U
NIVERSIDADE
F
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G
OIÁS
I
NSTITUTO DE
M
ATEMÁTICA E
E
STATÍSTICA
A
DERVAL
A
LVES DOS
S
ANTOS
Métrica Produto Torcido e Variedades
de Curvatura Negativa
Goiânia 2015
A
DERVAL
A
LVES DOS
S
ANTOS
Métrica Produto Torcido e Variedades
de Curvatura Negativa
Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de concentração: Geometria.
Orientador: Prof. Maurício Donizetti Pieterzack
Goiânia 2015
Ficha catalográfica elaborada automaticamente
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a), sob orientação do Sibi/UFG.
Santos, Aderval Alves dos
Métrica Produto Torcido e Variedades de Curvatura Negativa [manuscrito] / Aderval Alves dos Santos. - 2015.
xcv, 95 f.
Orientador: Prof. Maurício Donizetti Pieterzack.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística (IME) , Programa de Pós-Graduação em Matemática, Goiânia, 2015.
Bibliografia.
Inclui símbolos, lista de figuras.
1. Produto torcido. 2. Produto torcido múltiplo. 3. Conformemente flat. 4. Curvatura negativa. I. Pieterzack, Maurício Donizetti, orient. II. Título.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a).
Aderval Alves dos Santos
Estudou sempre em escola pública e graduou-se em Licenciatura Plena em Matemática na UFG - Universidade Federal de Goiás Campus de Rialma. Durante sua graduação, foi monitor de cálculo, foi professor efetivo de matemática na Secretária Estadual de Educação do Estado de Goiás, lotado na cidade de Jaraguá durante oitos anos. É professor efetivo do Instituto Federal Goiano, Campus de Urutaí. O mestrado foi bolsista do CNPq.
Agradecimentos
Agradeço a DEUS Pai nosso que estais no Céu e em toda parte, aqui cheguei por ser essa a tua vontade. Por me guiar, por me iluminar e por proporcionar a oportunidade de conquistar meus sonhos. Obrigado. Que sejamos sempre dignos de merecer tua bondade e teu amor.
Agradeço aos meus pais: Adeli Alves dos Santos (In memoriam) que faleceu quando eu tinha 9 anos, sempre colocou na minha cabeça que o caminho para crescer na vida era estudando, respeitando o próximo e continuo levando seus ensinamentos para sempre, Alice Alves dos Santos mulher guerreira cuidou de três filhos pequenos foi pai e mãe ao mesmo tempo. Nunca sonhamos sozinhos. Ao voltar no tempo, recordo-me dos prirecordo-meiros passos na escola. A nossa ansiedade se confundia com alegria. Vocês torciam com cada momento que eu passava, até mesmo aqueles rabiscos indecifráveis que vocês insistiam em dizer entendiam, somente para não me abalar. Hoje os rabiscos são outros, mas outras também serão as oportunidades que virão com esse mundo. Gostaria de encontrar as palavras certas para agradecê-los, mas me falta coragem para tentar acertá-las. Amo muito vocês.
Agradeço aos mestres especialmente meu orientador Maurício Donizetti Pieter-zack pelos grandes ensinamentos durante esse período juntos, pela paciência e sempre disponível em me atender, é um paizão! E os professores de graduação que confiaram em mim pela segunda vez Ronaldo Antônio e José Hilário. Quando entramos num curso como esse, estávamos ansiosos por saber. Olhávamos nossos mestres e nos espelhávamos neles, querendo saber como eles. Nossa ânsia por conhecimento foi saciada com altas doses de conhecimento. Muitas palavras novas foram incorporadas ao nosso vocabulá-rio. Muitos hábitos novos foram incorporados ao nosso comportamento e, agora, a nossa mente cheia de idéias novas. Obrigado! Hoje somos melhores. Estamos mais perto do que queremos ser e o apoio dos mestres foi essencial.
Agradeço em especial a minha Amada esposa Ellen Cristina e meus filhos Emily e Lucas Adeli que dividiram comigo muitas vezes as minhas aflições, medos, ausência com árduo tempo de dedicação aos estudos e sempre me apoiaram e me suportoram mesmo eu sendo bem chato as vezes, e me ofereceram seu amor sincero, e além do título de mestre, vejo que tenho uma companheira para a vida toda e filhos lindos que veram em
seu pai que o estudo sempre vale apena, quero deixar isso como ensinamento recebido de meus pais mesmos eles não tendo aportinidade de estudar com eu.
Agradeço aos parentes pela eterna presença, carinho, compreensão e renuncia que fizeram ao decorrer de minha vida demonstrando todo o seu amor, enfim a todos que direta ou indiretamente participaram comigo desta jornada.
Agradeço a todos os meus colegas de mestrado, Adermir, Carlos Antônio, Fernando, Jeferson, Marcos, Marcelo, Paula, Pedro e Vando foram dois anos em que crescemos muito, quantas discussões, brigas, problemas, mutirões para estudarmos juntos, sempre houve cooperação na nossa turma, um ajudando ao outro, foi muito bom conviver com vocês durante esse período.
Agradeço a todos os professores e funcionários do Colégio Diógenes, onde cresci profissionalmente como um educador, que me apoiaram nesta jornada especialmente Isabella Mundim, Viviane Leite, Valdeir, Jubirá, João Carlos, Ilvan, Célia, Elizabete, Maxelene e Vardelene.
Agradeço a todos os amigos que sempre me apoiaram e torceram pelo meu sucesso nessa caminhada.
Agrabedeço a UFG - Universidade Federal de Goiás - em especial a todos os funcionários do Instituto de Matemática e Estatística, por sempre estarem prontos a atender, e resolver os problemas burocráticos que agente sempre tem.
A função real de qualquer matemático, é ensinar o domínio tal que a sua imagem, seja o limite que tende ao infinito de conhecimentos.
Resumo
Santos, Aderval A.. Métrica Produto Torcido e Variedades de Curvatura Negativa. Goiânia, 2015.95p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás.
Este trabalho, baseado no artigo de M. Brozos-Vázquez, E. Garcia-Río e R. Vázquez-Lorenzo, tem como objetivo construir exemplos de variedades localmente conformemente flat completas de curvatura negativa por meio de produto torcido e estrutura de produto torcido mútiplo. Os produtos torcidos foram introduzidos primeiramente por Bishop e O’Neill, que modificaram a estrutura do produto Riemanniano na obtenção de novas variedades de curvatura negativa.
Palavras–chave
Produto torcido, produto torcido múltiplo, conformemente flat e curvatura nega-tiva.
Abstract
Santos, Aderval A.. Warped Product Metric and Manifolds of Negative curvature. Goiânia, 2015. 95p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás.
This work, based on the articles M. Brozos Vazquez, E. Garcia-Rio and R. Vazquez-Lorenzo whose goal is to build examples of manifolds locally conformally flat full of negative curvature through warped product and multiply warped product structure. The warped product was first introduced by Bishop and O’Neill, who modified the structure of the Riemannian product in obtaining new manifolds of negative curvature.
Keywords
Warped product, multiply warped product, conformally flat and negative curva-ture.
Sumário
Lista de Figuras 11 1 Noções Básicas 15 1.1 Variedades Diferenciáveis 15 1.2 Métricas Riemannianas 20 1.3 Conexões 22 1.4 Curvaturas 241.5 Tensores em Variedades Riemannianas 25
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 27
2 Variedade Produto Torcido 34
3 Produtos Torcidos Múltiplos Localmente Conformemente Flat 52
3.1 Espaços Torcidos Múltiplo Localmente Conformemente Flat Com Base de
Di-mensão Pelo Menos 2. 55
3.2 Espaços Torcidos Múltiplos com Base Unidimensional 83
3.3 Exemplos de Variedades Completa Localmente Conformemente Flat de
Curva-tura Não Positiva 86
Lista de Figuras
1.1 Mudança de Coordenada 16
1.2 Expressão deϕno sistema de Coordenadas 17
1.3 Espaço Tangente 18
Introdução
Os produtos torcidos têm sido uma ferramenta poderosa para a construção de variedades de curvatura não positiva (ver [10]) .
Estruturas localmente conformemente flat são generalizações de sistemas de coordenadas isotérmicas, presentes nas variedades bi-dimensional. Entretanto, nem toda variedade Riemanniana de dimensão superior admite esse tipo de estrutura, mas existem condições necessárias e suficientes para garantir que tal estrutura exista. Se M é uma variedade Riemanniana bi-dimensional, então ela é localmente conformemente flat. Se dim M = 3, M é localmente conformemente flat se, e somente se, o tensor de Schouten é do tipo Codazzi. Por outro lado, se dim M ≥ 4, a nulidade do tensor de Weyl é uma condição necessária e suficiente para que M admita tal estrutura (ver [16]).
Além disso, embora a estrutura local de tensores do tipo Codazzi ainda não esteja completamente entendida, a existência de um tal tensor leva, em muitos casos, a decomposições da variedade produto torcido (ver [11] e [12]).
Obter uma classificação para as variedade localmente conformemente flat é difícil, sendo ainda um problema em aberto. Alguns resultados parciais são conhecidos. Uma variedade localmente conformemente flat e simplesmente conexa deve ser conforme a uma esfera euclidiana (ver [13] e [14]). Variedades localmente simétricas que são localmente conformemente flat são as de curvatura seccional constante ou localmente isométricas a um produto de dois espaços de curvatura seccional constante com sinais contrários (ver [8] e [15]).
O conceito de produto torcido entre duas variedades Riemannianas foi primei-ramente introduzido por Bishop e O’Neill, no artigo "Manifolds of negative curvature” [5], onde os autores apresentam a construção de uma deformação do produto direto entre duas variedades Riemannianas - o produto torcido - a fim de obter novos exemplos de va-riedades Riemannianas com curvatura negativa. Em geometria Riemanniana, vava-riedades produtos torcido e suas formas genéricas tem sido usadas para construir novos exemplos com interessantes propriedades de curvatura desde então.
Variedades do tipo produto torcido são frequentemente construídas de modo a satisfazerem certas condições ou restrições geométricas específicas - por exemplo, controle sobre as curvaturas seccional, de Ricci ou escalar.
13
Além disso, atualmente, vem sendo bastante estudados resultados da teoria de imersão em espaços produto torcido. Uma noção muito importante é a de imersão-produto torcida que aparece naturalmente em vários estudos recentes relacionados a aspectos geométricos diferentes. Por exemplo, ela aparece no estudo de superfícies de multi-rotação, em problemas de decomposição, em desigualdades geométricas e em problemas de imersões mínimas.
Recordamos a definição de um produto torcido de duas variedades Riemannia-nas.
Sejam (B, gB) e (F, gF) variedades Riemannianas. Se f : B → (0, ∞) é uma função
diferenciável então o produto torcido, B ×fF, é a variedade produto B × F munida com a
métrica g = gB+ f2gF. Mais precisamente
g= π∗(gB) + ( f ◦ π)2σ∗(gF)
onde π : B × F → B e σ : B × F → F são as projeções usuais e ∗ denota o operador pull-back atuando em tensores. Aqui, (B, gB) é chamada base, (F, gF) é chamada fibra e f é
chamada função torção.
Nosso objetivo, portanto, é investigar a existência de estruturas localmente conformemente flat em variedades equipadas com uma estrutura de produto torcido, ou mais geralmente em espaços torcidos múltiplos, como sendo uma generalização natural dos produtos torcidos (ver por exemplo [11]).
Esta dissertação está organizada da seguinte forma. No Capítulo 1, estabelece-mos a notação a ser usada e são apresentados os resultados básicos da teoria de variedades Riemannianas que faremos uso no desenvolvimento dos capítulos seguintes. Toda a teo-ria básica pode ser encontrada em textos clássicos de geometteo-ria Riemanniana, como por exemplo os livros de do Carmo [2] e O’Neill [17], entre outros.
No Capítulo 2, definimos produtos torcidos múltiplos e estabelecemos as rela-ções geométricas (métrica, conexão e curvatura) em um produto torcido múltiplo, em termos das correspondentes informações em sua base, fibras e funções torção.
Espaços torcidos múltiplos localmente conformemente flat são investigados no Capítulo 3. Nossa abordagem se baseia no fato que qualquer espaço torcido múltiplo está na classe conforme de um produto torcido apropriado, onde obtemos várias implicações sobre a geometria das fibras e a da base do espaço torcido múltiplo. Neste capítulo apresentamos a definição de Produto Kulkarni-Nomizu que nos auxiliará para definir o Tensor de Weyl. Além disso, vamos mostrar o seguinte resultado: se M = B ×f1F1×
· · · ×fkFké um espaço torcido mútiplo localmente conformemente flat, então
14
(ii) (Fi, gi) é um espaço de curvatura seccional constante, para todo i = 1, . . . , k, desde
que dim Fi≥ 2.
Este resultado será de grande ajuda para que possamos garantir que uma varie-dade produto torcido múltiplo seja localmente conformemente flat.
Embora as fibras de qualquer espaço torcido múltiplo localmente conformemente flat sejam de curvatura constante, esta condição necessária não é suficiente para implicar em que elas sejam localmente conformemente flat, uma vez que isso depende fortemente das funções torção. Como consequência, vamos mostrar a existência de algumas limita-ções no número de fibras de um espaço torcido múltiplo.
Na seção 3.1 demonstramos o Teorema3.14, que é o resultado principal deste capítulo, onde assumimos que a base tem dimensão maior ou igual a 2. No entanto, as implicações do Teorema 3.14se tornam mais simples se a base é localmente euclidiana. Além disso, espaços torcidos múltiplos localmente conformemente flat podem agora ser facilmente construidos, visto que qualquer função torção de um espaço torcido múltiplo localmente conformente flat M = Us×f1F1× · · · ×fkFk é completamente determindada por escalares ai, ci∈ R e vetores ~bi= (bi1, . . . , bis) ∈ Rs.
Vamos considerar também a condição mais fraca da base ser unidimensional. Uma variedade produto torcido múltiplo M = B ×f1F1× · · · ×fkFké completa se,
e somente se, a base e todas as fibras são. Em tal caso, a curvatura seccional é não positiva se, e somente se, as condições são satisfeitas:
(a) KB≤ 0 e KFi≤ 0.
(b) As funções torção são convexas, isto é, Hfi é semidefinida positiva.
(c) h∇ fi, ∇ fji ≥ 0.
No caso unidimensional (a) pode ser omitido.
Portanto, os espaços torcidos múltiplos com o espaço hiperbólico sendo a base, são de interesse fundamental, oferecendo alguns novos exemplos, escolhendo-se as fun-ções torção apropriadas. Vamos concluir nosso trabalho apresentando esses exemplos.
CAPÍTULO
1
Noções Básicas
Neste capítulo vamos estabelecer a notação a ser usada e recordar alguns concei-tos e faconcei-tos básicos, necessários ao desenvolvimento dos capítulos seguintes. Sendo assim, a prova de alguns resultados não será feita, mas indicaremos as referências para obtê-las.
1.1
Variedades Diferenciáveis
Começamos definindo variedades diferenciáveis, que é fundamental para o de-senvolvimento da geometria Riemanniana.
Definição 1.1 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma família de aplicações biunívocas xα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de Rn em M tais
que: (1) [
α
xα(Uα) = M.
(2) Para todo par α, β, com xα(Uα) ∩ xβ Uβ = W 6= ∅, os conjuntos x −1 α (W ) e
x−1
β (W ) são abertos em R
ne as aplicaçõesx−1
β ◦ xαsão diferenciáveis (figura1.1).
(3) A família {(Uα, xα)} é máxima relativamente às condições (1) e (2).
O par (Uα, xα) com p ∈ xα(Uα) é chamado uma parametrização (ou sistema de
coordenadas) de M em p; xα(Uα) é então chamada uma vizinhança coordenada em p.
Uma família {(Uα, xα)} satisfazendo (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável em M.
Observação 1.2 Uma estrutura diferenciável em um conjunto M induz de maneira natu-ral uma topologia em M. Basta definir que A⊂ M é um aberto de M se x−1α (A ∩ xα(Uα))
é um aberto de Rn para todo α . É imediato verificar que M e o vazio são abertos, que a união de abertos é aberto e que a intersecção finita de abertos é aberto. Observe que a topologia é definida de tal modo que os conjuntos xα(Uα) são abertos e as aplicações xα são contínuas.
1.1 Variedades Diferenciáveis 16
Figura 1.1: Mudança de Coordenada
Em geral a topologia natural de uma variedade pode ser bastante estranha, por isso vamos exigir que as variedades diferenciáveis satisfaçam, além da Definição1.1, as seguintes condições:
Axioma 1.3 (Hausdorff) Dados dois pontos distintos em M existem vizinhanças destes dois pontos que não se intersectam.
Axioma 1.4 (Base Enumerável) M pode ser coberta por uma quantidade enumerável de vizinhanças coordenadas (diz-se então que M tem base enumerável).
A partir de agora sempre que falarmos de variedades diferenciáveis estaremos considerando, sem maiores comentários que elas satisfazem estes dois axiomas.
Definição 1.5 Sejam Mn1e M2mvariedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M1→ M2é
diferenciável em p ∈ M1, se dada um parametrização y:V ⊂ Rm→ M2 em ϕ(p) existe
uma parametrização x:U ⊂ Rn→ M1 em p tal que ϕ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplicação
y−1◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn→ Rm (1-1)
é diferenciável emx−1(p). ϕ é diferenciável em um aberto de M1se é diferenciável em
to-dos os pontos deste aberto. Em particular, isso define o conceito de funções diferenciáveis f : M → R sobre a variedade M, onde nesse caso R carrega a parametrização padrão (identidade). O conjunto das funções de M diferenciáveis em p é denotado por
D
(M).1.1 Variedades Diferenciáveis 17
Decorre da condição (2) da Definição 1.1 que esta definição independente da escolha das parametrizações. A aplicação dada na equação (1-1) é chamada expressão de ϕ nas parametrizações x e y. M1 M2 x y
y
-1
x
p (p) U V x(U) (x(U)) y(V) Figura 1.2: Expressão de ϕ no sistema de Coordenadas
Com o objetivo de estender os métodos do Cálculo Diferencial para varie-dades, iremos estender às variedades a noção de vetor tangente. Vamos denotar por
D
= { f : M → R, diferenciáveis} o conjunto das funções diferenciáveis em p ∈ M. Definição 1.6 Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α : (−ε, ε) → M é chamada uma curva (diferenciável) em M. Suponha α(0) = p ∈ M. O vetor tangente à curva α em t = 0 é a função α0(0) :D
→ R dada porα0(0) f = d( f ◦ α) dt t=0 , f ∈
D
(M).Um vetor tangente em p∈ M é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε) → M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por TpM.
Dada uma parametrização x: U ⊂ Rn→ Mnem p = x(0), podemos exprimir a
função f e a curva α nesta parametrização por
f◦ x(q) = f (x1, . . . , xn), q= (x1, . . . , xn) ∈ U,
e
1.1 Variedades Diferenciáveis 18
respectivamente. Portanto, restrigindo f a α, obteremos
α0(0) f = d dt( f ◦ α) t=0 = d dt f(x1(t), . . . , xn(t)) t=0 = n
∑
i=1 x0i(0) ∂ f ∂xi 0 =∑
i x0i(0) ∂ ∂xi 0 ! f.Em outras palavras, o vetor α0(0) pode ser expresso na parametrização x por
α0(0) =
∑
i x0i(0) ∂ ∂xi 0 . (1-2) Observe que ∂ ∂xi 0é o vetor tangente em p à "curva coordenada"(Fig1.3):
xi → x(0, . . . , 0, xi, 0, . . . , 0). xn xi q x(q) x
Figura 1.3: Espaço Tangente
A expressão (1-2) mostra que o vetor tangente a uma curva α em p depende apenas das derivadas de α em um sistema de coordenadas. Decorre também de (1-2) que o conjunto TpM, com as operações usuais de funções, forma um espaço vetorial de
dimensão n, e que a escolha de uma parametrização x : U → M determina uma base associada ∂ ∂x1 0 , . . . , ∂ ∂xn 0
em TpM (Fig1.3). A estrutura linear em TpMassim
definida não depende da parametrização x. O espaço vetorial TpM é chamado o espaço
tangente de M em p.
Definição 1.7 Seja ϕ : M1→ M2 uma aplicação diferenciável, e sejam p, q dois pontos
fixados com ϕ(p) = q, então a diferencial de ϕ em p é definida como sendo a aplicação dϕ|p: TpM1→ TqM2
1.1 Variedades Diferenciáveis 19
cujo valor em v∈ TpM1é dado por( dϕ|pv) f := v( f ◦ ϕ)(p) para cada f ∈
D
(M2), queimplica automaticamente a relação f◦ ϕ ∈
D
(M1)0 - M1 M2 v p (p) dp(v)
Figura 1.4: Aplicação Diferenciável
Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M1 → M2 é
um difeomorfismo se ela é diferenciável, biunívoca, sobrejetiva e sua inversa ϕ−1 é diferenciável. ϕ é um difeomorfismo local em p ∈ M se existem vizinhanças U de p e V de ϕ(p) tais que ϕ : U → V é um difeomorfismo.
A noção de difeomorfismo é a noção natural de equivalência entre variedades diferenciáveis. É uma consequência imediata do teorema da fun-ção inversa que se ϕ : M1 → M2 é um difeomorfismo, então dϕp : TpM1 →
Tϕ( p)M2 é um isomorfismo para todo p ∈ M1, em particular as dimensões de
M1 e M2 são iguais. Uma recíproca local deste fato é o seguinte teorema.
Proposição 1.8 Seja ϕ : Mn1 → Mn
2 uma aplicação diferenciável e seja p ∈ M1 tal que
dϕp: TpM1→ Tϕ( p)M2é um isomorfismo, então ϕ é um difeomorfismo local em p.
Demonstração. Ver [1].
Definição 1.9 Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável ϕ : M → N é uma imersão se dϕp: TpM→ Tϕ( p)N é injetiva∀p ∈ M. Se além disso, ϕ é
um homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida por N, diz-se que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M ,→ N é um mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de N.
Observação 1.10 Se ϕ : Mm→ Nné uma imersão, então m≤ n; e a diferença é chamada
a codimensão da imersão ϕ.
Definição 1.11 Seja M uma variedade diferenciável. Diz-se que M é orientável se M admite uma estrutura diferenciável{(Uα, xα)} tal que:
1.2 Métricas Riemannianas 20
(i) para todo par α, β, com xα(Uα) ∩ xβ Uβ = W 6= ∅, a diferencial da mudança de
coordenadasxβ◦ x−1α tem determinante positivo. Caso contrário, diz-se que M é não-orientável.
Definição 1.12 Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma cor-respondência que para cada ponto p∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM. Considerando
uma parametrizaçãox : U ⊂ Rn→ M é possível escrever
X(p) = n
∑
i=1 ai(p) ∂ ∂xi ,onde cada ai: U → R é uma função em U e
∂ ∂xi
é uma base associada ax, i = 1, . . . n . É claro que X é diferenciável se, e somente se, as funções ai são diferenciáveis para
alguma (e, portanto, para qualquer) parametrização.
Lema 1.13 Sejam X e Y campos diferenciáveis de vetores em uma variedade dife-renciável M, então existe um único campo vetorial Z tal que, para toda f ∈
D
, Z f = (XY −Y Z) f .Demonstração. Ver [1].
O campo vetorial Z dado pelo Lema1.13 é chamado o colchete de X e Y , usu-almente denotado por [X ,Y ] = XY − Y X . Observamos que Z é diferenciável, pois é a di-ferença de campos diferenciáveis. A operação colchete possui as seguintes propriedades:
Proposição 1.14 Se X , Y e Z são campos diferenciáveis em M, a, b são números reais, e f , g são funções diferenciáveis, então:
(a) [X ,Y ] = −[Y, X ],
(b) [aX + bY, Z] = a[X , Z] + b[Y, Z], (c) [[X ,Y ], Z] + [[Y, Z], X ] + [[Z, X ],Y ] = 0, (d) [ f X , gY ] = f g[X ,Y ] + f X (g)Y − gY ( f )X . Demonstração. Ver [1].
1.2
Métricas Riemannianas
Definição 1.15 Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma varie-dade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um pro-duto interno h , ip (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço
1.2 Métricas Riemannianas 21
tangente TpM, que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Se x : U ⊂ Rn → M
é um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x1, x2, . . . , xn) = q ∈ x(U )
e ∂ ∂xi (q) = dx(0, . . . , 1, . . . , 0) então ∂ ∂xi (q), ∂ ∂xj (q) q = gi j(x1, . . . , xn) é uma função diferenciável em U .
Observamos que esta definição não depende da escolha do sistema de coorde-nadas. As funções gi j são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de
coordenadas x : U ⊂ Rn→ M. Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Rie-manniana chama-se uma variedade RieRie-manniana.
A seguir vamos estabelecer uma noção de equivalência entre duas variedades Riemannianas.
Definição 1.16 Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M → N (isto é, f é uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) é chamado um isometria se:
hu, vip=hd fp(u), d fp(v)i
f(p) , para todo p ∈ M, u, v ∈ TpM. (1-3)
Definição 1.17 Sejam M e N variedades Riemannianas. Uma aplicação diferenciável f : M → N é uma isometria local em p ∈ M se existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que f : U → f (U ) é um difeomorfismo satisfazendo a equação (1-3)
Exemplo 1.18 Variedades imersas. Seja f : Mn→ Nn+k uma imersão. Se N tem uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M por hu, vip= hd fp(u), d fp(v)i f(p) , u, v ∈ TpM. Como d fp é injetiva, h , ip é positivo definido.
As demais condições da Definição 1.15 são facilmente verificadas. A métrica de M é chamada então a métrica induzida por f , e f é uma imersão isométrica.
Mostraremos agora como uma métrica Riemanniana pode ser usada para calcular comprimentos de curvas.
Definição 1.19 Uma aplicação diferenciável c : I → M de um intervalo aberto I ⊂ R em uma variedade diferenciável M chama-se uma curva (parametrizada).
Definição 1.20 Um campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M é uma aplicação que a cada t∈ I associa um vetor tangente V (t) ∈ Tc(t)M. Diz-se que V é diferenciável se para toda a função diferenciável f em M, a função t→ V (t) f é uma função diferenciável em I.
1.3 Conexões 22
Proposição 1.21 Uma variedade diferenciável M (de Hausdorff e com base enumerável) possui uma métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [1].
Definição 1.22 Seja M uma variedade diferenciável. Duas métricas Riemannianas g e g em M são conformes se existe um função positiva µ: M → R tal que g(X,Y ) = µg(X,Y ), para todo par X, Y ∈ X(M).
1.3
Conexões
Generalizando agora a noção de derivada covariante de uma superfície, vamos definir a Conexão afim e a conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana). Denotaremos por X(M) o conjunto de todos os campos de vetores de classe C∞em M e por
D
(M) o aneldas funções reais de classe C∞definidas em M.
Definição 1.23 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : X(M) × X(M) → X(M)
que se indica por(X ,Y )→ ∇∇ XY e que satifaz as seguintes propriedades:
(i) ∇f X+gYZ= f ∇XZ+ g∇YZ,
(ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY+ ∇XZ,
(iii) ∇X( f Y ) = f ∇XY+ X ( f )Y ,
onde X , Y , Z ∈ X(M) e f , g ∈
D
(M).Esta definição não é tão transparente quanto a de estrutura Riemanniana. A seguinte proposição, no entanto, deverá esclarecer um pouco a situação.
Proposição 1.24 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva diferenciável c: I → M um outro campo vetorial DV
dt ao longo de c, denominado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:
(a) D dt(V +W ) = DV dt + DW dt . (b) D dt( f V ) = d f dtV + f DV
dt , onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma função diferenciável em I.
(c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M), isto é, V (t) = Y (c(t)), então
DV
1.3 Conexões 23
Demonstração. Ver [1]. 2
A noção de paralelismo surge agora de maneira natural.
Definição 1.25 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um campo vetorial V ao longo de uma curva c: I → M é chamado paralelo quando DV
dt = 0, para todo t∈ I.
Definição 1.26 Seja M uma variedade difernciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica Riemanniana h , i. A conexão é dita compatível com a métrica h , i, quando para toda curva diferenciável c é quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P0 ao longo de c, tivermoshP , P0i = constante.
A Definição 1.26 é justificada pela proposição seguinte que mostra que se ∇ é compatível com h , i, então podemos diferenciar o produto interno pela "regra do produto" usual.
Proposição 1.27 Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão ∇ em M é compa-tível com a métrica se, e somente se, para todo par V e W de campos de vetores ao longo da curva diferenciável c: I → M tem-se
d dthV,W i = DV dt ,W + V,DW dt , t ∈ I. Demonstração. Ver [1]. 2
Corolário 1.28 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com a métrica se, e somente se,
XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi, X, Y, Z, ∈ X(M).
Demonstração. Ver [1]. 2
Definição 1.29 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita simétrica quando
∇XY− ∇YX = [X ,Y ] para todo X , Y ∈ X(M) .
Podemos agora enunciar o teorema fundamental desta seção.
Teorema 1.30 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições:
1.4 Curvaturas 24
(b) ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [1]. 2
Escrevendo em um sistema de coordenadas (U, x), é conveniente dizer que as funções Γki j definidas em U por ∇XiXj=
∑
k
Γki jXk são os coeficientes da conexão ∇ em U
ou os símbolos de Christoffel da conexão e satisfazem a seguinte equação:
∑
l Γli j glk= 1 2 ∂ ∂xi gjk+ ∂ ∂xj gki− ∂ ∂xk gi j onde gi j = hXi, Xji.Como a matriz (gkm) admite inversa (gkm), teremos que, a expresão dos símbolos
de Christoffel são dados por:
Γmi j = 1 2
∑
k ∂ ∂xi gik+ ∂ ∂xj gki− ∂ ∂xk gi j gkm1.4
Curvaturas
Nesta seção apresentaremos uma definição de curvatura que intuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser euclidiana. Definiremos também algumas outras curvaturas especiais, como a de Ricci e a escalar que é um dos principais objetos de estudo deste trabalho.
Definição 1.31 A Curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa a cada par X,Y ∈ X(M) uma aplicação R(X ,Y ) : X(M) −→ X(M) dada por
R(X ,Y )Z = ∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+ ∇[X ,Y ]Z, Z ∈ X(M),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Observe que se M = Rnentão R(X ,Y )Z = 0, ∀ X , Y, Z ∈ X(Rn).
Podemos olhar esta definição em um sistema de coordenadas {xi} em torno de
p∈ M. Como ∂ ∂xi , ∂ ∂xj = 0, temos que R ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ∂ ∂xk =∇∂/∂xj∇∂/∂xi− ∇∂/∂xi∇∂/∂xj ∂ ∂xk ,
1.5 Tensores em Variedades Riemannianas 25
Em um sistema de coordenadas (U, x) em torno de p ∈ M, indicaremos, como de costume, ∂ ∂xi = Xie temos que R(Xi, Xj)Xk=
∑
l Rli jkXl.Assim Rli jk são as componentes da curvatura R em (U, x). Se X =
∑
i uiXi, Y =
∑
j vjXj, Z=∑
kwkXk, obtemos, pela linearidade de R, que:
R(X ,Y )Z =
∑
i, j,k,l
Rli jkuivjwkXl,
onde Rli jk se expressa em termos de Γki j por:
Rsi jk=
∑
l ΓlikΓsjl−∑
l ΓljkΓsil+ ∂ ∂xj Γsik− ∂ ∂xi Γsjk. (1-4)Relacionada com o operador R, está a curvatura seccional que definimos da seguinte maneira.
Definição 1.32 Dado p ∈ M, σ ⊂ TpM um subespaço de dimensão dois, o número real
K(σ) = K(x, y) = (x, y, x, y) |x ∧ y|2 ,
onde{x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado a curvatura seccional de σ em p. Consideramos x = zn um vetor unitário em TpM, tomemos uma base ortogonal
{z1, ..., zn−1} do hiperplano de TpMortogonal a x e consideremos as seguintes médias:
Ricp(x) = 1 n− 1 n−1
∑
i=1 hR(x, zi)x, zii, i = 1, 2, . . . , n − 1 (1-5) K(p) = 1 n n∑
j=1 Ricp(zj) = 1 n(n − 1) n−1∑
i=1 n∑
j=1 hR(zj, zi)zj, zii, j= 1, . . . , n. (1-6)As expressões acima não dependem da escolha das correspondentes bases; elas são chamadas curvatura de Ricci na direção x e curvatura escalar em p, respectivamente.
1.5
Tensores em Variedades Riemannianas
A noção de curvatura é um caso particular da noção de tensor que é um objeto útil em geometria diferencial. Apresentaremos aqui uma rápida introdução ao estudo de
1.5 Tensores em Variedades Riemannianas 26
tensores em uma variedade Riemanniana. A ideia de tensor é uma generalização natural da ideia de campos de vetores e o ponto importante é que os tensores podem ser derivados covariantemente.
Para o que se segue convém observar que X(M) é um módulo sobre
D
(M), isto é, X(M) tem um estrutura linear quando tomamos como "escalares"os elementos deD
(M).Definição 1.33 Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana é um aplicação multilinear
T : X(M) × · · · × X(M) | {z }
r f atores
→
D
(M).Isto quer dizer que, dados Y1, . . . ,Yr ∈ X(M), T (Y1, . . . ,Yr), é uma função diferenciável
em M, e que T é linear em cada argumento, isto é,
T(Y1, . . . , f X + gY, . . . ,Yr) = f T (Y1, . . . , X , . . . ,Yr) + gT (Y1, . . . ,Y, . . . ,Yr),
para todo X , Y ∈ X(M), f , g ∈
D
(M).Um tensor T é um objeto pontual em um sentido que passamos a explicar. Fixe um ponto p ∈ M e seja U uma vizinhança de p em M onde é possível definir campos E1, . . . , En ∈ X(Mn), de modo que em cada q ∈ U , os vetores {Ei(q)}, i = 1, . . . , n,
formam uma base de TpM; diremos, neste caso, que {Ei} é um refencial móvel em U.
Exemplo 1.34 O tensor curvatura
R: X(M) × X(M) × X(M) × X(M) →
D
(M)é definido por
R(X ,Y, Z,W ) = hR(X ,Y )Z,W i, X , Y, Z, W ∈ X(M).
Verificamos que R é um tensor de ordem 4, cujas componentes no referencial
Xi= ∂ ∂xi
associado a sistemas de coordenadas(xi) são
R(Xi, Xj, Xk, Xl) = Ri jkl
Exemplo 1.35 O "tensor métrico" G : X(M) × X(M) →
D
(M) é definido por G(X ,Y ) = hX ,Y i, X , Y ∈ X(M). G é um tensor de ordem 2 e suas componentes no referencial{Xi} são os coeficientes gi j da métrica Riemanniana no sistema de1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 27
Observação 1.36 Por várias razões, convém identificar o campo X ∈ X(M) com o tensor X : X(M) →
D
(M) dado por X (Y ) = hX ,Y i, para todo Y ∈ X(M).É possível estender aos tensores a noção de derivada covariante. Mostremos dentro em pouco que a seguinte definição é bastante natural.
Definição 1.37 Seja T um tensor de ordem r. A diferencial coraviante ∇T de T é um tensor de ordem(r + 1) dada por
∇T (Y1, . . . ,Yr, Z) = Z(T (Y1, . . . ,Yr)) − T (∇ZY1, . . . ,Yr) − . . . − T (Y1, . . . ,Yr−1, ∇ZYr).
Para cada Z ∈ X(M), a derivada covariante ∇ZT de T em relação a Z é um tensor de
ordem r dado por
∇ZT(Y1, . . . ,Yr) = ∇T (Y1, . . . ,Yr, Z).
Exemplo 1.38 A diferencial covariante do tensor métrico é o tensor identicamente zero. Com efeito, para todo X, Y, Z ∈ X(M),
∇G(X ,Y, Z) = ZhX ,Y i − h∇ZX,Y i − hX , ∇ZYi = 0,
pois ∇ é a conexão Riemanniana.
1.6
Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana
Nesta secção serão provados alguns resultados básicos envolvendo o gradiente, o Laplaciano de funções reais de classe C∞definidas em M e, a divergência de campos de
vetores em M.
Definição 1.39 (Referencial Local Móvel) Sejam Mn uma variedade, p∈ M e U uma vizinhaça de p onde é possível definir campos E1, . . . , En ∈ X(M), de modo que em
cada q∈ U os vetores {Ei(q), i = 1, . . . , n} formam uma base de TpM. Diremos, neste
caso, que {Ei, i = 1, . . . , n} é um referencial móvel em U . Se o conjunto de campos
E1, . . . , En ∈ X(M) são dois a dois ortonormais, isto é, formam uma base ortonormal
de TpM para cada q∈ U então dizemos que {Ei, i = 1, . . . , n} é um referencial local
ortonormal.
Definição 1.40 (Gradiente) Seja f : Mn→ R uma função diferenciável. O gradiente de f é o campo vetorial diferenciável ∇ f ∈ X(M), definido sobre M por
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 28
para todo X ∈ X(M).
É imediato, a partir da definição acima, que o gradiente de uma função diferen-ciável é unicamente determinado por (1-7). A existência é assegurada pela proposição a seguir.
Proposição 1.41 Seja f : Mn→ R uma função diferenciável e {e1, . . . , en} um referencial
ortonormal local em uma vizinhança aberta U ⊂ M. Então, em U temos:
∇ f =
n
∑
j=1
ej( f )ej (1-8)
e o segundo membro da igualdade acima independe do referencial ortonormal escolhido. Além disso, quando Mn= Rnpodemos tomar, para 1 ≤ i ≤ n, ei= Ei, o i-ésimo campo
canônico em Rn. Desse modo,
∇ f = n
∑
i=1 Ei( f )Ei= n∑
i=1 ∂ f ∂xi Ei= ∂ f ∂x1 , · · · , ∂ f ∂xn .Portanto, nossa definição de gradiente de uma função generaliza o conceito nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral para funções diferenciável f : Rn→ R.
Demonstração. Ver [2] 2
Proposição 1.42 Se f , g : Mn→ R são funções diferenciáveis, então (a) ∇( f + g) = ∇ f + ∇g.
(b) ∇( f g) = g∇ f + f ∇g.
Demonstração. Ver [2] 2
Proposição 1.43 Seja f : Mn→ R uma função diferenciável. Dados p ∈ M e v ∈ TpM,
seja α : (−ε, ε) → M uma curva diferenciável tal que α(0) = p e α0(0) = v. Então
h∇ f , vip= d dt( f ◦ α)(t) t=0= v( f ) Demonstração. Ver [2] 2
Em um sistema local de coordenadas o campo gradiente pode ser escrito da seguinte forma:
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 29
Proposição 1.44 Se f : M → R é uma função diferenciável e U ⊂ M é uma vizinhança coordenada, com campos coordenadas ∂
∂x1
, · · · , ∂ ∂xn
, então o gradiente de f é dado por
∇ f = n
∑
i, j=1 gi j∂ f ∂xj ∂ ∂xi .Em particular, quando M = Rn tem-se que gi j = δi j, são os coeficientes da métrica
euclidiana e ∇ f = n
∑
i, j=1 δi j ∂ f ∂xj ∂ ∂xi = n∑
i=1 ∂ f ∂xi ∂ ∂xi .Demonstração. Temos que os campos coordenados ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xn formam um referen-cial local em U . Assim, podemos escrever
∇ f = n
∑
i=1 ai ∂ ∂xi . Então, ∂ ∂xi ( f ) = ∂ f ∂xi = ∇ f , ∂ ∂xi = * n∑
j=1 aj∂ f ∂xj , ∂ ∂xi + = ajgji, de maneira que aj= n∑
i=1 gi j∂ f ∂xi , onde [gi j] é a matriz inversa de [gi j]. Portanto,∇ f = n
∑
i=1 ai ∂ ∂xi = n∑
i=1 n∑
j=1 gji∂ f ∂xj ∂ ∂xi . 2Definição 1.45 (Divergente) Seja X um campo vetorial diferenciável em Mn. A divergên-cia de X é a função diferenciável em M dada por
div X: M −→ R
p 7−→ (div X)(p) = tr{v 7−→ (∇vX)(p)}
onde v∈ TPM e tr denota o traço do operador linear dado acima.
Dizemos que um referencial ortonormal {e1, · · · , en} em um aberto U ⊂ M é
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 30
Proposição 1.46 Seja X um campo diferenciável em Mn e {e1, · · · , en} um referencial
ortonormal em uma vizinhança aberta U ⊂ M. Se X = ∑n
i=1 aieiem U , então div X= n
∑
i=1 (ei(ai) − h∇eiei, X i). (1-9)Em particular, se o referencial for geodésico em p∈ U, então temos em p que
div X =
n
∑
i=1
ei(ai).
Demonstração. Pela definição de divergência de um campo vetorial, temos
div X = n
∑
i=1 h∇eiX, eii = n∑
i=1 eihX, eii − hX, ∇eieii = n∑
i=1 (ei(ai) − h∇eiei, X i)O resto segue da definção de referencial geodésico. 2
Observação 1.47 Para Mn= Rn e1 ≤ i ≤ n, podemos tomar ei= Ei, o i-ésimo campo
canônico em Rn. Como tais campos formam um referencial geodésico em cada ponto de Rn, tem-se div X= n
∑
i=1 Ei(ai) = n∑
i=1 ∂ai ∂xi ,a qual concorda com a definição dada usualmente nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral para a divergência de um campo vetorial.
Proposição 1.48 Se X , Y são campos vetoriais diferenciáveis em Mne f : Mn→ R é uma função diferenciável, então
(a) div(X +Y ) = div X + div Y . (b) div( f X ) = f div X + h∇ f , X i
Demonstração. Ver [2] 2
Para obter a expressão de div X em um sistema de coordenadas arbitrário, comecemos com o seguinte:
Lema 1.49 Seja X um campo vetorial diferenciável sobre Mn e U ⊂ M uma vizinhança coordenada com campos coordenados ∂
∂x1
, · · · , ∂ ∂xn
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 31 X = n
∑
i=1 ai ∂ ∂xi, então a divergência de X é dado por
div X = n
∑
i=1 ∂ai ∂xi + n∑
i, j=1 aiΓi jj, (1-10)onde os Γki j são os símbolos de Cristoffel da métrica de M em U e ai ∈ C∞(M),
i= 1, · · · , n.
Demonstração. Seja X ∈ X(M). Note primeiro que para cada operador linear, associado a cada p ∈ M, dado por
S: TpM −→ TpM
v 7−→ S(v) = (∇vX)(p),
sendo os campos coordenados ∂ ∂x1 , · · · , ∂ ∂xn
um referencial local em U , a i-ésima coluna da matriz do operador S é dada por
∇ ∂ ∂xi X = n
∑
j=1 ∇∂ ∂xi aj ∂ ∂xj = n∑
j=1 aj∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj +∂aj ∂xi ∂ ∂xj = n∑
j=1 aj n∑
l=1 Γli j ∂ ∂xl +∂aj ∂xi ∂ ∂xj = n∑
j,l=1 ajΓli j ∂ ∂xl + n∑
j=1 ∂aj ∂xi ∂ ∂xj = n∑
l=1 n∑
j=1 ajΓli j+∂al ∂xi ∂ ∂xl .Portanto, desde que o traço de um operador linear é o traço da matriz que o representa em qualquer base, segue que
div X = n
∑
i=1 ∂ai ∂xi + n∑
i, j=1 aiΓi jj. 2Definição 1.50 (Laplaciano) Sejam M uma variedade Riemanniana e f : M → R uma função diferenciável. OLaplaciano de f é uma função ∆ f : M → R dada por
∆ f = div (∇ f ) (1-11) Proposição 1.51 Seja f : Mn→ R uma função diferenciável e {e1, · · · , en} um referencial
ortonornal em um aberto U ⊂ M. Então
∆ f =
n
∑
i=1
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 32
Em particular, se o referencial for geodésico em p∈ U, então temos em p que
∆ f =
n
∑
i=1
ei(ei( f ))
Demonstração. Pela Proposição 1.41, temos que ∇ f =
n
∑
i=1
ei( f )ei. Agora, segue da definição do Laplaciano de uma função e da Proposição1.46que
∆ f = div (∇ f ) = n
∑
i=1 (ei(ei( f )) − h∇eiei, ∇ f i) = n∑
i=1 (ei(ei( f )) − (∇eiei)( f )). 2Observação 1.52 Quando Mn= Rn, a definição dada acima para o Laplaciano de uma função diferenciável também concorda com a definição usual do Cálculo Diferencial e Integral para o Laplaciano de uma função diferenciável f : Rn→ R. De fato, neste caso podemos tomar ei= Ei, os campos coordenados canônicos de Rn, os quais formam um referencial geodésico em cada ponto de Rn. Portanto, segue da proposição anterior que
∆ f = n
∑
i=1 Ei(Ei( f )) = n∑
i=1 ∂2f ∂x2i .Definição 1.53 (Função Harmônica) Sejam M uma variedade e f : Mn→ R uma função diferenciável. A função f é harmônica quando o Laplaciano de f é identicamente nulo, isto é, ∆ f = 0.
Definição 1.54 (Hessiano) Seja f : Mn→ R uma função diferenciável. O Hessiano de f em p∈ M é o operador linear (Hess f )p: TpM→ TpM, dado por
(Hess f )p(v) = ∇v∇ f . (1-13)
Segue das propriedades da conexão Riemanniana que X ∈ X(M) é qualquer extensão de v em uma vizinhança de p ∈ M, então
(Hess f )p(v) = (∇X∇ f )( p).
Proposição 1.55 Se f : Mn → R é uma função diferenciável e p ∈ M, então (Hess f )p: TpM→ TpM é um operador linear auto-adjunto.
1.6 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiana 33
Proposição 1.56 Se f : Mn→ R é uma função diferenciável, então
∆ f = tr(Hess f ). (1-14) Demonstração. É suficiente provar a igualdade do enunciado em cada p ∈ M, pois o ∆ f = div (∇ f ) e o div (∇ f ) é uma função real em M. Para tanto, seja U ⊂ M uma vizinhança de p onde esteja definido um referencial móvel {e1, · · · , en}. Então,
tr(Hess f )p = h(Hess f )p(ei), eii = h(∇ei∇ f ), eiip
= div (∇ f )(p) = ∆ f (p).
2 O resultado acima nos permite estabelecer uma fórmula simples para o Laplaciano de uma função diferenciável f : Mn→ R em termos dos símbolos de Christoffel associados a um sistema de coordenadas em M, conforme ensina a seguinte
Proposição 1.57 Se f : Mn→ R é uma função diferenciável e U ⊂ M é uma vinzinhança coordenada, então temos em U que
∆ f = n
∑
i, j=1 gi j ∂2f ∂xi∂xj − n∑
k=1 Γki j ∂ f ∂xk . Demonstração. Ver [2]. 2 Observação 1.58 Quando Mn = Rn e ∂ ∂xi= Ei, a base canônica do Rn, segue da
proposição acima que
(Hess f )(Ei), Ej = ∂2f ∂xi∂xj − n
∑
k=1 Γki j∂ f ∂xk = ∂ 2f ∂xi∂xj .De outro modo, a matriz de Hess f com respeito à base canônica {E1, · · · , En}
tem entrada(Hess f )i j =
∂2f ∂xi∂xj
i× j, i, j = 1, · · · , n, o que concorda com a definição
dada nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral da matriz Hessiana de uma função f . A observação acima sugere que a forma bilinear simétrica
(X ,Y ) 7−→ Hess f (X ,Y ) = hHess f (X ),Y i = h∇X∇ f ,Y i
= X h∇ f ,Y i − h∇ f , ∇XYi = X(Y ( f )) − (∇XY)( f ),
denominada a forma Hessiana de f , seja a generalização correta, em geometria Rieman-niana, da definição usual dada no Cálculo Diferencial e Integral para a forma Hessiana de uma função f : Rn→ R.
CAPÍTULO
2
Variedade Produto Torcido
Neste capítulo, apresentaremos o conceito de produto torcido múltiplo, um conceito muito extenso mas abordaremos apenas fatos que serão necessários para o desenvolvimento do trabalho.
Sejam Bne Fni
i variedades diferenciáveis, i = 1, . . . , k, e considerando a variedade
produto M = B × F1× . . . × Fk, temos:
(a) as projeções canônicas
π : M → B, π( p, q1, . . . , qk) = p,
σi : M → Fi, σi(p, q1, . . . , qk) = qi
são aplicações diferenciaveis, na realidade submersões, i = 1, . . . , k.
(b) Uma aplicação φ : P → M é diferenciável se, e somente se, as aplicações π ◦ φ e σi◦ φ são diferenciáveis, i = 1, . . . , k.
(c) Para cada (p, q) = (p, q1, . . . , qk) ∈ M os subconjuntos
B× q = B × q1× . . . × qk= {(r, q1, . . . , qk) ∈ M; r ∈ B},
p× Fi= p × q1× . . . × Fi× . . . × qk= {(p, q1, . . . , si, . . . , qk) ∈ M; si∈ Fi}
são subvariedades mergulhadas de M, difeomorfas a B e Fi, respectivamente, com
i= 1, . . . , k.
Observação 2.1 T(p,q)M é a soma direta dos seus subespaços T(p,q)B, T(p,q)F1, . . . , T(p,q)Fk,
isto é, cada elemento v ∈ T(p,q)M tem uma única expressão como v= u + v1+ · · · + vk, onde u∈ T(p,q)B e vi∈ T(p,q)Fi.
Segue da Observação2.1 e das considerações (a) até (c) feitas no começo, que podemos fazer a seguinte identificação: T(p,q)M= TpB⊕ Tq1F1⊕ · · · ⊕ TqkFk. E ainda, seja
35
v∈ T(p,q)M, u = dπ(v) ∈ TpB e vi= dσi(v) ∈ TqiFi. Se f ∈ C
∞(M, R), então
v( f ) = u( f ◦qπ−1) + v1( f ◦pσ−11 ) + · · · + vk( f ◦pσ−1k ).
Definição 2.2 (Campos φ-relacionados) Sejam N1 e N2 variedades, φ : N1 → N2
aplicação diferenciável, X ∈ X(N1) e Y ∈ X(N2). Diz-se que os campos X e Y são
φ-relacionados se
dφp(Xp) = (Y ◦ φ)(p) = Y (φ(p)) = Yφ( p), ∀p ∈ N1.
Se X e Y são φ-relacionados escrevemos X ∼ Y .φ
Para podermos relacionar propriedades geométricas de M = B × F1× . . . × Fk
com as correspondentes propriedades das componentes B e Fi, uma noção fundamental é
a de levantamento, que definimos a seguir:
Definição 2.3 (Levantamento) Sejam B e Fivariedades, i= 1, . . . , k, e considere a
varie-dade produto M= B × F1× . . . × Fk.
(a) Seja f ∈ C∞(B). O levantamento de f a M é definido por f = f ◦ π ∈ C∞(M).
(b) Se v∈ TpB e qi∈ Fi então o levantamento de v a(p, q) é o único vetor v ∈ T(p,q)B
tal que dπ(v) = v. Como v ∈ T(p,q)B, dσi(v) = 0, ∀i.
(c) Se X ∈ X(B), o levantamento de X a M é o campo vetorial X cujo valor em cada ponto (p, q) é o levantamento de Xp a (p, q). Assim, dπ(X(p,q)) = Xp e
dσi(X(p,q)) = 0, ∀i. O sistema de coordenadas produto mostra que X é
diferenciável. Portanto, o levantamento de X ∈ X(B) a M é o único elemento de X(M) que é π-relacionado a X e σi-relacionado ao campo vetorial nulo em
Fi,∀i. E ainda, como dσi
T(p,q) = 0, o levantamento X de X ∈ X(B) a M é constante em cada subvariedade p× Fi.
(d) O conjunto de todos os levantamentos X de X ∈ X(B) é denotado por L(B). (e) Funções, vetores tangentes, e campos de vetores em Fi são levantados para M da
mesma forma usando-se a projeção σi, ∀i. Dessa forma, o levantamento de V ∈
X(Fi) a M é o único elemento de X(M) que é σi-relacionado a V , σj-relacionado
ao campo vetorial nulo em Fj, ∀ j 6= i e π-relacionado ao campo vetorial nulo em
B. O conjunto de todos os levantamentos V de V ∈ X(Fi) é denotado por L(Fi).
Definição 2.4 Os campos de vetores que são levantamentos de campos da base B são chamados dehorizontais. Já os campos de vetores que são levantamentos de campos da fibra Fisão chamados de i-verticais.
36
Lema 2.5 Sejam N1e N2variedades, φ : N1→ N2 aplicação diferenciável, X∈ X(N1)
e Y ∈ X(N2). X e Y são φ-relacionados se, e somente se,
X(g ◦ φ) = (Y g) ◦ φ, ∀g ∈ C∞(N 2).
Demonstração. De fato, dada g ∈ C∞(N
2), X (g ◦ φ) e (Y g) ◦ φ são funções reais
diferenciaveis em N1. X (g ◦ φ) = (Y g) ◦ φ são iguais se, e somente se, dado p ∈ N1,
X(g ◦ φ)(p) = (Y g) ◦ φ(p). Daí, dado p ∈ N1,
X(g ◦ φ)(p) = Xp(g ◦ φ) = (dφp(Xp))(g)
e por outro lado
((Y g) ◦ φ)(p) = Yφ( p)(g), ∀p ∈ N1
donde segue o resultado, ou seja X ∼ Y .φ 2
Lema 2.6 Sejam φ : N1 → N2 uma aplicação diferenciável, N1 e N2 variedades e
X1, X2∈ X(N1) e Y1, Y2∈ X(N2). Se X1 φ ∼ Y1e X2 φ ∼ Y2então[X1, X2] φ ∼ [Y1,Y2].
Demonstração. Basta mostrar que dφp([X1, X2]) = [Y1,Y2]φ( p), ∀p ∈ N1, onde
[X1, X2](p) = [X1, X2]p. De fato, dados p ∈ N1e f ∈ C∞(N2, R) temos que
dφp([X1, X2]p)( f ) = [X1, X2]p( f ◦ φ) = [X1, X2]( f ◦ φ)(p), ∀p ∈ N1,
isto é equivalente a,
[X1, X2]( f ◦ φ) = X1(X2( f ◦ φ)) − X2(X1( f ◦ φ))
(Lema2.5)
= X1((Y2f) ◦ φ) − X2((Y1f) ◦ φ)
= dφ(X1)(Y2f) − dφ(X2)(Y1f) = Y1(Y2f) −Y2(Y1f) = [Y1,Y2]( f ).
Portanto,
dφp([X1, X2]p) = [Y1,Y2]φ( p), ∀p ∈ N1.
2
Proposição 2.7 Seja a variedade produto M = B × F1× · · · × Fk. Se X, Y ∈ L(B) e
Ui, ∈ L(Fi), Vj, ∈ L(Fj), então
(a) [X ,Y ] = [X ,Y ] ∈ L(B), similarmente para L(Fi) se 1 ≤ i ≤ k.
37
(c) [Ui,Vj] = 0, se i 6= j onde 0 ∈ L(M) é o campo nulo.
Demonstração.
(a) Devemos mostrar que [X ,Y ]∼ [X,Y ] e [X,Y ]π σi
∼ [0, 0], onde 0 ∈ X(Fi) é o campo
nulo em Fi, 1 ≤ i ≤ k. De fato, como X ,Y ∈ L(B), então existem X ,Y ∈ X(B) tais
que X ∼ X, Xπ σi
∼ 0, Y ∼ Y e Yπ σi
∼ 0, 1 ≤ i ≤ k. Daí pelo Lema2.6[X ,Y ]∼ [X,Y ] eπ [X ,Y ]∼ [0, 0]. Portanto, dπ([X,Y ]) = [X,Y ] e dσσi i([X ,Y ]) = [0, 0], 1 ≤ i ≤ k.
(b) De modo análogo, como X ∈ L(B) e Ui ∈ L(Fi), então existem X ∈ X(B) e
Ui∈ X(Fi) tais que X∼ X, Xπ σi
∼ 0 e Ui∼ 0, Uπ i σi
∼ Ui, 1 ≤ i ≤ k, onde 0 é o campo nulo
em X(B) e X(Fi). Pelo Lema2.6, [X ,Ui]∼ [X, 0] = 0, [X,Uπ i] σi
∼ [X,Ui] = 0. Assim,
o campo [X ,Ui] ∈ X(M) em cada ponto (p, q) ∈ M tem como componentes o vetor
nulo (ou ainda,[X ,Ui] é o levantamento de 0 ∈ X(B) e também o levantamento de
0 ∈ X(Fi), 1 ≤ i ≤ k), portanto, [X ,Ui] = 0 ∈ X(M).
(c) Se i 6= j, como Ui∈ L(Fi) e Vj∈ L(Fj), então existem Ui∈ X(Fi) e Vj∈ X(Fj) tais
que Ui σi ∼ Ui, Ui σj ∼ 0, Ui π ∼ 0 e Vj σi ∼ 0, Vj σj ∼ Vj, Vj π
∼ 0, onde 0 é o campo nulo em X(B), X(Fi) e X(Fj). Pelo Lema 2.6, [Ui,Vj]
σi
∼ [Ui, 0] = 0, [Ui,Vj]σ∼ [0,Vj j] = 0 e [Ui,Vj]∼ [0, 0] = 0. Assim, o campo [Uπ i,Vj] ∈ X(M) em cada ponto (p, q) ∈ M tem
como componentes o vetor nulo, portanto [Ui,Vj] = 0 ∈ X(M).
2
Definição 2.8 (Métrica Riemanniana Produto) Sejam (B, gB), (Fi, gFi) variedades
Rie-mannianas com gB = h· , ·iB e gFi = h· , ·iFi, 1 ≤ i ≤ k. Considere a variedade produto
M= B × F1× . . . × Fke sejam π : M → B e σi: M → Fias projeções canônicas de M sobre
B e Fi, respectivamente. A métrica Riemanniana produtoh· , ·i em M é dada por
h· , ·i = π∗h· , ·iB+
k
∑
i=1
σ∗ih· , ·iFi e M é chamada de variedade produto entre B, F1, . . . , Fk.
Observação 2.9 Na variedade Riemanniana produto M = B × F1× . . . × Fk, dados
X ∈ L(B), Ui∈ L(Fi) e Vj ∈ L(Fj), i 6= j, X , Ui, Vj são campos dois a dois ortogonais
em M, ou seja,hX,Uii : M → R é a função identicamente nula na métrica produto assim comohX,Vji : M → R e hUi,Vji : M → R também o são.
Definição 2.10 (Produto Torcido Múltiplo) Sejam (B, gB), (F1, g1), . . . , (Fk, gk)
varie-dades Riemannianas, f1, . . . , fk : B → R funções diferenciáveis positivas, 1 ≤ i ≤ k.
38
M= B × F1× . . . × Fk munida com a métrica
g= gB⊕ f12gF1⊕ f
2
2gF2⊕ . . . ⊕ f
2 kgFk.
Cada função f1, . . . , fk: B → R é chamada uma função torção e cada variedade
(Fi, gFi) é chamada uma variedade fibra, ∀i = 1, . . . , k. A variedade (B, gB) é a variedade
base do produto torcido múltiplo:
(i) Se k = 1, então obtemos um produto torcido (simples).
(ii) Se fi≡ 1, 1 ≤ i ≤ k, então temos uma variedade Riemanniana produto.
(iii) Se fi= fj, 1 ≤ i ≤ k, então temos um produto torcido (simples).
Observação 2.11 Utilizaremos os seguintes critérios para identificar produtos torcidos múltiplos que são essencialmente a mesma variedade:
• Quaisquer duas funções torção que são múltiplas uma da outra serão escritas como a mesma função, e a métrica da fibra será multiplicada pela constante correspondente para não modificarmos a métrica do produto torcido múltiplo. Assim, se M= B ×f1F1×f2F2× · · · ×fkFk, onde f2= c f1, c constante, escreveremos
M = B ×f1(F1× F2) × · · · ×fkFk, sendo F2 munida da métrica c
2g
2. Note
que, dessa forma, a métrica do produto torcido múltiplo continua sendo g= gB⊕ f2 1gF1⊕ f 2 2gF2⊕ . . . ⊕ f 2 kgFk= gB⊕ f 2 1(gF1⊕ c 2g F2) ⊕ . . . ⊕ f 2 kgFk.
• Fibras com a mesma função torção serão unidas em uma única fibra. Pelo item anterior, observamos que a palavra "mesma"engloba funções torção que são múltiplas uma da outra. Assim, se M é como no item anterior, escreveremos M = B ×f1F×f3F3× · · · ×fkFk, onde F = F1× F2, sendo F2 munida da métrica
c2gF2.
A partir de agora, neste capítulo, considere M = B ×f1F1×f2F2× · · · ×fkFk
um produto torcido múltiplo, x = (p, q1, q2, · · · , qk) um ponto de M, com p ∈ B e
qi ∈ Fi, X ,Y, Z ∈ L(B) e Ui,Vi,Wi ∈ L(Fi), para todo i = 1, . . . , k. Utilizaremos uma
barra para indicar os vetores que são tangentes às variedades B, F1, F2, . . . , Fk. Desse
modo, X ,Y , Z ∈ B e Ui,Vi,Wi∈ Fi, para todo i = 1, . . . , k. E assim, denotaremos por X o
levantamento de X , por Uio levantamento de Ui, e assim por diante. Além disso, considere
π, σ1, σ2, · · · , σk as projeções canônicas de M em B, F1, . . . , Fk, respectivamente.
Proposição 2.12 Considere as folhas B × {q1} × · · · × {qk} e as fibras {p} × {q1} ×
{qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk}, para cada x ∈ M. A métrica torcida múltipla em M
implica nas seguintes condições geométricas:
i) Para cada (q1, · · · , qk) ∈ F1× · · · × Fk, a aplicação π0 = π
B×{q1}×···×{qk} é uma
39
ii) Para cada (p, q1, · · · , qi−1, qi+1, · · · , qk) ∈ B × F1× · · · × Fi−1× Fi+1× · · · × Fk, a
aplicação σ0i= σi
{p}×{q
1}×{qi−1}×Fi×{qi+1}×···×{qk}é uma homotetia positiva sobre
Fi, com fator escalar 1 fi(p). Demonstração.
(i) Para todo (q1, · · · , qk) ∈ F1× · · · × Fk, a aplicação π0: B × {q1} × · · · × {qk} → B é
um difeomorfismo. Assim, para cada x = (p, q1, · · · , qk) ∈ B × {q1} × · · · × {qk}, e
para todos X ,Y ∈ Tx(B × {q1} × · · · × {qk}) ⊂ Tx(M), tem-se que
hX,Y i(x) = hdπ0(X ), dπ0(Y )iB(p) + f1 2 (p)hdσ1(X ), dσ1(Y )iF1(q1) + · · · + fk 2 (qk)hdσk(X ), dσk(Y )iFk(qk) = hdπ0(X ), dπ0(Y )iB(p) pois dπ0(Tx(B × {q1} × · · · × {qk}))(x) = dπ Tx(B×{q1}×···×{qk})(x) e dσ0i(Tx(B × {q1} × · · · × {qk}))(x) = dσi((dσi)−1({0}))(x) = 0.
(ii) Para todo (p, q1, . . . , qi−1, qi+1, . . . , qk) ∈ B × F1× · · · × Fi−1× Fi+1× · · · × Fk, a
apli-cação σ0i: {p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk} → Fié um difeomorfismo.
Assim, para cada x = (p, q1, · · · , qk) ∈ {p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · ×
{qk}, e para todos U,V ∈ Tx({p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk}) ⊂
Tx(M), tem-se que hU,V i(x) = hdπ0(U ), dπ0(V )iB(p) + f1 2 (p)hdσ1(U ), dσ1(V )iF1(q1) + · · · + fk2(qk)hdσk(U ), dσk(V )iFk(qk) = fi2(qi)hdσi(U ), dσi(V )iFi(qi) pois dπ0({p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk})(x) = dπ((dπ)−1({0}))(x) = 0, dσ0j({p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk})(x) = dσj((dσj)−1({0}))(x) = 0, ∀ j 6= i, e dσ0i({p} × {q1} × {qi−1} × Fi× {qi+1} × · · · × {qk})(x) = dσi Tx({p}×{q1}×{qi−1}×Fi×{qi+1}×···×{qk})(x).
40
2
Tendo conhecimento disso, podemos provar os três resultados a seguir. Nas demonstrações, tudo será calculado no ponto x, o qual será omitido para simplificar a notação. Por exemplo, o valor da função torção fi no ponto p = π(x), que normalmente
denotamos por fi(p) = fi◦ π(x), será escrito apenas como fi◦ π.
Proposição 2.13 Seja M = B ×f1F1× · · · ×fkFkum produto torcido múltiplo com métrica
torcida. Se X, Y ∈ L(B) e Ui∈ L(Fi),Vj∈ L(Fj), então (i) ∇XY = ∇BXY , (ii) ∇XVi= ∇ViX= X( fi) fi Vi, (iii) nor∇UiVi= − hUi,Vii fi ∇ fi, (iv) tani∇UiVi= ∇ Fi UiVi, (v) tanj∇UiVi= 0, (vi) ∇UiUj= 0,
onde ∇B e ∇Fi denotam as conexões Livi-Civita em B e F
i, respectivamente, nor é a
projeção ortogonal de TxM em TpB e tanié a projeção ortogonal de TxM em TqiFi. Demonstração.
(i) Vamos mostrar que ∇XY é ortogonal a qualquer campo Ui∈ L(Fi) e que ∇XY é
π-relacionado a ∇B
XY. De fato, pela fórmula de Koszul,
2h∇XY,Uii = Y hX,Uii + XhUi,Y i −UihY, Xi − h[Y,Ui], X i − h[X ,Ui],Y i
−h[Y, X],Uii
= −UihY, Xi − h[Y, X],Uii ,
pela Proposição 2.7 e a Observação 2.9. Como [X ,Y ] ∈ L(B), segue que h[X,Y ],Uii = 0, também pela Proposição2.7. Logo, obtemos que
2h∇XY,Uii = −UihY, Xi. (2-1)
Agora, pela métrica torcida,
hY, Xi = hdπ(Y ), dπ(X)iB+
k
∑
i=1
( fi◦ π)2hdσi(Y ), dσi(X )iFi
41
daí,
UihY, Xi = Ui(hY , X i ◦ π) = dπ(Ui)hY , X i ◦ π = 0.
Assim, segue de (2-1) que h∇XY,Uii = 0, isto é, ∇XY é horizontal (ortogonal a
qualquer campo Ui∈ L(Fi)). Além disso, dado Z ∈ L(B), temos que
YhX, Zi(2−2= Y (hX , Zi) B◦ π) = dπ(Y )hX, ZiB◦ π = (Y ◦ π)hX, ZiB◦ π = (Y hX , ZiB) ◦ π.
Como π B×q
1×···×qk é uma isometria, segue que
2hdπ(∇XY), dπ(Z)iB◦ π = 2h∇XY, Zi
= Y hX , Zi + X hZ,Y i − ZhY, X i − h[Y, Z], X i −h[X, Z],Y i − h[Y, X], Zi
= YhX, ZiB+ X hZ,Y iB− ZhY , XiB− h[Y , Z], XiB −h[X, Z],Y iB− h[Y , X], Z ◦ π
= 2h∇BXY, ZiB◦ π.
Como Z é arbitrário, concluímos que dπ(∇XY) = ∇BXY ◦ π, isto é, ∇XY é
π-relacionado a ∇B
XY. E ainda, como π
B×q
1×···×qk é uma isometria, segue que ∇ é
a conexão Riemanniana da base B.
(ii) Vimos na Proposição2.7que [X ,Vi] = 0. Assim,
0 = [X ,Vi] = ∇XVi− ∇ViX ⇒ ∇XVi= ∇ViX.
Agora observe que ∇XVi é i-vertical. De fato, dados Y ∈ L(B) e Wj∈ L(Fj), com
j6= i, temos que
0 = X hVi,Y i = h∇XVi,Y i + hVi, ∇XYi ⇒ h∇XVi,Y i = −hVi, ∇XYi = 0
e
2h∇XVi,Wji = VihX,Wji + XhVi,Wji −WjhVi, X i − h[Vi,Wj], X i
−h[X,Wj],Vii − h[Vi, X ],Wji = 0.
Além disso, dado Ui∈ L(Fi), pela Fórmula de Koszul,
2h∇XVi,Uii = VihX,Uii + XhVi,Uii −UihVi, X i − h[Vi,Ui], X i − h[X ,Ui],Vi)i
42
Mas, pela métrica torcida,
hVi,Uii = hdπ(Vi), dπ(Ui)iB+ k
∑
i=1 ( fi◦ π)2hdσi(Vi), dσi(Ui)iFi = ( fi◦ π)2hdσi(Vi), dσi(Ui)iFi= ( fi◦ π)2hVi◦ σi,Ui◦ σiiFi = fi2(hVi,UiiFi◦ σi). (2-4) Daí, XhVi,Uii = X[ fi2(hVi,UiiFi◦ σ i)] = X ( fi2)(hVi,UiiFi◦ σi) + fi2[X (hVi,UiiFi◦ σi)] = 2 fiX( fi)(hVi,UiiFi◦ σi) + fi2[dσi(X )hVi,UiiFi◦ σi] = 2 fiX( fi) hVi,Uii fi2 = 2 X( fi) fi hVi,Uii, (2-5)onde a penúltima igualdade decorre da métrica torcida (veja a equação (2-4)). Comparando (2-3) e (2-5), temos que
2h∇XVi,Uii = 2
X( fi)
fi
hVi,Uii,
para todo Ui∈ L(Fi). Portanto, ∇XVi=
X( fi)
fi Vi. (iii) Para Ui, Vi∈ L(Fi), temos que
∇UiVi= nor(∇UiVi) + k
∑
j=1 tanj(∇UiVi). Assim, IIi(Ui,Vi) = nor(∇UiVi) +∑
j6=i tanj(∇UiVi).Mas, tanj(∇UiVi) = 0, para todo j = 1, . . . , k tal que j 6= i. De fato, dado Wj∈ L(Fj),
por um lado temos que
h∇UiVi,Wji = * nor(∇UiVi) + k
∑
l=1 tanl(∇UiVi),Wj + =tanj(∇UiVi),Wj .Por outro lado, h∇UiVi,Wji Koszul = 1 2 h VihUi,Wji +UihWj,Vii −WjhVi,Uii −[Vi,Wj],Ui −h[Ui,Wj],Vii − h[Vi,Ui],Wji i = −1 2 h WjhVi,Uii i .
43
Logo,
htanj(∇UiVi),Wji = h∇UiVi,Wji = −
1
2[WjhVi,Uii]. Como hVi,Uii = fi2(hVi,Uii ◦ σi) (veja equação (2-4)), segue que
WjhVi,Uii = Wj( fi2(hVi,UiiFi◦ σi)) = Wj( fi2)(hVi,UiiFi◦ σ i) + fi2[Wj(hVi,UiiFi◦ σi)] = 2 fiWj( fi)(hVi,UiiFi◦ σi) + fi2[dσi(Wj)hVi,UiiFi◦ σi] = 2 fiWj( fi◦ π)(hVi,UiiFi◦ σi) = 2 fi[dπ(Wj) fi◦ π](hVi,Uii ◦ σi) = 0.
Assim, obtemos que IIi(Ui,Vi) = nor(∇UiVi). Agora, para todo X ∈ L(B),
h∇UiVi, X i = * nor(∇UiVi) + k
∑
l=1 tanl(∇UiVi), X + = hnor(∇UiVi), X i.Por outro lado, como
0 = UihX,Vii = h∇UiX,Vii + hX, ∇UiVii, segue que h∇UiVi, X i = −h∇UiX,Vii (ii) = − X( fi) fi Ui,Vi = −X( fi) fi hUi,Vii = −hX, ∇ fii fi hUi,Vii = − X,hUi,Vii fi ∇ fi . Portanto, hnor(∇UiVi), X i = h∇UiVi, X i = − X,hUi,Vii fi ∇ fi . Como X ∈ L(B) é arbitrário, concluímos que
nor(∇UiVi) = IIi(Ui,Vi) = −
hUi,Vii
fi ∇ fi. iv) Sabemos que tani(∇Ui,V ) ∈ X(M), dπ(tan
i(∇
Ui,V )) = 0 e dσj(tan
i(∇
Ui,V )) = 0,
para todo j = 1, . . . , k com j 6= i. Agora, para todo Wi∈ L(Fi), temos que
h∇UiVi,Wii = * nor(∇UiVi) + k
∑
j=1 tanj(∇UiVi),Wi + = htani(∇Ui,Vi),Wii.44
Além disso, como hUi,Wii = fi2(hUi,WiiFi◦ σi) (pela equação (2-4)), temos que
VihUi,Wii = Vi[ fi2(hUi,WiiFi◦ σi)] = Vi( fi2)(hUi,WiiFi◦ σi) + fi2[Vi(hUi,WiiFi◦ σi)] = 2 fiVi( fi)(hUi,WiiFi◦ σi) + fi2[dσi(Vi)hUi,WiiFi◦ σi] = 2 fiVi( fi◦ π)(hUi,WiiFi◦ σi) + fi2[VihUi,WiiFi◦ σi] = 2 fi(dπ(Vi) fi)(hUi,WiiFi◦ σi) + fi2[VihUi,WiiFi◦ σi] = fi2[VihUi,WiiFi◦ σi]. (2-6)
Assim, por um lado,
2h∇UiVi,Wii = 2htan i(∇ UiVi),Wii = 2 f 2 i[hdσi(tani(∇UiVi)), dσi(Wi)i Fi◦ σ i],
onde a última igualdade decorre da equação (2-4). Por outro lado, pela Fórmula de Koszul e pela equação (2-6),
2h∇UiVi,Wii = VihUi,Wii +UihWi,Vii −WihVi,Uii − h[Vi,Wi],Uii − h[Ui,Wi],Vii −h[Vi,Ui],Wii = fi2[VihUi,WiiFi] ◦ σi+ fi2[UihWi,ViiFi] ◦ σi− fi2[WihVi,UiiFi] ◦ σi − fi2[h[Vi,Wi],UiiFi] ◦ σi− fi2[h[Ui,Wi],ViiFi] ◦ σi − fi2[h[Vi,Ui],WiiFi] ◦ σi = fi2[VihUi,WiiFi+U ihWi,ViiFi−WihVi,UiiFi− h[Vi,Wi],UiiFi −h[Ui,Wi],ViiFi− h[Vi,Ui],WiiFi] ◦ σi = fi22h∇Fi UiVi,Wii Fi◦ σ i. Logo, 2 fi2[hdσi(tani(∇UiVi)), dσi(Wi)i Fi◦ σ i] = 2 fi2h∇ Fi UiVi,Wii Fi◦ σ i fi>0 ⇒ dσi(tani(∇UiVi)) = ∇ Fi UiVi◦ σi,
pois Wi é arbitrário. Assim, tani(∇UiVi) é σi-relacionado com ∇
Fi
UiVi. Como σi
é uma homotetia em p × q1× · · · × qi−1× Fi× qi+1× · · · × qk, concluímos que
tani(∇UiVi) = ∇
Fi
UiVié a conexão Riemanniana de Fi.
(v) Demonstrado no item (iii).
(vi) Como qualquer vetor em M pode ser escrito como uma soma de vetores com componentes na base e nas fibras, vamos mostrar que o produto interno de ∇UiUj
