UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE OS
MODELOS DA PROGRAMAÇÃO DE
METAS SOB CERTEZA E SOB
INCERTEZA: APLICAÇÃO A
PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO
AGREGADO EM USINAS
SUCROALCOOLEIRAS
Aneirson Francisco da Silva (UNESP)
aneirson@yahoo.com.br
Isabela Mira Ribeiro (UNESP)
isa.mribeiro@hotmail.com
Paulo roberto Marcondes de Andrade Lopes (UNESP)
p.lopes07@gmail.com
FERNANDO AUGUSTO SILVA MARINS (UNESP)
fmarins@feg.unesp.br
Há várias publicações sobre Goal Programming (GP) ou Programação de Metas que destacam sua relevância teórica e aplicabilidade para tratar situações reais. Este trabalho relata os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo identificaar e investigar os principais modelos GP sob certeza e sob incerteza, visando propiciar elementos, para os interessados (tomadores de decisão ou analistas) em problemas de planejamento agregado em usinas sucroalcooleiras brasileiras. Identificaram-se as opções e quais modelos de GP seriam mais adequados para as situações encontradas na prática neste importante segmento do agronegócio.
Palavras-chaves: Goal Programming, Modelos sob certeza, Modelos sob Incerteza, Tomada de Decisão, Indústrias sucroalcooleiras.
2
1. Introdução
A GP foi criada como uma técnica destinada a resolver problemas associados com aplicações reais. Para mais detalhes sobre as publicações do GP, consultar, por exemplo, Ignizio (1978), Zanakis e Gupta (1985), Romero (1986), Charnes e Cooper (1961), Saber e Ravindran (1993) (para o caso não linear), Schniederjans (1995a), Tamiz al. (1995,1998), Lee e Olson (1999) e Jones e Tamiz (2002).
O objetivo geral desta pesquisa de Iniciação Científica foi investigar os principais modelos matemáticos de GP sob certeza e incertezas e realizar uma aplicação real. Por questão de espaço, será apenas feita a referência ao artigo onde está descrita a aplicação, descrevendo-se, aqui, os vários métodos disponíveis e estudados. Destaque-se que a pesquisa está colaborando com o desenvolvimento de uma tese de Doutorado na FEG-UNESP, que trata da aplicação de modelos de GP em problemas de planejamento agregado de usinas sucroalcooleiras.
Como justificativa para a importância desta pesquisa pode-se citar o trabalho de alguns autores, como se segue: Aouni e Kettani (2001) comentam que, ao longo de 40 anos após a criação da GP, há relatos de aplicações com sucesso em diversas áreas do conhecimento. No entanto, não foi relatada nenhuma aplicação em problemas reais sucroalcooleiros; Uría et al. (2002) comentaram que a GP é o mais antigo e mais amplamente utilizado método por múltiplos critérios, com inúmeros casos de sucesso, eles citam um vasto leque de áreas onde a GP foi aplicada. Novamente, no entanto, aplicações em usinas de açúcar e etanol não foram mencionadas; Caballero et al. (2009) desenvolveram uma pesquisa tipo survey sobre a GP investigando os problemas e os tipos de variáveis os quais se aplica esse método de programação matemática. Os autores verificaram que há uma maior aplicação dos modelos WGP e Minmax GP. Este estudo mostrou que os modelos de GP são aplicados com maior frequência na indústria, seguido por aplicações em recursos naturais e em negócios. Também foram investigadas as características de problemas nos quais se aplicam modelos de GP e conclui-se uma maior ocorrência nos problemas com variáveis binárias, inteiras e em conjunto com a teoria Fuzzy; Jamalnia e Soukhakian (2009) comentam que técnicas tradicionais de programação matemática não são adequadas para resolver problemas de decisão do “mundo real”.
Portanto, tal contexto mostra a relevância e a atualidade desta pesquisa. Além disto, no Brasil tem-se explorado pouco a aplicação de modelos de GP na otimização de problemas reais de decisão, particularmente na área sucroalcooleira, apesar da importância crescente do agronegócio na balança comercial brasileira. Podem ser citados, como contribuições nesta área, os trabalhos de Munhoz e Morabito (2001); Munhoz e Morabito (2010); Silva et al. (2006) e Silva et al. (2010). Sobre o material e métodos utilizados na pesquisa, pode-se classificá-la quanto à natureza como sendo uma pesquisa aplicada, pois visa obter resultados práticos, e que os resultados sejam aplicados, ou utilizados, imediatamente na solução de problemas que ocorrem na realidade (Appolinário, 2006). Quanto aos seus objetivos, a pesquisa é exploratória, pois este tipo de pesquisa tem por objetivo proporcionar maior familiaridade com o problema, visando torná-lo mais explícito. Com respeito a abordagem da pesquisa pode-se classificá-la como sendo qualitativa, pois envolve pressupostos filosóficos que direcionam a coleta e a análise dos dados e a combinação das abordagens qualitativa. Finalmente, com respeito ao método adotado, ele é o teórico conceitual, pois visa investigar e compreender o assunto ou tema específico para posteriormente realizar uma aplicação.
2. Goal Programming Sob Certeza
3 ou probabilístico; restrito ou irrestrito; monocritério ou multicritério; contínuo ou discreto; unidecisor ou multidecisor; univariável ou multivariável; linear ou não linear; monojetivo ou multiobjetivo e, desta forma, há uma variedade de modelos possíveis de serem considerados. A GP é uma técnica de Programação Multiobjetivo (Tamiz, Jones e Romero, 1998), que procura uma solução de forma a atender o maior número possível de objetivos (eventualmente conflitantes), sendo uma técnica diferente dos modelos de otimização clássica (Ignizio, 1976). Conforme Chang (2007), a GP é uma técnica importante que pode ser utilizada pelos responsáveis pelas decisões, resolvendo problemas complexos e multiobjetivos. Nesta técnica nem todas as restrições são consideradas rígidas ou fixas, como em modelos de otimização clássica. Desta forma, algumas restrições são flexíveis, ou seja, dependendo do cenário, pode-se subutilizar, ou utilizar recursos acima do inicialmente previsto (desvios), dependendo dos valores que compõem a função objetivo. A GP possui algumas variantes, conforme comenta Chang (2007), sendo os principais modelos sob certeza citados a seguir: Weighted GP (WGP), onde se atribuem pesos para os desvios dos objetivos, sendo este o primeiro modelo desenvolvido; Lexicographic GP (LGP) também conhecido por Preemptive GP ou Programação por Metas com Priorização; MINMAX GP (MA), neste modelo trabalha-se com funções de realização, ou seja, tem-se uma variável que agrega a soma de todos os desvios; BGP - Binary GP; IGP - Integer GP; EGP - Extended GP; GPDEA que usa a GP e a Data Envelopment Analysis (DEA).
Conforme Yaghoobi e Tamiz (2007) e Romero (2004), os três modelos principais de GP, que são utilizados com maior freqüência são: o WGP, a LGP e MA. Exemplos de aplicações destes modelos podem ser encontrados em várias publicações, como Tamiz et al. (1995); Tamiz et al. (1998); Jones; Tamiz (2000); Jones; Barnes (2002); Romero (2001); Romero (2004); Aouni; Martel; Hassaine (2009); Caballero et al. (2009) e Chang (2004).
2.1. Weighted Goal Programming
Nos modelos WGP os desvios apresentam hierarquias equivalentes, sendo esta atribuição de pesos que distinguirá os objetivos (que podem ser conflitantes) mais importantes. Os modeladores têm um papel importante, pois precisam estipular pesos de forma que grande parte dos objetivos seja satisfeita. Na WGP pode haver um certo subjetivismo, pois não há um meio de se estimar pesos ideais ou ótimos. Uma forma de contornar este problema é a utilização de Métodos de Tomada de Decisão por Múltiplos Critérios – MCDM (Tamiz, Jones e El-Darzi, 1995), que promovem uma maior interação entre o analista e as pessoas envolvidas no processo de tomada de decisão, permitindo avaliar melhor a hierarquia a ser estabelecida entre objetivos. Para Martel e Aouni (1998), o modelo de WGP tem como perspectiva responder os objetivos dos gestores e explorar o potencial otimizador da PM. Segundo os autores, o modelo original criado por Charnes e Cooper (1961) pode ser descrito pelas expressões de (1) a (4): Min ( ) 1
p i i i i d d W (1) S.a:
P j i i i j j i x d d g a 1 = ) + -( (2) c Cx (3)4 ). ..., 2 , 1 e ..., 2 , 1 ( para 0 e , ,d d i p j n xj i i (4)
Onde, Wirepresenta os pesos para cada objetivo ou meta di e a aijxj representa a parcela de consumo por recurso disponível na variável de decisão x , gj i representa a disponibilidade do
recurso e Cx é o consumo de um recurso determinado x que é restringido por uma quantidade limitada (c) e inflexível.
2.2. Lexicographic Goal Programming
No modelo Lexicographic GP (LGP), cada objetivo apresenta uma prioridade diferente. Exemplificando, sejam as seguintes prioridades, ou níveis, P1, P2, P3, ..., Pn, onde se tem, P1 > P2 > P3 > Pn, ou seja, o Objetivo P1 é o mais importante, os Objetivos P1 e P2 são mais importantes do que P3, e assim, sucessivamente. A LGP também é chamada de Preemptive Goal Programming e o modelo matemático pode ser apresentado conforme (5) – (8), de acordo com Chang (2007):
Lex min ),...., ( ),..., ( ) 1 ( αidi βidi Q h i i d i β i d i α r h i i d i β i d i α h i (5) S.a: fi(X)di di gi, i1,2,...,n, ihr (6) viável) conjunto um é ( , 2,..., , 1 , , , 2,..., , 1 Q d d 0 i n X F F r i i (7) ). ..., 2 , 1 e ..., 2 , 1 ( para 0 e , ,d d i p j n xj i i (8)
Sendo que hr representa a hierarquia das metas e ou objetivos, alocados no nível de prioridade
th
r , os αi e βi são os respectivos pesos associados aos desvios da função objetivo,
i
d = Max (0, fi(X)-gi) e di = Max (0, gi - fi (X), representam o desvio para mais e o desvio para menos
no alcance do ith objetivo, respectivamente.
2.3. MINMAX Goal Programming
Em muitos problemas empresariais há uma série de fatores cuja modelagem não permite, ou dificulta o estabelecimento de metas. Nestes tipos de fatores incluem-se: o crescimento da empresa, o lucro em longo prazo, a avaliação de investimento em mercados de capitais, a avaliação de investimentos no mercado imobiliário, as taxas de seguros, os atrasos na entrega, o controle de estoques, dentre outros. Neste contexto, aplica-se o MINMAX GP quando os gestores têm objetivos que possam flutuar entre valores mínimos e valores máximos, procurando-se minimizar o limitante superior (valor máximo) ou maximizar o limitante inferior (valor mínimo). A formulação geral do modelo MINMAX GP (MA) pode ser expressa por (9) – (12), segundo Romero (2004):
D Min (9) S.a:
ini ipi
D0 (10)5
1,...,
, ) (x n p t i q fi i i i (11) . 0 , 0 , F n p x (12)Nesta formulação MA o desvio máximo (D), ou Função de Realização, é minimizado, ou seja, há a otimização de uma função de utilidade onde o desvio máximo é minimizado. Este tipo de Função de Realização fornece uma solução que dá a máxima importância para o objetivo mais deslocado em relação a sua meta, gerando uma solução mais equilibrada entre a realização dos diferentes objetivos (Romero, 2001). As demais variáveis do modelo são análogas às dos modelos anteriores. Existem outras formas possíveis de função de realização, mas são pouco adotadas pelos usuários de GP. Este ponto é importante, pois os resultados obtidos a partir de modelos GP são geralmente muito sensíveis ao tipo de função de realização escolhida. Por conseguinte, uma função de realização mal estruturada, não refletirá as preferências do analista, segundo Ogryczak (2001) que propôs a integração de modelos MA e LGP, na formulação dada por (13) – (16):
Q r D D ,..., ,...., D Min 1 (13) s.a:
ini ipi
D0, ihr, r
1,...,Q
(14)
1,...,
, ) (x n p t i q fi i i i (15) . 0 , 0 , F n p x (16)Com relação à escolha do modelo de GP sob certeza, a pesquisa constatou que os modelos mais utilizados são: WGP; LGP e MA. Assim, adotou-se o modelo EGP para uma aplicação com dados reais numa usina sucroalcooleira, pois o mesmo promove a integração dos
modelos WGP, LGP com o MA. Este artigo está disponível em
http://www.feg.unesp.br/~fmarins/Artigo%20premio%20IC%20Enegep%202011.pdf que é a página do professor orientador da pesquisa e será apresentado no IFORS 2011 – Conference of the International Federation of Operational Research Societies em Melbourne – Austrália (15 a 18 de julho/2011).
3. Goal Programming Sob Incerteza
Nos modelos sob certeza assume-se que a coleta dos dados foi feita de forma precisa, e as informações estavam disponíveis de maneira clara. Desta forma, pode-se desenvolver um planejamento consistente e determinar o nível de utilização dos recursos que atenda as restrições do problema e maximize a contribuição ao lucro da empresa (ou minimize os custos). Tal contexto é válido para o caso de modelos monobjetivos e multiobjetivos clássicos, entretanto, quando se utilizam modelos de GP, o interesse do analista, ou modelador, é estabelecer níveis para as metas de forma que o maior número possível delas sejam plenamente satisfeitas. Desta forma, toda a informação necessária para a análise deve ser conhecida no momento de realização do planejamento (Sen e Higle, 1999).
No entanto, em situações reais, além das incertezas inerentes às informações do presente, o futuro não pode ser perfeitamente previsto e deve ser considerado aleatório ou incerto (Wang e Liang, 2004). Os modelos de otimização sob incerteza são então utilizados para que o
6 impacto das variáveis aleatórias seja considerado de forma direta na modelagem (Joshi, 1995; Diwekar, 2002; Sahinidis, 2004). Uma forma de se avaliar as incertezas dos parâmetros de entrada de um modelo é utilizar a análise de sensibilidade. Esta técnica consiste na análise da perturbação dos parâmetros de entrada de forma que seja possível verificar o impacto desta perturbação na função objetivo do problema, avaliando a estabilidade da solução com relação à factibilidade e à otimalidade (Paiva, 2009). Ainda segundo Paiva (2009), as perguntas que se pretende responder com a análise de sensibilidade são: Qual a diferença relativa entre a solução do problema perturbado e a solução do problema nominal, dada uma perturbação infinitesimal dos parâmetros de entrada? Desta forma, a análise de sensibilidade é uma abordagem local de pós-otimalidade, que apenas analisa o impacto da perturbação após solução do problema nominal ter sido obtida, não sendo possível incorporar a incerteza na modelagem e tomar decisões de forma antecipada (Mulvey et al., 1995; Ben-Tal e Nemirovski, 1998 e 2000).
3.1. Fuzzy Goal Programming
Chang (2007) comenta que, em problemas reais, podem existir níveis imprecisos de objetivos ou metas. Devido a tais imprecisões ou subjetividades, desenvolveu-se o modelo Fuzzy Goal Programming - FGP (Martel e Aouni, 1998). A aplicação da teoria Fuzzy preferencialmente baseada nas funções do GP, propiciou conquistas em áreas de envolvimento do FGP, na adição de pesos no modelo e nos modelos estocásticos. Conforme Zadeh (1965), a teoria dos conjuntos fuzzy é baseada na extensão da definição clássica de um conjunto. Nesta teoria, cada elemento de um universo X pertence a um conjunto A, ou não, enquanto que na teoria dos conjuntos fuzzy um elemento pertence a um conjunto A com certo grau de adesão ou pertinência.
Aouni, Martel e Hassaine (2009) investigaram a aplicação específica de modelos GP com os conjuntos fuzzy. A formulação matemática é simples e eficiente, ver (17) – (21), necessitando de menos restrições adicionais e a solução de subproblemas (Martel e Aouni, 1998): Min (17) s.a: / / ; 1 i i i i n j i j ijx g a
(18) 1 i i (19) c Cx (Sistemas de restrições) (20) ) ,..., 2 , 1 e ,...., 2 , 1 para ( , 0 . , ,i ie xj j n i p (21)Sendo, ∆i a constante do desvio em relação ao nível de aspiração gi, cujo valor é
subjetivamente escolhido pelos responsáveis pelas decisões. Este modelo incorpora uma formulação linear equivalente da Função de Pertinência (Membership), adotada por Hannan (1981a), dada por (22) – (25), essa função pode ser representada pela Figura 3:
7 Função de Pertinência=
i i n j j ij i i n j j ij i i i n j j ij i i i n j j ij i i i n j i i j ij n j i i j ij g x a g x a g se x a g g x a g s g x a g x a se 1 1 1 1 1 ) 1 se 0 / ; e / ( ; 0 (22) (23) (24) (25) Segundo Jamalnia e Soukhakian (2009) e Tamiz e Yaghoobi (2007), há três tipos mais comuns de funções de pertinência quando se trabalha com números triangulares fuzzy, conforme ilustram as Figuras 1 a 3, com as metas (Goals) representadas por (26) – (28) e as expressões (29) – (31) mostrando as respectivas formulações fuzzy: x~gi k m 1,...,n k G (26)
x ~g k m 1,...,n Gk i (27)
x g k n l Gk i 1,..., (28) ,...., 1 if 0 if ) ( ) ( if 1 ) ( k m U (x) G U (x) G g g U x G U g x G x k k k k k k k k k k k Zk (29) ,...., 1 if 0 if ) ( ) ( if 1 ) ( k m n L (x) G g (x) G L L g L x G g x G x k k k k k k k k k k k Zk (30) ,..., 1 if 0 if ) ( ) ( if ) ( 0 ) ( k n l U (x) G U (x) G g g U x G U g x G L g U x G U x k k k k k k k k k k k k k k k k Zk (31) ) ( k Z x ( ) k Z x ( ) k Z x 1 1 1 gk Uk Gk(x) Lk gk Gk(x) Lk gk Uk Gk(x)8 Figura 1. A:
~ i k x g G Figura 2.B:
~ i k x g G Figura 3. C:Gk
x giAdotando a abordagem de Yaghoobi e Tamiz (2007), tem-se a formulação (32) – (37) para uma nova formulação FGP com base no modelo MA:
D Min (32) s.a: 1 ni 1 pi D i 1,....,K iR iL (33)
AX i ni - pi bi i1,2,....,K (34) 1 D (35) K i p n D, i, i 0 1,..., (36) s C X (37)Segundo Yaghoobi e Tamiz (2007), na solução ótima de cada modelo de GP apenas um desvio ni ou pi é maior que zero. No modelo proposto por Romero (2001 e 2004)
acrescenta-se D ≤ 1, com iL i 1 e iR i 1
, assegurando que na solução ótima têm-se
iL i
n epi iR. Portanto, a pesquisa de Yaghoobi e Tamiz (2007) é uma extensão do modelo de Romero (2004) para resolver problemas FGP com todas as metas fuzzy como objetivo fuzzy C. Os objetivos fuzzy A (Figura 1) e B (Figura 2) podem ser tratados facilmente. Na verdade, o objetivo fuzzy B pode ser considerada como um caso especial do objetivo fuzzy C (Figura 3), onde iR , desta forma, as equações (33) e (34), do exemplo acima, para o objetivo fuzzy B se alteram para (38) – (41), conforme Yaghoobi e Tamiz (2007): D ni iL 1 (38) i i i n b AX) ( (39) D pi iR 1 (40) i i i p b AX) ( (41)
Neste modelo proposto por Yaghoobi e Tamiz (2007), D1 é simplesmente um limitante para D. Uma maneira de lidar com isto é substituir D por 1D. Como D1 e 1 – D 0,
0
deve ser adicionado ao modelo. Além disso, min (1) pode ser substituído por maximização. Consequentemente pode-se resolver o modelo FGP tomando-se, como base, o modelo de PL na abordagem MINMAX (MA), conforme expresso em (42) – (50):
Max (42)
s.a:
AX i pi bi i1,2,....,i09
AX i ni bi ii01,...., j0 (44)
AX i ni pi bi i j01,....,K (45) 0 ,..., 1 1 1 i i pi iR (46) 0 0 1,..., 1 1 J i i ni iL (47) K j i p n i iR i iL ,..., 1 1 1 1 0 (48) K i p ni, i 0 1,..., , (49) s C X (50)Outros modelos de FGP estão em: Mohamed (1997), Hayashi (1998), Jones e Barnes (2000), Romero (2001), Pal, Moitra e Maulik, (2003), Vitoriano e Romero (1999), Wang e Liang (2004), Romero (2004), Biswas e Pal (2005), Petrovic e Aköz (2007), Jamalnia e Soukhakian (2009), Wang e Fu (1997), Petrovic e Aköz (2007), Özcan e Toklu (2009), Narasimhan (1980 e 1981), Kumar, Vrat e Shankar (2004), Kim e Whang (1998), Hannan (1981), Yang, Ignizio e Kim (1991), Yaghoobi e Tamiz (2007a e 2007b); Liang (2010), Arenas-Parra et al. (2010) e Aouni, Martel e Hassaine (2009).
3.2. Multi-Choice Goal Programming
O modelo Multi-Choice Goal Programming (MC-GP), ou Programação por Metas com Multiescolha, foi desenvolvido por Chang (2007) para tratar situações com vários níveis de aspiração. O modelo MC-GP avalia as incertezas na estimação das constantes associadas às limitações de recursos (Right-hand Side) nas restrições. Segundo Chang (2007), a tomada de decisões é parte do nosso cotidiano. No entanto, em alguns casos, o autor acredita que pode haver situações em que o analista, ou modelador gostaria tomar decisões considerando que o objetivo pode ser alcançado a partir de alguns níveis de aspiração específicos, utilizando um mapeamento de muitos níveis de aspiração (ou segmentos) para a estimação destas limitações. O modelo MC-GP é expresso por (51) – (52):
min
n i im i i i X g g g f 1 2 1ou ou....ou ) ( (51)S.a: XF
Féoconjuntoviável
(52)O modelo MC-GP proposto baseou-se na maximização de gij.Sij (A) - onde quanto mais é
melhor. Também poderia ter se baseado na minimização de gij.Sij (A) - onde quanto menos é
melhor. Estas formulações mostram o interesse do analista em relação à meta desejada, que pode ser quanto mais alto melhor (para o caso de receita, por exemplo) ou quanto menos é melhor (para o caso de custos). O modelo MC-GP (Chang, 2007) está em (53) – (59), :
min
n i i i i i d n n ) d ( 1 (53) S.a:f
i(
X
)
d
i
d
i
i (54)10 j i j i i g .S (55) gmax-gmin in gmax or gm n n gmin gmax i i i 1 (56) , ,...., 2 , 1 ), ( ) (A R x i n Sij i (57) 0 , , , i i i i d n n d i1,2,....,n, (58) viável) conjunto o é ( F F X (59)
Onde, Sij (A) representa uma série binária; Ri (x) é a função para as limitações ou recursos;
i i i i d n n
d , , , são as variáveis de desvio negativas e positivas, e gij.Sij são variáveis adicionais
contínuas. Aqui, gimax e gimin são, respectivamente, os limites mínimo e máximo das
limitações de cada meta i, ou seja, os seus níveis de aspirações e, finalmente, i e gij.Sij, são
equivalentes, pois têm as mesmas soluções ótimas. O fato do modelo MC-GP trabalhar com variáveis binárias levou Chang (2008) a propor um modelo Revised Multi-Choice GP (RMC-GP), que evita variáveis binárias, com a incorporação de variáveis contínuas. O modelo RMC-GP (Chang, 2008) pode ser formulado por (60) – (65):
n i e i e i i d i d i w Min 1 i (60) S.a: st.: fi
x didi yi, i1,2,...,n, (61) , n ,..., , i , min i g ou max i g i e i e i y 1 2 (62) max i g i y min i g (63) , n ,..., , i , i e , i e , i d , i d 0 1 2 (64) livre) variável X e viável conjunto o é (F F X (65)A principal diferença desse modelo em relação ao modelo MC-GP está no fato de que os níveis de aspirações das limitações estão definidos em espaços contínuos, conforme mostram (63) – (64). Paksoy e Chang (2010) mostram como resolver problemas com multiestágios, multiprodutos e multiperíodos, utilizando o modelo RMC-GP. Ambos os modelos MC-GP e RMC-GP são métodos novos de GP e, portanto, não há muita literatura disponível. Para maiores detalhes consultar Silva et al. (2010), Chang (2007; 2008; 2010) e Liao e Kao (2010).
3.3. Multi-Segment Goal Programming
O modelo Multi-Segment Goal Programming (MS-GP) foi desenvolvido por Liao (2009), e é derivado do modelo MC-GP proposto por Chang (2007). A principal diferença entre eles está na forma como se modela a incerteza, pois o modelo MS-GP considera as incertezas presentes nos coeficientes das variáveis nas restrições (coeficientes tecnológicos ou Left-hand side). A Figura 4 mostra um exemplo do modelamento para vários níveis (segmentos) destes coeficientes, permitindo-se incorporar as incertezas na matriz tecnológica.
11
Figura 4- Exemplo de múltiplos níveis de aspiração dos coeficientes tecnológicos.
Conforme Liao (2009), o modelo MS-GP pode ser expresso por (66) – (68):
Min
n 1 i i i d d (66) s.a: , 1,2,3, 1,2,3,
S Xi di di bi i j n 1 i j i (67) viável) conjunto o é (F F X ; , , i , i d ; i d 0 0 1 2 3 (68)Onde, Sij representa os níveis dos multi-segmentos para o j-ésimo segmento da i-ésima meta.
Devido ao modelo MS-GP ser um método novo há pouca literatura a respeito. Para maiores detalhes recomenda-se consultar a obra de Liao (2009). Como o modelo MS-GP avalia as incertezas presentes nos coeficientes da matriz tecnológica, para problemas de grande porte torna-se inviável e muito complexo, computacionalmente, a adoção de tal método.
3.3. Stochastic Goal Programming
Geralmente, assume-se que os tomadores de decisão são capazes de delimitar com precisão e sem dificuldade os valores das metas associados com os seus objetivos (Aouni, Abdelaziz e Martel, 2005). No entanto, esses valores podem ser estocásticos o que torna a tomada de decisão torna-se mais complexa. Para resolver alguns destes problemas estocásticos, Aouni, Abdelaziz e Martel (2005) propuseram o modelo dado por (74) – (76):
Max f (X) (74) i n j j ijx b a ~ 1
(75) 0 X (76)Onde X denota um vetor n-dimensional aleatório das variáveis de decisão; aij denota a matriz
dos coeficientes tecnológicos (determinísticos) e b~ denota o vetor m-dimensional estocástico associado aos limitantes dos recursos (RHS) nas restrições. O modelo Stochastic GP (SGP) pode ser expresso por (77) – (79), conforme Aouni e Torre (2010); Abdelaziz, Aouni e Fayedh (2007) e Bravo e Gonzalez (2009):
n 1 i i i X x d d min (77)
I
g d d x a i i n j i i j ij
~ ~ ~ 1 (78) 0 ~ , ~ i i d d (79) Onde as metas i ~g dos RHS têm distribuição de probabilidades N
i;2
com ie 2 conhecidos. Para maiores detalhes de aplicações dos modelos SGP consultar Aouni e Torre (2010); Abdelaziz, Abdelaziz, Aouni e Fayedh (2007); Bravo e Gonzalez (2009) e Aouni,
12 Abdelaziz e Martel (2005). Também é possível integrar os conjuntos fuzzy como modelos SGP (Hop, 2007).
4. Considerações finais
Foram apresentados os resultados de uma extensa pesquisa bibliográfica realizada sobre GP como parte de uma pesquisa de IC, abordando modelos sob certeza e sob incerteza. O foco foi buscar modelos que pudessem ser implementados para a análise de uma situação real de planejamento agregado das etapas de colheita, transporte, produção e logística em uma usina sucroalcooleira brasileira. O modelo escolhido, bem como detalhes da sua implementação e resultados obtidos, estão em:
http://www.feg.unesp.br/~fmarins/Artigo%20premio%20IC%20Enegep%202011.pdf.
Agradecimentos: Ao CNPq e Capes pelo suporte à pesquisa. Referências
ABDELAZIZ, F. B.; AOUNI, B. & FAYEDH, R, E. Multi-objective stochastic programming for portfolio
selection. European Journal of Operational Research, v. 177, p.1811-1823, 2007.
AKOZ, O. & PETROVIC, D. A fuzzy goal programming method with imprecise goal hierarchy. European
Journal of Operational Research 181(3): 1427–1433, 2007.
AOUNI, B. & KETTANI, O. Goal programming model: A glorious history and a promising future. European
Journal of Operational Research, v.133, p.225-231, 2001.
AOUNI, B.; ABDELAZIZ, F. B. & MARTEL, J. M. Decision-maker’s preferences modeling in the stochastic
goal programming. European Journal of Operational Research 162: 610–618, 2005.
AOUNI, B.; MARTEL, J. M. & HASSAINE, A. Fuzzy Goal ProgrammingModel: An Overviewof the Current
State-of-theArt. Journal of Multi-Criteria Analysis, 16, 149-261, 2009.
AOUNI, B. & TORRE, L. T. A generalized stochastic goal programming model. Applied Mathematics and
Computation, 215, 4347, 4357, 2010.
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