Teoria da Relatividade Restrita:

Teoria da Relatividade Restrita:

Uma Perspectiva Geométrica

Sofia Isabel Dias Farinha

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Professor Doutor José Bioucas Dias

Orientador: Professor Doutor Carlos Paiva

Co-Orientador: Professor Doutor António Topa

Vogal:

Dezembro 2009

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Universidade Técnica de Lisboa

INSERIR I

MA

III

" Pedras no caminho?

Guardo todas. Um dia vou fazer um castelo ... "

Fernando Pessoa

Agradecimentos

Pela carga simbólica da conclusão da Dissertação de Mestrado, há um sem número de pessoas a quem são devidos os meus mais sinceros agradecimentos por directa ou indirectamente tornarem possível a concretização desta longa etapa. Infelizmente, não posso mencioná-las a todas neste espaço, pelo que me cinjo às que estiveram presentes mais de perto nesta última fase, a todas as outras, não menos importantes, o meu obrigada por me terem acompanhado e ajudado de uma forma ou de outra no meu percurso pessoal.

Em primeiro lugar um agradecimento muito especial aos meus pais, porque eles e só eles estiveram sempre presentes, tanto nos bons mas especialmente nos maus momentos. Quero agradecer-lhes pela sua humildade, espírito de sacrifício, incentivo, dedicação e paciência ao longo de todos estes anos. A eles devo tudo o que sou e o que tenho. Obrigada.

Também aos professores Carlos Paiva e António Topa quero agradecer pelo enorme privilégio que foi tê-los como Orientadores. Durante a realização desta Dissertação deram um apoio incondicional e constante, sacrificando inclusive as próprias férias de Verão. A par da sabedoria académica, que sempre se empenharam em transmitir, prevaleceu sempre um ambiente de boa disposição e muita energia nas várias reuniões que tivemos.

Aos meus irmãos e avós por tudo o que me ensinaram e por saber que poderei contar sempre com eles.

À Mariana que me fez descobrir uma nova felicidade desde os seus primeiros instantes de vida.

Ao Hugo, que embora tenha aparecido recentemente, me fez enriquecer e evoluir muito em termos pessoais. Veio pintar com o seu sentido de humor, a sua criatividade, a sua arte, o seu carinho e apoio, algumas cores que começavam a desbotar.

A todos os meus amigos que me têm acompanhado e que foram surgindo ao longo destes anos e a quem nem sempre pude dar a devida atenção.

Ao meu Director de Curso, o Tenente-Coronel Fernando Carmo, por toda a dedicação e competência com que se entregou ao desempenho da sua tarefa e pela motivação que me deu ao longo do meu percurso académico.

IV

Resumo

A Teoria da Relatividade Restrita, proposta por Albert Eistein em 1905, veio abalar toda uma comunidade científica acomodada à Mecânica Clássica de Isaac Newton. Foram necessários vários anos para a comprovar e hoje passados 105 anos, das suas implicações, continuam a brotar um sem número de aplicações reais.

Embora a Teoria da Relatividade tenha sido formulada no contexto da Álgebra Tensorial, já desde 1844 que se davam os primeiros passos na criação de uma álgebra universal para o cálculo geométrico. A Álgebra Geométrica, como ficou denominada, sofreu uma considerável evolução ao longo dos anos, e embora tenha permanecido no esquecimento durante algum tempo, preterida à álgebra vectorial de Gibbs-Heaviside, recuperou o seu destaque em 1963 com os trabalhos desenvolvidos pelo professor David Hestenes que a reformulou e lhe deu a consistência moderna. Desde então, tem ganho crescente importância, sendo a sua força reconhecida pela maneira como consegue numa única estrutura servir de base a temas tão díspares da física e da matemática, de maneira clara e concisa.

Nesta Dissertação, analisa-se a Álgebra Geométrica aplicada ao espaço-tempo de Minkowski como estrutura natural e eficiente, para a formulação da Teoria da Relatividade Restrita. A Álgebra Geométrica revela-se neste campo uma poderosa ferramenta, pois permite uma suave passagem da métrica euclidiana para a de Minkowski, assim como, do espaço tridimensional para o quadrimensional.

Começa-se por estudar as propriedades fundamentais da Álgebra Geométrica e a sua aplicação no espaço tridimensional de métrica euclidiana. Progressivamente e de uma forma natural passa-se para o espaço-tempo de Minkowski , que constitui o cerne da Dissertação. Nele estudam-se os pontos chaves da Teoria Da Relatividade Restrita de Einstein: Dinâmica Relativista, Dilatação Temporal, Contracção do Espaço, entre outros. A Dissertação encerra com o famoso “Paradoxo” dos Gémeos numa situação de Movimento Hiperbólico (movimento uniformemente acelerado), uma aplicação concreta da Teoria da Relatividade Restrita e suas consequências.

Palavras Chave

Álgebra Geométrica; Álgebra Tensorial; Mecânica Clássica; Einstein; Teoria da Relatividade Restrita de Einstein; Métrica de Minkowski; Métrica Euclidiana; Dinâmica Relativista; Dilatação Temporal; Contracção do Espaço; Paradoxo dos Gémeos; Movimento Hiperbólico.

V

Abstract

The Special Theory of Relativity proposed by Albert Einstein in 1905 has shaken an entire scientific community used to Isaac Newton’s Classical Mechanics. It took several years to prove it, and after 105 years its implications continue to raise a multitude of real applications.

Although the Theory of Relativity was formulated in the context of the Tensorial Algebra, it has been taking the first steps towards creating a universal algebra for geometric calculus since 1844. Geometric Algebra, as it was called, has evolved substantially over the years, and although it remained in oblivion for some time, overshadowed by Gibbs-Heaviside’s Vectorial Algebra, regained its importance in 1963 with the works developed by Professor David Hestenes who reformulated it and gave it the modern consistency. Since then it has been gaining importance, and its strength is recognized by the way one structure can serve as a basis for such unrelated topics in physics and mathematics, in a clear and concise manner.

This thesis analyzes Geometric Algebra applied to Minkowski’s space-time as a natural and efficient structure for the formulation of the Special Theory of Relativity. Geometric Algebra is found to be a powerful tool in this field because it allows a smooth transition from Euclidean to Minkowski metric as well as from the three-dimensional to the four-dimensional space.

One begins by studying the fundamental properties of Geometric Algebra and its application in three dimensional space of Euclidean metric. Progressively and in a natural way one is moved to Minkowski’s space-time, which is the core of the dissertation. In it the key points of Einstein's Special Theory of Relativity are studied: Relativistic Dynamics, Relativistic Doppler Effect, Time Dilation, Length Contraction, among others. The thesis ends with the famous Twin “Paradox” in a Hyperbolic Motion (uniformly accelerated motion) context, a practical application of the Theory of Relativity and its consequences.

Keywords

Geometric Algebra; Tensorial Algebra; Classical Mechanics; Einstein; Einstein’s Special Theory Relativty; Minkowski Metric; Euclidean Metric; Relativistic Dynamics; Time Dilation; Length Contraction; Twin Paradox; Hyperbolic Motion.

VI

Índice

Agradecimentos III Resumo IV Abstract V Índice VI

Lista de Tabelas VIII

Lista de Figuras VIII

Lista de Símbolos VIII

Notação XI

Capítulo 1 – Introdução 1

1.1 Enquadramento e Motivação 2

1.2 Objectivos 5

1.3 Estrutura e Organização da Tese 5

1.4 Bibliografia Consultada 7 1.5 Contribuições originais 7 Bibliografia e Referências 8 Capítulo 2 - Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço Euclidiano Tridimensional 9

2.1 A Álgebra Geométrica 10

2.1.2 Caracterização da Estrutura Axiomática e Algébrica

18

2.1.3 A Operação de Contracção 21

2.2 Álgebra Geométrica do Espaço Euclidiano 26

2.2.1 Estrutura Algébrica de Cl3 31

2.2.2 Reflexões 34

2.2.3 Rotações 38

2.3 Conclusões 43

Bibliografia 44

Capítulo 3 - Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aspectos Fundamentais 45

3.1 Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-tempo e Métrica Euclidiana 46

3.2 A métrica de Minkowski 51

3.3 A Construção de Um Espaço-Tempo 54

3.3.1 Diagramas de Minkowski 54

3.3.2 Cone de Luz 55

3.4 As Transformações de Lorentz 57

3.4.1Transformação de Lorentz Activa – Boosts 57

3.4.2 Transformação de Lorentz Passiva 61

3.5 Conclusões 63

VII

Capítulo 4 – Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aplicações 65

4.1 Simultaneidade de eventos 66

4.2 Dilatação Temporal 68

4.3 Contracção do Espaço 71

4.4 Dinâmica relativista de uma partícula 73

4.4.1 Adição de velocidades colineares 73

4.4.2 Inércia da Energia 75

4.5 Conclusões 79

Bibliografia 80

Capítulo 5 – “Paradoxo” dos Gémeos 81

5.1 Movimento Hiperbólico 82

5.1.1 Transformação da Aceleração 82

5.1.2 O Efeito da Aceleração no tempo 83

5.2 O Pseudo Paradoxo dos Gémeos 87

5.3 Conclusões 95

Bibliografia 96

Capítulo 6 – Conclusão 97

VIII

Lista de Tabelas

Tabela1- Tabela multiplicativa de Cl3 31 Tabela 2- Tabela de Classificação dos vectores no espaço tempo de Minkowski 56

Lista de Figuras

A figura da capa corresponde a um diagrama computorizado do universo pelo Instituto Max Plank. Cada ponto de Luz corresponde a um aglomerado de galáxias

Figura 1- As quatro personalidades que mais contribuíram para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica3 Figura 2- Evolução dos sistemas algébricos e a sua convergência para a Álgebra Geométrica 4

Figura 3- Simetria do produto interno 11 Figura 4- Distributividade do produto interno em relação à adição 11

Figura 5- Duas representações possíveis para bivector B = a b , admitindo as áreas dos polígonos iguais. Figura 6- Duas representações possíveis para o bivector -B = b a , admitindo as áreas dos polígonos 

iguais. 12

Figura 7- Ilustração do módulo do bivector B a b  como área do paralelogramo:

B



a b

sin

 



13

Figura 8– O plano a azul representa o lugar geométrico dos afixos dos vectores r tais que

 

r - b a =0



. 16

Figura 9 – componente paralela e perpendicular do vector

a

. 23

Figura 10- Uma possível representação do vector d, resultado da contracção de um vector a por um bivector B = bc. 25

Figura 11- Representação do vector r em eixos ortogonais. 27 Figura 12- Rotação do vector

a

, originando o vectord ₂₉

Figura 13- A rotação do vector

a

originada da multiplicação deste por

e

₁₂,origina vectores diferentes consoante a ordem em que a multiplicação é feita. 29

Figura 14- Resultado da multiplicação do vector

a

por i . 30

Figura 15- Uma possível representação para o trivector unitárioe₁e₂e₃. 30

Figura 16- Soma geométrica de bivectores evidenciando a distributividade do roduto exterior sobre a

adição. 31

Figura 17 -Um bivector (F) e o seu dual (

Fe

₁₂₃) 34

Figura 18-Reflexão de um vector r em relação ao hiperplano perpendicular ao vector a . 35 12

IX

Figura 19-Reflexão de um vector r ao vector a . 36

Figura 20- Reflexão do bivector

B

em relação ao plano perpendicular (a azul) ao vector a. 37

Figura 21 - Vector ccomo rotação do vectoraem duas reflexões sucessivas. 38

Figura 22 - Projecção dos vectores a,

b

ec no plano definido por m n ,  a evidenciar o ângulo de rotação sofrido. 39

Figura 23- Projecção das componentes de projecção perpendicular e paralela do vector

r

e seu significado nas rotações. 42

Figura 24- Composição de velocidade paralelas 47

Figura 25- A transformação do vector

v

para o vector

u

equivale a uma rotação de



graus. 49

Figura 26- Secção de corte do gráfico da equação 3.16 para

 

₂

0,5

50

Figura 27- Representação geométrica de

r

2



1

₅₄

Figura 28- Representação geométrica de

r

2

 

1

₅₅

Figura 29- Cone de Luz, obtido quando se considera os diferentes tipos de trajectórias no espaço-tempo tridimensional. 56

Figura 30- Diagramas a evidenciar as diferenças da aplicação de uma rotação



e e

_{0 1}

 

g g

_{0 1}



e de um boost



e e

_{0 1}

  

f f

_{0 1} 59

Figura 31- Grelha resultante da transformação axial



e e

_{0 1}

  

f f

_{0 1} 60

Figura 32- Construção do eixo

c t

. 62

Figura 33- Construção do eixo

X

. 62

Figura 34- A amarelo encontra-se o plano onde sinais luminosos emitidos por P1 e P2 embatem simultaneamente. Qualquer observador que se encontre nesse plano regista os acontecimentos P1 e P2 como simultâneos. 66

Figura 35- Diagrama de Minkowski a evidenciar o fenómeno da simultaneidade relativa. 67

Figura 36- Diagrama de Minkowski a evidenciar o fenómeno da simultaneidade relativa: os acontecimentos O e B são simultâneos para o referencial

S

mas não o são para

S

. 68

Figura 37- Dilatação temporal num diagrama de Minkowski. 69

Figura 38- Dilatação temporal registada pelo observador do referencial

S

. 70

Figura 39- Diagrama de Minkowski a evidenciar a contracção espacial segundo a perspectiva do observador inercial. 71

Figura 40- Diagrama de Minkowski a evidenciar a contracção espacial quando a régua se encontra em repouso no referencial em movimento. 72

X

Figura 42- Movimento Hiperbólico para diferentes valores de X : a azul X=1;

a verde X=2; a vermelho X=3. 87

Figura 43- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos

gémeos A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se o gémeo A sobre o referencial inercial. 88

Figura 44- Quebra do triângulo [ODC] em dois triângulos rectângulos [OEC] e [EDC] 89 Figura 45- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos gémeos

A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se a primeira parte do movimento

do gémeo B sobre o referencial inercial. 90

Figura 46- Diagrama de Minkowski a evidenciar o percurso dos gémeos

A e B do paradoxo dos gémeos, encontrando-se a segunda parte do movimento

do gémeo B sobre o referencial inercial. 91

Figura 47- Análise do movimento hiperbólico quando o gémeo terrestre se

encontra num referencial inercial. O movimento do gémeo espacial pode ser

dividido em 4 fases: duas de aceleração e as outras duas de desaceleração. 93

Figura 48- Análise do movimento uniformemente acelerado segundo

a perspectiva do gémeo espacial. 94

Figura 49- Ampliação do Loop anterior e respectivas linhas de simultaneidade. 95

Lista de Símbolos e Notação

0

e

vector unitário da álgebra geométrica associado à componente temporal;

1

e

vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

2

e

vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

3

e

vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

Base ortonormada de um espaço;

B

bivector;

 



produto interno;

 



produto externo;

 



produto exterior;

u

elemento genérico da álgebra: multivector;

n

XI

 

ˆu

involução de grau;

 

u

dual de Clifford;

 

u

conjugação de Clifford; ⋀2 3

bivectores no espaço tridimensional; ⋀3 3

trivectores no espaço tridimensional; ⋀2 1,3

bivectores no espaço-tempo de Minkowski; ⋀3 1,3

trivectores no espaço-tempo de Minkowski; ⋀4 1,3

quadrivectores no espaço-tempo de Minkowski;

espaço unidimensional; 2 espaço bidimensional; 3 espaço tridimensional; 4 espaço quadrimensional; 1,1

espaço-tempo de Minkowski no espacial unidimensional;

1,3

espaço-tempo de Minkowski;

2

C

álgebra de Clifford do plano;

3

C

álgebra de Clifford do espaço;

4

C

álgebra de Clifford do espaço quadrimensional;

1,3

C

álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski;

1,1

C

álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski no espaço unidimensional;

C

 parte par de uma álgebra de Clifford;

C

 parte ímpar de uma álgebra de Clifford;

contracção à esquerda; contracção à direita; R rotor;

,

n m

vectores unitários; 0

XII

2

R

componente de grau dois do rotor;

ˆB

bivector unitário do espaço tridimensional;

 

/ / componente paralela de um vector;

 

_ componente perpendicular de um vector;;



factor das transformações de Lorentz;

r

acontecimento no espaço-tempo de Minkowski;

r

componente espacial do acontecimento r;

0

x



ct

coeficiente do versor temporal no referencial próprio;

1

x

coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio;

2

x

coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio;

3

x

coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio;

0

U

bivector;

0

x



ct

coeficiente do versor temporal no referencial relativo;

1

x

coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo;

2

x

coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo;

3

x

coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo;

c velocidade da luz no vácuo;

u

vector no espaço-tempo de Minkowski;

1

u

vector no espaço-tempo de Minkowski;

2

u

vector no espaço-tempo de Minkowski;

u

componente espacial do vector u;

1

u

componente espacial do vector

u

₁;

2

u

componente espacial do vector

u

₂;



escalar;

XIII

S referencial próprio;

S

referencial relativo;

I

pseudo-escalar no espaço-tempo de Minkowski;



e

bivector unitário

e

_



e

_;



intensidade de um boost; 1



intensidade de um boost; 2



intensidade de um boost;



ângulo associado a um vector;

L

distância no referencial próprio;

0

L

distância no referencial relativo;

T

tempo decorrido no referencial próprio;

0

T

tempo decorrido no referencial relativo;

k

vector de onda no espaço-tempo de Minkowski;

0

k

componente temporal associada ao vector de onda;

k

componente espacial associada ao vector de onda;

Notação

Não existe uma única notação, universalmente usada na álgebra geométrica e daí cada autor usar aquela que mais se adequa ao seu ramo de aplicação.

É assim necessário desde já esclarecer as principais notações usadas nesta dissertação:

1) Como na maioria das aplicações da dinâmica e mecânica de uma partícula, as letras minúsculas a itálico reservam-se para grandezas escalares, opta-se pela representação das lâminas (multivectores homogéneos) por letras maiúsculas a bold. Constituem excepção os vectores (lâmina 1) que se representam também a bold mas em letra minúscula e os escalares (lâminas -0) que são representados por letras gregas a itálico. Os multivectores genéricos representam-se com letra minúscula a itálico;

2) As funções lineares são escritas com tipo de letra não serifada;

XIV

4) O produto geométrico de dois vectores e indica-se simplesmente pela justaposição destes: ; 5) O produto exterior de um multivector A por um multivector B representa-se por A ∧ Β em que A _e

B são multivectores ;

6) O produto interno de um multivector A por um multivector B representa-se por A Β em que A _e

B são multivectores;

7) Para simplificar as expressões e evitar um uso excessivo de parêntesis assumem-se as seguintes convenções:

 As operações de produto interno e exterior são realizadas antes do produto geométrico

 A operação de produto exterior tem preferência sobre a do produto interno. Assim virá:





 

 

 





 

                  A B C A BC A BC A B C A BC A BC A B C A B C A B C 8) k

u

representa a projecção de um multivector

u

_{homogéneo em relação ao grau}

k

, ou seja, a dimensão do subespaço

k n



;

9) As várias involuções de um multivector u são representadas com a seguinte notação:







u

u

u

involução de grau reversão conjugação de Clifford

10) O elemento de cada álgebra com maior grau designa-se de pseudoescalar e representa-se por I; 11) Na escrita desta tese usou-se uma notação que não tem em consideração a distinção entre as componentes dos vectores das formas-1. Embora se peque no rigor do formalismo matemático, confere uma maior simplicidade à escrita matemática, justificada pelas formas-1 não serem usadas, uma vez que se trabalhou com bases ortonomadas;

- 1 -

Capítulo 1

Introdução

O actual capítulo constitui uma primeira abordagem à presente

dissertação. Pretende apresentar o quadro de referência em que se

insere, as razões que a justificam e os avanços que têm sido feitos na

área. Especifica ainda a sua estrutura e organização e apresenta uma

síntese dos seus contributos originais.

- 2 -

“ Todas as coisas começam, de facto, a mudar a sua natureza e aparência;

todo o nosso sentir do mundo é radicalmente diferente….

Existe um caminho novo, vasto e profundo de sentir,

ver, conhecer, contactar as coisas.”

Sri Aurobindo, 1958

1.1 Enquadramento e Motivação

O pensamento grego acreditava que a geometria era inerente às propriedades intrínsecas da natureza. Essa mentalidade, enraizou-se no Ocidente e ainda hoje a geometria é vista, não já como fazendo parte da natureza, mas como uma útil estrutura que usamos para a descrever. A ciência está então “prisioneira” dessa linguagem que tenta expressar o mundo que a envolve, e portanto, quanto mais perfeita a tornarmos mais próximos nos encontraremos do dialecto original.

Nos últimos anos, assistiu-se a uma profusão de álgebras e sistemas algébricos, cada um com as suas próprias vantagens, notações e aplicações específicas. Ver figura 2. Contudo, esta variedade acaba por tornar a física desfragmentada e dificulta a conquista da tão desejada física global.

A busca por um cálculo geométrico universal, iniciou-se no século xvii com Leibnitz (1646-1716), que escreveu um ensaio sobre uma geometria que designou de situs (geometria de posição ou de sítio). Grassman (1809-1877), um matemático alemão, pegou no trabalho de Leibnitz e desenvolveu-o. Em 1873 publica o artigo Die Lineable Ausdehnungslehre (Álgebra das Extensões Lineares) onde apresentava uma perspectiva inovadora do cálculo geométrico: sugeria que as grandezas físicas fossem representadas por objectos geométricos (origem dos objectos vectoriais) e surgia com o produto exterior, um produto geométrico válido para espaços de qualquer dimensão e, embora sem essa intenção deliberada, válido para espaços de qualquer métrica.

Paralelamente aos trabalhos de Grassman, Hamilton (1805-1865), um matemático, físico e astrónomo irlandês, fazia surgir a álgebra dos quaterniões ao generalizar os números complexos para três dimensões.

Um dos poucos matemáticos, a quem a álgebra de Grassman não passou despercebida foi Clifford (1845-1879), um matemático e filósofo inglês. Clifford, uniu numa única estrutura o produto interno com o exterior. O produto resultante, tinha propriedades associativas à semelhança do produto de Grassman e ainda a grande vantagem de ser invertível como a álgebra dos quaterniões de Hamilton. Apesar de muitas vezes, se designar a Álgebra resultante como Álgebra Geométrica

- 3 -

de Clifford, há hoje fortes indícios que Grassman teria chegado aos mesmos resultados, pelo que, por uma questão de justiça, é preferível que se designe simplesmente de Álgebra Geométrica.

Apesar da dinâmica que Clifford imprimiu à Álgebra Geométrica, esta rapidamente perdeu destaque face aos trabalhos que entretanto surgiram de Josiah Gibbs, que também se havia baseado na análise da álgebra de Grassman, trazendo à luz um novo cálculo: o cálculo vectorial.

O cálculo vectorial, embora não tenha o mesmo rigor das álgebras de Grassman, Hamilton ou Clifford, é bastante prático na descrição de fenómenos tridimensionais, simplificando-os de maneira considerável. É no entanto apenas válido para espaços tridimensionais de métrica positiva e não é associativo.

A Teoria da Relatividade de Einstein, trouxe com ela a necessidade, de uma nova álgebra, uma vez que é formulada num espaço quadrimensional de métrica mista. Autores como Levi-Civita, Ricci e Einstein deram a sua contribuição para a formulação da Álgebra Tensorial, uma álgebra que substitui a noção de vector por tensor, em que estes mantêm as suas propriedades, independentemente do sistema de coordenadas em que são descritos. Apesar da Álgebra Tensorial ter sido fundamental no desenvolvimento da Teoria da Relatividade de Einstein, trata-se de uma álgebra complexa, cheia de rebuscados formalismos, dependente de um sistema de coordenadas e cuja aplicabilidade se limita a uma estrita classe de problemas.

Felizmente, David Hestenes, um professor e investigador americano, fez reemergir em 1963 com a sua Tese de Doutoramento, a Álgebra Geométrica, dando-lhe nos anos que se sucederam a reestruturação necessária para acompanhar os avanços que se haviam dado na física e matemática.

Entretanto, a comunidade científica parece ter despertado, também ela, para a álgebra geométrica e assiste-se ao seu profícuo desenvolvimento em áreas tão vastas como: mecânica quântica relativista [1] e não relativista [2], electromagnetismo [3], computação [3], robótica [4], gravitação[5], teoria da relatividade restrita [2], processamento de sinal [4] e [6], entre outras.

Reforça-se que, a sua importância está na sua riqueza da estrutura matemática, mas que não é complexa, que contempla espaços de várias dimensões e de várias métricas. É uma álgebra associativa e invertível, poderosíssima na maneira como lida com as rotações e que pode ser usada como substituta dos vários sistemas algébricos que foram surgindo nos últimos anos e cuja aplicabilidade se limita a uma classe limitada de problemas.

- 4 -

Da esquerda para a direita: Hermann Grassman (1809-1877); William Hamilton (1805-1865); William Clifford (1845-1879) e David Hestenes (1933-?).

Figura 2- Evolução dos sistemas algébricos e a sua convergência para a Álgebra Geométrica.

Formas

diferenciais

E.Cartan, 1908

Álgebra Spinor

Pauli, Dirac, 1928

Geometria Euclidiana

Euclide 300 AC

Álgebra de Grassman

Extensiva

1844-1862

Álgebra de Clifford

Clifford, 1878

Álgebra Geométrica

Cálculo Vectorial

Gibbs, 1881

Cálculo Tensorial

Ricci, 1980

Álgebra Matrixial

Cayley, 1854

Determinantes

Sylvester, 1878

Quaterniões

Hamilton, 1843

Álgebra Sincopática

Diophantus, 250 DC

Álgebra dos Complexos

Wessel, Gauss, 1798

Geometria Analítica

Descartes,1637

Boole

1854

- 5 -

1.2 Objectivos

Pretende-se com esta dissertação, um estudo aprofundado da estrutura base da Álgebra Geométrica, para a partir desta, se reformularem os aspectos principais da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein. Dá-se especial destaque ao paradoxo dos gémeos, uma vez que, condensa num só problema várias questões e implicações pertinentes da teoria da Relatividade de Einstein. O paradoxo dos gémeos é abordado tanto da perspectiva clássica de dois referenciais com movimento relativo uniforme, como da perspectiva mais realista de referenciais uniformemente acelerados, implicando este último caso, o estudo do movimento hiperbólico.

Paralelamente a esse objectivo, está implícito divulgar a Álgebra Geométrica como linguagem matemática unificadora e global, útil nas mais diversas áreas de engenharia e nos mais diversos problemas, no caso concreto na Teoria da Relatividade Restrita, mostrar que a mesma permite uma passagem suave da métrica euclidiana do espaço tridimensional para o espaço quadrimensional de métrica mista: o espaço-tempo de Minkowski. Assim, reveste-se de grande importância, uma primeira abordagem da Álgebra Geométrica aplicada ao espaço euclidiano, que fará a passagem para o espaço-tempo de Minkowski, cenário onde se desenrola a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein.

Foi ainda objectivo, a escrita de uma tese acessível a um público com conhecimentos médios de física e matemática, havendo por isso a preocupação de abordar os temas com clareza. Infelizmente, uma vez que a tese é limitada tanto em extensão como no tempo em que decorre, não me foi possível expandir tanto quanto um tema desta natureza alicia e permite.

1.3 Estrutura e Organização da Tese

De modo a cumprir os objectivos atrás estabelecidos de forma lógica e articulada, esta Dissertação assenta em seis capítulos:

O primeiro capítulo, a Introdução, fornece o quadro motivacional desta dissertação. Uma vez que esta recai no estudo das propriedades da Álgebra Geométrica e da sua aplicação no contexto da Teoria da Relatividade Restrita, pretende dar-se uma perspectiva global e generalista da Álgebra Geométrica: a sua evolução histórica, os avanços que têm sido feitos na área e as razões que a justificam, em particular para o caso da Teoria da Relatividade Restrita. Pretende-se ainda, clarificar as contribuições originais que resultam desta dissertação, bem como esclarecer a sua estrutura e o material consultado que permitiu a sua realização.

- 6 -

O segundo capítulo, Álgebra Geométrica Aplicada ao Espaço Euclidiano Tridimensional, aborda as bases e aspectos essenciais da Álgebra Geométrica, primeiro de uma forma generalista e daí partindo para a sua concretização no espaço euclidiano tridimensional, onde se dá especial destaque às rotações. Note-se que, estas constituem uma das aplicações poderosas desta álgebra, uma vez que podem ser estendidas ao espaço tridimensional. As rotações eram possíveis em planos bidimensionais com o uso dos números complexos.

No terceiro capítulo, Álgebra Geométrica Aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski: Aspectos

Fundamentais, formulam-se e caracterizam-se os aspectos essenciais do espaço-tempo de

Minkowski, usando como base a Álgebra Geométrica. Apesar de se tratar de uma métrica mista e de um espaço de dimensão superior ao euclidiano tridimensional, os resultados são facilmente extrapolados deste, evitando assim o corte radical que existe na passagem do produto vectorial de Gibbs para a álgebra tensorial. O capítulo encerra com as transformações de Lorentz, transformações que mantêm invariantes o intervalo entre eventos no espaço-tempo.

No quarto capítulo, Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski:

Aplicações, analisam-se algumas das implicações da Teoria da Relatividade Restrita. Embora a

simultaneidade de eventos, a contracção espacial e a dilatação temporal sejam o exemplo de fenómenos, que ficam perfeitamente explícitos recorrendo aos diagramas de Minkowski, todos os cálculos auxiliares são feitos recorrendo à Álgebra Geométrica. Analisam-se ainda alguns aspectos relativistas da dinâmica de uma partícula como a adição de velocidades e a inércia da energia.

No quinto capítulo, “Paradoxo” dos Gémeos, é analisado o clássico problema do paradoxo dos gémeos, segundo os referenciais do gémeo terrestre e espacial, tanto da perspectiva tradicional de referenciais com movimento relativo uniforme, como da perspectiva mais realista de referenciais com movimento relativo uniformemente acelerado. O capítulo inicia-se, com uma exposição do efeito da aceleração no tempo de onde se deduzem as expressões do movimento hiperbólico (movimento uniformemente acelerado).

A dissertação encerra com o capítulo da Conclusão, onde se faz uma síntese dos resultados obtidos mais importantes face aos objectivos e se sugerem, face ao panorama presente, trabalhos futuros que possam vir a ser relevantes.

Todos os capítulos são iniciados com uma pequena introdução / motivação para o assunto que se segue e encerram com uma conclusão dos resultados obtidos mais importantes. A listagem bibliográfica é também feita por capítulo.

- 7 -

1.4 Bibliografia Consultada

Para a realização desta dissertação, consultaram-se essencialmente livros e artigos que têm sido publicados sobre o assunto. Apesar das publicações que têm sido feitas na área, serem maioritariamente de autores internacionais, a nível nacional o Professor Carlos Paiva conjuntamente com o seu núcleo de doutoramento, tem contribuído para a dinamização e divulgação da álgebra geométrica com a publicação de diversos artigos e participação em vários congressos.

1.5 Contribuições originais

Demorou mais de um século, desde os primeiros esboços para a criação de um cálculo geométrico universal, para a Álgebra Geométrica se instituir e desenvolver-se como corpo matemático sólido e eficaz, capaz de servir de base aos mais diversos temas da física e engenharia. Apesar da Álgebra Geométrica estar em rápida expansão, tem tido uma aceitação lenta por parte da comunidade científica, quer em parte por conformismo com os modelos já existentes, quer por desconhecimento das suas potencialidades e aplicações. Esta Dissertação, pretende contribuir para a divulgação da Álgebra Geométrica e da sua estrutura matemática, assim como da sua potencialidade, em particular na Teoria da Relatividade Restrita.

Felizmente, ao nível dos seus fundamentos, vários autores têm contribuído para a sua consolidação e aperfeiçoamento, pelo que, a nível pessoal apresento os resultados que obtive de uma vasta leitura e estudo de autores, apresentando-os segundo a minha perspectiva crítica. Durante a investigação que precedeu esta dissertação, pude no entanto constatar que a Teoria da Relatividade Restrita, analisada segundo essa perspectiva geométrica, não está nesse nível de desenvolvimento pelo que, muitos dos conceitos aqui apresentados são já conhecidos mas segundo a sua formulação pela Álgebra Tensorial. Esta dissertação, formula a Teoria da Relatividade Restrita à luz da Álgebra Geométrica, colmatando assim uma lacuna que não tem sido suficientemente preenchida quer em dissertações, quer pela literatura científica. Salienta-se ainda a análise do paradoxo dos gémeos segundo a perspectiva clássica de referenciais com movimento relativo uniforme mas também considerando referenciais uniformemente acelerados. Curiosamente, esta última análise, raramente é considerada, mesmo na literatura clássica, mas é perfeitamente válida desde que se assuma que os relógios dependem apenas da velocidade instantânea e não do ritmo a que essa velocidade varia.

- 8 -

Bibliografia e Referências

[1] I. Benn e R. Tucker, An Introduction to Spinors and Geometry, Adam Hilger, 1987.

[2] David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2nd ed., 1999.

[3] Leo Dorst, Daniel Fontjne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry, The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics, 2007. [4] Leo Dorst, A. Lasenby and C. Doran and S.Gull, Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engeneering,

Birkhauser Verlag

, 2002.

[5] A. Lasenby, C. Doran and S.Gull, “Gravity, Gauge Theories and Geometric Algebra”, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.,1998.

[6] Michael Felsberg and Gerald Som

mer

, “The Multidimensional Isotropic Generalization of Quadrature Filters in Geometric Algebra“,

AFPAC, 2000.

1. Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge: Cambridge University press, 2003

.

2. David Hestenes, Clifford Algebra to Geometric Calculus, D. Reidel Publishing Company, 1933.

3. C. R. Paiva, "Lição de Síntese", Folhas da cadeira de fotónica, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, 2009.

4. C. R. Paiva, "Álgebra Geométrica do Espaço: Introdução", Folhas da cadeira de fotónica, Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, Maio 2008.

5. J. Vaz Jr., “A Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo e a Teoria da Relatividade ” Revista Brasileira de Ensino de Física, volume 22, 2000.

6. Fritjof Capra, O Tao da Física, Editorial Presença, 2009.

7. http://modelingnts.la.asu.edu/html/evolution.html#FamilyTree, consultado em Agosto de 2009.

- 9 -

Capítulo 2

Álgebra Geométrica

Aplicada ao Espaço

Euclidiano Tridimensional

O presente capítulo inicia o estudo da álgebra geométrica de uma

forma generalista, passando pela sua estrutura axiomática. A partir daí

passa-se para a análise do espaço euclidiano, dando especial ênfase

às reflexões e rotações.

- 10 -

“ …for geometry, you know, is the gate of science, and the gate is so low and small that one can only enter is a little child.”

William Kingdom Clifford (1845-1879)

2.1 A Álgebra Geométrica

A matemática é a ferramenta principal de apoio às ciências exactas, em particular à física. Ela permite a sua manipulação e consequentemente a sua previsão e estudo. A álgebra constitui-se como um dos seus ramos mais abrangentes e antigos, sofrendo uma considerável evolução ao longo dos tempos.

A essência da álgebra geométrica remonta à Grécia Antiga, com Euclides, numa tentativa de representar os objectos geométricos através de objectos algébricos e as operações geométricas por operações algébricas.

Existem inúmeros sistemas algébricos, cada um com as suas próprias vantagens e desvantagens, contudo a álgebra geométrica, adequa-se facilmente à descrição de fenómenos como a relatividade restrita, mecânica quântica, simplificação das equações de Maxwell, entre outros. Aplicações recentes desta álgebra passam pela robótica, biomecânica, visão computacional e dinâmica dos voos espaciais, o que explica a sua valorização em ascensão.

A Álgebra Geométrica, também designada por álgebra de Clifford, foi inicialmente desenvolvida por William Kingdon Clifford por volta de 1870 que se baseou nos trabalhos desenvolvidos anteriormente por Grassman (autor do produto exterior) e Hamilton (autor do quaterniões). Na sua base está um novo produto vectorial: o produto geométrico que permite passar de uma forma harmoniosa do espaço euclidiano tridimensional para o espaço não euclidiano quadrimensional (o espaço-tempo de Minkowski) sem ser pela passagem abrupta do produto externo de Gibbs para uma álgebra tensorial.

A definição da Álgebra Geométrica, assim como da maioria dos sistemas algébricos, passa essencialmente pela definição do seu produto entre vectores. Dado dois vectores,

a

e

b

, o seu produto geométrico escreve-se

ab

e resulta da soma graduada de um escalar (de origem no

produto interno) com um bivector (com origem no produto exterior) pela seguinte equação

ab = a b a b

  

(2.1) Vale a pena dedicar algumas linhas a relembrar as propriedades do produto interno (à partida já nosso conhecido) e apresentar o produto exterior, ambos introduzidos pelo matemático Grassman.

- 11 -

O produto interno entre dois vectores a e b define-se como o escalar obtido pela dilatação da projecção perpendicular de a em b pela magnitude de b e representa-se por a b . 

Da sua definição surge a seguinte relação, em que θ representa o ângulo entre b e a :

cos



cos







 

a b = a

b

b

a

b a

Na figura 3 encontra-se evidenciado o já expresso na equação 2.2: a simetria do produto interno. Na figura 4 é visível outra importante propriedade do produto interno: a sua distributividade em relação à soma.

Figura 3-Simetria do produto interno

Figura 4 - Distributividade do produto interno em relação à adição :

De notar ainda que:

ˆ a c  b c

b

c

ˆ a b





ˆ  a b c

ˆ



a b

a

ˆ



b a

b







ˆ  ˆ  ˆ a b c = a b a c (2.2)

- 12 -



 

   a b

   

a b   a b (2.3)

 a a  a20 (2.4) (4) () 8

Apesar da importância do produto interno, este é insuficiente para uma caracterização global da expressão geométrica. O produto exterior vem a esse encontro, colmatando ainda o facto do produto externo de Gibbs apenas existir a três dimensões e estar dependente da métrica definida.

Do produto exterior resulta um novo objecto vectorial: o bivector.

O bivector é um fragmento de plano orientado, caracterizado pela sua área (magnitude do bivector), direcção (direcção do plano suporte do bivector) e sentido (horário e anti-horário). Apesar de se representar geralmente como um paralelogramo orientado, apenas interessa o seu plano, orientação e área, pelo que, por exemplo, um círculo para a sua representação seria também aceitável. Para o efeito definindo

a a

'

 

b

tem-se que:

'

    

a b a b

b b

_(2.5)

Conclui-se assim que o mesmo bivector pode ser gerado por diferentes pares de vectores. Note-se que esta demonstração faz uso de uma propriedade do produto exterior ainda não apresentada: a sua distributividade sobre a adição, ou seja

a

     

 

b c

a b a c

Na figura 5 e 6 encontra-se a representação gráfica do produto exterior do vector a comb ( a b  ) e b com a ( b a  ) respectivamente.

Tal como se encontra sugerido pelas figuras o produto exterior é anti-simétrico:

   

a

b

b a

_(2.7) b a

a

b

Relação do produto interno com a multiplicação de escalares por vectores.

Relação da magnitude de um vector com o produto interno. Repare-se que

a a



= 0

apenas se a=0.

Figura 5- Duas representações possíveis para o bivector B = a b , admitindo as áreas dos polígonos iguais.

Figura 6 - Duas representações possíveis para o bivector -B = b a , admitindo as áreas dos polígonos iguais.

- 13 -

Deste facto resulta que:

=



+



=



-



ab

a b a b

b a b a

Pelo que









1

=

₂

+

e

1

= 2





a b

ab b . a

a b

ab - b . a

As equações 2.7 e 2.8 simplificam a equação 2.1 uma vez que o produto geométrico deixa de depender da soma de dois produtos distintos, mas apenas de um.

A Magnitude do bivector (área varrida pelos vectores que o constituem) tem intensidade:

sin

=

a b

∧

a b



Segue-se a demonstração:



 





 

  

   

 

2 _{2 2} 2 _{2 2} 2 2 2 2                     a b ab a b a b ba a b ab ba a b abba a b a b a b a b a b (2.12)

Logo, uma vez que:

virá que





2 _{2 2 2 2 2 2 2 2}

cos sin sin ,

          

a b a b a b a b a b a b

Pelo que se conclui que:

a

  

a

0

aa = a a



. (2.15) A magnitude do bivector

B a b

 

representa uma área orientada. Pela figura seguinte pode-se deduzir que a magnitude do bivector é igual à área do paralelogramo com as arestas definidas pelos vectores

a b

e

.

cos



a b = a b



(2. 11) (2.9) (2.10) (2.13) (2.14) (2.8)

- 14 -

Figura 7- Ilustração do módulo do bivector B a b  como área do paralelogramo:

B



a b

sin

 



Apresentados os produtos interno e exterior, as propriedades do produto geométrico podem ser sintetizadas:

 O produto geométrico de vectores ortogonais é anti-simétrico:

   

a

b

b a

_(2.16)

O produto geométrico na sua forma geral apresenta no entanto a seguinte relação entre

a b

e

ba

:

=



+



=



-



ab

a b a

b

b a b a

_(2.17)

 Tendo presente que os produtos interno e exterior são distributivos na adição, o produto geométrico de dois vectores também o será, como se verifica na seguinte demonstração:







 





 





 



+

+

+



 

    





   

   





a b+c = a b c

a b c

a b a c

a b a c

a b a b

a c a c

ab ac

A mesma demonstração é passível de ser feita para a distributividade à esquerda, de onde se concluiria que:



b c a ba ca

+



=

+

(2.19)  É desejável que o produto geométrico seja associativo para facilitar a manipulação

algébrica. Tomamos portanto como axioma que dados, a título de exemplo, três vectores

a

,

b

_e

c

vem então que:

a b

   

c



a b

c



a b

c

(2.20)  Toma-se também como axioma que o quadrado de qualquer vector seja um escalar real:

 

sin



b

a

b

a



 

B a b

(2. 18)

- 15 -

2

_

a

_(2.21)

Este axioma permite que se faça a separação da álgebra geométrica das álgebras associativas comuns e uma vez que não impõe que o quadrado do vector seja necessariamente um número positivo, pode integrar o espaço-tempo de Minkowski.

 Uma outra importante utilidade da álgebra geométrica é a sua capacidade de expressar o inverso de um vector não nulo:

1 2 

_

_

_



a

a

a

a

aa a a

_a

O produto geométrico de dois vectores é invertível apesar do seu produto interno e exterior o não serem. Seguem-se as respectivas demonstrações.

O produto interno de dois vectores

a

e

b

residentes em ℝ3, supondo conhecido o vector

aassim como o escalar  resultante da operação, será invertível se o vector

b

caracterizar univocamente a relação, ou seja dado

r a =





(2.23)

então,

 

r - b a =0



(2.24) No entanto qualquer vector r - b _{que se situe num plano perpendicular a}

a

satisfaz

 

r - b a =0



pelo que o produto interno não é invertível.

O produto exterior de

a

comb também não é invertível uma vez que qualquer vector

r - bparalelo a

a

satisfaz

 

r - b



a =0

(2.25) e portantobnão fica caracterizado univocamente.

Seguindo a sequência, o produto geométricou de um determinado vector b _{por um}

vector

a

será invertível se for univocamente caracterizável:

ba =

u

A condição anterior



r b a =





0

resulta na intersecção de um plano com uma recta perpendicular a este, originando o ponto P como esquematizado na figura seguinte. Daqui resulta que

r



b

, de onde se conclui que o produto geométrico é invertível.

O inverso do multivector

u

=ab

, representa-se por

u

1e segue-se a sua dedução:

ra =

u

então

 

r b a =



0

  

 

r b a =

0



 

r b

 

a =

0

(2. 22)

- 16 -

 

  







1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1             



 











ab

b

a

b a

b a

b a

u

u

u

u

u

u

u uu

u u

uu

u

1 1 1 2 2 2 2 2 2   

  





b a



ba



ab



a b a b

a b

a b

a b

u

Para facilitar a manipulação algébrica, estão previstas na álgebra geométrica as seguintes involuções, em que

u

_e

v

_{representam multivectores genéricos homogéneos:}

 Involução de grau

 

r r r

= 1



r

u

u

u

(2.29)  Reversão o

 

r 2 r 2 r r

= 1

r 



u

u

u

(2.30) Note-se que:





~

vu

v u







uv

vu

(2.31)

P

a b

Figura 8 – O plano a azul representa o lugar geométrico dos afixos dos vectores

r

_{tais que}

 

r - b a =0



. Na recta a verde residem todos os possíveis afixos dos vectores

r

_{tais que}

 

r - b



a =0

.

(2. 27)

- 17 -

O reverso do produto de vectores será:





~

...



...

abcd k

k dcba

(2.32)  Conjugação de Clifford





~ r r

=

r _



r _



r _



r _

u

u

u

u

u

u

(2.33) Note-se que: vu uv  Dual de Clifford

Dado um multivector genérico

u

_{define-se o correspondente dual de Clifford como o novo} multivector

v

tal que:

= I

v u

onde I se refere ao pseudoescalar da álgebra em questão.

O Pseudoescalar I refere-se ao elemento da álgebra com de grau mais elevado. Em espaços com dimensão

 

r

ímpar o pseudoescalar comuta com todos os multivectores. Em espaços de dimensão par, I anti-comuta com os multivectores de grau ímpar e comuta com os multivectores de grau par:

 

 1

1



 

A

r n

A

r r

I

I

(2.35) Contudo a maior utilidade do pseudoescalar é a sua capacidade de fazer uma rápida passagem do produto exterior para o interno:

 



 

 



 

 

_{ }

 





 





1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

2

  





 



 





 

 

A

A

A

A

A

A

A

A

n r r r r n r n r r r r r r

a

I

a I

Ia

a I

aI

a

a I

a

I

(2.36) Mais genericamente dado dois multivectores

A

_r

e

B

s

com

r

 

s

n

vem que:

- 18 -

 

_{ }       













A B

A B

A B

A B

A

B

r s r s r n s r s n r s r s r s r s

I

I

I

I

I

(2.37)

2.1.1 Caracterização da sua Estrutura Algébrica e Axiomática

Esta secção vem dar consistência aos traços gerais da álgebra geométrica que se delinearam na secção anterior, reforçando a sua estrutura axiomática que, como veremos, muito se aproxima da álgebra dos escalares.

Ao elemento genérico, u , desta álgebra, dá-se o nome de multivector. Este é um elemento híbrido, que resulta da soma graduada (



_{) de elementos de classes diferentes. As diferentes} classes constituem os subespaços da álgebra geométrica, e diferenciam-se pelo grau

k

que lhe está associado.

Uma representação esquemática da dimensão dos vários subespaços, com o aumento gradual do espaço, revela uma estrutura simétrica que forma o Triângulo de Pascal:

Cada subespaço tem uma determinada dimensão que depende do grau

k

do subespaço em questão e da dimensão n da álgebra geométrica onde está a ser definido:

 

dim

  

 

 

k n

n

C

k

l

A dimensão total da álgebra num determinado espaço, ou seja o número de elementos linearmente independentes que compõe o conjunto dos vários subespaços, é dado por:

 

 

 

0 0

dim

dim

dim

 

 

 





_{ }



_{ }

 

 



n



n k k n n n k k

n

n

C

C

C

k

k

l

l

l

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . .

(2.38) (2.39)

- 19 -

Um multivector, que apenas resulte do produto exterior de vectores designa-se de lâmina. Um escalar e um vector podem no entanto ser consideradas lâminas de grau

k

= 0 e 1 respectivamente. As restantes lâminas têm graus correspondentes ao número de vectores (linearmente independentes) que formam o produto exterior:

2 3 4

lâmina 2

lâmina 3

d

lâmina 4



 





 









  



 



a b = ab

a b c = abc

a b c d = abc

Bivector Trivector Quadrivector

…….

(2.40) As lâminas representam-se com letra maiúscula a negrito, constituindo excepção os vectores que são representados com letra minúscula a negrito e os escalares que se representam com letras gregas.

A lâmina da álgebra com maior grau possível designa-se pseudoescalar e equivale ao elemento representado na equação seguinte por

n

u

. Representa-se por I para se diferenciar do número imaginário i .

C

_n n 0 1 2 n

=







...









u

u

u

u

u

l

subespaços de um multivector

u

Representa-se por k

u

a projecção de u em relação ao grau

k

, ou seja, a dimensão do subespaço

k n



. Para efeitos de simplicação assume-se

0



u

u

. Se

k



u

u

o multivector diz-se homogéneo, já que resulta de uma única lâmina. Um multivector pode ainda ser decomposto na soma da sua parte par



u

com a impar 

u

:

=







u

u

u

(2.41) Por parte par entende-se a soma graduada de todas as lâminas de índice par. Analogamente a parte ímpar refere-se à soma graduada das lâminas de índice ímpar.

Um multivector em que

=



u

u

diz-se par e será impar se

=



u

u

.

Embora não se aprofunde neste tese, a decomposição de um multivector na sua parte impar e par, tal é importante, uma vez que a parte par gera por si só uma álgebra, enquanto que a parte ímpar não.

O produto interno de um vector por uma lâmina de grau k superior a 1, assume propriedades especiais e por essa razão é designado de contracção:

- 20 -



 



 

k k 1 k k k k

1

1

1

2





 

 

a U

aU

U a

U a

(2.42) Mais à frente abordam-se as contracções com maior profundidade.

O produto exterior de um vector por uma lâmina de qualquer grau vem dado por:



 



 

k k k k k k

1

₁

₁

2





 

 



a U

aU

U a

U

a

(2.43) Considerando a álgebra

C

l

de dimensão arbitrária e sendo

A

,

B

e

C

multivectores que lhe pertencem, podemos estabelecer os seguintes axiomas:

Axioma 1: A álgebra

C

l

é fechada sobre a adição, ou seja, para quaisquer dois multivectores

C

,



A B

l

existe um único multivector

C

tal que

A B C

 

(2.44)

Axioma 2: A álgebra

C

l

é fechada sobre a multiplicação geométrica, ou seja, para quaisquer dois multivectores

A B

,



C

l

existe um único multivector D tal que

AB D



(2.45)

O axioma 1 conjuntamente com o axioma 2 permitem que a álgebra geométrica seja considerada um s istema algebricamente fechado.

Axioma 3: A adição de multivectores é comutativa:

  

A B B A

(2.46)

Axioma 4: A adição de multivectores é associativa:



A B





 

C A+ B C







(2.47)

Axioma 5: O produto geométrico de multivectores é associativo:

 

AB C A B C









(2.48)

Axioma 6: O produto geométrico de multivectores é distributivo à direita e à esquerda:



















A B C

AB AC

B C A BA +CA

(2.49)

Axioma 7: Existe um único multivector

0



C

l

(identidade da adição), tal que:

0

0

 



A

A =

A

_(2.50)

- 21 -

IA



A

(2.51)

Axioma 9: Cada multivector A _{possui um único} -A_{, tal que:}

A

 

 

A



0

= A

 

 

A

(2.52)

Axioma 10: Apesar de ser uma propriedade útil para efeitos de manipulação algébrica, apenas

alguns multivectores apresentam um inverso denotado

A

1



1

A

, tal que:

A A

1



1

(2.53)

Axioma 11: A divisão à esquerda e à direita de um multivector

B

_{por um multivector}

A

(assumindo que existe

A

1) não são equivalentes, excepto quando

A

1 e

B

comutem. Assim no caso geral vem:

1

1

1

1



_

_



_

_

B

A B

B BA

B

A

A

A

_(2.54)

Axioma 12: O conjunto de escalares da álgebra geométrica pertence ao corpo dos números reais. Axioma 13: A multiplicação de um multivector por um escalar é comutativa:



A = A



(2.55)

Axioma 14: Por cada vector não nulo existe um único escalar de posição

a

2, tal que:

2 2

_

_

₀

a

a

(2.56)

Axioma 15: Todos os vectores não nulos

a



C

l

existe um único vector

a

1



C

l

(inverso da multiplicação), tal que:

1

_I

1



_{ }



aa

a

a

_(2.57) onde 1 2 

_

a

a

a

_(2.58)

Axioma 16: O produto exterior de um vector genérico a pela lâmina da álgebra com maior grau possível é zero:

a

u

n= 0 _(2.59)

2.1.2 A Operação de Contracção

A contracção em álgebra geométrica é, num caso particular, uma operação que surge no produto geométrico de um vector por um bivector (contracção à esquerda) ou de um bivector por um vector