CENTRO DECIÊNCIASEXATAS E DANATUREZA DEPARTAMENTO DEFÍSICA PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO
Aula 22
Gás de Fermi
Sumário
Dedução a partir do ensemble canônico . . . 2
Gás de Fermi . . . 2
Gás de Bose . . . 3
Dedução a partir do ensemble grão-canônico . . . 4
Equação de estado . . . 5
Gás Ideal de Férmions . . . 6
Limite de altas temperaturas . . . 8
Limite de baixas temperaturas . . . 10
Densidade de estados . . . 14
Bibliografia recomendada
K. Huang, Statistical Mechanics, Jonh Wiley & Sons, 2ndEd. (1987), §11.1
R. K. Pathria, Statistical Mechanics, Elsevier, 2n d edition, (1996), §8.1
R. Kubo, Statistical Mechanics, North-Holland, (1965), §4.1-4.3
M. Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge Univ. Press, (2007), §7.5
Dedução a partir do ensemble canônico
1No ensemble canônico, i.e. quando o gás está em equilíbrio térmico com um reseervatório de calor à temperatura absoluta T , a probabilidade (peso de Boltzmann) que o gás esteja em certo macroestado com energia En é dada por
Pn= e−β En X n′ e−β En ′ = e −Pp~β np~ǫp~ X {np ′~} e−βPp~np ′~ǫp ′~ , ǫp~= p2 2m
onde o numerador é o fator de Boltzmann e o denominador e a função de partição ZN(T, V ).
O número de ocupação médio em cada estado de energia ǫp~é definido por 〈n〉p~= X {np ′~} np~Pp~′= P {np ′~}np~e −βPp~np ′~ǫp ′~ X {np ′~} e−βPp~np ′~ǫp ′~ = P np~np~e −βnp~ǫp~P′ {np ′~}e −βPp ′~ np ′~ǫp ′~ X np~ e−βnp~ǫp~ ′ X {np ′~} e−βPp ′~ np ′~ǫp ′~
onde nas somasP′{n
~
p ′}. . . o superescrito
′indica a restrição queP′
{np ′~}np~′= N−np~e, portanto,
dependem de np~. Para simplificar a notação denominaremos por
Zp~(N − np~) = X {np ′~} ′ e−βnp ′~ǫp ′~ Logo 〈n〉p~= P np~np~e −βnp~ǫp~Z ~ p(N − np~) X np~ e−βnp ′~ǫp ′~ Z ~ p(N − np~) (1) Gás de Fermi
No caso do gás de Fermi, np~somente pode ter valores 0, 1, ou seja
〈n〉p~= 0 + e−βǫp~Z ~ p(N − 1) [Zp~(N ) + e−βǫp ′~ Zp~(N− 1)] → 〈n〉p~= 1 Zp~(N )/Zp~(N− 1)eβ ǫp ′~ +1
Para determinar Zp~(N )/Zp~(N − 1) consideremos, para uma variação ∆N = 1 em um número
muito grande N ≫ 1 que
ln Zp~(N )− lnZp~(N − ∆N ) ≃
∂ ln Zp~(N )
∂ N ∆N → ln Zp~(N − 1) ≃ lnZp~(N )− αp~ ∴
Zp~(N − 1) ≃ Zp~(N ) exp [−αp~], ∴ Zp~(N− 1) Zp~(N ) ≃ e[−αp~] com α ~ p= ∂ ln Zp~(N ) ∂ N
Como Zp~(N ) é uma soma sobre um número muito grande de parcelas exp [−β np~′ǫp~′]a varia-ção de seu logaritmo, com relavaria-ção ao número de partículas N , deverá ser pouco afetada pela exclusão de uma parcela particular exp [−βnp~ǫp~]. Considerando que tal variação independerá
dessa escolha particular, o subscritop~pode ser omitido de tal maneira que
αp~ → α = ∂ ln Z (N ) ∂ N → Zp~(N − 1) Zp~(N ) ≃ e −α
No estado de equilíbrio termodinâmico o potencial químico é dado por
µ = ∂ F ∂ N T ,V =−kT∂ ln Z ∂ N T ,V → α = − µ k T =−β µ
Finalmente, podemos escrever para o gás de Fermi que 〈n〉p~=
1
eβ (ǫp ′~−µ)+1
(Distribuição de Fermi-Dirac)
Gás de Bose
Expandindo a somatória em np~no numerador da equação (1) e usando a notação Zp~(N − np~)
para o restante das somas, teremos 〈n〉p~= 0 + e−βǫp~Z ~ p(N− 1) + 2e−2βǫp~Zp~(N− 2) + 3e−3βǫp~Zp~(N− 3) + . . . Zp~(N ) + e−βǫp ′~ Zp~(N− 1) + e−2βǫp~Zp~(N − 2) + 3e−3βǫp~Zp~(N − 3) + . . . Usando a expressão ln Zp~(N )− lnZp~(N − ∆N ) ≃ ∂ ln Zp~(N ) ∂ N ∆N = α∆N podemos escrever 〈n〉p~=✟ ✟✟ ✟ Zp~(N )[0 + e−βǫp~e−α+2e−2βǫp~e−2α+. . .] ✟✟ ✟✟ Zp~(N )[1 + e−βǫp~e−α+ e−2βǫp~e−2α+. . .] = P np~np~e −np~(α+β ǫp ′~) P np~e −np~(α+β ǫp ′~) =− 1 β ∂ ∂ ǫp~ ln X np~ e−np~(α+β ǫp ′~) | {z } [1−e−(α+βǫ ~p)]−1 ∴ 〈n〉p~= 1 β ∂ ∂ ǫp~ln[1 − e −(α+βǫp~)] = e −(α+βǫp~) 1 − e−(α+βǫp~) = 1 e(α+β ǫp~)− 1
Finalmente, substituindo o valor de α = −βµ resulta 〈n〉p~=
1
Dedução a partir do ensemble grão-canônico
A função de partição do ensemble canônico para um gás ideal pode escrita de maneira geral como: ZN(V , T ) = X {np~} g{np~} e−β E {np~} (2) onde, relembrando, E{np~} = X ~ p np~ǫp~, N = X ~ p np~
e g {np~} é o número de microestados correspondentes a {np~}, i.e
g (np~) = 1 Férmions e Bósons , 1 N ! N ! Q ~ pnp~! Maxwell-Boltzmann.
Para o caso de partículas clássicas (distinguíveis) mas com contagem correta de Boltzmann, é fácil ver que
ZN(V , T ) = X ~ p 1 Q ~ pnp~! e−β P n ~pnp~ǫp~ = 1 N ! X ~ p e−βǫp~ !N
resultado decorrente da expansão multinomial. Fazendo a passagem para o contínuo, a so-matória é transformada em uma integral, i.e.
X ~ p e−βǫp~ → V h3 Z d ~p e−βp2/2m= Vmk T 2πħh2 3/2 = V λ3 ∴ ZN(V , T ) = 1 N ! VN λ3N
como já obtido anteriormente.
Para partículas quânticas (férmions ou bósons) a somatória em (2) é complicada de obter e é mais conveniente obter a grã-função de partição definida por
Z (T, V , µ) = ∞ X N =0 zNZN(V , T ) = ∞ X N =0 ′ X {np~} zNe−β P n ~pnp~ǫp~ = ∞ X N =0 ′ X {np~} Y ~ p z e−βǫp~np~
onde usamos g (np~) =1 e soma
P′
indica a restrição que N =Pp~np~.
A dupla soma na expressão acima pode ser substituída por uma somatória irrestrita em cada
np~. i.e. ∞ X N =0 ′ X {np~} zNe−β P n ~pnp~ǫp~ = ∞ X N =0 X {np~} δN −X ~ p np~ zNe−β P n ~pnp~ǫp~ ou
∞ X N =0 ′ X {np~} zNe−β P n ~pnp~ǫp~ =X n0 X n1 X n2 · · ·Y ~ p z e−βǫp~np~
Assim sendo, Z (T,V,µ) pode ser reescrita como Z (T, V , µ) =X n0 X n1 X n2 . . .(z e−βǫ0)n0(z e−βǫ1)n1(z e−βǫ2)n2· · · = = X n0 (z e−βǫ0)n0 X n1 (z e−βǫ1)n1 X n2 (z e−βǫ2)n2. . . ∴ Z (T, V , µ) =Y ~ p X n (z e−βǫp~)n (3) Gás de Bósons Z (T, V , µ) =Y ~ p X∞ n =0 (z e−βǫp~)n → Z (T, V , µ) =Y ~ p (1 − z e−βǫp~)−1
onde usamos n = 0, 1, 2, . . . e identificamos a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão menor que a unidade.
Gás de Férmions
Z (T, V , µ) =Y
~ p
(1 + z e−βǫp~)
obtido trivialmente fazendo n = 0, 1 na expressão geral (2)
Equação de estado
A equação de estado no ensemble grão-canônico é obtida por β P V = ln Z (T,V,µ) que pode ser resumida para os dois casos por:
P V k T = −Pp~ln(1 − z e−βǫp~) Bósons, P ~ pln(1 + z e−βǫp~) Férmions. (4)
onde a fugacidade z = eβ µpode ser eliminada em termos da densidade de partículas no equi-líbrio usando-se 〈N 〉 = z ∂ ∂ z lnZ (T,V,µ) = X ~ p z e−βǫp~ (1 − z e−βǫ ~p) Bósons, X ~ p z e−βǫp~ (1 + z e−βǫ ~p) Férmions. (5) Mas, como 〈N 〉 =X ~ p 〈np~〉 identificamos 〈np~〉 = z e−βǫp~ (1 ± z e−βǫ ~p) ou 〈np~〉 = 1 (z−1eβ ǫ ~p± 1) ¨ (−) Bósons, (+) Férmions. (6)
que pode ser verificada também calculando diretamente da definição 〈np~〉 ≡ 1 Z ∞ X N =0 zNX {np~} np~exp[−β X ~ p np~ǫp~] =− 1 β ∂ ∂ ǫp~ ln Z = z e−βǫp~ (1 ∓ z e−βǫ ~p)
No limite termodinâmico V → ∞ as somatórias são estendidas para integrais desde que os integrandos sejam limitados, o que é garantido pela condição z = e−βµ> 0.
Gás Ideal de Férmions
Para um gás de férmions lívres as equações de estado (4) e (5) resumem
P V k T = V h3 Z ∞ 0 (4π)p2ln[1 + z e−βp2/2m]d p (7) 〈N 〉 V = 1 h3 Z ∞ 0 (4π)p2d p [1 + z−1eβ p2/2m]= (8) Usando β p2/2m → t , → p2d p =1 2 2m β 3/2 t1/2d t
P k T = 2mπ h2β 3/2 | {z } λ−3 2 pπ Z ∞ 0 t1/2ln[1 + z e−t]d t = 1 λ3f5/2(z ) (9) onde λ = [h2/(2πmk
BT )]1/2é o comprimento de onda térmico.
De maneira análoga, 〈N 〉 V = 1 λ3 2 pπ Z ∞ 0 t1/2d t [1 + z−1et]= 1 λ3f3/2(z ) (10)
As funções fs(z ) são ditas funções de Fermi ou integrais de Fermi, as quais por sua vez são casos
particulares do Polilogaritmo2Li
s(z ), cuja representação integral é dada por
Lis(z ) = 1 Γ (s ) Z ∞ 0 ts−1 etz−1− 1d t
No caso das funções de Fermi temos:
fs(z ) =− Lis(−z ) = 1 Γ (s ) Z ∞ 0 ts−1 etz−1+1d t
Pela definição acima, temos que para s = 3/2 temos
f3/2= 2 pπ Z ∞ 0 t1/2 etz−1+1d t
Os polilogaritmos satisfazem à regra de recorrência:
z ∂
∂ z Lis(z ) = Lis−1(z ) → z ∂
∂ z Li5/2(z ) = Li3/2(z )
Por outro lado, verificamos que
z ∂ ∂ z Z ∞ 0 t1/2ln[1 + z e−t]d t = Z ∞ 0 d t t 1/2 z−1et +1= p π 2 [− Li3/2(z )] = p π 2 [z ∂ ∂ z[− Li5/2(−z )] onde identificamos f5/2(z ) = 2 p π Z ∞ 0 t1/2ln[1 + z e−t]d t
Outra expressão alternativa é f5/2(z ) = 4 3pπ Z ∞ 0 t3/2 z−1et+1d t
As funções de Fermi podem ser expressas em uma série de potências de z , i.e.
fs(z ) = ∞ X k =1 (−1)k +1z k ks = z− z2 2s + z3 3s − . . .
que é convergente para |z | ≤ 1.
As equações de estado para o gás ideal de férmions podem finalmente serem resumidas em:
P V k T =lnZ (T,V,µ) = V λ3 f5/2(z ) (11) 〈N 〉 V = z ∂ ∂ z ln Z (T,V,µ) = 1 λ3 f3/2(z ). (12)
Limite de altas temperaturas
Considerar inicialmente a expressão (12) no limite quântico de altas temperaturas, i.e. quando o comprimento de onda térmico3λ(T ) é muito menor que a distância média interpartícula,
i.e.
λ(T ) <<
distância média interpartícula
= V〈N 〉 1/3 ou λ3〈N 〉 V << 1, → λ3 v = f3/2(z ) << 1, onde v = V 〈N 〉.
3O comprimento de onda térmico λ(T ) corresponde ao comprimento de onda de Broglie λ
B para uma
Vamos analisar a integral de Fermi quando f3/2(z ) << 1. Temos f3/2(z ) = 2 p π Z ∞ 0 d t x1/2 (z−1et+1)≃ z − z2 23/2++ z3 33/2− . . . (13) -2 2 4 6 8 10 z -1 1 2 3 f32HzL
que é uma função monotonicamente cres-cente de z , i.e (∂ f3/2/∂ z ) ≥ 04, como mostra
a figura ao lado.
Observe que f3/2(0) = 0, ou seja, o intervalo de
valores de z tais que f3/2(z ) << 1 corresponde
também a valores z pequenos.
Escrevendo a equação (12) usando a série de potências em z , temos λ3 v = z− z2 23/2 + z3 33/2− . . . .
Invertendo a série acima para obter z em ter-mos da ordem de (λ3/v ) teremos
z =λ 3 v + z2 23/2 − z3 33/2− . . . ∴ z1= λ3 v +O {( λ3 v ) 2 } z2= λ3 v + z12 23/2− · · · = λ3 v + 1 23/2 λ3 v 2 +O {(λ 3 v ) 3 } . . .. . .
A série invertida pode ser obtida até a ordem de de (λ3/v ) desejada.
Por exemplo, substituindo a expansão de z em potências de λ3/v na equação de estado (11)
teremos até segunda ordem:
P V k T = V λ3f5/2(z ) = V λ3 z− z 2 25/2+ z3 35/2 +. . . = V λ3 z2 z }| { λ3 v + 1 23/2 λ3 v 2 −215/2 z22 z }| { λ3 v + 1 23/2 λ3 v 22 +. . . 4Verifique que ∂ f3/2 ∂ z = 2 pπ Z∞ 0 etpt (et+ z )2≥ 0
Combinando os termos na mesma ordem em λ3/v , até segunda ordem, resulta P V k T ≃ V λ3 λ3 v 1 + 1 23/2 λ3 v − 1 25/2 λ3 v +. . . =〈N 〉 1 + 1 25/2 λ3 v +. . . ∴ P k T ≃ 〈N 〉 V 1 + 1 25/2 λ3 v +. . . ou P k T ≃ n 1 + λ 3 25/2n + . . . (14)
Comentários:
• A equação (14) é uma expansão semelhante à expansão virial, i.e. em potências da den-sidade média n = v−1, porém com uma diferença fundamental: os termos da expansão
são produzidos por efeitos quânticos sobre o gás ideal sem interações interpartícula! • O termo de ordem zero, i.e com z = (λ3/v ) reproduz a equação de estado do gás ideal
clássico!
• Todas as demais grandezas termodinâmicas terão correções de origem quântica5 em
uma série de potências em (λ3/v ).
Limite de baixas temperaturas
Os efeitos quânticos são relevantes quando o comprimento de onda térmico for maior que a distância média interpartícula, i.e. quando as temperaturas são suficientemente baixas para que
λ3
v ≫ 1
Nesse caso, devemos examinar o comportamento de f3/2(z ) em grandes valores e z . Assim a expansão assintótica de f3/2não pode usada pela série de potências quando |z | > 1.
Para obter uma expansão tal que a integral possa ser calculada, será necessário usar o método de Sommerfeld.
Método de Sommerfeld:
6Definindo ν = ln z , a integral de Fermi f3/2(z ) pode ser reescrita como
f3/2(ν) = 2 p π Z ∞ 0 t1/2d t 1 + eβ t −ν int. p/p −−−−→ 3p4 π Z ∞ 0 t3/2et−νd t (1 + et−ν)2
5A capacidade calorífica a volume constante será
CV ≃ 3 2N k 1 − 0.884λ 3 v +0.0066 λ3 v 2 +. . . Verifique.
onde na última passagem foi feita uma integração por partes com d v = pt d t e u = (1 + et−ν)−1.
nHyL
GHyL
0
50
100
y
0
0.5
1
Identificamos, no integrando de f3/2(ν), a funçãoG (y ) = e
y−νd y
(1 + ey−ν)2
que é essencialmente a derivada do número de ocupação 〈np~〉.
Em baixas temperaturas e/ou grandes valores de
ν, essa função tem um pico acentuado em torno
de y = ν = β µ. Nesse limite, o integrando terá valores relevantes apenas no entorno de y = ν, como mostra a figura ao lado para os gráficos de
n(y ) (em azul claro) e G (y ) (em cinza) para o caso
em que ν = 100.
Portanto, é razoável expandir t3/2em série de Taylor em torno do ponto t
0=ν resulta: f3/2(ν) = 4 3pπ Z ∞ 0 et−νd t (1 + et−ν)2 § ν3/2+3 2ν 1/2(t − ν) +38ν−1/2(t− ν)2+. . . ª
Fazendo a mudança na variável de integração (t − ν) → t e separando o novo intervalo de integração em duas partes, i.e
Z ∞ −ν · · · = Z ∞ −∞ · · · − Z −ν −∞ . . . resulta f3/2(ν) = 4 3pπ Z ∞ −∞ etd t (1 + et)2 § ν3/2+3 2ν 1/2t +3 8ν−1/2t 2+. . .ª+ O (e−ν) (15)
A segunda integral pode ser realizada sem problemas e resulta em um fator da ordem de e−ν,
e.g. Z −ν −∞ etd t (1 + et)2 = 1 eν+1≃ e −ν, Z −ν −∞ t etd t (1 + et)2 =− ν eν+1− log e −ν+1 ≃ O (e−ν), Z −ν −∞ t2etd t (1 + et)2 =ν ν eν+1+2 log e −ν+1− 2Li
2(sinh(ν) − cosh(ν)) ≃ O (e−ν), etc.
No entanto, para resolver a primeira integração em todo o intervalo definimos a integral geral In =
Z ∞
−∞
tnetd t
É imediato ver que para n ímpar as integrais são nulas porque o integrando é simétrico em relação à origem.
Para n par podemos reescrever In, com o auxílio de um parâmetro auxiliar ξ, como In =−2 Z ∞ 0 d t ∂ ∂ ξ tn−1 eξt +1 ξ=1 =−2 ∂ ∂ ξ Z ∞ 0 d t t n−1 eξt +1 ξ=1
Fazendo a mudança de variável ξt → u, reescreve-se In=−2 ∂ ∂ ξ Z ∞ 0 d u 1 ξn un−1 eu+1 λ=1=−2 Z ∞ 0 d u u n−1 eu+1 ∂ ∂ ξ 1 ξn ξ=1 ∴ In=2n Z ∞ 0 un−1 eu+1d u
As integrais Inpodem, agora, serem identificadas com a representação integral da função Zeta
de Riemann7ζ(n) i.e. ζ(n) = 1 Γ (n) Z ∞ 0 xn−1 ex− 1d x = 1 (1 − 21−n) 1 Γ (n) Z ∞ 0 xn−1 ex+1d x ∴ In=2n(n − 1)!(1 − 21−n)ζ(n), ζ(n) = ∞ X l =1 1 ln
Obs:
O cálculo de In pode ser feito diretamente de maneira elegante8.Substituindo na equação (15) teremos
f3/2(ν) = 4 3pπ § ν3/2+3 8ν−1/2I2+. . . ª +O (e−ν) ∴ f3/2(z ) = 4 3pπ (ln z )3/2+π2 8 (ln z ) −1/2+. . . +O (z−1) (16)
onde usamos que ζ(2) = π2/6
→ I2=π2/3.
Na figura (1) abaixo, mostramos os gráficos de f3/2(z ) exata e nas aproximações de altas e
bai-xas temperaturas, onde se pode verificar os limites de validade das expansões usadas.
7Vide M. Abramowitz e I. Stegun, Handobook of Mathematical Functions, Dover (1968), fórmula 23.2.8.
0
10
20
30
40
50
60
z
0
2
4
6
8
f
32HzL
Figura 1: Gráficos da Integral de Fermi f3/2(z ), na aproximação de altas temperaturas - equação (13)
(tracejado vermelho); na aproximação de baixas temperaturas - equação (16) (tracejado azul) e a expressão exata em cinza preenchido f3/2(z ) = Li(3/2, z ). Observe o pequeno range de validade da aproximação de altas temperaturas para a escala usada.
Finalmente, substituindo (16) em (12) resulta
λ3 v = 4 3pπ(ln z ) 3/2 1 +π 2 8 (ln z )−2+. . . +O (z−1) (17)
Limite de baixíssimas temperaturas:
T → 0ou
(z ≫ 1)Em baixíssimas temperaturas, compreenda-se o termo líder da expansão (17), i.e
λ3 v ≃ 4 3pπ(ln z ) 3/2 ∴ z ≃ exp 3pπλ 3 4v 2/3 =exp β 3pπ 4v 2/3 2πħh2 m | {z } ǫF = eβ ǫF
onde ǫF é a energia de Fermi
ǫF = ħ h2 2m 6π2 v 2/3 (18)
Substituindo-se z = eβ ǫF na distribuição de Fermi 〈n
~
p〉, a qual descreve a população nos
ní-veis de energia, teremos
〈np~〉 = 1 z−1eβ ǫp~+1 ∴ lim −→ T→0 〈np~〉 = 1 eβ (ǫp~−ǫF)+1
A figura ao lado mostra a distribuição de Fermi para valores de β µ= 1 (azul) e 10 (preto). Observe que todas as curvas passam no mesmo ponto n(µ) = 1/2, i.e quando ǫ = µ em qualquer temperatura.
Fermi - Dirac nHΕL = AeΒHΕ-ΜL+ 1E-1 kT = 1 kT = 10 Μ =1 0 1 2 3 Ε Μ 0 0.5 1 nHΕL
No limite extremo (estado fundamental) em que T = 0 teremos, entretanto
lim −→T =0〈np~〉 = 1 se ǫp~< ǫF 0 se ǫp~> ǫF 1/2 se ǫp~=ǫF
Nesse limite extremo observa-se que:
1. Todos os estados com energia menor do que ǫF estão
ocupados com 1 partícula, e todos os estados com
ener-gia acima estão desocupados.
2. ǫF é máxima energia de um estado ocupado.
3. Como z = eβ µem T = 0, o potêncial químico µ = ǫ F.
como esquematizado na figura ao lado.
ǫF 1 〈np~〉 b Distribuição de estados em T = 0. Densidade de estados
Estado Fundamental
(T = 0)O distribuição de estados obedece à condiçãoPp~〈np~〉 = N , a qual em T = 0 resulta
X ~ p 1 = N , ou V h3 Z ǫ ~p≤ǫF d ~p = N
Passando para a variável de energia, i.e ~p2/(2m) → ǫ , escrevemos formalmente Z ǫF ǫ0 n(ǫ) d ǫ = N onde n(ǫ) = densidade de estados = ¨
número de estados com, energia entre ǫ e ǫ + d ǫ.
Obs:
Para determinar explicitamente n(ǫ) é preciso especificar a dependência de ǫ com ~p ,
conhe-cida como relação de dispersão.
Caso do Gás Ideal:
Para o gás ideal em T = 0 temos
ǫ = ǫp~= ~ p2 2m ∴ d p = m p d ǫ = m p 2mǫd ǫ → V h3 Z pF 0 (4π)p2d p = 4π V h3 Z ǫF 0 (2mǫ)pm 2mǫd ǫ = Z ǫF 0 2πV h3 (2m) 3/2 ǫ1/2 | {z } n (ǫ) d ǫ ∴ n(ǫ) =2πV h3 (2m) 3/2ǫ1/2 → n(ǫ)∼ ǫ1/2 Ε nHΕL
cujo gráfico está mostrado na figura ao lado.
Momentum de Fermi
Outra grandeza importante é o momentum de
Fermi, definido por
4π V h3 Z pF 0 p2d p = N , ∴ V h3 4π 3 p 3 F = N → pF = 3N 4πV 1/3 h
(momentum de Fermi)
Energia do estado fundamental.
A energia (média) do estado fundamental é definida por
E0= X ~ p 〈np~〉ǫ = V h3 Z pF 0 p2 2m(4π)p 2d p , → E0= 2π V 5m h3p 5 F ou E0= Z ǫF 0 n(ǫ)d ǫ, → E0= 3 5N ǫF
(energia interna)
Baixas Temperaturas
Os regimes de temperaturas são melhor estabelecidos fisicamente se definirmos a
tempera-tura de Fermi TF, i.e
TF = ǫF kB ∴ T = 0 Estado Fundamental, T << TF
§ Regime de baixas temperaturas ou
gás com alta densidade, sistema degenerado
T >> TF
§ Regime de altas temperaturas ou
gás com baixa densidade, sistema não-degenerado
Μ T << TF T = 0 T >> TF ΕΜ fHΕL´ nHΕL
Quando T 6= 0 a densidade de estados pode ser obtida por
N =X ~ p 〈np~〉, ou N = V h3 ∞ Z 0 [eβ (ǫ−µ)+1]−1d ~p = = Z ∞ 0 f (ǫ)n(ǫ)d ǫ onde f (ǫ) = 1 eβ (ǫ−µ)+1 → e −β(ǫ−µ) (ǫ ≫ µ) (19) n(ǫ) =2πV h3 (2m) 3/2 ǫ1/2 (20)
Na figura ao lado, mostramos o comportamento de f (ǫ) × n(ǫ) para T = 0, T << TF e T ≫ TF.
Observação importante: partículas com spin
No caso de férmions com spin ħh s existirá uma degenerescência de (2s + 1) microestados para
cada estado me momentum ~p . Portanto,
N = (2s + 1)V h3 Z ǫ ~p≤ǫF d ~p = (2s + 1)V h3 4π 3 p 3 F ∴ V h3 4π 3 p 3 F = N ′= N (2s + 1)
que corresponde a considerar um sistema de férmions reduzido para N′= N /(2s +1) férmions
sem spin.
Esta correspondência pode ser entendida porque férmions com diferentes estados de spin não sofrem as restrições de simetria pela operação de permutação entre as posições, i.e não sofrem as restrições impostas pelo princípio de Pauli. Assim, cada subconjunto de férmions com mesmo estado de spin age como se fosse um gás independente.
