)d − (8/9)d+1 M., Wakabayashi’00

2 − (2/3)d Kohayakawa, M., Raghavan, Wakabayashi’01

1 + ε Bansal, Correa, Kenyon, Sviridenko’04

(43)

Problema de Empacotamento Círculos, Esferas,

Elipsóides,... d -dimensionais

(∗)

Teorema. Decidir se um conjunto de círculos pode ser empacotado em um quadrado é NP-difícil. Demaine, Fekete, Lang’10.

Problema Fator

Circle Knapsack 1−ε Lintzmayer, M., Xavier’18 Sphere d -Bin(+) 1+ε M., Pedrosa, Schouery,

Sviridenko, Wakabayashi’14 Sphere d -Strip(+) 1+ε M., Pedrosa, Schouery,

Sviridenko, Wakabayashi’14

(∗)_{Recipientes aumentados de ε e d constante.} (+)_{Outras formas} válidas: elipsóides, polígonos regulares, uma das abaixo,...

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Problema de Empacotamento Círculos, Esferas,

Elipsóides,... d -dimensionais

Ideia do APTAS para círculos e esferas

Algoritmo Aε(L),ε >0

1.Encontre conjunto S ⊂ L e partição G1,G2, . . . ,Gk de L\ S tal que: Existe empacotamento PS de S tal que|PS| ≤ εOPT(L)

Itens de Gi são muito menores que os de Gi−1, para i = 2, 3, . . . , k . Razão entre maior e menor itens em Gi é limitado por constante.

2.Obtenha empacotamentos quase ótimos Pide Gi, para i = 1, . . . , k

3.P ← P₁

4.Para i = 2 a k faça

5. Empacote os recipientes de Pi entre itens de Pi−1

6.Devolva P.

(45)

Outras variantes/linhas

Empacotamentos Online Triângulos e outras formas Algoritmos quasi-polinomiais

(1 + ε)-approximação para Problema 2K - Adamaszek, Wiese’15 Empacotamentos de itens irregulares

Ex: Quasi-Polynomial O(1)-approximation for 2K with convex polygons - Merino, Wiese’20

Em prateleiras, estágios, cortes guilhotinados, etc Parametrizados no tamanho

Restrições de itens com classes, cores etc Integração com outros problemas e restrições

Problemas de roteamento Problemas em Teoria dos Jogos Problemas de clusterização etc

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OBRIGADO!