O Teorema do Ponto Fixo de Schauder e Aplicação às EDFR

(1)

O Teorema do Ponto Fixo de Schauder e Aplica¸c˜

ao `

as

EDFR

∗

Cristiano dos Santos

†

e M´

arcia Richtielle

‡

2 de dezembro de 2015

Resumo

Vamos apresentar um importante resultado sobre existência de ponto fixo para aplica¸cões compactas e descreveremos como este resultado é utilizado para garantir a existência de solu¸cões de Equa¸cões Diferenciais Funcionais com Retardamento (EDFR).

Palavras Chave: Operadores Compactos, Ponto Fixo, Equa¸c˜oes Diferenciais Fun-cionais com Retardamento.

Introdu¸

c˜

ao

Apresentaremos neste trabalho a constru¸cão do Teorema do Ponto Fixo de Schauder e para isto utilizaremos alguns resultados referentes às aplica¸cões com-pactas. Este importante teorema é utilizado para a obten¸cão de outros resultados dentro da Matemática e da Matemática Aplicada. Para exemplificar, veremos uma aplica¸cão dentro da Teoria Básica das Equa¸cões Diferenciais Funcionais com Re-tardamento sobre existência de solu¸cão, além disso, ele também pode ser utilizado para garantir a existência de solu¸cões periódicas para alguma classe de EDFR.

1 Resultados Preliminares

Inicialmente vamos apresentar a defini¸c˜ao de Operador Compacto, um exemplo e alguns resultados importantes para o bom desenvolvimento deste trabalho.

Antes de definirmos os Operadores Compactos relembremos do seguinte resul-tado:

Teorema 1 As seguintes afirma¸cões a respeito de um espa¸co métrico M são equi-valentes:

1 - M ´e compacto.

2 - Todo subconjunto infinito de M possui um ponto de acumula¸c˜ao.

∗_{Trabalho realizado como parte do projeto de Inicia¸}_c˜_{ao Cient´ıfica Fapesp, Processo: 2012/15162-3 sob}

a orienta¸c˜ao da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti.

†_{Email: santos.cris92@gmail.com, bolsista FAPESP. Estudante do Curso de Bacharelado em}

Ma-tem´atica, Unesp - Rio Claro.

‡_{Email: marcia.rc.unesp@hotmail.com, bolsista BAAE do IGCE. Estudante do Curso de Bacharelado}

em Matem´atica, Unesp - Rio Claro.

(2)

3 - Toda sequência em M possui uma subsequência convergente. 4 - M é completo e totalmente limitado.

Como aplica¸c˜ao direta deste Teorema temos o seguinte Corol´ario:

Corolário 2 Dado um subconjunto X de um espa¸co métrico completo M , são equi-valentes as seguintes propriedades:

1 - X é relativamente compacto em M , isto é, X é compacto.

2 - Toda sequência de pontos de X possui uma subsequência convergente em M . 3 - X é totalmente limitado.

As provas dos resultados descritos acima podem ser encontradas em [3].

Defini¸cão 3 Sejam E e F espa¸cos normados, dizemos que a aplica¸cão k : E −→ F cont´ınua é compacta ou completamente cont´ınua se para todo X ⊂ E limitado, k(X) ´

e relativamente compacto.

Apresentamos agora um teorema (veja referência [4]) que mostra alternativas equivalentes de verificar que uma aplica¸cão linear é compacta.

Teorema 4 Sejam E e F espa¸cos normados e k : E → F uma aplica¸c˜ao linear; s˜ao equivalentes as seguintes propriedades:

1 - k ´e compacta.

2 - Toda sequência limitada de pontos (xn) de E contém uma subsequência (xnr)

tal que a sequˆencia (k(xnr)) ´e convergente em F .

3 - k leva a bola unit´aria B de E num conjunto relativamente compacto de F .

Demonstra¸c˜ao:

(1) =⇒ (2) Sendo {xn; n ∈ N} um subconjunto limitado de E e k compacta,

ent˜ao {k(xn); n ∈ N} ´e um subconjunto relativamente compacto de F . Assim, do

Corolário 2 segue que a sequência (k(xn)) possui uma subsequência convergente em

F .

(2) =⇒ (3) Da hipótese segue que toda sequência (xn) ⊂ B contém uma

sub-sequˆencia (xnr) tal que (k(xrn)) ´e convergente em F . Isto equivale a dizer que o

conjunto k(B) ´e relativamente compacto, pelo Corol´ario 2.

(3) =⇒ (1) Seja L ⊂ E um conjunto limitado, ent˜ao existe a > 0 tal que L ⊂ a.B = B(a), onde B(a) ´e a bola de raio a, e assim,

k(L) ⊂ ak(B).

Segue que k(L) é relativamente compacto pois k(B) o é, assim ak(B) é relativa-mente compacto.

Exemplo 5 Sejam E e F espa¸cos normados e k : E −→ F cont´ınua. Se E é compacto então k é compacto.

De fato, pois dado uma sequˆencia limitada arbitr´aria (xn) ⊂ E temos, pela

com-pacidade de E, que (xn) possui subsequˆencia (xnr) convergente, e pela continuidade

de k segue que (k(xnr)) ´e convergente e, portanto, k ´e compacto.

(3)

Vamos agora construir um operador compacto, para isto considere E = C([a, b], C) e F = C([c, d], C) e seja K : [c, d] × [a, b] −→ C uma fun¸c˜ao cont´ınua. Para todo x ∈ E definimos y = k(x) ∈ F por

y(t) = k(x)(t) = Z b

a

K(t, s)x(s)ds, t ∈ [c, d].

Para determinar que k é compacto vamos demonstrar que k(B) é um subconjunto relativamente compacto de F , onde B é a bola unitária em E. Pelo Teorema de Arzelá-Ascoli, ver referência [5], é suficiente demonstrar que:

i) k(B) ´e equicont´ınuo.

ii) Para todo t0 ∈ [c, d] o conjunto {k(B)(t0)} = {k(x)(t0); x ∈ B} ´e limitado em

C.

Demonstra¸c˜ao de i): Da continuidade uniforme de K segue que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo s ∈ [a, b] e t1, t2∈ [c, d] com |t1− t2| < δ temos:

|K(t1, s) − K(t2, s)| < ε. De |y(t1) − y(t2)| = Z b a K(t1, s)x(s)ds − Z b a K(t2, s)x(s)ds = = Z b a [K(t1, s) − K(t2, s)]x(s)ds ≤ Z b a |K(t1, s) − K(t2, s)||x(s)|ds,

segue-se ent˜ao que para |t − t0| < δ e x ∈ B

|k(x)(t) − k(x)(t₀)| ≤ Z b a |K(t, s) − K(t₀, s)||x(s)|ds ≤ ε Z b a |x(s)|ds ≤ ≤ ε sup s∈[a,b] |x(s)|(b − a) < ε(b − a), pois kxk = sup a≤t≤b

|x(t)| < 1, o que prova a equicontinuidade de k(B).

Demonstra¸c˜ao de ii): Para todo x ∈ B e t0 ∈ [c, d] temos:

|k(x)(t0)| ≤

Z b

a

|K(t0, s)||x(s)|ds ≤ M,

onde M ´e uma constante que pode depender de t0, concluindo a prova.

2 Teorema do Ponto Fixo de Schauder

Vamos agora desenvolver o Teorema do Ponto Fixo de Schauder, para isto traremos primeiro algumas defini¸c˜oes e resultados preliminares, cujas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [1].

Defini¸cão 6 Um espa¸co topológico Y tem a propriedade do ponto fixo (f pp) se toda aplica¸cão cont´ınua f : Y −→ Y tem um ponto fixo, isto é, existe y ∈ Y tal que f (y) = y.

(4)

Teorema 7 - Ponto Fixo de Brouwer. A bola unit´aria fechada Bn em Rn tem f pp.

Teorema 8 - Ponto Fixo de Brouwer Generalizado. Um subconjunto Q de Rn convexo e compacto tem f pp.

Teorema 9 Um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita n ´e linearmente homeo-morfo ao Rn.

Defini¸c˜ao 10 Sejam X um espa¸co normado real e F = {x1, . . . , xn} um

subcon-junto finito de X. Então con(F ), a envoltória convexa de F , é definida por:

con(F ) =    n X j=1 tjxj ; tj ≥ 0, n X j=1 tj = 1.   

A envoltória convexa con(F ) está contida no espa¸co vetorial [F ] o qual é chamado gerado de F e é definido pelos pontos x ∈ X que podem ser escritos na forma x =Pn

j=1ajxj para aj ∈ R e xj ∈ F . Evidentemente, [F ] ´e um espa¸co vetorial de

dimens˜ao menor ou igual a n. Observe que con(F ) ´e fechado e limitado; de fato, note que dado x ∈ con(F ) temos: kxk =

Pn j=1tjxj

≤ maxjkxjk e note também que con(F ) é imagem inversa do conjunto {1} pela fun¸cão cont´ınua: f : [F ] −→ R onde f (x) =Pn

j=1tj.

Resultado 11 Se F = {x1, . . . , xn} est´a contido em um conjunto convexo C de um

espa¸co normado X, então con(F ) está contida em C. Assim, con(F ) é a interse¸cão de todos os subconjuntos convexos de X contendo F .

Demonstra¸cão: Usando indu¸cão no número de pontos em F , segue que o Re-sultado é trivial para F com apenas um ponto. Vamos assumir que o Resultado é válido para conjuntos F com n − 1 pontos. Agora, seja C um subconjunto convexo de X contendo F e seja x = Pn

j=1tjxj ∈ con(F ). Assim, devemos mostrar que

x ∈ C. Se tn = 1 então x = xn pois P tj = 1 e está provado. Caso contrário, x

pode ser escrito na forma

x = (1 − tn) t1 1 − tn x1+ · · · + tn−1 1 − tn xn−1 + tnxn= (1 − tn)x∗+ tnxn

Seja F0= {x1, . . . , xn−1}, ent˜ao x∗ ∈ con(F0) pois:

t1+ · · · + tn= 1 ⇒ t1+ · · · + tn−1= 1 − tn⇒ t1 1 − tn + · · · + tn−1 1 − tn = 1.

Assim, pela hipótese de indu¸cão x∗ ∈ C e como C é convexo e tn ∈ [0, 1[ segue

que x ∈ C.

Defini¸cão 12 Para todo ε > 0, um ε − net, que denotaremos por S, em um espa¸co métrico X é um subconjunto de X com a propriedade que todo ponto de X está ao alcance ε de algum ponto de S, isto é, ∀x ∈ X, ∃s ∈ S tal que d(x, s) < ε. Para dizer a mesma coisa, mais precisamente, dizemos que um subconjunto S de X é um ε − net se X é a união de todas B(s, ε), com s ∈ S.

Defini¸cão 13 Dizemos que um espa¸co métrico X é totalmente limitado se existe um ε − net finito para X.

(5)

Teorema 14 - Proje¸cão de Schauder. Seja K um subconjunto compacto de um espa¸co normado X, com a métrica d induzida pela norma. Dado ε > 0, existe um subconjunto finito F de X e uma aplica¸cão P : K −→ con(F ) chamada Proje¸cão de Schauder, tal que d(P (x), x) < ε para todo x ∈ K.

Demonstra¸cão: Como K é compacto segue do Teorema 1 que K é totalmente limitado, assim existe um ε − net finito, seja tal conjunto F = {x1, . . . , xn}. Para

i = 1, . . . , n defina as fun¸c˜oes φi : K −→ R por φi(x) = ε − d(x, xi) se x ∈ B(xi, ε)

e φi(x) = 0 caso contr´ario. Definindo, φ como φ(x) =Pni=1φi(x) temos que

φ(x) > 0, ∀x ∈ K, pois F é um ε − net para K. Definimos então a Proje¸cão de Schauder por:

P (x) = n X i=1 φi(x) φ(x)xi,

que ´e cont´ınua pois os φi s˜ao. Observe que P (x) ∈ con(F ) pois, n X i=1 φi(x) φ(x) = 1 φ(x) n X i=1 φi(x) = φ(x) φ(x) = 1. E assim, d(P (x), x) = n X i=1 φi(x) φ(x)xi− x = n X i=1 φi(x) φ(x)xi− n X i=1 φi(x) φ(x)x = n X i=1 φi(x) φ(x)(xi− x) ≤ n X i=1 φi(x) φ(x)kxi− xk < n X i=1 φi(x) φ(x)ε = ε, pois φi(x) = 0 se kxi− xk ≥ ε.

De acordo com o Teorema 8 um subconjunto fechado, limitado (e assim com-pacto) e convexo de um espa¸co euclidiano de dimensão finita tem a propriedade do ponto fixo. De modo geral, em espa¸cos normados subconjuntos fechados e limitados não necessariamente são compactos. Vamos ilustrar exibindo um exemplo(ver [4]) de um subconjunto fechado, limitado e convexo de um espa¸co normado que não possui a propriedade do ponto fixo.

Exemplo de Kakutani: Considere o espa¸co de Hilbert X = `2 que consiste de

todas as sequˆencias reais x = (x1, x2, . . .) tais que a s´erie P∞_j=1x2j seja convergente.

E a norma definida neste caso ´e:

kxk = v u u t ∞ X j=1 x2 j.

A bola unit´aria C em X, isto ´e, o conjunto de pontos x ∈ X tais que kxk ≤ 1, ´

e certamente fechada, limitada e convexa. Se definirmos

f (x) = f ((x1, x2, . . .)) = p 1 − kxk2_{, x} 1, x2, . . . e calcularmos kf (x)k = r p 1 − kxk22_{+ x}2 1+ x22+ · · · = p (1 − kxk2_{) + kxk}2 _{= 1} 5

(6)

vemos que f aplica o conjunto C em si mesmo, na verdade, na esfera unitária S ⊂ C. Esta fun¸cão f : C −→ S ⊂ C é cont´ınua, pois podemos escrevê-la como composi¸cão de fun¸cões que obviamente são cont´ınuas. Mas, f não tem ponto fixo. Pois caso contrário, existiria x0 = (x0₁, x0₂, . . .) com f (x0) = x0 e então kx0k = kf (x0)k = 1. Mas, pela defini¸cão de f ter´ıamos

f (x0) = f (x0₁, x0₂, . . .) = (0, x1, x2) = x0 = (x1, x2, . . .)

e isto implica que 0 = x0₁, x0₁ = x0₂ e assim em diante, e portanto ter´ıamos que x0 seria a sequência nula, o que é uma contradi¸cão.

Teorema 15 - Ponto Fixo de Schauder. Seja C um subconjunto fechado, limi-tado e convexo de um espa¸co normado e seja f : C −→ C uma aplica¸c˜ao compacta, ent˜ao f tem um ponto fixo.

Demonstra¸cão: Da hipótese temos que f (C) é compacto, denote f (C) por K. Para cada número natural n, seja Fn um 1_n− net finito para o compacto K e seja

Pn: K −→ con(Fn) a Proje¸c˜ao de Schauder. Agora, Fnest´a contido em K que por

sua vez está contido em C já que f (C) ⊂ C e C é fechado. Assim, do Resultado 11 a convexidade de C implica que con(Fn) ⊂ C.

Defina fn: con(Fn) −→ con(Fn) pela restri¸c˜ao de f `a con(Fn) e compondo com

Pn, fn= Pn◦ f . Como [Fn] tem dimens˜ao finita e con(Fn) ´e fechado e limitado em

[Fn] temos que con(Fn) ´e compacto.

Assim, do Teorema 8 temos que fn possui ponto fixo, seja yn ∈ con(Fn) um

deles. Como K é compacto a sequência (f (yn)) possui subsequência convergente, a

qual será denotada também por (f (yn)). Chamemos o limite desta subsequência de

y e note que y ∈ C pois C ´e fechado.

Mostraremos que y é um ponto fixo de f . O argumento depende da propriedade de aproxima¸cão da Proje¸cão de Schauder, que neste caso satisfaz:

d(Pn(x), x) <

1 n. Quando tomamos x = f (yn) temos:

d(Pn(f (yn)), f (yn)) = d(fn(yn), f (yn)) <

1 n.

Ent˜ao a sequˆencia (fn(yn)) = (yn) deve convergir para o mesmo ponto que f (yn)

converge, o qual chamamos de y.

Finalmente, observe que, da continuidade de f e do fato de yn → y, f (yn) →

f (y), portanto, da unicidade do limite temos que f (y) = y.

Corol´ario 16 - Ponto Fixo de Brouwer Muito Generalizado Um subcon-junto convexo e compacto de um espa¸co normado tem f pp.

Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente do Teorema 15 e do Exemplo 5.

3 Aplica¸

c˜

ao `

as EDFR

Antes de exibirmos a aplica¸cão do Teorema de Schauder, é preciso introduzir-mos as nota¸cões e defini¸cões que serão necessárias ao bom entendimento de uma EDFR. Primeiramente, apresentamos a defini¸cão de equa¸cão diferencial funcional com retardamento e para isto vamos considerar r > 0 e

(7)

C = C([−r, 0], Rn) = {φ = (φ1, · · · , φn) : [−r, 0] → Rn cont´ınua }

o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em [−r, 0] tomando valores em Rncom a topologia da convergˆencia uniforme. Designamos a norma de um elemento φ ∈ C como |φ| = sup

−r≤θ≤0

|φ(θ)|.

Defini¸c˜ao 17 Se σ ∈ R, A ≥ 0 e x ∈ C([σ − r, σ + A], Rn), ent˜ao para todo t ∈ [σ, σ + A], definimos xt∈ C por xt(θ) = x(t + θ), −r ≤ θ ≤ 0. Veja a figura a

seguir que ilustra a fun¸c˜ao xt.

σ − r t − r σ t σ + A xt _x(t)

Defini¸cão 18 Se D é um subconjunto de R × C e f : D → Rné uma fun¸cão dada, então dizemos que a rela¸cão

˙

x(t) = f (t, xt) (3.0.1)

´

e uma equa¸c˜ao diferencial funcional com retardamento. Desejamos enfati-zar esta equa¸c˜ao definida por f escrevendo EDFR(f ).

Defini¸cão 19 Uma fun¸cão x é uma solu¸cão da equa¸cão (3.0.1), se existirem σ ∈ R, A > 0 tais que x ∈ C([σ − r, σ + A), Rn_{), (t, x}

t) ∈ D e x(t) satisfaz (3.0.1) para

t ∈ [σ, σ + A).

Para σ ∈ R, φ ∈ C denotaremos x(σ, φ, f ) como sendo a solu¸cão da equa¸cão (3.0.1) para t ∈ [σ − r, σ + A) com fun¸cão inicial φ em σ, ou seja, xσ(σ, φ, f ) = φ.

Enunciaremos alguns lemas necessários para a constru¸cão do teorema sobre existência de solu¸cão. As provas podem ser encontradas em [2].

Lema 20 Se σ ∈ R, φ ∈ C são dados e f é cont´ınua, então encontrar uma solu¸cão para a equa¸cão (3.0.1) em (σ, φ) é equivalente a resolver a equa¸cão integral:

xσ = φ e x(t) = φ(0) +

Z t

σ

f (s, xs)ds, t ≥ σ.

Para provar a existência de solu¸cão é conveniente introduzirmos uma fun¸cão

∼

φ e uma equa¸c˜ao integral associada a ela.

Para qualquer (σ, φ) ∈ R × C, considere a fun¸c˜ao

∼ φ ∈ C([σ − r, ∞), Rn) definida por: ∼ φ_σ= φ ∼ φ (t + σ) = φ(0), t ≥ 0.

Suponha que x é uma solu¸cão da equa¸cão (3.0.1) passando por (σ, φ) e que

x(t + σ) =

∼

φ (t + σ) + y(t), (3.0.2)

(8)

para t ≥ −r. Assim, do Lema 20 temos que y satisfaz y(t) = Z t 0 f (σ + s, ∼ φ_σ+s+ys)ds, t ≥ 0. (3.0.3)

Reciprocamente, se y é uma solu¸cão de (3.0.3), então é poss´ıvel obter uma solu¸cão x da equa¸cão (3.0.1) por (3.0.2). Portanto, encontrar uma solu¸cão para a equa¸cão (3.0.1) é equivalente a encontrar α > 0 e uma fun¸cão y ∈ C([−r, α], Rn) tal que a equa¸cão (3.0.3) esteja satisfeita para 0 ≤ t ≤ α.

Se V é um subconjunto de R × C, denotaremos C(V, Rn) como sendo a classe de todas as fun¸cões f : V → Rn que são cont´ınuas e C0(V, Rn) ⊆ C(V, Rn) o subconjunto de fun¸cões limitadas cont´ınuas de V para Rn. O espa¸co C0(V, Rn) é Banach com a norma

|f |V = sup (t,φ)∈V

|f (t, φ)|.

Defini¸c˜ao 21 Para quaisquer α, β ∈ R, definimos:

Iα= [0, α], Bβ = {ψ ∈ C; kψk ≤ β} e

A(α, β) = {y ∈ C([−r, α], Rn); y0 = 0, yt∈ Bβ, t ∈ Iα}.

Lema 22 Suponha Ω ⊆ R × C aberto, W ⊆ Ω compacto e f0 ∈ C(Ω, Rn_{). Ent˜}_ao

existe uma vizinhan¸ca V ⊆ Ω de W tal que f0 _{∈ C}0_{(V, R}n_{), existem U ⊆ C}0_{(V, R}n₎

uma vizinhan¸ca de f0 e constantes positivas M, α e β tais que |f (σ, φ)| < M para (σ, φ) ∈ V e f ∈ U .

Tamb´em, para todo (σ0_{, φ}0_{) ∈ W , temos (σ}0_{+ t,}∼_φ

σ0_+t +y_t) ∈ V , para t ∈ I_α e

y ∈ A(α, β).

Lema 23 Suponha que Ω ⊆ R × C ´e um conjunto aberto, W ⊆ Ω ´e compacto e f0 ∈ C(Ω, Rn_{) ´}_{e dada. Considere tamb´}_{em as vizinhan¸}_{cas U e V e as constantes}

M, α, β que foram obtidas no Lema 22.

Se T : W × U × A(α, β) → C([−r, α], Rn) definida por T (σ, φ, f, y)(t) =    0, t ∈ [−r, 0] Z t 0 f (σ + s, ∼ φ_σ+s +ys)ds, t ∈ Iα.

Ent˜ao T ´e cont´ınua e existe um conjunto compacto K ⊂ C([−r, α], Rn) tal que T : W × U × A(α, β) → K.

Tamb´em, se M α ≤ β, ent˜ao T : W × U × A(α, β) → A(α, β).

O Teorema de Existência de Solu¸cão que demonstraremos adiante é uma aplica¸cão do Teorema do Ponto Fixo de Schauder.

Teorema 24 (Existˆencia de Solu¸c˜ao) Suponha Ω ⊆ R × C um conjunto aberto e f0 ∈ C(Ω, Rn_{). Se (σ, φ) ∈ Ω, ent˜}_{ao existe uma solu¸}_c˜_{ao da EDFR(f}0_{) passando}

por (σ, φ). Mais ainda, se W ⊆ Ω ´e compacto e f0 _{∈ C(Ω, R}n_{), ent˜}_{ao existe}

uma vizinhan¸ca V ⊆ Ω de W tal que f0 ∈ C0_{(V, R}n_{), existe uma vizinhan¸}_{ca U ⊆}

C0(V, Rn) de f0 e existe α > 0 tais que para qualquer (σ, φ) ∈ W , f ∈ U , existe uma solu¸c˜ao x(σ, φ, f ) da EDFR(f ) passando por (σ, φ) em [σ − r, σ + α].

(9)

Demonstra¸cão: Para mostrar que existe solu¸cão da EDFR passando por (σ, φ), consideremos W = {(σ, φ)}. Logo, W é compacto. Assim, pelo Lema 23, podemos definir a aplica¸cão T : W × U × A(α, β) → C([−r, α], Rn) cont´ınua.

Consideremos a aplica¸c˜ao T ((σ, φ), f0, ·) : A(α, β) → C([−r, α], Rn) definida por: T (σ, φ, f, y)(t) =    0, t ∈ [−r, 0] Z t 0 f (σ + s, ∼ φ_σ+s +ys)ds, t ∈ Iα.

Mostremos que temos satisfeitas todas as condi¸cões do Teorema 15. Ou seja, mostre-mos que A(α, β) é fechado, limitado e convexo em C([−r, α], Rn) e que a aplica¸cão T : A(α, β) → A(α, β) é completamente cont´ınua, lembrando pelo Lema 23 que podemos escolher as constantes M , α e β de forma que M α ≤ β.

Afirma¸c˜ao 1: A(α, β) = {y ∈ C([−r, α], Rn); y0 = 0, yt ∈ Bβ, t ∈ Iα} ´e um

conjunto limitado.

De fato, seja y ∈ A(α, β) arbitr´ario. Ent˜ao tem-se yt∈ Bβ, ∀t ∈ Iα ⇒ kytk ≤ β, ∀t ∈ Iα

e assim ∀θ ∈ [−r, 0] ⇒ |y(t + θ)| ≤ β ⇒ kyk ≤ β. Portanto, A(α, β) é limitado. Afirma¸cão 2: A(α, β) é fechado em C([−r, α], Rn). Considere (yi) uma sequência convergente em A(α, β), isto é, yi → y em C([−r, α], Rn_{). Mostremos que y ∈}

A(α, β). Com efeito, como yi → y, ent˜ao dado > 0, ∃n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒

kyi_{− yk < ⇒ |y}i_{(t) − y(t)| < , ∀t ∈ I} α.

Em particular para n = n0, temos:

kyn0 _{− yk < ⇒ |y}n0_{(t) − y(t)| < , ∀t ∈ I} α⇒ |ytn0(0) − yt(0)| < , ∀t ∈ Iα. Assim, ky0k = ky0− yn00 + y n0 0 k ≤ ky0− yn00k + ky n0 0 k = ky0− yn00k < . Note que yn0 0 = 0, pois yn0 ∈ A(α, β).

Portanto, ky0k < . Como ´e arbitr´ario segue que y0= 0.

Agora, kytk = kyt− ynt0 + ytn0k ≤ kyt− ytn0k + kytn0k < + β, t ∈ Iα, ∀ > 0.

Como ´e arbitr´ario segue que kytk ≤ β, ∀t ∈ Iα. Logo, yt ∈ Bβ, o que implica

y ∈ A(α, β).

Portanto, A(α, β) é fechado em C([−r, α], Rn). Afirma¸cão 3: A(α, β) é convexo.

Devemos mostrar que se y1, y2∈ A(α, β), ent˜ao o segmento (1 − a)y1+ ay2, est´a contido em A(α, β), ∀a ∈ [0, 1].

De fato, fixando a ∈ [0, 1] qualquer, temos

((1 − a)y1+ ay2)0(θ) = ((1 − a)y1)(θ) + (ay2)(θ) = (1 − a)y1(θ) + y2(θ) = 0 + 0 = 0,

pois y1, y2 ∈ A(α, β) para −r ≤ θ ≤ 0, t = 0. Portanto, ((1 − a)y1+ ay2)0 = 0. E,

((1 − a)y1+ ay2)t

= k(1 − a)y_t1+ ay2_tk ≤ k(1 − a)y_t1k + kay2_tk =

= (1 − a)ky_t1k + aky_t2k ≤ (1 − a)β + aβ = (1 − a + a)β = β. Portanto, ((1 − a)y1+ ay2)t∈ Bβ, ∀t ∈ Iα.

Assim, ((1 − a)y1+ ay2) ∈ A(α, β), ∀a ∈ [0, 1]. Portanto, A(α, β) é convexo. Afirma¸cão 4: A aplica¸cão G = T (σ, φ, f0, ·) : A(α, β) → A(α, β) é completa-mente cont´ınua.

Com efeito, T já é cont´ınua pelo Lema 23 e portanto, T (σ, φ, f0, ·) é cont´ınua. Seja A ⊂ A(α, β) limitado. Mostremos que G(A) = T (σ, φ, f0, A) tem fecho compacto, ou seja, basta mostrar que G(A) é relativamente compacto. Para isto, provemos que:

(10)

(i) G(A) ´e uniformemente limitado: Sabemos que G(y) : [−r, α] → Rn ´e dada por: G(y)(t) =    0, t ∈ [−r, 0] Z t 0 f0(σ + s, ∼ φ_σ+s+ys)ds, t ∈ Iα.

Seja y ∈ A. Como A ⊂ A(α, β) ´e limitado, ent˜ao existe M > 0 tal que kyk < M e |y_t| < β, t ∈ I_α e y0 = 0.

Note que pelo Lema 22, (σ + s,

∼

φ_σ+s +ys) ∈ V e y ∈ A(α, β) para s ∈ [0, α].

Logo, o conjunto U = {(σ + s,

∼

φ_σ+s +ys); y ∈ A(α, β), s ∈ [0, α]} ⊂ V e f0 ´e

Note que αk0 não depende de y. Portanto, G(y) é uniformemente limitado. Observe também que {G(A)(t), t ∈ Iα} = {G(y)(t), ∀t ∈ Iα, ∀y ∈ A} ⊂ Rn é

limitado, o que implica que{G(A)} ´_{e fechado e limitado em R}n_{. Logo, {G(A)}}

´e compacto.

(ii) G(A) ´e equicont´ınuo. De fato, dado > 0 e y ∈ A, existe δ < _k0 tal que, se

|t − a| < δ, ent˜ao |G(y)(t) − G(y)(a)| ≤ Z |t−a| 0 |f0(σ + s, ∼ φ_σ+s+ys)|ds (i) ≤ Z |t−a| 0 k0ds = |t − a|k0 < k0k 0 _{= , ∀y ∈ A.}

Portanto, G(A) ´e equicont´ınuo.

Assim, por (i) e (ii) e usando o Teorema de Ascoli-Arzelá, segue que G(A) é compacto. Portanto, G é completamente cont´ınua.

Assim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Schauder, existe y ∈ A(α, β) tal que T (σ, φ, f0, y)(t) = y(t), ∀t ∈ [−r, α]. Isto ´e,

y(t) =    Z t 0 f0(σ + s, ∼ φ_σ+s +ys)ds, t ∈ Iα y0 = 0

Como, encontrar y ´e equivalente a resolver

˙

x(t) = f0(t, xt)

xσ = φ,

segue que existe solu¸c˜ao para a EDFR(f0).

De modo mais geral, dado W ⊂ Ω compacto e f0 ∈ C(Ω, Rn_{), temos pelo}

Lema 22 que existe uma vizinhan¸ca V ⊂ Ω tal que f0 ∈ C0_{(V, R}n_{) e existe uma}

vizinhan¸ca U de f0, U ⊂ C0 e constantes α, β tais que, se (σ, φ) ∈ W ent˜ao (σ + t,

∼

φ_σ+t +yt) ∈ V para t ∈ Iα e y ∈ A(α, β). Portanto, para cada f ∈ U ,

podemos definir T (σ, φ, f0, ·) : A(α, β) → A(α, β) com ponto fixo, ou seja, com solu¸c˜ao. Como quer´ıamos demonstrar.

(11)

4 Conclus˜

ao

A Teoria dos Operadores Compactos tem sua importância na constru¸cão de resultados da Análise Funcional e também de resultados em outras subáreas da Matemática, como por exemplo, o Teorema do Ponto Fixo de Schauder que por sua vez tem sua aplica¸cão na Teoria das Equa¸cões Diferenciais Funcionais com Retardamento.

Referˆ

encias

[1] ROBERT, F.B. - A Topological Introduction to Nonlinear Analysis, Birkh¨auser Boston, 1993.

[2] HALE, J.K. - Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag New York, 1993.

[3] H ÖNIG, C.S. - Análise Funcional e Aplica¸cões vol.1 e vol.2, IME-USP, 1970. [4] KREYSZIG, E. - Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley

Classics Library, 1989.

[5] LIMA, L.E. - Espa¸cos M´etricos, IMPA, 1977.