Agrupamento de Escolas de
Almeirim
Matemática – 7.º Ano
Propriedades das Operações
Aritméticas em ℚ
Potências
A definição usual de potência, remetendo para um expoente natural, reporta-se a uma multiplicação .
Dado a inteiro e n natural, an
representa o produto
a × a × … × a n factores
Assim, por exemplo, 2 representa simplificadamente o produto 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Todas as potências têm uma base e um expoente
A base da potência é o factor que se repete.
O expoente indica o número de vezes que o
factor se repete.
É a base da potência
Exemplos
Na potência 25 ...
2 é a base da potência 5 é o expoente da potência
Na potência (-3)2 ...
A potência ab
lê-se “a elevado a b”
Assim:
32 lê-se “três elevado a dois”
(-8)9 lê-se “menos oito elevado a nove”
Mesmo sem saber o valor de uma potência é possível saber o seu sinal...
Se a base for positiva, a potência é sempre positiva.
Se a base for negativa e se o expoente for par a potência é positiva, caso contrário é negativa
Resumindo... Sinal da Base + -O valor da potência é positivo Expoente par O valor da potência é positivo Expoente ímpar O valor da potência é negativo
Exemplos
A potência representa um número positivo porque a base é negativa mas o expoente é par.
(−5)
De facto, tem-se que:
(−5) = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) [pela definição de potência]
= 25 × 25 [pela propriedade associativa da multiplicação]
= 625
A potência representa um número negativo porque a base é negativa mas o expoente é ímpar.
(−3)
De facto, tem-se que:
(−3)= (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) [pela definição de potência]
= 9 × 9 × (−3) [pela propriedade associativa da multiplicação]
= −243
A potência 3 representa um número positivo porque a base é positiva.
De facto, tem-se que:
3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 [pela definição de potência]
= 9 × 9 × 3 [pela propriedade associativa da multiplicação]
= 243
Potências cujas Bases são Fracções
Se tiver uma potência, de expoente n, cuja base é uma fracção , obtenho uma fracção cujo numerador é igual a an
e cujo denominador é igual a bn
Operações com Potências
À semelhança do que acontecia para as potências de base e expoente naturais...
As potências de base racional e expoente inteiro também gozam de propriedades operatórias para a multiplicação e para a divisão.
No caso da soma e da subtracção de potências, a solução passa por determinar o valor das potências.
Multiplicação de Potências com a mesma Base
O produto de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à soma dos outros expoentes.
Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.
Exemplos
−2 2 2
2
[Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.]
2
2 5
[Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.]
[Se uma potência tem base negativa e expoente par, o seu valor é positivo]
Multiplicação de Potências com o mesmo Expoente
O produto de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao produto das outras bases.
Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.
Exemplos − 2 7 5 3 2 5 7 3 10 21 2 3 2 3 6 Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.
Divisão de Potências com a mesma Base
O quociente de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à diferença dos outros expoentes.
Na divisão de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e subtraem-se os expoentes.
Exemplos
−2 2 2 2
[Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes] 12 5 5 12 12 5 5 1 12 12 12 [Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases]
12 12 12
[Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes]
Divisão de Potências com o mesmo Expoente
O quociente de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao quociente das outras bases.
Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.
Exemplos −10 ÷ −5 = −10 ÷ −5 = 2 2 3 ÷ 3 4 = 2 3 ÷ 3 4
[Na divisão de potências com o
mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.] = 2
3 × 4 3
[Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.]
[O quociente de dois números racionais é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor] = 8 9 −18 5 11 10 = − 18 5 11 10 = −18 × 10 5 × 11 = −180 55 = −90 11
Potência de Potência
Uma potência de potência é obtida quando uma potência é elevada a um segundo expoente.
O seu valor é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual ao produto dos outros expoentes.
Exemplos
−3 3 3
Na simplificação de uma potência de potência, multiplicam-se os expoentes.
5 4 7 10 5 4 7 10
[numa potência de potência, multiplicam-se os expoentes] 5 4 7 10 5 4 7 10
[na multiplicação de potências
com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases] 35 40 7 8 7 8
O que acontece quando o expoente de uma potência é nulo?
c
Desde que a base não seja zero, o seu valor é igual a 1.
Considerando um número a diferente de 0...
a0= a1-1 [1-1=0]
a0= a1-1 = a1÷ a1
[O quociente de potências com a mesma base é a potência com a mesma base e expoente igual à diferença entre o expoente do dividendo e do divisor]
a0= a1-1 = a1÷ a1=1
Dado número natural qualquer, o valor de 0! é zero, ou seja, 0! = 0
Isto porque se atendermos à definição de potência, veremos que
n factores 0! = 0 × 0 × ⋯ × 0
Mas como 0 é o elemento absorvente da multiplicação… 0! = 0 × 0 × ⋯ × 0 = 0
